Tipo de ecuación de onda sistema fisico está determinada por su hamiltoniano, que adquiere por tanto una importancia fundamental en todo el aparato matemático de la mecánica cuántica.

Ya se ha establecido la forma del hamiltoniano de una partícula libre requerimientos generales, relacionado con la homogeneidad e isotropía del espacio y el principio de relatividad de Galileo. EN mecanica clasica estos requisitos conducen a una dependencia cuadrática de la energía de una partícula de su momento: donde la constante se llama masa de la partícula (ver I, § 4). EN mecánica cuántica los mismos requisitos conducen a la misma relación para los valores propios de energía y momento: cantidades conservadas (para una partícula libre) simultáneamente mensurables.

Pero para que la relación se cumpla para todos los valores propios de energía y momento, también debe ser válida para sus operadores:

Sustituyendo aquí (15.2), obtenemos el hamiltoniano de una partícula que se mueve libremente en la forma

Dónde - operador de Laplace.

Hamiltoniano de un sistema de partículas que no interactúan. igual a la suma Hamiltonianos de cada uno de ellos:

donde el índice a numera las partículas; - Operador de Laplace, en el que se realiza la diferenciación respecto de las coordenadas de la partícula.

En la mecánica clásica (no relativista), la interacción de partículas se describe mediante un término aditivo en la función de Hamilton: la energía potencial de interacción, que es función de las coordenadas de las partículas.

Sumando la misma función al hamiltoniano del sistema, se describe la interacción de partículas en mecánica cuántica:

el primer término puede considerarse como un operador energía cinética, y el segundo como operador energía potencial. En particular, el hamiltoniano para una partícula ubicada en un campo externo es

donde U(x, y, z) es la energía potencial de una partícula en un campo externo.

Al sustituir las expresiones (17.2)-(17.5) en la ecuación general (8.1) se obtienen las ecuaciones de onda para los sistemas correspondientes. Escribamos aquí la ecuación de onda de una partícula en un campo externo.

La ecuación (10.2), que define estados estacionarios, toma la forma

Las ecuaciones (17.6), (17.7) fueron establecidas por Schrödinger en 1926 y se denominan ecuaciones de Schrödinger.

Para una partícula libre, la ecuación (17.7) tiene la forma

Esta ecuación tiene soluciones que son finitas en todo el espacio para cualquier valor positivo energía E. Para estados con ciertas direcciones de movimiento, estas soluciones son las funciones propias del operador de momento, y. Las funciones de onda completas (dependientes del tiempo) de tales estados estacionarios parece

(17,9)

Cada una de estas funciones, una onda plana, describe un estado en el que la partícula tiene una cierta energía E y un momento. La frecuencia de esta onda es igual a y su vector de onda la longitud de onda correspondiente se llama longitud de onda de De Broglie de la partícula.

El espectro de energía de una partícula que se mueve libremente resulta, por tanto, continuo y se extiende desde cero hasta cada uno de estos valores propios (excepto que sólo el valor es degenerado, y la degeneración es de multiplicidad infinita. De hecho, cada valor distinto de cero de E corresponde conjunto infinito funciones propias (17.9), que difieren en las direcciones de los vectores con el mismo valor absoluto.

Tracemos cómo se produce la transición límite a la mecánica clásica en la ecuación de Schrödinger, considerando por simplicidad sólo una partícula en un campo externo. Sustituyendo la expresión límite (6.1) de la función de onda en la ecuación de Schrödinger (17.6), obtenemos, por diferenciación,

Esta ecuación tiene términos puramente reales y puramente imaginarios (recordemos que S y a son reales); equiparando ambos por separado a cero, obtenemos dos ecuaciones:

Despreciando el término que contiene la primera de estas ecuaciones, obtenemos

(17,10)

es decir, como se esperaba, la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi para la acción de una partícula S. Vemos, dicho sea de paso, que en la mecánica clásica es válida hasta cantidades de primer orden (y no cero) inclusive.

La segunda de las ecuaciones resultantes después de multiplicar por 2a se puede reescribir en la forma

Esta ecuación tiene una visión significado fisico: existe la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en un lugar particular del espacio; existe la velocidad clásica v de la partícula. Por lo tanto, la ecuación (17.11) no es más que una ecuación de continuidad, que muestra que la densidad de probabilidad se “mueve” según las leyes de la mecánica clásica con velocidad clásica v en cada punto.

Tarea

Encuentre la ley de transformación de la función de onda bajo la transformada de Galileo.

Solución. Hagamos una transformación función de onda movimiento libre partículas (onda plana). Dado que cualquier función se puede expandir a ondas planas, la ley de transformación se encontrará para una función de onda arbitraria.

Ondas planas en los sistemas de referencia K y K" (K" se mueve respecto a K con velocidad V):

Además, los momentos y energías de las partículas en ambos sistemas están relacionados entre sí mediante las fórmulas

(ver I, § 8), Sustituyendo estas expresiones obtenemos

De esta forma, esta fórmula ya no contiene cantidades que caractericen el libre movimiento de una partícula, y establece el deseado ley común transformación de la función de onda de un estado de partícula arbitraria. Para un sistema de partículas, el exponente en (1) debe contener la suma de las partículas.

Tema 5. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER.

Significado probabilístico de las ondas de De Broglie. Función de onda.

Las ondas de De Broglie tienen un efecto específico. naturaleza cuántica, que no tiene analogía con las ondas en la física clásica. No es ondas electromagnéticas, ya que su distribución en el espacio no está asociada con la distribución de ningún campo electromagnetico. La pregunta sobre la naturaleza de las ondas puede formularse como una pregunta sobre el significado físico de la amplitud de estas ondas. En lugar de amplitud, es más conveniente elegir una intensidad de onda proporcional al cuadrado del módulo de amplitud.

De los experimentos sobre difracción de electrones se deduce que en estos experimentos una distribución desigual de los haces de electrones reflejados a lo largo varias direcciones. Desde el punto de vista ondulatorio, la presencia de máximos en el número de electrones en algunas direcciones significa que estas direcciones corresponden a la intensidad más alta de las ondas de De Broglie. La intensidad de las ondas en un punto dado del espacio determina la densidad de probabilidad de que los electrones golpeen ese punto en 1 segundo.

Esto sirvió de base para una especie de interpretación estadística y probabilística de las ondas de De Broglie.

La magnitud al cuadrado de la amplitud de la onda de De Broglie en un punto dado es una medida de la probabilidad de que se detecte una partícula en ese punto.

Para describir la distribución de probabilidad de encontrar una partícula en este momento tiempo en algún punto del espacio, introducimos una función que es función del tiempo y las coordenadas, denotada letra griega ψ y se llama función de onda o simplemente función psi.

Por definición, la probabilidad de que una partícula tenga una coordenada dentro de x, x+dx.

Si , entonces es la probabilidad de que la partícula esté en el volumen dxdydz.

Por tanto, la probabilidad de que una partícula se ubique en un elemento de volumen dV es proporcional al cuadrado del módulo de la función psi y el elemento de volumen dV.

El significado físico no es la función ψ en sí, sino el cuadrado de su módulo, donde ψ* es la función compleja conjugada con ψ. La magnitud tiene sentido densidad de probabilidad, es decir. define probabilidad de que una partícula esté en un punto dado del espacio. En otras palabras, determina la intensidad de las ondas de Broglie. La función de onda es la principal característica del estado de los microobjetos ( partículas elementales, átomos, moléculas).

ecuación inestable Schrödinger.

Las ecuaciones de Newton en mecánica clásica permiten que los cuerpos macroscópicos resuelvan el principal problema de la mecánica: dadas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo (o un sistema de cuerpos) y las condiciones iniciales, encontrar las coordenadas del cuerpo y su velocidad en cualquier momento. en el tiempo, es decir describir el movimiento de un cuerpo en el espacio y el tiempo.

Al plantear un problema similar en mecánica cuántica, es necesario tener en cuenta las restricciones a la posibilidad de aplicación a micropartículas. conceptos clásicos coordenadas y momento. Dado que el estado de una micropartícula en el espacio en un momento dado está determinado por la función de onda, o más precisamente, por la probabilidad de encontrar la partícula en punto x,y,z en el momento t, la ecuación fundamental de la mecánica cuántica es una ecuación con respecto a la función psi.

Esta ecuación fue obtenida en 1926 por Schrödinger. Al igual que las ecuaciones de movimiento de Newton, la ecuación de Schrödinger se postula en lugar de derivarse. La validez de esta ecuación queda demostrada por el hecho de que las conclusiones obtenidas con su ayuda concuerdan bien con los experimentos.

La ecuación de Schrödinger tiene la forma

,

aquí m es la masa de la partícula, i es unidad imaginaria, es el operador de Laplace, cuyo resultado actúa sobre alguna función

.

U(x,y,z,t) – en el marco de nuestros problemas, la energía potencial de una partícula que se mueve en un campo de fuerza. De la ecuación de Schrödinger se deduce que el tipo de función psi está determinado por la función U, es decir en última instancia, la naturaleza de las fuerzas que actúan sobre la partícula.

Se complementa la ecuación de Schrödinger. condiciones importantes, que se superponen a la función psi. Hay tres condiciones:

1) la función ψ debe ser finita, continua e inequívoca;

2) derivados debe ser continuo

3) la función debe ser integrable, es decir integral

debe ser definitivo. En los casos más simples, la tercera condición se reduce a la condición de normalización.

Esto significa que la presencia de una partícula en algún lugar del espacio es evento confiable y su probabilidad debe ser igual a uno. Las dos primeras condiciones son los requisitos habituales impuestos a la solución deseada de la ecuación diferencial.

Expliquemos cómo se puede llegar a la ecuación de Schrödinger. Por simplicidad, nos limitaremos al caso unidimensional. Consideremos una partícula que se mueve libremente (U = 0).

Comparémoslo, según la idea de De Broglie, con una onda plana

Reemplacemos y reescribamos

.

Derivando esta expresión una vez con respecto a t, y una segunda vez dos veces con respecto a x, obtenemos

La energía y el momento de una partícula libre están relacionados por la relación

Sustituyendo las expresiones para E y p 2 en esta relación

La última expresión coincide con la ecuación de Schrödinger en U =0.

En el caso del movimiento de partículas en un campo de fuerza caracterizado por la energía potencial U, la energía E y el momento p están relacionados por la relación

El razonamiento expuesto no tiene valor probatorio y no puede considerarse una derivación de la ecuación de Schrödinger. Su propósito es explicar cómo se puede llegar a establecer esta ecuación.

Heisenberg llegó a la conclusión de que la ecuación del movimiento en la mecánica cuántica, que describe el movimiento de las micropartículas en varios campos de fuerza, debe haber una ecuación de la cual se seguirían los valores observados experimentalmente propiedades de las olas partículas. La ecuación gobernante debe ser una ecuación para la función de onda Ψ (x, y, z, t), ya que es precisamente esto, o más precisamente, la cantidad |Ψ| 2, determina la probabilidad de que una partícula esté presente en el momento del tiempo. t en volumen Δ V, es decir, en el área con coordenadas X Y x + dx, y Y y + dу, z Y z+ dz.

La ecuación básica de la mecánica cuántica no relativista fue formulada en 1926 por E. Schrödinger. La ecuación de Schrödinger, como todas las ecuaciones básicas de la física (por ejemplo, las ecuaciones de Newton en mecánica clásica y las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético), no se deriva, sino que se postula. La exactitud de esta ecuación se confirma de acuerdo con la experiencia obtenida de su usando los resultados, lo que, a su vez, le confiere el carácter de ley de la naturaleza.

ecuación general Schrödinger tiene la forma:

Dónde ? =h/(2π), metro- masa de partícula, Δ - operador de Laplace , i- unidad imaginaria, Ud.(x, y, z, t) - función potencial partícula en el campo de fuerza en el que se mueve, Ψ( x, y, z, t) es la función de onda deseada de la partícula.

La ecuación (1) es válida para cualquier partícula (con un espín igual a 0) que se mueve a una velocidad baja (en comparación con la velocidad de la luz), es decir, υ "Con.

Se complementa con condiciones, superpuesto a la función de onda:

1) la función de onda debe ser finita, inequívoca y continua;

2) derivados debe ser continuo;

3) función |Ψ| 2 debe ser integrable (esta condición en los casos más simples se reduce a la condición de normalización de probabilidades).

La ecuación (1) se llama Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

Para muchos fenomeno fisico, que ocurre en el micromundo, la ecuación (1) se puede simplificar eliminando la dependencia de Ψ con el tiempo, es decir Encuentre la ecuación de Schrödinger para estados estacionarios: estados con valores de energía fijos. Esto es posible si el campo de fuerza en el que se mueve la partícula es estacionario, es decir, la función U = U(x,y,z) no depende explícitamente del tiempo y tiene el significado de energía potencial. EN en este caso la solución de la ecuación de Schrödinger se puede representar como

. (2)

Ecuación (2) llamada ecuación de Schrödinger para estados estacionarios.

Esta ecuación incluye como parámetro energía total mi partículas. En teoria ecuaciones diferenciales Se demuestra que tales ecuaciones tienen un número infinito de soluciones, de las cuales, al imponer condiciones de borde Se seleccionan soluciones que tienen significado físico. Para la ecuación de Schrödinger tales condiciones son condiciones para la regularidad de las funciones de onda: Las nuevas funciones deben ser finitas, inequívocas y continuas junto con sus primeras derivadas.

Por tanto, sólo aquellas soluciones que se expresan mediante funciones regulares Ψ tienen un significado físico real. Pero no se realizan soluciones regulares para ningún valor de parámetro. MI, pero sólo para un determinado conjunto de ellos, característico de una tarea determinada. Estos valores de energía se llaman valores propios. . Soluciones que encajan valores propios La energía se llama funciones propias. . Valores propios mi Puede formar tanto continuo como serie discreta. En el primer caso, se habla de un espectro continuo o sólido, en el segundo, de un espectro discreto.

Partícula en un "pozo potencial" rectangular unidimensionalcon “muros” infinitamente altos

llevemos a cabo analisis cualitativo Soluciones de la ecuación de Schrödinger aplicadas a una partícula en un “pozo potencial” rectangular unidimensional con “paredes” infinitamente altas. Tal "agujero" se describe mediante energía potencial de la forma (para simplificar, asumimos que la partícula se mueve a lo largo del eje X)

Dónde yo es el ancho del “agujero”, y la energía se cuenta desde su fondo (Fig. 2).

La ecuación de Schrödinger para estados estacionarios en el caso de un problema unidimensional se escribirá en la forma:

. (1)

Según las condiciones del problema (“paredes” infinitamente altas), la partícula no penetra más allá del “agujero”, por lo que la probabilidad de su detección (y, en consecuencia, la función de onda) fuera del “agujero” es cero. En los límites del “pozo” (en X= 0 y x = 1) la función de onda continua también debe desaparecer.

Por tanto, las condiciones de contorno en este caso tienen la forma:

Ψ (0) = Ψ ( yo) = 0. (2)

Dentro del “pozo” (0 ≤ X≤ 0) la ecuación de Schrödinger (1) se reducirá a la ecuación:

o . (3)

Dónde k2 = 2mE/? 2.(4)

Solución general de la ecuación diferencial (3):

Ψ ( X) = A pecado kx + B porque kx.

Dado que según (2) Ψ (0) = 0, entonces B = 0. Entonces

Ψ ( X) = A pecado kx. (5)

Condición Ψ ( yo) = A pecado kl= 0 (2) se ejecuta sólo cuando kl = nπ, Dónde norte- números enteros, es decir Es necesario que

k = norteπ/l. (6)

De las expresiones (4) y (6) se deduce que:

(norte = 1, 2, 3,…), (7)

es decir, la ecuación estacionaria de Schrödinger, que describe el movimiento de una partícula en un “pozo potencial” con “paredes” infinitamente altas, se satisface sólo para los valores propios E p, dependiendo de un número entero PAG. Por lo tanto, la energía mi p Las partículas en un "pozo potencial" con "paredes" infinitamente altas aceptan sólo cierto valores discretos, es decir, está cuantificado.

Valores de energía cuantificados mi p son llamados niveles de energía y el numero PAG, que determina los niveles de energía de una partícula se llama número cuántico principal. Por lo tanto, una micropartícula en un "pozo potencial" con "paredes" infinitamente altas sólo puede tener un cierto nivel de energía. E p, o, como dicen, la partícula está en un estado cuántico. PAG.

Sustituyendo en (5) el valor k de (6), encontramos las funciones propias:

.

Constante de integración A encontramos a partir de la condición de normalización, que para este caso se escribirá en la forma:

.

Como resultado de la integración obtenemos , y las funciones propias tendrán la forma:

(norte = 1, 2, 3,…). (8)

Gráficas de funciones propias (8) correspondientes a niveles de energía (7) en norte= 1,2,3, como se muestra en la Fig. 3, A. En la Fig. 3, b muestra la densidad de probabilidad de detectar una partícula a varias distancias de las “paredes” del agujero, igual a ‌‌‌‌‌‌ Ψ norte(X)‌ 2 = Ψ norte(X)·Ψ norte * (X) Para norte = 1, 2 y 3. De la figura se deduce que, por ejemplo, en un estado cuántico con norte= 2, una partícula no puede estar en el medio del "agujero", mientras que con la misma frecuencia puede estar a su izquierda y partes correctas. Este comportamiento de la partícula indica que los conceptos de trayectorias de partículas en la mecánica cuántica son insostenibles.

De la expresión (7) se deduce que el intervalo de energía entre dos niveles adyacentes es igual a:

Por ejemplo, para un electrón con buenas dimensiones. yo= 10 -1 m (electrones libres en metal) , Δ mi norte ≈ 10 -35 · norte J ≈ 10 -1 6 norte eV, es decir Los niveles de energía están tan juntos que el espectro prácticamente puede considerarse continuo. Si las dimensiones del pozo son comparables a las atómicas ( yo ≈ 10 -10 m), entonces para el electrón Δ mi norte ≈ 10 -17 norte j ≈ 10 2 norte eV, es decir Evidentemente se obtienen valores de energía discretos (espectro de líneas).

Así, aplicar la ecuación de Schrödinger a una partícula en un "pozo potencial" con "paredes" infinitamente altas conduce a valores de energía cuantificados, mientras que la mecánica clásica no impone ninguna restricción a la energía de esta partícula.

Además, una consideración de la mecánica cuántica de este problema lleva a la conclusión de que una partícula "en un pozo potencial" con "paredes" infinitamente altas no puede tener una energía menor que la energía mínima igual a π 2 ? 2 /(2t1 2). La presencia de una energía mínima distinta de cero no es accidental y se deriva de la relación de incertidumbre. Incertidumbre de coordenadas Δ X partículas en un "pozo" ancho yo igual a Δ X= yo.

Entonces, según la relación de incertidumbre, el impulso no puede tener un valor exacto, en este caso cero. Incertidumbre del momento Δ R ≈ h/l. Esta dispersión de los valores del momento corresponde a la energía cinética. mi mín ≈(Δ pag) 2 / (2metro) = ? 2 / (2ml 2). Todos los demás niveles ( p> 1) tener una energía superior a este valor mínimo.

De las fórmulas (9) y (7) se deduce que para números cuánticos grandes ( norte"1) Δ mi norte / mi p ≈ 2/PAG“1, es decir, los niveles adyacentes están ubicados muy cerca: cuanto más cerca, más PAG. Si PAG es muy grande, entonces podemos hablar de una secuencia casi continua de niveles y característica distintiva procesos cuánticos— la discreción se suaviza. Este resultado es un caso especial del principio de correspondencia de Bohr (1923), según el cual las leyes de la mecánica cuántica deben valores grandes Los números cuánticos se transforman en las leyes de la física clásica.

Soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger.

Apéndice A

Encontrar una solución a la ecuación de Schrödinger para electrón libre en forma de paquete de ondas .

Escribamos la ecuación de Schrödinger para un electrón libre.

Después de las transformaciones, la ecuación de Schrödinger toma la forma

(A.2)

Resolvemos esta ecuación con la condición inicial.

(A.3)

Aquí está la función de onda del electrón en momento inicial tiempo. Buscamos una solución a la ecuación (A.2) en forma de integral de Fourier.

(A.4)

Sustituimos (A.4) en (A.2) y obtenemos

La solución (A.4) ahora se puede escribir de la siguiente forma

(A.6)

Usamos condición inicial(A.3), y de (A.6) obtenemos la expansión de la función de onda inicial del electrón en la integral de Fourier.

(A.7)

A la expresión (A.7) le aplicamos conversión inversa Fourier

(A.8)

Resumamos las transformaciones realizadas. Entonces, si se conoce la función de onda del electrón en el momento inicial, luego de la integración (A.8) encontramos los coeficientes. Luego, después de sustituir estos coeficientes en (A.6) e integrar, obtenemos la función de onda del electrón en un momento arbitrario en cualquier punto del espacio.

Para algunas distribuciones, la integración se puede realizar explícitamente y obtener expresión analítica para resolver la ecuación de Schrödinger. Como función de onda inicial, tomamos la distribución gaussiana modulada por una onda monocromática plana.

Aquí está el momento promedio del electrón. Elegir la función de onda inicial de esta forma nos permitirá obtener una solución a la ecuación de Schrödinger en forma de paquete de ondas.

Consideremos en detalle las propiedades de la función de onda inicial (A.9).

En primer lugar, la función de onda está normalizada a la unidad.

(A.10)

La normalización (A.10) se prueba fácilmente utilizando la siguiente integral de tabla.

(A.11)

En segundo lugar, si la función de onda se normaliza a la unidad, entonces el módulo al cuadrado de la función de onda es la densidad de probabilidad de encontrar un electrón en un punto dado del espacio.

Aquí la cantidad se llamará amplitud del paquete de ondas en el momento inicial. El significado físico de la amplitud del paquete es valor máximo distribuciones de probabilidad. La Figura 1 muestra una gráfica de la distribución de densidad de probabilidad.

Distribución de densidad de probabilidad en el momento inicial.

Observemos algunas características del gráfico de la Fig. 1.

1. La coordenada es un punto en un eje. X, en el que la distribución de probabilidad tiene un valor máximo. Por lo tanto podemos decir que con más probable se puede detectar un electrón cerca de un punto.

2. El valor determinará la desviación desde el punto en el que el valor de distribución disminuye en mi veces el valor máximo.

(A.13)

En este caso, el valor se denomina ancho del paquete de ondas en el momento inicial y el valor se denomina medio ancho del paquete.

3. Calcula la probabilidad de encontrar un electrón en el intervalo. .

(A.14)

Por tanto, la probabilidad de detectar un electrón en una región con centro y medio ancho es 0,843. Esta probabilidad es cercana a la unidad, por lo que generalmente se habla de la región con la mitad de ancho como la región donde se encuentra el electrón en el momento inicial del tiempo.

Tercero, la función de onda inicial no es una función propia del operador de momento. Por lo tanto, un electrón en estado con función de onda no tiene un momento específico, solo podemos hablar del momento promedio del electrón. Calculemos el momento promedio del electrón.

Por tanto, el valor de la fórmula (A.9) es el valor medio del momento del electrón. La fórmula (A.15) se demuestra fácilmente si se utiliza la integral de tabla (A.11).

Así, se han analizado las propiedades de la función de onda inicial. Ahora sustituyamos la función en la integral de Fourier (A.8) y encontremos los coeficientes.

En la integral (A.16) hacemos el siguiente cambio de la variable de integración.

(A.17)

Como resultado, la integral (A.16) toma la siguiente forma.

(A.18)

Como resultado, obtenemos la siguiente expresión para los coeficientes.

(A.18)

Sustituyendo los coeficientes en la fórmula (A.6), obtenemos la siguiente expresión integral para la función de onda.

En la integral (A.19) hacemos el siguiente cambio de la variable de integración.

(A.20)

Como resultado, la integral (A.19) toma la siguiente forma.

Finalmente obtenemos la fórmula del paquete de ondas.

(A.22)

Es fácil ver que para el momento inicial, la fórmula (A.22) se convierte en la fórmula (A.9) para la función de onda inicial. Encontremos la densidad de probabilidad para la función (A.22).

Sustituimos el paquete de ondas (A.22) en la fórmula (A.23), y como resultado obtenemos la siguiente expresión.

(A.24)

Aquí el centro del paquete de ondas, o el máximo de la distribución de densidad de probabilidad, se mueve con una velocidad igual al siguiente valor.

La mitad del ancho del paquete de ondas aumenta con el tiempo y está determinada por la siguiente fórmula.

(A.26)

La amplitud del paquete de ondas disminuye con el tiempo y está determinada por la siguiente fórmula.

(A.27)

Por tanto, la distribución de probabilidad de un paquete de ondas se puede escribir de la siguiente forma.

(A.28)

En la figura 2. muestra la distribución de probabilidad en tres puntos consecutivos en el tiempo.

Distribución de probabilidad en tres momentos consecutivos en el tiempo.

apéndice B

información general sobre la resolución de la ecuación de Schrödinger .

Introducción.

Movimiento de una partícula cuántica en caso general descrito por la ecuación de Schrödinger:

Aquí i es la unidad imaginaria, h =1.0546´10 -34 (J×s) es la constante de Planck. Operador Ĥ se llama operador de Hamilton. La forma del operador de Hamilton depende del tipo de interacción del electrón con campos externos.

Si no tenemos en cuenta las propiedades de espín de un electrón, por ejemplo, si no consideramos el movimiento de un electrón en un campo magnético, entonces el operador de Hamilton se puede representar en la forma.

(B.2)

Aquí está el operador de energía cinética:

, (B.3)

Dónde metro=9.1094´10 -31 (kg) – masa del electrón. La energía potencial describe la interacción de un electrón con un campo eléctrico externo.

En esto trabajo de laboratorio consideraremos el movimiento unidimensional de un electrón a lo largo del eje X. La ecuación de Schrödinger en este caso toma la siguiente forma:

. (B.4)

Ecuación (B.4) con punto matemático La vista es una ecuación diferencial parcial para una función de onda desconocida. Y=Y(x,t). Se sabe que tal ecuación tiene decisión definitiva, si se especifican las condiciones iniciales y de contorno apropiadas. Las condiciones iniciales y de contorno se seleccionan en función de las condiciones específicas. problema físico.

Supongamos, por ejemplo, que un electrón se mueva de izquierda a derecha con un momento promedio p 0. Además, en el instante inicial t=0, el electrón está localizado en una determinada región del espacio x m ​​-d< x < x m +d. Здесь x m – центр области локализации электрона, а d – эффективная полуширина этой области.

En este caso, la condición inicial será la siguiente:

. (B.5)

Aquí Y 0 (x) es la función de onda en el momento inicial. La función de onda es función compleja, por lo tanto, es conveniente representar gráficamente no la función de onda en sí, sino la densidad de probabilidad.

Densidad de probabilidad de encontrar un electrón en este lugar en un momento dado se expresa a través de la función de onda de la siguiente manera:

Tenga en cuenta que las probabilidades deben normalizarse a la unidad. De aquí obtenemos la condición para normalizar la función de onda:

. (B.7)

Distribución de densidad de probabilidad en el momento inicial.

, (B.8)

se puede representar gráficamente. En la figura 3. Se muestra la posible ubicación del electrón en el momento inicial del tiempo.

La ubicación del electrón en el momento t=0.

De esta figura se desprende claramente que con la mayor probabilidad el electrón se encuentra en el punto x m. Carta A denotaremos la amplitud (valor máximo) de la distribución de probabilidad. Esta figura también muestra cómo se determina el ancho 2d o el medio ancho d de la distribución. Si la distribución tiene un carácter exponencial o gaussiano, entonces el ancho de la distribución se determina en un nivel en mi veces menor que el valor máximo.

En la figura 3. Se muestra el vector del momento promedio del electrón. Esto significa que el electrón se mueve de derecha a izquierda y la distribución de probabilidad también se moverá de derecha a izquierda. En la figura 2. muestra la distribución de probabilidad en tres puntos consecutivos en el tiempo. En la figura 2. Se puede observar que el máximo de la distribución x m (t) se mueve de izquierda a derecha.

En la figura 2. Se puede observar que el movimiento de un electrón de derecha a izquierda va acompañado de una deformación de la distribución de densidad de probabilidad. Amplitud A(t) disminuye y el ancho medio d(t) aumenta. Todos los detalles anteriores del movimiento del electrón se pueden obtener resolviendo la ecuación de Schrödinger (B4) con la condición inicial (B.5).

Resumen . Dependiendo de la formulación del problema físico, la forma de la ecuación de Schrödinger puede cambiar. Al estudiar ciertos fenómenos físicos descritos por la ecuación de Schrödinger, se seleccionan las condiciones iniciales y de contorno necesarias para encontrar una solución a la ecuación de Schrödinger.

Soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger.

Si un electrón se mueve en un campo externo constante, entonces su energía potencial no dependerá del tiempo. En este caso, uno de soluciones posibles La ecuación de Schrödinger (B.4) es una solución separable en el tiempo t y a lo largo de la coordenada x.

Utilizamos una técnica conocida en matemáticas para resolver ecuaciones diferenciales. Buscamos una solución a la ecuación (B.4) en la forma:

. (B.9)

Sustituimos (B.9) en la ecuación (B.4) y obtenemos las siguientes relaciones:

. (B.10)

Aquí mi– una constante, a la que en mecánica cuántica se le da el significado de energía total de un electrón. Las relaciones (B.10) son equivalentes a las dos ecuaciones diferenciales siguientes:

. (B.11)

La primera ecuación del sistema (B.11) tiene la siguiente decisión común:

Aquí C es una constante arbitraria. Sustituimos (B.12) en la expresión (B.9) y obtenemos una solución a la ecuación de Schrödinger (B.4) en la forma:

, (B.13)

donde esta la funcion y(x) satisface la ecuación.

(B.14)

Constante C contenida en la función y(X).

La solución de la ecuación de Schrödinger (B.4) en la forma de expresión (B.13) se llama solución estacionaria de la ecuación de Schrödinger. La ecuación (B.14) se llama ecuación de Schrödinger estacionaria. Función y(x) se llama función de onda, independiente del tiempo.

El estado del electrón, que se describe mediante la función de onda (B.13), se llama estado estacionario. La mecánica cuántica establece que en un estado estacionario un electrón tiene cierta energía mi.

Los resultados obtenidos se pueden generalizar a la ecuación de Schrödinger (B.1) para el movimiento tridimensional de electrones. Si el operador de Hamilton Ĥ no depende explícitamente del tiempo, entonces una de las posibles soluciones a la ecuación de Schrödinger (B.1) es una solución estacionaria de la siguiente forma:

, (B.15)

donde la función de onda satisface la ecuación de Schrödinger estacionaria.

(B.16)

Tenga en cuenta que las ecuaciones (B.14) y (B.16) en mecánica cuántica también tienen este nombre. Estas ecuaciones son ecuaciones para funciones nativas Y valores propios Operador de Hamilton. En otras palabras, resolviendo la ecuación (B.16) encontramos las energías mi(valores propios del operador de Hamilton) y las funciones de onda correspondientes (funciones propias del operador de Hamilton).

Resumen . Las soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger son una cierta clase de soluciones de un enorme conjunto de otras soluciones de la ecuación de Schrödinger. Existen soluciones estacionarias si el operador hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo. En estado estacionario, un electrón tiene cierta energía. Encontrar valores posibles energía, es necesario resolver la ecuación de Schrödinger estacionaria.

Paquete de olas.

Es fácil ver que las soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger no describen el movimiento de un electrón localizado, como se muestra en las figuras 1 y 2. De hecho, si tomamos la solución estacionaria (B.13) y encontramos la distribución de probabilidad, obtendremos una función independiente del tiempo.

(B.17)

Esto no es sorprendente; la solución estacionaria (B.13) es una de las posibles soluciones de la ecuación diferencial parcial (B.4).

Pero lo interesante es que debido a la linealidad de la ecuación de Schrödinger (B.4) con respecto a la función de onda Y(x,t), para soluciones de esta ecuación se cumple el principio de superposición. Para estados estacionarios, este principio establece lo siguiente. Cualquier combinación lineal de soluciones estacionarias (con diferentes energías mi) de la ecuación de Schrödinger (B.4) también es una solución de la ecuación de Schrödinger (B.4).

Dar expresión matemática Para el principio de superposición, necesitamos decir algunas palabras sobre el espectro de energía del electrón. Si la solución de la ecuación de Schrödinger estacionaria (B.14) tiene un espectro discreto, esto significa que la ecuación (B.14) se puede escribir de la siguiente manera:

(B.18)

donde el índice n recorre, en términos generales, una serie infinita de valores n=0,1,2,¼. En este caso, la solución de la ecuación de Schrödinger (B.4) se puede representar como una suma de soluciones estacionarias.

(B.19)

En mecánica cuántica está demostrado que las funciones propias y n(x) de un espectro discreto se puede convertir en un sistema de funciones ortonormal. Esto significa que está funcionando siguiente condición normalización.

(B.20)

Aquí d n m es el símbolo de Kronecker.

y n (x) es ortonormal, entonces los coeficientes C n en suma (B.19) tiene un significado físico simple. Módulo cuadrado del coeficiente C norte igual a la probabilidad que un electrón en un estado con función de onda (B.19) tiene energía mi norte.

Lo más importante de esta afirmación es que un electrón en estado con función de onda (B.19) no tiene una energía específica. Al medir energía, este electrón puede tener cualquier energía del conjunto con probabilidad (B.21).

Por tanto, dicen que un electrón puede tener tal o cual energía con una probabilidad determinada por la fórmula (B.21).

Un electrón que se encuentra en estado estacionario y tiene cierta energía se llamará electrón monocromático. Un electrón que no se encuentra en estado estacionario y por tanto no tiene una determinada energía se llamará electrón no monocromático.

Si la solución de la ecuación de Schrödinger estacionaria (B.14) tiene un espectro continuo, entonces esto significa que la ecuación (B.14) se puede escribir de la siguiente manera:

, (B.22)

donde esta la energia mi toma valores en algún intervalo continuo [ mi minuto, mi máx]. En este caso, la solución de la ecuación de Schrödinger (B.4) se puede representar como una integral de soluciones estacionarias.

(B.23)

Funciones propias del espectro continuo. y En mecánica cuántica, E (x) suele estar normalizado a la función d:

, (B.24)

La definición de la función d está contenida en las siguientes relaciones integrales:

Para visualizar el comportamiento de la función d, se proporciona la siguiente descripción de esta función:

Entonces, si el sistema de funciones y E (x) se normaliza a la función d, luego el cuadrado del módulo del coeficiente C(mi) en la integral (B.23) igual a la densidad la probabilidad de que un electrón en un estado con función de onda (B.19) tenga energía mi.

La función de onda Y(x,t) presentada como suma (B.19) o como integral (B.23) de soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger se llama paquete de ondas.

Por tanto, el estado de un electrón no monocromático se describe mediante un paquete de ondas. También se puede decir esto: los estados de un electrón monocromático con sus factores de peso contribuyen al estado de un electrón no monocromático.

En la figura 1. y Fig.2. Los paquetes de ondas de electrones se representan en diferentes momentos.

Resumen . El estado de un electrón no monocromático se describe mediante un paquete de ondas. Un electrón no monocromático no tiene una energía específica. Un paquete de ondas se puede representar como una suma o integral de funciones de onda de estados estacionarios con sus propias energías. La probabilidad de que un electrón no monocromático tenga una u otra energía de este conjunto de energías está determinada por la contribución de los correspondientes estados estacionarios al paquete de ondas.

Movimiento libre. Solución general de la ecuación de Schrödinger.

Dependiendo del campo con el que interactúa el electrón, la solución de la ecuación de Schrödinger estacionaria (B.14) puede tener diferente tipo. Este laboratorio examina la libre circulación. Por lo tanto, en la ecuación (B.14) ponemos la energía potencial igual a cero. Como resultado obtenemos la siguiente ecuación:

, (B.26)

la solución general de esta ecuación tiene la siguiente forma:

. (B.27)

Aquí C 1 y C 2 son dos constantes arbitrarias, k tiene el significado de un número de onda.

Ahora, usando la expresión (B.23), escribimos la solución general de la ecuación de Schrödinger para el movimiento libre. Sustituimos la función (B.27) en la integral (B.23). Al mismo tiempo, tenemos en cuenta que los límites de la integración en el ámbito energético mi para la libre circulación se seleccionan de cero a infinito. Como resultado, obtenemos la siguiente expresión:

En esta integral conviene pasar de la integración a la energía. mi a la integración sobre el número de onda k. Supondremos que el número de onda puede tomar valores tanto positivos como valores negativos. Por conveniencia, introducimos la frecuencia w asociada con la energía mi, la siguiente relación:

Transformando la integral (B.28), obtenemos la siguiente expresión para el paquete de ondas:

. (B.30)

La integral (B.30) da la solución general a la ecuación de Schrödinger (B.4) para el movimiento libre. Impares C(k) se encuentran a partir de las condiciones iniciales.

Tomemos la condición inicial (B.5) y sustituyamos allí la solución (B.30). Como resultado, obtenemos la siguiente expresión:

(B.31)

La integral (B.31) no es más que la expansión de la función de onda inicial a la integral de Fourier. Usando la transformada inversa de Fourier, encontramos los coeficientes C(k).

. (B.32)

Resumen . Por libre movimiento de un electrón entendemos movimiento en ausencia campo externo en una región infinita del espacio. Si se conoce la función de onda del electrón en el momento inicial Y 0 (x), entonces usando las fórmulas (B.32) y (B.30) se puede encontrar la solución general de la ecuación de Schrödinger Y(x,t ) para el libre movimiento del electrón.

§ 217. Ecuación general de Schrödinger. Ecuación de Schrödinger para estados estacionarios

La interpretación estadística de las ondas de Da Broglie (ver § 216) y la relación de incertidumbre de Heisenberg (ver § 215) llevó a la conclusión de que la ecuación de movimiento en mecánica cuántica, que describe el movimiento de micropartículas en varios campos de fuerza, debería ser una ecuación de donde se obtienen los observables sobre las propiedades ondulatorias experimentales de las partículas. La ecuación gobernante debe ser una ecuación con respecto a la función de onda (x, y, z, t ), ya que es precisamente esto, o, más precisamente, la cantidad, lo que determina la probabilidad de que una partícula esté en el momento del tiempo.t en volumendV , es decir, en el área con coordenadasX Y X + dx . y Y y + dy . zuz + dz . Dado que la ecuación requerida debe tener en cuenta las propiedades ondulatorias de las partículas, debe ser ecuación de onda, similar a la ecuación que describe las ondas electromagnéticas.

Ecuación básicamecánica cuántica no relativista formulado en 1926 por E. Schrödinger. La ecuación de Schrödinger, como todas las ecuaciones básicas de la física (por ejemplo, las ecuaciones de Newton en mecánica clásica y las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético), no se deriva, sino que se postula. La exactitud de esta ecuación se ve confirmada por la concordancia con la experiencia de los resultados obtenidos con su ayuda, lo que, a su vez, le da el carácter de una ley de la naturaleza. La ecuación de Schrödinger tiene la forma

(217.1)

Dónde,t - masa de partículas, - operador de Laplace ,

- unidad imaginaria,V (x, y, z , t ) - función potencial de una partícula en el campo de fuerza en el que se mueve,(x, y, z, t ) - la función de onda deseada de la partícula.

La ecuación (217.1) es válida para cualquier partícula (con espín igual a 0; ver § 225) que se mueve a baja velocidad (en comparación con la velocidad de la luz), es decir, con la velocidad que se complementa con las condiciones impuestas a la onda. función: 1) la función de onda debe ser finita, inequívoca y continua (ver § 216); 2) derivados debe ser continuo; 3) la función debe ser

integrables; esta condición en los casos más simples se reduce a la condición de normalización de probabilidades (216.3).

Para llegar a la ecuación de Schrödinger, consideremos una partícula que se mueve libremente y que, según la idea de De Broglie, está asociada a una onda plana. Por simplicidad, consideramos el caso unidimensional. Ecuación de una onda plana que se propaga a lo largo de un eje. X, tiene la forma (ver § 154), o en notación compleja Por lo tanto plano

la onda de Broglie tiene la forma

(217.2)

(se tiene en cuenta que En mecánica cuántica, el exponente se toma con signo menos,

pero como sólo tiene un significado físico, esto (ver (217.2)) no tiene importancia. Entonces

dónde

Usando la relación entre la energía.mi e impulso y sustituyendo expresiones

(217.3), obtenemos la ecuación diferencial

que coincide con la ecuación (217.1) para el casoUd. =0 (consideramos una partícula libre).

Si una partícula se mueve en un campo de fuerza caracterizado por energía potencial.Ud. , Eso

energía totalmi consiste en típico energías reales y potenciales. Realizando similares

razonamiento y uso de la relación entremi YR (para este caso vendremos

° a una ecuación diferencial que coincide con (217.1).

El razonamiento anterior no debe tomarse como una derivación de la ecuación de Schrödinger. Sólo explican cómo se puede llegar a esta ecuación. La prueba de la exactitud de la ecuación de Schrödinger es la concordancia con la experiencia de las conclusiones a las que conduce.

La ecuación (217.1) es la ecuación general de Schrödinger. También se le llama ecuación de Schroednäger dependiente del tiempo. Para muchos fenómenos físicos que ocurren en el micromundo, la ecuación (217.1) se puede simplificar eliminando la dependencia del tiempo; en otras palabras, encuentre la ecuación de Schrödinger para estados estacionarios - estados con valores de energía fijos. Esto es posible si el campo de fuerza en el que se mueve la partícula es estacionario, es decir, la función no depende explícitamente del tiempo y tiene el significado de energía potencial. En este caso, la solución de la ecuación de Schrödinger se puede representar como el producto de dos funciones, una de las cuales es función solo de coordenadas, la otra, solo del tiempo, y la dependencia del tiempo se expresa mediante el multiplicador.

Entonces

Dóndemi es la energía total de la partícula, constante en el caso de un campo estacionario. Sustituyendo (217.4) en (217.1), obtenemos

de donde, después de dividir por factores comunes y las transformaciones correspondientes

llegamos a la ecuación que define la función

(217.5)

La ecuación (217.5) se denomina ecuación de Schrödinger para estados estacionarios. Esta ecuación incluye la energía total como parámetro. mi partículas. En la teoría de ecuaciones diferenciales se demuestra que tales ecuaciones tienen un número infinito de soluciones, de las cuales se seleccionan soluciones que tienen un significado físico imponiendo condiciones de contorno. Para la ecuación de Schrödinger, tales condiciones son las condiciones para la regularidad de las funciones de onda: las funciones de onda deben ser finitas, univaluadas y continuas junto con sus primeras derivadas. Por tanto, sólo aquellas soluciones que se expresan mediante funciones regulares tienen un significado físico real. Pero las soluciones regulares no tienen lugar para ningún valor del parámetro. MI, pero sólo para un determinado conjunto de ellos, característico de una tarea determinada. Estos valores de energía se denominan valores propios. Las soluciones, que corresponden a los valores propios de energía, se denominan funciones propias. Valores propios mi puede formar tanto permanente

series discontinuas y discretas. En el primer caso, se habla de un espectro continuo o sólido, en el segundo, de un espectro discreto.

§ 218. El principio de causalidad ■ mecánica cuántica

A partir de la relación de incertidumbre, a menudo se llega a la conclusión de que el principio de causalidad no es aplicable a los fenómenos que ocurren en el microcosmos. Esto se basa en las siguientes consideraciones. En la mecánica clásica, según el principio de causalidad: principio El determinismo clásico, basado en el estado conocido del sistema en un momento determinado (completamente determinado por los valores de las coordenadas y los momentos de todas las partículas del sistema) y las fuerzas que se le aplican, se puede determinar con absoluta precisión su estado en cualquier momento posterior. Por eso, física clásica se basa en la siguiente comprensión de la causalidad: estado sistema mecánico en el momento inicial del tiempo con una ley conocida de interacción de partículas hay una causa, y su estado en el momento posterior es una consecuencia.

Por otro lado, los microobjetos no pueden tener simultáneamente una determinada coordenada y una determinada proyección correspondiente de impulso (establecida por la relación de incertidumbre (215.1)), por lo que se concluye que en el momento inicial el estado del sistema es no determinado con precisión. Si el estado del sistema no se determina en el momento inicial, entonces no se pueden predecir los estados posteriores, es decir, se viola el principio de causalidad.

Sin embargo, no se observa ninguna violación del principio de causalidad en relación con los microobjetos, ya que en la mecánica cuántica el concepto de estado de un microobjeto adquiere un significado completamente diferente que en la mecánica clásica. En mecánica cuántica, el estado de un microobjeto está completamente determinado por la función de onda (x, y,z, t), el cuadrado del módulo del cual(x, y,z, t)\ 2 especifica la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en un punto con coordenadas x, y,z.

A su vez, la función de onda(x, y,z, t) satisface la ecuación de Schrödinger (217.1), que contiene la primera derivada de la función con respecto al tiempo. Esto también significa que especificar una función (para el tiempo t 0) determina su valor en momentos posteriores. Por tanto, en mecánica cuántica el estado inicial

Hay una causa y el estado en el momento posterior es una consecuencia. Ésta es la forma del principio de causalidad en la mecánica cuántica, es decir, la especificación de una función predetermina sus valores para los momentos posteriores. Así, el estado de un sistema de micropartículas, definido en la mecánica cuántica, se deriva inequívocamente del estado anterior, como exige el principio de causalidad.