Dimension fractale du littoral. Le paradoxe du littoral

Lorsque vous étudiez la géographie, n'oubliez pas, bien sûr, que chaque pays a sa propre superficie et sa propre longueur de frontière. En particulier, si un pays est baigné par une mer ou un océan, il a alors une frontière maritime d'une certaine longueur. Vous êtes-vous déjà demandé comment cette longueur de frontière est déterminée ? En 1977, le mathématicien américain Benoit Mandelbrot s'est fixé prochaine question: Quelle est la longueur du littoral britannique ? Il s’est avéré qu’il était impossible de répondre correctement à cette « question enfantine ». En 1988, le scientifique norvégien Jens Feder a décidé de déterminer la longueur du littoral norvégien. Veuillez noter que la côte norvégienne est fortement découpée par des fjords. D'autres scientifiques se sont posés des questions similaires sur la longueur des côtes australiennes, Afrique du Sud, Allemagne, Portugal et autres pays.

Nous ne pouvons mesurer la longueur du littoral qu’approximativement. À mesure que nous effectuons un zoom arrière, nous devons mesurer de plus en plus de petits promontoires et de petites baies - la longueur du littoral augmente, et il n'y a tout simplement aucune limite objective à la réduction de l'échelle (et donc à l'augmentation de la longueur du littoral) ; nous devons admettre que cette ligne a longueur infinie. Nous savons que la dimension d’une ligne droite est un, la dimension d’un carré est deux et la dimension d’un cube est trois. Mandelbrot a proposé d'utiliser des dimensions fractionnaires - dimensions Hausdorff - Besicovich - pour mesurer des courbes « monstrueuses ». Les courbes sans fin brisées comme un littoral ne sont pas tout à fait des lignes. Ils semblent « balayer » une partie de l’avion, comme une surface. Mais ce ne sont pas non plus des surfaces. Cela signifie qu'il est raisonnable de supposer que leur dimension est supérieure à un, mais également inférieure à deux, c'est-à-dire qu'il s'agit d'objets de dimension fractionnaire.

Le scientifique norvégien E. Feder a proposé une autre façon de mesurer la longueur du littoral. La carte était recouverte d'une grille carrée dont les cellules ont des dimensions e? cellules carrées N(e) couvrant le littoral sur la carte) serait inversement proportionnel à e, et la valeur Ln (e)=N(e) ?

e tendrait à devenir constant à mesure que k diminue. Malheureusement, les calculs effectués par de nombreux scientifiques ont montré que cela n'est pas entièrement vrai. À mesure que la hauteur diminue, la longueur mesurée augmente. Il s'est avéré que la relation entre la longueur mesurée L(e) et le pas e peut être décrite par la relation approximative Le coefficient D est appelé dimension fractale. Le mot fractale vient de mot latin

fractal - fractionnaire, non entier. Un ensemble est dit fractal s’il a une dimension non entière. Pour la Norvège D=1,52 et pour la Grande-Bretagne D=1,3. Ainsi, le littoral de la Norvège et de la Grande-Bretagne est une fractale de dimension fractale D. Des calculs ont également été effectués pour un cercle, et la dimension fractale du cercle est D=1, comme on pouvait s'y attendre. Ainsi, la dimension fractale est une généralisation de la dimension ordinaire.

Comment comprendre cela et qu’est-ce que cela pourrait signifier ? Les mathématiciens ont commencé à se rappeler si quelque chose de semblable avait déjà existé en mathématiques ou non ? Et ils se sont souvenus ! Considérons une partie d'une certaine ligne AB sur le plan (Fig. 3). Prenons un carré d'arête e et demandons-nous : combien de carrés N(e) d'arête e sont nécessaires pour couvrir la ligne AB avec de tels carrés ? On voit que N(e) est proportionnel

De même, si une zone limitée fermée sur un plan (Fig. 4) est recouverte d'une grille carrée de côté e, alors le nombre minimum de carrés de côté e couvrant la surface sera égal à

Si nous considérons une région fermée et délimitée dans un espace tridimensionnel et prenons un cube d'arête e, alors le nombre de cubes remplissant cette région est Déterminons la dimension fractale en fonction de ce qui a été indiqué ci-dessus dans cas général

comme suit:

Prenons le logarithme des côtés gauche et droit

En passant à la limite lorsque e tend vers zéro (N tend vers l'infini), on obtient

Cette égalité est la définition de la dimension, qui est notée d. Avant de nous familiariser avec le premier type de fractales - à savoir les courbes dont la dimension fractale dépasse 1 - considérons une section typique d'un rivage. Bien entendu, sa longueur ne peut être inférieure à la distance en ligne droite entre son point de départ et son point d’arrivée. Cependant, en règle générale, les côtes ont forme irrégulière

Il existe de nombreuses façons d’estimer plus précisément la longueur d’un littoral et, dans ce chapitre, nous en analyserons quelques-unes. En fin de compte, nous arriverons à une conclusion très remarquable : la longueur du littoral est une notion très glissante, et vous ne pouvez pas la saisir à mains nues. Quelle que soit la méthode de mesure utilisée, le résultat est toujours le même : la longueur d'un littoral typique est très longue et si mal définie qu'il est plus commode de la considérer comme infinie. Par conséquent, si quelqu'un décide de comparer différentes rives du point de vue de leur longueur, il devra trouver quelque chose pour remplacer la notion de longueur, qui ce cas sans objet.

Dans ce chapitre, nous commencerons la recherche d'un remplaçant approprié, et au cours du processus de recherche, nous ne pouvons éviter de nous familiariser avec diverses formes concepts fractals de dimension, de mesure et de courbe.

MÉTHODES ALTERNATIVES DE MESURE

Méthode A. Régleons l'ouverture de la boussole de mesure sur une certaine longueur donnée, que nous appelons la longueur du pas, et marchons avec cette boussole le long du littoral qui nous intéresse, en commençant chaque nouveau pas au point où se terminait le précédent. Le nombre de pas multiplié par la longueur e nous donnera la longueur approximative de la berge. Nous savons depuis l'école que si nous répétons cette opération, en réduisant à chaque fois l'ouverture de la boussole, nous pouvons alors nous attendre à ce que la valeur se précipite rapidement vers une valeur très spécifique, appelée la vraie longueur. Cependant, ce qui se passe réellement ne correspond pas à nos attentes. Dans un cas typique, la longueur observée tend à augmenter sans limite.

La raison de ce comportement est évidente : si vous regardez une péninsule ou une baie sur des cartes à l'échelle 1/100 000 et 1/10 000, alors dernière carte on distingue clairement des péninsules et des baies plus petites qui n'étaient pas visibles sur la première. Une carte de la même zone, réalisée à l'échelle 1/1000, nous montrera des péninsules et des criques encore plus petites, et ainsi de suite. Chaque nouveau détail augmente la longueur totale de la banque.

La procédure ci-dessus suppose que le littoral est de forme trop irrégulière pour que sa longueur puisse être directement représentée comme la somme des longueurs de courbes géométriques simples, dont les longueurs peuvent être trouvées dans des ouvrages de référence. C'est, Méthode A remplace le littoral par une séquence lignes brisées, composé de sections droites dont on peut déterminer la longueur.

Méthode B. Le même « lissage » peut être obtenu par d’autres moyens. Imaginez une personne marchant le long du rivage par le chemin le plus court, dont la trajectoire ne s'écarte jamais de l'eau plus loin que distance spécifiée. Ayant atteint le point final, il revient en arrière, réduisant légèrement la valeur. Puis encore et encore, jusqu'à ce que finalement la valeur atteigne, disons, 50 cm. Il n'est pas possible de la réduire davantage, car la personne est trop grande et maladroite pour pouvoir tracer une trajectoire plus détaillée. On me objectera peut-être que ces petits détails inaccessibles, d'une part, n'ont aucun intérêt immédiat pour l'homme, et d'autre part, sont sujets à des changements si importants selon la période de l'année et la hauteur de la marée que leur enregistrement détaillé perd généralement tout sens. Nous examinerons la première de ces objections plus loin dans ce chapitre. Quant à la deuxième objection, elle peut être neutralisée en se limitant à considérer un rivage rocheux à marée basse et en eau calme. En principe, une personne peut tracer des courbes approximatives plus détaillées en appelant une souris pour l'aider, puis une fourmi, et ainsi de suite. Et encore, à mesure que notre promeneur suit un chemin de plus en plus proche de l’eau, la distance qu’il doit parcourir augmente indéfiniment.

Méthode C. La méthode B implique une certaine asymétrie entre l’eau et le rivage. Afin d'éviter cette asymétrie, Kantor a proposé de visualiser le littoral comme à travers une lentille défocalisée, de sorte que chaque point se transforme en une tache ronde de rayon . En d’autres termes, Cantor considère que tous les points – sur terre comme sur l’eau – dont la distance jusqu’au littoral lui-même ne dépasse pas . Ces pointes forment une sorte de boudin ou de ruban de largeur (un exemple d'un tel « boudin » - bien que dans un contexte différent - est montré sur la Fig. 56). Mesurons la surface de la bande résultante et divisons-la par. Si le littoral était droit, alors le ruban serait un rectangle et la valeur trouvée de la manière décrite ci-dessus s'avérerait être la longueur réelle de la côte. Lorsqu'il s'agit de côtes réelles, on obtient une estimation approximative de la longueur , qui augmente sans limite à mesure que .

MéthodeD. Imaginez une carte réalisée à la manière des artistes pointillistes, c'est-à-dire où les continents et les océans sont représentés par des points ronds colorés de rayon . Au lieu de considérer les centres des spots comme des points appartenant au trait de côte, comme dans la méthode C, on exigera que le nombre de spots cachant complètement la ligne soit le plus petit. En conséquence, les endroits proches des caps se trouveront principalement sur terre, tandis qu’à proximité des baies, ils se trouveront dans la mer. Une estimation de la longueur du littoral sera ici le résultat de la division de la superficie couverte par les spots par . Le « comportement » de cette évaluation laisse également beaucoup à désirer.

ALÉATOIRE DES RÉSULTATS DE MESURE

En résumant la section précédente, nous notons que le résultat de l’utilisation de l’une des quatre méthodes est toujours le même. À mesure que e diminue, la longueur approximative de la courbe tend vers l’infini.

Afin de bien comprendre la signification de ce fait, effectuons une mesure similaire de la longueur de n’importe quelle courbe euclidienne ordinaire. Par exemple, sur un segment de ligne droite, les données de mesure estimées approximatives coïncident fondamentalement et déterminent la longueur requise. Dans le cas d'un cercle valeur approximative la longueur augmente, mais se précipite assez rapidement vers une certaine limite spécifique. Les courbes dont la longueur peut être ainsi déterminée sont dites rectifiables.

Il est encore plus instructif d'essayer de mesurer la longueur de certaines côtes domestiquées par l'homme, par exemple la côte près de Chelsea telle qu'elle apparaît aujourd'hui. Puisque les gens laissent encore de très grands plis du terrain inchangés, nous allons installer une très grande solution sur notre boussole et la réduire progressivement. Comme on pouvait s’y attendre, la longueur du littoral va augmenter.

Cependant, il en existe un fonctionnalité intéressante: avec une réduction supplémentaire, on se retrouve inévitablement dans une certaine zone intermédiaire, où la longueur reste quasiment inchangée. Cette zone s'étend d'environ 20 m à 20 cm (très environ). Lorsqu'elle devient inférieure à 20 cm, la longueur recommence à augmenter - désormais, les pierres individuelles influencent le résultat de la mesure. Ainsi, si vous tracez un graphique de l'évolution de la valeur en fonction de , vous y trouverez sans aucun doute une zone plane avec des valeurs de e comprises entre 20 m et 20 cm - sur des graphiques similaires pour les côtes naturelles « sauvages », de telles zones plates ne sont pas observées.

Il est évident que les mesures effectuées dans cette zone plane ont une énorme valeur pratique. Puisque les frontières entre les différents disciplines scientifiques sont principalement le résultat d'un accord entre scientifiques sur la division du travail, on peut par exemple transférer tous les phénomènes dont l'échelle dépasse 20 m, c'est-à-dire ceux que l'homme n'a pas encore atteint, au département de géographie. Une telle limitation nous donnera une longueur géographique bien précise. Garde côtière peut utiliser avec succès la même valeur pour travailler avec des rivages « sauvages », et les encyclopédies et les almanachs indiqueront à chacun la longueur correspondante.

D’un autre côté, il m’est difficile d’imaginer que toutes les agences gouvernementales intéressées, même d’un seul pays, se mettront d’accord entre elles pour utiliser un sens unique, et son adoption par tous les pays du monde est totalement impossible à imaginer. Richardson donne cet exemple : les encyclopédies espagnoles et portugaises donnent des longueurs différentes frontière terrestre entre ces pays, avec une différence de 20% (il en va de même pour la frontière entre la Belgique et les Pays-Bas). Cet écart doit s’expliquer en partie par des choix différents. Les preuves empiriques, dont nous parlerons bientôt, montrent que pour qu'une telle différence se produise, il suffit qu'une valeur diffère d'une autre d'un facteur deux seulement ; Il n’est d’ailleurs pas surprenant qu’un petit pays (le Portugal) mesure plus soigneusement la longueur de ses frontières que son grand voisin.

Le deuxième argument, le plus significatif, contre le choix arbitraire est de nature philosophique et scientifique générale. La nature existe indépendamment de l'homme, et quiconque accorde trop d'importance à une signification ou à une signification particulière suppose que le maillon déterminant dans le processus de compréhension de la nature est l'homme avec ses normes généralement acceptées ou ses moyens techniques très changeants. Si les littoraux doivent un jour devenir des objets recherche scientifique, il est peu probable que l’on puisse légiférer pour interdire l’incertitude constatée sur leurs longueurs. Quoi qu’il en soit, la notion de longueur géographique n’est pas aussi anodine qu’il y paraît à première vue. Ce n'est pas tout à fait « objectif », car lors de la détermination de la longueur de cette manière, l'influence de l'observateur est inévitable.

RECONNAISSANCE ET IMPORTANCE DES RÉSULTATS ARBITRAIRES DES MESURES

Sans aucun doute, beaucoup de gens pensent que les lignes de côte sont des courbes irréductibles, et d'ailleurs je ne me souviens pas que quelqu'un ait pensé le contraire. Cependant, ma recherche de preuves écrites en faveur de cette opinion a été presque totalement infructueuse. Outre les citations de Perrin données dans le deuxième chapitre, on trouve aussi cette observation dans l'article de Steinhaus : « En mesurant la longueur de la rive gauche de la Vistule avec une précision croissante, on peut obtenir des valeurs en dizaines, en centaines et même en milliers. de fois supérieur à ce que donne la carte scolaire.. L'affirmation suivante semble très proche de la réalité : la plupart des arcs trouvés dans la nature ne sont pas rectifiables. Cette affirmation contredit la croyance populaire, qui se résume au fait que les arcs non rectifiables sont une fiction mathématique et que dans la nature, tous les arcs sont rectifiables. De ces deux affirmations contradictoires, la première devrait apparemment être considérée comme vraie. Cependant, ni Perrin ni Steinhaus n’ont pris la peine de développer leurs hypothèses plus en détail et de les amener à leur conclusion logique.

K. Fadiman raconte une histoire intéressante. Son ami Edward Kasner a mené cette expérience à plusieurs reprises : il « a demandé à de petits enfants quelle était, selon eux, la longueur totale de la côte des États-Unis. Après qu'un des enfants ait exprimé une hypothèse assez « raisonnable »,... Kasner... les a invités à réfléchir à la mesure dans laquelle ce chiffre pourrait être augmenté s'ils mesuraient très soigneusement le périmètre de tous les caps et baies, puis traçaient tout aussi soigneusement des caps et des criques plus petits dans chacun de ces caps et dans chacune de ces baies, puis mesurez chaque caillou et chaque grain de sable qui compose le littoral, chaque molécule, chaque atome, etc. Il s'est avéré que le rivage pouvait être aussi long que tu aimes. Les enfants l’ont tout de suite compris, mais Kasner avait des problèmes avec les adultes.» L’histoire est bien sûr très sympa, mais il est peu probable qu’elle ait quelque chose à voir avec ma recherche. Kasner n’a clairement pas cherché à mettre en évidence un aspect de la réalité méritant une étude plus approfondie.

Ainsi, on peut dire que l'article et le livre que vous tenez entre vos mains représentent essentiellement les premiers ouvrages consacrés à ce sujet.

Dans son livre The Will to Believe1, William James écrit : « Ce qui n'entre pas dans le cadre d'une classification... est toujours un champ riche de grandes découvertes. Dans toute science, autour de faits généralement acceptés et ordonnés, tourne toujours un nuage poussiéreux d'exceptions aux règles - des phénomènes subtils, incohérents, rarement rencontrés, des phénomènes plus faciles à ignorer qu'à considérer. Chaque science s'efforce de parfait état un système fermé et strict de vérités... Les phénomènes qui ne peuvent être classés au sein du système sont considérés comme des absurdités paradoxales et ne sont évidemment pas vrais. Ils sont négligés et rejetés sur la base des meilleures intentions de la conscience scientifique... Quiconque étudie sérieusement les phénomènes irréguliers sera capable de créer nouvelle science sur les fondations de l'ancienne. À la fin de ce processus, les règles de la science actualisée deviendront, pour la plupart, les exceptions d’hier. »

Le présent essai, dont le modeste but est un renouvellement complet de la géométrie de la Nature, décrit des phénomènes si inclassables qu'il n'est possible d'en parler qu'avec l'autorisation du censeur. Vous rencontrerez le premier de ces phénomènes dans la section suivante.

EFFET RICHARDSON

Une étude empirique du changement de longueur approximative obtenue à l'aide de la méthode A est décrite dans l'article de Richardson, dont le lien vers lequel, par hasard (ou fatidique), est tombé sous mon œil. Je n'y ai prêté attention que parce que j'avais beaucoup entendu parler de Lewis Fry Richardson comme d'un scientifique exceptionnel dont l'originalité de pensée s'apparentait à l'excentricité (voir chapitre 40). Comme nous le verrons au chapitre 10, l'humanité doit certaines de ses idées les plus profondes et les plus durables concernant la nature des turbulences : attention particulière Parmi eux, celui qui mérite est celui selon lequel la turbulence présuppose l’émergence d’une cascade auto-similaire. Il a également travaillé sur d'autres problèmes complexes- comme par exemple la nature des conflits armés entre États. Ses expériences étaient des exemples de simplicité classique, mais il n'hésitait pas à utiliser des concepts plus sophistiqués lorsque le besoin s'en faisait sentir.

Montré sur la Fig. 57 graphiques, découverts après la mort de Richardson parmi ses papiers, ont été publiés dans le livre presque secret (et totalement inapproprié pour de telles publications) « Yearbook on systèmes communs" Après avoir examiné ces graphiques, nous arrivons à la conclusion qu'il existe deux constantes (appelons-les et ) - telles que pour déterminer la longueur du littoral en construisant une ligne brisée s'en rapprochant, il faut prendre approximativement des intervalles de longueur et écrire la formule suivante :

La valeur de l'indicateur dépend apparemment de la nature du littoral mesuré, et différentes sections de cette ligne, considérées séparément, peuvent donner des valeurs différentes. Pour Richardson, la magnitude n’était qu’un indicateur pratique sans signification particulière. Cependant, la valeur de cet indicateur ne semble pas dépendre de la méthode choisie pour estimer la longueur du littoral. Cela signifie qu'il mérite la plus grande attention.

DIMENSION FRACTALE DU LITTORAL

Après avoir étudié le travail de Richardson, j'ai suggéré que même si l'exposant n'est pas un nombre entier, il peut et doit être compris comme une dimension - plus précisément comme une dimension fractale. Bien entendu, j'étais pleinement conscient que toutes les méthodes de mesure ci-dessus sont basées sur des définitions généralisées non standard de la dimension, déjà utilisées en mathématiques pures. Détermination de la longueur basée sur la couverture du littoral le plus petit nombre points de rayon, utilisés pour déterminer la dimension du revêtement. La détermination de la longueur, basée sur le recouvrement du littoral avec un ruban de largeur , incarne l'idée de Cantor et Minkowski (voir Fig. 56), et nous devons la dimension correspondante à Buligan. Cependant, ces deux exemples ne font que suggérer l’existence de nombreuses dimensions (dont la plupart ne sont connues que de quelques spécialistes) qui brillent dans divers domaines hautement spécialisés des mathématiques. Nous aborderons certaines de ces dimensions plus en détail au chapitre 39.

Pourquoi les mathématiciens ont-ils dû introduire cette abondance de dimensions différentes ? Alors quoi dans certains cas ils acceptent différentes significations. Heureusement, vous ne rencontrerez pas de tels cas dans cet essai, c’est pourquoi une liste de dimensions alternatives possibles peut être trouvée ici. bonne conscience réduire à deux, que je n'ai cependant pas encore mentionnés. La dimension la plus ancienne et la plus étudiée de notre liste remonte à Hausdorff et sert à définir la dimension fractale - nous y reviendrons très prochainement. La deuxième dimension, plus simple, est appelée dimension de similarité : ce n'est pas la même chose. caractère général Cependant, en tant que première dimension, elle s'avère plus que adéquate dans de nombreux cas - nous l'examinerons dans le chapitre suivant.

Bien sûr, je ne vais pas donner ici preuve mathématique que l'exposant de Richardson est une dimension. Pour être honnête, je ne peux pas imaginer comment une telle preuve peut être réalisée dans le cadre d’un quelconque sciences naturelles. Je veux juste attirer l'attention du lecteur sur le fait que la notion de longueur nous pose un problème conceptuel, et l'indicateur apporte une solution pratique et élégante. Maintenant que la dimension fractale a pris sa place dans l'étude des littoraux, il est peu probable que nous souhaitions, pour des raisons particulières, revenir à cette époque où nous croyions inconsidérément et naïvement. Celui qui croit encore devra désormais essayer s’il veut prouver qu’il a raison.

L'étape suivante – expliquer la forme des côtes et déduire leur signification à partir d'autres considérations plus fondamentales – je propose de la reporter au chapitre 28. À ce stade, il suffit de dire que, en première approximation, . Cette valeur est trop grande pour décrire avec précision les faits, mais elle suffit amplement pour dire qu'il est possible, devrait et naturel de croire que la dimension du trait de côte dépasse la valeur euclidienne habituelle de la courbe.

DIMENSION FRACTALE DE HAUSDORFF

Si l’on admet que les différentes côtes naturelles ont une longueur infinie et que la valeur de la longueur basée sur la valeur anthropométrique ne donne qu’une idée partielle de la situation réelle, alors comment comparer les différentes côtes entre elles ? Puisque l’infini n’est pas différent de l’infini multiplié par quatre, à quoi cela nous servirait-il de dire que la longueur d’une rive est quatre fois plus grande que la longueur de n’importe lequel de ses quartiers ? Requis meilleure façon pour exprimer l'idée tout à fait raisonnable qu'une courbe doit avoir une certaine « mesure », et cette mesure pour la courbe entière doit être quatre fois supérieure à la même mesure pour n'importe lequel de ses quartiers.

Une méthode extrêmement ingénieuse pour atteindre cet objectif a été proposée par Felix Hausdorff. Sa méthode est basée sur le fait que la mesure linéaire d'un polygone est calculée en additionnant les longueurs de ses côtés sans aucune transformation. On peut supposer que ces longueurs de côtés sont élevées à une puissance égale à la dimension euclidienne de la droite (la raison de cette hypothèse deviendra bientôt évidente). La mesure de la surface de la région interne d'un polygone fermé est calculée de la même manière - en la recouvrant de carrés, en trouvant la somme des longueurs des côtés de ces carrés et en l'élevant à une puissance (dimension euclidienne du plan ). Si nous utilisons le « mauvais » degré dans les calculs, alors le résultat de ces calculs ne nous donnera aucun résultat. informations utiles: l'aire de tout polygone fermé sera égal à zéro, et la longueur de sa région interne sera infinie.

Considérons à partir de telles positions une approximation polygonale (linéaire par morceaux) d'un littoral composé de petits intervalles de longueur . En élevant la longueur de l'intervalle à une puissance et en la multipliant par le nombre d'intervalles, nous obtenons une certaine valeur que l'on peut provisoirement appeler « longueur approximative en dimension ». Puisque, selon Richardson, le nombre de côtés est égal, notre étendue approximative prend la valeur .. Autrement dit, l'étendue approximative du littoral présente un comportement prudent si et seulement si .

LA DIMENSION FRACTALE D'UNE COURBE PEUT ÊTRE SUPÉRIEURE À L'UNITÉ ; COURBES FRACTALES

Comme prévu par son créateur, la dimension Hausdorff conserve les fonctions d'une dimension ordinaire et sert d'exposant pour déterminer la mesure.

Cependant, d'un autre côté, la dimension est très inhabituelle - elle s'exprime nombre fractionnaire! De plus, elle est supérieure à l'unité, qui est la dimension « naturelle » des courbes (il peut être strictement prouvé que leur dimension topologique est également égale à l'unité).

Je propose d'appeler les courbes dont la dimension fractale dépasse leur dimension topologique 1 courbes fractales. En guise de bref résumé de ce chapitre, je peux proposer déclaration suivante: Aux échelles géographiques, les littoraux peuvent être modélisés à l'aide de courbes fractales. Les littoraux ont une structure fractale.

Riz. 55. ARBRE SINGE

A ce stade, ce petit dessin doit être considéré simplement comme un élément décoratif, il ne fait que remplir un espace vide.

Cependant, après avoir lu le chapitre 14, le lecteur pourra trouver ici un indice pour résoudre l’énigme « architecturale » de la Fig. 210. Un indice plus sérieux est fourni par le générateur ci-dessous :

Si un mathématicien a besoin d'« apprivoiser » une courbe particulièrement irrégulière, il peut utiliser la procédure standard suivante : une certaine valeur est sélectionnée et un cercle de rayon est construit autour de chaque point de la courbe. Ce procédé, qui remonte au moins à Hermann Minkowski, et même à Georg Cantor lui-même, est un peu rudimentaire, mais très efficace. (Quant au terme saucisse, son origine, selon des rumeurs non vérifiées, est en quelque sorte liée à l'application par Norbert Wiener de cette procédure aux courbes browniennes.)

Dans les illustrations publiées ici, le lissage décrit ci-dessus est appliqué non pas à des rivages réels, mais à une courbe théorique, que nous construirons un peu plus tard (voir Fig. 79) en ajoutant constamment des détails de plus en plus fins. En comparant le morceau de saucisse montré à droite avec l'extrémité droite de la saucisse placée en haut, nous voyons que l'étape critique dans la construction de la courbe se produit lorsque la courbe commence à inclure des parties plus petites que . Pour plus étapes ultérieures la saucisse ne change pas de manière significative.

Riz. 57. DONNÉES EMPIRIQUES DE RICHARDSON SUR LE TAUX DE CROISSANCE DES LONGUEURS DES LITTORAUX

Cette figure montre les résultats expérimentaux de mesures de longueur de courbe effectuées sur diverses courbes en utilisant des polygones équilatéraux de longueur de côté décroissante. Comme prévu, dans le cas d'un cercle, des mesures de précision croissante donnent une valeur qui se stabilise très rapidement autour d'une valeur bien précise.

En revanche, dans le cas des côtes, les valeurs approximatives de longueur ne se stabilisent pas du tout. Lorsque la longueur du pas tend vers zéro, les approximations de la longueur, tracées dans un système de coordonnées double logarithmique, forment une ligne droite avec une pente négative. Il en va de même pour les frontières terrestres entre les pays. Les enquêtes de Richardson dans diverses encyclopédies ont révélé des différences significatives dans la détermination de la longueur de la frontière commune par les cartographes des pays respectifs : par exemple, la longueur de la frontière entre l'Espagne et le Portugal est de 987 km du point de vue des Espagnols et de 1214 km. km du point de vue des Portugais ; la frontière entre les Pays-Bas et la Belgique (380 et 449 km) a été également touchée. Étant donné que la pente des lignes correspondantes est de -0,25, une différence de vingt pour cent entre les mesures signifie une double différence entre les valeurs acceptées pour ces mesures - ce n'est pas une hypothèse si incroyable.

Richardson n'a rien donné interprétation théorique différentes pentes de leurs lignes droites. Nous avons l'intention d'interpréter les lignes de côte comme des approximations des courbes fractales et de considérer coefficients de pente les lignes droites correspondantes comme valeurs approximatives de la différence, où est la dimension fractale.

Les fractales sont des objets géométriques : des lignes de surface, des corps spatiaux qui ont une forme très accidentée et possèdent la propriété d'auto-similarité. Le mot fractal vient du mot fractus et se traduit par fractionné, brisé. L'autosimilarité, en tant que caractéristique fondamentale, signifie qu'elle est disposée plus ou moins uniformément sur une large gamme d'échelles. Ainsi, lorsqu'ils sont agrandis, les petits fragments d'une fractale s'avèrent très similaires aux grands. DANS idéalement Une telle autosimilarité conduit au fait que l'objet fractal s'avère invariant sous extensions, c'est-à-dire on dit qu'il a une symétrie de dilatation. Cela suppose l'immuabilité de la base éléments géométriques fractale lors du changement d'échelle.

Bien entendu, pour une véritable fractale naturelle, il existe une certaine échelle de longueur minimale, telle qu'aux distances, sa propriété principale - l'autosimilarité - disparaît. De plus, il y a suffisamment sur une grande échelle longueurs, où est la taille géométrique caractéristique des objets, cette propriété d'autosimilarité est également violée. Par conséquent, les propriétés des fractales naturelles sont considérées uniquement à des échelles je, satisfaire le ratio . De telles restrictions sont tout à fait naturelles, car lorsque nous donnons comme exemple une fractale - une trajectoire brisée et non lisse d'une particule brownienne, alors nous comprenons que l'image est une idéalisation évidente. Le fait est que les petites échelles sont affectées par la finitude du temps de collision. Lorsque ces circonstances sont prises en compte, la trajectoire d’une particule brownienne devient une courbe lisse.

Notez que la propriété d'autosimilarité n'est caractéristique que des fractales régulières. Si, au lieu de méthodes de construction déterministes, un élément aléatoire est inclus dans l'algorithme de leur création (comme cela arrive, par exemple, dans de nombreux processus de croissance par diffusion de clusters, panne électrique etc.), alors des fractales dites aléatoires apparaissent. Leur principale différence par rapport aux propriétés classiques est que les propriétés d'autosimilarité ne sont valides qu'après une moyenne appropriée sur toutes les réalisations statistiquement indépendantes de l'objet. Dans ce cas, la partie agrandie de la fractale n'est pas exactement identique au fragment original, mais elle caractéristiques statistiques correspondre. Mais la fractale que nous étudions fait partie des fractales classiques, et donc régulières.

Longueur du littoral

Initialement, le concept de fractale est apparu en physique en relation avec le problème de la recherche d'un littoral. En le mesurant à l'aide d'une carte existante de la région, un détail intéressant est apparu : plus la carte est prise à grande échelle, plus ce littoral s'avère long.

Figure 1 - Carte du littoral

Soit, par exemple, la distance en ligne droite entre des points situés sur le littoral UN Et B est égal R.(voir fig. 1). Ensuite, afin de mesurer la longueur du trait de côte entre ces points, on placera des poteaux reliés rigidement les uns aux autres le long du rivage de telle sorte que la distance entre poteaux adjacents soit, par exemple, l=10km. Longueur du littoral en kilomètres entre points UN Et B nous le prendrons alors égal au nombre de jalons moins un multiplié par dix. Nous effectuerons la prochaine mesure de cette longueur de la même manière, mais nous rendrons la distance entre les pôles adjacents égale l=1km.

Il s'avère que les résultats de ces mesures seront différents. Lors d'un zoom arrière je nous aurons tout grandes valeurs longueur. Contrairement à une courbe lisse, la ligne du littoral s'avère souvent si échancrée (jusqu'à la plus petite échelle) qu'avec une diminution du segment je ampleur L- longueur du littoral - n'a pas tendance à limite finie, et augmente selon une loi graduelle

Où D- un certain exposant, appelé dimension fractale du littoral. Comment valeur plus grande D, plus ce littoral est accidenté. L'origine de la dépendance (1) est intuitive : plus l'échelle utilisée est petite, plus les détails du littoral seront pris en compte et contribueront à la longueur mesurée. Au contraire, en augmentant l'échelle, on redresse la côte, réduisant la longueur L.

Il est donc évident que pour déterminer la longueur du littoral L utiliser une échelle dure je(par exemple, en utilisant une boussole avec une solution fixe), vous devez faire N=L/l les étapes et la taille L changements c je Donc N dépend de je en droit. De ce fait, à mesure que l’échelle diminue, la longueur du littoral augmente sans limite. Cette circonstance distingue nettement une courbe fractale d'une courbe lisse ordinaire (telle qu'un cercle, une ellipse), pour laquelle la limite de la longueur de la ligne brisée approximative est L car la longueur de son lien tend vers zéro je fini. En conséquence, pour une courbe lisse, sa dimension fractale est D=1, c'est-à-dire coïncide avec celui topologique.

Présentons les valeurs des dimensions fractales D pour différents littoraux. Par exemple, pour les îles britanniques D? 1.3, et pour la Norvège D? 1,5. Dimension fractale de la côte australienne D ? 1. 1. Les dimensions fractales des autres côtes s'avèrent également proches de l'unité.

Ci-dessus, la notion de dimension fractale du littoral a été introduite. Donnons-le maintenant définition générale cette valeur. Laisser d- la dimension euclidienne habituelle de l'espace dans lequel se trouve notre objet fractal ( d=1- doubler, d=2- avion, d=3- régulier espace tridimensionnel). Maintenant, couvrons entièrement cet objet d-des "boules" dimensionnelles de rayon je. Supposons que pour cela nous ayons besoin d'au moins N(l) balles. Alors, si pour suffisamment petit je ampleur N(l) évolue selon une loi de puissance :

Que D- est appelée la dimension Hausdorff ou fractale de cet objet.

Fait bien connu :

Un exemple de paradoxe : si le littoral britannique est mesuré en sections de 100 km, sa longueur est alors d'environ 2 800 km. Si des tronçons de 50 km sont utilisés, la longueur est d'environ 3 400 km, soit 600 km de plus.

La longueur du littoral dépend de la manière dont il est mesuré. Puisqu’une masse continentale peut être caractérisée par des courbures de n’importe quelle taille, allant de centaines de kilomètres à des fractions de millimètre ou moins, il n’existe aucun moyen évident de sélectionner la taille du plus petit élément à prendre pour la mesure. Il est donc impossible de déterminer sans ambiguïté le périmètre de cette zone. Il existe diverses approximations mathématiques pour résoudre ce problème.

Étant donné que la terre présente des caractéristiques à tous les niveaux, depuis des centaines de kilomètres jusqu'à de minuscules fractions de millimètre et moins, il n'y a pas de restrictions évidentes sur la taille. moins de fonctionnalités, et donc aucun périmètre foncier clairement défini n’est fixé. Diverses approximations existent sous certaines hypothèses de taille minimale.

Un exemple de paradoxe est le bien connu Côte britannique. Si le littoral britannique est mesuré à l'aide d'une unité fractale de 100 km (62 mi) de longueur, alors le littoral mesure environ 2 800 km (1 700 mi) de long. Avec une unité de 50 km (31 mi), longueur totale est d'environ 3 400 km (2 100 mi), soit environ 600 km (370 mi) de plus.

Aspects mathématiques

Le concept de base de longueur vient de Distance euclidienne. Chez un ami Géométrie euclidienne, la droite représente distance la plus courte entre deux points; cette ligne n'a qu'une seule longueur finie. Longueur géodésique à la surface d'une sphère, appelée longue longueur cercle, est mesuré le long de la surface d'une courbe qui existe dans un plan contenant points de terminaison chemins et centre de la sphère. La longueur de la courbe principale est plus complexe, mais peut également être calculée. Lorsqu'elle mesure avec une règle, une personne peut approximer les longueurs d'une courbe en additionnant la somme des lignes droites reliant les points :

L’utilisation de plusieurs lignes droites pour approximer la longueur de la courbe produira une estimation faible. Utiliser de plus en plus lignes courtes produira une somme de longueurs qui se rapproche de la vraie longueur de la courbe. Valeur exacte Cette longueur peut être déterminée à l’aide du calcul, une branche des mathématiques qui permet de calculer des distances infinitésimales. L'animation suivante illustre cet exemple :

Cependant, toutes les courbes ne peuvent pas être mesurées de cette manière. Par définition, une courbe présentant des changements complexes dans l’échelle de mesure est considérée comme fractale. Étant donné qu’une courbe lisse se rapproche de plus en plus de la même valeur à mesure que la précision de la mesure augmente, la valeur mesurée des fractales peut changer considérablement.

Longueur " vraie fractale" tend toujours vers l'infini. Cependant, cette figure repose sur l'idée que l'espace peut être subdivisé jusqu'à l'indétermination, c'est-à-dire être illimité. C'est un fantasme qui sous-tend la géométrie euclidienne et sert de modèle utile dans les mesures quotidiennes, ne reflète presque certainement pas les réalités changeantes de « l’espace » et de la « distance » au niveau atomique. Les côtes sont différentes des fractales mathématiques, elles sont formées de nombreux petits détails qui créent des modèles uniquement statistiquement.

Pour des raisons pratiques, vous pouvez utiliser la mesure avec le choix approprié de la taille minimale de l'unité ordinale. Si le littoral est mesuré en kilomètres, les petites variations sont bien inférieures à un kilomètre et peuvent être facilement ignorées. Pour mesurer le littoral en centimètres, de minuscules changements de taille doivent être pris en compte. Utiliser différentes techniques de mesure pour diverses unités brise également la croyance habituelle selon laquelle les blocs peuvent être convertis en utilisant multiplication simple. Cas de pointe Les côtes comprennent les fjords paradoxaux des côtes lourdes de Norvège, du Chili et de la côte Pacifique de l'Amérique du Nord.

Peu avant 1951, Lewis Fry Richardson, dans l'étude influence possible La longueur de la frontière sur la probabilité d'une guerre, a remarqué que les Portugais présentaient leur frontière mesurée avec l'Espagne comme étant longue de 987 km, alors que l'Espagne la rapportait comme étant longue de 1 214 km. Ce fut le début du problème du littoral, mathématiquement difficile à mesurer en raison de l’irrégularité de la ligne elle-même. La méthode prédominante pour estimer la longueur d’une frontière (ou d’un littoral) consistait à imposer N quantités segments égaux avec une longueur ℓ délimitée sur une carte ou des photographies aériennes. Chaque extrémité du segment doit être sur une frontière. En étudiant les divergences dans l'estimation des limites, Richardson a découvert ce que l'on appelle aujourd'hui l'effet Richardson : la somme des segments est inversement proportionnelle. longueur totale segments. Essentiellement, plus la règle est courte, plus la limite mesurée est grande ; Les géographes espagnols et portugais mesuraient simplement la frontière en utilisant des règles de différentes longueurs. En conséquence, Richardson a été frappé par le fait que, dans certaines circonstances, lorsque la longueur de la règle ℓ tend vers zéro, la longueur du littoral tend également vers l'infini. Richardson estime que, sur la base La géométrie d'Euclide, le littoral s'approchera d'une longueur fixe, comment faire de telles estimations de la longueur correcte formes géométriques. Par exemple, le périmètre polygone régulier inscrit dans un cercle se rapproche du cercle à mesure que le nombre de côtés augmente (et que la longueur d'un côté diminue). DANS théorie géométrique mesure une courbe aussi douce qu'un cercle, auquel de petits segments droits peuvent être approchés avec une certaine limite, est appelée courbe rectifiable.

Plus de dix ans après que Richardson ait terminé son travail, Benoît Mandelbrot développé nouvelle zone mathématiques, - géométrie fractale pour décrire précisément de tels complexes non rectifiables dans la nature sous la forme d'un littoral sans fin. Propre définition une nouvelle figure servant de base à ses recherches : j'ai trouvé une fractale à partir de l'adjectif latin " fragmenté» pour créer des fragments irréguliers. Il est donc logique... qu'en plus de "fragmenté"... cassé signifie également "irrégulier".

La propriété clé d’une fractale est l’autosimilarité, c’est-à-dire que la même configuration générale apparaît à n’importe quelle échelle. Le littoral est perçu comme des baies alternant avec des caps. Dans une situation hypothétique, un littoral donné possède cette propriété d’auto-similarité, même si une petite partie du littoral apparaît agrandie, un motif similaire de baies et de promontoires plus petits se superposant aux baies et promontoires plus grands, jusqu’au grain de sable. Dans le même temps, l’échelle du littoral se transforme instantanément en un fil potentiellement infiniment long avec une disposition aléatoire de baies et de caps formés de petits objets. Dans de telles conditions (par opposition aux courbes douces), Mandelbrot affirme que « la longueur du littoral est un concept insaisissable qui glisse entre les doigts de ceux qui veulent le comprendre ». différents types fractales. Le littoral avec les paramètres spécifiés appartient à la « première catégorie de fractales, à savoir les courbes avec dimension fractale supérieur à 1. » Cette dernière affirmation représente l’expansion par Mandelbrot de la pensée de Richardson.

Déclaration sur l'effet Mandelbrot Richardson :

où L, la longueur du littoral, est fonction de l'unité de mesure, ε, et est approximée par l'équation. F est une constante et D est le paramètre de Richardson. Il n'a pas donné explication théorique, mais Mandelbrot a défini D avec une forme non entière Dimensions Hausdorff, plus tard - dimension fractale. S'étant regroupé côté droit expressions que nous obtenons :

où Fε-D doit être le nombre de ε unités nécessaires pour obtenir L. Dimension fractale- nombre de dimensions fractales utilisées pour approximer une fractale : 0 pour un point, 1 pour une ligne, 2 pour une aire. D dans l'expression est compris entre 1 et 2, pour la côte il est généralement inférieur à 1,5. La dimension brisée de la côte ne s'étend pas dans une seule direction et ne représente pas une zone, mais est intermédiaire. Cela peut être interprété comme des lignes ou des rayures épaisses d’une largeur de 2ε. Les côtes plus accidentées ont un D plus grand et donc un L plus grand, pour le même ε. Mandelbrot a montré que D ne dépend pas de ε.

Source : http://en.wikipedia.org/wiki/Coast#Coastline_problem

http://en.wikipedia.org/wiki/Coastline_paradox

Traduction : Dmitri Shakhov