Montrer que le système de vecteurs est linéairement indépendant. Vecteurs linéairement dépendants et linéairement indépendants

Le système vectoriel s'appelle linéairement dépendant, s'il existe des nombres parmi lesquels au moins un est différent de zéro, tels que l'égalité https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Si cette égalité n'est satisfaite que dans le cas où tout , alors le système de vecteurs est appelé linéairement indépendant.

Théorème. Le système vectoriel va linéairement dépendant si et seulement si au moins un de ses vecteurs est une combinaison linéaire des autres.

Exemple 1. Polynôme est une combinaison linéaire de polynômes https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Les polynômes constituent un système linéairement indépendant, puisque le polynôme https : //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Exemple 2. Le système matriciel, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> est linéairement indépendant, puisqu'une combinaison linéaire est égale au matrice nulle uniquement dans le cas où https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linéairement dépendant.

Solution.

Faisons une combinaison linéaire de ces vecteurs https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" hauteur=" 22">.

Coordonnées équivalentes du même nom vecteurs égaux, nous obtenons https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Finalement on obtient

Et

Le système a une solution triviale unique, donc une combinaison linéaire de ces vecteurs n'est égale à zéro que dans le cas où tous les coefficients sont égaux à zéro. C'est pourquoi ce système les vecteurs sont linéairement indépendants.

Exemple 4. Les vecteurs sont linéairement indépendants. À quoi ressembleront les systèmes vectoriels ?

un).;

b).?

Solution.

un). Faisons une combinaison linéaire et assimilons-la à zéro

En utilisant les propriétés des opérations avec des vecteurs dans l'espace linéaire, on réécrit la dernière égalité sous la forme

Puisque les vecteurs sont linéairement indépendants, les coefficients at doivent être égaux à zéro, c'est-à-dire.gif" width="12" height="23 src=">

Le système d’équations résultant a une solution triviale unique .

Depuis l'égalité (*) exécuté uniquement lorsque https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linéairement indépendant ;

b). Faisons une égalité https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

En appliquant un raisonnement similaire, on obtient

En résolvant le système d'équations par la méthode de Gauss, on obtient

ou

Ce dernier système a ensemble infini solutions https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Ainsi, il existe un ensemble non nul de coefficients pour lesquels l'égalité tient (**) . Donc le système de vecteurs – linéairement dépendant.

Exemple 5 Un système de vecteurs est linéairement indépendant et un système de vecteurs est linéairement dépendant..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Inégalité (***) . En effet, en , le système serait linéairement dépendant.

De la relation (***) on a ou Notons .

On a

Tâches pour décision indépendante(dans l'audience)

1. Un système contenant un vecteur nul est linéairement dépendant.

2. Système composé d'un vecteur UN, est linéairement dépendant si et seulement si, une=0.

3. Un système composé de deux vecteurs est linéairement dépendant si et seulement si les vecteurs sont proportionnels (c'est-à-dire que l'un d'eux est obtenu de l'autre en multipliant par un nombre).

4. Si k est linéaire système dépendant ajoutez un vecteur, vous obtenez un système linéairement dépendant.

5. Si un vecteur est supprimé d’un système linéairement indépendant, alors le système de vecteurs résultant est linéairement indépendant.

6. Si le système S est linéairement indépendant, mais devient linéairement dépendant lors de l'ajout d'un vecteur b, alors le vecteur b exprimé linéairement à travers les vecteurs système S.

c). Système de matrices , , dans l'espace des matrices du second ordre.

10. Laissez le système de vecteurs un,b,c espace vectoriel linéairement indépendant. Démontrer l'indépendance linéaire des systèmes vectoriels suivants :

un).un+b, b, c.

b).un+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– nombre arbitraire

c).un+b, a+c, b+c.

11. Laisser un,b,c– trois vecteurs sur le plan à partir desquels un triangle peut être formé. Ces vecteurs seront-ils linéairement dépendants ?

12. Deux vecteurs sont donnés une1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Ramassez-en deux autres vecteur en quatre dimensions a3 eta4 pour que le système a1,a2,a3,a4était linéairement indépendant .

Laisser L- arbitraire espace linéaire,un je Î L,- ses éléments (vecteurs).

Définition 3.3.1. Expression , Où , - arbitraire nombres réels, est appelé une combinaison linéaire vecteurs une 1 , une 2 ,…, une n.

Si le vecteur R. = , alors ils disent que R. décomposé en vecteurs une 1 , une 2 ,…, une n.

Définition 3.3.2. Une combinaison linéaire de vecteurs est appelée non trivial, si parmi les nombres il y en a au moins un non nul. Sinon, la combinaison linéaire s'appelle banal.

Définition 3.3.3 . Vecteurs une 1 , une 2 ,…, une n sont appelés linéairement dépendants s’il existe une combinaison linéaire non triviale d’entre eux telle que

= 0 .

Définition 3.3.4. Vecteurs une 1 ,une 2 ,…, une n sont dits linéairement indépendants si l'égalité = 0 n'est possible que dans le cas où tous les nombres je 1, je 2,…, l n sont simultanément égaux à zéro.

Notez que tout élément non nul a 1 peut être considéré comme un système linéairement indépendant, puisque l'égalité je un 1 = 0 possible seulement si je= 0.

Théorème 3.3.1. Nécessaire et condition suffisante dépendance linéaire une 1, une 2,…, une n est la possibilité de décomposer au moins un de ces éléments en le reste.

Preuve. Nécessité. Soit les éléments une 1 , une 2 ,…, une n linéairement dépendant. Cela signifie que = 0 , et au moins un des nombres je 1, je 2,…, l n différent de zéro. Laissez pour certitude je 1 ¹ 0. Alors

c'est-à-dire que l'élément a 1 est décomposé en éléments a 2 , a 3 , …, a n.

Adéquation. Soit l'élément a 1 décomposé en éléments a 2 , a 3 , …, a n, c'est-à-dire un 1 = . Alors = 0 , il existe donc une combinaison linéaire non triviale de vecteurs a 1 , a 2 ,…, a n, égal 0 , ils sont donc linéairement dépendants .

Théorème 3.3.2. Si au moins un des éléments a 1 , a 2 ,…, a n zéro, alors ces vecteurs sont linéairement dépendants.

Preuve . Laisser un n= 0 , alors = 0 , ce qui signifie la dépendance linéaire de ces éléments.

Théorème 3.3.3. Si parmi n vecteurs un p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Preuve. Soit, pour être précis, les éléments a 1 , a 2 ,…, a p linéairement dépendant. Cela signifie qu’il existe une combinaison linéaire non triviale telle que = 0 . L'égalité spécifiée sera préservée si nous ajoutons l'élément à ses deux parties. Alors + = 0 , et au moins un des nombres je 1, je 2,…, lp différent de zéro. Par conséquent, les vecteurs une 1 , une 2 ,…, une n sont linéairement dépendants.

Corollaire 3.3.1. Si n éléments sont linéairement indépendants, alors k chacun d’entre eux est linéairement indépendant (k< n).

Théorème 3.3.4. Si les vecteurs une 1 , une 2 ,…, une n- 1 sont linéairement indépendants, et les éléments une 1 , une 2 ,…, une n- 1, un n sont linéairement dépendants, alors le vecteur un n peut être développé en vecteurs une 1 , une 2 ,…, une n- 1 .

Preuve. Puisque par condition a 1 , a 2 ,…, un n- 1, un n sont linéairement dépendants, alors il existe une combinaison linéaire non triviale d'entre eux = 0 , et (sinon, les vecteurs une 1 , une 2 ,…, une s'avéreront linéairement dépendants n- 1). Mais alors le vecteur

,

Q.E.D.

Définition. Combinaison linéaire de vecteurs une 1 , ..., une n avec des coefficients x 1 , ..., x n est appelé un vecteur

x 1 une 1 + ... + x n une n .

banal, si tous les coefficients x 1, ..., x n sont égaux à zéro.

Définition. La combinaison linéaire x 1 a 1 + ... + x n a n est appelée non trivial, si au moins un des coefficients x 1, ..., x n n'est pas égal à zéro.

linéairement indépendant, s'il n'existe pas de combinaison non triviale de ces vecteurs égale au vecteur zéro.

C'est-à-dire que les vecteurs a 1, ..., an sont linéairement indépendants si x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 si et seulement si x 1 = 0, ..., x n = 0.

Définition. Les vecteurs a 1, ..., an sont appelés linéairement dépendant, s'il existe une combinaison non triviale de ces vecteurs égale au vecteur zéro.

Propriétés des vecteurs linéairement dépendants :

Pour les vecteurs à 2 et 3 dimensions.

Deux linéaires vecteurs dépendants- colinéaire. (Les vecteurs colinéaires sont linéairement dépendants.)

Pour les vecteurs tridimensionnels.

Trois vecteurs linéairement dépendants sont coplanaires. (Trois vecteurs coplanaires- linéairement dépendant.)

• Pour les vecteurs à n dimensions.

  n + 1 vecteurs sont toujours linéairement dépendants.

Exemples de problèmes sur la dépendance linéaire et l'indépendance linéaire des vecteurs :

Exemple 1. Vérifiez si les vecteurs a = (3 ; 4 ; 5), b = (-3 ; 0 ; 5), c = (4 ; 4 ; 4), d = (3 ; 4 ; 0) sont linéairement indépendants .

Solution:

Les vecteurs seront linéairement dépendants, puisque la dimension des vecteurs est inférieure au nombre de vecteurs.

Exemple 2. Vérifiez si les vecteurs a = (1 ; 1 ; 1), b = (1 ; 2 ; 0), c = (0 ; -1 ; 1) sont linéairement indépendants.

Solution:

soustrayez la deuxième de la première ligne ; ajoutez une deuxième ligne à la troisième ligne :

Cette solution montre que le système a de nombreuses solutions, c'est-à-dire qu'il existe une combinaison non nulle de valeurs de nombres x 1, x 2, x 3 telle que la combinaison linéaire des vecteurs a, b, c est égale à vecteur zéro, Par exemple:

A + b + c = 0

ce qui signifie que les vecteurs a, b, c sont linéairement dépendants.

Répondre: les vecteurs a, b, c sont linéairement dépendants.

Exemple 3. Vérifiez si les vecteurs a = (1 ; 1 ; 1), b = (1 ; 2 ; 0), c = (0 ; -1 ; 2) sont linéairement indépendants.

Solution: Trouvons les valeurs des coefficients pour lesquels la combinaison linéaire de ces vecteurs sera égale au vecteur zéro.

Ce équation vectorielle peut être écrit sous forme de système équations linéaires

Résolvons ce système en utilisant la méthode de Gauss

soustrayez la première de la deuxième ligne ; soustrayez la première de la troisième ligne :

soustrayez la deuxième de la première ligne ; ajoutez une seconde à la troisième ligne.

Présenté par nos soins opérations linéaires sur les vecteurs permettre de composer diverses expressions Pour quantités vectorielles et transformez-les en utilisant les propriétés définies pour ces opérations.

Sur la base d'un ensemble donné de vecteurs a 1, ..., an, vous pouvez créer une expression de la forme

où a 1, ... et n sont des nombres réels arbitraires. Cette expression s'appelle combinaison linéaire de vecteurs un 1, ..., un n. Les nombres α i, i = 1, n, représentent coefficients de combinaison linéaire. Un ensemble de vecteurs est également appelé système de vecteurs.

En relation avec le concept introduit de combinaison linéaire de vecteurs, le problème se pose de décrire un ensemble de vecteurs qui peut être écrit comme une combinaison linéaire d'un système de vecteurs donné a 1, ..., an. De plus, des questions naturelles se posent sur les conditions dans lesquelles il existe une représentation d'un vecteur sous la forme d'une combinaison linéaire, et sur le caractère unique d'une telle représentation.

Définition 2.1. Les vecteurs a 1, ... et n sont appelés linéairement dépendant, s'il existe un ensemble de coefficients α 1 , ... , α n tel que

α 1 une 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

et au moins un de ces coefficients est non nul. Si l'ensemble spécifié de coefficients n'existe pas, alors les vecteurs sont appelés linéairement indépendant.

Si α 1 = ... = α n = 0, alors, évidemment, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Dans cet esprit, on peut dire ceci : vecteurs a 1, ..., et n sont linéairement indépendants s'il résulte de l'égalité (2.2) que tous les coefficients α 1 , ... , α n sont égaux à zéro.

Le théorème suivant explique pourquoi le nouveau concept est appelé « dépendance » (ou « indépendance ») et fournit un critère simple pour la dépendance linéaire.

Théorème 2.1. Pour que les vecteurs a 1, ... et n, n > 1 soient linéairement dépendants, il faut et il suffit que l'un d'eux soit une combinaison linéaire des autres.

◄ Nécessité. Supposons que les vecteurs a 1, ... et n soient linéairement dépendants. D'après la définition 2.1 de la dépendance linéaire, dans l'égalité (2.2) à gauche il y a au moins un coefficient non nul, par exemple α 1. En laissant le premier terme du côté gauche de l’égalité, on déplace le reste vers côté droit, en changeant leurs signes, comme d'habitude. En divisant l'égalité résultante par α 1, on obtient

une 1 =-α 2 /α 1 ⋅ une 2 - ... - α n /α 1 ⋅ une n

ceux. représentation du vecteur a 1 comme une combinaison linéaire des vecteurs restants a 2, ..., a n.

Adéquation. Supposons, par exemple, que le premier vecteur a 1 puisse être représenté comme une combinaison linéaire des vecteurs restants : a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. En transférant tous les termes du côté droit vers la gauche, nous obtenons a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, c'est-à-dire une combinaison linéaire de vecteurs a 1, ..., an avec des coefficients α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, égal à vecteur nul. Dans cette combinaison linéaire, tous les coefficients ne sont pas nuls. Selon la définition 2.1, les vecteurs a 1, ... et n sont linéairement dépendants.

La définition et le critère de dépendance linéaire sont formulés pour impliquer la présence de deux vecteurs ou plus. Cependant, on peut aussi parler d'une dépendance linéaire d'un vecteur. Pour réaliser cette possibilité, au lieu de « les vecteurs sont linéairement dépendants », vous devez dire « le système de vecteurs est linéairement dépendant ». Il est facile de voir que l'expression « un système d'un vecteur est linéairement dépendant » signifie que ce seul vecteur est nul (dans une combinaison linéaire, il n'y a qu'un seul coefficient, et il ne doit pas être égal à zéro).

Le concept de dépendance linéaire a un simple interprétation géométrique. Les trois affirmations suivantes clarifient cette interprétation.

Théorème 2.2. Deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s'ils colinéaire.

◄ Si les vecteurs a et b sont linéairement dépendants, alors l'un d'eux, par exemple a, s'exprime à travers l'autre, c'est-à-dire a = λb pour un nombre réel λ. Selon la définition 1.7 travaux vecteurs par nombre, les vecteurs a et b sont colinéaires.

Soit maintenant les vecteurs a et b colinéaires. S’ils sont tous deux nuls, alors il est évident qu’ils sont linéairement dépendants, puisque toute combinaison linéaire d’entre eux est égale au vecteur zéro. Soit l'un de ces vecteurs non égal à 0, par exemple le vecteur b. Notons λ le rapport des longueurs des vecteurs : λ = |a|/|b|. Les vecteurs colinéaires peuvent être unidirectionnel ou dirigé à l'opposé. DANS ce dernier cas changeons le signe de λ. Ensuite, en vérifiant la définition 1.7, nous sommes convaincus que a = λb. D’après le théorème 2.1, les vecteurs a et b sont linéairement dépendants.

Remarque 2.1. Dans le cas de deux vecteurs, compte tenu du critère de dépendance linéaire, le théorème prouvé peut être reformulé ainsi : deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l'un d'eux est représenté comme le produit de l'autre par un nombre. C'est un critère pratique pour la colinéarité de deux vecteurs.

Théorème 2.3. Trois vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s'ils coplanaire.

◄ Si trois vecteurs a, b, c sont linéairement dépendants, alors, d'après le théorème 2.1, l'un d'eux, par exemple a, est une combinaison linéaire des autres : a = βb + γс. Combinons les origines des vecteurs b et c au point A. Alors les vecteurs βb, γс auront une origine commune au point A et le long de selon la règle du parallélogramme, leur somme est ceux. le vecteur a sera un vecteur d'origine A et la fin, qui est le sommet d'un parallélogramme construit sur des vecteurs composants. Ainsi, tous les vecteurs se trouvent dans le même plan, c’est-à-dire coplanaire.

Soit les vecteurs a, b, c coplanaires. Si l’un de ces vecteurs est nul, alors il est évident qu’il s’agira d’une combinaison linéaire des autres. Il suffit de prendre tous les coefficients de la combinaison linéaire égal à zéro. On peut donc supposer que les trois vecteurs ne sont pas nuls. Compatible commencé ces vecteurs dans point commun O. Que leurs extrémités soient respectivement les points A, B, C (Fig. 2.1). Par le point C on trace des droites parallèles aux droites passant par des paires de points O, A et O, B. En désignant les points d'intersection comme A" et B", on obtient un parallélogramme OA"CB", donc OC" = OA" + OB". Le vecteur OA" et le vecteur non nul a = OA sont colinéaires, et donc le premier d'entre eux peut être obtenu en multipliant le second par nombre réelα:OA" = αOA. De même, OB" = βOB, β ∈ R. En conséquence, nous obtenons que OC" = α OA + βOB, c'est-à-dire que le vecteur c est une combinaison linéaire des vecteurs a et b. D'après le théorème 2.1 , les vecteurs a , b, c sont linéairement dépendants.

Théorème 2.4. Quatre vecteurs quelconques sont linéairement dépendants.

◄ Nous effectuons la preuve selon le même schéma que dans le théorème 2.3. Considérons quatre vecteurs arbitraires a, b, c et d. Si l'un des quatre vecteurs est nul, ou parmi eux il y a deux vecteurs colinéaires, ou si trois des quatre vecteurs sont coplanaires, alors ces quatre vecteurs sont linéairement dépendants. Par exemple, si les vecteurs a et b sont colinéaires, alors nous pouvons faire leur combinaison linéaire αa + βb = 0 avec des coefficients non nuls, puis ajouter les deux vecteurs restants à cette combinaison, en prenant des zéros comme coefficients. On obtient une combinaison linéaire de quatre vecteurs égaux à 0, dans laquelle se trouvent des coefficients non nuls.

Ainsi, nous pouvons supposer que parmi les quatre vecteurs sélectionnés, aucun vecteur n’est nul, aucun n’est colinéaire et aucun n’est trois coplanaire. Choisissons-les comme début commun point O. Alors les extrémités des vecteurs a, b, c, d seront quelques points A, B, C, D (Fig. 2.2). Par le point D on trace trois plans, parallèle aux plans OBC, OCA, OAB, et soit A", B", C" les points d'intersection de ces plans avec les droites OA, OB, OS, respectivement. On obtient le parallélépipède OA"C"B"C"B"DA ", et les vecteurs a, b, c se trouvent sur ses arêtes émergeant du sommet O. Puisque le quadrilatère OC"DC" est un parallélogramme, alors OD = OC" + OC" . À son tour, le segment OC" est une diagonale de le parallélogramme OA"C"B", donc. que OC" = OA" + OB" et OD = OA" + OB" + OC" .

Il reste à noter que les couples de vecteurs OA ≠ 0 et OA" , OB ≠ 0 et OB" , OC ≠ 0 et OC" sont colinéaires, et il est donc possible de sélectionner les coefficients α, β, γ tels que OA" = αOA , OB" = βOB et OC" = γOC. On obtient finalement OD = αOA + βOB + γOC. Par conséquent, le vecteur OD est exprimé à travers les trois autres vecteurs, et les quatre vecteurs, selon le théorème 2.1, sont linéairement dépendants.

Tache 1. Découvrez si le système de vecteurs est linéairement indépendant. Le système de vecteurs sera précisé par la matrice du système dont les colonnes sont constituées des coordonnées des vecteurs.

.

Solution. Soit la combinaison linéaire égal à zéro. En écrivant cette égalité en coordonnées, on obtient le système suivantéquations :

.

Un tel système d'équations est appelé triangulaire. Elle a seule décision . Donc les vecteurs linéairement indépendant.

Tâche 2. Découvrez si le système de vecteurs est linéairement indépendant.

.

Solution. Vecteurs sont linéairement indépendants (voir problème 1). Montrons que le vecteur est une combinaison linéaire de vecteurs . Coefficients de dilatation vectorielle sont déterminés à partir du système d’équations

.

Ce système, comme un système triangulaire, a une solution unique.

Donc le système de vecteurs linéairement dépendant.

Commentaire. Les matrices du même type que dans le problème 1 sont appelées triangulaire , et dans le problème 2 – triangulaire à gradins . La question de la dépendance linéaire d'un système de vecteurs est facilement résolue si la matrice composée des coordonnées de ces vecteurs est triangulaire à échelons. Si la matrice n'a pas type spécial, puis en utilisant conversions de chaînes élémentaires , en préservant les relations linéaires entre les colonnes, il peut être réduit à une forme triangulaire en escalier.

Transformations élémentaires lignes matrices (EPS) les opérations suivantes sur une matrice sont appelées :

1) réarrangement des lignes ;

2) multiplier une chaîne par un nombre non nul ;

3) ajouter une autre chaîne à une chaîne, multipliée par un nombre arbitraire.

Tâche 3. Trouver le maximum linéairement sous-système indépendant et calculer le rang du système vectoriel

.

Solution. Réduisons la matrice du système utilisant EPS à une forme triangulaire par étapes. Pour expliquer la procédure, on note la ligne avec le numéro de la matrice à transformer par le symbole . La colonne après la flèche indique les actions sur les lignes de la matrice en cours de conversion qui doivent être effectuées pour obtenir les lignes de la nouvelle matrice.

.

Évidemment, les deux premières colonnes de la matrice résultante sont linéairement indépendantes, la troisième colonne est leur combinaison linéaire et la quatrième ne dépend pas des deux premières. Vecteurs sont appelés basiques. Ils forment un sous-système maximal linéairement indépendant du système , et le rang du système est trois.

Base, coordonnées

Tâche 4. Trouver la base et les coordonnées des vecteurs dans cette base sur l'ensemble vecteurs géométriques, dont les coordonnées satisfont à la condition .

Solution. L'ensemble est un plan passant par l'origine. Une base arbitraire sur un plan est constituée de deux vecteurs non colinéaires. Les coordonnées des vecteurs dans la base sélectionnée sont déterminées en résolvant le système d'équations linéaires correspondant.

Il existe une autre façon de résoudre ce problème, lorsque vous pouvez trouver la base à l'aide des coordonnées.

Coordonnées les espaces ne sont pas des coordonnées sur le plan, puisqu'ils sont liés par la relation , c'est-à-dire qu'ils ne sont pas indépendants. Les variables indépendantes et (appelées libres) définissent de manière unique un vecteur sur le plan et, par conséquent, elles peuvent être choisies comme coordonnées dans . Puis la base se compose de vecteurs appartenant et correspondant à des ensembles de variables libres Et , c'est .

Tâche 5. Trouvez la base et les coordonnées des vecteurs de cette base sur l'ensemble de tous les vecteurs de l'espace dont les coordonnées impaires sont égales entre elles.

Solution. Choisissons comme dans tâche précédente, coordonnées dans l'espace.

Parce que , puis variables libres déterminent de manière unique le vecteur à partir duquel et sont donc des coordonnées. La base correspondante est constituée de vecteurs.

Tâche 6. Trouver la base et les coordonnées des vecteurs de cette base sur l'ensemble de toutes les matrices de la forme , Où – des nombres arbitraires.

Solution. Chaque matrice de est représentable de manière unique sous la forme :

Cette relation est le développement du vecteur par rapport à la base
avec coordonnées .

Tâche 7. Trouver la dimension et la base coque linéaire systèmes vectoriels

.

Solution.À l'aide de l'EPS, nous transformons la matrice des coordonnées des vecteurs du système en une forme triangulaire par étapes.

.

Colonnes les dernières matrices sont linéairement indépendantes, et les colonnes exprimé linéairement à travers eux. Donc les vecteurs former une base , Et .

Commentaire. Base en est choisi de manière ambiguë. Par exemple, les vecteurs constituent également une base .