También puedes utilizar el operador "nabla" para la operación:

Se tiene en cuenta aquí que producto vectorial operadores colineales es igual a cero. Se propone obtener el mismo resultado por diferenciación directa.

Del resultado obtenido se puede obtener consecuencia importante. Considere alguna curva cerrada l y estirar una superficie arbitraria sobre ella S.

Usando el teorema de Stokes, podemos escribir

Formulemos el resultado obtenido en forma de teorema:

Teorema 1. Circulación campo vectorial a lo largo de cualquier contorno cerrado es igual a cero.

Corolario 1. Integral curvilínea sobre el gradiente de la función escalar no depende de la elección de la ruta de integración y está completamente determinado por la inicial y puntos finales Líneas de integración.

Prueba. Hagamos un dibujo.

Realicemos las transformaciones más simples.

Por eso

Esto significa que integrando es diferencial completo. En consecuencia, el valor de la integral depende únicamente de la elección de los puntos A y B:

Calculemos la operación. Para ello utilizamos el conocido álgebra vectorial fórmula para el producto cruzado doble

Reescribamos esta fórmula en una forma más conveniente para nosotros.

La transformación se realiza para que en futuras fórmulas el operador “nabla” no aparezca en la última posición. En términos del operador “nabla” obtenemos

(¿Qué pasaría si usáramos la fórmula habitual para el producto cruzado doble?)

Usando la notación del operador de Laplace, podemos escribir

Tenemos un sistema de tres relaciones diferenciales escritas para los componentes del vector. F.

Analizamos las operaciones diferenciales básicas de segundo orden. En el futuro los usaremos para resolver varios problemas.

Las fórmulas de Green.

Consigamos algunas fórmulas más. general, que relacionan propiedades Varias funciones y son ampliamente utilizados en aplicaciones. Escribamos la fórmula de Gauss-Ostrogradsky.

Sean y sean dos arbitrarios. funciones escalares. Pongamos

Entonces el teorema de Gauss-Ostrogradsky toma la forma

Puedes escribir

Aquí se introduce la notación.

para la derivada de una función en dirección

Después de sustituir estas expresiones en la fórmula modificada de Gauss-Ostrogradsky, obtenemos

Esta fórmula se llama primera fórmula de Green.

Del mismo modo, si ponemos

entonces la primera fórmula de Green toma la forma

Restando fórmulas correspondientes, obtenemos

Esta fórmula se llama segunda fórmula de Green.

Utilizando las fórmulas de Green, es posible obtener conexiones entre los valores de la función en los puntos internos del volumen seleccionado y en los límites.

Teorema 1. El valor de la función en punto interno región t, limitado por la superficie S, está determinado por la fórmula

distancia entre puntos y. Prueba. Considere un punto y rodéelo con uno pequeño. superficie esférica radio

1. Conceptos básicos de la teoría de campos.

La teoría de campos subyace a muchos conceptos. física moderna, mecánica, matemáticas. Sus conceptos principales son gradiente, flujo, potencial, rotor, divergencia, circulación, etc. Estos conceptos también son importantes para dominar las ideas básicas. Análisis matemático funciones de muchas variables.

Un campo es una región G del espacio, en cada punto del cual se determina el valor de una determinada cantidad.

EN problemas físicos Suele haber dos tipos de cantidades: escalares y vectoriales. De acuerdo con esto, se consideran dos tipos de campos.

Si cada punto M de esta zona está asociado a un determinado número U(M), dicen que en

Al área se le da (define) un campo escalar. Ejemplos de campos escalares son el campo de temperatura dentro de algún cuerpo calentado (en cada punto M de este cuerpo se especifica la temperatura correspondiente U (M)), el campo

Iluminación creada por cualquier fuente de luz. Deja que el sistema se fije en el espacio.

coordenadas del punto M en este sistema de coordenadas. Los valores de la función U(x,y,z) coinciden con los valores del campoU(M),

por lo tanto, se conserva el mismo símbolo.

Si cada punto M de esta área está asociado a un determinado vector (M), dicen que

Se especifica un campo vectorial. Un ejemplo de campos vectoriales es el campo de velocidades de un flujo de fluido estacionario. Se define de la siguiente manera: sea la región G la que esté llena de líquido que fluye en cada punto con

cierta velocidad v, independiente del tiempo (pero

diferentes, en términos generales, en diferentes puntos); Al asignar el vectorv (M) a cada punto M de G, obtenemos un campo vectorial llamado campo de velocidades.

Si a(M) es algún campo vectorial en

espacio, luego tomando un sistema de coordenadas cartesiano rectangular fijo en este espacio, podemos

representar a(M) como un triple ordenado de escalar

funciones: a (M) = (P (x,y,z),Q (x,y,z),R (x,y,z)). Estos

Si la función U (M) (o a (M)) no depende de

tiempo, entonces el campo escalar (vectorial) se llama estacionario; un campo que cambia con el tiempo se llama no estacionario. A continuación consideraremos solo campos estacionarios.

2. Características básicas de los campos escalares y vectoriales.

Un vector cuyas coordenadas son los valores de las derivadas parciales de la función U (x,y,z) en el punto

M (x,y,z) se llama gradiente de la función y denota

Se sabe que el gradiente en el punto M establece la dirección del aumento más rápido de la función U (x,y,z). Dicen que el campo escalar U genera

campo de gradiente vectorial U.

Línea de gradiente campo escalar U(M) se llama

cualquier curva cuya tangente en cada punto se dirige a lo largo de gradU en ese punto.

Por tanto, las líneas de gradiente de campo son aquellas líneas a lo largo de las cuales el campo cambia más rápidamente.

Para formular otra propiedad del gradiente, recordemos la definición de superficie nivelada.

Superficie nivelada funciones (campos)U =U (x,y,z)

es la superficie sobre la cual se conserva la función (campo) valor constante. La ecuación de la superficie nivelada tiene la forma U (x,y,z) =C.

Por tanto, en cada punto del campo, el gradiente se dirige a lo largo de la normal a la superficie nivelada que pasa por este punto.

Flujo Π del campo vectoriala = (P,Q,R) a través de

la superficie σ se llama integral de superficie

∫∫ (P cosα + Q cosβ + R cosγ )dS

o, en resumen, ∫∫ a n dS, donde hasta n = (cosα, cosβ, cosγ)

designada vector unitario normal a la superficie σ, definiendo su lado.

son continuos, entonces

3. Fórmulas de Stokes y Ostrogradsky-Gauss

Denotemos por L un cierto contorno cerrado, y σ la superficie abarcada por este contorno.

Se supone que la elección de la dirección en el contorno es consistente con la elección del lado de la superficie (al atravesar el contorno en la dirección seleccionada, el lado seleccionado está a la izquierda).

La fórmula de Stokes dice que la circulación de un campo vectorial a lo largo de un determinado contorno es igual al flujo del rotor del campo vectorial a través de una superficie extendida sobre este contorno.

Sea ahora Ω algo cerrado área limitada, aσ es el límite de esta área. Entonces es justo

σ Ω

Recuerde que la integral de superficie en el lado izquierdo de la fórmula (5) se toma de acuerdo con afuera superficie σ.

La fórmula de Ostrogradsky-Gauss significa que integral triple sobre el área de la divergencia del campo vectorial igual al flujo de este campo a través de la superficie que limita esta área.

4. Operador de Hamilton. Algunos tipos de campos escalares y vectoriales.

El matemático y mecánico inglés Hamilton introdujo el operador diferencial vectorial

llamó el operador de nabla.

Cabe señalar de inmediato que la analogía entre un vector simbólico y vectores "reales" no es

completo. Es decir, las fórmulas que contienen un vector simbólico son similares a las fórmulas de álgebra vectorial ordinaria si no contienen productos. variables(escalar y vectorial), es decir, hasta tener que aplicar las diferenciaciones incluidas en las operaciones al producto de cantidades variables.

Usando el vector nabla, gradiente de campo escalar

La conveniencia de introducir un vector simbólico radica en el hecho de que con su ayuda es conveniente obtener y escribir. varias fórmulas análisis vectorial.

Demostrémoslo con ejemplos.

Problema 1. Demuestre que el rotor del gradiente del campo escalar U (M) es igual a 0, es decir, rot(gradU) = 0.

Primero demostremos esta igualdad sin utilizar el operador de Hamilton. De este modo,

∂ ∂

= ∂ x∂ y∂ U∂ U

∂x∂y

ya que, según el teorema de Schwarz, las derivadas mixtas continuas son iguales.

Ahora, usando la forma de escribir el gradiente (7) y el rotor (9), tenemos rot(gradU) =× U.

Dado que el vector U (el producto del vector y el escalar U) es colineal con el vector, entonces su vector

el producto es 0.

Tarea 2. Escribe la divergencia del gradiente del campo escalar div(gradU ) usando.

Formando una divergencia con gradU, obtenemos

= ∂ 2 U + ∂ 2 U + ∂ 2 U . ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Laplace y se denota con el símbolo:

= ∂ 2+ ∂ 2+ ∂ 2. ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Dado que el cuadrado escalar del vector igual al cuadrado su módulo, entonces = 2. Por lo tanto, div(gradU) =2 U.

El campo vectorial a (M) se llama potencial,

si se puede representar como el gradiente de algún campo escalar U(M):

a = graduado.

El propio campo escalar U se llama potencial de campo vectoriala.

Para que el campo vectorial a(M) sea

Se ha demostrado la necesidad de cumplir con la igualdad (10) (ver el Problema 1 discutido anteriormente).

El potencial de campo vectorial se puede encontrar usando la fórmula

donde (x 0, y 0, z 0) - punto arbitrarioáreas G.

Campo vectorial a(M), cuya divergencia

idénticamente igual a cero, se llama solenoidal (tubular).

Para formular uno de las propiedades más importantes campo solenoidal, introducimos los conceptos de línea vectorial y tubo vectorial.

Una recta L situada en G se llama vector.

recta si en cada punto de esta recta la dirección de la tangente coincide con la dirección del campo vectorial en este punto.

Se sabe que una recta vectorial es una curva integral de un sistema de ecuaciones diferenciales.

En particular, si un campo vectorial es un campo de velocidades de un flujo de fluido estacionario, entonces sus líneas vectoriales son las trayectorias de las partículas de fluido.

Un tubo vectorial es un conjunto cerrado Φ de puntos en una región G, en el que se especifica un campo vectorial a (M), de modo que en todas partes de su superficie límite el vector normal n es ortogonal a (M).

Un tubo vectorial consta de líneas de campo vectoriales a(M). Una línea vectorial está completamente contenida en Φ si

un punto de la recta está contenido en Φ.

La intensidad del tubo Φ en una sección es el flujo de campo (M) a través de esta sección.

Si el campo es solenoidal, entonces se cumple la ley de conservación de la intensidad del tubo vectorial.

Para el campo de velocidades v(M) de un fluido incompresible en ausencia de sumideros y fuentes (es decir, bajo la condición divv(M) = 0), la ley de conservación de la intensidad del vector

Los tubos se pueden formular de esta manera: la cantidad de líquido que fluye por unidad de tiempo a través de una sección transversal de un tubo vectorial es la misma para todas sus secciones.

A continuación se muestran algunos tareas tipicas con soluciones.

Tarea 3. Encuentra superficies a nivel de campo escalar

U (M) = x2 + y2 − z.

Las superficies niveladas son una familia de paraboloides elípticos cuyo eje de simetría es el eje de Oz.

Tarea 4.

En el campo escalar U (M ) = xy 2 + z 2 encuentre

gradiente en el punto M 0 (2,1,− 1).

Encontremos los valores

Derivadas parciales

U (M) en el punto M 0:

∂U

|M 0 =y 2 |M 0 = 12 = 1,

∂U

|M 0 = 2xy |M 0 = 2 2 1 = 4,

∂x

∂y

∂U

2 (− 1) =− 2.

∂z

Por eso,

graduadoU (M 0 ) =s yo + 4s j - 2k s .

Calcular la divergencia de un campo vectorial.

a(M) = 2 xy2 i− yz j+ 3 z2 k

en el punto M 0 (1, − 2,1) .

P = 2xy 2 ,Q =− yz ,R = 3z 2 . Encontremos el valor

derivadas parciales correspondientes en el punto M 0:

∂P|

2 y 2 |

2 (− 2)2 = 8,

∂Q

= − z |

= − 1,

∂x

∂y

Rotor (matemáticas) Rotor, o vórtice- operador diferencial vectorial sobre un campo vectorial. Designada (en la literatura en idioma ruso) o (en literatura inglesa), y también como multiplicación vectorial del operador diferencial por un campo vectorial: El resultado de la acción de este operador en un campo vectorial específico. F llamado rotor de campo F o, en resumen, simplemente rotor F y representa un nuevo campo vectorial: campo de podredumbre F(longitud y dirección de la descomposición del vector F en cada punto del espacio) caracteriza en cierto sentido la componente rotacional del campo F respectivamente en cada punto. Imagen intuitiva Si v(x,y,z) es el campo de velocidad del gas (o flujo de líquido), entonces pudrirse v- un vector proporcional al vector de velocidad angular de una mota de polvo (o bola) muy pequeña y ligera situada en el flujo (y arrastrada por el movimiento del gas o del líquido; aunque el centro de la bola se puede fijar si se desea, como siempre que pueda girar libremente a su alrededor). Específicamente pudrirse v = 2 ω , Dónde ω - esta velocidad angular. Para ver una ilustración sencilla de este hecho, consulte a continuación. Esta analogía puede formularse de manera bastante estricta (ver más abajo). La definición básica mediante circulación (que figura en el párrafo siguiente) puede considerarse equivalente a la obtenida de esta manera. Definición matemática El rizo de un campo vectorial es un vector cuya proyección en cada dirección norte es el límite de la relación de circulación de un campo vectorial a lo largo de un contorno l, que es el borde del área plana Δ S, perpendicular a esta dirección, al tamaño de esta área, cuando las dimensiones del área tienden a cero y el área misma se contrae hasta un punto: . La dirección de recorrido del contorno se elige de modo que, mirando en esa dirección, el contorno l caminó en el sentido de las agujas del reloj. En tres dimensiones sistema cartesiano Las coordenadas del rotor (como se define arriba) se calculan de la siguiente manera (aquí F- denota un determinado campo vectorial con componentes cartesianos, y - vectores unitarios de coordenadas cartesianas): Por conveniencia, podemos representar formalmente el rotor como un producto vectorial del operador nabla (a la izquierda) y el campo vectorial: (La última igualdad representa formalmente el producto vectorial como determinante). Definiciones relacionadas Un campo vectorial cuyo rotor igual a cero en cualquier punto se llama irrotacional y es potencial. Dado que estas condiciones son necesarias y suficientes entre sí, ambos términos son sinónimos prácticos. (Sin embargo, esto es cierto sólo para el caso de campos definidos en un dominio simplemente conectado). Para obtener un poco más de detalle sobre la condicionalidad mutua de la potencialidad y la naturaleza irrotacional del campo, consulte más abajo (Propiedades básicas). Por el contrario, un campo cuyo curl no es igual a cero se suele llamar vórtice , tal campo no puede ser potencial. Generalización La generalización más directa del rotor aplicada a campos vectoriales (y pseudovectoriales) definidos en espacios de dimensión arbitraria (siempre que la dimensión del espacio coincida con la dimensión del vector de campo) es la siguiente: con índices metro Y norte de 1 a la dimensión del espacio. Esto también se puede escribir como un producto externo: En este caso, el rotor es un campo tensor antisimétrico de valencia dos. En el caso de la dimensión 3, la convolución de este tensor con el símbolo de Levi-Civita da definición habitual rotor tridimensional dado en el artículo anterior. Para un espacio bidimensional, además, si se desea, se puede utilizar una fórmula similar con un producto pseudoescalar (dicho rotor será un pseudoescalar coincidiendo con la proyección del producto vectorial tradicional sobre un eje ortogonal al espacio bidimensional dado espacio (si consideramos que el espacio bidimensional está incrustado en algún espacio tridimensional, de modo que el producto vectorial tradicional tiene significado). Las características más importantes de un campo vectorial son el rotor y la divergencia. En este párrafo veremos descripción matemática estas características de los campos vectoriales y métodos para calcularlos mediante operaciones diferenciales. En este caso utilizaremos únicamente el sistema de coordenadas cartesiano. Más definición completa divergencia y rotor y sus significado fisico Lo veremos en el próximo capítulo. Más adelante consideraremos el cálculo de estas cantidades en sistemas de coordenadas curvilíneos. Consideremos un campo vectorial definido en un espacio tridimensional. Definición 1. La divergencia de un campo vectorial es un número que está definido por la expresión Se supone que existen las correspondientes derivadas parciales en el punto considerado. La divergencia de un campo vectorial, al igual que el gradiente, se puede escribir usando el operador nabla Aquí la divergencia se representa como producto escalar vectores y F. Observemos sin pruebas que la divergencia describe la densidad de fuentes que crean el campo. Ejemplo 1. Calcular la divergencia de un campo vectorial en un punto. Definición 2. La curvatura de un campo vectorial es un vector que está definido por la expresión Tenga en cuenta que en la suma presentada, los índices en términos adyacentes cambian según la regla de permutación circular, teniendo en cuenta la regla. El rizo de un campo vectorial se puede escribir usando el operador nabla Un rotor caracteriza la tendencia de un campo vectorial a girar o arremolinarse, por lo que a veces se le llama vórtice y se designa rizoF. Ejemplo 1. Calcule la curvatura de un campo vectorial en un punto. A veces resulta necesario calcular el gradiente de un campo vectorial. En este caso, se calcula el gradiente de cada componente del campo vectorial. El resultado es un tensor de segundo rango, que determina el gradiente del vector. Este tensor puede ser descrito por la matriz. Para describir tales objetos es conveniente utilizar la notación tensorial. creyendo. El uso de métodos tensoriales simplifica Operaciones matemáticas sobre tales objetos. En el curso "Fundamentos del análisis tensorial", que se imparte en paralelo al curso "Capítulos adicionales de matemáticas superiores", se ofrece una presentación detallada del aparato de cálculo tensorial. Ejemplo 1. Calcular el gradiente de un campo vectorial. Solución. Para los cálculos utilizamos notación tensorial. Tenemos Aquí el símbolo de Kronecker es la matriz de identidad. Ejemplo 2. Calcule el gradiente del campo escalar y compare las expresiones y. Algunas propiedades del operador nabla Anteriormente presentamos el operador de diferenciación de vectores. Usando este operador hemos escrito las operaciones diferenciales básicas en campos tensoriales: El operador es una generalización del operador de diferenciación y tiene las propiedades correspondientes de la derivada: 1) la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas 2) multiplicador constante Se puede sacar como señal de operador. Traducido al lenguaje de las funciones vectoriales, estas propiedades tienen la forma: Estas fórmulas se derivan de la misma manera que las fórmulas correspondientes para las derivadas de una función de una variable. Usar el operador de Hamilton nos permite simplificar muchas operaciones relacionadas con la diferenciación en campos tensoriales. Sin embargo, tenga en cuenta que este operador es un operador vectorial y debe manejarse con cuidado. Veamos algunas aplicaciones de este operador. En este caso, las fórmulas correspondientes se escriben tanto utilizando el operador de Hamilton como en notación convencional. ¿Te gustó el artículo? ¡Compartir con tus amigos! Compartir en Facebook Leer también Sobre la solución de sistemas degenerados y mal condicionados de ecuaciones algebraicas lineales. Solución de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones no lineales. ¿Cómo puede explicarle fácilmente a su hijo la suma y resta de números de dos dígitos? ¿Cuáles son las propiedades y el nombre de la sustancia NH3? 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