Los sistemas de ecuaciones se han utilizado ampliamente en la industria económica con modelo matematico varios procesos. Por ejemplo, a la hora de resolver problemas de gestión y planificación de la producción, las rutas logísticas ( problema de transporte) o colocación de equipos.

Los sistemas de ecuaciones se utilizan no sólo en matemáticas, sino también en física, química y biología, para resolver problemas de búsqueda del tamaño de una población.

Sistema ecuaciones lineales nombrar dos o más ecuaciones con varias variables para las cuales es necesario encontrar una solución común. Tal secuencia de números para la cual todas las ecuaciones se convierten en verdaderas igualdades o prueban que la secuencia no existe.

Ecuación lineal

Las ecuaciones de la forma ax+by=c se llaman lineales. Las designaciones x, y son las incógnitas cuyo valor se debe encontrar, b, a son los coeficientes de las variables, c es el término libre de la ecuación.
Resolver una ecuación graficandola se verá como una línea recta, cuyos puntos son soluciones del polinomio.

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales.

Se considera que los ejemplos más simples son sistemas de ecuaciones lineales con dos variables X e Y.

F1(x, y) = 0 y F2(x, y) = 0, donde F1,2 son funciones y (x, y) son variables de función.

Resolver sistema de ecuaciones. - esto significa encontrar valores (x, y) en los que el sistema se convierte en una verdadera igualdad o establecer que no existen valores adecuados de xey.

Un par de valores (x, y), escritos como las coordenadas de un punto, se denomina solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Si los sistemas tienen una solución común o no existe ninguna solución, se llaman equivalentes.

Los sistemas homogéneos de ecuaciones lineales son sistemas cuyo lado derecho es igual a cero. Si la parte derecha después del signo igual tiene un valor o se expresa mediante una función, dicho sistema es heterogéneo.

El número de variables puede ser mucho mayor que dos, entonces deberíamos hablar de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con tres o más variables.

Ante los sistemas, los escolares suponen que el número de ecuaciones debe coincidir necesariamente con el número de incógnitas, pero no es así. El número de ecuaciones en el sistema no depende de las variables; puede haber tantas como se desee.

Métodos simples y complejos para resolver sistemas de ecuaciones.

No existe un método analítico general para resolver dichos sistemas; todos los métodos se basan en él; soluciones numéricas. EN curso escolar matemáticas, métodos como la permutación, la suma algebraica, la sustitución, así como gráficos y método matricial, solución por método gaussiano.

La tarea principal al enseñar métodos de solución es enseñar cómo analizar correctamente el sistema y encontrar el algoritmo de solución óptimo para cada ejemplo. Lo principal no es memorizar un sistema de reglas y acciones para cada método, sino comprender los principios del uso de un método en particular.

Resolver ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales en el plan de estudios de educación general de séptimo grado es bastante simple y se explica con gran detalle. En cualquier libro de texto de matemáticas, esta sección recibe suficiente atención. La resolución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss y Cramer se estudia con más detalle en los primeros años de educación superior.

Resolver sistemas mediante el método de sustitución.

Las acciones del método de sustitución tienen como objetivo expresar el valor de una variable en términos de la segunda. La expresión se sustituye en la ecuación restante y luego se reduce a una forma con una variable. La acción se repite dependiendo del número de incógnitas en el sistema.

Demos una solución a un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales de clase 7 usando el método de sustitución:

Como puede verse en el ejemplo, la variable x se expresó mediante F(X) = 7 + Y. La expresión resultante, sustituida en la segunda ecuación del sistema en lugar de X, ayudó a obtener una variable Y en la segunda ecuación. . Solución este ejemplo no causa dificultades y permite obtener el valor Y. El último paso es comprobar los valores obtenidos.

No siempre es posible resolver un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales mediante sustitución. Las ecuaciones pueden ser complejas y expresar la variable en términos de la segunda incógnita será demasiado engorroso para realizar más cálculos. Cuando hay más de 3 incógnitas en el sistema, resolver por sustitución tampoco es apropiado.

Solución de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas:

Solución usando suma algebraica

Cuando buscan soluciones a sistemas utilizando el método de la suma, realizan sumas y multiplicaciones término por término de ecuaciones por diferentes numeros. La última meta Las operaciones matemáticas son una ecuación con una variable.

Para aplicaciones este método Se requiere práctica y observación. Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de la suma cuando hay 3 o más variables no es fácil. La suma algebraica es conveniente cuando las ecuaciones contienen fracciones y decimales.

Algoritmo de solución:

1. Multiplica ambos lados de la ecuación por un número determinado. Como resultado acción aritmética uno de los coeficientes de la variable debe ser igual a 1.
2. Suma la expresión resultante término por término y encuentra una de las incógnitas.
3. Sustituye el valor resultante en la segunda ecuación del sistema para encontrar la variable restante.

Método de solución introduciendo una nueva variable.

Se puede introducir una nueva variable si el sistema requiere encontrar una solución para no más de dos ecuaciones; el número de incógnitas tampoco debe ser superior a dos.

El método se utiliza para simplificar una de las ecuaciones introduciendo una nueva variable. La nueva ecuación se resuelve para la incógnita introducida y el valor resultante se utiliza para determinar la variable original.

El ejemplo muestra que al introducir una nueva variable t, fue posible reducir la primera ecuación del sistema a la estándar. trinomio cuadrático. Puedes resolver un polinomio encontrando el discriminante.

Es necesario encontrar el valor discriminante mediante fórmula bien conocida: D = b2 - 4*a*c, donde D es el discriminante deseado, b, a, c son los factores del polinomio. EN ejemplo dado a=1, b=16, c=39, por lo tanto D=100. Si el discriminante Por encima de cero, entonces hay dos soluciones: t = -b±√D / 2*a, si el discriminante menos que cero, entonces solo hay una solución: x= -b / 2*a.

La solución de los sistemas resultantes se encuentra mediante el método de la suma.

Método visual para resolver sistemas.

Adecuado para sistemas de 3 ecuaciones. El método consiste en construir sobre eje de coordenadas gráficas de cada ecuación incluida en el sistema. Las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas y serán decisión general sistemas.

El método gráfico tiene varios matices. Veamos varios ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales de forma visual.

Como se puede ver en el ejemplo, para cada línea se construyeron dos puntos, los valores de la variable x se eligieron arbitrariamente: 0 y 3. Con base en los valores de x, se encontraron los valores de y: 3 y 0. Los puntos con coordenadas (0, 3) y (3, 0) se marcaron en el gráfico y se conectaron mediante una línea.

Los pasos deben repetirse para la segunda ecuación. El punto de intersección de las rectas es la solución del sistema.

EN siguiente ejemplo necesito encontrar solución gráfica sistemas de ecuaciones lineales: 0.5x-y+2=0 y 0.5x-y-1=0.

Como se puede ver en el ejemplo, el sistema no tiene solución, porque las gráficas son paralelas y no se cruzan en toda su longitud.

Los sistemas de los ejemplos 2 y 3 son similares, pero cuando se construyen resulta obvio que sus soluciones son diferentes. Cabe recordar que no siempre es posible decir si un sistema tiene solución o no; siempre es necesario construir una gráfica.

La matriz y sus variedades.

Las matrices se utilizan para nota corta sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz es una tabla. tipo especial lleno de números. n*m tiene n - filas ym - columnas.

Una matriz es cuadrada cuando el número de columnas y filas es igual. Una matriz-vector es una matriz de una columna con infinito numero posible líneas. Matriz con unidades a lo largo de una de las diagonales y otras cero elementos llamada unidad.

Una matriz inversa es una matriz que, cuando se multiplica, la original se convierte en una matriz unitaria; dicha matriz existe sólo para la matriz cuadrada original;

Reglas para convertir un sistema de ecuaciones en una matriz.

En relación con los sistemas de ecuaciones, los coeficientes y miembros libres ecuaciones, una ecuación, una fila de la matriz.

Se dice que una fila de una matriz es distinta de cero si al menos un elemento de la fila no lo es igual a cero. Por lo tanto, si en alguna de las ecuaciones el número de variables difiere, entonces es necesario ingresar cero en lugar de la incógnita que falta.

Las columnas de la matriz deben corresponder estrictamente a las variables. Esto significa que los coeficientes de la variable x se pueden escribir solo en una columna, por ejemplo en la primera, el coeficiente de la desconocida y solo en la segunda.

Al multiplicar una matriz, todos los elementos de la matriz se multiplican secuencialmente por un número.

Opciones para encontrar la matriz inversa.

La fórmula para encontrar la matriz inversa es bastante simple: K -1 = 1 / |K|, donde K -1 - matriz inversa, y |K| es el determinante de la matriz. |K| no debe ser igual a cero, entonces el sistema tiene solución.

El determinante se calcula fácilmente para una matriz de dos por dos; sólo necesitas multiplicar los elementos de la diagonal entre sí. Para la opción “tres por tres”, existe una fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 segundo 2 do 1 . Puede usar la fórmula o recordar que debe tomar un elemento de cada fila y de cada columna para que los números de columnas y filas de elementos no se repitan en el trabajo.

Resolver ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales usando el método matricial.

El método matricial para encontrar una solución le permite reducir las entradas engorrosas al resolver sistemas con gran cantidad variables y ecuaciones.

En el ejemplo, a nm son los coeficientes de las ecuaciones, la matriz es un vector x n son variables y b n son términos libres.

Resolver sistemas mediante el método gaussiano.

EN Matemáticas avanzadas El método gaussiano se estudia junto con el método de Cramer, y el proceso de encontrar soluciones a sistemas se denomina método de solución de Gauss-Cramer. Estos métodos se utilizan para encontrar sistemas variables con un gran número de ecuaciones lineales.

El método de Gauss es muy similar a las soluciones que utilizan sustituciones y suma algebraica, pero más sistemático. En el curso escolar se utiliza la solución por el método gaussiano para sistemas de 3 y 4 ecuaciones. El objetivo del método es reducir el sistema a la forma de un trapezoide invertido. Por transformaciones algebraicas y sustituciones, el valor de una variable se encuentra en una de las ecuaciones del sistema. La segunda ecuación es una expresión con 2 incógnitas, mientras que 3 y 4 son, respectivamente, con 3 y 4 variables.

Después de llevar el sistema a la forma descrita, la solución adicional se reduce a la sustitución secuencial de variables conocidas en las ecuaciones del sistema.

EN libros de texto escolares para el grado 7, a continuación se describe un ejemplo de una solución por el método gaussiano:

Como se puede ver en el ejemplo, en el paso (3) se obtuvieron dos ecuaciones: 3x 3 -2x 4 =11 y 3x 3 +2x 4 =7. Resolver cualquiera de las ecuaciones te permitirá encontrar una de las variables x n.

El teorema 5, que se menciona en el texto, establece que si una de las ecuaciones del sistema se reemplaza por una equivalente, entonces el sistema resultante también será equivalente al original.

El método Gauss es difícil de entender para los estudiantes. escuela secundaria, pero es una de las formas más interesantes de desarrollar el ingenio de los niños matriculados en programas de aprendizaje avanzado en clases de matemáticas y física.

Para facilitar el registro, los cálculos generalmente se realizan de la siguiente manera:

Los coeficientes de las ecuaciones y términos libres se escriben en forma de matriz, donde cada fila de la matriz corresponde a una de las ecuaciones del sistema. separa el lado izquierdo de la ecuación del derecho. Los números romanos indican el número de ecuaciones del sistema.

Primero se escribe la matriz a trabajar, luego todas las acciones realizadas con una de las filas. La matriz resultante se escribe después del signo de "flecha" y continúa realizando lo necesario operaciones algebraicas hasta lograr el resultado.

El resultado debe ser una matriz en la que una de las diagonales sea igual a 1 y todos los demás coeficientes sean iguales a cero, es decir, la matriz se reduce a una forma unitaria. No debemos olvidarnos de realizar cálculos con números a ambos lados de la ecuación.

Este método de grabación es menos engorroso y permite no distraerse enumerando numerosas incógnitas.

El uso gratuito de cualquier método de solución requerirá cuidado y cierta experiencia. No todos los métodos son de naturaleza aplicada. Algunos métodos para encontrar soluciones son más preferibles en un área particular de la actividad humana, mientras que otros existen con fines educativos.

Usando esto programa de matematicas puedes resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos método variable método de sustitución y suma.

El programa no sólo da la respuesta al problema, sino que también da solución detallada con explicaciones de los pasos de solución de dos maneras: el método de sustitución y el método de suma.

Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria escuelas secundarias En preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas de matemáticas y álgebra. ¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres hacerlo lo más rápido posible? tarea¿En matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.

De esta forma podrás realizar tu propia formación y/o formación tuya. hermanos menores o hermanas, mientras aumenta el nivel de educación en el campo de los problemas a resolver.

Reglas para ingresar ecuaciones

Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Al ingresar ecuaciones puedes usar paréntesis. En este caso, primero se simplifican las ecuaciones. Las ecuaciones después de las simplificaciones deben ser lineales, es decir de la forma ax+by+c=0 con la precisión del orden de los elementos.
Por ejemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2

En las ecuaciones puedes usar no solo números enteros, sino también números fraccionarios en forma de decimales y fracciones ordinarias.

Reglas para ingresar fracciones decimales.
entero y fracción V decimales pueden estar separados por un punto o una coma.
Por ejemplo: 2,1n + 3,5m = 55

Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo.
Al entrar fracción numérica El numerador está separado del denominador por un signo de división: /
Toda una parte separado de la fracción por un signo comercial: &

Ejemplos.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

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Un poco de teoría.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de sustitución

La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de sustitución:
1) expresar una variable de alguna ecuación del sistema en términos de otra;
2) sustituir la expresión resultante en otra ecuación del sistema en lugar de esta variable;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Expresemos y en términos de x de la primera ecuación: y = 7-3x. Sustituyendo la expresión 7-3x en la segunda ecuación en lugar de y, obtenemos el sistema:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Es fácil demostrar que el primer y segundo sistema tienen las mismas soluciones. En el segundo sistema, la segunda ecuación contiene sólo una variable. Resolvamos esta ecuación:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Flecha derecha -5x+14-6x=3 \Flecha derecha -11x=-11 \Flecha derecha x=1 $$

Sustituyendo el número 1 en lugar de x en la igualdad y=7-3x, encontramos el valor correspondiente de y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - solución del sistema

Los sistemas de ecuaciones de dos variables que tienen las mismas soluciones se llaman equivalente. También se consideran equivalentes los sistemas que no tienen soluciones.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales por suma.

Consideremos otra forma de resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de la suma. Al resolver sistemas de esta manera, así como al resolver por sustitución, pasamos de este sistema a otro sistema equivalente, en el que una de las ecuaciones contiene solo una variable.

La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de la suma:
1) multiplicar las ecuaciones del sistema término por término, seleccionando factores de modo que los coeficientes de una de las variables se conviertan en números opuestos;
2) sumar los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones del sistema término por término;
3) resolver la ecuación resultante con una variable;
4) encuentre el valor correspondiente de la segunda variable.

Ejemplo. Resolvamos el sistema de ecuaciones:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

En las ecuaciones de este sistema, los coeficientes de y son números opuestos. Sumando los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones término por término, obtenemos una ecuación con una variable 3x=33. Reemplacemos una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo la primera, por la ecuación 3x=33. Consigamos el sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

De la ecuación 3x=33 encontramos que x=11. Sustituyendo este valor de x en la ecuación \(x-3y=38\) obtenemos una ecuación con la variable y: \(11-3y=38\). Resolvamos esta ecuación:
\(-3y=27 \Flecha derecha y=-9 \)

Así, encontramos la solución al sistema de ecuaciones por suma: \(x=11; y=-9\) o \((11;-9)\)

Aprovechando que en las ecuaciones del sistema los coeficientes de y son números opuestos, reducimos su solución a la solución de un sistema equivalente (sumando ambos lados de cada una de las ecuaciones del sistema original), en el cual de las ecuaciones contiene sólo una variable.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de varias ecuaciones lineales consideradas juntas.

Un sistema puede tener cualquier número de ecuaciones con cualquier número de incógnitas.

Una solución a un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema, es decir, convirtiéndolas en identidades.

Un sistema que tiene solución se llama consistente; en caso contrario, se llama inconsistente.

Se utilizan varios métodos para resolver el sistema.

Dejar
(el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas).

método cramer

Consideremos la solución. sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

(7)

Para encontrar incógnitas
Apliquemos la fórmula de Cramer:

(8)

Dónde - determinante del sistema, cuyos elementos son los coeficientes de las incógnitas:

.

obtenido reemplazando la primera columna del determinante columna de miembros gratuitos:

.

Asimismo:

;
.

Ejemplo 1. Resuelva el sistema usando la fórmula de Cramer:

.

Solución: Usemos las fórmulas (8):

;

;

;

;

Respuesta:
.

Para cualquier sistema ecuaciones lineales con las incógnitas se pueden enunciar:

Solución matricial

Consideremos resolver el sistema (7) de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas utilizando un método matricial.

Usando las reglas de la multiplicación de matrices, este sistema de ecuaciones se puede escribir como:
, Dónde

.

Deja que la matriz no degenerado, es decir
. Multiplicar ambos lados de la ecuación matricial de la izquierda por la matriz
, inversa de la matriz , obtenemos:
.

Teniendo en cuenta que
, tenemos

(9)

Ejemplo 2. Resuelva el sistema usando el método matricial:

.

Solución: Introduzcamos las matrices:

- de los coeficientes de las incógnitas;

- columna de miembros gratuitos.

Entonces el sistema se puede escribir como una ecuación matricial:
.

Usemos la fórmula (9). Encontremos la matriz inversa
según la fórmula (6):

;

.

Por eso,

Consiguió:

.

Respuesta:
.

Método de eliminación secuencial de incógnitas (método gaussiano)

La idea principal del método utilizado es eliminar secuencialmente las incógnitas. Expliquemos el significado de este método en el sistema. tres ecuaciones con tres incógnitas:

.

Supongamos que
(Si
, luego cambiamos el orden de las ecuaciones, eligiendo como primera ecuación aquella en la que el coeficiente en distinto de cero).

Primer paso: a) dividir la ecuación
en
; b) multiplica la ecuación resultante por
y restar de
; c) luego multiplica el resultado por
y restar de
. Como resultado del primer paso tendremos el sistema:

,

Segundo paso: nos ocupamos de la ecuación.
Y
exactamente lo mismo que con las ecuaciones
.

Como resultado, el sistema original se transforma en la llamada forma escalonada:

A partir del sistema transformado, todas las incógnitas se determinan secuencialmente sin dificultad.

Comentario. En la práctica, es más conveniente reducir a una forma gradual no el sistema de ecuaciones en sí, sino una matriz de coeficientes, incógnitas y términos libres.

Ejemplo 3. Resuelva el sistema usando el método gaussiano:

.

Escribiremos la transición de una matriz a otra usando el signo de equivalencia ~.

~
~
~
~

~
.

Usando la matriz resultante, escribimos el sistema transformado:

.

Respuesta:
.

Nota: Si el sistema tiene única decisión, entonces el sistema de pasos se reduce a uno triangular, es decir, a uno en el que la última ecuación contendrá una incógnita. En el caso de un sistema incierto, es decir, uno en el que el número de incógnitas mas numero ecuaciones linealmente independientes, no habrá un sistema triangular, ya que la última ecuación contendrá más de una incógnita (el sistema tiene un número infinito de soluciones). Cuando el sistema es inconsistente, después de reducirlo a su forma gradual, contendrá al menos un valor de la forma
, es decir, una ecuación en la que todas las incógnitas tienen coeficientes cero y el lado derecho es distinto de cero (el sistema no tiene soluciones). El método gaussiano es aplicable a sistema arbitrario ecuaciones lineales (para cualquier
Y ).

Teorema de existencia para una solución de un sistema de ecuaciones lineales

Al resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método gaussiano, la respuesta a la pregunta de si este sistema es compatible o inconsistente solo se puede dar al final de los cálculos. Sin embargo, a menudo es importante resolver la cuestión de la compatibilidad o incompatibilidad de un sistema de ecuaciones sin encontrar las soluciones mismas. La respuesta a esta pregunta viene dada por el siguiente teorema de Kronecker-Capelli.

Deja que el sistema se dé.
ecuaciones lineales con desconocido:

(10)

Para que el sistema (10) sea consistente, es necesario y suficiente que el rango de la matriz del sistema

.

era igual al rango de su matriz extendida

.

Es más, si
, entonces el sistema (10) tiene una solución única; si
, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.

Considere un sistema homogéneo (todos los términos libres son iguales a cero) de ecuaciones lineales:

.

Este sistema es siempre consistente ya que tiene solución cero.

El siguiente teorema da condiciones bajo las cuales el sistema también tiene soluciones distintas de cero.

Terema. Con el fin de sistema homogéneo ecuaciones lineales tiene solución cero, es necesario y suficiente que su determinante era igual a cero:

.

Así, si
, entonces la solución es la única. Si
, entonces hay un número infinito de otras soluciones distintas de cero. Indiquemos una de las formas de encontrar soluciones para un sistema homogéneo de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas en el caso
.

Se puede demostrar que si
, y la primera y la segunda ecuaciones son desproporcionadas (linealmente independientes), entonces la tercera ecuación es consecuencia de las dos primeras. La solución de un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas se reduce a la solución de dos ecuaciones con tres incógnitas. Aparece una llamada incógnita libre, a la que se le pueden asignar valores arbitrarios.

Ejemplo 4. Encuentre todas las soluciones del sistema:

.

Solución. Determinante de este sistema.

.

Por tanto, el sistema tiene cero soluciones. Puedes notar que las dos primeras ecuaciones, por ejemplo, no son proporcionales, por lo tanto, son linealmente independientes. La tercera es consecuencia de las dos primeras (resulta si sumas el doble de la segunda a la primera ecuación). Rechazándolo, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas:

.

Suponiendo, por ejemplo,
, obtenemos

.

Resolviendo un sistema de dos ecuaciones lineales, expresamos Y a través de :
. Por tanto, la solución del sistema se puede escribir como:
, Dónde - número arbitrario.

Ejemplo 5. Encuentre todas las soluciones del sistema:

.

Solución. Es fácil ver que en este sistema sólo existe una ecuación independiente (las otras dos son proporcionales a ella). Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se ha reducido a una ecuación con tres incógnitas. Aparecen dos incógnitas libres. Hallar, por ejemplo, de la primera ecuación
por arbitrario Y , obtenemos soluciones a este sistema. La forma general de la solución se puede escribir, donde Y - números arbitrarios.

Preguntas de autoevaluación

Formule la regla de Cramer para resolver el sistema. ecuaciones lineales con desconocido.

¿Cuál es la esencia del método matricial para resolver sistemas?

¿Cuál es el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales?

Enuncie el teorema de Kronecker-Capelli.

Formule una condición necesaria y suficiente para la existencia de soluciones distintas de cero para un sistema homogéneo de ecuaciones lineales.

Ejemplos de autosolución

Encuentre todas las soluciones de los sistemas:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Determinar en qué valores Y sistema de ecuaciones

a) tiene una solución única;

b) no tiene solución;

c) tiene infinitas soluciones.

16.
; 17.
;

Encuentre todas las soluciones de los siguientes sistemas homogéneos:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Respuestas a ejemplos

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- número arbitrario.

6.
, Dónde - número arbitrario.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, Dónde - número arbitrario.

12. , donde Y - números arbitrarios.

13.
; 14.
Dónde Y - números arbitrarios.

15. Ǿ; 16.a)
; b)
; V)
.

17.a)
; b)
; V)
;

18.
; 19.
; 20., donde - número arbitrario.

21. , donde - número arbitrario.

22. , donde - número arbitrario.

23. , donde Y - números arbitrarios.

Vídeotutorial 2:Resolver sistemas de ecuaciones.

Conferencia: Los sistemas de ecuaciones más simples con dos incógnitas.

Ecuaciones con dos incógnitas

En este tema veremos ecuaciones que contienen dos incógnitas. A menudo, para resolver este tipo de ecuaciones, necesitamos tener tantas ecuaciones como incógnitas.

Las ecuaciones con dos incógnitas tienen la siguiente forma:

a B C D- estos son números parado cerca en variables (x,y).

Resolver la ecuación del sistema.- esto significa encontrar el valor de las variables que harán que ambas ecuaciones alcancen la igualdad correcta.

Cada ecuación puede tener múltiples respuestas, pero la respuesta del sistema de ecuaciones será el par de números que se ajusten a ambas ecuaciones.

La solución de un sistema de ecuaciones se puede interpretar analíticamente, algunas de las cuales consideraremos más adelante, y gráficamente.

Método gráfico para resolver un sistema de ecuaciones.

para cada uno de ecuaciones dadas puedes construir tu propio gráfico en un plano; puede ser cualquiera de gráficos famosos funciones. La solución del sistema de ecuaciones será el punto en el que se cruzan las gráficas. Este punto tendrá su propia coordenada, que corresponderá a la ordenada y a la abscisa, que será la solución.

Del gráfico se pueden obtener varios tipos de soluciones:

1. Muchas soluciones. Por ejemplo, si una ecuación representara Funcion trigonometrica, y la segunda es una línea recta, por ejemplo, paralela al eje OX, entonces esta línea recta cruzará la gráfica de la segunda función en muchos puntos con una cierta periodicidad.

2. Una solución. En este caso, las gráficas de las funciones se cruzarán en un punto. Normalmente, esta imagen se observa si las gráficas de las ecuaciones son líneas rectas.

3. Dos soluciones. Es decir, las gráficas de las ecuaciones se cruzarán en dos puntos. Esto suele observarse cuando la gráfica de una de las funciones es una parábola.

4. No tengo soluciones. Es posible que algunas gráficas de funciones no se crucen en absoluto, en cuyo caso el sistema no tendrá soluciones.

Métodos básicos de solución analítica.

Resolver usando una gráfica no siempre es conveniente, ya que el punto de intersección de las funciones puede estar bastante lejos del origen de coordenadas o tendrá coordenadas fraccionarias. Para encontrar con mayor precisión la solución al sistema, es mejor utilizar métodos analíticos soluciones.

1. Sustitución

Para resolver un sistema usando el método de sustitución, debes expresar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituirla en la segunda ecuación.

x = (c – por) / a

d (c – por) / a + ey = f

Después de esta sustitución, una de las ecuaciones tendrá una incógnita, después de lo cual se resuelve la ecuación. de manera conocida. Cuando se encuentra una de las variables, su valor se sustituye en la primera ecuación y, así, se encuentra la segunda variable.

2. Método de sumar o restar ecuaciones.

Este método le permite deshacerse de una de las incógnitas. Entonces imaginemos que desea deshacerse de la variable "x". A este método tuvo lugar, debes multiplicar el primer término de la ecuación por d y multiplicar el segundo por a. Después de esto obtendrás los mismos coeficientes para la variable "x". Si restas una ecuación de otra, podrás deshacerte de una incógnita. Ecuación adicional utilizando métodos conocidos.

En el curso de matemáticas de séptimo grado, nos encontramos por primera vez ecuaciones con dos variables, pero se estudian sólo en el contexto de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Por eso se pierden de vista toda una serie de problemas en los que se introducen determinadas condiciones sobre los coeficientes de la ecuación que los limitan. Además, también se ignoran los métodos para resolver problemas como “Resolver una ecuación en números naturales o enteros”, aunque en Materiales del examen estatal unificado y en exámenes de admisión Los problemas de este tipo son cada vez más comunes.

¿Qué ecuación se llamará ecuación con dos variables?

Entonces, por ejemplo, las ecuaciones 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 o xy = 12 son ecuaciones en dos variables.

Considere la ecuación 2x ​​– y = 1. Se vuelve cierta cuando x = 2 e y = 3, por lo que este par de valores de variables es una solución a la ecuación en cuestión.

Así, la solución a cualquier ecuación con dos variables es un conjunto de pares ordenados (x; y), valores de las variables que convierten esta ecuación en una verdadera igualdad numérica.

Una ecuación con dos incógnitas puede:

A) tener una solución. Por ejemplo, la ecuación x 2 + 5y 2 = 0 tiene una solución única (0; 0);

b) tener múltiples soluciones. Por ejemplo, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 tiene 4 soluciones: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) no tienen soluciones. Por ejemplo, la ecuación x 2 + y 2 + 1 = 0 no tiene soluciones;

GRAMO) tener infinitas soluciones. Por ejemplo, x + y = 3. Las soluciones de esta ecuación serán números cuya suma sea igual a 3. El conjunto de soluciones ecuación dada se puede escribir en la forma (k; 3 – k), donde k es cualquier Número Real.

Los principales métodos para resolver ecuaciones con dos variables son métodos basados ​​​​en factorizar expresiones, aislar un cuadrado completo y usar propiedades. ecuación cuadrática, limitaciones de expresiones, métodos de evaluación. La ecuación generalmente se transforma en una forma a partir de la cual se puede obtener un sistema para encontrar las incógnitas.

Factorización

Ejemplo 1.

Resuelve la ecuación: xy – 2 = 2x – y.

Solución.

Agrupamos los términos para efectos de factorización:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. De cada paréntesis sacamos un factor común:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Tenemos:

y = 2, x – cualquier número real o x = -1, y – cualquier número real.

De este modo, la respuesta es todos los pares de la forma (x; 2), x€R y (-1;y), y€R.

Igual a cero no es números negativos

Ejemplo 2.

Resuelve la ecuación: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Solución.

Agrupamiento:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Ahora cada paréntesis se puede plegar usando la fórmula de diferencia al cuadrado.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

La suma de dos expresiones no negativas es cero sólo si 3x – 2 = 0 y 2y – 3 = 0.

Esto significa x = 2/3 e y = 3/2.

Respuesta: (2/3; 3/2).

Método de estimación

Ejemplo 3.

Resuelve la ecuación: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Solución.

En cada paréntesis seleccionamos un cuadrado completo:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Estimemos el significado de las expresiones entre paréntesis.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 y (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, entonces el lado izquierdo de la ecuación es siempre al menos 2. La igualdad es posible si:

(x + 1) 2 + 1 = 1 y (y – 2) 2 + 2 = 2, lo que significa x = -1, y = 2.

Respuesta: (-1; 2).

Conozcamos otro método para resolver ecuaciones con dos variables segundo grados. Este método consiste en tratar la ecuación como cuadrado con respecto a alguna variable.

Ejemplo 4.

Resuelve la ecuación: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Solución.

Resolvamos la ecuación como una ecuación cuadrática para x. Encontremos el discriminante:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . La ecuación tendrá solución sólo cuando D = 0, es decir, si y = 4. Sustituye el valor de y en ecuación original y encontramos que x = 3.

Respuesta: (3; 4).

A menudo, en ecuaciones con dos incógnitas indican restricciones sobre variables.

Ejemplo 5.

Resuelve la ecuación en números enteros: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Solución.

Reescribamos la ecuación como x 2 = -5y 2 + 20x + 2. parte derecha la ecuación resultante cuando se divide por 5 da un resto de 2. Por lo tanto, x 2 no es divisible por 5. Pero el cuadrado de un número no divisible por 5 da un resto de 1 o 4. Por lo tanto, la igualdad es imposible y no hay soluciones.

Respuesta: sin raíces.

Ejemplo 6.

Resuelve la ecuación: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Solución.

resaltemos cuadrados perfectos en cada paréntesis:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lado izquierdo la ecuación es siempre mayor o igual a 3. La igualdad es posible bajo la condición |x| – 2 = 0 e y + 3 = 0. Por tanto, x = ± 2, y = -3.

Respuesta: (2; -3) y (-2; -3).

Ejemplo 7.

Para cada par de enteros negativos (x;y) que satisfagan la ecuación
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calcula la suma (x + y). Indique la cantidad más pequeña en su respuesta.

Solución.

Seleccionemos cuadrados completos:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Como x e y son números enteros, sus cuadrados también son números enteros. Obtenemos la suma de los cuadrados de dos números enteros igual a 37 si sumamos 1 + 36. Por lo tanto:

(x – y) 2 = 36 y (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 y (y + 2) 2 = 36.

Resolviendo estos sistemas y teniendo en cuenta que x e y son negativos, encontramos soluciones: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Respuesta: -17.

No te desesperes si tienes dificultades para resolver ecuaciones con dos incógnitas. Con un poco de práctica, podrás manejar cualquier ecuación.

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