Aujourd'hui, nous vous invitons à explorer et à construire un graphique d'une fonction avec nous. Après avoir étudié attentivement cet article, vous n’aurez pas à transpirer longtemps pour accomplir ce type de tâche. Il n'est pas facile d'étudier et de construire un graphique d'une fonction ; c'est un travail volumineux qui nécessite une attention et une précision maximales dans les calculs. Pour rendre le matériel plus facile à comprendre, nous étudierons la même fonction étape par étape et expliquerons toutes nos actions et calculs. Bienvenue dans le monde étonnant et fascinant des mathématiques ! Allons-y!

Domaine de définition

Afin d’explorer et de représenter graphiquement une fonction, vous devez connaître plusieurs définitions. La fonction est l’un des principaux concepts (de base) des mathématiques. Il reflète la dépendance entre plusieurs variables (deux, trois ou plus) lors des changements. La fonction montre également la dépendance des ensembles.

Imaginez que nous ayons deux variables qui présentent une certaine plage de changement. Ainsi, y est fonction de x, à condition que chaque valeur de la deuxième variable corresponde à une valeur de la seconde. Dans ce cas, la variable y est dépendante et on l'appelle une fonction. Il est d'usage de dire que les variables x et y sont dans Pour plus de clarté sur cette dépendance, un graphique de la fonction est construit. Qu'est-ce qu'un graphique d'une fonction ? Il s'agit d'un ensemble de points sur plan de coordonnées, où chaque valeur x correspond à une valeur y. Les graphiques peuvent être différents : ligne droite, hyperbole, parabole, onde sinusoïdale, etc.

Il est impossible de représenter graphiquement une fonction sans recherche. Aujourd'hui, nous allons apprendre à mener des recherches et à construire un graphique d'une fonction. Il est très important de prendre des notes pendant l'étude. Cela rendra la tâche beaucoup plus facile à accomplir. Le plan de recherche le plus pratique :

1. Portée de la définition.
2. Continuité.
3. Pair ou impair.
4. Périodicité.
5. Asymptotes.
6. Des zéros.
7. Signez la constance.
8. Augmentation et diminution.
9. Extrêmes.
10. Convexité et concavité.

Commençons par le premier point. Trouvons le domaine de définition, c'est-à-dire sur quels intervalles notre fonction existe : y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Dans notre cas, la fonction existe pour toutes les valeurs de x, c'est-à-dire que le domaine de définition est égal à R. Cela peut s'écrire comme suit xÎR.

Continuité

Nous allons maintenant examiner la fonction de discontinuité. En mathématiques, le terme « continuité » est apparu à la suite de l’étude des lois du mouvement. Qu'est-ce qui est infini ? L'espace, le temps, certaines dépendances (un exemple est la dépendance des variables S et t dans les problèmes de mouvement), la température d'un objet chauffé (eau, poêle à frire, thermomètre, etc.), une ligne continue (c'est-à-dire celle qui peut être dessiné sans le retirer de la feuille de crayon).

Un graphique est considéré comme continu s’il ne se rompt pas à un moment donné. L'un des plus exemples illustratifs un tel graphique est une sinusoïde, que vous pouvez voir sur l'image ci-dessous cette rubrique. La fonction est continue en un certain point x0 si un certain nombre de conditions sont remplies :

• une fonction est définie en un point donné ;
• les limites droite et gauche en un point sont égales ;
• limite égale à la valeur fonctionne au point x0.

Si au moins une condition n’est pas remplie, la fonction échoue. Et les points auxquels la fonction s'interrompt sont généralement appelés points d'arrêt. Un exemple de fonction qui « se brisera » lorsqu'elle est affichée graphiquement est : y=(x+4)/(x-3). De plus, y n'existe pas au point x = 3 (puisqu'il est impossible de diviser par zéro).

Dans la fonction que nous étudions (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) tout s'est avéré simple, puisque le graphique sera continu.

Pair, impair

Examinez maintenant la fonction de parité. Tout d’abord, un peu de théorie. Une fonction paire est celle qui satisfait la condition f(-x)=f(x) pour toute valeur de la variable x (dans la plage de valeurs). Les exemples incluent :

• module x (le graphique ressemble à une daw, la bissectrice du premier et du deuxième quart du graphique) ;
• x au carré (parabole) ;
• cosinus x (cosinus).

Notez que tous ces graphiques sont symétriques lorsqu’ils sont vus par rapport à l’axe des y (c’est-à-dire l’axe des y).

Qu’appelle-t-on alors une fonction impaire ? Ce sont les fonctions qui satisfont à la condition : f(-x)=-f(x) pour toute valeur de la variable x. Exemples :

• hyperbole;
• parabole cubique;
• sinusoïde;
• tangente et ainsi de suite.

Veuillez noter que ces fonctions sont symétriques par rapport au point (0:0), c'est-à-dire l'origine. D'après ce qui a été dit dans cette section de l'article, une fonction paire et impaire doit avoir la propriété : x appartient à l'ensemble de définitions et -x également.

Examinons la fonction de parité. Nous pouvons voir qu’elle ne correspond à aucune des descriptions. Notre fonction n’est donc ni paire ni impaire.

Asymptotes

Commençons par une définition. Une asymptote est une courbe aussi proche que possible du graphique, c'est-à-dire que la distance à partir d'un certain point tend vers zéro. Au total, il existe trois types d'asymptotes :

• vertical, c'est-à-dire parallèle à l'axe y ;
• horizontal, c'est-à-dire parallèle à l'axe x ;
• incliné.

Comme pour le premier type, ces lignes sont à rechercher à certains endroits :

• écart;
• extrémités du domaine de définition.

Dans notre cas, la fonction est continue et le domaine de définition est égal à R. Donc, asymptotes verticales manquent.

Le graphique d'une fonction a une asymptote horizontale, qui répond à l'exigence suivante : si x tend vers l'infini ou moins l'infini, et que la limite est égale à un certain nombre (par exemple, a). DANS dans ce cas y=a - c'est l'asymptote horizontale. Il n’y a pas d’asymptote horizontale dans la fonction que nous étudions.

Une asymptote oblique n'existe que si deux conditions sont remplies :

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Ensuite, il peut être trouvé en utilisant la formule : y=kx+b. Encore une fois, dans notre cas, il n’y a pas d’asymptote oblique.

Zéros de fonction

L'étape suivante consiste à examiner le graphique de la fonction pour les zéros. Il est également très important de noter que la tâche associée à la recherche des zéros d'une fonction se produit non seulement lors de l'étude et de la construction d'un graphique d'une fonction, mais également de la manière dont tâche indépendante, et comme moyen de résoudre les inégalités. Vous devrez peut-être trouver les zéros d’une fonction sur un graphique ou utiliser une notation mathématique.

Trouver ces valeurs vous aidera à représenter graphiquement la fonction avec plus de précision. Si nous parlons dans un langage simple, alors le zéro de la fonction est la valeur de la variable x à laquelle y = 0. Si vous recherchez les zéros d'une fonction sur un graphique, vous devez faire attention aux points d'intersection du graphique avec l'axe des x.

Pour trouver les zéros d’une fonction, il faut résoudre l'équation suivante: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Après avoir effectué les calculs nécessaires, nous obtenons la réponse suivante :

Constance du signe

La prochaine étape de la recherche et de la construction d'une fonction (graphique) consiste à trouver des intervalles de signe constant. Cela signifie qu'il faut déterminer à quels intervalles la fonction prend valeur positive, et sur certains - négatif. Les fonctions zéro trouvées dans la dernière section nous aideront à le faire. Nous devons donc construire une ligne droite (séparée du graphique) et répartir les zéros de la fonction le long de celle-ci dans le bon ordre, du plus petit au plus grand. Vous devez maintenant déterminer lequel des intervalles résultants a un signe « + » et lequel a un « - ».

Dans notre cas, la fonction prend une valeur positive sur les intervalles :

• de 1 à 4 ;
• de 9 à l'infini.

Valeur négative :

• de moins l'infini à 1 ;
• de 4 à 9.

C'est assez facile à déterminer. Remplacez n'importe quel nombre de l'intervalle dans la fonction et voyez quel signe la réponse s'avère avoir (moins ou plus).

Fonction croissante et décroissante

Afin d’explorer et de construire une fonction, nous devons savoir où le graphique va augmenter (monter le long de l’axe Oy) et où il va descendre (descendre le long de l’axe y).

La fonction n'augmente que si la plus grande valeur de la variable x correspond à valeur plus élevée toi. Autrement dit, x2 est supérieur à x1 et f(x2) est supérieur à f(x1). Et absolument le phénomène inverse on observe une fonction décroissante (plus x, moins y). Pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution, vous devez trouver les éléments suivants :

• domaine de définition (nous l'avons déjà) ;
• dérivée (dans notre cas : 1/3(3x^2-28x+49) ;
• résolvez l'équation 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Après calculs on obtient le résultat :

On obtient : la fonction augmente sur les intervalles de moins l'infini à 7/3 et de 7 à l'infini, et diminue sur l'intervalle de 7/3 à 7.

Extrêmes

La fonction étudiée y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) est continue et existe pour toute valeur de la variable x. Le point extrême montre le maximum et le minimum d'une fonction donnée. Dans notre cas, il n'y en a pas, ce qui simplifie grandement la tâche de construction. Sinon, ils peuvent également être trouvés à l’aide de la fonction dérivée. Une fois trouvés, n'oubliez pas de les marquer sur la carte.

Convexité et concavité

Nous continuons à explorer plus en détail la fonction y(x). Nous devons maintenant vérifier sa convexité et sa concavité. Les définitions de ces concepts sont assez difficiles à comprendre ; il vaut mieux tout analyser à l'aide d'exemples. Pour le test : une fonction est convexe si c'est une fonction non décroissante. D'accord, c'est incompréhensible !

Nous devons trouver la dérivée d’une fonction du second ordre. On obtient : y=1/3(6x-28). Maintenant, assimilons côté droità zéro et résoudre l’équation. Réponse : x=14/3. Nous avons trouvé le point d'inflexion, c'est-à-dire l'endroit où le graphique passe de la convexité à la concavité ou vice versa. Sur l'intervalle de moins l'infini à 14/3, la fonction est convexe, et de 14/3 à plus l'infini, elle est concave. Il est également très important de noter que le point d'inflexion sur le graphique doit être lisse et doux, non coins pointus ne devrait pas être présent.

Définir des points supplémentaires

Notre tâche est d'étudier et de construire un graphique de la fonction. Nous avons terminé l’étude ; construire un graphique de la fonction n’est plus difficile. Pour une reproduction plus précise et détaillée d'une courbe ou d'une ligne droite sur le plan de coordonnées, vous pouvez trouver plusieurs points auxiliaires. Ils sont assez faciles à calculer. Par exemple, prenons x=3, résolvons l’équation résultante et trouvons y=4. Ou x=5, et y=-5 et ainsi de suite. Vous pouvez prendre autant de points supplémentaires que nécessaire pour la construction. On en trouve au moins 3 à 5.

Tracer un graphique

Nous devions étudier la fonction (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Toutes les marques nécessaires lors des calculs ont été faites sur le plan de coordonnées. Il ne reste plus qu'à construire un graphique, c'est-à-dire relier tous les points. La connexion des points doit être fluide et précise, c'est une question de compétence - un peu de pratique et votre emploi du temps sera parfait.

Étudions la fonction \(y= \frac(x^3)(1-x) \) et construisons son graphique.

1. Portée de la définition.
Domaine de définition fonction rationnelle(fraction) sera : dénominateur non égal à zéro, c'est-à-dire \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domaine $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Points d'arrêt des fonctions et leur classification.
La fonction a un point d'arrêt x = 1
Examinons le point x= 1. Trouvons la limite de la fonction à droite et à gauche du point de discontinuité, à droite $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ et à gauche du point $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ Ceci est un point de discontinuité du deuxième type car les limites unilatérales sont égales à \(\infty\).

La droite \(x = 1\) est une asymptote verticale.

3. Parité des fonctions.
On vérifie la parité \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) la fonction n'est ni paire ni impaire.

4. Zéros de la fonction (points d'intersection avec l'axe Ox). Intervalles de signe constant d'une fonction.
Zéros de fonction ( point d'intersection avec l'axe Ox): on assimile \(y=0\), on obtient \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). La courbe a un point d'intersection avec l'axe Ox de coordonnées \((0;0)\).

Intervalles de signe constant d'une fonction.
Sur les intervalles considérés \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) la courbe a un point d'intersection avec l'axe Ox, nous considérerons donc le domaine de définition sur trois intervalles.

Déterminons le signe de la fonction sur les intervalles du domaine de définition :
intervalle \((-\infty; 0) \) trouver la valeur de la fonction à tout moment \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
intervalle \((0; 1) \) on trouve la valeur de la fonction en tout point \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), sur cet intervalle la fonction est positif \(f(x ) > 0 \), c'est-à-dire est situé au-dessus de l’axe Ox.
intervalle \((1;+\infty) \) trouver la valeur de la fonction à tout moment \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Points d'intersection avec l'axe Oy: nous équivalons à \(x=0\), nous obtenons \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Coordonnées du point d'intersection avec l'axe Oy \((0; 0)\)

6. Intervalles de monotonie. Extréma d'une fonction.
Trouvons les points critiques (stationnaires), pour cela nous trouvons la dérivée première et l'assimilons à zéro $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ égal à 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Trouvons la valeur de la fonction à ce stade \( f(0) = 0\) et \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Nous avons obtenu deux points critiques de coordonnées \((0;0)\) et \((1.5;-6.75)\)

Intervalles de monotonie.
La fonction possède deux points critiques (points extremum possibles), nous considérerons donc la monotonie sur quatre intervalles :
intervalle \((-\infty; 0) \) trouver la valeur de la dérivée première à tout moment dans l'intervalle \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
intervalle \((0;1)\) nous trouvons la valeur de la dérivée première en tout point de l'intervalle \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , la fonction augmente sur cet intervalle.
intervalle \((1;1.5)\) nous trouvons la valeur de la dérivée première en tout point de l'intervalle \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , la fonction augmente sur cet intervalle.
intervalle \((1.5; +\infty)\) trouver la valeur de la dérivée première à tout moment dans l'intervalle \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Extréma d'une fonction.

Lors de l'étude de la fonction, nous avons obtenu deux points critiques (stationnaires) sur l'intervalle du domaine de définition. Voyons s'il s'agit d'extrêmes. Considérons le changement de signe de la dérivée lors du passage par des points critiques :

point \(x = 0\) la dérivée change de signe avec \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - le point n'est pas un extremum.
point \(x = 1,5\) la dérivée change de signe avec \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - le point est un point maximum.

7. Intervalles de convexité et de concavité. Points d'inflexion.

Pour trouver les intervalles de convexité et de concavité, nous trouvons la dérivée seconde de la fonction et l'assimilons à zéro $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Égal à zéro $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ La fonction a un point critique de deuxième espèce avec les coordonnées \((0;0)\) .
Définissons la convexité sur les intervalles du domaine de définition, en tenant compte d'un point critique de seconde espèce (point d'inflexion éventuel).

intervalle \((-\infty; 0)\) trouver la valeur de la dérivée seconde à tout moment \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervalle \((0; 1)\) nous trouvons la valeur de la dérivée seconde en tout point \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), sur cet intervalle la dérivée seconde de la fonction est positive \(f""(x) > 0 \) la fonction est convexe vers le bas (convexe).
intervalle \((1; \infty)\) trouver la valeur de la dérivée seconde à tout moment \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Points d'inflexion.

Considérons le changement de signe de la dérivée seconde lors du passage par un point critique de seconde espèce :
Au point \(x =0\) la dérivée seconde change de signe avec \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), le graphe de la fonction change de convexité, c'est-à-dire c'est le point d'inflexion de coordonnées \((0;0)\).

8. Asymptotes.

Asymptote verticale. Le graphique de la fonction possède une asymptote verticale \(x =1\) (voir paragraphe 2).
Asymptote oblique.
Pour que le graphique de la fonction \(y= \frac(x^3)(1-x) \) à \(x \to \infty\) ait une asymptote inclinée \(y = kx+b\) , c'est nécessaire et suffisant , pour qu'il y ait deux limites $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$on le trouve $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ et la deuxième limite $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, car \(k = \infty\) - il n'y a pas d'asymptote oblique.

Asymptote horizontale : pour qu'une asymptote horizontale existe, il faut qu'il y ait une limite $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ trouvons-la $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
Il n’y a pas d’asymptote horizontale.

9. Graphique de fonction.

Depuis un certain temps déjà, la base de données de certificats SSL intégrée ne fonctionne plus correctement dans TheBat (on ne sait pas pour quelle raison).

Lors de la vérification du message, une erreur apparaît :

Certificat d'autorité de certification inconnu
Le serveur n'a pas présenté de certificat racine dans la session et le certificat racine correspondant n'a pas été trouvé dans le carnet d'adresses.
Cette connexion ne peut pas être secrète. S'il te plaît
contactez l'administrateur de votre serveur.

Et un choix de réponses vous est proposé - OUI / NON. Et ainsi à chaque fois que vous supprimez du courrier.

Solution

Dans ce cas, vous devez remplacer le standard d'implémentation S/MIME et TLS par Microsoft CryptoAPI dans les paramètres TheBat !

Comme je devais combiner tous les fichiers en un seul, j'ai d'abord tout converti fichiers doc en un seul fichier pdf(à l'aide du programme Acrobat), puis transféré sur fb2 via un convertisseur en ligne. Vous pouvez également convertir des fichiers individuellement. Les formats peuvent être absolument n'importe lesquels (source) - doc, jpg et même une archive zip !

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Mise à jour mai 2015

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La réponse s'est avérée simple. Vous n’avez pas besoin de mesurer quoi que ce soit, vous pouvez facilement déterminer à l’œil nu la taille dont vous avez besoin.

Le plus petit brûleur- c'est 145 millimètres (14,5 centimètres)

Brûleur central- c'est 180 millimètres (18 centimètres).

Et enfin, le plus grand brûleur- cela fait 225 millimètres (22,5 centimètres).

Il suffit de déterminer la taille à l'œil nu et de comprendre de quel diamètre vous avez besoin pour le brûleur. Quand je ne le savais pas, je m’inquiétais de ces dimensions, je ne savais pas comment mesurer, sur quel bord naviguer, etc. Maintenant, je suis sage :) J'espère que je t'ai aidé aussi !

Dans ma vie, j'ai été confronté à un tel problème. Je pense que je ne suis pas le seul.

Comment étudier une fonction et construire son graphe ?

Il semble que je commence à comprendre le visage spirituellement perspicace du leader du prolétariat mondial, l'auteur d'ouvrages rassemblés en 55 volumes... Le long voyage a commencé informations de baseÔ fonctions et graphiques, et maintenant le travail sur un sujet à forte intensité de main-d'œuvre se termine par un résultat logique - un article sur une étude complète de la fonction. La tâche tant attendue est formulée comme suit :

Explorer une fonction à l'aide de méthodes calcul différentiel et construire un graphique basé sur les résultats de la recherche

Ou en bref : examinez la fonction et créez un graphique.

Pourquoi explorer ? DANS cas simples ce ne sera pas difficile pour nous de gérer fonctions élémentaires, tracez le graphique obtenu en utilisant transformations géométriques élémentaires etc. Cependant, les propriétés et images graphiques plus fonctions complexes sont loin d’être évidents, c’est pourquoi une étude complète est nécessaire.

Les principales étapes de la solution sont résumées dans matériel de référence Schéma d'étude de fonction, ceci est votre guide de la section. Les nuls ont besoin d'une explication étape par étape d'un sujet, certains lecteurs ne savent pas par où commencer ni comment organiser leur recherche, et les étudiants avancés peuvent n'être intéressés que par quelques points. Mais qui que vous soyez, cher visiteur, le résumé proposé avec des indications vers diverses leçons V le temps le plus court possible vous orientera et vous dirigera dans la direction qui vous intéresse. Les robots ont versé des larmes =) Le manuel a été présenté sous forme de fichier pdf et a pris toute la place qui lui revient sur la page Formules et tableaux mathématiques.

J’ai l’habitude de décomposer la recherche d’une fonction en 5-6 points :

6) Points supplémentaires et graphique basés sur les résultats de la recherche.

Concernant l'action finale, je pense que tout est clair pour tout le monde - ce sera très décevant si en quelques secondes elle est barrée et la tâche est renvoyée pour révision. UN DESSIN CORRECT ET PRÉCIS est le résultat principal de la solution ! Il est avec forte probabilité« dissimulera » les erreurs d’analyse, tandis qu’un calendrier incorrect et/ou imprudent causera des problèmes même avec une étude parfaitement menée.

Il convient de noter que dans d'autres sources, le nombre de points de recherche, l'ordre de leur mise en œuvre et le style de conception peuvent différer considérablement du schéma que j'ai proposé, mais dans la plupart des cas, cela est tout à fait suffisant. La version la plus simple du problème ne comprend que 2-3 étapes et est formulée à peu près comme ceci : « étudier la fonction en utilisant la dérivée et construire un graphique » ou « étudier la fonction en utilisant les dérivées 1ère et 2ème, construire un graphique ».

Naturellement, si votre manuel décrit en détail un autre algorithme ou si votre professeur exige strictement que vous respectiez ses cours, vous devrez alors apporter quelques ajustements à la solution. Pas plus difficile que de remplacer une fourchette de tronçonneuse par une cuillère.

Vérifions la fonction paire/impaire :

Ceci est suivi d'un modèle de réponse :
, Moyens, cette fonction n'est ni pair ni impair.

Puisque la fonction est continue sur , il n'y a pas d'asymptote verticale.

Il n’y a pas non plus d’asymptote oblique.

Note : je vous rappelle que plus haut ordre de croissance, que , donc la limite finale est exactement " plus infini."

Voyons comment la fonction se comporte à l'infini :

En d’autres termes, si on va vers la droite, alors le graphique monte infiniment haut, si on va vers la gauche, il descend infiniment loin. Oui, il y a aussi deux limites ici entrée unique. Si vous avez des difficultés à déchiffrer les signes, veuillez consulter la leçon sur fonctions infinitésimales.

Donc la fonction pas limité d'en haut Et non limité par le bas. Considérant que nous n'avons pas de points d'arrêt, il devient clair plage de fonctions: – également n’importe quel nombre réel.

TECHNIQUE TECHNIQUE UTILE

Chaque étape de la tâche apporte nouvelles informationsà propos du graphique d'une fonction, par conséquent, lors de la résolution, il est pratique d'utiliser une sorte de LAYOUT. Dessinons un système de coordonnées cartésiennes sur un brouillon. Qu’est-ce qui est déjà connu avec certitude ? Premièrement, le graphique n’a pas d’asymptote, il n’est donc pas nécessaire de tracer des lignes droites. Deuxièmement, nous savons comment la fonction se comporte à l’infini. D’après l’analyse, nous tirons une première approximation :

Veuillez noter qu'en raison de continuité fonction activée et le fait que le graphique doit traverser l'axe au moins une fois. Ou peut-être y a-t-il plusieurs points d’intersection ?

3) Zéros de la fonction et intervalles de signe constant.

Tout d'abord, trouvons le point d'intersection du graphique avec l'axe des ordonnées. C'est simple. Il faut calculer la valeur de la fonction à :

Un an et demi au-dessus du niveau de la mer.

Pour trouver les points d'intersection avec l'axe (les zéros de la fonction), il faut résoudre l'équation, et ici nous attend mauvaise surprise:

Caché à la fin membre gratuit, ce qui complique considérablement la tâche.

Une telle équation a au moins une racine réelle, et le plus souvent cette racine est irrationnelle. Dans le pire des contes de fées, les trois petits cochons nous attendent. L'équation peut être résolue en utilisant ce qu'on appelle Formules Cardano, mais les dommages causés au papier sont comparables à presque l’ensemble de l’étude. À cet égard, il est plus sage d’essayer d’en sélectionner au moins un, soit verbalement, soit dans un brouillon. entier racine. Vérifions si ces chiffres sont :
– ne convient pas ;
- Il y a!

Chanceux ici. En cas d'échec, vous pouvez également tester , et si ces chiffres ne correspondent pas, alors je crains qu'il y ait très peu de chances de trouver une solution rentable à l'équation. Il est alors préférable de sauter complètement le point de recherche - peut-être que quelque chose deviendra plus clair à l'étape finale, lorsque des points supplémentaires seront franchis. Et si la ou les racines sont clairement « mauvaises », alors il vaut mieux garder modestement le silence sur les intervalles de constance des signes et dessiner avec plus de soin.

Cependant, nous avons une belle racine, donc nous divisons le polynôme sans reste :

L'algorithme de division d'un polynôme par un polynôme est discuté en détail dans le premier exemple de la leçon Limites complexes.

Par conséquent côté gauche équation originale se décompose en produit :

Et maintenant un peu sur manière saine vie. Bien sûr, je comprends que équations quadratiques doit être résolu chaque jour, mais aujourd’hui nous ferons une exception : l’équation a deux vraies racines.

Traçons les valeurs trouvées sur la droite numérique Et méthode d'intervalle Définissons les signes de la fonction :


Ainsi, à intervalles l'horaire se trouve
en dessous de l'axe des x et aux intervalles – au-dessus de cet axe.

Les résultats nous permettent d’affiner notre présentation, et la deuxième approximation du graphique ressemble à ceci :

Attention, une fonction doit avoir au moins un maximum sur un intervalle, et au moins un minimum sur un intervalle. Mais on ne sait pas encore combien de fois, où et quand le planning sera en boucle. D’ailleurs, une fonction peut avoir une infinité de extrêmes.

4) Augmentation, diminution et extrema de la fonction.

Trouvons les points critiques :

Cette équation a deux vraies racines. Plaçons-les sur la droite numérique et déterminons les signes de la dérivée :


La fonction augmente donc de et diminue de .
Au moment où la fonction atteint son maximum : .
Au moment où la fonction atteint un minimum : .

Les faits établis imposent à notre modèle un cadre plutôt rigide :

Inutile de dire que le calcul différentiel est une chose puissante. Comprenons enfin la forme du graphique :

5) Convexité, concavité et points d'inflexion.

Trouvons les points critiques de la dérivée seconde :

Définissons les signes :


Le graphique de la fonction est convexe sur et concave sur . Calculons l'ordonnée du point d'inflexion : .

Presque tout est devenu clair.

6) Il reste à trouver des points supplémentaires qui vous aideront à construire plus précisément un graphique et à effectuer un autotest. Dans ce cas ils sont peu nombreux, mais nous ne les négligerons pas :

Faisons le dessin :

Vert Le point d'inflexion est marqué et les points supplémentaires sont marqués de croix. Calendrier fonction cubique est symétrique par rapport à son point d'inflexion, qui est toujours situé strictement au milieu entre le maximum et le minimum.

Au fur et à mesure que la mission avançait, j'ai fourni trois dessins provisoires hypothétiques. En pratique, il suffit de dessiner un système de coordonnées, de marquer les points trouvés et, après chaque point de recherche, d'estimer mentalement à quoi pourrait ressembler le graphique de la fonction. Il ne sera pas difficile pour des étudiants ayant un bon niveau de préparation de réaliser une telle analyse uniquement mentalement sans faire appel à une ébauche.

Pour décision indépendante:

Exemple 2

Explorez la fonction et créez un graphique.

Tout est plus rapide et plus amusant ici, échantillon approximatif terminer à la fin de la leçon.

La recherche révèle de nombreux secrets fonctions rationnelles fractionnaires:

Exemple 3

Utiliser des méthodes de calcul différentiel pour étudier une fonction et, sur la base des résultats de l'étude, construire son graphique.

Solution: la première étape de l'étude ne se distingue par rien de remarquable, à l'exception d'un trou dans la zone de définition :

1) La fonction est définie et continue sur toute la droite numérique sauf le point, domaine de définition: .

, ce qui signifie que cette fonction n'est ni paire ni impaire.

Il est évident que la fonction n'est pas périodique.

Le graphique de la fonction est constitué de deux branches continues situées dans les demi-plans gauche et droit - c'est peut-être le plus conclusion importante 1er point.

2) Les asymptotes, le comportement d'une fonction à l'infini.

a) En utilisant des limites unilatérales, nous examinons le comportement de la fonction près d'un point suspect, où il devrait clairement y avoir une asymptote verticale :

En effet, les fonctions perdurent écart sans fin au point
et la droite (axe) est asymptote verticale graphique

b) Vérifions s'il existe des asymptotes obliques :

Oui, c'est droit asymptote oblique graphiques, si.

Cela n’a aucun sens d’analyser les limites, puisqu’il est déjà clair que la fonction embrasse son asymptote oblique pas limité d'en haut Et non limité par le bas.

Le deuxième point de l'étude a apporté beaucoup informations importantes sur la fonction. Faisons un croquis :

La conclusion n°1 concerne les intervalles de signe constant. A « moins l'infini » le graphique de la fonction est clairement situé en dessous de l'axe des x, et à « plus l'infini » il est au dessus de cet axe. De plus, les limites unilatérales nous ont indiqué qu’à gauche comme à droite du point, la fonction est également supérieur à zéro. Veuillez noter que dans le demi-plan gauche, le graphique doit traverser l'axe des x au moins une fois. Il ne doit pas y avoir de zéros de la fonction dans le demi-plan droit.

La conclusion n°2 est que la fonction croît sur et à gauche du point (va « de bas en haut »). A droite de ce point, la fonction décroît (va « du haut vers le bas »). La branche droite du graphique doit certainement avoir au moins un minimum. A gauche, les extrêmes ne sont pas garantis.

La conclusion n°3 fournit des informations fiables sur la concavité du graphique au voisinage du point. On ne peut encore rien dire sur la convexité/concavité à l'infini, puisqu'une ligne peut être pressée vers son asymptote aussi bien par le haut que par le bas. D'une manière générale, il existe méthode analytique découvrez-le maintenant, mais la forme du graphique deviendra plus claire plus tard.

Pourquoi tant de mots ? Pour contrôler les points de recherche ultérieurs et éviter les erreurs ! D'autres calculs ne doivent pas contredire les conclusions tirées.

3) Points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées, intervalles de signe constant de la fonction.

Le graphique de la fonction ne coupe pas l'axe.

En utilisant la méthode des intervalles, nous déterminons les signes :

, Si ;
, Si .

Les résultats sur ce point sont tout à fait cohérents avec la Conclusion n°1. Après chaque étape, regardez le brouillon, vérifiez mentalement la recherche et complétez le graphique de la fonction.

Dans l'exemple considéré, le numérateur est divisé terme à terme par le dénominateur, ce qui est très bénéfique pour la différenciation :

En fait, cela a déjà été fait lors de la recherche d’asymptotes.

– point critique.

Définissons les signes :

augmente de et diminue de

Au moment où la fonction atteint un minimum : .

Il n’y a également eu aucune divergence avec la conclusion n°2 et, très probablement, nous sommes sur la bonne voie.

Cela signifie que le graphique de la fonction est concave sur tout le domaine de définition.

Génial - et vous n'avez rien besoin de dessiner.

Il n’y a pas de points d’inflexion.

La concavité est cohérente avec la conclusion n°3, de plus, elle indique qu'à l'infini (à la fois là et là) le graphe de la fonction se situe plus haut son asymptote oblique.

6) Nous épinglerons consciencieusement la tâche avec des points supplémentaires. C’est là que nous devrons travailler dur, puisque nous ne connaissons que deux points grâce à la recherche.

Et une image que beaucoup de gens ont probablement imaginée il y a longtemps :

Lors de l'exécution de la tâche, vous devez veiller soigneusement à ce qu'il n'y ait pas de contradictions entre les étapes de la recherche, mais parfois la situation est urgente, voire désespérément sans issue. Les analyses « ne collent pas » - c'est tout. Dans ce cas, je recommande une technique d'urgence : on trouve le plus de points possible qui appartiennent au graphique (autant de patience qu'on en a), et on les marque sur le plan de coordonnées. Analyse graphique les valeurs trouvées vous diront dans la plupart des cas où est la vérité et où est le mensonge. De plus, le graphique peut être pré-construit à l'aide d'un programme, par exemple Excel (bien sûr, cela nécessite des compétences).

Exemple 4

Utiliser des méthodes de calcul différentiel pour étudier une fonction et construire son graphique.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Dans celui-ci, la maîtrise de soi est renforcée par la parité de la fonction - le graphique est symétrique par rapport à l'axe, et si quelque chose dans votre recherche contredit ce fait, recherchez l'erreur.

Même ou fonction impaire ne peut être étudié qu'en , puis utiliser la symétrie du graphique. Cette solution est optimale, mais elle semble très inhabituelle à mon avis. Personnellement, je considère tout axe des nombres, mais je trouve toujours des points supplémentaires uniquement à droite :

Exemple 5

Effectuer recherche complète fonction et construire son graphique.

Solution: les choses sont devenues difficiles:

1) La fonction est définie et continue sur toute la droite numérique : .

Cela signifie que cette fonction est impaire, son graphique est symétrique par rapport à l'origine.

Il est évident que la fonction n'est pas périodique.

2) Les asymptotes, le comportement d'une fonction à l'infini.

Puisque la fonction est continue, il n'y a pas d'asymptote verticale

Pour une fonction contenant un exposant, il est typique séparéétude du « plus » et du « moins de l'infini », cependant, notre vie est facilitée par la symétrie du graphique - soit il y a une asymptote à gauche et à droite, soit il n'y en a pas. Donc les deux limite infinie peuvent être déposés sous une seule entrée. Pendant la solution que nous utilisons La règle de l'Hôpital:

La ligne droite (axe) est l'asymptote horizontale du graphique en .

Veuillez noter comment j'ai astucieusement évité l'algorithme complet pour trouver l'asymptote oblique : la limite est tout à fait légale et clarifie le comportement de la fonction à l'infini, et l'asymptote horizontale a été découverte « comme si en même temps ».

De la continuité et de l'existence asymptote horizontale s'ensuit que la fonction délimité au-dessus Et délimité en dessous.

3) Points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées, intervalles de signe constant.

Ici, nous raccourcissons également la solution :
Le graphique passe par l'origine.

Il n'y a pas d'autres points d'intersection avec les axes de coordonnées. De plus, les intervalles de constance de signe sont évidents, et l'axe n'a pas besoin d'être tracé : , ce qui signifie que le signe de la fonction ne dépend que de « x » :
, Si ;
, Si .

4) Extréma croissants, décroissants de la fonction.


– les points critiques.

Les points sont symétriques par rapport à zéro, comme il se doit.

Déterminons les signes de la dérivée :


La fonction augmente sur un intervalle et diminue sur des intervalles

Au moment où la fonction atteint son maximum : .

En raison de la propriété (la bizarrerie de la fonction) le minimum n'a pas besoin d'être calculé :

Puisque la fonction décroît sur l’intervalle, alors, évidemment, le graphique est situé à « moins l’infini » sous son asymptote. Au cours de l'intervalle, la fonction diminue également, mais ici c'est l'inverse : après avoir passé par le point maximum, la ligne se rapproche de l'axe par le haut.

De ce qui précède, il s'ensuit également que le graphique de la fonction est convexe à « moins l'infini » et concave à « plus l'infini ».

Après ce point d'étude, la plage de valeurs des fonctions a été tracée :

Si vous avez des incompréhensions sur certains points, je vous invite encore une fois à les noter dans votre cahier. axes de coordonnées et, avec un crayon à la main, réanalysez chaque conclusion du devoir.

5) Convexité, concavité, plis du graphique.

– les points critiques.

La symétrie des points est préservée et, très probablement, nous ne nous trompons pas.

Définissons les signes :


Le graphique de la fonction est convexe sur et concave sur .

La convexité/concavité aux intervalles extrêmes a été confirmée.

En tout points critiques Il y a des problèmes dans le calendrier. Trouvons les ordonnées des points d'inflexion, et réduisons encore le nombre de calculs en utilisant l'impair de la fonction :