Elaborar la ley de distribución de una variable aleatoria al regresar. Ley de distribución de una variable aleatoria.

Variable aleatoria Se denomina cantidad a la que, como resultado de pruebas realizadas en las mismas condiciones, adquiere valores diferentes, en general, en función de factores aleatorios no tenidos en cuenta. Ejemplos de variables aleatorias: el número de puntos extraídos por dado, el número de productos defectuosos en un lote, la desviación del punto de impacto del proyectil del objetivo, el tiempo de funcionamiento sin fallas del dispositivo, etc. Existen variables aleatorias discretas y continuas. Discreto Llamado valor aleatorio, valores posibles que forman un conjunto contable, finito o infinito (es decir, un conjunto cuyos elementos pueden numerarse).

Continuo Se llama variable aleatoria, cuyos posibles valores llenan continuamente algún intervalo finito o infinito. eje numérico. El número de valores de una variable aleatoria continua es siempre infinito.

Denotaremos variables aleatorias. en letras mayúsculas fin alfabeto latino: X, Y, . ; valores de variables aleatorias – letras minusculas: X, y,. . De este modo, X Denota el conjunto completo de valores posibles de una variable aleatoria, y X - Algo de su significado específico.

Ley de distribución Una variable aleatoria discreta es una correspondencia especificada de cualquier forma entre los posibles valores de una variable aleatoria y sus probabilidades.

Sea los posibles valores de la variable aleatoria. X Son . Como resultado de la prueba, la variable aleatoria tomará uno de estos valores, es decir Ocurrirá un evento de un grupo completo de eventos incompatibles por pares.

Conozcamos también las probabilidades de estos eventos:

Ley de distribución de una variable aleatoria. X Se puede escribir en forma de tabla llamada Distribución cercana Variable aleatoria discreta:

Variables aleatorias. Variable aleatoria discreta.
Valor esperado

Segunda sección sobre teoría de probabilidad dedicado variables aleatorias , que nos acompañó de forma invisible en literalmente cada artículo sobre el tema. Y ha llegado el momento de formular claramente de qué se trata:

Aleatorio llamado tamaño, que como resultado de la prueba tomará uno y solo uno un valor numérico que depende de factores aleatorios y es impredecible de antemano.

Las variables aleatorias suelen ser denotar a través de * , y sus significados están escritos en letras minúsculas correspondientes con subíndices, por ejemplo, .

* A veces también se utilizan letras griegas.

Nos encontramos con un ejemplo en primera lección sobre teoría de la probabilidad, donde en realidad consideramos la siguiente variable aleatoria:

– el número de puntos que aparecerán después de tirar los dados.

Como resultado de esta prueba, se caerá. uno y solo la línea, cuál exactamente, no se puede predecir (no consideramos trucos); en este caso, la variable aleatoria puede tomar uno de los siguientes valores:

– el número de niños entre 10 recién nacidos.

Está absolutamente claro que este número no se conoce de antemano, y los próximos diez niños nacidos pueden incluir:

O chicos - uno y solo uno de las opciones enumeradas.

Y, para mantenernos en forma, un poco de educación física:

– distancia de salto de longitud (en algunas unidades).

Ni siquiera un maestro de deportes puede predecirlo :)

Sin embargo, ¿tus hipótesis?

Tan pronto como un montón de numeros reales infinitamente, entonces la variable aleatoria puede tomar infinitamente muchos valores de un determinado intervalo. Y en esto consiste diferencia fundamental de ejemplos anteriores.

De este modo, Es recomendable dividir las variables aleatorias en 2 grandes grupos.:

1) discreto (intermitente) Variable aleatoria: toma valores individuales y aislados. Número de estos valores Ciertamente o infinito pero contable.

...¿hay términos poco claros? repetimos urgentemente conceptos básicos de álgebra!

2) Variable aleatoria continua – acepta Todo valores numéricos de algún intervalo finito o infinito.

Nota :v literatura educativa abreviaturas populares DSV y NSV

Primero, analicemos la variable aleatoria discreta, luego... continuo.

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta.

- Este correspondencia entre los posibles valores de esta cantidad y sus probabilidades. La mayoría de las veces, la ley está escrita en una tabla:

El término aparece con bastante frecuencia. fila distribución, pero en algunas situaciones suena ambiguo, por lo que me ceñiré a la "ley".

Y ahora Muy punto importante : desde la variable aleatoria Necesariamente Va a aceptar uno de los valores, entonces se forman los eventos correspondientes grupo completo y la suma de las probabilidades de que ocurran es igual a uno:

o, si está escrito condensado:

Así, por ejemplo, la ley de distribución de probabilidad de los puntos lanzados en un dado tiene la siguiente forma:

Es posible que tenga la impresión de que una variable aleatoria discreta sólo puede tomar valores enteros "buenos". Disipemos la ilusión: pueden ser cualquier cosa:

Algún juego tiene próxima ley distribución ganadora:

…probablemente has soñado con tareas así durante mucho tiempo 🙂 Te contaré un secreto, yo también. Especialmente después de terminar el trabajo en teoría de campo.

Solución: dado que una variable aleatoria solo puede tomar uno de tres significados, entonces se forman los eventos correspondientes grupo completo, lo que significa que la suma de sus probabilidades es igual a uno:

Exponiendo al “partidario”:

– por tanto, la probabilidad de ganar unidades convencionales es 0,4.

Control: eso es de lo que necesitábamos asegurarnos.

Respuesta:

No es raro que usted mismo necesite redactar una ley de distribución. Para esto utilizan definición clásica de probabilidad, Teoremas de multiplicación/suma para probabilidades de eventos y otras fichas tervera:

La caja contiene 50 billetes de lotería, de los cuales 12 son ganadores, 2 de ellos ganan 1000 rublos cada uno y el resto, 100 rublos cada uno. Elabore una ley para la distribución de una variable aleatoria: el tamaño de las ganancias si se extrae un boleto al azar de la caja.

Solución: como habrás notado, los valores de una variable aleatoria generalmente se colocan en en orden ascendente. Por lo tanto, comenzamos con las ganancias más pequeñas, es decir, los rublos.

Hay 50 billetes de este tipo en total: 12 = 38, y según definición clásica :
– la probabilidad de que un billete extraído al azar resulte perdedor.

En otros casos todo es sencillo. La probabilidad de ganar rublos es:

Y para :

Compruebe: – y esto es especial lindo momento¡Qué tareas!

Respuesta: la ley deseada de distribución de ganancias:

La siguiente tarea la debes resolver tú solo:

La probabilidad de que el tirador dé en el blanco es . Elabora una ley de distribución para una variable aleatoria: el número de aciertos después de 2 disparos.

...Sabía que lo extrañabas :) Recordemos teoremas de multiplicación y suma. La solución y la respuesta están al final de la lección.

La ley de distribución describe completamente una variable aleatoria, pero en la práctica puede ser útil (y a veces más útil) conocer solo una parte de ella. características numéricas .

Expectativa de una variable aleatoria discreta

Discurso en lenguaje sencillo, Este valor esperado promedio cuando la prueba se repite muchas veces. Dejemos que la variable aleatoria tome valores con probabilidades correspondientes. Entonces valor esperado de esta variable aleatoria es igual a suma de productos todos sus valores a las probabilidades correspondientes:

o colapsado:

Calculemos, por ejemplo, la expectativa matemática de una variable aleatoria: el número de puntos lanzados en un dado:

¿Cuál es el significado probabilístico del resultado obtenido? Si tiras los dados suficientes veces, entonces valor promedio Los puntos perdidos se acercarán a 3,5, y cuantas más pruebas realices, más cerca estarás. En realidad, ya hablé en detalle sobre este efecto en la lección sobre probabilidad estadística.

Ahora recordemos nuestro juego hipotético:

Surge la pregunta: ¿es rentable jugar este juego? ...¿quién tiene alguna impresión? ¡Así que no puedes decirlo “de improviso”! Pero esta pregunta se puede responder fácilmente calculando la expectativa matemática, esencialmente: peso promedio por probabilidad de ganar:

Así, la expectativa matemática de este juego. perdiendo.

No confíes en tus impresiones, ¡confía en los números!

Sí, aquí puedes ganar 10 o incluso 20-30 veces seguidas, pero a la larga nos espera la ruina inevitable. Y no te recomendaría que jugaras a esos juegos :) Bueno, tal vez solo por diversión.

De todo lo anterior se deduce que la expectativa matemática ya no es un valor ALEATORIO.

Tarea creativa para la investigación independiente:

Mr. X juega a la ruleta europea siguiente sistema: apuesta constantemente 100 rublos al “rojo”. Elabora una ley de distribución de una variable aleatoria: sus ganancias. Calcule la expectativa matemática de ganancias y redondee al kopeck más cercano. Cuántos promedio¿El jugador pierde por cada cien que apuesta?

Referencia : La ruleta europea contiene 18 sectores rojos, 18 negros y 1 verde (“cero”). Si aparece un “rojo”, al jugador se le paga el doble de la apuesta; de lo contrario, va a los ingresos del casino.

Hay muchos otros sistemas de ruleta para los que puedes crear tus propias tablas de probabilidad. Pero este es el caso cuando no necesitamos leyes o tablas de distribución, porque se ha establecido con certeza que la expectativa matemática del jugador será exactamente la misma. Lo único que cambia de un sistema a otro es dispersión, que aprenderemos en la segunda parte de la lección.

Pero primero será útil estirar los dedos sobre las teclas de la calculadora:

Una variable aleatoria está especificada por su ley de distribución de probabilidad:

Encuentre si se sabe que. Realizar verificación.

Entonces pasemos a estudiar. varianza de una variable aleatoria discreta, y si es posible, ¡¡AHORA MISMO!!- para no perder el hilo del tema.

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 3. Solución: por condición: la probabilidad de dar en el blanco. Entonces:
– probabilidad de fallo.

Compongamos la ley de distribución de golpes para dos tiros:

- ni un solo golpe. Por teorema de multiplicación de probabilidad eventos independientes :

- un golpe. Por Teoremas para la suma de probabilidades de eventos incompatibles y la multiplicación de eventos independientes.:

- dos hits. Según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:

Comprueba: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Respuesta :

Nota : puedes usar notaciones, no importa.

Ejemplo 4. Solución: el jugador gana 100 rublos en 18 de 37 casos, por lo que la ley de distribución de sus ganancias tiene la siguiente forma:

Calculemos la expectativa matemática:

Así, por cada cien apuestas, el jugador pierde una media de 2,7 rublos.

Ejemplo 5. Solución: por definición de expectativa matemática:

Intercambiemos partes y hagamos simplificaciones:

De este modo:

Vamos a revisar:

, que era lo que había que comprobar.

Respuesta :

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Variables aleatorias discretas

Variable aleatoria Se denomina variable a aquella variable que, como resultado de cada prueba, toma un valor previamente desconocido, dependiendo de razones aleatorias. Las variables aleatorias se indican en mayúsculas. con letras latinas: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Según su tipo, las variables aleatorias pueden ser discreto Y continuo.

Variable aleatoria discreta- se trata de una variable aleatoria cuyos valores no pueden ser más que contables, es decir, finitos o contables. Por contabilidad queremos decir que los valores de una variable aleatoria se pueden numerar.

Ejemplo 1 . A continuación se muestran ejemplos de variables aleatorias discretas:

a) el número de impactos en el objetivo con $n$ disparos, aquí los valores posibles son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) la cantidad de emblemas que se caen al lanzar una moneda, aquí los valores posibles son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) el número de barcos que llegan a bordo (un conjunto contable de valores).

d) el número de llamadas que llegan a la centralita (conjunto contable de valores).

1. Ley de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

Una variable aleatoria discreta $X$ puede tomar valores $x_1,\dots ,\ x_n$ con probabilidades $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. La correspondencia entre estos valores y sus probabilidades se llama ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Como regla general, esta correspondencia se especifica mediante una tabla, cuya primera línea indica los valores $x_1,\dots ,\ x_n$, y la segunda línea contiene las probabilidades $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondientes a estos valores.

$\comenzar
\hline
X_i y x_1 y x_2 ​​y \puntos y x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \puntos & p_n \\
\hline
\end$

Ejemplo 2 . Sea la variable aleatoria $X$ el número de puntos obtenidos al lanzar un dado. Tal variable aleatoria $X$ puede tomar siguientes valores$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Las probabilidades de todos estos valores son iguales a $1/6$. Entonces la ley de distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$:

$\comenzar
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

Comentario. Dado que en la ley de distribución de una variable aleatoria discreta $X$ los eventos $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ forman un grupo completo de eventos, entonces la suma de las probabilidades debe ser igual a uno, es decir, $\suma

2. Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta.

Expectativa de una variable aleatoria establece su significado “central”. Para una variable aleatoria discreta, la expectativa matemática se calcula como la suma de los productos de los valores $x_1,\dots,\ x_n$ y las probabilidades $p_1,\dots,\ p_n$ correspondientes a estos valores, es decir : $M\izquierda(X\derecha)=\suma ^n_ $. En la literatura en idioma inglés, se utiliza otra notación $E\left(X\right)$.

Propiedades de la expectativa matemática$M\izquierda(X\derecha)$:

1. $M\left(X\right)$ está contenido entre el más pequeño y el valores más altos variable aleatoria $X$.
2. La expectativa matemática de una constante es igual a la constante misma, es decir $M\izquierda(C\derecha)=C$.
3. El factor constante se puede sacar del signo de la expectativa matemática: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Ejemplo 3 . Encontremos la matemática expectativa de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

Podemos notar que $M\left(X\right)$ se encuentra entre los valores más pequeño ($1$) y más grande ($6$) de la variable aleatoria $X$.

Ejemplo 4 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=2$. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $3X+5$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Ejemplo 5 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=4$. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $2X-9$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ punto 4 -9=-1$.

3. Dispersión de una variable aleatoria discreta.

Los valores posibles de variables aleatorias con expectativas matemáticas iguales pueden dispersarse de manera diferente alrededor de sus valores promedio. Por ejemplo, en dos grupos de estudiantes GPA para el examen de teoría de la probabilidad resultó ser igual a 4, pero en un grupo todos resultaron ser buenos estudiantes, y en el otro grupo, solo estudiantes C y excelentes estudiantes. Por lo tanto, existe la necesidad de una característica numérica de una variable aleatoria que muestre la dispersión de los valores de la variable aleatoria alrededor de su expectativa matemática. Esta característica es la dispersión.

Varianza de una variable aleatoria discreta$X$ es igual a:

En la literatura inglesa se utiliza la notación $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Muy a menudo la varianza $D\left(X\right)$ se calcula usando la fórmula $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

Propiedades de dispersión$D\izquierda(X\derecha)$:

1. La varianza es siempre mayor o igual a cero, es decir $D\izquierda(X\derecha)\ge 0$.
2. La varianza de la constante es cero, es decir $D\izquierda(C\derecha)=0$.
3. El factor constante se puede quitar del signo de dispersión siempre que esté al cuadrado, es decir $D\izquierda(CX\derecha)=C^2D\izquierda(X\derecha)$.
4. La varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. La varianza de la diferencia entre variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Ejemplo 6 . Calculemos la varianza de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

Ejemplo 7 . Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $X$ es igual a $D\left(X\right)=2$. Encuentra la varianza de la variable aleatoria $4X+1$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ izquierda(X\derecha)=16\cdot 2=32$.

Ejemplo 8 . Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $X$ es igual a $D\left(X\right)=3$. Encuentre la varianza de la variable aleatoria $3-2X$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ izquierda(X\derecha)=4\cdot 3=12$.

4. Función de distribución de una variable aleatoria discreta.

El método de representar una variable aleatoria discreta en forma de una serie de distribución no es el único y, lo más importante, no es universal, ya que una variable aleatoria continua no se puede especificar mediante una serie de distribución. Hay otra forma de representar una variable aleatoria: la función de distribución.

Función de distribución La variable aleatoria $X$ se llama función $F\left(x\right)$, que determina la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome un valor menor que algún valor fijo $x$, es decir, $F\ izquierda(x\right )=P\left(X 6$, entonces $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\ izquierda(X=3 \right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+ 1/6+1/6+1/6+1/6=1$.

Gráfica de la función de distribución $F\left(x\right)$:

Leyes básicas de distribución.

1. Ley de distribución binomial.

La ley de distribución binomial describe la probabilidad de que ocurra el evento A m veces en n pruebas independientes, siempre que la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo sea constante.

Por ejemplo, el departamento de ventas de una tienda de electrodomésticos recibe de media un pedido de compra de televisores de cada 10 llamadas. Elaborar una ley de distribución de probabilidad para la compra de m televisores. Construya un polígono de distribución de probabilidad.

En la tabla m: el número de pedidos recibidos por la empresa para la compra de un televisor. C n m es el número de combinaciones de m televisores por n, p es la probabilidad de que ocurra el evento A, es decir Al ordenar un televisor, q es la probabilidad de que el evento A no ocurra, es decir, sin pedir un televisor, P m,n es la probabilidad de pedir m televisores entre n. La Figura 1 muestra el polígono de distribución de probabilidad.

2.Distribución geométrica.

La distribución geométrica de una variable aleatoria tiene la siguiente forma:

P m es la probabilidad de ocurrencia del evento A en el ensayo número m.
p es la probabilidad de que ocurra el evento A en un ensayo.
q = 1-p

Ejemplo. Una empresa de reparación de electrodomésticos recibió un envío de 10 unidades de repuesto para lavadoras. Hay ocasiones en las que 1 bloque de un lote resulta defectuoso. Se realiza una inspección hasta que se detecta una unidad defectuosa. Es necesario elaborar una ley de distribución del número de bloques verificados. La probabilidad de que un bloque esté defectuoso es 0,1. Construya un polígono de distribución de probabilidad.

La tabla muestra que a medida que aumenta el número m, disminuye la probabilidad de que se detecte un bloque defectuoso. La última línea (m=10) combina dos probabilidades: 1 - que el décimo bloque resultó defectuoso - 0,038742049, 2 - que todos los bloques comprobados resultaron buenos - 0,34867844. Dado que la probabilidad de que la unidad tenga fallas es relativamente baja (p = 0,1), entonces la probabilidad último evento Pm (10 bloques probados) es relativamente alto. Figura 2.

3. Distribución hipergeométrica.

La distribución hipergeométrica de una variable aleatoria tiene la siguiente forma:

Por ejemplo, elabore una ley de distribución para 7 números adivinados de 49. En en este ejemplo números totales N=49, n=7 números eliminados, M - números totales que tienen propiedad dada, es decir. de números acertados, m es el número de números acertados entre los retirados.

La tabla muestra que la probabilidad de adivinar un número m=1 es mayor que con m=0. Sin embargo, entonces la probabilidad comienza a disminuir rápidamente. Por tanto, la probabilidad de adivinar 4 números ya es inferior a 0,005 y 5 es insignificante.

4.Ley de distribución de Poisson.

Una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson si su ley de distribución tiene la forma:

NP = constante
n es el número de pruebas que tienden al infinito
p es la probabilidad de que ocurra un evento, que tiende a cero
m es el número de ocurrencias del evento A

Por ejemplo, en un día normal una empresa que vende televisores recibe unas 100 llamadas. La probabilidad de pedir un televisor de la marca A es 0,08; B - 0,06 y C - 0,04. Elaborar una ley para el reparto de pedidos de compra de televisores grados A, B y C. Construir un polígono de distribución de probabilidad.

De la condición tenemos: m=100, ? 1 = 8, ? 2=6, ? 3 =4 (?10)

(la tabla no está completa)

Si n es lo suficientemente grande como para llegar al infinito y el valor de p llega a cero, entonces el producto np llega a numero constante, Eso esta ley es una aproximación a la ley de distribución binomial. Del gráfico se desprende claramente que más como p, cuanto más cerca está la curva del eje m, es decir más plano. (Figura 4)

Cabe señalar que las distribuciones binomial, geométrica, hipergeométrica y de Poisson expresan la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

5.Ley de distribución uniforme.

Si la densidad de probabilidad?(x) es un valor constante en un cierto intervalo, entonces la ley de distribución se llama uniforme. La Figura 5 muestra gráficos de la función de distribución de probabilidad y densidad de probabilidad. ley uniforme distribuciones.

6.Ley de distribución normal (ley de Gauss).

Entre las leyes de distribución de variables aleatorias continuas, la más común es ley normal distribuciones. Una variable aleatoria se distribuye según la ley de distribución normal si su densidad de probabilidad tiene la forma:

Dónde
a es la expectativa matemática de una variable aleatoria
? - promedio Desviación Estándar

La gráfica de densidad de probabilidad de una variable aleatoria que tiene una ley de distribución normal es simétrica con respecto a la recta x=a, es decir, x es igual a la expectativa matemática. Así, si x=a, entonces la curva tiene un máximo igual a:

Cuando cambia el valor de la expectativa matemática, la curva se desplazará a lo largo del eje Ox. La gráfica (Fig. 6) muestra que en x=3 la curva tiene un máximo, porque la expectativa matemática es 3. Si la expectativa matemática toma un valor diferente, por ejemplo a=6, entonces la curva tendrá un máximo en x=6. Hablando de la desviación estándar, como se puede ver en el gráfico, cuanto mayor es la desviación estándar, menor valor máximo densidad de probabilidad de una variable aleatoria.

Una función que expresa la distribución de una variable aleatoria en el intervalo (-?, x), y tiene una ley de distribución normal, se expresa mediante la función de Laplace utilizando la siguiente fórmula:

Aquellos. la probabilidad de una variable aleatoria X consta de dos partes: la probabilidad de que x tome valores desde menos infinito hasta a, igual a 0,5, y la segunda parte, desde a hasta x. (Figura 7)

Vamos a estudiar juntos

Materiales útiles para estudiantes, diplomas y trabajos finales para ordenar.

Lección: Ley de distribución de una variable aleatoria discreta

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Se llama correspondencia entre los valores posibles y sus probabilidades. Se puede especificar de forma tabular, gráfica y analítica.

En esta lección se analiza qué es una variable aleatoria.

Con el método tabular de especificación, la primera fila de la tabla contiene valores posibles y la segunda sus probabilidades, es decir

Esta cantidad se llama serie de distribución. variable aleatoria discreta.

X=x1, X=x2, X=xn forman un grupo completo, ya que en un ensayo la variable aleatoria tomará un solo valor posible. Por tanto, la suma de sus probabilidades es igual a uno, es decir, p1 + p2 + pn = 1 o

Si el conjunto de valores de X es infinito, entonces Ejemplo 1. Se emiten 100 billetes en una lotería en efectivo. Se sortean un premio de 1000 rublos y 10 premios de 100 rublos. Encuentre la ley de distribución de la variable aleatoria X: el costo de una posible ganancia para el propietario de un billete de lotería.

La ley de distribución requerida tiene la forma:

Control; 0,01+0,1+0,89=1.
En gráficamente estableciendo la ley de distribución para Plano coordinado construya puntos (Xi:Pi) y luego conéctelos con segmentos de línea recta. Recibió linea rota llamado polígono de distribución. Por ejemplo 1, el polígono de distribución se muestra en la Figura 1.

En manera analítica Las asignaciones de la ley de distribución indican una fórmula que conecta las probabilidades de una variable aleatoria con sus posibles valores.

Ejemplos de distribuciones discretas

Distribución binomial

Sean n ensayos, en cada uno de los cuales el evento A ocurre con probabilidad constante p, por lo tanto, no ocurre con probabilidad constante q = 1- pag. Considere la variable aleatoria X- el número de ocurrencias del evento A en estos n ensayos. Los valores posibles de X son x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. La probabilidad de estos posibles

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta se llama Windows XP Word 2003 Excel 2003 Leyes de distribución de variables aleatorias discretas La ley de distribución de una variable aleatoria discreta es cualquier relación que establezca una conexión entre los posibles valores de una variable aleatoria y […]

Como es sabido, variable aleatoria llamado cantidad variable, que puede tomar uno u otro valor según el caso. Las variables aleatorias se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino (X, Y, Z) y sus valores se indican con las letras minúsculas correspondientes (x, y, z). Las variables aleatorias se dividen en discontinuas (discretas) y continuas.

Variable aleatoria discreta es una variable aleatoria que toma solo un conjunto finito o infinito (contable) de valores con ciertas probabilidades distintas de cero.

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta. es una función que conecta los valores de una variable aleatoria con sus correspondientes probabilidades. La ley de distribución se puede especificar de una de las siguientes maneras.

1 . La ley de distribución puede venir dada por la tabla:

donde λ>0, k = 0, 1, 2,….

V) mediante el uso función de distribución F(x) , que determina para cada valor x la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor que x, es decir F(x) = P(X< x).

Propiedades de la función F(x)

3 . La ley de distribución se puede especificar gráficamente. – polígono de distribución (polígono) (ver problema 3).

Tenga en cuenta que para resolver algunos problemas no es necesario conocer la ley de distribución. En algunos casos, es suficiente conocer uno o más números que reflejan la mayoría características importantes ley de distribución. Puede ser un número que tiene el significado de "valor promedio" de una variable aleatoria, o un número que muestra el tamaño promedio de la desviación de una variable aleatoria de su valor medio.

Los números de este tipo se denominan características numéricas de una variable aleatoria. :

• Características numéricas básicas de una variable aleatoria discreta. Expectativa matemática (valor medio) de una variable aleatoria discreta.
  M(X)=Σ x yo p yo
• Para distribución binomial M(X)=np, para distribución de Poisson M(X)=λ Dispersión variable aleatoria discreta D(X)=M2 o. La diferencia X – M (X) se denomina desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática.
  Para distribución binomial D(X)=npq, para distribución de Poisson D(X)=λ
• Desviación Estándar (Desviación Estándar) σ(X)=√D(X).

Ejemplos de resolución de problemas sobre el tema "La ley de distribución de una variable aleatoria discreta"

Tarea 1.

Se emitieron 1000 billetes de lotería: 5 de ellos ganarán 500 rublos, 10 ganarán 100 rublos, 20 ganarán 50 rublos, 50 ganarán 10 rublos. Determine la ley de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X: ganancias por boleto.

Solución. Según las condiciones del problema, son posibles los siguientes valores de la variable aleatoria X: 0, 10, 50, 100 y 500.

El número de boletos sin ganar es 1000 – (5+10+20+50) = 915, entonces P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

De manera similar, encontramos todas las demás probabilidades: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Presentemos la ley resultante en forma de tabla:

Encontremos la expectativa matemática del valor X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tarea 3.

El dispositivo consta de tres elementos que funcionan independientemente.

Solución. 1. La probabilidad de falla de cada elemento en un experimento es 0,1. Elaborar una ley de distribución para el número de elementos fallidos en un experimento, construir un polígono de distribución. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela. Encuentre la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta.

La variable aleatoria discreta X = (el número de elementos fallidos en un experimento) tiene los siguientes valores posibles: x 1 = 0 (ninguno de los elementos del dispositivo falló), x 2 = 1 (un elemento falló), x 3 = 2 ( dos elementos fallaron) y x 4 =3 (tres elementos fallaron). Las fallas de los elementos son independientes entre sí, las probabilidades de falla de cada elemento son iguales, por lo tanto es aplicable La fórmula de Bernoulli.
. Considerando que, según la condición, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, determinamos las probabilidades de los valores:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;

Verifique: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1. Así, la deseada ley binomial

Trazamos los posibles valores de x i a lo largo del eje de abscisas y las probabilidades correspondientes p i a lo largo del eje de ordenadas. Construyamos los puntos M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Al conectar estos puntos con segmentos de línea recta, obtenemos el polígono de distribución deseado.

3. Encontremos la función de distribución F(x) = Р(Х

Gráfica de la función F(x)

4. Para distribución binomial X:
- expectativa matemática M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varianza D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- desviación estándar σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Ejemplos de resolución de problemas sobre el tema “Variables aleatorias”.

Tarea 1 . Se emiten 100 billetes de lotería. Se sorteó un premio de 50 USD. y diez premios de 10 USD cada uno. Encuentre la ley de distribución del valor X: el costo de las posibles ganancias.

Solución. Posibles valores para X: x 1 = 0; X 2 = 10 yx 3 = 50. Como hay 89 billetes “vacíos”, entonces p 1 = 0,89, probabilidad de ganar $10. (10 entradas) – p 2 = 0.10 y para ganar 50 USD -pag 3 = 0,01. De este modo:

Fácil de controlar: .

Tarea 2. La probabilidad de que el comprador haya leído previamente el anuncio del producto es de 0,6 (p = 0,6). El control selectivo de la calidad de la publicidad se lleva a cabo encuestando a los compradores antes que el primero que haya estudiado la publicidad con antelación. Elaborar una serie de distribución para el número de compradores encuestados.

Solución. Según las condiciones del problema, p = 0,6. De: q=1 -p = 0,4. Sustituyendo estos valores obtenemos: y construir una serie de distribución:

Tarea 3. Una computadora consta de tres elementos que funcionan de forma independiente: la unidad del sistema, el monitor y el teclado. Con un solo aumento brusco de voltaje, la probabilidad de falla de cada elemento es 0,1. Con base en la distribución de Bernoulli, elabore una ley de distribución para el número de elementos fallidos durante una subida de tensión en la red.

Solución. Consideremos Distribución de Bernoulli(o binomial): la probabilidad de que norte pruebas, el evento A aparecerá exactamente k una vez: , o:

EN Volvamos a la tarea.

Posibles valores para X (número de fallos):

x 0 =0 – ninguno de los elementos falló;

x 1 =1 – falla de un elemento;

x 2 =2 – falla de dos elementos;

x 3 =3 – falla de todos los elementos.

Dado que, por condición, p = 0,1, entonces q = 1 – p = 0,9. Usando la fórmula de Bernoulli, obtenemos

, ,

, .

Control: .

Por tanto, la ley de distribución requerida:

Problema 4. 5000 rondas producidas. Probabilidad de que un cartucho esté defectuoso . ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 3 cartuchos defectuosos en todo el lote?

Solución. Aplicable distribución de veneno: Esta distribución se utiliza para determinar la probabilidad de que, para valores muy grandes

número de pruebas (pruebas masivas), en cada una de las cuales la probabilidad del evento A es muy pequeña, el evento A ocurrirá k veces: , Dónde .

Aquí n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Encontramos, entonces, la probabilidad deseada: .

Problema 5. Al disparar hasta el primer impacto con probabilidad de impacto p = 0,6 al disparar, es necesario encontrar la probabilidad de que se produzca un impacto en el tercer disparo.

Solución. Apliquemos una distribución geométrica: realicemos ensayos independientes, en cada uno de los cuales el evento A tiene una probabilidad de ocurrencia p (y de no ocurrencia q = 1 – p). La prueba finaliza tan pronto como ocurre el evento A.

En tales condiciones, la probabilidad de que el evento A ocurra en el késimo ensayo está determinada por la fórmula: . Aquí p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Por lo tanto, .

Problema 6. Sea la ley de distribución de una variable aleatoria X:

Encuentra la expectativa matemática.

Solución. .

Tenga en cuenta que el significado probabilístico de la expectativa matemática es el valor promedio de una variable aleatoria.

Problema 7. Encuentre la varianza de la variable aleatoria X con la siguiente ley de distribución:

Solución. Aquí .

Ley de distribución del valor al cuadrado de X 2 :

Variación requerida: .

La dispersión caracteriza la medida de desviación (dispersión) de una variable aleatoria de su expectativa matemática.

Problema 8. Sea una variable aleatoria dada por la distribución:

Encuentra sus características numéricas.

Solución: m, m 2 ,

METRO 2 , m.

Acerca de la variable aleatoria X podemos decir: su expectativa matemática es 6,4 m con una varianza de 13,04 m 2 , o – su expectativa matemática es 6,4 m con una desviación de m. La segunda formulación es obviamente más clara.

Tarea 9. Valor aleatorio X dado por la función de distribución:
.

Encuentre la probabilidad de que como resultado de la prueba el valor X tome el valor contenido en el intervalo .

Solución. La probabilidad de que X tome un valor de un intervalo dado es igual al incremento de la función integral en este intervalo, es decir . En nuestro caso y por tanto

.

Tarea 10. Variable aleatoria discreta X dado por la ley de distribución:

Encuentra la función de distribución. f(x) ) y trazarlo.

Solución. Dado que la función de distribución,

Para , Eso

en ;

en ;

en ;

en ;

Cuadro relevante:

Problema 11. Variable aleatoria continua X dado por la función de distribución diferencial: .

Encuentra la probabilidad de acierto X por intervalo

Solución. Tenga en cuenta que este es un caso especial de la ley de distribución exponencial.

Usemos la fórmula: .

Tarea 12. Encuentre las características numéricas de una variable aleatoria discreta X especificada por la ley de distribución:

LEY DE DISTRIBUCIÓN Y CARACTERÍSTICAS

VARIABLES ALEATORIAS

Variables aleatorias, su clasificación y métodos de descripción.

Una cantidad aleatoria es una cantidad que, como resultado de un experimento, puede tomar uno u otro valor, pero que no se conoce de antemano. Por lo tanto, para una variable aleatoria sólo se pueden especificar valores, uno de los cuales definitivamente se tomará como resultado del experimento. En lo que sigue llamaremos a estos valores valores posibles de la variable aleatoria. Dado que una variable aleatoria caracteriza cuantitativamente el resultado aleatorio de un experimento, puede considerarse como una característica cuantitativa de un evento aleatorio.

Las variables aleatorias generalmente se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino, por ejemplo, X..Y..Z, y sus posibles valores con las correspondientes letras minúsculas.

Hay tres tipos de variables aleatorias:

Discreto; Continuo; Mezclado.

Discreto es una variable aleatoria cuyo número de valores posibles forma un conjunto contable. A su vez, se llama contable a un conjunto cuyos elementos pueden numerarse. La palabra "discreto" proviene del latín discretus, que significa "discontinuo, que consta de partes separadas".

Ejemplo 1. Una variable aleatoria discreta es el número de piezas defectuosas X en un lote de nproductos. En efecto, los valores posibles de esta variable aleatoria son una serie de números enteros del 0 al n.

Ejemplo 2. Una variable aleatoria discreta es el número de disparos antes del primer impacto en el objetivo. Aquí, como en el Ejemplo 1, los valores posibles se pueden numerar, aunque en el caso límite el valor posible es un número infinitamente grande.

Continuo es una variable aleatoria cuyos posibles valores llenan continuamente un determinado intervalo del eje numérico, a veces llamado intervalo de existencia de esta variable aleatoria. Por tanto, en cualquier intervalo finito de existencia, el número de valores posibles de una variable aleatoria continua es infinitamente grande.

Ejemplo 3. Una variable aleatoria continua es el consumo mensual de electricidad de una empresa.

Ejemplo 4. Una variable aleatoria continua es el error al medir la altura con un altímetro. Del principio de funcionamiento del altímetro se sabe que el error está en el rango de 0 a 2 m. Por lo tanto, el intervalo de existencia de esta variable aleatoria es el intervalo de 0 a 2 m.

Ley de distribución de variables aleatorias.

Una variable aleatoria se considera completamente especificada si sus posibles valores se indican en el eje numérico y se establece la ley de distribución.

Ley de distribución de una variable aleatoria. es una relación que establece una conexión entre los valores posibles de una variable aleatoria y las probabilidades correspondientes.

Se dice que una variable aleatoria está distribuida según una ley determinada o sujeta a una ley de distribución determinada. Como leyes de distribución se utilizan varias probabilidades, funciones de distribución, densidad de probabilidad y funciones características.

La ley de distribución da una descripción probable completa de una variable aleatoria. Según la ley de distribución, se puede juzgar antes del experimento qué valores posibles de una variable aleatoria aparecerán con más frecuencia y cuáles con menos frecuencia.

Para una variable aleatoria discreta, la ley de distribución se puede especificar en forma de tabla, analíticamente (en forma de fórmula) y gráficamente.

La forma más sencilla de especificar la ley de distribución de una variable aleatoria discreta es una tabla (matriz), que enumera en orden ascendente todos los valores posibles de la variable aleatoria y sus probabilidades correspondientes, es decir,

Esta tabla se denomina serie de distribución de una variable aleatoria discreta. 1

Los eventos X 1, X 2,..., X n, consistentes en que como resultado de la prueba, la variable aleatoria X tomará los valores x 1, x 2,...x n, respectivamente, son inconsistentes y los únicos posibles (ya que la tabla enumera todos los valores posibles de una variable aleatoria), es decir formar un grupo completo. Por tanto, la suma de sus probabilidades es igual a 1. Por tanto, para cualquier variable aleatoria discreta

(Esta unidad se distribuye de alguna manera entre los valores de la variable aleatoria, de ahí el término "distribución").

La serie de distribución se puede representar gráficamente si los valores de la variable aleatoria se trazan a lo largo del eje de abscisas y sus probabilidades correspondientes se trazan a lo largo del eje de ordenadas. La conexión de los puntos obtenidos forma una línea discontinua, llamada polígono o polígono de distribución de probabilidad (Fig. 1).

Ejemplo El sorteo incluye: un coche valorado en 5.000 den. Unidades, 4 televisores con un costo de 250 den. Unidades, 5 videograbadoras por valor de 200 den. unidades Se venden un total de 1000 entradas durante 7 días. unidades Redacte una ley de distribución de las ganancias netas recibidas por un participante de lotería que compró un boleto.

Solución. Los valores posibles de la variable aleatoria X (las ganancias netas por boleto) son iguales a 0-7 = -7 dinero. unidades (si el boleto no ganó), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unidades (si el boleto tiene ganancias de una videograbadora, un televisor o un automóvil, respectivamente). Teniendo en cuenta que de 1000 billetes el número de no ganadores es 990, y las ganancias indicadas son 5, 4 y 1, respectivamente, y utilizando la definición clásica de probabilidad, obtenemos.