Les valeurs les plus grandes et les plus petites sans dérivée. A quel moment la dérivée est-elle la plus grande ? Étudier une fonction de convexité et de point d'inflexion

Laissez la fonction y =f(X) est continue sur l'intervalle [ une, b]. Comme on le sait, une telle fonction atteint ses valeurs maximales et minimales sur ce segment. La fonction peut prendre ces valeurs soit point interne segment [ une, b], ou sur la limite du segment.

Pour trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction sur le segment [ une, b] nécessaire:

1) trouver points critiques fonctions dans l'intervalle ( une, b);

2) calculer les valeurs de la fonction aux points critiques trouvés ;

3) calculer les valeurs de la fonction aux extrémités du segment, c'est-à-dire lorsque x=UN et x = b;

4) parmi toutes les valeurs calculées de la fonction, sélectionnez la plus grande et la plus petite.

Exemple. Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction

sur le segment.

Trouver les points critiques :

Ces points se situent à l'intérieur du segment ; oui(1) = ‒ 3; oui(2) = ‒ 4; oui(0) = ‒ 8; oui(3) = 1;

au point x= 3 et au point x= 0.

Etude d'une fonction de convexité et de point d'inflexion.

Fonction oui = f (x) appelé convexe entre (un, b) , si son graphique se situe sous la tangente tracée en tout point de cet intervalle, et s'appelle convexe vers le bas (concave), si son graphique se situe au-dessus de la tangente.

Le point par lequel la convexité est remplacée par la concavité ou vice versa est appelé point d'inflexion.

Algorithme d'examen de la convexité et du point d'inflexion :

1. Trouvez les points critiques du deuxième type, c'est-à-dire les points auxquels la dérivée seconde est égale à zéro ou n'existe pas.

2. Tracez les points critiques sur la droite numérique, en la divisant en intervalles. Trouvez le signe de la dérivée seconde sur chaque intervalle ; si , alors la fonction est convexe vers le haut, si, alors la fonction est convexe vers le bas.

3. Si, en passant par un point critique de seconde espèce, le signe change et qu'à ce point la dérivée seconde est égale à zéro, alors ce point est l'abscisse du point d'inflexion. Trouvez son ordonnée.

Asymptotes du graphique d'une fonction. Etude d'une fonction pour les asymptotes.

Définition. L'asymptote du graphe d'une fonction s'appelle droit, qui a la propriété que la distance entre n'importe quel point du graphique et cette ligne tend vers zéro lorsque le point du graphique s'éloigne indéfiniment de l'origine.

Il existe trois types d'asymptotes : vertical, horizontal et incliné.

Définition. La ligne droite s'appelle asymptote verticale graphiques de fonctions y = f(x), si au moins une des limites unilatérales de la fonction en ce point est égale à l'infini, c'est-à-dire

où est le point de discontinuité de la fonction, c'est-à-dire qu'elle n'appartient pas au domaine de définition.

Exemple.

D ( oui) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – point de rupture.

Définition. Droit y =UN appelé asymptote horizontale graphiques de fonctions y = f(x)à , si

Exemple.

Définition. Droit y =kx +b (k≠ 0) est appelé asymptote oblique graphiques de fonctions y = f(x)à , où

Schéma général d'étude des fonctions et de construction de graphiques.

Algorithme de recherche fonctionnelley = f(x) :

1. Trouvez le domaine de la fonction D (oui).

2. Trouver (si possible) les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées (si x= 0 et à oui = 0).

3. Examinez la régularité et l'impair de la fonction ( oui (‒ x) = oui (x) ‒ parité; oui(‒ x) = ‒ oui (x) ‒ impair).

4. Trouvez les asymptotes du graphique de la fonction.

5. Trouvez les intervalles de monotonie de la fonction.

6. Trouvez les extrema de la fonction.

7. Trouvez les intervalles de convexité (concavité) et les points d'inflexion du graphique de fonctions.

8. Sur la base des recherches effectuées, construisez un graphique de la fonction.

Exemple. Explorez la fonction et construisez son graphique.

1) D (oui) =

x= 4 – point de rupture.

2) Quand x = 0,

(0 ; ‒ 5) – point d'intersection avec Oh.

À oui = 0,

3) oui(‒ x)= fonction vue générale(ni pair, ni impair).

4) Nous recherchons les asymptotes.

a) verticale

b) horizontale

c) trouver les asymptotes obliques où

‒équation asymptote oblique

5) Dans cette équation il n'est pas nécessaire de trouver des intervalles de monotonie de la fonction.

6)

Ces points critiques divisent tout le domaine de définition de la fonction en l'intervalle (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) et (10; +∞). Il convient de présenter les résultats obtenus sous la forme du tableau suivant.

En pratique, il est assez courant d’utiliser la dérivée pour calculer la plus grande et la plus petite valeur d’une fonction. Nous effectuons cette action lorsque nous trouvons comment minimiser les coûts, augmenter les profits, calculer la charge optimale de production, etc., c'est-à-dire dans les cas où nous devons déterminer valeur optimale n’importe quel paramètre. Pour résoudre correctement de tels problèmes, vous devez bien comprendre quel est le plus grand et plus petite valeur fonctions.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Généralement, nous définissons ces valeurs dans un certain intervalle x, qui à son tour peut correspondre à l'ensemble du domaine de la fonction ou à une partie de celui-ci. Cela peut être comme un segment [a; b ] , et intervalle ouvert (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), intervalle infini (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) ou intervalle infini - ∞ ; une , (- ∞ ; une ] , [ une ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Dans cet article, nous vous expliquerons comment calculer explicitement la valeur la plus grande et la plus petite. fonction donnée avec une variable y=f(x) y = f (x) .

Définitions de base

Commençons, comme toujours, par la formulation des définitions de base.

Définition 1

La plus grande valeur de la fonction y = f (x) sur un certain intervalle x est la valeur m a x y = f (x 0) x ∈ X, qui pour toute valeur x x ∈ X, x ≠ x 0 fait l'inégalité f (x) ≤ f (x) valide 0) .

Définition 2

La plus petite valeur de la fonction y = f (x) sur un certain intervalle x est la valeur m i n x ∈ X y = f (x 0), ce qui pour toute valeur x ∈ X, x ≠ x 0 fait l'inégalité f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Ces définitions sont assez évidentes. Encore plus simple, on peut dire ceci : la plus grande valeur d'une fonction est sa plus grande valeur. grande valeur sur un intervalle connu en abscisse x 0, et la plus petite est la plus petite valeur acceptée sur le même intervalle en x 0.

Définition 3

Les points stationnaires sont les valeurs de l'argument d'une fonction auxquelles sa dérivée devient 0.

Pourquoi avons-nous besoin de savoir ce que sont les points stationnaires ? Pour répondre à cette question, il faut rappeler le théorème de Fermat. Il en résulte qu'un point stationnaire est un point où se situe l'extremum de la fonction différentiable (c'est-à-dire son minimum local ou maximum). Par conséquent, la fonction prendra la valeur la plus petite ou la plus grande sur un certain intervalle précisément en l'un des points stationnaires.

Une fonction peut également prendre la valeur la plus grande ou la plus petite aux points où la fonction elle-même est définie et où sa dérivée première n'existe pas.

La première question qui se pose lorsqu'on étudie ce sujet est : dans tous les cas, peut-on déterminer la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction pour ce segment? Non, nous ne pouvons pas faire cela lorsque les limites d'un intervalle donné coïncident avec les limites de la zone de définition, ou si nous avons affaire à un intervalle infini. Il arrive aussi qu'une fonction dans un segment donné ou à l'infini prenne des valeurs infiniment petites ou infiniment grandes. Dans ces cas, il n’est pas possible de déterminer la valeur la plus grande et/ou la plus petite.

Ces points deviendront plus clairs après avoir été représentés sur les graphiques :

La première figure nous montre une fonction qui prend les valeurs les plus grandes et les plus petites (m a x y et m i n y) en des points stationnaires situés sur le segment [ - 6 ; 6].

Examinons en détail le cas indiqué dans le deuxième graphique. Changeons la valeur du segment en [ 1 ; 6 ] et nous constatons que la plus grande valeur de la fonction sera atteinte au point dont l'abscisse est sur la limite droite de l'intervalle, et la plus petite au point point fixe.

Dans la troisième figure, les abscisses des points représentent les points limites du segment [ - 3 ; 2]. Elles correspondent à la plus grande et à la plus petite valeur d'une fonction donnée.

Regardons maintenant la quatrième image. Dans celui-ci, la fonction prend m a x y (la plus grande valeur) et m i n y (la plus petite valeur) à des points stationnaires sur l'intervalle ouvert (- 6 ; 6).

Si l'on prend l'intervalle [ 1 ; 6), alors on peut dire que la plus petite valeur de la fonction sur celui-ci sera atteinte en un point stationnaire. La plus grande valeur nous sera inconnue. La fonction pourrait prendre sa valeur maximale à x égal à 6 si x = 6 appartenait à l'intervalle. C’est exactement le cas montré dans le graphique 5.

Sur le graphique 6 la valeur la plus basse cette fonction acquiert à la limite droite de l'intervalle (- 3; 2 ], et nous ne pouvons pas tirer de conclusions définitives sur la plus grande valeur.

Sur la figure 7, nous voyons que la fonction aura m a x y en un point stationnaire ayant une abscisse égale à 1. La fonction atteindra sa valeur minimale à la limite de l'intervalle c côté droit. À moins l'infini, les valeurs de la fonction se rapprocheront asymptotiquement de y = 3.

Si l'on prend l'intervalle x ∈ 2 ; + ∞ , alors nous verrons que la fonction donnée ne prendra ni la plus petite ni la plus grande valeur. Si x tend vers 2, alors les valeurs de la fonction tendront vers moins l'infini, puisque la droite x = 2 est asymptote verticale. Si l'abscisse tend vers plus l'infini, alors les valeurs de la fonction se rapprocheront asymptotiquement de y = 3. C’est exactement le cas illustré à la figure 8.

Dans ce paragraphe, nous présenterons la séquence d'actions à effectuer pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction sur un certain segment.

1. Tout d’abord, trouvons le domaine de définition de la fonction. Vérifions si le segment spécifié dans la condition y est inclus.
2. Calculons maintenant les points contenus dans ce segment pour lesquels la dérivée première n'existe pas. Le plus souvent on les retrouve dans des fonctions dont l'argument est écrit sous le signe du module, ou dans fonctions de puissance, dont l’exposant est un nombre fractionnaire rationnel.
3. Ensuite, nous découvrirons quels points stationnaires tomberont dans le segment donné. Pour ce faire, vous devez calculer la dérivée de la fonction, puis l'assimiler à 0 et résoudre l'équation résultante, puis sélectionner les racines appropriées. Si nous n’obtenons pas un seul point stationnaire ou s’il n’appartient pas au segment donné, nous passons à l’étape suivante.
4. Nous déterminons quelles valeurs la fonction prendra à des points stationnaires donnés (le cas échéant), ou à ces points où la dérivée première n'existe pas (s'il y en a), ou nous calculons les valeurs pour x = a et x = b.
5. 5. Nous disposons d’un certain nombre de valeurs de fonction parmi lesquelles nous devons maintenant sélectionner la plus grande et la plus petite. Ce seront les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction que nous devons trouver.

Voyons comment appliquer correctement cet algorithme lors de la résolution de problèmes.

Exemple 1

Condition: la fonction y = x 3 + 4 x 2 est donnée. Déterminez ses valeurs les plus grandes et les plus petites sur les segments [ 1 ; 4 ] et [ - 4 ; -1 ] .

Solution:

Commençons par trouver le domaine de définition d'une fonction donnée. Dans ce cas, elle aura beaucoup de tout le monde nombres réels, sauf 0 . En d'autres termes, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Les deux segments spécifiés dans la condition se trouveront à l'intérieur de la zone de définition.

Calculons maintenant la dérivée de la fonction selon la règle de différenciation des fractions :

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x3

Nous avons appris que la dérivée d'une fonction existera en tout point des segments [ 1 ; 4 ] et [ - 4 ; -1 ] .

Nous devons maintenant déterminer les points stationnaires de la fonction. Faisons cela en utilisant l'équation x 3 - 8 x 3 = 0. Il n’a qu’une seule vraie racine, qui est 2. Ce sera un point stationnaire de la fonction et tombera dans le premier segment [1; 4].

Calculons les valeurs de la fonction aux extrémités du premier segment et à ce stade, c'est-à-dire pour x = 1, x = 2 et x = 4 :

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Nous avons constaté que la plus grande valeur de la fonction m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 sera atteint à x = 1, et le plus petit m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – à x = 2.

Le deuxième segment ne comprend pas un seul point stationnaire, nous devons donc calculer les valeurs de fonction uniquement aux extrémités du segment donné :

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Cela signifie m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m je n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Répondre: Pour le segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m je n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , pour le segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m je n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Voir photo :

Avant d'étudier cette méthode, nous vous conseillons de revoir comment calculer correctement la limite unilatérale et la limite à l'infini, ainsi que d'apprendre les méthodes de base pour les trouver. Pour trouver la plus grande et/ou la plus petite valeur d’une fonction sur un intervalle ouvert ou infini, effectuez les étapes suivantes de manière séquentielle.

1. Vous devez d’abord vérifier si l’intervalle donné est un sous-ensemble du domaine de définition de cette fonction.
2. Déterminons tous les points contenus dans l'intervalle requis et auxquels la dérivée première n'existe pas. Ils apparaissent généralement dans les fonctions où l'argument est entouré du signe du module et dans les fonctions puissance avec un signe fractionnaire. indicateur rationnel. Si ces points manquent, vous pouvez alors passer à l'étape suivante.
3. Déterminons maintenant quels points stationnaires se situeront dans l’intervalle donné. Tout d’abord, nous assimilons la dérivée à 0, résolvons l’équation et sélectionnons les racines appropriées. Si nous n'avons pas un seul point stationnaire ou s'ils ne se situent pas dans l'intervalle donné, alors nous passons immédiatement à d'autres actions. Ils sont déterminés par le type d'intervalle.

• Si l'intervalle est de la forme [ a ; b) , alors nous devons calculer la valeur de la fonction au point x = a et unilatéral limite limite x → b - 0 f (x) .
• Si l'intervalle a la forme (a; b ], alors nous devons calculer la valeur de la fonction au point x = b et la limite unilatérale lim x → a + 0 f (x).
• Si l'intervalle a la forme (a; b), alors nous devons calculer les limites unilatérales lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Si l'intervalle est de la forme [ a ; + ∞), alors nous devons calculer la valeur au point x = a et la limite à plus l'infini lim x → + ∞ f (x) .
• Si l'intervalle ressemble à (- ∞ ; b ] , on calcule la valeur au point x = b et la limite à moins l'infini lim x → - ∞ f (x) .
• Si - ∞ ; b , alors nous considérons la limite unilatérale lim x → b - 0 f (x) et la limite à moins l'infini lim x → - ∞ f (x)
• Si - ∞ ; + ∞ , alors on considère les limites sur moins et plus l'infini lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. À la fin, vous devez tirer une conclusion basée sur les valeurs et limites de la fonction obtenues. De nombreuses options sont disponibles ici. Ainsi, si la limite unilatérale est égale à moins l'infini ou à plus l'infini, alors il est immédiatement clair que rien ne peut être dit sur les valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction. Ci-dessous, nous en examinerons un exemple typique. Descriptions détaillées vous aidera à comprendre de quoi il s'agit. Si nécessaire, vous pouvez revenir aux figures 4 à 8 dans la première partie du matériel.

Condition : fonction donnée y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calculez sa plus grande et sa plus petite valeur dans les intervalles - ∞ ; - 4, - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Solution

Tout d’abord, on retrouve le domaine de définition de la fonction. Le dénominateur de la fraction contient trinôme quadratique, qui ne doit pas aller à 0 :

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Nous avons obtenu le domaine de définition de la fonction auquel appartiennent tous les intervalles spécifiés dans la condition.

Maintenant, différencions la fonction et obtenons :

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1" · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Par conséquent, les dérivées d’une fonction existent dans tout son domaine de définition.

Passons à la recherche de points stationnaires. La dérivée de la fonction devient 0 à x = - 1 2 . Il s'agit d'un point stationnaire qui se situe dans les intervalles (- 3 ; 1 ] et (- 3 ; 2) .

Calculons la valeur de la fonction à x = - 4 pour l'intervalle (- ∞ ; - 4 ], ainsi que la limite à moins l'infini :

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Puisque 3 e 1 6 - 4 > - 1, cela signifie que m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Cela ne nous permet pas de déterminer de manière unique la plus petite valeur de fonction. On ne peut que conclure qu'il existe une contrainte en dessous de - 1, puisque c'est de cette valeur que la fonction se rapproche asymptotiquement à moins l'infini.

La particularité du deuxième intervalle est qu'il n'y a pas un seul point stationnaire ni une seule limite stricte. Par conséquent, nous ne pourrons calculer ni la plus grande ni la plus petite valeur de la fonction. Après avoir défini la limite à moins l'infini et comme l'argument tend vers - 3 du côté gauche, on obtient seulement un intervalle de valeurs :

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 et 0 - 4 = - 1

Cela signifie que les valeurs de la fonction seront situées dans l'intervalle - 1 ; +∞

Pour trouver la plus grande valeur de la fonction dans le troisième intervalle, on détermine sa valeur au point stationnaire x = - 1 2 si x = 1. Nous aurons également besoin de connaître la limite unilatérale pour le cas où l'argument tend vers - 3 du côté droit :

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 oui (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Il s'est avéré que la fonction prendra la plus grande valeur en un point stationnaire m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Quant à la plus petite valeur, nous ne pouvons pas la déterminer. Tout ce que nous savons , est la présence d'une limite inférieure à - 4 .

Pour l'intervalle (- 3 ; 2), prenez les résultats du calcul précédent et calculez à nouveau à quoi est égale la limite unilatérale lorsqu'on tend vers 2 sur le côté gauche :

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Cela signifie que m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, et la plus petite valeur ne peut pas être déterminée, et les valeurs de la fonction sont limitées d'en bas par le nombre - 4 .

D'après ce que nous avons obtenu dans les deux calculs précédents, nous pouvons dire que sur l'intervalle [ 1 ; 2) la fonction prendra la plus grande valeur à x = 1, mais il est impossible de trouver la plus petite.

Sur l'intervalle (2 ; + ∞) la fonction n'atteindra ni la plus grande ni la plus petite valeur, c'est-à-dire il prendra les valeurs de l'intervalle - 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Après avoir calculé à quoi sera égale la valeur de la fonction à x = 4, nous découvrons que m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , et la fonction donnée à plus l'infini s'approchera asymptotiquement de la droite y = - 1 .

Comparons ce que nous avons obtenu dans chaque calcul avec le graphique de la fonction donnée. Sur la figure, les asymptotes sont représentées par des lignes pointillées.

C'est tout ce que nous voulions vous dire sur la recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction. Les séquences d'actions que nous vous avons données vous aideront à effectuer les calculs nécessaires le plus rapidement et le plus simplement possible. Mais rappelez-vous qu'il est souvent utile de déterminer d'abord à quels intervalles la fonction diminuera et à quels intervalles elle augmentera, après quoi vous pourrez tirer d'autres conclusions. De cette façon, vous pouvez déterminer plus précisément les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction et justifier les résultats obtenus.

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Chers amis! Le groupe de tâches liées à la dérivée comprend des tâches - la condition donne un graphe d'une fonction, plusieurs points sur ce graphe et la question est :

A quel moment la dérivée est-elle la plus grande (la plus petite) ?

Répétons brièvement :

La dérivée en un point est égale à pente tangente passant parce point sur le graphique.

Ule coefficient global de la tangente à son tour égal à la tangente l'angle d'inclinaison de cette tangente.

*Il s'agit de l'angle entre la tangente et l'axe des x.

1. Sur les intervalles de fonction croissante, la dérivée a valeur positive.

2. Aux intervalles de sa diminution, la dérivée a valeur négative.

Considérons le croquis suivant :

Aux points 1,2,4, la dérivée de la fonction a une valeur négative, puisque ces points appartiennent à des intervalles décroissants.

Aux points 3,5,6, la dérivée de la fonction a une valeur positive, puisque ces points appartiennent à des intervalles croissants.

Comme vous pouvez le voir, tout est clair avec la signification de la dérivée, c'est-à-dire qu'il n'est pas du tout difficile de déterminer quel signe elle a (positif ou négatif) à un certain point du graphique.

De plus, si nous construisons mentalement des tangentes en ces points, nous verrons que les droites passant par les points 3, 5 et 6 forment des angles avec l'axe oX allant de 0 à 90 o, et les droites passant par les points 1, 2 et 4 forment avec l'axe oX les angles vont de 90 o à 180 o.

*La relation est claire : les tangentes passant par des points appartenant à des intervalles de fonctions croissantes se forment avec l'axe oX coins pointus, les tangentes passant par des points appartenant à des intervalles de fonctions décroissantes forment des angles obtus avec l'axe oX.

Maintenant la question importante !

Comment évolue la valeur du dérivé ? Après tout, la tangente dans différents points graphique fonction continue formulaires différents angles, en fonction du point du graphique par lequel il passe.

*Ou, parlant dans un langage simple, la tangente est située comme « horizontalement » ou « verticalement ». Regarder:

Les lignes droites forment des angles avec l'axe oX allant de 0 à 90 o

Les lignes droites forment des angles avec l'axe oX allant de 90° à 180°

Par conséquent, si vous avez des questions :

— en lequel des points donnés sur le graphique la dérivée a-t-elle la plus petite valeur ?

- en quel point du graphique la dérivée a-t-elle la plus grande valeur ?

alors pour répondre il faut comprendre comment la valeur de la tangente de l'angle tangent change dans la plage de 0 à 180 o.

*Comme déjà mentionné, la valeur de la dérivée de la fonction en un point est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente à l'axe oX.

La valeur de la tangente change comme suit :

Lorsque l'angle d'inclinaison de la droite passe de 0° à 90°, la valeur de la tangente, et donc la dérivée, passe en conséquence de 0 à +∞ ;

Lorsque l'angle d'inclinaison de la droite passe de 90° à 180°, la valeur de la tangente, et donc la dérivée, change en conséquence –∞ à 0.

Cela peut être clairement vu sur le graphique de la fonction tangente :

En termes simples :

Avec un angle d'inclinaison tangent de 0° à 90°

Plus il est proche de 0 o, plus la valeur de la dérivée sera proche de zéro (du côté positif).

Plus l'angle est proche de 90°, plus la valeur de la dérivée augmentera vers +∞.

Avec un angle d'inclinaison tangent de 90° à 180°

Plus elle est proche de 90 o, plus la valeur dérivée diminuera vers –∞.

Plus l'angle est proche de 180°, plus la valeur de la dérivée sera proche de zéro (du côté négatif).

317543. La figure montre le graphique de la fonction y = f(x) et les points sont marqués–2, –1, 1, 2. À lequel de ces points la dérivée est-elle la plus grande ? Veuillez indiquer ce point dans votre réponse.

Nous avons quatre points : deux d'entre eux appartiennent aux intervalles sur lesquels la fonction décroît (ce sont les points –1 et 1) et deux aux intervalles sur lesquels la fonction augmente (ce sont les points –2 et 2).

Nous pouvons immédiatement conclure qu'aux points –1 et 1 la dérivée a une valeur négative, et aux points –2 et 2 elle a une valeur positive. Donc dans dans ce cas il est nécessaire d'analyser les points –2 et 2 et de déterminer lequel d'entre eux aura la plus grande valeur. Construisons des tangentes passant par les points indiqués :

La valeur de la tangente de l'angle entre la droite a et l'axe des abscisses sera plus grande valeur tangente de l'angle entre la droite b et cet axe. Cela signifie que la valeur de la dérivée au point –2 sera la plus grande.

Nous répondrons question suivante: A quel point –2, –1, 1 ou 2 la dérivée est-elle la plus négative ? Veuillez indiquer ce point dans votre réponse.

La dérivée aura une valeur négative aux points appartenant aux intervalles décroissants, considérons donc les points –2 et 1. Construisons des tangentes qui les traversent :

Nous voyons que angle obtus entre la droite b et l’axe oX est « plus proche » de 180Ô , donc sa tangente sera supérieure à la tangente de l'angle formé par la droite a et l'axe oX.

Ainsi, au point x = 1, la valeur de la dérivée sera la plus négative.

317544. La figure montre le graphique de la fonction y = f(x) et les points sont marqués–2, –1, 1, 4. En lequel de ces points la dérivée est-elle la plus petite ? Veuillez indiquer ce point dans votre réponse.

Nous avons quatre points : deux d'entre eux appartiennent aux intervalles auxquels la fonction diminue (ce sont les points –1 et 4) et deux aux intervalles auxquels la fonction augmente (ce sont les points –2 et 1).

Nous pouvons immédiatement conclure qu'aux points –1 et 4 la dérivée a une valeur négative, et aux points –2 et 1 elle a une valeur positive. Par conséquent, dans ce cas, il est nécessaire d’analyser les points –1 et 4 et de déterminer lequel d’entre eux aura la plus petite valeur. Construisons des tangentes passant par les points indiqués :

La valeur de la tangente de l'angle entre la droite a et l'axe des abscisses sera supérieure à la valeur de la tangente de l'angle entre la droite b et cet axe. Cela signifie que la valeur de la dérivée au point x = 4 sera la plus petite.

Réponse : 4

J’espère que je ne vous ai pas « surchargé » avec la quantité d’écriture. En fait, tout est très simple, il suffit de comprendre les propriétés de la dérivée, sa signification géométrique et comment la tangente de l'angle passe de 0 à 180 o.

1. Tout d'abord, déterminez les signes de la dérivée en ces points (+ ou -) et sélectionnez points nécessaires(selon la question posée).

2. Construisez des tangentes à ces points.

3. À l'aide du graphique tangésoïde, marquez schématiquement les angles et affichezAlexandre.

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Parfois, dans les problèmes B15, il y a des « mauvaises » fonctions pour lesquelles il est difficile de trouver une dérivée. Auparavant, cela ne se produisait que lors de tests par échantillons, mais ces tâches sont désormais si courantes qu'elles ne peuvent plus être ignorées lors de la préparation du véritable examen d'État unifié.

Dans ce cas, d'autres techniques fonctionnent, dont l'une est monotone.

Une fonction f (x) est dite croissante de manière monotone sur le segment si pour l'un quelconque des points x 1 et x 2 de ce segment, ce qui suit est vrai :

x1< x 2 ⇒ f (x1) < f (x2).

Une fonction f (x) est dite décroissante de façon monotone sur le segment si pour l'un quelconque des points x 1 et x 2 de ce segment, ce qui suit est vrai :

x1< x 2 ⇒ f (x1) > f ( x2).

En d’autres termes, pour une fonction croissante, plus x est grand, plus f(x) est grand. Pour une fonction décroissante, l’inverse est vrai : plus x est grand, plus moins f(x).

Par exemple, le logarithme augmente de façon monotone si la base a > 1, et diminue de façon monotone si 0< a < 1. Не забывайте про область valeurs acceptables logarithme : x > 0.

f (x) = log a x (a > 0 ; a ≠ 1 ; x > 0)

La racine carrée arithmétique (et pas seulement carrée) augmente de façon monotone sur tout le domaine de définition :

Fonction exponentielle se comporte de manière similaire à un logarithme : il augmente pour a > 1 et diminue pour 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = une x (une > 0)

Enfin, les diplômes avec indicateur négatif. Vous pouvez les écrire sous forme de fraction. Ils ont un point de rupture où la monotonie est rompue.

Toutes ces fonctions ne se retrouvent jamais sous leur forme pure. Ils ajoutent des polynômes, des fractions et d'autres absurdités, ce qui rend difficile le calcul de la dérivée. Regardons ce qui se passe dans ce cas.

Coordonnées du sommet de la parabole

Le plus souvent, l'argument de la fonction est remplacé par trinôme quadratique de la forme y = ax 2 + bx + c. Son graphique est une parabole étalon à laquelle on s'intéresse :

1. Les branches d'une parabole peuvent monter (pour a > 0) ou descendre (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Le sommet d'une parabole est le point extremum d'une fonction quadratique auquel cette fonction prend son minimum (pour a > 0) ou son maximum (a< 0) значение.

Le plus grand intérêt est sommet de la parabole, dont l'abscisse est calculée par la formule :

Nous avons donc trouvé le point extrême de la fonction quadratique. Mais si la fonction originale est monotone, pour elle le point x 0 sera aussi un point extremum. Formulons donc la règle clé :

Points extrêmes d'un trinôme quadratique et fonction complexe, dans lequel il est inclus, coïncident. Par conséquent, vous pouvez rechercher x 0 pour un trinôme quadratique et oublier la fonction.

D’après le raisonnement ci-dessus, il reste difficile de savoir quel point nous obtenons : maximum ou minimum. Cependant, les tâches sont spécifiquement conçues pour que cela n'ait pas d'importance. Jugez par vous-même :

1. Il n'y a aucun segment dans l'énoncé du problème. Il n’est donc pas nécessaire de calculer f(a) et f(b). Il ne reste plus qu'à considérer les points extrêmes ;
2. Mais il n'y a qu'un seul point de ce type - c'est le sommet de la parabole x 0, dont les coordonnées sont calculées littéralement oralement et sans aucune dérivée.

Ainsi, la résolution du problème est grandement simplifiée et se résume à seulement deux étapes :

1. Écrivez l'équation de la parabole y = ax 2 + bx + c et trouvez son sommet en utilisant la formule : x 0 = −b /2a ;
2. Trouvez la valeur de la fonction d'origine à ce stade : f (x 0). Si non conditions supplémentaires non, ce sera la réponse.

À première vue, cet algorithme et sa logique peuvent paraître compliqués. Je ne publie délibérément pas de diagramme de solution « simple », car l'application irréfléchie de telles règles est semée d'erreurs.

Examinons les vrais problèmes de essai Examen d'État unifié en mathématiques - c'est là que l'on retrouve le plus souvent cette technique. En même temps, nous veillerons à ce que de cette manière de nombreux problèmes liés au B15 deviennent presque oraux.

Sous les racines se dresse fonction quadratique y = x 2 + 6x + 13. Le graphique de cette fonction est une parabole avec des branches vers le haut, puisque le coefficient a = 1 > 0.

Sommet de la parabole :

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Puisque les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, au point x 0 = −3 la fonction y = x 2 + 6x + 13 prend sa valeur minimale.

La racine augmente de manière monotone, ce qui signifie que x 0 est le point minimum de toute la fonction. Nous avons:

Tâche. Trouvez la plus petite valeur de la fonction :

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Sous le logarithme il y a encore une fonction quadratique : y = x 2 + 2x + 9. Le graphique est une parabole avec des branches vers le haut, car une = 1 > 0.

Sommet de la parabole :

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Ainsi, au point x 0 = −1 la fonction quadratique prend sa valeur minimale. Mais la fonction y = log 2 x est monotone, donc :

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

L'exposant contient la fonction quadratique y = 1 − 4x − x 2 . Réécrivons-le en forme normale: y = −x 2 − 4x + 1.

Évidemment, le graphique de cette fonction est une parabole, avec des branches descendantes (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

La fonction d'origine est exponentielle, elle est monotone, donc la plus grande valeur sera au point trouvé x 0 = −2 :

Un lecteur attentif remarquera probablement que nous n'avons pas écrit la plage de valeurs admissibles de la racine et du logarithme. Mais ce n'était pas obligatoire : à l'intérieur se trouvent des fonctions dont les valeurs sont toujours positives.

Corollaires du domaine d'une fonction

Parfois, trouver simplement le sommet de la parabole ne suffit pas à résoudre le problème B15. La valeur que vous recherchez peut mentir à la fin du segment, et pas du tout à l'extrême. Si le problème n'indique aucun segment, regardez plage de valeurs acceptables fonction originale. À savoir:

Attention encore : zéro peut très bien être sous la racine, mais jamais dans le logarithme ou le dénominateur d'une fraction. Voyons comment cela fonctionne avec des exemples spécifiques :

Tâche. Trouvez la plus grande valeur de la fonction :

Sous la racine se trouve à nouveau une fonction quadratique : y = 3 − 2x − x 2 . Son graphique est une parabole, mais ses branches descendent car a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.

Nous écrivons la plage de valeurs admissibles (APV) :

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Trouvons maintenant le sommet de la parabole :

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Le point x 0 = −1 appartient au segment ODZ - et c'est bien. Calculons maintenant la valeur de la fonction au point x 0, ainsi qu'aux extrémités de l'ODZ :

y(−3) = y(1) = 0

Nous avons donc obtenu les nombres 2 et 0. On nous demande de trouver le plus grand - c'est le nombre 2.

Tâche. Trouvez la plus petite valeur de la fonction :

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

À l'intérieur du logarithme se trouve une fonction quadratique y = 6x − x 2 − 5. C'est une parabole avec des branches vers le bas, mais dans un logarithme il ne peut y avoir nombres négatifs, nous écrivons donc l'ODZ :

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Attention : l'inégalité est stricte, les extrémités n'appartiennent donc pas à l'ODZ. Cela diffère du logarithme de la racine, où les extrémités du segment nous conviennent assez bien.

On cherche le sommet de la parabole :

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Le sommet de la parabole s'ajuste selon l'ODZ : x 0 = 3 ∈ (1 ; 5). Mais comme on ne s'intéresse pas aux extrémités du segment, on calcule la valeur de la fonction uniquement au point x 0 :

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Parfois, dans les problèmes B14, il y a des « mauvaises » fonctions pour lesquelles il est difficile de trouver une dérivée. Auparavant, cela ne se produisait que lors de tests par échantillons, mais ces tâches sont désormais si courantes qu'elles ne peuvent plus être ignorées lors de la préparation du véritable examen d'État unifié. Dans ce cas, d'autres techniques fonctionnent, dont la monotonie. Définition Une fonction f (x) est dite croissante de façon monotone sur le segment si pour l'un des points x 1 et x 2 de ce segment, ce qui suit est vrai : x 1

Définition. Une fonction f (x) est dite décroissante de manière monotone sur le segment si pour n'importe quel point x 1 et x 2 de ce segment, ce qui suit est vrai : x 1 f (x 2). En d’autres termes, pour une fonction croissante, plus x est grand, plus f(x) est grand. Pour une fonction décroissante, l’inverse est vrai : plus x est grand, plus f(x) est petit.

Exemples. Le logarithme augmente de façon monotone si la base a > 1, et diminue de façon monotone si 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1 ; x > 0) 1, et diminue de façon monotone si 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1 ; x > 0)"> 1, et diminue de façon monotone si 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1, et diminue de façon monotone si 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Examples . Le logarithme augmente de façon monotone si la base a > 1, et diminue de façon monotone si 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1 ; x > 0)"> title="Exemples. Le logarithme augmente de façon monotone si la base a > 1, et diminue de façon monotone si 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1 ; x > 0)"> !}

Exemples. La fonction exponentielle se comporte de manière similaire au logarithme : elle augmente pour a > 1 et décroît pour 0 0 : 1 et diminue à 0 0:"> 1 et diminue à 0 0:"> 1 et diminue à 0 0:" title="Exemples. La fonction exponentielle se comporte de la même manière que le logarithme : elle augmente pour a > 1 et diminue pour 0 0 :"> title="Exemples. La fonction exponentielle se comporte de manière similaire au logarithme : elle augmente pour a > 1 et décroît pour 0 0 :"> !}

0) ou vers le bas (un 0) ou vers le bas (un 9 Coordonnées du sommet de la parabole Le plus souvent, l'argument de la fonction est remplacé par un trinôme carré de la forme Son graphe est une parabole type, dont on s'intéresse aux branches : Les branches de la parabole peuvent monter (par exemple a > 0) ou vers le bas (a 0) ou le plus grand (a 0) ou vers le bas (a 0) ou vers le bas (a 0) ou le plus grand (a 0) ou vers le bas (a 0) ou vers le bas (a title="(! LANG : Coordonnées du sommet d'une parabole Le plus souvent, l'argument de la fonction est remplacé par un trinôme quadratique de la forme Son graphe est une parabole standard, dont on s'intéresse aux branches : Les branches d'une parabole peuvent monter (pour a > 0) ou vers le bas (a

Il n'y a aucun segment dans l'énoncé du problème. Il n’est donc pas nécessaire de calculer f(a) et f(b). Il ne reste plus qu'à considérer les points extrêmes ; Mais il n'existe qu'un seul point de ce type - le sommet de la parabole x 0, dont les coordonnées sont calculées littéralement verbalement et sans aucune dérivée.

Ainsi, la résolution du problème est grandement simplifiée et se résume à seulement deux étapes : Écrivez l'équation de la parabole et trouvez son sommet à l'aide de la formule : Trouvez la valeur de la fonction d'origine à ce stade : f (x 0). S'il n'y a pas de conditions supplémentaires, ce sera la réponse.

0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG : Trouver la plus petite valeur de la fonction : Solution : Sous la racine se trouve une fonction quadratique Graphique de cette fonction parabole avec branches vers le haut, puisque le coefficient a = 1 > 0. Haut de la parabole : x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 !} Trouver la plus petite valeur de la fonction : Solution : Sous la racine se trouve une fonction quadratique. Le graphique de cette fonction est une parabole avec des branches vers le haut, puisque le coefficient a = 1 > 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. Haut de la parabole : x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Haut de la parabole : x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG :Trouver la plus petite valeur de la fonction : Solution : Sous la racine il y a une fonction quadratique. Le graphique de cette fonction est une parabole avec des branches vers le haut, puisque le coefficient a = 1 > 0. Le sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Trouver la plus petite valeur de la fonction : Solution : Sous la racine se trouve une fonction quadratique. Le graphique de cette fonction est une parabole avec des branches vers le haut, puisque le coefficient a = 1 > 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

Trouvez la plus petite valeur de la fonction : Solution Sous le logarithme, la fonction quadratique est à nouveau Le graphique de la parabole a des branches vers le haut, car. a = 1 > 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Haut de la parabole : x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Haut de la parabole : x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="(!LANG :Trouver la plus petite valeur de la fonction : Solution Sous le logarithme se trouve encore une fonction quadratique Le graphique de la parabole a des branches ascendantes, puisque a = 1 > 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> title="Trouvez la plus petite valeur de la fonction : Solution Sous le logarithme, la fonction quadratique est à nouveau Le graphique de la parabole a des branches vers le haut, car. a = 1 > 0. Sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Trouver la plus grande valeur de la fonction : Solution : L'exposant contient une fonction quadratique Réécrivons-le sous forme normale : Évidemment, le graphique de cette fonction est une parabole, se ramifie vers le bas (a = 1

Corollaires du domaine de la fonction Parfois, pour résoudre le problème B14, il ne suffit pas de simplement trouver le sommet de la parabole. La valeur souhaitée peut se situer à la fin du segment, et pas du tout au point extrême. Si le problème ne spécifie aucun segment du tout, nous examinons la plage de valeurs admissibles de la fonction d'origine. À savoir:

0 2. La racine carrée arithmétique n'existe qu'à partir de nombres non négatifs: 3. Le dénominateur de la fraction ne doit pas être nul :" title="1. L'argument du logarithme doit être positif : y = log a f (x) f (x) > 0 2. Le carré arithmétique la racine n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur de la fraction ne doit pas être nul :" class="link_thumb"> 26 !} 1. L'argument du logarithme doit être positif : y = log a f (x) f (x) > 0 2. La racine carrée arithmétique n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur de la fraction ne doit pas être nul : 0 2. La racine carrée arithmétique n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur d'une fraction ne doit pas être égal à zéro : "> 0 2. La racine carrée arithmétique n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur d'une fraction ne doit pas être égal à zéro : "> 0 2. Arithmétique la racine carrée n'existe que pour les nombres non négatifs : 3. Le dénominateur de la fraction ne doit pas être nul :" title="1. Le L'argument du logarithme doit être positif : y = log a f (x) f (x) > 0 2. Carré arithmétique la racine n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur de la fraction ne doit pas être égal à zéro :"> title="1. L'argument du logarithme doit être positif : y = log a f (x) f (x) > 0 2. La racine carrée arithmétique n'existe qu'à partir de nombres non négatifs : 3. Le dénominateur de la fraction ne doit pas être nul :"> !}

Solution Sous la racine se trouve encore une fonction quadratique. Son graphique est une parabole, mais les branches sont dirigées vers le bas, puisque a = 1. Trouvons maintenant le sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/( 2) = 1 Point x 0 = 1 appartient au segment ODZ et c'est bien. Maintenant, nous calculons la valeur de la fonction au point x 0, ainsi qu'aux extrémités de l'ODZ : y(3) = y(1) = 0 Nous avons donc les nombres 2 et 0. On nous demande de trouver le plus grand nombre 2. Réponse : 2

Attention : l'inégalité est stricte, les extrémités n'appartiennent donc pas à l'ODZ. Cela diffère du logarithme de la racine, où les extrémités du segment nous conviennent assez bien. On cherche le sommet de la parabole : x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Le sommet de la parabole correspond à l'ODZ : x 0 = 3 ( 1 ; 5). Mais comme on ne s'intéresse pas aux extrémités du segment, on calcule la valeur de la fonction uniquement au point x 0 :

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Réponse : -2