Al desarrollar la idea de De Broglie sobre las propiedades ondulatorias de la materia, E. Schrödinger recibió su ecuación famosa. Schrödinger comparó el movimiento de micropartículas función compleja coordenadas y tiempo, a la que llamó función de onda y designó letra griega"psi" (). La llamaremos función psi.

La función psi caracteriza el estado de la micropartícula. La forma de la función se obtiene a partir de la solución de la ecuación de Schrödinger, que se ve así:

Aquí está la masa de la partícula, i - unidad imaginaria, - operador de Laplace, cuyo resultado actúa sobre una determinada función es la suma de las segundas derivadas parciales con respecto a las coordenadas:

La letra U en la ecuación (21.1) denota la función de las coordenadas y el tiempo, cuyo gradiente, tomado con el signo opuesto, determina la fuerza que actúa sobre la partícula. En el caso de que la función U no dependa explícitamente del tiempo, tiene el significado de energía potencial de una partícula.

De la ecuación (21.1) se deduce que la forma de la función psi está determinada por la función U, es decir, en última instancia, por la naturaleza de las fuerzas que actúan sobre la partícula.

La ecuación de Schrödinger es la ecuación fundamental de la mecánica cuántica no relativista. No puede derivarse de otras relaciones. Debe considerarse como un supuesto básico inicial, cuya validez se demuestra por el hecho de que todas las consecuencias que se derivan de él concuerdan con la mayor exactitud con los hechos experimentales.

Schrödinger estableció su ecuación basándose en una analogía óptico-mecánica. Esta analogía radica en la similitud de las ecuaciones que describen la trayectoria de los rayos de luz con las ecuaciones que determinan las trayectorias de las partículas en mecánica analítica. En óptica, la trayectoria de los rayos satisface el principio de Fermat (ver § 115 del segundo volumen); en mecánica, el tipo de trayectoria satisface el llamado principio de mínima acción.

Si el campo de fuerza en el que se mueve la partícula es estacionario, entonces la función V no depende explícitamente del tiempo y, como ya se señaló, tiene el significado de energía potencial. En este caso, la solución de la ecuación de Schrödinger se divide en dos factores, uno de los cuales depende sólo de las coordenadas y el otro sólo del tiempo:

Aquí E es la energía total de la partícula, que en el caso campo estacionario permanece constante. Para verificar la validez de la expresión (21.3), sustituyémosla en la ecuación (21.1). Como resultado obtenemos la relación

Reducido por multiplicador común llegamos a una ecuación diferencial que define la función

La ecuación (21.4) se denomina ecuación de Schrödinger para estados estacionarios. En lo que sigue nos ocuparemos únicamente de esta ecuación y, por brevedad, la llamaremos simplemente ecuación de Schrödinger. La ecuación (21.4) a menudo se escribe en la forma

Expliquemos cómo se puede llegar a la ecuación de Schrödinger. Por simplicidad, nos limitaremos al caso unidimensional. Consideremos una partícula que se mueve libremente.

Según la idea de De Broglie, es necesario asociarlo con una onda plana.

(V mecánica cuántica Se acostumbra tomar el exponente con signo menos). Reemplazando de acuerdo con (18.1) y (18.2) por E y , llegamos a la expresión

Diferenciando esta expresión una vez con respecto a t, y una segunda vez dos veces con respecto a x, obtenemos

En la mecánica clásica no relativista, la energía E y el momento de una partícula libre están relacionados por la relación

Sustituyendo E y en las expresiones (21.7) en esta relación y luego reduciendo por , obtenemos la ecuación

lo cual coincide con la ecuación (21.1), si en esta última ponemos

En el caso de una partícula que se mueve en un campo de fuerza caracterizado por energía potencial U, la energía E y el momento están relacionados por la relación

Ampliando las expresiones (21.7) para E a este caso, obtenemos

Multiplicando esta razón por y moviendo el término hacia la izquierda, llegamos a la ecuación

coincidiendo con la ecuación (21.1).

El razonamiento expuesto no tiene fuerza probatoria y no puede considerarse una derivación de la ecuación de Schrödinger. Su propósito es explicar cómo se puede llegar a esta ecuación.

En mecánica cuántica, el concepto juega un papel importante. Un operador es una regla por la cual una función (denotémosla) se asocia con otra función (denotémosla). Simbólicamente esto se escribe de la siguiente manera:

Aquí hay una designación simbólica del operador (con el mismo éxito se podría tomar cualquier otra letra con un "sombrero" encima, por ejemplo, etc.). En la fórmula (21.2), el papel de Q lo desempeña la función F, y el papel de f es el lado derecho de la fórmula.

Heisenberg llegó a la conclusión de que la ecuación del movimiento en la mecánica cuántica, que describe el movimiento de las micropartículas en varios campos de fuerza, debe haber una ecuación de la cual se seguirían los valores observados experimentalmente propiedades de las olas partículas. La ecuación gobernante debe ser una ecuación para la función de onda Ψ (x, y, z, t), ya que es precisamente esto, o más precisamente, la cantidad |Ψ| 2, determina la probabilidad de que una partícula esté presente en el momento del tiempo. t en volumen Δ V, es decir, en el área con coordenadas X Y x + dx, y Y y + dу, z Y z+ dz.

La ecuación básica de la mecánica cuántica no relativista fue formulada en 1926 por E. Schrödinger. La ecuación de Schrödinger, como todas las ecuaciones básicas de la física (por ejemplo, las ecuaciones de Newton en mecánica clásica y las ecuaciones de Maxwell para campo electromagnetico), no se deriva, sino que se postula. La exactitud de esta ecuación se confirma de acuerdo con la experiencia obtenida de su usando los resultados, lo que, a su vez, le confiere el carácter de ley de la naturaleza.

La ecuación general de Schrödinger es:

Dónde ? =h/(2π), metro- masa de partícula, Δ - operador de Laplace , i- unidad imaginaria, Ud.(x, y, z, t) es la función potencial de una partícula en el campo de fuerza en el que se mueve, Ψ( x, y, z, t) - requerido buey nueva caracteristica partículas.

La ecuación (1) es válida para cualquier partícula (con un espín igual a 0) que se mueve a una velocidad baja (en comparación con la velocidad de la luz), es decir, υ "Con.

Se complementa con condiciones, superpuesto a la función de onda:

1) la función de onda debe ser finita, inequívoca y continua;

2) derivados debe ser continuo;

3) función |Ψ| 2 debe ser integrable (esta condición en los casos más simples se reduce a la condición de normalización de probabilidades).

La ecuación (1) se llama Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

Para muchos fenomeno fisico, que ocurre en el micromundo, la ecuación (1) se puede simplificar eliminando la dependencia de Ψ con el tiempo, es decir Encuentre la ecuación de Schrödinger para estados estacionarios: estados con valores de energía fijos. Esto es posible si el campo de fuerza en el que se mueve la partícula es estacionario, es decir, la función U = U(x,y,z) no depende explícitamente del tiempo y tiene el significado de energía potencial. EN en este caso la solución de la ecuación de Schrödinger se puede representar como

. (2)

Ecuación (2) llamada ecuación de Schrödinger para estados estacionarios.

Esta ecuación incluye la energía total como parámetro. mi partículas. En la teoría de ecuaciones diferenciales se demuestra que tales ecuaciones tienen un número infinito de soluciones, de las cuales, al imponer condiciones de borde seleccionar soluciones que tengan significado fisico. Para la ecuación de Schrödinger tales condiciones son condiciones para la regularidad de las funciones de onda: Las nuevas funciones deben ser finitas, inequívocas y continuas junto con sus primeras derivadas.

Por tanto, sólo aquellas soluciones que se expresan mediante funciones regulares Ψ tienen un significado físico real. Pero no se realizan soluciones regulares para ningún valor de parámetro. MI, pero sólo para un determinado conjunto de ellos, característico de una tarea determinada. Estos valores de energía se llaman valores propios. . Las soluciones que corresponden a valores propios de energía se denominan funciones propias. . Valores propios mi Puede formar tanto continuo como serie discreta. En el primer caso, se habla de un espectro continuo o sólido, en el segundo, de un espectro discreto.

Partícula en un "pozo potencial" rectangular unidimensionalcon “muros” infinitamente altos

llevemos a cabo analisis cualitativo Soluciones de la ecuación de Schrödinger aplicadas a una partícula en un “pozo potencial” rectangular unidimensional con “paredes” infinitamente altas. Tal “agujero” se describe mediante energía potencial de la forma (para simplificar suponemos que la partícula se mueve a lo largo del eje X)

Dónde yo es el ancho del “agujero”, y la energía se cuenta desde su fondo (Fig. 2).

La ecuación de Schrödinger para estados estacionarios en el caso de un problema unidimensional se escribirá en la forma:

. (1)

Según las condiciones del problema (“paredes” infinitamente altas), la partícula no penetra más allá del “agujero”, por lo que la probabilidad de su detección (y, en consecuencia, la función de onda) fuera del “agujero” es cero. En los límites del “pozo” (en X= 0 y x = 1) la función de onda continua también debe desaparecer.

Por tanto, las condiciones de contorno en este caso tienen la forma:

Ψ (0) = Ψ ( yo) = 0. (2)

Dentro del “pozo” (0 ≤ X≤ 0) la ecuación de Schrödinger (1) se reducirá a la ecuación:

o . (3)

Dónde k2 = 2mE/? 2.(4)

Decisión común ecuación diferencial (3):

Ψ ( X) = A pecado kx + B porque kx.

Dado que según (2) Ψ (0) = 0, entonces B = 0. Entonces

Ψ ( X) = A pecado kx. (5)

Condición Ψ ( yo) = A pecado kl= 0 (2) se ejecuta sólo cuando kl = nπ, Dónde norte- números enteros, es decir Es necesario que

k = norteπ/l. (6)

De las expresiones (4) y (6) se deduce que:

(norte = 1, 2, 3,…), (7)

es decir. ecuación estacionaria Schrödinger, que describe el movimiento de una partícula en un “pozo potencial” con “paredes” infinitamente altas, sólo se satisface para los valores propios E p, dependiendo de un número entero PAG. Por lo tanto, la energía mi p Las partículas en un "pozo potencial" con "paredes" infinitamente altas aceptan sólo cierto valores discretos, es decir, está cuantificado.

Valores de energía cuantificados mi p son llamados niveles de energía y el numero PAG, definiendo niveles de energía las partículas se llaman número cuántico principal. Por lo tanto, una micropartícula en un "pozo potencial" con "paredes" infinitamente altas sólo puede tener un cierto nivel de energía. E p, o, como dicen, la partícula está en un estado cuántico. PAG.

Sustituyendo en (5) el valor k de (6), encontramos las funciones propias:

.

Constante de integración A encontramos a partir de la condición de normalización, que para este caso se escribirá en la forma:

.

Como resultado de la integración obtenemos , y las funciones propias tendrán la forma:

(norte = 1, 2, 3,…). (8)

Gráficas de funciones propias (8) correspondientes a niveles de energía (7) en norte= 1,2,3, se muestran en la Fig. 3, A. En la Fig. 3, b muestra la densidad de probabilidad de detectar una partícula a varias distancias de las “paredes” del agujero, igual a ‌‌‌‌‌‌ Ψ norte(X)‌ 2 = Ψ norte(X)·Ψ norte * (X) Para norte = 1, 2 y 3. De la figura se deduce que, por ejemplo, en un estado cuántico con norte= 2, una partícula no puede estar en el medio del "agujero", mientras que con la misma frecuencia puede estar a su izquierda y partes correctas. Este comportamiento de la partícula indica que los conceptos de trayectorias de partículas en la mecánica cuántica son insostenibles.

De la expresión (7) se deduce que el intervalo de energía entre dos niveles adyacentes es igual a:

Por ejemplo, para un electrón con buenas dimensiones. yo= 10-1 metro ( electrones libres en metal) , Δ mi norte ≈ 10 -35 · norte J ≈ 10 -1 6 norte eV, es decir Los niveles de energía están tan juntos que el espectro prácticamente puede considerarse continuo. Si las dimensiones del pozo son comparables a las atómicas ( yo ≈ 10 -10 m), entonces para el electrón Δ mi norte ≈ 10 -17 norte j ≈ 10 2 norte eV, es decir Evidentemente se obtienen valores de energía discretos (espectro de líneas).

Así, aplicar la ecuación de Schrödinger a una partícula en un "pozo potencial" con "paredes" infinitamente altas conduce a valores de energía cuantificados, mientras que la mecánica clásica no impone ninguna restricción a la energía de esta partícula.

Además, una consideración de la mecánica cuántica de este problema lleva a la conclusión de que una partícula "en un pozo potencial" con "paredes" infinitamente altas no puede tener una energía menor que la energía mínima igual a π 2 ? 2 /(2t1 2). La presencia de una energía mínima distinta de cero no es accidental y se deriva de la relación de incertidumbre. Incertidumbre de coordenadas Δ X partículas en un "pozo" ancho yo igual a Δ X= yo.

Entonces, según la relación de incertidumbre, el impulso no puede tener un valor exacto, en este caso cero. Incertidumbre del momento Δ R ≈ h/l. Esta dispersión de valores de impulso corresponde a energía cinética mi mín ≈(Δ pag) 2 / (2metro) = ? 2 / (2ml 2). Todos los demás niveles ( p> 1) tener una energía superior a este valor mínimo.

De las fórmulas (9) y (7) se deduce que para números cuánticos grandes ( norte"1) Δ mi norte / mi p ≈ 2/PAG“1, es decir, los niveles adyacentes están ubicados muy cerca: cuanto más cerca, más PAG. Si PAG es muy grande, entonces podemos hablar de una secuencia casi continua de niveles y característica distintiva procesos cuánticos— la discreción se suaviza. Este resultado es un caso especial del principio de correspondencia de Bohr (1923), según el cual las leyes de la mecánica cuántica deben valores grandes números cuánticos Pasemos a las leyes de la física clásica.

§ 217. Ecuación general de Schrödinger. Ecuación de Schrödinger para estados estacionarios

La interpretación estadística de las ondas de Da Broglie (ver § 216) y la relación de incertidumbre de Heisenberg (ver § 215) llevó a la conclusión de que la ecuación de movimiento en mecánica cuántica, que describe el movimiento de micropartículas en varios campos de fuerza, debería ser una ecuación de donde se obtienen los observables sobre las propiedades ondulatorias experimentales de las partículas. La ecuación gobernante debe ser una ecuación con respecto a la función de onda (x, y, z, t ), ya que es precisamente esto, o, más precisamente, la cantidad, lo que determina la probabilidad de que una partícula esté en el momento del tiempo.t en volumendV , es decir, en el área con coordenadasX Y X + dx . y Y y + dy . zuz + dz . Dado que la ecuación requerida debe tener en cuenta las propiedades ondulatorias de las partículas, debe ser una ecuación ondulatoria, similar a la ecuación que describe ondas electromagnéticas.

Ecuación básicamecánica cuántica no relativista formulado en 1926 por E. Schrödinger. La ecuación de Schrödinger, como todas las ecuaciones básicas de la física (por ejemplo, las ecuaciones de Newton en mecánica clásica y las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético), no se deriva, sino que se postula. La exactitud de esta ecuación se ve confirmada por la concordancia con la experiencia de los resultados obtenidos con su ayuda, lo que, a su vez, le da el carácter de una ley de la naturaleza. La ecuación de Schrödinger tiene la forma

(217.1)

Dónde,t - masa de partículas, - operador de Laplace ,

- unidad imaginaria,V (x, y, z , t ) - función potencial de una partícula en el campo de fuerza en el que se mueve,(x, y, z, t ) - la función de onda deseada de la partícula.

La ecuación (217.1) es válida para cualquier partícula (con espín igual a 0; ver § 225) que se mueve a baja velocidad (en comparación con la velocidad de la luz), es decir, con la velocidad que se complementa con las condiciones impuestas a la onda. función: 1) la función de onda debe ser finita, inequívoca y continua (ver § 216); 2) derivados debe ser continuo; 3) la función debe ser

integrables; esta condición en los casos más simples se reduce a la condición de normalización de probabilidades (216.3).

Para llegar a la ecuación de Schrödinger, consideremos una partícula que se mueve libremente y que, según la idea de De Broglie, está asociada con onda plana. Por simplicidad, consideramos el caso unidimensional. Ecuación de una onda plana que se propaga a lo largo de un eje. X, tiene la forma (ver § 154), o en notación compleja Por lo tanto plano

la onda de Broglie tiene la forma

(217.2)

(se tiene en cuenta que En mecánica cuántica, el exponente se toma con signo menos,

pero como sólo tiene un significado físico, esto (ver (217.2)) no tiene importancia. Entonces

dónde

Usando la relación entre la energía.mi e impulso y sustituyendo expresiones

(217.3), obtenemos la ecuación diferencial

que coincide con la ecuación (217.1) para el casoUd. =0 (consideramos una partícula libre).

Si una partícula se mueve en un campo de fuerza caracterizado por energía potencial.Ud. , Eso

energía totalmi consiste en típico energías reales y potenciales. Realizando similares

razonamiento y uso de la relación entremi YR (para este caso vendremos

° a una ecuación diferencial que coincide con (217.1).

El razonamiento anterior no debe tomarse como una derivación de la ecuación de Schrödinger. Sólo explican cómo se puede llegar a esta ecuación. La prueba de la exactitud de la ecuación de Schrödinger es la concordancia con la experiencia de las conclusiones a las que conduce.

La ecuación (217.1) es la ecuación general de Schrödinger. También se le llama ecuación de Schroednäger dependiente del tiempo. Para muchos fenómenos físicos que ocurren en el micromundo, la ecuación (217.1) se puede simplificar eliminando la dependencia del tiempo; en otras palabras, encuentre la ecuación de Schrödinger para estados estacionarios - estados con valores de energía fijos. Esto es posible si el campo de fuerza en el que se mueve la partícula es estacionario, es decir, la función no depende explícitamente del tiempo y tiene el significado de energía potencial. En este caso, la solución de la ecuación de Schrödinger se puede representar como el producto de dos funciones, una de las cuales es función solo de coordenadas, la otra, solo del tiempo, y la dependencia del tiempo se expresa mediante el multiplicador.

Entonces

Dóndemi es la energía total de la partícula, constante en el caso de un campo estacionario. Sustituyendo (217.4) en (217.1), obtenemos

de donde, después de dividir por factores comunes y las transformaciones correspondientes

llegamos a la ecuación que define la función

(217.5)

La ecuación (217.5) se denomina ecuación de Schrödinger para estados estacionarios. Esta ecuación incluye la energía total como parámetro. mi partículas. En la teoría de ecuaciones diferenciales se demuestra que tales ecuaciones tienen un número infinito de soluciones, de las cuales se seleccionan soluciones que tienen un significado físico imponiendo condiciones de contorno. Para la ecuación de Schrödinger, tales condiciones son las condiciones para la regularidad de las funciones de onda: las funciones de onda deben ser finitas, univaluadas y continuas junto con sus primeras derivadas. Por tanto, sólo aquellas soluciones que se expresan mediante funciones regulares tienen un significado físico real. Pero las soluciones regulares no tienen lugar para ningún valor del parámetro. MI, pero sólo para un determinado conjunto de ellos, característico de una tarea determinada. Estos valores de energía se denominan valores propios. Las soluciones, que corresponden a los valores propios de energía, se denominan funciones propias. Valores propios mi puede formar tanto permanente

series discontinuas y discretas. En el primer caso, se habla de un espectro continuo o sólido, en el segundo, de un espectro discreto.

§ 218. El principio de causalidad ■ mecánica cuántica

A partir de la relación de incertidumbre, a menudo se llega a la conclusión de que el principio de causalidad no es aplicable a los fenómenos que ocurren en el microcosmos. Esto se basa en las siguientes consideraciones. En la mecánica clásica, según el principio de causalidad: principio El determinismo clásico, basado en el estado conocido del sistema en un momento determinado (completamente determinado por los valores de las coordenadas y los momentos de todas las partículas del sistema) y las fuerzas que se le aplican, se puede determinar con absoluta precisión su estado en cualquier momento posterior. Por eso, física clásica se basa en la siguiente comprensión de la causalidad: estado sistema mecánico V momento inicial el tiempo con la ley conocida de interacción de partículas es la causa, y su estado en un momento posterior es el efecto.

Por otro lado, los microobjetos no pueden tener simultáneamente una determinada coordenada y una determinada proyección correspondiente de impulso (establecida por la relación de incertidumbre (215.1)), por lo que se concluye que en el momento inicial el estado del sistema es no determinado con precisión. Si el estado del sistema no se determina en el momento inicial, entonces no se pueden predecir los estados posteriores, es decir, se viola el principio de causalidad.

Sin embargo, no se observa ninguna violación del principio de causalidad en relación con los microobjetos, ya que en la mecánica cuántica el concepto de estado de un microobjeto adquiere un significado completamente diferente que en la mecánica clásica. En mecánica cuántica, el estado de un microobjeto está completamente determinado por la función de onda (x, y,z, t), el cuadrado del módulo del cual(x, y,z, t)\ 2 especifica la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en un punto con coordenadas x, y,z.

A su vez, la función de onda(x, y,z, t) satisface la ecuación de Schrödinger (217.1), que contiene la primera derivada de la función con respecto al tiempo. Esto también significa que especificar una función (para el tiempo t 0) determina su valor en momentos posteriores. Por tanto, en mecánica cuántica el estado inicial

Hay una causa y el estado en el momento posterior es una consecuencia. Ésta es la forma del principio de causalidad en la mecánica cuántica, es decir, la especificación de una función predetermina sus valores para los momentos posteriores. Así, el estado de un sistema de micropartículas, definido en la mecánica cuántica, se deriva inequívocamente del estado anterior, como exige el principio de causalidad.

Según el folclore tan extendido entre los físicos, sucedió así: en 1926, un físico teórico de nombre habló en un seminario científico en la Universidad de Zurich. Habló de nuevas ideas extrañas en el aire, de cómo los objetos microscópicos a menudo se comportan más como ondas que como partículas. Entonces un profesor anciano pidió la palabra y dijo: “Schrödinger, ¿no ves que todo esto es una tontería? ¿O no sabemos todos que las ondas son simplemente ondas que pueden describirse mediante ecuaciones de ondas? Schrödinger tomó esto como un insulto personal y se propuso desarrollar una ecuación de onda para describir partículas en el marco de la mecánica cuántica, y lo logró de manera brillante.

Es necesario hacer una explicación aquí. En nuestro mundo cotidiano, la energía se transfiere de dos maneras: a través de la materia cuando se mueve de un lugar a otro (por ejemplo, una locomotora en movimiento o el viento) (en dicha transferencia de energía participan partículas) o mediante ondas (por ejemplo, ondas de radio que son transmitidas por potentes transmisores y captadas por las antenas de nuestros televisores). Es decir, en el macrocosmos donde vivimos usted y yo, todos los portadores de energía se dividen estrictamente en dos tipos: corpusculares (que consisten en partículas materiales) u ondulatorios. En este caso, cualquier onda se describe. tipo especial ecuaciones - ecuaciones de onda. Todas las olas, sin excepción, son olas del océano, ondas sísmicas rocas, las ondas de radio de galaxias distantes se describen mediante el mismo tipo de ecuaciones de ondas. Esta explicación es necesaria para dejar claro que si queremos representar los fenómenos del mundo subatómico en términos de ondas de distribución de probabilidad (ver Mecánica Cuántica), estas ondas también deben describirse mediante la ecuación de onda correspondiente.

Schrödinger aplicó la ecuación diferencial clásica de la función de onda al concepto de ondas de probabilidad y obtuvo la famosa ecuación que lleva su nombre. Así como la ecuación habitual de la función de onda describe la propagación de, por ejemplo, ondas en la superficie del agua, la ecuación de Schrödinger describe la propagación de una onda de la probabilidad de encontrar una partícula en un punto dado del espacio. Los picos de esta onda (puntos de máxima probabilidad) muestran en qué lugar del espacio es más probable que acabe la partícula. Aunque la ecuación de Schrödinger pertenece a la región Matemáticas avanzadas, es muy importante entender física moderna, que todavía la presentaré aquí, en la forma más simple (la llamada “ecuación de Schrödinger estacionaria unidimensional”). La función de onda de distribución de probabilidad anterior, denotada con la letra griega (psi), es la solución a la siguiente ecuación diferencial (está bien si no la entiendes; solo confíe en que esta ecuación muestra que la probabilidad se comporta como una onda ): :

La imagen de los eventos cuánticos que nos da la ecuación de Schrödinger es que los electrones y otros partículas elementales se comportan como olas en la superficie del océano. Con el tiempo, el pico de la onda (correspondiente al lugar donde es más probable que se encuentre el electrón) se mueve en el espacio de acuerdo con la ecuación que describe esta onda. Es decir, lo que tradicionalmente considerábamos una partícula se comporta de forma muy parecida a una onda en el mundo cuántico.

Cuando Schrödinger publicó por primera vez sus resultados, el mundo física teórica una tormenta estalló en un vaso de agua. El caso es que casi al mismo tiempo apareció el trabajo del contemporáneo de Schrödinger, Werner Heisenberg (ver Principio de incertidumbre de Heisenberg), en el que el autor propuso el concepto de “mecánica matricial”, donde se resolvieron los mismos problemas de la mecánica cuántica. en otro sistema más complejo. punto matemático ver forma matricial. La conmoción se debió al hecho de que los científicos simplemente temían si los dos en igualmente enfoques convincentes para describir el micromundo. Las preocupaciones fueron en vano. Ese mismo año, el propio Schrödinger demostró la completa equivalencia de las dos teorías, es decir, la ecuación matricial se deriva de la ecuación de onda y viceversa; los resultados son idénticos. Hoy en día, se utiliza principalmente la versión de Schrödinger (a veces llamada "mecánica ondulatoria") porque su ecuación es menos engorrosa y más fácil de enseñar.

Sin embargo, no es tan fácil imaginar y aceptar que algo como un electrón se comporte como una onda. EN La vida cotidiana chocamos con una partícula o una onda. La pelota es una partícula, el sonido es una onda y eso es todo. En el mundo de la mecánica cuántica no todo es tan sencillo. De hecho, y los experimentos pronto lo demostraron, en el mundo cuántico las entidades se diferencian de los objetos que conocemos y tienen propiedades diferentes. La luz, que consideramos una onda, a veces se comporta como una partícula (llamada fotón), y partículas como los electrones y los protones pueden comportarse como ondas (consulte el Principio de complementariedad).

Este problema suele denominarse naturaleza dual o dual de onda-partícula de las partículas cuánticas y, aparentemente, es característico de todos los objetos del mundo subatómico (ver el teorema de Bell). Debemos comprender que en el micromundo nuestras ideas intuitivas ordinarias sobre qué formas puede adoptar la materia y cómo puede comportarse simplemente no se aplican. El hecho mismo de que utilicemos la ecuación de onda para describir el movimiento de lo que estamos acostumbrados a considerar partículas es una prueba clara de ello. Como se señaló en la Introducción, no hay ninguna contradicción particular en esto. Después de todo, no tenemos razones de peso para creer que lo que observamos en el macrocosmos deba reproducirse con precisión al nivel del microcosmos. Sin embargo, la naturaleza dual de las partículas elementales sigue siendo uno de los aspectos más desconcertantes y preocupantes de la mecánica cuántica para muchas personas, y no es exagerado decir que todos los problemas comenzaron con Erwin Schrödinger.

Enciclopedia de James Trefil “La naturaleza de la ciencia. 200 leyes del universo."

James Trefil es profesor de física en la Universidad George Mason (EE.UU.), uno de los autores occidentales más famosos de libros de divulgación científica.

Max Planck, uno de los fundadores de la mecánica cuántica, llegó a la idea de la cuantificación de la energía, tratando de explicar teóricamente el proceso de interacción entre las ondas electromagnéticas y los átomos recientemente descubiertos y, así, resolver el problema de la radiación del cuerpo negro. Se dio cuenta de que para explicar el espectro de emisión observado de los átomos, es necesario dar por sentado que los átomos emiten y absorben energía en porciones (que el científico llamó cuantos) y sólo en frecuencias de onda individuales.

Absolutamente cuerpo negro, completamente absorbente radiación electromagnética de cualquier frecuencia, cuando se calienta, emite energía en forma de ondas distribuidas uniformemente en todo el espectro de frecuencias.

La palabra “quantum” proviene del latín quantum (“cuánto, cuánto”) y del inglés quantum (“cantidad, porción, cuanto”). “Mecánica” ha sido durante mucho tiempo el nombre que se le ha dado a la ciencia del movimiento de la materia. En consecuencia, el término "mecánica cuántica" significa la ciencia del movimiento de la materia en porciones (o, en términos modernos lenguaje científico ciencia del movimiento de la materia cuantificada). El término "cuántico" fue acuñado por el físico alemán Max Planck para describir la interacción de la luz con los átomos.

Uno de los hechos del mundo subatómico es que sus objetos, como los electrones o los fotones, no se parecen en nada a los objetos habituales del macromundo. No se comportan ni como partículas ni como ondas, sino completamente educación especial, exhibiendo ondas y propiedades corpusculares depende de las circunstancias. Una cosa es hacer una afirmación, pero otra muy distinta es conectar los aspectos ondulatorios y partículares del comportamiento de las partículas cuánticas, describiéndolos con una ecuación exacta. Esto es exactamente lo que se hizo en la relación de Broglie.

En la vida cotidiana, hay dos formas de transferir energía en el espacio: a través de partículas u ondas. EN la vida cotidiana No hay contradicciones visibles entre los dos mecanismos de transferencia de energía. Entonces, una pelota de baloncesto es una partícula y el sonido es una onda y todo está claro. Sin embargo, en mecánica cuántica las cosas no son tan sencillas. Incluso desde los experimentos más simples con objetos cuánticos Muy pronto queda claro que en el micromundo los principios y leyes del macromundo a los que estamos acostumbrados no se aplican. La luz, que estamos acostumbrados a considerar como una onda, a veces se comporta como si estuviera formada por una corriente de partículas (fotones), y las partículas elementales, como un electrón o incluso un protón masivo, a menudo exhiben las propiedades de una onda.

Sobre todo, Einstein protestó contra la necesidad de describir los fenómenos del micromundo en términos de probabilidades y funciones de onda, y no desde la posición habitual de coordenadas y velocidades de partículas. Eso es lo que quiso decir con "tirar los dados". Reconoció que describir el movimiento de los electrones en términos de sus velocidades y coordenadas contradice el principio de incertidumbre. Pero, argumentó Einstein, debe haber algunas otras variables o parámetros, teniendo en cuenta los cuales la imagen de la mecánica cuántica del micromundo volverá al camino de la integridad y el determinismo. Es decir, insistió, sólo nos parece que Dios está jugando a los dados con nosotros, porque no lo entendemos todo. Así, fue el primero en formular la hipótesis de la variable oculta en las ecuaciones de la mecánica cuántica. Consiste en el hecho de que, de hecho, los electrones tienen coordenadas y velocidades fijas, como las bolas de billar de Newton, y el principio de incertidumbre y el enfoque probabilístico para su determinación en el marco de la mecánica cuántica son el resultado de lo incompleto de la teoría misma, que es por eso no les permite definir con certeza.

Yulia Zotova

Aprenderás: Qué tecnologías se llaman cuánticas y por qué. ¿Cuál es la ventaja de las tecnologías cuánticas sobre las clásicas? ¿Qué puede y qué no puede? computadora cuántica. Cómo los físicos hacen una computadora cuántica. Cuando será creado.

El físico francés Pierre Simon Laplace puso pregunta importante, sobre si todo en el mundo está predeterminado por el estado anterior del mundo, o si una causa puede provocar varias consecuencias. Como esperaba la tradición filosófica, el propio Laplace en su libro "Exposición del sistema mundial" no hizo ninguna pregunta, pero dijo una respuesta preparada de que sí, todo en el mundo está predeterminado, sin embargo, como suele suceder en la filosofía, La imagen del mundo propuesta por Laplace no convenció a todos y por eso su respuesta dio lugar a un debate en torno al tema que continúa hasta el día de hoy. A pesar de la opinión de algunos filósofos de que la mecánica cuántica ha resuelto esta pregunta A favor del enfoque probabilístico, sin embargo, todavía se discute hoy la teoría de la predeterminación completa de Laplace, o como también se la llama, la teoría del determinismo de Laplace.

Gordey Lesovik

Hace algún tiempo, un grupo de coautores y yo comenzamos a deducir la segunda ley de la termodinámica desde el punto de vista de la mecánica cuántica. Por ejemplo, en una de sus formulaciones, que afirma que la entropía sistema cerrado no disminuye, normalmente aumenta y, a veces, permanece constante si el sistema está aislado energéticamente. Usando resultados conocidos Teoría cuántica información, hemos derivado algunas condiciones bajo las cuales esta afirmación es verdadera. Inesperadamente, resultó que estas condiciones no coinciden con la condición de aislamiento energético de los sistemas.

El profesor de física Jim Al-Khalili explora el más preciso y uno de los más confusos. teorías científicas- física cuántica. A principios del siglo XX, los científicos sondearon las profundidades ocultas de la materia, los componentes subatómicos del mundo que nos rodea. Descubrieron fenómenos que eran diferentes a todo lo visto antes. Un mundo donde todo puede estar en muchos lugares al mismo tiempo, donde la realidad sólo existe verdaderamente cuando la observamos. Albert Einstein se resistió a la mera idea de que la aleatoriedad fuera el núcleo de la naturaleza. la física cuántica implica que las partículas subatómicas pueden interactuar velocidad más rápida luz, y esto contradice su teoría de la relatividad.

De la interpretación estadística de las ondas de De Broglie (ver § y de las relaciones de incertidumbre de Heisenberg (ver § 215) se deduce que la ecuación de movimiento en mecánica cuántica, que describe el movimiento de micropartículas en varios campos de fuerza, debería ser una ecuación a partir de la cual las observaciones seguiría: propiedades ondulatorias de las partículas determinadas experimentalmente.

La ecuación principal debe ser una ecuación con respecto a la función de onda, ya que es precisamente ella, o más precisamente el valor |Ф|2, lo que determina la probabilidad de que una partícula esté presente en el momento del tiempo. t en volumen dv, en el área con coordenadas y X+ dx, y+dy,

z y Dado que la ecuación requerida debe tener en cuenta las propiedades ondulatorias de las partículas, debe ser ecuación de onda, similar a la ecuación que describe las ondas electromagnéticas. Ecuación básica mecánica cuántica no relativista formulado en 1926 por E. Schrödinger. La ecuación de Schrödinger, como todas las ecuaciones básicas de la física (por ejemplo, las ecuaciones de Newton en mecánica clásica y las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético), no se deriva, sino que se postula. La exactitud de esta ecuación se ve confirmada por la concordancia con la experiencia de los resultados obtenidos con su ayuda, lo que, a su vez, le da el carácter de una ley de la naturaleza. La ecuacion

Schrödinger tiene la forma

unidad imaginaria, y,z,t) -

Función potencial partículas en el campo de fuerza en el que se mueve; z,t) - función de onda deseada

La ecuación es válida para cualquier partícula (con un espín igual a 0; ver § 225) que se mueve a una velocidad baja (en comparación con la velocidad de la luz), es decir v Con. Se complementa con condiciones impuestas a la función de onda: 1) la función de onda debe ser finita, inequívoca y continua (ver § 216);

2) derivados -, -, --, deben-

dh-doo

necesitamos ser continuos; 3) la función |Ф|2 debe ser integrable; esta condición en los casos más simples se reduce a

Condición de normalización (216.3).

Para llegar a la ecuación de Schrödinger, consideremos una partícula que se mueve libremente, a la que, según De Broglie, está asociada. Para simplificar, consideremos el caso unidimensional. Ecuación de una onda plana que se propaga a lo largo de un eje. X, tiene la forma (ver § 154) t) = Un cos - o notación compleja t)- Por tanto, la onda del plano de Broglie tiene la forma

(217.2)

(se tiene en cuenta que - = -). En cuántica

El exponente se toma con el signo “-”, ya que sólo |Ф|2 tiene significado físico, esto no es importante. Entonces

Usando la relación entre la energía. mi e impulso = --) y sustituyendo

expresión (217.3), obtenemos la ecuación diferencial

que coincide con la ecuación para el caso U- O (consideramos una partícula libre).

Si una partícula se mueve en un campo de fuerza caracterizado por energía potencial. tú, entonces la energía total mi consta de energías cinética y potencial. Llevando a cabo un razonamiento similar y utilizando la relación entre ("para

Casos = UE), llegamos a una ecuación diferencial que coincide con (217.1).

El razonamiento anterior no debe tomarse como una derivación de la ecuación de Schrödinger. Sólo explican cómo se puede llegar a esta ecuación. La prueba de la exactitud de la ecuación de Schrödinger es la concordancia con la experiencia de las conclusiones a las que conduce.

La ecuación (217.1) es Ecuación general de Schrödinger. También es llamado Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Para muchos fenómenos físicos que ocurren en el micromundo, la ecuación (217.1) se puede simplificar eliminando la dependencia del tiempo; en otras palabras, encuentre la ecuación de Schrödinger para estados estacionarios: estados con valores de energía fijos. Esto es posible si el campo de fuerza en el que se mueve la partícula es estacionario, es decir, la función U=z) no depende explícitamente del tiempo y tiene el significado de energía potencial.

En este caso, la solución de la ecuación de Schrödinger se puede representar como el producto de dos funciones, una de las cuales es función solo de coordenadas, la otra, solo del tiempo, y la dependencia del tiempo se expresa por

Se multiplica por e" = e, entonces

(217.4)

Dónde mi es la energía total de la partícula, constante en el caso de un campo estacionario. Sustituyendo (217.4) en (217.1), obtenemos

Donde, después de dividir por el factor común e de las transformaciones correspondientes

Formación, llegamos a la ecuación que define la función.

La ecuacion ecuación

Teoría de Schrödinger para estados estacionarios. Esta ecuación incluye la energía total como parámetro. mi partículas. En la teoría de ecuaciones diferenciales se demuestra que tales ecuaciones tienen un número infinito de soluciones, de las cuales a través de Al imponer condiciones de contorno, seleccione soluciones que tengan un efecto físico.

Para la ecuación de Schrödinger tales condiciones son condiciones para la regularidad de las funciones de onda: Las funciones de onda deben ser finitas, univaluadas y continuas junto con sus primeras derivadas.

Por tanto, sólo aquellas soluciones que se expresan mediante funciones regulares tienen un significado físico real. Pero las soluciones regulares no tienen lugar para ningún valor del parámetro. MI, pero sólo para un determinado conjunto de ellos, característico de un problema determinado. Estos valores energéticos son llamados propio. Las soluciones que corresponden a los valores propios de energía se denominan funciones propias. Valores propios mi puede formar series tanto continuas como discretas. En el primer caso hablamos de continuo, o espectro continuo en el segundo - sobre espectro discreto.

§ 218. El principio de causalidad en la mecánica cuántica.

De la relación de incertidumbre a menudo se concluye que

el principio de causalidad a los fenómenos que ocurren en el microcosmos. Esto se basa en las siguientes consideraciones. En la mecánica clásica, según el principio de causalidad - el principio del determinismo clásico, Por el estado conocido del sistema en un momento determinado (completamente determinado por los valores de las coordenadas y los momentos de todas las partículas del sistema) y las fuerzas que se le aplican, se puede determinar con absoluta precisión su estado en cualquier momento posterior. . En consecuencia, la física clásica se basa en la siguiente comprensión de la causalidad: el estado de un sistema mecánico en el momento inicial con una ley conocida de interacción de partículas es la causa, y su estado en el momento posterior es el efecto.

Por otro lado, los microobjetos no pueden tener simultáneamente una determinada coordenada y una determinada proyección correspondiente de impulso [están dadas por la relación de incertidumbre, por lo que se concluye que en el momento inicial el estado del sistema no está determinado con precisión; Si el estado del sistema no es seguro en el momento inicial, entonces los estados posteriores no se pueden predecir, es decir, se viola el principio de causalidad.

Sin embargo, no se observa ninguna violación del principio de causalidad en relación con los microobjetos, ya que en la mecánica cuántica el concepto de estado de un microobjeto adquiere un significado completamente diferente al de la mecánica clásica. En mecánica cuántica, el estado de un microobjeto está completamente determinado por la función de onda cuyo módulo es al cuadrado.

2 especifica la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en un punto con coordenadas x, y, z.

A su vez, la función de onda satisface la ecuación

Schrödinger que contiene la primera derivada de la función Ф con respecto al tiempo. Esto también significa que especificar una función (para un momento en el tiempo determina su valor en momentos posteriores. En consecuencia, en mecánica cuántica, el estado inicial es la causa y el estado Ф en el momento posterior es el efecto. Esta es la forma de el principio de causalidad en la mecánica cuántica, es decir, la especificación de una función predetermina sus valores para cualquier momento posterior. Por tanto, el estado de un sistema de micropartículas definido en la mecánica cuántica se deriva inequívocamente del estado anterior, como exige el principio de causalidad. .

§219. Movimiento de una partícula libre.

partícula libre - una partícula que se mueve en ausencia de campos externos. Desde el libre (déjalo moverse a lo largo del eje X) Las fuerzas no actúan, entonces la energía potencial de la partícula. U(x) = constante y puede ser aceptado igual a cero. Entonces la energía total de la partícula coincide con su energía cinética. En este caso, la ecuación de Schrödinger (217.5) para estados estacionarios tomará la forma

(219.1)

Por sustitución directa podemos verificar que una solución particular de la ecuación (219.1) es la función - Dónde Una = constante y A= constante, s valor propio energía

La función = = representa solo la parte coordinada de la función de onda. Por lo tanto, la función de onda dependiente del tiempo, según (217.4),

(219.3) es una onda de Broglie monocromática plana [ver (217.2)].

De De la expresión (219.2) se deduce que la dependencia de la energía del momento

resulta ser habitual para partículas no relativistas. Por tanto, la energía de una partícula libre puede tomar cualquier valor(desde el número de onda A puede tomar cualquier valor positivo), es decir, energía rango partícula libre es continuo.

Tan libre partícula cuántica se describe mediante una onda de Broglie plana monocromática. Esto corresponde a la densidad de probabilidad independiente del tiempo de detectar una partícula en un punto dado del espacio.

es decir, todas las posiciones de una partícula libre en el espacio son igualmente probables.

§ 220. Partícula en un “pozo potencial” rectangular unidimensional con infinitamente alta

"paredes"

Llevemos a cabo un análisis cualitativo de las soluciones de la ecuación de Schrödinger utilizando

Arroz. 299

(220.4)

relativo a la partícula V un “pozo potencial” rectangular unidimensional con “paredes” infinitamente altas. Tal "pozo" se describe mediante energía potencial de la forma (para simplificar, asumimos que la partícula se mueve a lo largo del eje X)

¿Dónde está el ancho del “pozo”? A la energía se cuenta desde su parte inferior (Fig. 299).

La ecuación de Schrödinger (217.5) para estados estacionarios en el caso de un problema unidimensional se escribirá en la forma

Según las condiciones del problema (“paredes” infinitamente altas), la partícula no penetra más allá del “agujero”, por lo que la probabilidad de su detección (y, en consecuencia, la función de onda) fuera del “agujero” es cero. En los límites del “pozo” (en X- 0 y x = la función de onda continua también debe desaparecer. En consecuencia, las condiciones de contorno en este caso tienen la forma

Dentro del “pozo” (0 X la ecuación de Schrödinger (220.1) se reducirá a la ecuación

La solución general de la ecuación diferencial (220.3):

Dado que según (220.2) = 0, entonces EN= 0.

(220.5)

Condición (220.2) = 0 se ejecuta sólo para donde PAG- números enteros, es decir es necesario que

De las expresiones (220.4) y (220.6) se deduce,

es decir, la ecuación estacionaria de Schrödinger, que describe el movimiento de una partícula en un "pozo potencial" con "paredes" infinitamente altas, se satisface sólo para valores propios que dependen del número entero PAG. Por lo tanto, la energía de las partículas en

un "pozo potencial" con "paredes" infinitamente altas sólo requiere ciertos valores discretos, aquellos. cuantificado.

Los valores de energía cuantificados se denominan niveles de energía y el numero PAG, que determina los niveles de energía de una partícula se llama número cuántico principal. Por lo tanto, una micropartícula en un "pozo potencial" con "paredes" infinitamente altas sólo puede estar en un cierto nivel de energía o, como dicen, la partícula está en un nivel cuántico.

Sustituyendo en (220.5) el valor A de (220.6), encontramos las funciones propias:

Constante de integración A encontramos a partir de la condición de normalización (216.3), que para este caso se escribirá en la forma

EN resultado de la integración de semi-

A - A Las funciones propias se verán así.

Yo Rafiki funciones propias(220,8), correspondiente a los niveles

energía (220,7) en n=1,2, 3 se muestran en la Fig. 300, A. En la Fig. 300, b muestra la densidad de probabilidad de detectar una partícula a varias distancias de las "paredes" del agujero, igual a =

Para norte= 1, 2 y 3. De la figura se deduce que, por ejemplo, en un estado cuántico con PAG= 2, la partícula no puede estar en el medio del “pozo”, mientras que con la misma frecuencia puede estar en sus partes izquierda y derecha. Este comportamiento de la partícula indica que las ideas sobre las trayectorias de las partículas en la mecánica cuántica son insostenibles. De la expresión (220.7) se deduce que el intervalo de energía entre dos

Los niveles vecinos son iguales a

Por ejemplo, para un electrón con buenas dimensiones. - 10"1 m (electricidad gratuita

Tronos en metal) 10 J

Es decir, los niveles de energía están tan cerca que el espectro prácticamente puede considerarse continuo. Si las dimensiones del pozo son proporcionales a la m atómica), entonces para un electrón J eV, es decir Evidentemente se obtienen valores de energía discretos (espectro de líneas).

Por tanto, la aplicación de la ecuación de Schrödinger a una partícula en un "pozo potencial" con valores infinitamente altos

Las “paredes” conducen a valores de energía cuantificados, mientras que la mecánica clásica no impone ninguna restricción a la energía de esta partícula.

Además,

La consideración de este problema lleva a la conclusión de que la partícula está "en un pozo de potencial" con una "infinitamente alta". paredes"No se puede tener menos energía.

Mínimo, igual a [ver. (220.7)].

La presencia de una energía mínima distinta de cero no es accidental y se deriva de la relación de incertidumbre. Coordinar la incertidumbre Oh partículas en un "pozo" ancho ah= Entonces, según la relación de incertidumbre, el impulso no puede tener un valor exacto, en este caso cero. Incertidumbre del impulso

Tal variedad de valores

El impulso corresponde a la energía cinética.

Todos los demás niveles (n > 1) tener energía superior a este valor mínimo.

De fórmulas (220.9) y (220.7) se deduce que para números cuánticos grandes

es decir, los niveles adyacentes están ubicados cerca: cuanto más cerca, más PAG. Si PAG es muy grande, entonces podemos hablar de una secuencia casi continua de niveles y se suaviza el rasgo característico de los procesos cuánticos: la discreción. Este resultado es un caso especial. Principio de correspondencia de Bohr (1923), según el cual las leyes de la mecánica cuántica deberían transformarse en las leyes de la física clásica para valores grandes de números cuánticos.

Más Interpretación general del principio de correspondencia: alguna novedad, mas teoria general, que es un desarrollo de la teoría clásica, no la rechaza por completo, pero incluye la teoría clásica, indicando los límites de su aplicación y, en ciertos casos límite, nueva teoría entra en el antiguo. Así, las fórmulas de cinemática y dinámica. teoría especial la relatividad pasa a v c a las fórmulas de la mecánica newtoniana. Por ejemplo, aunque la hipótesis de Da Broglie atribuye propiedades ondulatorias a todos los cuerpos, en los casos en que se trata de cuerpos macroscópicos, sus propiedades ondulatorias pueden despreciarse, es decir, aplicar mecanica clasica Newton.

§ 221. El paso de una partícula a través de una barrera de potencial.

Efecto túnel

la barrera de potencial más simple de forma rectangular (Fig. para unidimensional (a lo largo del eje de movimiento de la partícula. Para una barrera de potencial de forma rectangular con una altura y un ancho / podemos escribir

Bajo las condiciones dadas del problema, una partícula clásica, que tiene energía MI, o pasará sin obstáculos por encima de la barrera (si E > U), o se reflejará en él (si mi< U) se mudará reverso, es decir. ella no puede atravesar la barrera. Para una micropartícula, incluso con mi > u, disponible excelente desde cero la probabilidad de que una partícula se refleje desde la barrera y se mueva en la dirección opuesta. En mi También existe una probabilidad distinta de cero de que la partícula termine en la región. x> aquellos. atravesará la barrera. Conclusiones similares aparentemente paradójicas se derivan directamente de la solución de la ecuación de Schrödinger, que describe

412

describiendo el movimiento de una micropartícula en las condiciones de este problema.

La ecuación (217.5) para estados estacionarios para cada una de las Figs resaltadas. 301, A la región tiene

(para regiones

(para el área

Soluciones generales estas ecuaciones diferenciales:

La solución (221.3) también contiene ondas (después de multiplicarlas por un factor de tiempo) que se propagan en ambas direcciones. Sin embargo, en la zona 3 solo hay una onda que ha atravesado la barrera y se propaga de izquierda a derecha. Por tanto, el coeficiente de fórmula (221.3) debe tomarse igual a cero.

En la zona 2 la decisión depende de relaciones UE>U o mi De interés físico es el caso cuando la energía total de la partícula es menor que la altura de la barrera potencial, ya que en mi Las leyes de la física clásica claramente no permiten que una partícula atraviese la barrera. En este caso, según q= - número imaginario, donde

(para la región

(para el área 2);

Significado q y 0, obtenemos soluciones a la ecuación de Schrödinger para tres regiones de la siguiente forma:

(para la región 3).

EN en particular para la región 1 la función de onda completa, según (217.4), tendrá la forma

En esta expresión, el primer término representa una onda plana de tipo (219.3), que se propaga en la dirección positiva del eje X(corresponde a una partícula que se mueve hacia la barrera), y la segunda es una onda que se propaga en la dirección opuesta, es decir, reflejada desde la barrera (corresponde a una partícula que se mueve desde la barrera hacia la izquierda).

(para la región 3).

En la zona 2 la función ya no corresponde a ondas planas que se propagan en ambas direcciones, ya que los exponentes de los exponentes no son imaginarios, sino reales. Se puede demostrar que para el caso especial de una barrera alta y ancha, cuando 1,

La naturaleza cualitativa de las funciones se ilustra en la Fig. 301, de lo que se deduce que la onda-

La función no es igual a cero ni siquiera dentro de la barrera, sino en la región 3, si la barrera no es muy ancha, volverá a tener la forma de ondas de Broglie con el mismo impulso, es decir, con la misma frecuencia, pero con menor amplitud. En consecuencia, encontramos que una partícula tiene una probabilidad distinta de cero de atravesar una barrera potencial de ancho finito.

Así, la mecánica cuántica conduce a un fenómeno cuántico específico fundamentalmente nuevo, llamado efecto túnel, como resultado de lo cual un microobjeto puede "atravesar" una barrera potencial. vía Una solución conjunta de las ecuaciones para una barrera de potencial rectangular da (suponiendo que el coeficiente de transparencia es pequeño en comparación con la unidad)

donde es un factor constante que puede ser igual a uno; U- altura potencial de la barrera; mi- energía de partículas; - ancho de la barrera.

De la expresión (221.7) se deduce que D depende fuertemente de la masa t partículas, ancho/barrera y desde (U - cuanto más ancha sea la barrera, es menos probable que una partícula la atraviese.

Para una barrera potencial de forma arbitraria (Fig. 302), que satisface las condiciones de la llamada aproximación semiclásica(una forma bastante suave de la curva), tenemos

Dónde U= U(x).

Desde el punto de vista clásico, el paso de una partícula a través de una barrera de potencial en mi imposible, ya que la partícula, al estar en la región de la barrera, debería tener energía cinética negativa. El efecto túnel es un efecto cuántico específico.

El paso de una partícula a través de una región en la que, según las leyes de la mecánica clásica, no puede penetrar, puede explicarse mediante la relación de incertidumbre. Incertidumbre del momento Arkansas en el segmento Ah = es Ar > -. Asociada a esta dispersión en los valores del momento está la cinética

302

La energía checa puede ser

suficiente para completar

la energía de la partícula resultó ser mayor que el potencial.

Las bases de la teoría de las transiciones de túneles se sientan en las obras de L. I. Mandelshtam.

La construcción de túneles a través de una barrera potencial es la base de muchos fenómenos en la física del estado sólido (por ejemplo, fenómenos en la capa de contacto en el límite de dos semiconductores), física atómica y nuclear (por ejemplo, desintegración, aparición de reacciones termonucleares).

§ 222. Lineal oscilador armónico

En mecánica cuántica

Oscilador armónico lineal- un sistema que experimenta un movimiento unidimensional bajo la acción de una fuerza cuasi elástica es un modelo utilizado en muchos problemas de la teoría clásica y cuántica (ver § 142). Los péndulos de resorte, físicos y matemáticos son ejemplos de osciladores armónicos clásicos.

Energía potencial de un oscilador armónico [ver. (141.5)] es igual a

¿Dónde está la frecuencia natural del oscilador? T- masa de partículas.

La dependencia (222.1) tiene la forma de una parábola (Fig. 303), es decir El “pozo potencial” en este caso es parabólico.

La amplitud de las pequeñas oscilaciones de un oscilador clásico está determinada por su energía total. mi(ver figura 17).

Dinger teniendo en cuenta la expresión (222.1) de energía potencial. Entonces los estados estacionarios del oscilador cuántico están determinados por la ecuación de Schrödinger de la forma

= 0, (222.2)

Dónde mi- energía total del oscilador. En la teoría de las ecuaciones diferenciales.

Está demostrado que la ecuación (222.2) sólo se puede resolver para los valores propios de energía.

(222.3)

La fórmula (222.3) muestra que la energía de un oscilador cuántico puede

tener solo valores discretos, es decir. cuantificado. La energía está limitada desde abajo por un valor mínimo de energía distinto de cero, como en el caso de un "pozo" rectangular con "paredes" infinitamente altas (ver § 220). = Su-

existencia de energía mínima - se llama energía de vibraciones de punto cero - es típico de los sistemas cuánticos y es una consecuencia directa de la relación de incertidumbre.

La presencia de oscilaciones de punto cero significa que la partícula no puede estar en el fondo del "pozo potencial" (independientemente de la forma del pozo). De hecho, “caer al fondo del agujero” está asociado con la desaparición del impulso de la partícula y, al mismo tiempo, de su incertidumbre. Entonces la incertidumbre de la coordenada se vuelve arbitrariamente grande, lo que, a su vez, contradice la presencia de la partícula en

"agujero potencial".

La conclusión sobre la presencia de energía de oscilaciones de punto cero de un oscilador cuántico contradice las conclusiones de la teoría clásica, según la cual la energía más baja que puede tener un oscilador es cero (corresponde a una partícula en reposo en la posición de equilibrio). Por ejemplo, según las conclusiones de la física clásica en t= 0, la energía del movimiento vibratorio de los átomos del cristal debería desaparecer. En consecuencia, también debería desaparecer la dispersión de la luz debida a las vibraciones atómicas. Sin embargo, el experimento muestra que la intensidad de la dispersión de la luz al disminuir la temperatura no es igual a cero, sino que tiende a un cierto valor límite, lo que indica que cuando t 0 las vibraciones de los átomos en un cristal no se detienen. Esto confirma la presencia de oscilaciones cero.

De la fórmula (222.3) también se deduce que los niveles de energía de un oscilador armónico lineal están ubicados a distancias iguales entre sí (ver Fig. 303), es decir, la distancia entre niveles de energía adyacentes es igual a y el valor mínimo de energía es =

Una solución rigurosa al problema de un oscilador cuántico conduce a otra diferencia significativa con respecto al clásico