Loi grands nombres est la loi centrale de la théorie des probabilités car elle formule le lien fondamental entre la régularité et le hasard. Il soutient notamment qu'un grand nombre d'accidents conduit à un schéma qui permet de prédire le cours des événements. Dans le plus forme générale il s'exprime Théorème de Chebyshev:

Laisser ( Χ 1 ; X2 ; … X n ; ...) variables aléatoires indépendantes (elles sont supposées être nombre infini). Et que leurs variances soient uniformément limitées (c'est-à-dire que les variances de tous ces variables aléatoires ne dépassez pas une certaine constante AVEC):

Alors peu importe le peu nombre positif, la relation de probabilité limite est satisfaite :

si le nombre de variables aléatoires est suffisamment grand. Ou, ce qui est la même chose, la probabilité

Ainsi, le théorème de Chebyshev stipule que si l'on considère un nombre suffisamment grand n variables aléatoires indépendantes ( Χ 1 ; X2 ; …Xn), alors l'événement peut être considéré comme presque fiable (avec une probabilité proche de l'unité) que l'écart de la moyenne arithmétique de ces variables aléatoires par rapport à la moyenne arithmétique de leurs attentes mathématiques sera selon valeur absolue aussi petit que vous le souhaitez.

Preuve. Χ 1 ; X2 ; …Xn):

(4)

; (5)

Compte tenu des conditions (1), nous établissons que

(6)

Ainsi, lorsque la variance est . C'est-à-dire que lorsque la répartition des valeurs d'une variable aléatoire autour d'elle espérance mathématique diminue indéfiniment. Et cela signifie que lorsque la valeur, c'est-à-dire . Ou, pour être plus précis, la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte d'une manière ou d'une autre de son espérance mathématique - une constante - tend vers zéro. À savoir, pour tout nombre positif arbitrairement petit

Ainsi, selon le théorème prouvé de Chebyshev, la moyenne arithmétique d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes ( Χ 1 ; X2 ; …Xn), étant une variable aléatoire, perd en fait son caractère aléatoire et devient en fait une constante immuable. Cette constante est égale à la moyenne arithmétique des espérances mathématiques des valeurs ( Χ 1 ; X2 ; …Xn). C'est la loi des grands nombres.

Une autre preuve du théorème de Chebyshev peut être donnée. Pour ce faire, nous utilisons l’inégalité de Chebyshev. Il est valable pour les variables aléatoires discrètes et continues et a une valeur en soi. L'inégalité de Chebyshev permet d'estimer la probabilité que l'écart d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique ne dépasse pas un nombre positif en valeur absolue. Présentons une preuve de l'inégalité de Chebyshev pour les variables aléatoires discrètes.

L'inégalité de Chebyshev : La probabilité que l'écart d'une variable aléatoire X de son espérance mathématique en valeur absolue est inférieure à un nombre positif, pas inférieur à :

.

Preuve: Depuis les événements consistant en la mise en œuvre des inégalités Et , sont opposés, alors la somme de leurs probabilités est égale à 1, c'est-à-dire . D’où la probabilité qui nous intéresse. (*)

Nous trouverons . Pour ça trouvons la variance variable aléatoire X.

Tous les termes de cette somme sont non négatifs. Écartons les termes pour lesquels (pour les durées restantes ), de sorte que le montant ne peut que diminuer. Acceptons de supposer, pour être précis, que le k les premiers termes (nous supposerons que dans le tableau de distribution les valeurs possibles sont numérotées exactement dans cet ordre). Ainsi,

Puisque les deux côtés de l’inégalité sont positifs, donc en les mettant au carré, on obtient l'inégalité équivalente . Utilisons cette remarque en remplaçant chacun des facteurs dans la somme restante nombre (dans ce cas l’inégalité ne peut qu’augmenter), on obtient. (**)

D’après le théorème d’addition, la somme des probabilités est la probabilité que X prendra une, quelle qu'elle soit, des valeurs , et pour chacun d'entre eux, l'écart satisfait l'inégalité . Il s'ensuit que la somme exprime la probabilité . Cela nous permet de réécrire l'inégalité (**) comme suit : . (***).

Remplaçons (***) V (*) et nous obtenons , c'était ce qui devait être prouvé.

Preuve du théorème 2 de Chebyshev:

Introduisons une nouvelle variable aléatoire en considération - la moyenne arithmétique des variables aléatoires ( Χ 1 ; X2 ; …Xn):

En utilisant les propriétés d'espérance mathématique et de dispersion, nous obtenons :

; . (*)

En appliquant l'inégalité de Chebyshev à la quantité, nous avons.

Compte tenu du ratio (*),

Par condition, cela signifie . (***) En substituant le membre de droite (***) à l'inégalité (**) on a

De là, en passant à la limite en , on obtient

Puisque la probabilité ne peut pas dépasser un, on obtient finalement :

C’est ce que nous devions prouver.

Arrêtons-nous sur un cas particulier important du théorème de Chebyshev. À savoir, considérons le cas où des variables aléatoires indépendantes ( Χ 1 ; X2 ; …Xn) avoir mêmes lois distributions, et donc identiques caractéristiques numériques:

(8)

Alors pour la variable aléatoire, d’après (5), on a :

(9)

La relation de probabilité limite (7) dans ce cas prendra la forme :

(10)

La conclusion découlant de (10) a grande valeur pour lutter contre les erreurs aléatoires lors de la réalisation de différents types de mesures.

Supposons, par exemple, que vous deviez mesurer une certaine quantité UN. Nous n'en produirons pas un, mais plusieurs ( n) mesures répétées indépendantes de la valeur de cette grandeur. Toute mesure est inhérente à une erreur aléatoire liée à l'imperfection de l'appareil de mesure, à toutes sortes d'interférences aléatoires dans la mesure, etc. Donc les résultats ( Χ 1 ; X2 ; …Xn) mesures séquentielles individuelles de la valeur souhaitée UN, d'une manière générale, ne seront pas donnés - ce seront des variables aléatoires. De plus, avec des quantités ayant répartitions identiques, car les mesures sont effectuées de manière répétée, c'est-à-dire à constante conditions extérieures. Puis pour la quantité - la moyenne arithmétique des résultats de tous n mesures - la relation de probabilité limite (10) sera remplie. Cela signifie que cette moyenne arithmétique perd son caractère aléatoire et se transforme en UN– valeur vraie de la grandeur mesurée. Ceci est d'ailleurs démontré par les formules (9), selon lesquelles :

(11)

C'est-à-dire avoir effectué un nombre suffisamment important de mesures répétées de la quantité souhaitée UN, dans chacun desquels une erreur de mesure aléatoire est possible, puis trouver la moyenne résultats arithmétiques ces mesures, on utilise la formule

UN(12)

nous pouvons obtenir la valeur et pratiquement sans erreurs aléatoires.

Cette conclusion est une conséquence de la loi des grands nombres. DANS dans ce cas cette loi se manifeste dans le fait que lors de la sommation des résultats de mesure en (4) erreurs aléatoires les dimensions individuelles, apparaissant en principe aussi souvent avec un signe plus et un signe moins, s'annulent généralement. Et l'erreur restante sera toujours divisée en n, c'est-à-dire qu'il diminuera encore de n une fois. Alors quand grandes valeurs n la valeur sera presque exactement égale à la valeur mesurée UN. Cette conclusion est naturellement largement utilisée dans la pratique.

Note. En ampleur, ils s'annulent seulement erreurs aléatoires mesures, c'est-à-dire les erreurs associées à l'action de facteurs aléatoires (interférences). Mais les erreurs systématiques (permanentes), c'est-à-dire les erreurs inhérentes à chaque mesure, subsistent naturellement . Par exemple, une flèche renversée (non ajustée) dans un appareil provoque une erreur constante (systématique) dans chaque mesure et, par conséquent, la provoque dans la moyenne arithmétique des résultats de ces mesures. Les erreurs systématiques doivent être éliminées avant même que les mesures ne soient prises et ne sont pas autorisées pendant le processus de mesure.

Ensuite, si α est la valeur de division de l'appareil de mesure, alors toutes les mesures répétées sont effectuées avec une précision de α. Mais alors, bien entendu, la moyenne arithmétique des résultats de toutes les mesures ne peut être indiquée qu'avec une précision de α, c'est-à-dire avec une précision déterminée par la précision de l'appareil.

Il ne faut donc pas penser qu'après avoir effectué un nombre suffisamment important de mesures répétées de la quantité UN puis en trouvant la moyenne arithmétique des résultats de ces mesures, on obtient exact signification UN. Nous ne l'obtiendrons que dans la limite de la précision de l'appareil de mesure. Et même alors, si l'on exclut erreur systématique mesures.

En voici un autre important cas particulier loi des grands nombres. Laisser X = k– le nombre d'occurrences d'un événement UN V n tests répétés ( X– variable aléatoire). Et laissez et – probabilité d’occurrence et de non-occurrence d’un événement UN en un seul essai. Considérons une variable aléatoire - la fréquence relative d'occurrence d'un événement UN V n essais. Présentons également n variables aléatoires ( X 1, X 2, … X n), qui représentent le nombre d'occurrences de l'événement UN dans le premier, le deuxième,... n-èmes tests. Alors k = X 1 + X 2 +…+ Xp, et la survenance d'un événement UN coïncide pratiquement avec la probabilité que l'événement se produise UN en un seul essai. Cette conclusion est basée sur la recherche des probabilités de nombreux événements aléatoires, dont les probabilités ne peuvent pas être trouvées autrement (théoriquement).

Par exemple, supposons que le test consiste à lancer une pièce de monnaie déformée (asymétrique) et que l'événement UN pour ce défi, c'est une crête. Probabilité de l'événement UN Par formule classique ou d'une autre manière formule théorique c'est difficile à trouver, car une telle formule doit refléter d'une manière ou d'une autre les caractéristiques de la déformation de la pièce. Par conséquent, le véritable chemin menant au but est un : lancer la pièce à plusieurs reprises (plus le nombre de lancers est grand n, mieux c'est) et déterminer empiriquement la fréquence relative d'apparition des armoiries. Si n est grand, alors conformément à la loi des grands nombres, il est possible avec forte probabilité affirmer que .

La loi des grands nombres se manifeste dans de nombreux phénomènes naturels et sociaux.

Exemple 1. Comme on le sait, le gaz placé dans un récipient fermé exerce une pression sur les parois du récipient. Selon les lois de l'état du gaz, à température de gaz constante, cette pression est constante. La pression du gaz est provoquée par les impacts chaotiques de molécules individuelles contre les parois du récipient. Les vitesses et les directions de mouvement de toutes les molécules sont différentes, donc les forces d'impact de différentes molécules sur les parois du récipient sont également différentes. Cependant, la pression du gaz sur les parois du récipient n'est pas déterminée par la force d'impact des molécules individuelles, mais par leur moyenne par la force. Mais elle est comme la moyenne un grand nombre indépendamment de forces actives, selon la loi des grands nombres, restera pratiquement inchangé. Par conséquent, la pression du gaz sur les parois du récipient reste pratiquement inchangée.

Exemple 2. Une compagnie d'assurance qui s'occupe, par exemple, de l'assurance automobile, paie différents montants d'assurance pour différents événements assurés (accidents de voiture et accidents de la route). Cependant, la valeur moyenne de ce montant d'assurance, comme la moyenne de nombreux n les montants d'assurance indépendants, selon la loi des grands nombres, resteront pratiquement inchangés. Il peut être déterminé en examinant les statistiques réelles des réclamations d’assurance. Pour qu'une compagnie d'assurance évite les pertes, la prime d'assurance moyenne facturée à ses clients doit être supérieure à la prime moyenne payée par la compagnie à ses clients. Mais cette prime ne doit pas être trop élevée pour que l’entreprise soit compétitive (pour rivaliser en attractivité avec les autres compagnies d’assurance).

Nous effectuons cette preuve en deux étapes. Supposons d’abord qu’il y en ait, et notons que dans ce cas D(S„) par le théorème de dispersion de somme. D’après l’inégalité de Chebyshev, pour tout t > 0

Pour t > n côté gauche inférieur à, et cette dernière valeur tend vers zéro. Ceci termine la première partie de la preuve.

Écartons maintenant la condition restrictive d’existence de D(). Ce cas est réduit au précédent par la méthode de troncature.

Définissons deux nouveaux ensembles de variables aléatoires en fonction de :

U k =, V k =0, si (2.2)

U k =0, V k =, si

Ici k=1,… , n et est fixe. Alors

pour tout k.

Soit (f(j)) la distribution de probabilité des variables aléatoires (la même pour tous j). Nous avons supposé que = M() existe, donc la somme

fini. Ensuite il y a aussi

où la sommation est effectuée sur tous ceux j pour lesquels. Notons que bien que cela dépende de n, il en est de même pour

U 1, U 2, ..., U n. De plus, pour, et donc pour arbitraire > 0 et tout n suffisamment grand

U k sont mutuellement indépendants, et leur somme U 1 +U 2 +…+U n peut être traitée exactement de la même manière qu'avec X k dans le cas d'une dispersion finie, en appliquant l'inégalité de Chebyshev, on obtient de la même manière que (2.1)

D’après (2.6), il s’ensuit que

Puisque la série (2.4) converge, la dernière somme tend vers zéro lorsque n augmente. Ainsi, pour un n suffisamment grand

et donc

P(V 1 +…+V n 0). (2.12)

Mais, à partir de (2.9) et (2.12), nous obtenons

Puisqu'ils sont arbitraires, côté droit peut être rendu aussi petit que souhaité, ce qui complète la preuve.

Théorie des jeux « inoffensifs »

Dans une analyse plus approfondie de l'essence de la loi des grands nombres, nous utiliserons la terminologie traditionnelle des joueurs, bien que nos considérations permettent également et des applications plus sérieuses, et nos deux hypothèses de base sont plus réalistes en statistique et en physique qu'en jeu d'argent. Tout d’abord, supposons que le joueur dispose d’un capital illimité, de sorte qu’aucune perte ne puisse mettre fin à la partie. (Rejeter cette hypothèse conduit au problème de la ruine du joueur, qui intrigue toujours les étudiants en théorie des probabilités.) Deuxièmement, supposons que le joueur n'ait pas le tempérament d'interrompre la partie quand bon lui semble : le nombre n d'essais doit être fixé à l'avance et ne doit pas dépendre du tour de jeu. Sinon, le joueur, doté d'un capital illimité, attendrait une série de succès et arrêterait la partie au bon moment. Un tel joueur ne s'intéresse pas à la fluctuation probable à un instant donné, mais aux fluctuations maximales d'une longue série de jeux, qui sont décrites davantage par la loi du logarithme itéré que par la loi des grands nombres.

Introduisons la variable aléatoire k comme gain (positif ou négatif) pour kième répétition jeux. Alors la somme S n = 1 +…+ k est le total des gains après n répétitions du jeu. Si avant chaque répétition le joueur paie une contribution (pas nécessairement positive) pour le droit de participer au jeu, alors n représente la contribution totale payée par lui, et S n est le total des gains nets. La loi des grands nombres s'applique si p=M(k) existe. En gros, pour un grand n, il est tout à fait plausible que la différence S n - semble petite par rapport à n. Par conséquent, si elle est inférieure à p, alors pour un grand n, le joueur aura probablement un gain de l'ordre de grandeur. De la même manière, une contribution entraîne presque certainement une perte. Bref, le hasard est favorable au joueur, et le hasard est défavorable.

A noter que nous n'avons encore rien dit sur l'affaire. Dans ce cas, la seule conclusion possible est que si et est suffisamment grand, le gain ou la perte total S n - n sera, avec une très forte probabilité, faible par rapport à n. Mais on ne sait pas si S n - n se révélera. être positif ou négatif, c'est-à-dire si le jeu sera rentable ou ruineux. Cela n'a pas été pris en compte théorie classique, qui appelait un prix inoffensif, et un jeu avec « inoffensif ». Vous devez comprendre qu’un jeu « inoffensif » peut en réalité être à la fois clairement rentable et ruineux.

Il est clair que dans le « cas normal » il existe non seulement M(k), mais aussi D(k). Dans ce cas, la loi des grands nombres est complétée par le théorème central limite, et ce dernier dit qu'il est très plausible que dans un jeu « inoffensif », le gain net résultant d'un jeu long S n - n soit de de l'ordre de n 1/2 et que pour n suffisamment grand ce gain sera d'environ chances égales positif ou négatif. Ainsi, si le théorème central limite s'applique, alors le terme jeu « inoffensif » est justifié, même si même dans ce cas nous avons affaire à un théorème limite, qui est souligné par les mots « à la suite d'un jeu long ». Analyse approfondie montre que la convergence dans (1.3) se détériore à mesure que la dispersion augmente. S'il est grand, alors approximation normale ne sera efficace que pour des n extrêmement grands.

Pour être plus précis, imaginons une machine dans laquelle, en y plaçant un rouble, le joueur peut gagner (10--1) roubles avec une probabilité de 10, et dans d'autres cas, il perd le rouble réduit. Ici nous avons des tests de Bernoulli et le jeu est "inoffensif". Après avoir effectué un million de tests, le joueur paiera un million de roubles pour cela. Pendant ce temps, il peut gagner 0, 1,2,... fois. D'après l'approximation de Poisson pour distribution binomiale, à quelques décimales près, la probabilité de gagner exactement k fois est égale à e -1 /k!. Ainsi, avec une probabilité de 0,368. . . le joueur perdra un million, et avec la même probabilité il ne récupérera que ses dépenses ; il a une probabilité de 0,184... d'acquérir exactement un million, etc. Ici, 10 6 essais équivalent à un seul essai dans un jeu dont le gain a une distribution de Poisson.

Évidemment, cela n’a aucun sens d’appliquer la loi des grands nombres dans ce genre de situations. Ce régime comprend une assurance contre l'incendie, les accidents de voiture, etc. Un montant important est exposé au risque, mais la probabilité correspondante est très faible. Cependant, ici, il n'y a généralement qu'un seul test par an, de sorte que le nombre n de tests ne devient jamais grand. Pour les assurés, le jeu n’est pas forcément « inoffensif », même s’il peut s’avérer tout à fait rentable économiquement. La loi des grands nombres n’a rien à voir là-dedans. Quant à la compagnie d'assurance, elle s'occupe d'un grand nombre de jeux, mais en raison de la grande variance, des fluctuations aléatoires apparaissent encore. Les primes d'assurance doivent être fixées de manière à éviter des pertes importantes certaines années, et c'est pourquoi l'entreprise s'intéresse au problème de la ruine plutôt qu'à la loi des grands nombres.

Lorsque la variance est infinie, le terme jeu « inoffensif » n’a plus de sens ; il n'y a aucune raison de croire que le gain net total S n - n fluctue autour de zéro. Vraiment. Il existe des exemples de jeux « inoffensifs » dans lesquels la probabilité que le joueur subisse une perte nette tend vers un. La loi des grands nombres indique seulement que cette perte sera d’un ordre inférieur à n. Cependant, on ne peut rien dire de plus. Si a n forme une séquence arbitraire et a n /n0, alors il est possible d'organiser un jeu « inoffensif » dans lequel la probabilité que la perte nette totale résultant de n répétitions du jeu dépasse a n tend vers un.

La « loi des grands nombres » en théorie des probabilités est comprise comme une série de théorèmes mathématiques dont chacun, dans certaines conditions, établit le fait que les caractéristiques moyennes d'un grand nombre d'expériences se rapprochent de certaines certaines constantes.

Elle est basée sur l’inégalité de Chebyshev :

La probabilité que l'écart d'une variable aléatoire X par rapport à son espérance mathématique en valeur absolue soit inférieur à un nombre positif ε n'est pas inférieure à :

Valable pour les véhicules récréatifs discrets et continus.

53. Théorème de Chebyshev.

Soit une séquence infinie de variables aléatoires indépendantes avec la même espérance mathématique et des variances limitées par la même constante C :

Alors, quel que soit le nombre positif, la probabilité de l’événement tend vers un.

54. Théorème de Bernoulli.

Soit n produit tests indépendants, dans chacun desquels la probabilité d'occurrence de l'événement A est égale à p.

55. Le concept du théorème central limite de Lyapunov.

La distribution de la somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes dans des conditions très générales est proche de la distribution normale.

On sait que les variables aléatoires normalement distribuées sont largement distribuées dans la pratique. L'explication en a été donnée par A.M. Lyapunov dans le théorème central limite : si une variable aléatoire est la somme d'un très grand nombre de variables aléatoires mutuellement indépendantes, dont l'influence de chacune sur la somme totale est négligeable, alors elle a un répartition proche de la normale.

56. Population générale et échantillon : définitions et concepts de base.

La statistique mathématique est une science qui s'occupe du développement de méthodes d'obtention, de description et de traitement de données expérimentales afin d'étudier les modèles de phénomènes de masse aléatoires.

Problèmes de statistiques mathématiques :

Estimation d'une fonction de distribution inconnue basée sur les résultats de mesure.

Grade paramètres inconnus distributions.

Tests d'hypothèses statiques.

Étudions une caractéristique quantitative x.

La totalité est alors comprise comme l’ensemble de toutes ses valeurs possibles.

Pour étudier les propriétés de cette caractéristique depuis population une partie des éléments est sélectionnée aléatoirement par des variantes Xi, qui forment un échantillon de population ou d'échantillon.

Le nombre d'éléments d'une collection est appelé son objet n.

Échantillonnage : 1) échantillonnage répété, dans lequel l'objet sélectionné (avant de sélectionner le suivant) est renvoyé à la population générale.

2) échantillonnage sans répétition, dans lequel l'objet sélectionné est renvoyé à la population générale.

Afin d'utiliser les données de l'échantillon pour juger avec suffisamment de confiance sur la caractéristique de la population générale qui nous intéresse, il est nécessaire que l'échantillon soit représentatif.)

En vertu de la loi des grands nombres, on peut affirmer qu'un échantillon sera représentatif s'il est réalisé de manière aléatoire : chaque objet de la population doit avoir la même probabilité d'être inclus dans l'échantillon.

Si l'objet de population est suffisamment grand et que l'échantillon ne constitue qu'une petite partie de cette population, alors la distinction entre échantillons répétés et non répliqués est effacée.

Une liste d’options classées par ordre croissant est appelée une série de variations.

Le nombre d'observations d'une option donnée est appelé sa fréquence ni, et le rapport de la fréquence ni à l'objet échantillon est appelé fréquence n-relative wi.

Plan:

1. Le concept de théorème central limite (théorème de Lyapunov)

2. Loi des grands nombres, probabilité et fréquence (théorèmes de Chebyshev et Bernoulli)

1. Le concept du théorème central limite.

La distribution de probabilité normale est d'une grande importance dans la théorie des probabilités. Loi normale la probabilité obéit lors du tir sur une cible, dans les mesures, etc. En particulier, il s'avère que la loi de distribution de la somme d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires indépendantes avec lois arbitraires la distribution est proche de distribution normale. Ce fait est appelé théorème central limite ou théorème de Lyapunov.

On sait que les variables aléatoires normalement distribuées sont largement utilisées dans la pratique. Qu'est-ce qui explique cela ? Cette question a reçu une réponse

Théorème central limite. Si une variable aléatoire X est la somme d'un très grand nombre de variables aléatoires mutuellement indépendantes, dont l'influence de chacune sur la somme totale est négligeable, alors X a une distribution proche de la distribution normale.

Exemple. Mesurons quelques grandeur physique. Toute mesure ne donne qu'une valeur approximative de la valeur mesurée, car le résultat de la mesure est influencé par de nombreux facteurs aléatoires indépendants (température, fluctuations de l'instrument, humidité, etc.). Chacun de ces facteurs génère une « erreur partielle » négligeable. Cependant, comme le nombre de ces facteurs est très important, leur effet combiné donne lieu à une « erreur totale » notable.

En considérant l’erreur totale comme la somme d’un très grand nombre d’erreurs partielles mutuellement indépendantes, on peut conclure que l’erreur totale a une distribution proche de la distribution normale. L'expérience confirme la validité de cette conclusion.

Considérons les conditions dans lesquelles le « théorème central limite » est satisfait

X1,X2, ...,Xn– séquence de variables aléatoires indépendantes,

M(X1),M(X2), ...,M(Xn) - les espérances mathématiques finales de ces grandeurs, respectivement égales M(Xk)= eak

D (X1),D(X2), ...,D(Xn) - leurs variances finales sont respectivement égales D(X k)= BK2

Introduisons la notation suivante : S= X1+X2 + ...+Xn ;

UNE k= X1+X2 + ...+Xn=; B2=D (X1)+D(Х2)+ ...+D(Xn) =

Écrivons la fonction de distribution de la somme normalisée :

Ils disent ça par souci de cohérence X1,X2, ...,Xn Le théorème central limite s'applique si pour tout x la fonction de distribution de la somme normalisée lorsque n ® ¥ tend vers fonction normale répartitions :

Droite " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

Considérons une variable aléatoire discrète X, spécifié par la table de répartition :

Fixons-nous pour tâche d'estimer la probabilité que l'écart d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique ne dépasse pas un nombre positif en valeur absolue ε

Si ε est suffisamment petit, alors on va donc estimer la probabilité que X prendra des valeurs assez proches de son espérance mathématique. prouvé une inégalité qui nous permet de donner l’estimation qui nous intéresse.

Lemme de Chebyshev.Étant donné une variable aléatoire X, qui ne prend que des valeurs non négatives avec une espérance mathématique M(X). Pour tout nombre α>0, l'expression est vraie :

L'inégalité de Chebyshev. La probabilité que l'écart d'une variable aléatoire X par rapport à son espérance mathématique en valeur absolue soit inférieur à un nombre positif ε , pas moins de 1 – D(X) / ε 2:

P(|X-M(X)|< ε ) ³ 1 - D (X) / ε 2.

Commentaire. L'inégalité de Chebyshev a une signification pratique limitée, car elle donne souvent une estimation approximative et parfois triviale (sans intérêt).

La signification théorique de l'inégalité de Chebyshev est très grande. Ci-dessous, nous utiliserons cette inégalité pour dériver le théorème de Chebyshev.

2.2. Théorème de Chebyshev

Si X1, X2, ..., Xn.. sont des variables aléatoires indépendantes par paires et que leurs variances sont uniformément limitées (ne dépassent pas un nombre constant C), alors peu importe la taille du nombre positif ε , probabilité d'inégalité

÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε

sera aussi proche de l’unité que souhaité si le nombre de variables aléatoires est suffisamment grand.

P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε )=1.

Le théorème de Chebyshev stipule :

1. Un nombre suffisamment grand de variables aléatoires indépendantes avec des variances limitées sont considérées,

En formulant le théorème de Chebyshev, nous avons supposé que les variables aléatoires avaient des attentes mathématiques différentes. En pratique, il arrive souvent que des variables aléatoires aient la même espérance mathématique. Évidemment, si l’on suppose encore une fois que les dispersions de ces quantités sont limitées, alors le théorème de Chebyshev leur sera applicable.

Notons l'espérance mathématique de chacune des variables aléatoires par UN;

Dans le cas considéré, la moyenne arithmétique des espérances mathématiques, comme il est facile de le constater, est également égale à UN.

Il est possible de formuler le théorème de Chebyshev pour le cas particulier considéré.

"Si X1, X2, ..., Xn.. sont des variables aléatoires indépendantes par paires qui ont la même espérance mathématique a, et si les variances de ces valeurs sont uniformément limitées, alors quel que soit le nombre ε >Oh, la probabilité d'inégalité

÷ (X1+X2 + ...+Xn) /n- un | < ε

sera aussi proche de l'unité que souhaité si le nombre de variables aléatoires est suffisamment grand" .

Autrement dit, dans les conditions du théorème

P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - une |< ε ) = 1.

2.3. L'essence du théorème de Chebyshev

Bien que les variables aléatoires indépendantes individuelles puissent prendre des valeurs éloignées de leurs attentes mathématiques, la moyenne arithmétique d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires est très susceptible de prendre des valeurs proches d'une certaine valeur. nombre constant, à savoir au numéro

(M (Xj) + M (X2)+... + M (Х„))/п ou au numéro et dans cas particulier.

En d’autres termes, les variables aléatoires individuelles peuvent avoir une dispersion significative et leur moyenne arithmétique est très petite.

Il est donc impossible de prédire avec certitude quel signification possible chacune des variables aléatoires prendra, mais vous pouvez prédire quelle valeur prendra leur moyenne arithmétique.

Ainsi, la moyenne arithmétique d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires indépendantes (dont les variances sont uniformément limitées) perd le caractère de variable aléatoire.

Cela s'explique par le fait que les écarts de chacune des quantités par rapport à leurs attentes mathématiques peuvent être à la fois positifs et négatifs, et dans le sens arithmétique, ils s'annulent.

Le théorème de Chebyshev est valable non seulement pour les variables aléatoires discrètes, mais également pour les variables aléatoires continues ; c'est un exemple confirmant la validité de la doctrine du lien entre hasard et nécessité.

2.4. L'importance du théorème de Chebyshev pour la pratique

Donnons des exemples d'application du théorème de Chebyshev à la résolution de problèmes pratiques.

Habituellement, pour mesurer une certaine grandeur physique, plusieurs mesures sont effectuées et leur moyenne arithmétique est prise comme la taille souhaitée. Dans quelles conditions cette méthode de mesure peut-elle être considérée comme correcte ? La réponse à cette question est donnée par le théorème de Chebyshev (son cas particulier).

En effet, considérez les résultats de chaque mesure comme des variables aléatoires

X1, X2, ..., Xn

Le théorème de Chebyshev peut être appliqué à ces quantités si :

1) Ils sont indépendants par paire.

2) avoir la même espérance mathématique,

3) leurs variances sont uniformément limitées.

La première exigence est satisfaite si le résultat de chaque mesure ne dépend pas des résultats des autres.

La deuxième condition est remplie si les mesures sont effectuées sans erreurs systématiques (de même signe). Dans ce cas, les attentes mathématiques de toutes les variables aléatoires sont les mêmes et égales taille réelle UN.

La troisième exigence est remplie si l'appareil offre une certaine précision de mesure. Bien que les résultats des mesures individuelles soient différents, leur diffusion est limitée.

Si toutes les exigences spécifiées sont remplies, nous avons le droit d'appliquer le théorème de Chebyshev aux résultats de mesure : pour un nombre suffisamment grand n probabilité d'inégalité

| (X1 + Xa+...+X„)/n - une |< ε aussi proche de l'unité que vous le souhaitez.

En d'autres termes, avec suffisamment grand nombre mesures, il est presque certain que leur moyenne arithmétique diffère aussi peu qu'on le souhaite de vrai sens quantité mesurée.

Le théorème de Chebyshev indique les conditions dans lesquelles la méthode de mesure décrite peut être appliquée. Cependant, c’est une erreur de penser qu’en augmentant le nombre de mesures, on peut atteindre une précision arbitrairement élevée. Le fait est que l'appareil lui-même ne donne des lectures qu'avec une précision de ± α, donc chacun des résultats de mesure, et donc leur moyenne arithmétique, ne sera obtenu qu'avec une précision n'excédant pas celle de l'appareil.

La méthode d’échantillonnage largement utilisée en statistique est basée sur le théorème de Chebyshev, dont l’essence est que pour un nombre relativement petit échantillon aléatoire juger l’ensemble (population générale) des objets étudiés.

Par exemple, la qualité d’une balle de coton est déterminée par un petit paquet constitué de fibres sélectionnées au hasard dans différentes parties de la balle. Bien que le nombre de fibres dans un paquet soit nettement inférieur à celui d'une balle, le paquet lui-même en contient suffisamment grand nombre fibres, se comptant par centaines.

Comme autre exemple, nous pouvons citer la détermination de la qualité du grain à partir d’un petit échantillon. Et dans ce cas, le nombre de grains sélectionnés au hasard est faible par rapport à la masse totale du grain, mais en soi il est assez important.

Déjà à partir des exemples donnés, nous pouvons conclure que le théorème de Chebyshev est d'une importance inestimable pour la pratique.

2.5. ThéorèmeBernoulli

Produit n tests indépendants (pas d'événements, mais des tests). Dans chacun d'eux, la probabilité qu'un événement se produise UNégal à r.

La question se poseça va être quoi environ ? fréquence relative occurrences de l’événement ? Cette question trouve sa réponse dans un théorème prouvé par Bernoulli, appelé « loi des grands nombres » et qui a jeté les bases de la théorie des probabilités en tant que science.

Théorème de Bernoulli. Si dans chacun de n probabilité de test indépendant r survenance d'un événement UN est constante, alors la probabilité que l'écart de la fréquence relative par rapport à la probabilité soit arbitrairement proche de l'unité r en valeur absolue sera arbitrairement faible si le nombre de tests est suffisamment grand.

En d’autres termes, si ε >0 est un nombre arbitrairement petit, alors, sous réserve des conditions du théorème, l’égalité est vraie

P(|m /p-p|< ε)= 1

Commentaire. Il serait erroné de conclure, à partir du théorème de Bernoulli, qu’à mesure que le nombre d’essais augmente, la fréquence relative tend régulièrement vers la probabilité p; en d’autres termes, le théorème de Bernoulli n’implique pas l’égalité (t/p) = p,

DANS théorème nous parlons de seulement sur la probabilité que, avec un nombre de tests suffisamment grand, la fréquence relative diffère aussi peu que souhaité de probabilité constante survenance d’un événement dans chaque essai.

Tâche 7-1.

1. Estimez la probabilité que sur 3600 lancers de dés, le nombre de 6 points soit d'au moins 900.

Solution. Soit x le nombre d'occurrences de 6 points sur 3 600 lancers de pièces. La probabilité d'obtenir 6 points en un seul lancer est p=1/6, alors M(x)=3600·1/6=600. Utilisons l’inégalité (lemme) de Chebyshev pour un α = 900 donné

= P.(x³ 900) £ 600 / 900 =2 / 3

Répondre 2 / 3.

2. 1000 tests indépendants ont été réalisés, p=0,8. Trouvez la probabilité que le nombre d'occurrences de l'événement A dans ces essais s'écarte de son espérance mathématique en ampleur de moins de 50.

Solution. x est le nombre d'occurrences de l'événement A sur n – 1 000 essais.

M(X)= 1000·0,8=800. D(x)=100·0,8·0,2=160

Utilisons l’inégalité de Chebyshev pour un ε = 50 donné

P(|x-M(X)|< ε) ³ 1 - D(x)/ ε 2

R(|x-800|< 50) ³ / 50 2 = 1-160 / 2500 = 0,936.

Répondre. 0,936

3. À l’aide de l’inégalité de Chebyshev, estimez la probabilité que |X - M(X)|< 0,1, если D (X) = 0,001. Ответ Р³0,9.

4. Étant donné : P(|X- M(X)\< ε) ³ 0,9 ; D (X)= 0,004. En utilisant l’inégalité de Chebyshev, trouvez ε . Répondre. 0,2.

Questions de test et devoirs

1. Objectif du théorème central limite

2. Conditions d’applicabilité du théorème de Lyapunov.

3. Différence entre le lemme et le théorème de Chebyshev.

4. Conditions d'applicabilité du théorème de Chebyshev.

5. Conditions d’applicabilité du théorème de Bernoulli (loi des grands nombres)

Exigences en matière de connaissances et de compétences

L'étudiant doit connaître la formulation sémantique générale du théorème central limite. Être capable de formuler des théorèmes particuliers pour des variables aléatoires indépendantes distribuées de manière identique. Comprendre l'inégalité de Chebyshev et la loi des grands nombres sous la forme de Chebyshev. Avoir une idée de la fréquence d'un événement, du rapport entre les notions de « probabilité » et de « fréquence ». Avoir une compréhension de la loi des grands nombres sous la forme de Bernoulli.

(1857-1918), mathématicien russe exceptionnel