Y ahora, como podrás entender por el título del artículo, hablaremos de suma.
Sin la operación de suma es difícil imaginar nuestra vida moderna, porque la suma se usa en casi todas partes. Por ejemplo, debe calcular el precio total de todos los productos en una canasta o la cantidad de frutas en la mesa. La suma está literalmente dondequiera que mires. Por lo tanto ella es operación básica y necesitas dominarlo a la perfección. Empecemos.
a+b=c
Los ejemplos más simples están en las manzanas. Vasya tenía 3 manzanas y Petya tenía 2 manzanas. Si Petya le da a Vasya 2 manzanas, ¿cuántas tendrá Vasya? La respuesta es obvia, ¿verdad? Serán 5 de ellos.
a– Vasya tenía manzanas al principio.
b– Petya originalmente tenía manzanas.
C– Vasya tiene manzanas después del traslado.
Pongámoslo en la fórmula: 2 + 3 = 5 ;
Tipos de adiciones
Realizar suma en línea[habrá un simulador adicional]
Sumar números
Sumar números es muy sencillo incluso para escolares y algunos niños en edad preescolar. La suma es la suma de dos o más números. Por ejemplo, 2 + 3 = 5, y gráficamente se puede representar así:
Los números grandes se dividen en partes, tomemos el número 1234, y en él: 4 unidades, 3 decenas, 2 centenas, 1 mil. Entonces, si sumamos 4 a 7, entonces 4+7=10+1, es decir, 1 decena y 1 unidad. Si al sumar números en un lugar (unidades, por ejemplo), tienes un número mayor que 10, pero menor que 20, entonces sumas uno a la decena, y dejas el resto en lugar de las unidades.
Otro ejemplo: 8+9, obtenemos 10+7, lo que significa que sumamos 1 a las decenas y escribimos 7 en lugar de las unidades, obtenemos 17.
Siguiente ejemplo: digamos 16+5. Aquí el número 16 tiene 1 decena y 6 unidades. A estos sumamos 5 unidades más. Recuerda que 1 decena son diez unidades. Esto quiere decir que hasta 20, a 16 les faltan 4 unidades. Obtenemos 20+1. Resultado: 21.
Las operaciones con centenas y miles se realizan de la misma forma:
Por ejemplo, 61+47. Cien = diez decenas. Imaginemos los términos como 60+1 y 40+7. Obtenemos 60+40 y 1+7, ya que 6+4 = 10, luego 60+40 = 100, entonces obtenemos cien y 1+7 = 8. Resultado: 100+8=108.
Acelerar el conteo mental
Sumar fracciones
Imaginemos un círculo de pizza. La pizza es un entero, pero si la cortamos por la mitad nos sale algo menos de uno, ¿no? Media unidad. ¿Cómo escribir esto?
½, entonces designamos la mitad de una pizza entera, y si dividimos la pizza en 4 partes iguales, cada una de ellas se denominará ¼. Etcétera…
Sumar fracciones, ¿cómo es?
Es sencillo. Agreguemos ¼ a ¼ -oh. Al sumar, es importante que el denominador (4) de una fracción coincida con el denominador de la segunda. (1) – llamado numerador.
La fracción 2/4 se puede convertir a la forma ½.
¿Por qué? ¿Qué es una fracción? ½ = 1:2, y si divides 2 entre 4, entonces esto es lo mismo que dividir 1 entre 2. Por lo tanto, la fracción 2/4 = 1/2.
Sumar fracciones con diferentes denominadores
Si te encuentras con fracciones como ½ + ¼, entonces debes reducirlas a un denominador común. Entre estos denominadores, el mayor es 4. Como 2 se puede duplicar y obtener 4, obtenemos la fracción 2/4 de la fracción ½. Cuando se multiplica el numerador, también se multiplica el denominador. Obtenemos 2/4 +1/4 = 3/4.
Sumar denominadores
Quizás te refieres a sumar fracciones, luego sus denominadores se reducen a un común y nuevamente se suman los numeradores, los denominadores solo aumentan.
Suma de numeradores
Suma de números mixtos
¿Qué es un número mixto? Este es un número entero con parte fraccional. Es decir, si el numerador menor que el denominador– entonces la fracción es menor que uno, y si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción es mayor que uno. Un número mixto es una fracción que es mayor que uno y tiene un resaltado Toda una parte:
Propiedades de la suma
Conmutativo: a + b = b + a. Cambiar los lugares de los términos no cambia la suma.
Combinativo: a + b + c = a + (b + c). La suma no cambia si cualquier grupo de términos adyacentes se reemplaza por su suma.
un + 0 = 0 + un = un.
Sumar cero a un número no cambia ese número.
Adición de límites
Agregar límites no es difícil. Aquí basta con una fórmula simple, que dice que si el límite de la suma de funciones tiende al número a, entonces esto es equivalente a la suma de estas funciones, cuyo límite de cada una de las cuales tiende al número a.
Lección adicional
La suma es operación aritmética, durante el cual se suman dos números y su resultado será uno nuevo: el tercero.
La fórmula de la suma se expresa de la siguiente manera: a+b=c.
Puede encontrar ejemplos y tareas a continuación.
En sumando fracciones cabe recordar que:
Entonces, sumémoslo. Nos aseguramos de que los denominadores fueran iguales. Luego sumamos los numeradores (1+1)/4, así obtenemos 2/4. ¡Al sumar fracciones, solo se suman los numeradores!
Si te encuentras con una suma de fracciones, por ejemplo, 1/3 y 1/2, tendrás que multiplicar no una fracción, sino ambas, para llevarla a un denominador común. La forma más sencilla de hacer esto es multiplicar la primera fracción por el denominador de la segunda y la segunda fracción por el denominador de la primera, obtenemos: 2/6 y 3/6. Suma (2+3)/6 y obtén 5/6.
Dada la fracción 7/4, encontramos que 7 es mayor que 4, lo que significa que 7/4 es mayor que 1. ¿Cómo seleccionar la parte entera? (4+3)/4, entonces obtenemos la suma de las fracciones 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Resultado: un entero, tres cuartos.
construir 1er grado
El primer grado es el comienzo y no todos los niños saben contar. La formación debe llevarse a cabo en forma de juego. En primer grado, la suma siempre comienza con ejemplos simples sobre manzanas, dulces, peras. Este método se utiliza por una razón, sino porque a los niños les encanta que jueguen con ellos. Y esta no es la única razón. Los niños han visto manzanas, dulces y cosas similares muy a menudo en sus vidas y se han ocupado de la transferencia y la cantidad, por lo que enseñarles a sumar tales cosas no será difícil.
A los niños de primer grado se les ocurren una gran variedad de problemas de suma, por ejemplo:
Tarea 1. Por la mañana, mientras caminaba por el bosque, el erizo encontró 4 hongos y por la noche 2 más. ¿Cuántos hongos tenía el erizo al final del día?
Tarea 2. 2 pájaros volaron por el cielo de una ciudad a otra, y una hora después se les unieron 3 más. ¿Cuántos pájaros vuelan ahora?
Tarea 3. La escalera tenía un largo de 2, pero el dueño pensó que era corta, así que la alargó otro 1. ¿Cuánto mide ahora la escalera?
Tarea 4. Roma anotó 3 goles y Sasha 4. Si Roma le da a Sasha todas sus pelotas, ¿cuántas tendrá Sasha?
Los alumnos de primer grado resuelven principalmente problemas en los que la respuesta es un número del 1 al 10.
construir 2do grado
En segundo grado, las tareas son más complejas y requerirán más actividad mental por parte del niño.
Tareas numéricas:
Números de un solo dígito:
Cifras dobles:
Problemas de palabras
Misha tiene ahora 18 años. ¿Qué edad tendrá dentro de 5 años? ¿Y después de los 16?
Durante el verano, Masha leyó 3 libros. El primer libro tenía 23 páginas, el segundo 41 páginas y el tercero 12 páginas. ¿Cuántas páginas leyó Masha en total?
El sastre confeccionó 3 faldas. Para cada falda necesitaba 13 metros de tela. ¿Cuánta tela usó el sastre en total?
Los trabajadores estaban reparando la carretera, que inicialmente tenía 27 metros de largo. Los trabajadores de un lado lo ampliaron 18 metros y del otro lado otros 16 metros. ¿En qué se ha convertido? largo total carreteras después de su reparación?
El primer día los turistas caminaron 17 km y el segundo día otros 22. ¿Cuántos km caminaron en 2 días?
Pasha y su abuela fueron a la tienda a comprar verduras. En el camino de regreso, Pasha llevaba una bolsa de patatas que pesaba 5 kg y la abuela llevaba repollo y tomates que pesaban 12 kg cada uno. ¿Cuántos kg de verduras trajeron la abuela y Pasha de la tienda?
Tanya regaló 2 ramos a sus profesores favoritos el 1 de septiembre. El primer ramo tenía 13 claveles y el segundo ramo tenía 4 más. ¿Cuántos claveles dio Tanya?
Vanya quiere recibir un cuaderno y un cuaderno para su cumpleaños. ¿Cuánto dinero necesita papá para un regalo si el cuaderno cuesta 18 rublos y Computadora portátil 51 rublos?
Construir 3-4 grado
La esencia de la suma en los grados 3-4 es la suma en columnas de números grandes.
¿Cómo doblar en una columna? Veamos un ejemplo:
En primer lugar, escribimos los números uno debajo del otro, y a la izquierda entre ellos ponemos un signo “+”, que significa suma. Hagámoslo de esta manera:
Ahora suma el número de abajo al de arriba. Primero sumamos 1 y 8. 1+8=9.
3+7 y otra decena de la columna anterior +1: 3+7+1. Resulta 11, escribe 1 y transfiere la decena a la siguiente columna nuevamente: 6+1 = 7.
Ahora escribamos el ejemplo en una línea:
Total: 6748+381=7129
Construir quinto grado
En quinto grado, los niños comienzan a sumar fracciones con denominadores iguales y diferentes. Recuerdo las reglas:
1. Se suman numeradores, no denominadores.
Entonces, sumémoslo. Nos aseguramos de que los denominadores fueran iguales. Luego sumamos los numeradores (1+1)/4, así obtenemos 2/4. ¡Al sumar fracciones, solo se suman los numeradores!
2. Para realizar la suma, asegúrese de que los denominadores sean iguales.
Si te encuentras con una suma de fracciones, por ejemplo, 1/3 y 1/2, tendrás que multiplicar no una fracción, sino ambas, para llevarla a un denominador común. La forma más sencilla de hacer esto es multiplicar la primera fracción por el denominador de la segunda y la segunda fracción por el denominador de la primera, obtenemos: 2/6 y 3/6. Suma (2+3)/6 y obtén 5/6.
3. La reducción de una fracción se realiza dividiendo el numerador y el denominador entre mismo número.
La fracción 2/4 se puede convertir a la forma ½. ¿Por qué? ¿Qué es una fracción? ½ = 1:2, y si divides 2 entre 4, entonces esto es lo mismo que dividir 1 entre 2. Por lo tanto, la fracción 2/4 = 1/2.
4. Si la fracción es mayor que uno, entonces se puede seleccionar la parte entera.
Dada la fracción 7/4, encontramos que 7 es mayor que 4, lo que significa que 7/4 es mayor que 1. ¿Cómo seleccionar la parte entera? (4+3)/4, entonces obtenemos la suma de las fracciones 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Resultado: un entero, tres cuartos.
adición de sexto grado
La suma de sexto grado es la suma. fracciones complejas y sumando números con diferentes signos, que aprenderás en nuestro artículo Resta.
Presentación adicional
tabla de suma
También puedes utilizar una tabla de suma si aún te resulta difícil contar por tu cuenta.
para sumar dos números de un solo dígito, simplemente encuentra uno verticalmente y el otro horizontalmente:
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Ejemplos de suma
En la imagen puedes ver ejemplos de suma. números de dos dígitos, tres números de dos dígitos y ejemplos en los que es necesario insertar un número para que haya una respuesta correcta:
Juegos para desarrollar la aritmética mental.
Los juegos educativos especiales elaborados con la participación de científicos rusos de Skolkovo ayudarán a mejorar las habilidades conteo oral de una manera lúdica e interesante.
Juego "Suma rápida"
Un juego " Adición rápida» desarrolla el pensamiento y la memoria. El punto principal Juegos para seleccionar números cuya suma sea igual a un número dado. En este juego se da una matriz del uno al dieciséis. Encima de la matriz está escrito para numero dado, debe seleccionar los números en la matriz para que la suma de estos números sea igual al número dado. Si respondiste correctamente, sumas puntos y continúas jugando.
Juego "Recarga rápida de adición"
El juego "Reinicio rápido de la suma" desarrolla el pensamiento, la memoria y la atención. El objetivo principal del juego es elegir los términos correctos, cuya suma será igual al número dado. En este juego, se dan tres números en la pantalla y se da una tarea, sumar el número, la pantalla indica qué número se debe sumar. Eliges entre tres números. los números que necesitas y presiónelos. Si respondiste correctamente, obtendrás puntos y continuarás jugando.
Juego "Conteo rápido"
El juego "conteo rápido" te ayudará a mejorar tu pensamiento. La esencia del juego es que en la imagen que se te presenta tendrás que elegir la respuesta "sí" o "no" a la pregunta "¿Hay 5 frutas idénticas?" Sigue tu objetivo y este juego te ayudará con esto.
Juego de geometría visual
Un juego " Geometría visual» desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es contar rápidamente la cantidad de objetos sombreados y seleccionarlos de la lista de respuestas. En este juego, los cuadrados azules se muestran en la pantalla durante unos segundos, debes contarlos rápidamente y luego se cierran. Hay cuatro números escritos debajo de la tabla, debes elegir uno número correcto y haga clic en él con el ratón. Si respondiste correctamente, sumas puntos y continúas jugando.
Juego "Alcancía"
El juego Piggy Bank desarrolla el pensamiento y la memoria. El objetivo principal del juego es elegir qué alcancía usar. mas dinero.En este juego hay cuatro alcancías, debes contar cuál alcancía tiene más dinero y mostrar esta alcancía con el mouse. Si respondiste correctamente, obtendrás puntos y continuarás jugando.
Juego "Matrices matemáticas"
"Matrices matemáticas" es genial. ejercicio cerebral para niños lo cual le ayudará a desarrollar su trabajo mental, cálculo mental, búsqueda rápida Componentes necesarios, cuidado. La esencia del juego es que el jugador tiene que encontrar un par de los 16 números propuestos que sumen un número determinado, por ejemplo en la imagen de abajo el número dado es "29" y el par deseado es "5". y “24”.
Juego "Comparaciones matemáticas"
Un gran juego con el que podrás relajar tu cuerpo y tensar tu cerebro. La captura de pantalla muestra un ejemplo de este juego, en el que habrá una pregunta relacionada con la imagen y deberás responder. El tiempo es limitado. ¿Cuánto tiempo tendrás para responder?
Desarrollo de una aritmética mental fenomenal.
En el artículo analizamos el tema de sumar números, fracciones, Numeros mezclados. Se describieron las reglas de la suma y se dieron ejemplos, ejercicios y problemas. Y esto es solo la punta del iceberg. Para entender mejor las matemáticas, apúntate a nuestro curso: Acelerando la aritmética mental - NO aritmética mental.
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Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ...las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas...estuvieron involucrados en el estudio del tema. Análisis matemático, teoría de conjuntos, nueva física y enfoques filosóficos; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.
Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. CON punto fisico Desde una perspectiva, parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.
Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre con velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".
¿Cómo evitar esta trampa lógica? Quédate ahí unidades constantes mediciones de tiempo y no vaya a recíprocos. En el lenguaje de Zenón se ve así:
En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero no lo es solución completa Problemas. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:
Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.
en esta aporía paradoja lógica se puede superar de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos espacio en un momento dado, pero es imposible determinar el hecho del movimiento a partir de ellos (naturalmente, todavía se necesitan datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará). Lo que quiero señalar Atención especial, es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.
miércoles, 4 de julio de 2018
Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.
Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Que lógica tan absurda seres sensibles nunca entiende. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.
Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.
No importa cómo los matemáticos se escudan detrás de la frase “jódeme, estoy en casa”, o más bien “estudios de matemáticas conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta indisolublemente con la realidad. Este cordón umbilical es el dinero. Aplicar teoría matemática conjuntos para los propios matemáticos.
Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Le explicamos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.
En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Luego empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes números de billete, por lo que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: en diferentes monedas hay diferentes cantidades lodo, estructura cristalina y la disposición de los átomos en cada moneda es única...
Y ahora tengo más interés preguntar: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.
Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cual es correcta? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.
Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder a una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".
domingo, 18 de marzo de 2018
La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.
¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.
Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de números. numero dado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.
1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.
2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.
3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.
4. Suma los números resultantes. Eso sí que son matemáticas.
La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” impartidos por chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.
Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas En cálculo, la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con el gran número 12345, no quiero engañarme, consideremos el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.
Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.
El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.
El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a resultados diferentes después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.
¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.
¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?
Mujer... El halo de arriba y la flecha de abajo son masculinos.
Si una obra de arte de diseño así aparece ante sus ojos varias veces al día,
Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:
Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: un signo menos, el número cuatro, una designación de grados). Y no creo que esta chica sea estúpida, no conocedor de fisica. Ella simplemente tiene un estereotipo de percepción. imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.
1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.
Las expresiones fraccionarias son difíciles de entender para un niño. La mayoría de la gente tiene dificultades con. Al estudiar el tema “suma de fracciones con números enteros”, el niño cae en un estupor y le resulta difícil resolver el problema. En muchos ejemplos, antes de realizar una acción, se deben realizar una serie de cálculos. Por ejemplo, convertir fracciones o convertir una fracción impropia en una fracción propia.
Expliquemoslo claramente al niño. Cogemos tres manzanas, dos de las cuales estarán enteras, y cortamos la tercera en 4 partes. Separa una rodaja de la manzana cortada y coloca las tres restantes junto a dos frutas enteras. Nos salen ¼ de manzana por un lado y 2 ¾ por el otro. Si las combinamos obtenemos tres manzanas. Intentemos reducir 2 ¾ manzanas a ¼, es decir, quitamos otra rodaja, obtenemos 2 2/4 manzanas.
Echemos un vistazo más de cerca a las operaciones con fracciones que contienen números enteros:
Primero, recordemos la regla de cálculo para expresiones fraccionarias con un denominador común:
A primera vista, todo es fácil y sencillo. Pero esto sólo se aplica a expresiones que no requieren conversión.
Cómo encontrar el valor de una expresión donde los denominadores son diferentes
En algunas tareas necesitas encontrar el significado de una expresión donde los denominadores son diferentes. Veamos un caso concreto:
3 2/7+6 1/3
Encontremos el valor expresión dada, para esto encontramos para dos fracciones común denominador.
Para los números 7 y 3, esto es 21. Dejamos las partes enteras iguales y llevamos las partes fraccionarias a 21, para esto multiplicamos la primera fracción por 3, la segunda por 7, obtenemos:
21/06+21/07, no olvide que las partes enteras no se pueden convertir. Como resultado, obtenemos dos fracciones con el mismo denominador y calculamos su suma:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
¿Qué pasa si el resultado de la suma es una fracción impropia que ya tiene una parte entera?
2 1/3+3 2/3
EN en este caso Sumamos las partes enteras y fraccionarias y obtenemos:
5 3/3, como sabes, 3/3 es uno, lo que significa 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Encontrar la suma está todo claro, veamos la resta:
De todo lo dicho se desprende la regla para operaciones con números mixtos:
- Si necesitas restar un número entero de una expresión fraccionaria, no necesitas representar el segundo número como una fracción; basta con realizar la operación solo en las partes enteras.
Intentemos calcular nosotros mismos el significado de las expresiones:
vamos a solucionarlo ejemplo de más detalles bajo la letra "m":
4 5/11-2 8/11, el numerador de la primera fracción es menor que el de la segunda. Para hacer esto, tomamos prestado un número entero de la primera fracción, obtenemos,
3 5/11+11/11=3 entero 16/11, resta la segunda a la primera fracción:
3 16/11-2 8/11=1 entero 8/11
- Tenga cuidado al completar la tarea, no olvide convertir fracciones impropias en fracciones mixtas, resaltando la parte completa. Para hacer esto, necesitas dividir el valor del numerador por el valor del denominador, luego lo que sucede toma el lugar de la parte entera, el resto será el numerador, por ejemplo:
19/4=4 ¾, comprobemos: 4*4+3=19, el denominador 4 permanece sin cambios.
Resumir:
Antes de iniciar una tarea relacionada con fracciones, es necesario analizar qué tipo de expresión es, qué transformaciones se deben realizar sobre la fracción para que la solución sea correcta. busca mas manera racional soluciones. No vayas por el camino difícil. Planifica todas las acciones, resuélvelas primero en forma de borrador y luego transfiérelas a tu cuaderno escolar.
Para evitar confusiones al resolver expresiones fraccionarias, debes seguir la regla de coherencia. Decide todo con cuidado, sin prisas.
Puedes realizar varias operaciones con fracciones, por ejemplo, sumar fracciones. La suma de fracciones se puede dividir en varios tipos. Cada tipo de suma de fracciones tiene sus propias reglas y algoritmo de acciones. Veamos cada tipo de suma en detalle.
Sumar fracciones con denominadores iguales.
Veamos un ejemplo de cómo sumar fracciones con un denominador común.
Los turistas hicieron una caminata desde el punto A hasta el punto E. El primer día, caminaron desde el punto A hasta B o \(\frac(1)(5)\) todo el camino. El segundo día caminaron desde el punto B al D o \(\frac(2)(5)\) todo el camino. ¿Qué distancia recorrieron desde el inicio del viaje hasta el punto D?
Para encontrar la distancia del punto A al punto D, necesitas sumar las fracciones \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Sumar fracciones con denominadores iguales significa que debes sumar los numeradores de estas fracciones, pero el denominador seguirá siendo el mismo.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
En forma literal, la suma de fracciones con el mismo denominador se verá así:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Respuesta: los turistas caminaron \(\frac(3)(5)\) todo el camino.
Sumar fracciones con diferentes denominadores.
Veamos un ejemplo:
Necesitas sumar dos fracciones \(\frac(3)(4)\) y \(\frac(2)(7)\).
Para sumar fracciones con diferentes denominadores necesito encontrar primero y luego usa la regla para sumar fracciones con denominadores similares.
Para los denominadores 4 y 7, el denominador común será el número 28. La primera fracción \(\frac(3)(4)\) debe multiplicarse por 7. La segunda fracción \(\frac(2)(7)\ ) debe multiplicarse por 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(rojo) (7) + 2 \times \color(rojo) (4))(4 \ veces \color(rojo) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
De forma literal obtenemos la siguiente fórmula:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)
Sumar números mixtos o fracciones mixtas.
La suma se produce según la ley de la suma.
Para fracciones mixtas, sumamos las partes enteras con las partes enteras y las partes fraccionarias con las fracciones.
Si las partes fraccionarias de números mixtos tienen los mismos denominadores, entonces sumamos los numeradores, pero el denominador sigue siendo el mismo.
Sumemos los números mixtos \(3\frac(6)(11)\) y \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(rojo) (3) + \color(azul) (\frac(6)(11))) + ( \color(rojo) (1) + \color(azul) (\frac(3)(11))) = (\color(rojo) (3) + \color(rojo) (1)) + (\color( azul) (\frac(6)(11)) + \color(azul) (\frac(3)(11))) = \color(rojo)(4) + (\color(azul) (\frac(6 + 3)(11))) = \color(rojo)(4) + \color(azul) (\frac(9)(11)) = \color(rojo)(4) \color(azul) (\frac (9)(11))\)
Si las partes fraccionarias de números mixtos tienen denominadores diferentes, entonces encontramos el denominador común.
Realicemos la suma de números mixtos \(7\frac(1)(8)\) y \(2\frac(1)(6)\).
El denominador es diferente, por lo que necesitamos encontrar el denominador común, que es igual a 24. Multiplica la primera fracción \(7\frac(1)(8)\) por un factor adicional de 3, y la segunda fracción \( 2\frac(1)(6)\) por 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(rojo) (3))(8 \times \color(rojo) (3) ) = 2\frac(1\times \color(rojo) (4))(6\times \color(rojo) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Preguntas relacionadas:
¿Cómo sumar fracciones?
Respuesta: primero debes decidir qué tipo de expresión es: las fracciones tienen el mismo denominador, diferentes denominadores o fracciones mixtas. Dependiendo del tipo de expresión, procedemos al algoritmo de solución.
¿Cómo resolver fracciones con diferentes denominadores?
Respuesta: necesitas encontrar un denominador común y luego seguir la regla para sumar fracciones con denominadores similares.
¿Cómo resolver fracciones mixtas?
Respuesta: sumamos partes enteras con números enteros y partes fraccionarias con fracciones.
Ejemplo 1:
¿Puede la suma de dos dar como resultado una fracción propia? ¿Fracción impropia? Dar ejemplos.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
La fracción \(\frac(5)(7)\) es una fracción propia, es el resultado de la suma de dos fracciones propias \(\frac(2)(7)\) y \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
La fracción \(\frac(58)(45)\) no es fracción adecuada, se obtuvo como resultado de la suma de las fracciones propias \(\frac(2)(5)\) y \(\frac(8)(9)\).
Respuesta: La respuesta a ambas preguntas es sí.
Ejemplo #2:
Suma las fracciones: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(rojo) (3))(3 \times \color(rojo) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Ejemplo #3:
Escríbelo fracción mixta como una suma número natural y fracción propia: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Ejemplo #4:
Calcula la suma: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 (13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\times 3)(5\times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Tarea 1:
En el almuerzo comimos \(\frac(8)(11)\) del pastel, y por la noche en la cena comimos \(\frac(3)(11)\). ¿Crees que el pastel se comió por completo o no?
Solución:
El denominador de la fracción es 11, indica en cuántas partes se dividió el pastel. En el almuerzo comimos 8 trozos de bizcocho de 11. En la cena comimos 3 trozos de bizcocho de 11. Sumemos 8 + 3 = 11, nos comimos trozos de bizcocho de 11, es decir, el bizcocho entero.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Respuesta: se comió todo el pastel.
Uno de las ciencias mas importantes, cuya aplicación se puede ver en disciplinas como la química, la física e incluso la biología, son las matemáticas. Estudiar esta ciencia te permite desarrollar algunas cualidades mentales y mejorar tu capacidad de concentración. Uno de los temas que merece atención especial en el curso de Matemáticas: suma y resta de fracciones. A muchos estudiantes les resulta difícil estudiar. Quizás nuestro artículo le ayude a comprender mejor este tema.
Cómo restar fracciones cuyos denominadores son iguales
Las fracciones son los mismos números con los que puedes realizar diversas operaciones. Su diferencia con los números enteros radica en la presencia de un denominador. Por eso, al realizar operaciones con fracciones, es necesario estudiar algunas de sus características y reglas. Mayoría caso sencillo es resta fracciones ordinarias, cuyos denominadores se representan como el mismo número. Realizar esta acción no será difícil si conoces una regla simple:
- Para restar un segundo de una fracción, es necesario restar el numerador de la fracción restada del numerador de la fracción que se está reduciendo. Escribimos este número en el numerador de la diferencia y dejamos el denominador igual: k/m - b/m = (k-b)/m.
Ejemplos de resta de fracciones cuyos denominadores son iguales
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Del numerador de la fracción “7” le restamos el numerador de la fracción “3” a restar, obtenemos “4”. Escribimos este número en el numerador de la respuesta y en el denominador ponemos el mismo número que estaba en los denominadores de la primera y segunda fracción: "19".
La siguiente imagen muestra varios ejemplos más similares.
Consideremos un ejemplo más complejo donde se restan fracciones con denominadores iguales:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Del numerador de la fracción "29" se resta restando a su vez los numeradores de todas las fracciones posteriores: "3", "8", "2", "7". Como resultado, obtenemos el resultado "9", que escribimos en el numerador de la respuesta, y en el denominador escribimos el número que está en los denominadores de todas estas fracciones: "47".
Sumar fracciones que tienen el mismo denominador
Sumar y restar fracciones ordinarias sigue el mismo principio.
- Para sumar fracciones cuyos denominadores son iguales, debes sumar los numeradores. El número resultante es el numerador de la suma, y el denominador seguirá siendo el mismo: k/m + b/m = (k + b)/m.
Veamos cómo se ve esto usando un ejemplo:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Al numerador del primer término de la fracción - "1" - agregue el numerador del segundo término de la fracción - "2". El resultado - "3" - se escribe en el numerador de la suma y el denominador se deja igual que el presente en las fracciones - "4".
Fracciones con distintos denominadores y su resta
Acción con fracciones que tienen mismo denominador, ya lo hemos considerado. Como vemos, sabiendo reglas simples, resolver este tipo de ejemplos es bastante fácil. Pero, ¿qué pasa si necesitas realizar una operación con fracciones que tienen diferentes denominadores? Muchos estudiantes de secundaria se sienten confundidos por estos ejemplos. Pero incluso aquí, si conoce el principio de la solución, los ejemplos ya no le resultarán difíciles. También hay una regla aquí, sin la cual resolver tales fracciones es simplemente imposible.
- 2/3 - faltan un tres y un dos en el denominador:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 o 7/(3 x 3) - al denominador le falta un dos:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 o 5/(2 x 3) - al denominador le falta un tres:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - El número 18 se compone de 3 x 2 x 3.
- El número 15 se compone de 5 x 3.
- El múltiplo común serán los siguientes factores: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 dividido por 15. El número resultante “6” será un multiplicador de 3/15.
- 90 dividido por 18. El número resultante “5” será un multiplicador de 4/18.
- Convierte todas las fracciones que tengan una parte entera a impropias. Discurso en palabras simples, retire toda la pieza. Para hacer esto, multiplica el número de la parte entera por el denominador de la fracción y suma el producto resultante al numerador. El número que sale después de estas acciones es el numerador. fracción impropia. El denominador permanece sin cambios.
- Si las fracciones tienen distintos denominadores, se deben reducir al mismo denominador.
- Realizar sumas o restas con los mismos denominadores.
- Al recibir una fracción impropia, seleccione la parte entera.
Para restar fracciones con diferentes denominadores, se deben reducir al mismo denominador más pequeño.
Hablaremos con más detalle sobre cómo hacer esto.
Propiedad de una fracción
Para llevar varias fracciones al mismo denominador, debes usar la propiedad principal de una fracción en la solución: después de dividir o multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, obtienes una fracción igual a la dada.
Así, por ejemplo, la fracción 2/3 puede tener denominadores como “6”, “9”, “12”, etc., es decir, puede tener la forma de cualquier número que sea múltiplo de “3”. Después de multiplicar el numerador y el denominador por “2”, obtenemos la fracción 4/6. Después de multiplicar el numerador y el denominador de la fracción original por “3”, obtenemos 6/9, y si realizamos una operación similar con el número “4”, obtenemos 8/12. Una igualdad se puede escribir de la siguiente manera:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Cómo convertir varias fracciones al mismo denominador
Veamos cómo reducir varias fracciones al mismo denominador. Por ejemplo, tomemos las fracciones que se muestran en la siguiente imagen. Primero debes determinar qué número puede convertirse en el denominador de todos ellos. Para facilitar las cosas, factoricemos los denominadores existentes.
El denominador de la fracción 1/2 y la fracción 2/3 no se puede factorizar. El denominador 7/9 tiene dos factores 7/9 = 7/(3 x 3), el denominador de la fracción 5/6 = 5/(2 x 3). Ahora necesitamos determinar qué factores serán los más pequeños para estas cuatro fracciones. Como la primera fracción tiene el número “2” en el denominador, significa que debe estar presente en todos los denominadores; en la fracción 7/9 hay dos tripletes, lo que significa que ambos también deben estar presentes en el denominador. Teniendo en cuenta lo anterior, determinamos que el denominador consta de tres factores: 3, 2, 3 y es igual a 3 x 2 x 3 = 18.
Consideremos la primera fracción: 1/2. En su denominador hay un “2”, pero no hay un solo dígito “3”, sino que deberían ser dos. Para ello multiplicamos el denominador por dos triples, pero, según la propiedad de una fracción, debemos multiplicar el numerador por dos triples:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Realizamos las mismas operaciones con las fracciones restantes.
En conjunto se ve así:
Cómo restar y sumar fracciones que tienen diferentes denominadores
Como se mencionó anteriormente, para sumar o restar fracciones que tienen diferentes denominadores, se deben reducir al mismo denominador y luego usar las reglas para restar fracciones que tienen el mismo denominador, que ya se han comentado.
Veamos esto como ejemplo: 18/4 - 15/3.
Encontrar el múltiplo de los números 18 y 15:
Una vez encontrado el denominador, es necesario calcular el factor que será diferente para cada fracción, es decir, el número por el cual será necesario multiplicar no solo el denominador, sino también el numerador. Para hacer esto, divida el número que encontramos (el múltiplo común) por el denominador de la fracción para la cual es necesario determinar factores adicionales.
La siguiente etapa de nuestra solución es reducir cada fracción al denominador "90".
Ya hemos hablado de cómo se hace esto. Veamos cómo se escribe esto en un ejemplo:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Si las fracciones tienen números pequeños, entonces puedes determinar el denominador común, como en el ejemplo que se muestra en la siguiente imagen.
Lo mismo ocurre con aquellos con diferentes denominadores.
Resta y tener partes enteras.
Ya hemos comentado en detalle la resta de fracciones y su suma. ¿Pero cómo restar si una fracción tiene parte entera? Nuevamente, usemos algunas reglas:
Hay otra forma de sumar y restar fracciones con partes enteras. Para hacer esto, las acciones se realizan por separado con partes enteras y las acciones con fracciones por separado, y los resultados se registran juntos.
El ejemplo dado consta de fracciones que tienen el mismo denominador. En el caso de que los denominadores sean diferentes, se deben llevar al mismo valor y luego realizar las acciones como se muestra en el ejemplo.
Restar fracciones de números enteros
Otro tipo de acción con fracciones es el caso en el que se debe restar la fracción de A primera vista ejemplo similar Parece difícil de resolver. Sin embargo, aquí todo es bastante sencillo. Para resolverlo es necesario convertir el número entero en fracción, y con el mismo denominador que está en la fracción restada. A continuación, realizamos una resta similar a la resta con denominadores idénticos. En un ejemplo se ve así:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
La resta de fracciones (grado 6) presentada en este artículo es la base para resolver más ejemplos complejos, que se analizan en clases posteriores. El conocimiento de este tema se utiliza posteriormente para resolver funciones, derivadas, etc. Por lo tanto, es muy importante comprender y comprender las operaciones con fracciones comentadas anteriormente.
