Très souvent, au moment de décider problèmes géométriques vous devez effectuer des actions avec des figures auxiliaires. Par exemple, trouver le rayon d'un cercle inscrit ou circonscrit, etc. Cet article va vous montrer comment trouver le rayon d'un cercle circonscrit par un triangle. Ou, en d’autres termes, le rayon du cercle dans lequel le triangle est inscrit.

Comment trouver le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle - formule générale

La formule générale est la suivante : R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), où R est le rayon du cercle circonscrit, p est le périmètre du triangle divisé par 2 (demi-périmètre). a, b, c – côtés du triangle.

Trouvez le rayon circonscrit du triangle si a = 3, b = 6, c = 7.

Ainsi, à partir de la formule ci-dessus, on calcule le demi-périmètre :
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Nous substituons les valeurs dans la formule et obtenons :
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Réponse : R = 126/16√5

Comment trouver le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle équilatéral

Pour trouver le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle équilatéral, il existe de nombreux formule simple: R = a/√3, où a est la taille de son côté.

Exemple : Le côté d'un triangle équilatéral est 5. Trouvez le rayon du cercle circonscrit.

Puisque tous les côtés d’un triangle équilatéral sont égaux, pour résoudre le problème, il vous suffit d’entrer sa valeur dans la formule. On obtient : R = 5/√3.

Réponse : R = 5/√3.

Comment trouver le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle rectangle

La formule est la suivante : R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, où a et b sont les jambes et c est l'hypoténuse. Si vous additionnez les carrés des jambes d'un triangle rectangle, vous obtenez le carré de l'hypoténuse. Comme le montre la formule, cette expression est sous la racine. En calculant la racine du carré de l'hypoténuse, on obtient la longueur elle-même. En multipliant l’expression résultante par 1/2, nous obtenons finalement l’expression 1/2 × c = c/2.

Exemple : Calculez le rayon du cercle circonscrit si les jambes du triangle sont 3 et 4. Remplacez les valeurs dans la formule. On obtient : R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

DANS expression donnée 5 – longueur de l'hypoténuse.

Réponse : R = 2,5.

Comment trouver le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle isocèle

La formule est la suivante : R = a²/√(4a² – b²), où a est la longueur de la cuisse du triangle et b est la longueur de la base.

Exemple : Calculez le rayon d'un cercle si sa hanche = 7 et sa base = 8.

Solution : Remplacez ces valeurs dans la formule et obtenez : R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. La réponse peut être écrite directement comme ceci.

Réponse : R = 49/√132

Ressources en ligne pour calculer le rayon d'un cercle

Il peut être très facile de se perdre dans toutes ces formules. Par conséquent, si nécessaire, vous pouvez utiliser calculatrices en ligne, ce qui vous aidera à résoudre les problèmes de recherche du rayon. Le principe de fonctionnement de tels mini-programmes est très simple. Remplacez la valeur secondaire dans le champ approprié et obtenez une réponse toute faite. Vous pouvez choisir plusieurs options pour arrondir votre réponse : aux décimales, aux centièmes, aux millièmes, etc.

Niveau d'entrée

Cercle circonscrit. Guide visuel (2019)

La première question qui peut se poser est : qu’est-ce qui est décrit – autour de quoi ?

Bon, en fait, parfois ça arrive autour de n'importe quoi, mais on parlera d'un cercle circonscrit autour (parfois on dit aussi « à propos ») d'un triangle. Qu'est-ce que c'est?

Et imaginez, un fait étonnant se produit :

Pourquoi ce fait est-il surprenant ?

Mais les triangles sont différents !

Et pour chacun il y a un cercle qui passera par sur les trois sommets, c'est-à-dire le cercle circonscrit.

Preuve de cela fait étonnant vous pouvez le trouver dans les niveaux suivants de la théorie, mais ici nous notons seulement que si nous prenons, par exemple, un quadrilatère, alors pour tout le monde il n'y aura pas de cercle passant par les quatre sommets. Par exemple, un parallélogramme est un excellent quadrilatère, mais il n’existe pas de cercle passant par ses quatre sommets !

Et il n'y a que pour un rectangle :

Voici, et chaque triangle a toujours son cercle circonscrit ! Et c’est même toujours assez simple de retrouver le centre de ce cercle.

Savez-vous ce que c'est médiatrice?

Voyons maintenant ce qui se passe si l’on considère jusqu’à trois médiatrices perpendiculaires aux côtés du triangle.

Il s’avère (et c’est précisément ce qu’il faut prouver, même si nous ne le ferons pas) que les trois perpendiculaires se coupent en un point. Regardez l'image : les trois bissectrices perpendiculaires se coupent en un point.

Pensez-vous que le centre du cercle circonscrit se trouve toujours à l’intérieur du triangle ? Imaginez - pas toujours !

Mais si à angle aigu, puis - à l'intérieur :

Que faire avec un triangle rectangle ?

Et avec un bonus supplémentaire :

Puisque nous parlons du rayon du cercle circonscrit : à quoi est-il égal triangle arbitraire? Et il y a une réponse à cette question : la soi-disant .

À savoir:

Et bien sûr,

1. Existence et centre du cercle circonscrit

Ici, la question se pose : un tel cercle existe-t-il pour chaque triangle ? Il s’avère que oui, pour tout le monde. Et de plus, nous allons maintenant formuler un théorème qui répond également à la question de savoir où se trouve le centre du cercle circonscrit.

Regardez, comme ceci :

Soyons courageux et démontrons ce théorème. Si vous avez déjà lu le sujet "" et compris pourquoi trois bissectrices se coupent en un point, alors ce sera plus facile pour vous, mais si vous ne l'avez pas lu, ne vous inquiétez pas : maintenant nous allons le découvrir.

Nous réaliserons la preuve en utilisant la notion de lieu des points (GLP).

Eh bien, par exemple, le jeu de balles... " lieu» des objets ronds ? Non, bien sûr, car il existe des pastèques rondes. Est-ce un ensemble de personnes, un « lieu géométrique », qui peut parler ? Non non plus, car il y a des bébés qui ne peuvent pas parler. Dans la vie, il est généralement difficile de trouver un exemple de véritable « localisation géométrique de points ». C'est plus facile en géométrie. Voici par exemple exactement ce dont nous avons besoin :

Ici, l'ensemble est la médiatrice perpendiculaire et la propriété « » est « d'être équidistant (un point) des extrémités du segment ».

Devons-nous vérifier ? Vous devez donc vous assurer de deux choses :

1. Tout point équidistant des extrémités d’un segment est situé sur la médiatrice perpendiculaire à celui-ci.

Relions c et c. Ensuite, la ligne est la médiane et la hauteur b. Cela signifie - isocèle - nous nous sommes assurés que tout point situé sur la médiatrice perpendiculaire est à égale distance des points et.

Prenons le milieu et connectons et. Le résultat est la médiane. Mais selon la condition, non seulement la médiane est isocèle, mais aussi la hauteur, c'est-à-dire la médiatrice. Cela signifie que le point se trouve exactement sur la médiatrice.

Tous! Nous avons pleinement vérifié le fait que La médiatrice d'un segment est le lieu des points équidistants des extrémités du segment.

Tout cela est bien beau, mais a-t-on oublié le cercle circonscrit ? Pas du tout, nous venons de nous préparer un « tremplin d’attaque ».

Considérons un triangle. Traçons deux perpendiculaires bisectorales et, disons, aux segments et. Ils se croiseront à un moment donné, que nous nommerons.

Maintenant, faites attention !

Le point se trouve sur la médiatrice ;
le point se trouve sur la médiatrice.
Et cela signifie, et.

Plusieurs choses en découlent :

Premièrement, le point doit se situer sur la troisième bissectrice perpendiculaire au segment.

Autrement dit, la médiatrice doit également passer par le point et les trois médiatrices se coupent en un point.

Deuxièmement : si nous dessinons un cercle avec un centre en un point et un rayon, alors ce cercle passera également par le point et le point, c'est-à-dire que ce sera un cercle circonscrit. Cela signifie qu'il existe déjà que l'intersection de trois médiatrices perpendiculaires est le centre du cercle circonscrit pour tout triangle.

Et la dernière chose : à propos de l'unicité. Il est clair (presque) que le point peut être obtenu de manière unique, donc le cercle est unique. Bon, on laisse « presque » à votre réflexion. Nous avons donc prouvé le théorème. Vous pouvez crier « Hourra ! »

Et si le problème demande « trouver le rayon du cercle circonscrit » ? Ou vice versa, le rayon est donné, mais il faut trouver autre chose ? Existe-t-il une formule qui relie le rayon du cercle circonscrit aux autres éléments du triangle ?

Attention : le théorème des sinus stipule que pour trouver le rayon du cercle circonscrit, il vous faut un côté (n'importe lequel !) et l'angle qui lui est opposé. C'est tout !

3. Centre du cercle - intérieur ou extérieur

Maintenant la question est : le centre du cercle circonscrit peut-il se trouver à l’extérieur du triangle ?
Réponse : autant que possible. De plus, cela se produit toujours dans un triangle obtus.

Et en général :

CERCLE CIRCULAIRE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

1. Cercle circonscrit à un triangle

C'est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.

2. Existence et centre du cercle circonscrit

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

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Vous aurez besoin

• Triangle avec des paramètres donnés
• Boussole
• Règle
• Carré
• Tableau des sinus et cosinus
• Notions mathématiques
• Déterminer la hauteur d'un triangle
• Formules sinus et cosinus
• Formule d'aire triangulaire

Instructions

Dessinez un triangle avec les paramètres requis. Un triangle a soit trois côtés, soit deux côtés et un angle entre eux, soit un côté et deux angles adjacents. Étiquetez les sommets du triangle comme A, B et C, les angles comme α, β et γ et les côtés opposés aux sommets comme a, b et c.

Dessinez tous les côtés du triangle et trouvez leur point d'intersection. Notons les hauteurs par h avec les indices correspondants pour les côtés. Trouvez le point de leur intersection et étiquetez-le O. Ce sera le centre du cercle. Ainsi, les rayons de ce cercle seront les segments OA, OB et OS.

Trouvez le rayon à l'aide de deux formules. D’une part, vous devez d’abord calculer . Il est égal à tous les côtés du triangle par le sinus de l'un des angles divisé par 2.

Dans ce cas, le rayon du cercle circonscrit est calculé par la formule

Pour l’autre, la longueur d’un des côtés et le sinus de l’angle opposé suffisent.

Calculez le rayon et décrivez la circonférence du triangle.

Conseils utiles

Rappelez-vous quelle est la hauteur d'un triangle. Il s'agit d'une perpendiculaire tirée d'un coin vers le côté opposé.

L'aire d'un triangle peut également être représentée comme le produit du carré d'un des côtés et des sinus de deux angles adjacents, divisé par deux fois le sinus de la somme de ces angles.
S=а2*sinβ*sinγ/2sinγ

Sources :

• table à rayons de cercle circonscrits
• Rayon d'un cercle circonscrit à un équilatéral

Il est considéré comme circonscrit à un polygone s'il touche tous ses sommets. Ce qui est remarquable, c'est que le centre d'une telle cercle coïncide avec le point d'intersection des perpendiculaires tracées à partir des milieux des côtés du polygone. Rayon décrit cercle dépend entièrement du polygone autour duquel il est décrit.

Vous aurez besoin

• Connaître les côtés d'un polygone et son aire/périmètre.

Instructions

Veuillez noter

Un cercle ne peut être tracé autour d'un polygone que s'il est régulier, c'est-à-dire tous ses côtés sont égaux et tous ses angles sont égaux.
La thèse selon laquelle le centre d'un cercle circonscrit à un polygone est l'intersection de ses médiatrices est valable pour tous polygones réguliers.

Sources :

• comment trouver le rayon d'un polygone

S'il est possible de construire un cercle circonscrit pour un polygone, alors l'aire de ce polygone est moins de superficie cercle circonscrit, mais plus de superficie cercle inscrit. Pour certains polygones, on sait que les formules trouvent rayon cercles inscrits et circonscrits.

Instructions

Un cercle inscrit dans un polygone qui touche tous les côtés du polygone. Pour un triangle rayon cercles : r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, où p est le demi-périmètre ; a, b, c - côtés du triangle. Car la formule est simplifiée : r = a/(2*3^1/2), a est le côté du triangle.

Un cercle circonscrit à un polygone est un cercle sur lequel se trouvent tous les sommets du polygone. Pour un triangle, le rayon est trouvé par la formule : R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), où p est le demi-périmètre ; a, b, c - côtés du triangle. Pour le bon c’est plus simple : R = a/3^1/2.

Pour les polygones, il n'est pas toujours possible de connaître le rapport des rayons inscrits et les longueurs de ses côtés. Le plus souvent, ils se limitent à construire de tels cercles autour du polygone, puis à rayon cercles à l’aide d’instruments de mesure ou d’espace vectoriel.
Pour construire le cercle circonscrit d'un polygone convexe, on construit les bissectrices de ses deux coins ; à leur intersection se trouve le centre du cercle circonscrit. Le rayon sera la distance entre le point d'intersection des bissectrices et le sommet de n'importe quel coin du polygone. Le centre de l'inscrit à l'intersection des perpendiculaires construites à l'intérieur du polygone à partir des centres des côtés (ces perpendiculaires sont médianes). Il suffit de construire deux de ces perpendiculaires. Rayon du cercle inscrit égale à la distance du point d'intersection des perpendiculaires médianes au côté du polygone.

Vidéo sur le sujet

Veuillez noter

B arbitrairement polygone donné Vous ne pouvez pas inscrire un cercle et décrire le cercle qui l’entoure.

Conseils utiles

Un cercle peut être inscrit dans un quadrilatère si a+c = b+d, où a, b, c, d sont les côtés du quadrilatère dans l'ordre. Un cercle peut être décrit autour d'un quadrilatère si ses angles opposés totalisent 180 degrés ;

Pour un triangle, de tels cercles existent toujours.

Astuce 4 : Comment trouver l'aire d'un triangle en fonction de trois côtés

Trouver l'aire d'un triangle est l'un des problèmes les plus courants planimétrie scolaire. Connaître les trois côtés d'un triangle suffit pour déterminer l'aire de n'importe quel triangle. Dans des cas particuliers et triangles équilatéraux il suffit de connaître respectivement les longueurs de deux et d'un côté.

Vous aurez besoin

• longueurs des côtés des triangles, formule de Heron, théorème du cosinus

Instructions

La formule de Heron pour l'aire d'un triangle est la suivante : S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Si on écrit le demi-périmètre p, on obtient : S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Vous pouvez dériver une formule pour l'aire d'un triangle à partir de considérations, par exemple en appliquant le théorème du cosinus.

D'après le théorème du cosinus, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). En utilisant les notations introduites, celles-ci peuvent également être écrites sous la forme : b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Par conséquent, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

L'aire d'un triangle est également trouvée par la formule S = a*c*sin(ABC)/2 en utilisant deux côtés et l'angle qui les sépare. Le sinus de l'angle ABC peut être exprimé en fonction de celui-ci en utilisant la formule de base identité trigonométrique: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) En substituant le sinus dans la formule de l'aire et en l'écrivant, vous pouvez arriver à la formule de l'aire triangle ABC.

Vidéo sur le sujet

Trois points qui définissent de manière unique un triangle dans Système cartésien les coordonnées sont ses sommets. Connaissant leur position par rapport à chacun des axes de coordonnées, vous pouvez calculer tous les paramètres de celui-ci silhouette plate, incluant et limité par son périmètre carré. Cela peut être fait de plusieurs manières.

Instructions

Utilisez la formule de Heron pour calculer la superficie triangle. Cela implique les dimensions des trois côtés de la figure, alors commencez vos calculs par . La longueur de chaque côté doit être égale à la racine de la somme des carrés des longueurs de ses projections sur axes de coordonnées. Si l'on note les coordonnées A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) et C(X₃,Y₃,Z₃), les longueurs de leurs côtés peuvent s'exprimer ainsi : AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Pour simplifier les calculs, introduisez une variable auxiliaire - le demi-périmètre (P). Du fait que cela représente la moitié de la somme des longueurs de tous les côtés : P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Calculer carré(S) en utilisant la formule de Heron - prenez la racine du produit du demi-périmètre et la différence entre celui-ci et la longueur de chaque côté. DANS vue générale il peut s'écrire ainsi : S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + (Y₁ -Y₂ )² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√((X₁- X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).

Pour des calculs pratiques, il est pratique d’utiliser des calculatrices spécialisées. Ce sont des scripts hébergés sur les serveurs de certains sites qui vont tout faire calculs nécessaires en fonction des coordonnées que vous avez saisies dans le formulaire approprié. Le seul service de ce type est qu'il ne fournit pas d'explications et de justifications pour chaque étape des calculs. Par conséquent, si vous êtes uniquement intéressé résultat final, et non des calculs généraux, rendez-vous, par exemple, sur la page http://planetcalc.ru/218/.

Dans les champs du formulaire, saisissez chaque coordonnée de chaque sommet triangle- ils sont ici sous les noms Axe, Ay, Az, etc. Si le triangle est spécifié par des coordonnées bidimensionnelles, écrivez zéro dans les champs Az, Bz et Cz. Dans le champ « Précision du calcul », définissez le nombre de décimales requis en cliquant sur le bouton plus ou moins de la souris. Il n'est pas nécessaire d'appuyer sur le bouton orange « Calculer » situé sous le formulaire ; les calculs seront effectués sans celui-ci. Vous trouverez la réponse à côté de l'inscription « Zone triangle" - il est situé immédiatement en dessous du bouton orange.

Sources :

• trouver l'aire d'un triangle avec des sommets en points

Parfois, autour d'un polygone convexe, vous pouvez le dessiner de manière à ce que les sommets de tous les coins se trouvent dessus. Un tel cercle par rapport au polygone doit être appelé circonscrit. Son centre ne doit pas nécessairement être à l'intérieur du périmètre de la figure inscrite, mais en utilisant les propriétés de la figure décrite cercle, trouver ce point n'est généralement pas très difficile.

Vous aurez besoin

• Règle, crayon, rapporteur ou équerre, compas.

Instructions

Si le polygone autour duquel vous devez décrire un cercle est dessiné sur papier, pour trouver centre et un cercle suffit avec une règle, un crayon et un rapporteur ou une équerre. Mesurez la longueur de n'importe quel côté de la figure, déterminez son milieu et placez un point auxiliaire à cet endroit du dessin. À l'aide d'une équerre ou d'un rapporteur, tracez un segment à l'intérieur du polygone perpendiculairement à ce côté jusqu'à ce qu'il croise côté opposé.

Faites la même opération avec n’importe quel autre côté du polygone. L'intersection des deux segments construits sera le point souhaité. Cela découle de la propriété principale du décrit cercle- son centre V polygone convexe de n'importe quel côté se trouve toujours au point d'intersection des bissectrices tracées vers ces

Bissectrice perpendiculaire à un segment de droite

Définition 1. Médiatrice perpendiculaire à un segment appelée ligne droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu (Fig. 1).

Théorème 1. Chaque point de la médiatrice d'un segment est situé à la même distance des extrémités ce segment.

Preuve . Considérons point arbitraire D, situé sur la médiatrice du segment AB (Fig. 2), et prouver que les triangles ADC et BDC sont égaux.

En effet, ces triangles sont des triangles rectangles dans lesquels les branches AC et BC sont égales, et la branche DC est commune. L'égalité des triangles ADC et BDC implique l'égalité des segments AD et DB. Le théorème 1 est prouvé.

Théorème 2 (Converse du théorème 1). Si un point est à la même distance des extrémités d’un segment, alors il se trouve sur la médiatrice perpendiculaire à ce segment.

Preuve . Démontrons le théorème 2 par contradiction. Pour cela, supposons qu'un point E soit à la même distance des extrémités du segment, mais ne se trouve pas sur la médiatrice perpendiculaire à ce segment. Amenons cette hypothèse à une contradiction. Considérons d'abord le cas où les points E et A se situent le long différents côtés de la perpendiculaire médiane (Fig. 3). Dans ce cas, le segment EA coupe la médiatrice en un certain point, que nous désignons par la lettre D.

Montrons que le segment AE est plus long que le segment EB. Vraiment,

Ainsi, dans le cas où les points E et A se situent sur des côtés opposés de la médiatrice, nous avons une contradiction.

Considérons maintenant le cas où les points E et A se trouvent du même côté de la médiatrice (Fig. 4). Montrons que le segment EB est plus long que le segment AE. Vraiment,

La contradiction qui en résulte complète la preuve du théorème 2

Cercle circonscrit à un triangle

Définition 2. Un cercle circonscrit à un triangle, est appelé un cercle passant par les trois sommets du triangle (Fig. 5). Dans ce cas, le triangle s'appelle triangle inscrit dans un cercle ou triangle inscrit.

Propriétés du cercle circonscrit d'un triangle. Théorème des sinus

Chiffre	Dessin	Propriété
Médiatrices perpendiculaires sur les côtés du triangle		se croisent en un point .
Centre décrit à propos de triangle aigu cercle		Centre décrit à propos à angle aigu à l'intérieur triangle.
Centre décrit à propos de triangle rectangle cercle		Le centre a décrit environ rectangulaire milieu de l'hypoténuse .
Centre décrit à propos de triangle obtus cercle		Centre décrit à propos à angle obtus Le cercle triangulaire se trouve dehors triangle.
		,
Carré triangle		S= 2R. 2 péché UN péché B péché C ,
Circonstance		Pour tout triangle, l'égalité est vraie :

Médiatrices perpendiculaires aux côtés d'un triangle

Toutes les médiatrices , dessiné sur les côtés d'un triangle arbitraire, se croisent en un point .

Cercle circonscrit à un triangle

N'importe quel triangle peut être entouré d'un cercle . Le centre d'un cercle circonscrit à un triangle est le point d'intersection de toutes les bissectrices perpendiculaires tracées sur les côtés du triangle.

Centre du cercle circonscrit d'un triangle aigu

Centre décrit à propos à angle aigu Le cercle triangulaire se trouve à l'intérieur triangle.

Centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle

Le centre a décrit environ rectangulaire le cercle triangulaire est milieu de l'hypoténuse .

Centre du cercle circonscrit d'un triangle obtus

Centre décrit à propos à angle obtus Le cercle triangulaire se trouve dehors triangle.

Pour tout triangle, les égalités suivantes sont vraies (théorème des sinus) : , où a, b, c sont les côtés du triangle, A, B, C sont les angles du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Aire d'un triangle

Pour tout triangle, l'égalité est vraie : S= 2R. 2 péché UN péché B péché C , où A, B, C sont les angles du triangle, S est l'aire du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Circonstance

Pour tout triangle, l'égalité est vraie : où a, b, c sont les côtés du triangle, S est l'aire du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Preuves de théorèmes sur les propriétés du cercle circonscrit d'un triangle

Théorème 3. Toutes les bissectrices perpendiculaires tracées sur les côtés d’un triangle arbitraire se coupent en un point.

Preuve . Considérons deux bissectrices perpendiculaires tracées aux côtés AC et AB du triangle ABC, et désignons leur point d'intersection par la lettre O (Fig. 6).

Puisque le point O se trouve sur la médiatrice du segment AC, alors en vertu du théorème 1 l'égalité est vraie :

Puisque le point O se trouve sur la médiatrice du segment AB, alors en vertu du théorème 1 l'égalité suivante est vérifiée :

L’égalité est donc vraie :

d'où, en utilisant le théorème 2, nous concluons que le point O se trouve sur la médiatrice du segment BC.

Ainsi, les trois bissectrices perpendiculaires passent par le même point, comme cela doit être prouvé. N'importe quel triangle peut être entouré d'un cercle . Le centre d'un cercle circonscrit à un triangle est le point d'intersection de toutes les bissectrices perpendiculaires tracées sur les côtés du triangle.

Conséquence.

Preuve . Considérons le point O, où se coupent toutes les bissectrices tracées sur les côtés du triangle ABC (Fig. 6).

Lors de la démonstration du théorème 3, l’égalité suivante a été obtenue :

d'où il résulte qu'un cercle de centre au point O et de rayons OA, OB, OC passe par les trois sommets du triangle ABC, ce qui devait être prouvé.

Le sujet « Cercles inscrits et circonscrits dans des triangles » est l'un des plus difficiles du cours de géométrie. Elle passe très peu de temps en classe. Les problèmes géométriques de ce sujet sont inclus dans la deuxième partie de l'examen Travail d'examen d'État unifié par cours lycée . Pour mener à bien ces tâches, vous avez besoin de solides connaissances
Pour chaque triangle il n’y a qu’un seul cercle circonscrit. Il s'agit d'un cercle sur lequel se trouvent les trois sommets d'un triangle avec des paramètres donnés. Trouver son rayon peut être nécessaire non seulement dans une leçon de géométrie. Les concepteurs, les coupeurs, les mécaniciens et les représentants de nombreuses autres professions doivent constamment y faire face. Afin de trouver son rayon, vous devez connaître les paramètres du triangle et ses propriétés. Le centre du cercle circonscrit se trouve au point d’intersection des médiatrices du triangle.
Je porte à votre connaissance toutes les formules permettant de trouver le rayon d'un cercle circonscrit et pas seulement d'un triangle. Les formules pour le cercle inscrit peuvent être consultées.

une, b. Avec - côtés du triangle

α - angle opposéun,
S-aire d'un triangle,

p- demi-périmètre

Ensuite pour trouver le rayon ( R.) du cercle circonscrit en utilisant les formules :

À son tour, l'aire du triangle peut être calculée à l'aide de l'une des formules suivantes :

Voici quelques formules supplémentaires.

1. Le rayon du cercle circonscrit est d’environ triangle régulier. Si un côté du triangle alors

2. Le rayon du cercle circonscrit est d’environ triangle isocèle. Laisser une, b- les côtés du triangle, puis