Que signifie la tâche de résoudre une équation linéaire ? Exemples de systèmes d'équations linéaires : méthode de résolution

Dans cette vidéo, nous analyserons tout un ensemble d'équations linéaires résolues à l'aide du même algorithme - c'est pourquoi elles sont appelées les plus simples.

Tout d'abord, définissons : qu'est-ce qu'une équation linéaire et laquelle est dite la plus simple ?

Équation linéaire- celui dans lequel il n'y a qu'une seule variable, et exclusivement au premier degré.

L'équation la plus simple signifie la construction :

Toutes les autres équations linéaires sont réduites au plus simple à l'aide de l'algorithme :

1. Développez les parenthèses, le cas échéant ;
2. Déplacez les termes contenant une variable d’un côté du signe égal et les termes sans variable de l’autre ;
3. Donnez des termes similaires à gauche et à droite du signe égal ;
4. Divisez l'équation résultante par le coefficient de la variable $x$.

Bien entendu, cet algorithme n’aide pas toujours. Le fait est que parfois après toutes ces machinations le coefficient de la variable $x$ s'avère être égal à zéro. Dans ce cas, deux options sont possibles :

1. L’équation n’a aucune solution. Par exemple, quand quelque chose comme $0\cdot x=8$ s'avère, c'est-à-dire à gauche se trouve zéro et à droite un nombre autre que zéro. Dans la vidéo ci-dessous, nous examinerons plusieurs raisons pour lesquelles cette situation est possible.
2. La solution réside dans tous les chiffres. Le seul cas où cela est possible est lorsque l'équation a été réduite à la construction $0\cdot x=0$. Il est tout à fait logique que peu importe ce que $x$ nous substituons, il s'avérera toujours « zéro est égal à zéro », c'est-à-dire corriger l'égalité numérique.

Voyons maintenant comment tout cela fonctionne à l'aide d'exemples concrets.

Exemples de résolution d'équations

Aujourd'hui, nous traitons d'équations linéaires, et uniquement des plus simples. En général, une équation linéaire désigne toute égalité contenant exactement une variable, et cela ne va qu'au premier degré.

De telles constructions sont résolues à peu près de la même manière :

1. Tout d'abord, vous devez ouvrir les parenthèses, le cas échéant (comme dans notre dernier exemple);
2. Puis combinez similaire
3. Enfin, isolez la variable, c'est-à-dire déplacez d'un côté tout ce qui est lié à la variable, les termes dans lesquels elle est contenue, et déplacez de l'autre tout ce qui reste sans elle.

Ensuite, en règle générale, vous devez en amener des similaires de chaque côté de l'égalité résultante, et après cela, il ne reste plus qu'à diviser par le coefficient "x", et nous obtiendrons la réponse finale.

En théorie, cela semble simple et agréable, mais en pratique, même des lycéens expérimentés peuvent commettre des erreurs offensantes dans des équations linéaires assez simples. En règle générale, des erreurs sont commises soit lors de l’ouverture des parenthèses, soit lors du calcul des « plus » et des « moins ».

De plus, il arrive qu'une équation linéaire n'ait aucune solution, ou que la solution soit la droite numérique entière, c'est-à-dire n'importe quel numéro. Nous examinerons ces subtilités dans la leçon d'aujourd'hui. Mais nous commencerons, comme vous l'avez déjà compris, par le tâches simples.

Schéma de résolution d'équations linéaires simples

Tout d'abord, permettez-moi d'écrire à nouveau l'intégralité du schéma de résolution des équations linéaires les plus simples :

1. Développez les parenthèses, le cas échéant.
2. Nous isolons les variables, c'est-à-dire Nous déplaçons tout ce qui contient des « X » d’un côté, et tout ce qui ne contient pas de « X » de l’autre.
3. Nous présentons des termes similaires.
4. On divise le tout par le coefficient de « x ».

Bien sûr, ce schéma ne fonctionne pas toujours ; il comporte certaines subtilités et astuces, et nous allons maintenant les connaître.

Résoudre des exemples réels d'équations linéaires simples

Tâche n°1

La première étape nous oblige à ouvrir les parenthèses. Mais ils ne figurent pas dans cet exemple, nous sautons donc cette étape. Dans la deuxième étape, nous devons isoler les variables. Veuillez noter: nous parlons de uniquement sur des termes individuels. Écrivons-le :

Nous présentons des termes similaires à gauche et à droite, mais cela a déjà été fait ici. Passons donc à quatrième étape: divisé par le coefficient :

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Nous avons donc eu la réponse.

Tâche n°2

Nous pouvons voir les parenthèses dans ce problème, alors développons-les :

À gauche et à droite, nous voyons à peu près le même design, mais agissons selon l'algorithme, c'est-à-dire séparer les variables :

En voici quelques similaires :

À quelles racines cela fonctionne-t-il ? Réponse : pour n'importe lequel. Par conséquent, nous pouvons écrire que $x$ est n’importe quel nombre.

Tâche n°3

La troisième équation linéaire est plus intéressante :

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Il y a plusieurs parenthèses, mais elles ne sont multipliées par rien, elles sont simplement précédées de divers signes. Décomposons-les :

Nous effectuons la deuxième étape déjà connue de nous :

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Faisons le calcul :

Nous effectuons la dernière étape - divisons le tout par le coefficient « x » :

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Choses à retenir lors de la résolution d'équations linéaires

Si l'on ignore les tâches trop simples, je voudrais dire ceci :

• Comme je l'ai dit plus haut, toutes les équations linéaires n'ont pas de solution - parfois il n'y a tout simplement pas de racines ;
• Même s’il y a des racines, il peut n’y en avoir aucune – il n’y a rien de mal à cela.

Zéro est le même nombre que les autres ; vous ne devez en aucun cas le discriminer ou supposer que si vous obtenez zéro, vous avez fait quelque chose de mal.

Une autre fonctionnalité est liée à l’ouverture des parenthèses. Attention : lorsqu'il y a un « moins » devant eux, nous le supprimons, mais entre parenthèses nous changeons les signes en opposé. Et puis nous pourrons l'ouvrir à l'aide d'algorithmes standards : nous obtiendrons ce que nous avons vu dans les calculs ci-dessus.

Comprendre cela simple fait vous permettra d'éviter de commettre des erreurs stupides et offensantes au lycée, alors que de telles actions sont considérées comme allant de soi.

Résolution d'équations linéaires complexes

Passons à plus équations complexes. Maintenant, les constructions deviendront plus complexes et lors de diverses transformations, une fonction quadratique apparaîtra. Cependant, il ne faut pas avoir peur de cela, car si, selon le plan de l'auteur, nous résolvons une équation linéaire, alors pendant le processus de transformation, tous les monômes contenant une fonction quadratique s'annuleront nécessairement.

Exemple n°1

Évidemment, la première étape consiste à ouvrir les parenthèses. Faisons-le très soigneusement :

Jetons maintenant un coup d'œil à la confidentialité :

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

En voici quelques similaires :

Il est évident que équation donnée Il n’y a pas de solutions, nous écrirons donc ceci dans la réponse :

\[\varrien\]

ou il n'y a pas de racines.

Exemple n°2

Nous effectuons les mêmes actions. Premier pas:

Déplaçons tout avec une variable vers la gauche, et sans elle - vers la droite :

En voici quelques similaires :

Évidemment, cette équation linéaire n’a pas de solution, nous l’écrirons donc ainsi :

\[\varrien\],

ou il n'y a pas de racines.

Nuances de la solution

Les deux équations sont complètement résolues. En utilisant ces deux expressions comme exemple, nous étions une fois de plus convaincus que même dans les équations linéaires les plus simples, tout n'est peut-être pas si simple : il peut y avoir soit une, soit aucune, ou une infinité de racines. Dans notre cas, nous avons considéré deux équations, toutes deux n’ayant tout simplement pas de racines.

Mais je voudrais attirer votre attention sur un autre fait : comment travailler avec les parenthèses et comment les ouvrir s'il y a un signe moins devant elles. Considérons cette expression :

Avant d'ouvrir, il faut tout multiplier par « X ». Attention : se multiplie chaque terme individuel. À l'intérieur, il y a deux termes - respectivement, deux termes et multipliés.

Et ce n'est qu'après avoir effectué ces transformations apparemment élémentaires, mais très importantes et dangereuses, que vous pourrez ouvrir le support du point de vue du fait qu'il y a un signe moins après. Oui, oui : seulement maintenant, lorsque les transformations sont terminées, on se souvient qu'il y a un signe moins devant les parenthèses, ce qui signifie que tout en dessous change simplement de signe. Dans le même temps, les parenthèses elles-mêmes disparaissent et, surtout, le « moins » avant disparaît également.

On fait de même avec la deuxième équation :

Ce n’est pas par hasard que je prête attention à ces petits faits apparemment insignifiants. Parce que la résolution d'équations est toujours une séquence de transformations élémentaires, où l'incapacité d'effectuer clairement et avec compétence étapes simples conduit au fait que des lycéens viennent me voir et réapprennent à résoudre des équations aussi simples.

Bien sûr, le jour viendra où vous perfectionnerez ces compétences jusqu’à devenir automatiques. Vous n'aurez plus à effectuer autant de transformations à chaque fois ; vous écrirez tout sur une seule ligne. Mais pendant que vous apprenez, vous devez écrire chaque action séparément.

Résoudre des équations linéaires encore plus complexes

Ce que nous allons résoudre maintenant peut difficilement être qualifié de tâche la plus simple, mais le sens reste le même.

Tâche n°1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Multiplions tous les éléments de la première partie :

Faisons un peu d'intimité :

En voici quelques similaires :

Terminons la dernière étape :

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Voici notre réponse finale. Et, malgré le fait que lors du processus de résolution, nous avions des coefficients avec une fonction quadratique, ils s'annulaient, ce qui rend l'équation linéaire et non quadratique.

Tâche n°2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Effectuons soigneusement la première étape : multipliez chaque élément de la première parenthèse par chaque élément de la seconde. Il devrait y avoir un total de quatre nouveaux termes après les transformations :

Effectuons maintenant soigneusement la multiplication dans chaque terme :

Déplaçons les termes avec « X » vers la gauche, et ceux sans - vers la droite :

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Voici des termes similaires :

Une fois de plus, nous avons reçu la réponse définitive.

Nuances de la solution

La remarque la plus importante à propos de ces deux équations est que dès que l'on commence à multiplier des parenthèses contenant plus d'un terme, cela se fait par règle suivante: on prend le premier terme du premier et on multiplie avec chaque élément du second ; puis nous prenons le deuxième élément du premier et multiplions de la même manière avec chaque élément du second. En conséquence, nous aurons quatre mandats.

À propos de la somme algébrique

Avec ce dernier exemple, je voudrais rappeler aux étudiants ce que somme algébrique. En mathématiques classiques, par $1-7$ nous entendons conception simple: soustrayez sept de un. En algèbre, on entend par là ceci : au nombre « un », on ajoute un autre nombre, à savoir « moins sept ». C'est en quoi une somme algébrique diffère d'une somme arithmétique ordinaire.

Dès que, lors de l'exécution de toutes les transformations, de chaque addition et multiplication, vous commencerez à voir des constructions similaires à celles décrites ci-dessus, vous n'aurez tout simplement aucun problème en algèbre lorsque vous travaillerez avec des polynômes et des équations.

Enfin, examinons quelques autres exemples qui seront encore plus complexes que ceux que nous venons d'examiner, et pour les résoudre, nous devrons légèrement étendre notre algorithme standard.

Résoudre des équations avec des fractions

Pour résoudre de telles tâches, nous devrons ajouter une étape supplémentaire à notre algorithme. Mais d’abord, permettez-moi de vous rappeler notre algorithme :

1. Ouvrez les supports.
2. Variables séparées.
3. Apportez-en des similaires.
4. Divisez par le rapport.

Hélas, ce merveilleux algorithme, malgré toute son efficacité, s'avère pas tout à fait approprié lorsque nous avons des fractions devant nous. Et dans ce que nous verrons ci-dessous, nous avons une fraction à gauche et à droite dans les deux équations.

Comment travailler dans ce cas ? Oui, c'est très simple ! Pour ce faire, vous devez ajouter une étape supplémentaire à l'algorithme, qui peut être effectuée avant et après la première action, à savoir se débarrasser des fractions. L'algorithme sera donc le suivant :

1. Débarrassez-vous des fractions.
2. Ouvrez les supports.
3. Variables séparées.
4. Apportez-en des similaires.
5. Divisez par le rapport.

Que signifie « se débarrasser des fractions » ? Et pourquoi cela peut-il être fait à la fois après et avant la première étape standard ? En fait, dans notre cas, toutes les fractions sont numériques dans leur dénominateur, c'est-à-dire Partout, le dénominateur n’est qu’un nombre. Par conséquent, si nous multiplions les deux côtés de l’équation par ce nombre, nous nous débarrasserons des fractions.

Exemple n°1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Débarrassons-nous des fractions de cette équation :

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Attention : tout est multiplié par « quatre » une fois, c'est-à-dire ce n’est pas parce que vous avez deux parenthèses que vous devez multiplier chacune par « quatre ». Écrivons :

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Développons maintenant :

On isole la variable :

Réalisation du casting termes similaires:

\[-4x=-1\gauche| :\gauche(-4 \droite) \droite.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Nous avons décision finale, passons à la deuxième équation.

Exemple n°2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ici, nous effectuons toutes les mêmes actions :

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Le problème est résolu.

C’est en fait tout ce que je voulais vous dire aujourd’hui.

Points clés

Les principales conclusions sont les suivantes :

• Connaître l'algorithme de résolution d'équations linéaires.
• Possibilité d'ouvrir les parenthèses.
• Ne vous inquiétez pas si vous voyez fonctions quadratiques, très probablement, au cours de transformations ultérieures, ils diminueront.
• Il existe trois types de racines dans les équations linéaires, même les plus simples : une seule racine, la droite numérique entière est une racine et aucune racine du tout.

J'espère que cette leçon vous aidera à maîtriser un sujet simple mais très important pour une meilleure compréhension de toutes les mathématiques. Si quelque chose n'est pas clair, allez sur le site et résolvez les exemples qui y sont présentés. Restez à l'écoute, bien d'autres choses intéressantes vous attendent !

Un système d'équations linéaires est une union de n équations linéaires, chacune contenant k variables. C'est écrit ainsi :

Beaucoup, rencontrant pour la première fois l'algèbre supérieure, croient à tort que le nombre d'équations doit nécessairement coïncider avec le nombre de variables. En algèbre scolaire, cela se produit généralement, mais pour l’algèbre supérieure, ce n’est généralement pas vrai.

La solution d'un système d'équations est une séquence de nombres (k 1, k 2, ..., k n), qui est la solution de chaque équation du système, c'est-à-dire lors de la substitution dans cette équation au lieu des variables x 1, x 2, ..., x n donne l'égalité numérique correcte.

Ainsi, résoudre un système d’équations signifie trouver l’ensemble de toutes ses solutions ou prouver que cet ensemble est vide. Le nombre d'équations et le nombre d'inconnues pouvant ne pas coïncider, trois cas sont possibles :

1. Le système est incohérent, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les solutions est vide. Un cas assez rare et facilement détectable quelle que soit la méthode utilisée pour résoudre le système.
2. Le système est cohérent et déterminé, c'est-à-dire a exactement une solution. Version classique, bien connu depuis l'école.
3. Le système est cohérent et indéfini, c'est-à-dire a une infinité de solutions. C'est l'option la plus difficile. Il ne suffit pas d’indiquer que « le système a ensemble infini solutions » - il est nécessaire de décrire comment cet ensemble est structuré.

Une variable x i est dite autorisée si elle est incluse dans une seule équation du système, et avec un coefficient de 1. En d'autres termes, dans d'autres équations, le coefficient de la variable x i doit être égal à zéro.

Si nous sélectionnons une variable autorisée dans chaque équation, nous obtenons un ensemble de variables autorisées pour l'ensemble du système d'équations. Le système lui-même, écrit sous cette forme, sera également appelé résolu. D'une manière générale, un même système original peut être réduit à différents systèmes autorisés, mais pour l'instant cela ne nous préoccupe pas. Voici des exemples de systèmes autorisés :

Les deux systèmes sont résolus par rapport aux variables x 1 , x 3 et x 4 . Cependant, avec le même succès, on peut affirmer que le deuxième système est résolu par rapport à x 1, x 3 et x 5. Il suffit de réécrire la toute dernière équation sous la forme x 5 = x 4.

Maintenant, regardons plus cas général. Disons k variables au total, dont r sont autorisées. Deux cas sont alors possibles :

1. Le nombre de variables autorisées r est égal au nombre total de variables k : r = k. Nous obtenons un système de k équations dans lesquelles r = k variables autorisées. Un tel système est conjoint et définitif, car x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k ;
2. Le nombre de variables autorisées r est inférieur nombre total variable k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Ainsi, dans les systèmes ci-dessus, les variables x 2, x 5, x 6 (pour le premier système) et x 2, x 5 (pour le second) sont libres. Le cas où il existe des variables libres est mieux formulé sous forme de théorème :

Attention : c'est très point important! Selon la façon dont vous écrivez le système résultant, la même variable peut être autorisée ou libre. La plupart des tuteurs mathématiques supérieures Il est recommandé d'écrire les variables par ordre lexicographique, c'est-à-dire indice ascendant. Cependant, vous n’êtes pas obligé de suivre ces conseils.

Théorème. Si dans un système de n équations les variables x 1, x 2, ..., x r sont autorisées, et x r + 1, x r + 2, ..., x k sont libres, alors :

1. Si nous définissons les valeurs des variables libres (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), puis trouvons les valeurs x 1, x 2, ..., x r, nous obtenons une des décisions.
2. Si dans deux solutions les valeurs des variables libres coïncident, alors les valeurs des variables autorisées coïncident également, c'est-à-dire les solutions sont égales.

Quelle est la signification de ce théorème ? Pour obtenir toutes les solutions d’un système d’équations résolu, il suffit d’isoler les variables libres. Ensuite, assigner à des variables libres différentes significations, nous recevrons solutions prêtes à l'emploi. C'est tout - de cette façon, vous pouvez obtenir toutes les solutions du système. Il n'y a pas d'autres solutions.

Conclusion : le système d'équations résolu est toujours cohérent. Si le nombre d'équations dans un système résolu est égal au nombre de variables, le système sera défini ; s'il est inférieur, il sera indéfini ;

Et tout irait bien, mais la question se pose : comment en obtenir une résolue à partir du système d'équations d'origine ? Pour cela il y a

Une équation linéaire est une équation algébrique, diplôme complet dont les polynômes sont égaux à un. Résolution d'équations linéaires - partie programme scolaire, et pas le plus difficile. Cependant, certains ont encore des difficultés à achever ce sujet. Nous espérons qu'après avoir lu ce document, toutes les difficultés pour vous resteront du passé. Alors, découvrons-le. comment résoudre des équations linéaires.

Vue générale

L'équation linéaire est représentée par :

• ax + b = 0, où a et b sont des nombres quelconques.

Bien que a et b puissent être n'importe quel nombre, leurs valeurs affectent le nombre de solutions de l'équation. Il existe plusieurs cas particuliers de solution :

• Si a=b=0, l'équation a un nombre infini de solutions ;
• Si a=0, b≠0, l'équation n'a pas de solution ;
• Si a≠0, b=0, l'équation a une solution : x = 0.

Dans le cas où les deux nombres ont des valeurs non nulles, l'équation doit être résolue pour dériver l'expression finale de la variable.

Comment décider ?

Résoudre une équation linéaire signifie trouver à quoi la variable est égale. Comment faire cela ? Oui, c'est très simple : utiliser des opérations algébriques simples et suivre les règles de transfert. Si l’équation apparaît devant vous sous forme générale, vous avez de la chance ; il vous suffit de :

1. Déplacer b vers côté droitéquation, sans oublier de changer le signe (règle de traduction !), ainsi, à partir d'une expression de la forme ax + b = 0, il faut obtenir une expression de la forme : ax = -b.
2. Appliquez la règle : pour trouver l'un des facteurs (x - dans notre cas), il faut diviser le produit (-b dans notre cas) par un autre facteur (a - dans notre cas). Ainsi, vous devriez obtenir une expression de la forme : x = -b/a.

Ça y est, une solution a été trouvée !

Regardons maintenant un exemple spécifique :

1. 2x + 4 = 0 - déplacement b égal à dans ce cas 4, à droite
2. 2x = -4 - divisez b par a (n'oubliez pas le signe moins)
3. x = -4/2 = -2

C'est ça! Notre solution : x = -2.

Comme vous pouvez le constater, la solution d'une équation linéaire à une variable est assez simple à trouver, mais tout est si simple si l'on a la chance de tomber sur l'équation sous sa forme générale. Dans la plupart des cas, avant de résoudre une équation dans les deux étapes décrites ci-dessus, vous devez toujours donner une forme générale à l'expression existante. Cependant, ce n’est pas non plus une tâche extrêmement difficile. Examinons quelques cas particuliers à l'aide d'exemples.

Résoudre des cas particuliers

Tout d’abord, regardons les cas que nous avons décrits au début de l’article et expliquons ce que signifie avoir un nombre infini de solutions et aucune solution.

• Si a=b=0, l'équation ressemblera à : 0x + 0 = 0. En effectuant la première étape, nous obtenons : 0x = 0. Que signifie cette absurdité, vous exclamez-vous ! Après tout, quel que soit le nombre que vous multipliez par zéro, vous obtenez toujours zéro ! Droite! C'est pourquoi on dit que l'équation a un nombre infini de solutions - quel que soit le nombre que vous prenez, l'égalité sera vraie, 0x = 0 ou 0=0.
• Si a=0, b≠0, l'équation ressemblera à : 0x + 3 = 0. Effectuez la première étape, nous obtenons 0x = -3. Encore une bêtise ! Il est évident que cette égalité ne sera jamais vraie ! C'est pourquoi on dit que l'équation n'a pas de solution.
• Si a≠0, b=0, l'équation ressemblera à : 3x + 0 = 0. En effectuant la première étape, nous obtenons : 3x = 0. Quelle est la solution ? C'est simple, x = 0.

Perdu dans la traduction

Les cas particuliers décrits ne sont pas tout ce que les équations linéaires peuvent nous surprendre. Parfois, l’équation est difficile à identifier au premier coup d’œil. Regardons un exemple :

• 12x - 14 = 2x + 6

Est-ce une équation linéaire ? Et le zéro à droite ? Ne tirons pas de conclusions hâtives, agissons - transférons tous les composants de notre équation dans côté gauche. On obtient :

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Maintenant, soustrayons ce qui est semblable de ce qui est semblable, nous obtenons :

• 10x - 20 = 0

L'avez-vous découvert ? L'équation la plus linéaire jamais vue ! La solution est : x = 20/10 = 2.

Et si nous avions cet exemple :

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Oui, c'est aussi une équation linéaire, seules davantage de transformations doivent être effectuées. Tout d'abord, ouvrons les parenthèses :

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - maintenant nous effectuons le transfert :
4. 25x - 4 = 0 - il reste à trouver une solution en utilisant le schéma déjà connu :
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0,16

Comme vous pouvez le constater, tout peut être résolu, l'essentiel n'est pas de s'inquiéter, mais d'agir. N'oubliez pas que si votre équation ne contient que des variables et des nombres du premier degré, vous disposez d'une équation linéaire qui, quelle que soit son apparence initiale, peut être réduite à une forme générale et résolue. Nous espérons que tout s'arrangera pour vous ! Bonne chance!

Équations linéaires. Solution, exemples.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très « pas très… »
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Équations linéaires.

Les équations linéaires ne sont pas les plus sujet complexe mathématiques scolaires. Mais il existe quelques astuces qui peuvent dérouter même un étudiant qualifié. Voyons ça ?)

Généralement, une équation linéaire est définie comme une équation de la forme :

hache + b = 0 Où un et b– n'importe quel nombre.

2x + 7 = 0. Ici une = 2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Ici une=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Ici une = 12, b=1/2

Rien de compliqué, non ? Surtout si vous ne remarquez pas les mots : "où a et b sont des nombres quelconques"... Et si vous le remarquiez et y réfléchissez négligemment ?) Après tout, si une = 0, b=0(des nombres sont possibles ?), alors on obtient une drôle d'expression :

Mais ce n'est pas tout ! Si, disons, une = 0, UN b=5, Cela s’avère être quelque chose de complètement hors du commun :

Ce qui est énervant et mine la confiance en mathématiques, oui...) Surtout lors des examens. Mais parmi ces expressions étranges, il faut aussi trouver X ! Ce qui n'existe pas du tout. Et, étonnamment, ce X est très facile à trouver. Nous apprendrons à le faire. Dans cette leçon.

Comment reconnaître une équation linéaire à son apparence ? Cela dépend de quoi apparence.) L'astuce est que non seulement les équations de la forme sont appelées équations linéaires hache + b = 0 , mais aussi toutes les équations pouvant être réduites à cette forme par transformations et simplifications. Et qui sait si ça descend ou pas ?)

Une équation linéaire peut être clairement reconnue dans certains cas. Disons que nous avons une équation dans laquelle il n'y a que des inconnues au premier degré et des nombres. Et dans l'équation il n'y a pas fractions divisées par inconnu , c'est important ! Et division par nombre, ou une fraction numérique - c'est le bienvenu ! Par exemple:

Il s'agit d'une équation linéaire. Il y a des fractions ici, mais il n'y a pas de x dans le carré, le cube, etc., ni de x dans les dénominateurs, c'est-à-dire Non division par x. Et voici l'équation

ne peut pas être qualifié de linéaire. Ici les X sont tous au premier degré, mais il y a division par expression avec x. Après simplifications et transformations, vous pouvez obtenir une équation linéaire, une équation quadratique ou tout ce que vous voulez.

Il s'avère qu'il est impossible de reconnaître l'équation linéaire dans un exemple compliqué tant que vous ne l'avez presque pas résolue. C'est bouleversant. Mais dans les devoirs, en règle générale, ils ne posent pas de questions sur la forme de l'équation, n'est-ce pas ? Les devoirs demandent des équations décider. Cela me rend heureux.)

Résolution d'équations linéaires. Exemples.

La solution entière des équations linéaires consiste en des transformations identiques des équations. D’ailleurs, ces transformations (deux d’entre elles !) sont à la base des solutions toutes les équations mathématiques. Autrement dit, la solution n'importe lequel l'équation commence par ces mêmes transformations. Dans le cas des équations linéaires, elle (la solution) est basée sur ces transformations et se termine par une réponse complète. C'est logique de suivre le lien, non ?) De plus, il y a aussi des exemples de résolution d'équations linéaires.

Tout d’abord, regardons l’exemple le plus simple. Sans aucun piège. Supposons que nous devions résoudre cette équation.

x-3 = 2-4x

Il s'agit d'une équation linéaire. Les X sont tous à la puissance première, il n'y a pas de division par X. Mais, en fait, peu importe de quel type d’équation il s’agit. Nous devons le résoudre. Le schéma ici est simple. Collectez tout ce qui comporte des X sur le côté gauche de l'équation, tout ce qui ne contient pas de X (nombres) à droite.

Pour ce faire, vous devez transférer - 4x dans côté gauche, avec un changement de signe bien sûr, et - 3 - À droite. Au fait, c'est la première transformation identique des équations. Surpris? Cela veut dire que vous n'avez pas suivi le lien, mais en vain...) On obtient :

x + 4x = 2 + 3

En voici des similaires, nous considérons :

De quoi avons-nous besoin pour être pleinement heureux ? Oui, pour qu'il y ait un X pur à gauche ! Cinq sont sur le chemin. Se débarrasser des cinq avec l'aide la deuxième transformation identique des équations.À savoir, nous divisons les deux côtés de l’équation par 5. Nous obtenons une réponse toute prête :

Un exemple élémentaire, bien sûr. C'est pour s'échauffer.) On ne sait pas très bien pourquoi je me suis souvenu de transformations identiques ici ? D'ACCORD. Prenons le taureau par les cornes.) Décidons de quelque chose de plus solide.

Par exemple, voici l'équation :

Par où commencer ? Avec des X - à gauche, sans X - à droite ? C'est possible. Par petits pas longue route. Ou vous pouvez le faire immédiatement, d’une manière universelle et puissante. Si, bien sûr, vous avez des transformations d'équations identiques dans votre arsenal.

Je vous demande question clé: Qu’est-ce qui vous déplaît le plus dans cette équation ?

95 personnes sur 100 répondront : fractions ! La réponse est correcte. Alors débarrassons-nous-en. On commence donc immédiatement par deuxième transformation identitaire. Par quoi avez-vous besoin de multiplier la fraction de gauche pour que le dénominateur soit complètement réduit ? C'est vrai, à 3 heures. Et à droite ? Par 4. Mais les mathématiques nous permettent de multiplier les deux côtés par le même numéro. Comment pouvons-nous en sortir ? Multiplions les deux côtés par 12 ! Ceux. sur dénominateur commun. Ensuite, les trois et les quatre seront réduits. N'oubliez pas que vous devez multiplier chaque partie entièrement. Voici à quoi ressemble la première étape :

Extension des parenthèses :

Faites attention! Numérateur (x+2) Je l'ai mis entre parenthèses ! En effet, lors de la multiplication de fractions, le numérateur entier est multiplié ! Vous pouvez maintenant réduire des fractions :

Développez les parenthèses restantes :

Ce n'est pas un exemple, mais pur plaisir!) Rappelons maintenant le sort de classes juniors: avec un X - à gauche, sans X - à droite ! Et appliquez cette transformation :

En voici quelques similaires :

Et divisez les deux parties par 25, c'est-à-dire appliquez à nouveau la deuxième transformation :

C'est ça. Répondre: X=0,16

Remarque : pour donner une forme agréable à l'équation originale déroutante, nous en avons utilisé deux (juste deux !) transformations identitaires– translation gauche-droite avec changement de signe et multiplication-division d’une équation par le même nombre. Ce méthode universelle! Nous travaillerons ainsi avec n'importe lequel des équations ! Absolument n'importe qui. C'est pourquoi je ne cesse de répéter fastidieusement ces transformations identiques.)

Comme vous pouvez le constater, le principe de résolution d’équations linéaires est simple. Nous prenons l'équation et la simplifions avec transformations identitaires avant de recevoir une réponse. Les principaux problèmes ici résident dans les calculs et non dans le principe de la solution.

Mais... Il y a de telles surprises dans le processus de résolution des équations linéaires les plus élémentaires qu'elles peuvent vous plonger dans une forte stupeur...) Heureusement, il ne peut y avoir que deux de ces surprises. Appelons-les des cas particuliers.

Cas particuliers dans la résolution d'équations linéaires.

Première surprise.

Disons que tu l'as l'équation la plus élémentaire, quelque chose comme :

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Un peu ennuyé, on le déplace avec un X vers la gauche, sans X - vers la droite... Avec un changement de signe, tout est parfait... On obtient :

2x-5x+3x=5-2-3

On compte, et... oups !!! On obtient :

Cette égalité en elle-même n’est pas répréhensible. Zéro est vraiment zéro. Mais X manque ! Et nous devons écrire dans la réponse, à quoi est égal x ? Sinon, la solution ne compte pas, non...) Impasse ?

Calme! Dans de tels cas douteux, les règles les plus générales vous sauveront. Comment résoudre des équations ? Que signifie résoudre une équation ? Cela signifie, trouver toutes les valeurs de x qui, une fois substituées dans équation originale, nous donnera une véritable égalité.

Mais nous avons une vraie égalité déjàça a marché ! 0=0, combien plus précis ?! Il reste à déterminer à quels x cela se produit. Dans quelles valeurs de X peuvent être substituées originaléquation si ces x seront-ils encore réduits à zéro ? Allez?)

Oui!!! Les X peuvent être remplacés n'importe lequel! Lesquels veux-tu ? Au moins 5, au moins 0,05, au moins -220. Ils vont encore rétrécir. Si vous ne me croyez pas, vous pouvez le vérifier.) Remplacez toutes les valeurs de X par originaléquation et calcul. Ça marchera tout le temps pure vérité: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 et ainsi de suite.

Voici votre réponse : x - n'importe quel nombre.

La réponse peut être écrite sous différents symboles mathématiques, l’essence ne change pas. C'est une réponse tout à fait correcte et complète.

Deuxième surprise.

Prenons la même équation linéaire élémentaire et modifions-y un seul nombre. Voici ce que nous déciderons :

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Après les mêmes transformations identiques, on obtient quelque chose d’intrigant :

Comme ça. Nous avons résolu une équation linéaire et obtenu une étrange égalité. Parlant langage mathématique, nous avons fausse égalité. Et parlant dans un langage simple, ce n'est pas vrai. Rave. Mais néanmoins, cette absurdité est une très bonne raison pour la bonne décisionéquations.)

Encore une fois, nous pensons en nous basant sur des règles générales. Ce que les x, une fois substitués dans l'équation originale, nous donneront vraiégalité? Oui, aucun ! Il n’existe pas de tels X. Peu importe ce que vous mettrez, tout sera réduit, il ne restera que des bêtises.)

Voici votre réponse : il n'y a pas de solutions.

C'est aussi une réponse complètement complète. En mathématiques, de telles réponses sont souvent trouvées.

Comme ça. Maintenant, j'espère que la disparition des X dans le processus de résolution de n'importe quelle équation (pas seulement linéaire) ne vous embrouillera pas du tout. C'est déjà un sujet familier.)

Maintenant que nous avons résolu tous les pièges des équations linéaires, il est logique de les résoudre.

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

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Et etc., il est logique de se familiariser avec des équations d'autres types. Les prochains en ligne sont équations linéaires, dont l'étude ciblée commence dans les cours d'algèbre en 7e année.

Il est clair que nous devons d'abord expliquer ce qu'est une équation linéaire, donner une définition d'une équation linéaire, ses coefficients et montrer sa forme générale. Ensuite, vous pouvez déterminer combien de solutions une équation linéaire a en fonction des valeurs des coefficients et comment les racines sont trouvées. Cela vous permettra de passer à la résolution d'exemples, et ainsi de consolider la théorie apprise. Dans cet article, nous ferons ceci : nous nous attarderons en détail sur tous les points théoriques et pratiques relatifs aux équations linéaires et à leurs solutions.

Disons tout de suite qu'ici nous ne considérerons que les équations linéaires à une variable, et dans un article séparé nous étudierons les principes de solution équations linéaires à deux variables.

Navigation dans les pages.

Qu'est-ce qu'une équation linéaire ?

La définition d’une équation linéaire est donnée par la manière dont elle s’écrit. De plus, dans différents manuels Les formulations mathématiques et algébriques des définitions d'équations linéaires présentent certaines différences qui n'affectent pas l'essence du problème.

Par exemple, dans le manuel d'algèbre pour la 7e année de Yu N. Makarychev et al., une équation linéaire est définie comme suit :

Définition.

Équation de la forme une x = b, où x est une variable, a et b sont des nombres, est appelé équation linéaire à une variable.

Donnons des exemples d'équations linéaires qui répondent à la définition énoncée. Par exemple, 5 x = 10 est une équation linéaire avec une variable x, ici le coefficient a est 5 et le nombre b est 10. Autre exemple : −2,3·y=0 est aussi une équation linéaire, mais avec une variable y, dans laquelle a=−2,3 et b=0. Et dans les équations linéaires x=−2 et −x=3,33 a ne sont pas présents explicitement et sont égaux respectivement à 1 et −1, tandis que dans la première équation b=−2, et dans la seconde - b=3,33.

Et un an plus tôt, dans le manuel de mathématiques de N. Ya Vilenkin, les équations linéaires à une inconnue, en plus des équations de la forme a x = b, étaient également considérées comme des équations pouvant être amenées à cette forme en transférant des termes. d'une partie de l'équation à une autre avec signe opposé, ainsi qu'en réduisant les termes similaires. D'après cette définition, les équations de la forme 5 x = 2 x + 6, etc. également linéaire.

À son tour, dans le manuel d'algèbre pour la 7e année d'A. G. Mordkovich, la définition suivante est donnée :

Définition.

Équation linéaire avec une variable x est une équation de la forme a·x+b=0, où a et b sont des nombres appelés coefficients de l'équation linéaire.

Par exemple, les équations linéaires de ce type sont 2 x−12=0, ici le coefficient a est 2, et b est égal à −12, et 0,2 y+4,6=0 avec les coefficients a=0,2 et b =4,6. Mais en même temps, il existe des exemples d'équations linéaires qui ont la forme non pas a·x+b=0, mais a·x=b, par exemple 3·x=12.

Pour éviter les divergences à l'avenir, par une équation linéaire avec une variable x et des coefficients a et b, nous comprendrons une équation de la forme a x + b = 0. Ce type d'équation linéaire semble être le plus justifié, puisque les équations linéaires sont équations algébriques premier degré. Et toutes les autres équations mentionnées ci-dessus, ainsi que les équations qui, en utilisant transformations équivalentes se réduisent à la forme a·x+b=0 , on appellera équations qui se réduisent à des équations linéaires. Avec cette approche, l'équation 2 x+6=0 est une équation linéaire, et 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, etc. - Ce sont des équations qui se réduisent à des équations linéaires.

Comment résoudre des équations linéaires ?

Il est maintenant temps de comprendre comment les équations linéaires a·x+b=0 sont résolues. En d’autres termes, il est temps de découvrir si une équation linéaire a des racines, et si oui, combien d’entre elles et comment les trouver.

La présence de racines d'une équation linéaire dépend des valeurs des coefficients a et b. Dans ce cas, l’équation linéaire a x+b=0 a

• la seule racine de a≠0,
• n'a pas de racines pour a=0 et b≠0,
• a une infinité de racines pour a=0 et b=0, auquel cas tout nombre est la racine d’une équation linéaire.

Expliquons comment ces résultats ont été obtenus.

Nous savons que pour résoudre des équations, nous pouvons passer de l’équation originale à des équations équivalentes, c’est-à-dire à des équations avec les mêmes racines ou, comme celle d’origine, sans racines. Pour ce faire, vous pouvez utiliser les transformations équivalentes suivantes :

• transférer un terme d'un côté de l'équation à un autre de signe opposé,
• ainsi que multiplier ou diviser les deux côtés d'une équation par le même nombre non nul.

Donc, dans une équation linéaire avec un variable de la forme a x+b=0 nous pouvons déplacer le terme b du côté gauche vers côté droit avec le signe opposé. Dans ce cas, l'équation prendra la forme a·x=−b.

Et puis se pose la question de diviser les deux côtés de l’équation par le nombre a. Mais il y a une chose : le nombre a peut être égal à zéro, auquel cas une telle division est impossible. Pour résoudre ce problème, nous supposerons d’abord que le nombre a est non nul, et nous considérerons séparément le cas où a étant égal à zéro un peu plus tard.

Ainsi, lorsque a n'est pas égal à zéro, alors nous pouvons diviser les deux côtés de l'équation a·x=−b par a, après quoi elle sera transformée sous la forme x=(−b) :a, ce résultat peut être écrit en utilisant la barre oblique fractionnaire as.

Ainsi, pour a≠0, l'équation linéaire a·x+b=0 est équivalente à l'équation dont sa racine est visible.

Il est facile de montrer que cette racine est unique, c’est-à-dire que l’équation linéaire n’a pas d’autres racines. Cela vous permet de faire la méthode inverse.

Notons la racine par x 1. Supposons qu'il existe une autre racine de l'équation linéaire, que nous notons x 2, et x 2 ≠x 1, qui, en raison de définitions nombres égauxà travers la différence est équivalent à la condition x 1 −x 2 ≠0. Puisque x 1 et x 2 sont des racines de l'équation linéaire a·x+b=0, alors les égalités numériques a·x 1 +b=0 et a·x 2 +b=0 sont valables. On peut soustraire les parties correspondantes de ces égalités, ce que les propriétés des égalités numériques nous permettent de faire, on a a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, d'où a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 et alors a·(x 1 −x 2)=0 . Mais cette égalité est impossible, puisque a≠0 et x 1 − x 2 ≠0. Nous sommes donc arrivés à une contradiction qui prouve l’unicité de la racine de l’équation linéaire a·x+b=0 pour a≠0.

C'est ainsi que nous avons résolu l'équation linéaire a·x+b=0 pour a≠0. Le premier résultat donné au début de ce paragraphe est justifié. Il en reste deux autres qui remplissent la condition a=0.

Lorsque a=0, l'équation linéaire a·x+b=0 prend la forme 0·x+b=0. De cette équation et de la propriété de multiplier les nombres par zéro, il s'ensuit que quel que soit le nombre que nous prenons comme x, lorsqu'il est substitué dans l'équation 0 x + b=0, l'égalité numérique b=0 sera obtenue. Cette égalité est vraie lorsque b=0, et dans les autres cas lorsque b≠0 cette égalité est fausse.

Par conséquent, avec a=0 et b=0, n'importe quel nombre est la racine de l'équation linéaire a·x+b=0, puisque dans ces conditions, substituer n'importe quel nombre à x donne l'égalité numérique correcte 0=0. Et lorsque a=0 et b≠0, l'équation linéaire a·x+b=0 n'a pas de racine, puisque dans ces conditions, substituer n'importe quel nombre à x conduit à l'égalité numérique incorrecte b=0.

Les justifications données nous permettent de formuler une séquence d'actions qui nous permet de résoudre n'importe quelle équation linéaire. Donc, algorithme pour résoudre une équation linéaire est:

• Tout d'abord, en écrivant l'équation linéaire, on retrouve les valeurs des coefficients a et b.
• Si a=0 et b=0, alors cette équation a une infinité de racines, à savoir, tout nombre est une racine de cette équation linéaire.
• Si a est différent de zéro, alors
• le coefficient b est transféré du côté droit avec le signe opposé, et l'équation linéaire est transformée sous la forme a·x=−b,
• après quoi les deux côtés de l'équation résultante sont divisés par un nombre non nul a, ce qui donne la racine souhaitée de l'équation linéaire d'origine.

L'algorithme écrit est une réponse complète à la question de savoir comment résoudre des équations linéaires.

En conclusion de ce point, il convient de dire qu’un algorithme similaire est utilisé pour résoudre des équations de la forme a·x=b. Sa différence est que lorsque a≠0, les deux côtés de l'équation sont immédiatement divisés par ce nombre ; ici b est déjà dans la partie requise de l'équation et il n'est pas nécessaire de la transférer.

Pour résoudre des équations de la forme a x = b, l'algorithme suivant est utilisé :

• Si a=0 et b=0, alors l’équation a une infinité de racines, qui sont des nombres quelconques.
• Si a=0 et b≠0, alors l'équation d'origine n'a pas de racines.
• Si a est non nul, alors les deux côtés de l’équation sont divisés par un nombre non nul a, à partir duquel est trouvée la seule racine de l’équation, égale à b/a.

Exemples de résolution d'équations linéaires

Passons à la pratique. Voyons comment l'algorithme de résolution d'équations linéaires est utilisé. Voici les solutions exemples typiques, correspondant différentes significations coefficients d'équations linéaires.

Exemple.

Résolvez l'équation linéaire 0·x−0=0.

Solution.

Dans cette équation linéaire, a=0 et b=−0 , ce qui équivaut à b=0 . Par conséquent, cette équation a une infinité de racines ; tout nombre est une racine de cette équation.

Répondre:

x – n’importe quel nombre.

Exemple.

L'équation linéaire 0 x + 2,7 = 0 a-t-elle des solutions ?

Solution.

Dans ce cas, le coefficient a est égal à zéro et le coefficient b de cette équation linéaire est égal à 2,7, c'est-à-dire différent de zéro. Une équation linéaire n’a donc pas de racines.