Elaboración de un plan de lección de matemáticas sobre el tema “Figuras planas y cuerpos tridimensionales” (grado 3). Lección de matemáticas sobre el tema "Cuerpos geométricos planos y volumétricos".

Al igual que con el problema de encontrar el área, necesitas habilidades de dibujo seguras; esto es casi lo más importante (ya que las integrales en sí mismas a menudo serán fáciles). Maestro alfabetizado y tecnología rápida El trazado se puede realizar utilizando materiales didácticos y transformaciones geométricas de gráficos. Pero, de hecho, ya he hablado varias veces en clase de la importancia del dibujo.

Generalmente en calculo integral Hay muchas aplicaciones interesantes que utilizan integral definida podrás calcular el área de una figura, el volumen de un cuerpo de revolución, longitud de arco, área de superficie de revolución y mucho más. Así que será divertido, ¡manténganse optimistas!

Imagina una figura plana plano de coordenadas. ¿Presentado? ... Me pregunto quién presentó qué... =))) Ya hemos encontrado su área. Pero además de eso esta figura También puedes rotar, y rotar de dos maneras:

– alrededor del eje de abscisas;
– alrededor del eje de ordenadas.

Este artículo examinará ambos casos. El segundo método de rotación es especialmente interesante; causa la mayor dificultad, pero en realidad la solución es casi la misma que en la rotación más común alrededor del eje x. Como beneficio adicional volveré a problema de encontrar el área de una figura, y te diré cómo encontrar el área de la segunda manera: a lo largo del eje. No es tanto una ventaja ya que el material encaja bien con el tema.

Comencemos con el tipo de rotación más popular.

figura plana alrededor de un eje

Ejemplo 1

Calcular el volumen de un cuerpo obtenido al girar una figura delimitada por líneas alrededor de un eje.

Solución: Como en el problema de encontrar el área, la solución comienza con el dibujo de una figura plana. Es decir, en el plano es necesario construir una figura delimitada por las rectas, y no olvides que la ecuación especifica el eje. En las páginas se puede encontrar cómo completar un dibujo de manera más eficiente y rápida. Gráficas y propiedades de funciones elementales. Y Integral definida. Cómo calcular el área de una figura. Este es un recordatorio chino, y en en este momento Ya no paro.

El dibujo aquí es bastante simple:

La figura plana deseada está sombreada en azul; es la que gira alrededor del eje. Como resultado de la rotación, el resultado es un platillo volante ligeramente ovoide y simétrico con respecto al eje. De hecho, el cuerpo tiene un nombre matemático, pero soy demasiado vago para aclarar algo en el libro de referencia, así que seguimos adelante.

¿Cómo calcular el volumen de un cuerpo de rotación?

El volumen de un cuerpo de revolución se puede calcular mediante la fórmula:

En la fórmula, el número debe estar presente antes de la integral. Así sucedió: todo lo que gira en la vida está conectado con esta constante.

Creo que es fácil adivinar cómo establecer los límites de integración "a" y "be" a partir del dibujo completo.

Función... ¿qué es esta función? Miremos el dibujo. La figura plana está delimitada por la gráfica de la parábola en la parte superior. Esta es la función implícita en la fórmula.

EN tareas practicas A veces se puede ubicar una figura plana debajo del eje. Esto no cambia nada: el integrando en la fórmula se eleva al cuadrado: , por lo tanto la integral siempre es no negativa, lo cual es muy lógico.

Calculemos el volumen de un cuerpo de revolución usando esta fórmula:

Como ya señalé, la integral casi siempre resulta sencilla, lo principal es tener cuidado.

Respuesta:

En su respuesta, debe indicar la dimensión: unidades cúbicas. Es decir, en nuestro cuerpo de rotación hay aproximadamente 3,35 “cubos”. ¿Por qué cúbico? unidades? porque la mayoría formulación universal. puede haber centímetros cúbicos, puede haber metros cúbicos, tal vez kilómetros cúbicos, etc., esa es la cantidad de hombrecitos verdes que tu imaginación puede poner en un platillo volante.

Ejemplo 2

Encuentra el volumen del cuerpo, formado por rotación alrededor del eje de la figura, delimitado por las líneas , ,

Este es un ejemplo para decisión independiente. Solución completa y la respuesta al final de la lección.

Consideremos dos más. tareas complejas, que también se encuentran a menudo en la práctica.

Ejemplo 3

Calcula el volumen del cuerpo que se obtiene al girar alrededor del eje de abscisas de la figura delimitada por las rectas , , y

Solución: Representaremos en el dibujo una figura plana delimitada por las rectas , , , , sin olvidar que la ecuación define el eje:

La figura deseada está sombreada en azul. Cuando gira alrededor de su eje, resulta ser un donut surrealista con cuatro esquinas.

Calculemos el volumen del cuerpo de revolución como diferencia en volúmenes de cuerpos.

Primero, miremos la figura rodeada en rojo. Cuando gira alrededor de un eje se obtiene un cono truncado. Denotaremos el volumen de este cono truncado por .

Considere la figura que está rodeada verde. Si giras esta figura alrededor del eje, también obtendrás un cono truncado, solo que un poco más pequeño. Denotemos su volumen por .

Y, obviamente, la diferencia de volúmenes es exactamente el volumen de nuestro “donut”.

Usamos la fórmula estándar para encontrar el volumen de un cuerpo de revolución:

1) La figura rodeada en rojo está delimitada arriba por una línea recta, por lo tanto:

2) La figura rodeada en verde está delimitada arriba por una línea recta, por lo tanto:

3) Volumen del cuerpo de rotación deseado:

Respuesta:

Es curioso que en en este caso La solución se puede verificar usando fórmula escolar Calcular el volumen de un cono truncado.

La decisión en sí suele estar escrita de forma más breve, algo como esto:

Ahora descansemos un poco y te hablemos de las ilusiones geométricas.

La gente suele tener ilusiones asociadas con los volúmenes, como lo notó Perelman (otro) en el libro. Geometría entretenida . Mire la figura plana en el problema resuelto: parece tener un área pequeña y el volumen del cuerpo de revolución es de poco más de 50 unidades cúbicas, lo que parece demasiado grande. Por cierto, una persona promedio bebe el equivalente a una habitación con un área de 18 en toda su vida. metros cuadrados, que, por el contrario, parece un volumen demasiado pequeño.

En general, el sistema educativo de la URSS era verdaderamente el mejor. El mismo libro de Perelman, publicado allá por 1950, desarrolla muy bien, como decía el humorista, el pensamiento y enseña a buscar el original. soluciones no estándar problemas. Recientemente releí algunos capítulos con mucho interés, lo recomiendo, es accesible incluso para humanistas. No, no hace falta que sonrías porque te ofrecí tiempo libre, la erudición y los amplios horizontes en la comunicación son algo grandioso.

Después digresión lírica es apropiado decidir tarea creativa:

Ejemplo 4

Calcula el volumen de un cuerpo formado por rotación alrededor del eje de una figura plana delimitada por las rectas , , donde .

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Tenga en cuenta que todos los casos ocurren en la banda, en otras palabras, en realidad se dan límites de integración ya establecidos. Dibuja las gráficas de funciones trigonométricas correctamente, déjame recordarte el material de la lección sobre transformaciones geométricas de gráficos: si el argumento se divide por dos: , entonces las gráficas se estiran dos veces a lo largo del eje. Es recomendable encontrar al menos 3-4 puntos. según tablas trigonométricas para completar el dibujo con mayor precisión. Solución completa y respuesta al final de la lección. Por cierto, la tarea se puede resolver de forma racional y no muy racional.

Cálculo del volumen de un cuerpo formado por rotación.
figura plana alrededor de un eje

El segundo párrafo será aún más interesante que el primero. La tarea de calcular el volumen de un cuerpo de revolución alrededor del eje de ordenadas también es un invitado bastante frecuente en pruebas. En el camino se considerará problema de encontrar el área de una figura el segundo método es la integración a lo largo del eje, esto le permitirá no solo mejorar sus habilidades, sino también enseñarle a encontrar el camino de solución más rentable. También hay un punto práctico en esto. significado de la vida! Como recordó con una sonrisa mi profesora de métodos de enseñanza de las matemáticas, muchos graduados le agradecieron con las palabras: “Tu materia nos ayudó mucho, ahora gerentes efectivos y gestionar de forma óptima a nuestro personal”. Aprovechando esta oportunidad, también le expreso mi gran agradecimiento, especialmente porque utilizo los conocimientos adquiridos en propósito directo =).

Se lo recomiendo a todo el mundo, incluso a los más tontos. Además, el material aprendido en el segundo párrafo será de gran ayuda para calcular integrales dobles..

Ejemplo 5

Dada una figura plana delimitado por líneas , , .

1) Encuentra el área de una figura plana delimitada por estas líneas.
2) Encuentra el volumen del cuerpo que se obtiene al girar alrededor del eje una figura plana delimitada por estas líneas.

¡Atención! Incluso si sólo quieres leer el segundo punto, primero Necesariamente lee el primero!

Solución: La tarea consta de dos partes. Empecemos por el cuadrado.

1) Hagamos un dibujo:

Es fácil ver que la función especifica la rama superior de la parábola y la función especifica la rama inferior de la parábola. Ante nosotros hay una parábola trivial que “está de lado”.

La figura deseada, cuyo área se encuentra sombreada en azul.

¿Cómo encontrar el área de una figura? Se puede encontrar de la forma “habitual”, que se comentó en clase. Integral definida. Cómo calcular el área de una figura. Además, el área de la figura se encuentra como la suma de las áreas:
- en el segmento ;
- en el segmento.

Es por eso:

¿Qué hay de malo en este caso? la forma habitual soluciones? En primer lugar, tenemos dos integrales. En segundo lugar, las integrales son raíces, y las raíces en las integrales no son un regalo y, además, uno puede confundirse al sustituir los límites de integración. De hecho, las integrales, por supuesto, no matan, pero en la práctica todo puede ser mucho más triste, simplemente seleccioné funciones "mejores" para el problema.

hay mas manera racional soluciones: consiste en pasar a funciones inversas e integración a lo largo del eje.

¿Cómo llegar a funciones inversas? En términos generales, es necesario expresar "x" hasta "y". Primero, veamos la parábola:

Esto es suficiente, pero asegurémonos de que se pueda derivar la misma función de la rama inferior:

Es más fácil con una línea recta:

Ahora mire el eje: incline periódicamente la cabeza hacia la derecha 90 grados mientras explica (¡esto no es una broma!). La figura que necesitamos se encuentra en el segmento, que está indicado por la línea de puntos roja. En este caso, en el segmento la línea recta se encuentra encima de la parábola, lo que significa que el área de la figura debe encontrarse utilizando la fórmula que ya conoce: . ¿Qué ha cambiado en la fórmula? Sólo una carta y nada más.

! Nota: Se deben establecer los límites de integración a lo largo del eje. estrictamente de abajo hacia arriba!

Encontrar el área:

Por tanto, en el segmento:

Tenga en cuenta cómo llevé a cabo la integración, esta es la forma más manera racional, y en el siguiente párrafo de la tarea quedará claro por qué.

Para los lectores que dudan de la exactitud de la integración, encontraré derivados:

Se obtiene la función integrando original, lo que significa que la integración se realizó correctamente.

Respuesta:

2) Calculemos el volumen del cuerpo formado por la rotación de esta figura alrededor del eje.

Volveré a dibujar el dibujo con un diseño ligeramente diferente:

Entonces, la figura sombreada en azul gira alrededor del eje. El resultado es una “mariposa flotante” que gira alrededor de su eje.

Para encontrar el volumen de un cuerpo de rotación, integraremos a lo largo del eje. Primero tenemos que ir a funciones inversas. Esto ya se ha hecho y descrito en detalle en el párrafo anterior.

Ahora volvemos a inclinar la cabeza hacia la derecha y estudiamos nuestra figura. Obviamente, el volumen de un cuerpo de rotación debe calcularse como la diferencia de volúmenes.

Giramos la figura rodeada en rojo alrededor del eje, dando como resultado un cono truncado. Denotemos este volumen por .

Giramos la figura rodeada en verde alrededor del eje y la denotamos por el volumen del cuerpo de revolución resultante.

El volumen de nuestra mariposa. igual a la diferencia volúmenes

Usamos la fórmula para encontrar el volumen de un cuerpo de rotación:

¿Cuál es la diferencia con la fórmula del párrafo anterior? Sólo en la carta.

Pero la ventaja de la integración, de la que hablé recientemente, es mucho más fácil de encontrar. , en lugar de elevar primero el integrando a la cuarta potencia.

Respuesta:

Sin embargo, no es una mariposa enfermiza.

Tenga en cuenta que si la misma figura plana se gira alrededor del eje, obtendrá un cuerpo de rotación completamente diferente, con un volumen diferente, naturalmente.

Ejemplo 6

Dada una figura plana delimitada por rectas y un eje.

1) Ir a funciones inversas y encontrar el área de una figura plana acotada por estas rectas integrando sobre la variable.
2) Calcular el volumen del cuerpo obtenido al girar alrededor del eje una figura plana delimitada por estas líneas.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Los interesados ​​también pueden encontrar el área de una figura de la forma “habitual”, comprobando así el punto 1). Pero si, repito, giras una figura plana alrededor de un eje, obtendrás un cuerpo de rotación completamente diferente con un volumen diferente, por cierto, la respuesta correcta (también para aquellos a los que les gusta resolver problemas).

Una solución completa a los dos puntos propuestos de la tarea se encuentra al final de la lección.

Sí, ¡y no olvides inclinar la cabeza hacia la derecha para comprender los cuerpos de rotación y los límites de la integración!

Cuerpos volumétricos. Mire a su alrededor y encontrará cuerpos tridimensionales por todas partes. Son formas geométricas que tienen tres dimensiones: largo, ancho y alto. Por ejemplo, para imaginar un edificio de varios pisos, basta con decir: “Esta casa tiene tres entradas de largo, dos ventanas de ancho y seis pisos de alto”. Conocido por ti desde escuela primaria cuboides y el cubo están completamente descritos en tres dimensiones. Todos los objetos que nos rodean tienen tres dimensiones, pero no todos pueden denominarse largo, ancho y alto. Por ejemplo, para un árbol podemos especificar sólo la altura, para una cuerda - la longitud, para un agujero - la profundidad. ¿Y para el balón? ¿Tiene también tres dimensiones? Decimos que un cuerpo tiene tres dimensiones (es volumétrico) si en él se puede colocar un cubo o una bola.

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Las figuras volumétricas geométricas son sólidos, que ocupan un volumen distinto de cero en el espacio euclidiano (tridimensional). Estas figuras son estudiadas por una rama de las matemáticas llamada “geometría espacial”. El conocimiento sobre las propiedades de las figuras tridimensionales se utiliza en ingeniería y ciencias naturales. En el artículo consideraremos la cuestión de las figuras geométricas tridimensionales y sus nombres.

Sólidos geométricos

Dado que estos cuerpos tienen una dimensión finita en tres direcciones espaciales, se utiliza un sistema de tres para describirlos en geometría. ejes de coordenadas. Estos ejes tienen las siguientes propiedades:

1. Son ortogonales entre sí, es decir, perpendiculares.
2. Estos ejes están normalizados, lo que significa que los vectores base de cada eje tienen la misma longitud.
3. Cualquiera de los ejes de coordenadas es el resultado. producto vectorial otros dos.

hablando de geometria figuras volumétricas y sus nombres, cabe señalar que todos pertenecen a una de 2 grandes clases:

1. Clase de poliedros. Estas figuras, según el nombre de la clase, tienen aristas rectas y caras planas. Una cara es un plano que limita una forma. El punto donde se unen dos caras se llama arista y el punto donde se unen tres caras se llama vértice. Los poliedros incluyen la figura geométrica de un cubo, tetraedros, prismas y pirámides. Para estas figuras es válido el teorema de Euler, que establece una conexión entre el número de lados (C), aristas (P) y vértices (B) de cada poliedro. Matemáticamente, este teorema se escribe de la siguiente manera: C + B = P + 2.
2. Clase de cuerpos redondos o cuerpos de revolución. Estas figuras tienen al menos una superficie que las forma que es curva. Por ejemplo, una bola, un cono, un cilindro, un toroide.

En cuanto a las propiedades de las figuras volumétricas, cabe destacar las dos más importantes:

1. La presencia de un determinado volumen que ocupa una figura en el espacio.
2. La presencia de cada figura tridimensional.

Ambas propiedades de cada figura se describen mediante fórmulas matemáticas específicas.

Consideremos a continuación las figuras volumétricas geométricas más simples y sus nombres: cubo, pirámide, prisma, tetraedro y bola.

Figura cúbica: descripción

El cubo de figura geométrica es un cuerpo tridimensional formado por 6 planos o superficies cuadradas. A esta figura también se le llama hexaedro regular, ya que tiene 6 lados, o paralelepípedo rectangular, ya que consta de 3 pares. lados paralelos, que son mutuamente perpendiculares entre sí. Se llama cubo cuya base es un cuadrado y cuya altura es igual al lado de la base.

Dado que un cubo es un poliedro o poliedro, se le puede aplicar el teorema de Euler para determinar el número de sus aristas. Sabiendo que el número de lados es 6, y el cubo tiene 8 vértices, el número de aristas es: P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12.

Si denotamos la longitud de un lado de un cubo con la letra “a”, entonces las fórmulas para su volumen y área de superficie se verán así: V = a 3 y S = 6*a 2, respectivamente.

Figura piramidal

Una pirámide es un poliedro que consta de un poliedro simple (la base de la pirámide) y triángulos que se conectan a la base y tienen uno cima común(cima de la pirámide). Los triángulos se llaman caras laterales de la pirámide.

Las características geométricas de una pirámide dependen del polígono que se encuentra en su base, así como de si la pirámide es recta u oblicua. Se entiende por pirámide recta aquella en la que una recta perpendicular a la base, trazada por la cima de la pirámide, corta a la base en su centro geométrico.

uno de pirámides simples Es una pirámide cuadrangular recta, en cuya base se encuentra un cuadrado de lado “a”, la altura de esta pirámide es “h”. Para esta figura piramidal, el volumen y el área de superficie serán iguales: V = a 2 *h/3 y S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2, respectivamente. Aplicándolo, teniendo en cuenta que el número de caras es 5 y el número de vértices es 5, obtenemos el número de aristas: P = 5 + 5 - 2 = 8.

Figura del tetraedro: descripción

La figura geométrica tetraedro se entiende como un cuerpo tridimensional formado por 4 caras. Según las propiedades del espacio, estas caras sólo pueden representar triángulos. Por tanto, un tetraedro es un caso especial de pirámide, que tiene un triángulo en su base.

Si los 4 triángulos que forman las caras de un tetraedro son equiláteros e iguales entre sí, entonces dicho tetraedro se llama regular. Este tetraedro tiene 4 caras y 4 vértices, el número de aristas es 4 + 4 - 2 = 6. Usando fórmulas estándar de geometría plana para la figura en cuestión obtenemos: V = a 3 * √2/12 y S = √3*a 2, donde a es la longitud del lado del triángulo equilátero.

Es interesante notar que en la naturaleza algunas moléculas tienen la forma tetraedro regular. Por ejemplo, una molécula de metano CH 4, en la que los átomos de hidrógeno están ubicados en los vértices del tetraedro y están conectados al átomo de carbono por medio covalente. enlaces químicos. El átomo de carbono se encuentra en el centro geométrico del tetraedro.

La forma de tetraedro, que es fácil de fabricar, también se utiliza en ingeniería. Por ejemplo, la forma tetraédrica se utiliza en la fabricación de anclas para barcos. Tenga en cuenta que sonda espacial El Mars Pathfinder de la NASA, que aterrizó en la superficie de Marte el 4 de julio de 1997, también tenía forma de tetraedro.

figura prisma

Este figura geométrica Se puede obtener tomando dos poliedros, colocándolos paralelos entre sí en diferentes planos del espacio y conectando sus vértices entre sí en consecuencia. El resultado será un prisma, dos poliedros se llaman bases y las superficies que conectan estos poliedros tendrán la forma de paralelogramos. Un prisma se llama recto si lados(paralelogramos) son rectángulos.

Un prisma es un poliedro, por lo que el teorema de Euler es válido para él. Por ejemplo, si un hexágono se encuentra en la base de un prisma, entonces el número de lados del prisma es 8 y el número de vértices es 12. El número de aristas será igual a: P = 8 + 12 - 2 = 18. Para un prisma recto de altura h, en cuya base se encuentra un hexágono regular de lado a, el volumen es igual a: V = a 2 *h*√3/4, el área de superficie es igual a: S = 3*a*(a *√3 + 2*h).

Hablando de figuras volumétricas geométricas simples y sus nombres, cabe mencionar la pelota. Por cuerpo volumétrico llamado bola se entiende aquel cuerpo que se limita a una esfera. A su vez, una esfera es un conjunto de puntos en el espacio equidistantes de un punto, al que se le llama centro de la esfera.

Dado que la bola pertenece a la clase de cuerpos redondos, no existe para ella el concepto de lados, aristas y vértices. El área de superficie de la esfera que encierra la pelota se encuentra mediante la fórmula: S = 4*pi*r 2, y el volumen de la pelota se puede calcular mediante la fórmula: V = 4*pi*r 3 /3, donde pi es el número pi (3.14), r es el radio de la esfera (bola).

Los cuerpos volumétricos se pueden obtener en una computadora. de varias maneras. El método más utilizado es conectar cuerpos base.  

El cuerpo volumétrico del paquete descrito anteriormente es, naturalmente, un esquema idealizado.  

Este cuerpo volumétrico consta de partes llamadas secciones. La primera sección está encerrada entre dos planos de nivel adyacentes que pasan a través de iso-yesos adyacentes y tiene la forma de un cono elíptico truncado. Un cuerpo volumétrico que consta de tales secciones sirve modelo geométrico capa de reservorio. A este cuerpo volumétrico lo llamaremos modelo cono-elipse de llenado de gas (modelo CG), que debe construirse de tal manera que resulte volumétricamente isomorfo al objeto, es decir. de modo que los volúmenes de la sección modelo y la parte correspondiente del embalse sean iguales.  

Si un cuerpo volumétrico se forma mediante la rotación de un área plana A alrededor de un eje que se encuentra en su plano pero que no lo corta, entonces tendrá la forma de un anillo. Deje que dicho anillo esté envuelto con un alambre, cuyas vueltas estén ubicadas en un plano que pase por el eje del anillo; entonces la función actual de la capa de alambre será igual a φ (1 / 2π) π &, donde π es numero completo vueltas, el infierno es el ángulo azimutal medido alrededor del eje del anillo.  

Los modelos de cuerpos volumétricos, resueltos tonalmente según este esquema, se muestran en la Fig. 1.5.4. Aunque el algoritmo no tiene en cuenta las sombras que caen, la expresividad general de la imagen sigue siendo bastante alta debido a la certeza de mostrar que una cara pertenece a uno u otro sistema de planos orientados ortogonalmente. Si las tres áreas mencionadas anteriormente se representan en la figura diferentes colores, entonces el efecto será aún mayor. modelo fisico semejante solución gráfica mostrado en la Fig. 1.5.5. Se basa en el principio de iluminar un objeto con tres fuentes. diferentes colores, ubicado de acuerdo con el sistema adoptado de planos ortogonales.  

Para un cuerpo sólido existente, establezca atributos, especificando el tipo de elemento finito y el material.  

En el caso de cuerpos volumétricos, este procedimiento deberá realizarse tres veces. El centro de gravedad puede estar tanto dentro como fuera del cuerpo; por ejemplo, un semianillo hecho de alambre grueso y homogéneo tiene un centro de gravedad fuera del cuerpo.  

Al representar cuerpos tridimensionales, los estudiantes suelen utilizar el método de mostrar la profundidad creando una silueta clara sobre un fondo oscuro. A veces, este método conduce a una idea errónea sobre la naturaleza de la forma volumétrico-espacial. La imagen en este caso corresponde a la naturaleza de la percepción de la forma real.  

La determinación del centro de gravedad de cuerpos volumétricos está asociada a los conceptos de plano y eje de simetría. Un plano de simetría es un plano que divide un cuerpo dado en dos mitades completamente idénticas en tamaño y forma. Por esta razón, el centro de gravedad de un cuerpo simétrico se encuentra en el plano de simetría.