Normal « Mon mari et moi avons vécu ensemble pendant 22 ans, et quand j'ai eu 41 ans, il est mort subitement - il est mort de froid alors qu'il buvait dans la rue. Je me suis retrouvé avec deux enfants, des garçons de 20 et 18 ans. L'aîné était dans l'armée, le plus jeune travaillait dans une usine et vivait dans un foyer - c'est en banlieue. J'étais seul tout le temps

Vous n'êtes pas un esclave !
Fermé cours éducatif pour les enfants de l’élite : « Le véritable arrangement du monde ».
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Cas particuliers

Parmi les matrices complexes, toutes les matrices unitaires, hermitiennes et asymétriques sont normales. Parmi les matrices réelles, toutes les matrices orthogonales, symétriques et antisymétriques sont normales. Cependant, il n’est pas vrai que toutes les matrices normales soient unitaires, hermitiennes ou asymétriques. Par exemple,

n'est ni unitaire, ni hermitien, ni asymétrique-hermitien, bien que ce soit normal, puisque

Conséquences

Soit A une matrice triangulaire supérieure normale. Depuis (UN ∗ UN) ii = (Les AA ∗) ii , la première ligne doit avoir la même norme que la première colonne :

Les premiers éléments de la première ligne et de la première colonne sont identiques et le reste de la première colonne est constitué de zéros. Il s'ensuit que dans la chaîne tous les éléments de 2 à n doivent être nuls. En poursuivant ces arguments pour les paires ligne/colonne numérotées de 2 à n, nous constatons que A est diagonale.

La notion de normalité est importante car les matrices normales sont exactement celles que concerne le théorème spectral :

Les éléments diagonaux de la matrice Λ sont les valeurs propres, et les colonnes de U sont les vecteurs propres de la matrice A. ( valeurs propres dans Λ sont dans le même ordre que leurs colonnes propres correspondantes dans U ).

Une autre façon d'énoncer le théorème spectral est de dire que les matrices normales sont exactement les matrices qui peuvent être représentées comme une matrice diagonale en choisissant une base orthonormée appropriée de l'espace. C n. On peut également affirmer qu'une matrice est normale si et seulement si son espace propre coïncide avec C n Et vecteurs propres orthogonal selon la norme produit scalaire V C n .

Le théorème spectral des matrices normales est un cas particulier de la décomposition de Schur plus générale, qui s'applique à toutes les matrices carrées. Soit A une matrice carrée. Ensuite, selon la décomposition de Schur, elle est unitairement similaire à une matrice triangulaire supérieure, disons B. Si A est normal, alors B est normal aussi. Mais alors B doit être diagonal pour la raison indiquée ci-dessus.

Le théorème spectral permet de classer les matrices normales en termes de spectre, par exemple :

DANS cas général la somme ou le produit de deux matrices normales n'est pas nécessairement une matrice normale. Toutefois, ce qui suit s'applique :

Dans ce cas particulier, les colonnes de la matrice U  ∗ sont des vecteurs propres de A et B et forment une base orthonormée dans C n. L'énoncé découle des théorèmes selon lesquels sur un corps algébriquement clos matrices de déplacement conjointement réductible à la forme triangulaire et qu'une matrice normale est réductible à une matrice diagonale, en ce dernier cas avec en plus que cela peut être fait en même temps.

Définitions équivalentes

Vous pouvez donner tout à fait longue liste définitions équivalentes d’une matrice normale. Soit A - n × n matrice complexe. Les déclarations suivantes sont équivalentes :

1. A est normal.
2. Un est réduit à la forme diagonale en utilisant une matrice unitaire.
3. Tous les points de l'espace peuvent être obtenus sous forme de combinaisons linéaires d'un ensemble de vecteurs propres orthonormés de la matrice A.
4. ||Hache|| = ||UN ∗ x|| pour tout x.
5. La norme de Frobenius d'une matrice A peut être calculée à partir des valeurs propres de la matrice A : Impossible d'analyser l'expression (fichier exécutable texvc introuvable ; Voir math/README pour l'aide à la configuration.) : \operatorname(tr) (A^* A) = \sum\nolimits_j |\lambda_j|^2.
6. Partie hermitienne Impossible d'analyser l'expression (fichier exécutable texvc introuvable ; Voir math/README pour l'aide à la configuration.) : (A + A^\ast)/2 et parties asymétriques-hermitiennes Impossible d'analyser l'expression (fichier exécutable texvc introuvable ; Voir math/README pour l'aide à la configuration.) : (A - A^(\ast))/2 les matrices A commutent.
7. UN∗ est un polynôme (degrés ≤ n− 1 ) de A .
8. UN ∗ = UA pour une matrice unitaire U.
9. U et P commutent, où U et P représentent la décomposition polaire UN = EN HAUT. sur matrice unitaire U et une matrice définie positive P.
10. A fait la navette avec une matrice normale N ayant des valeurs propres différentes.
11. σi = |λi| pour tout 1 ≤ ≤ n je , où A a σ 1 ≥ ... ≥ valeurs propres singulières σn |λ 1 | ≥ ... ≥ |et vecteurs propres|.
12. λn La norme d’opérateur d’une matrice normale A est égale à numérique Et rayon spectral

introuvable ; Voir math/README pour l'aide à la configuration.) : \sup_( \|x\|=1 ) \|Ax\| = \sup_( \|x\|=1 ) |\langle Axe, x \rangle| = \max \( |\lambda| : \lambda \in \sigma(A) \) Certaines des définitions énumérées ci-dessus, mais pas toutes, peuvent être généralisées aux opérateurs normaux dans les espaces de Hilbert de dimension infinie. Par exemple, un opérateur borné satisfaisant (9) est seulement.

quasi-normal

Analogies Il est parfois utile (et parfois trompeur) de considérer les connexions différents types matrices normales comme analogie avec différents types:

• nombres complexes
• Les matrices inversibles sont un analogue des nombres complexes non nuls
• La matrice conjuguée-transposée est un analogue du nombre conjugué
• Les matrices unitaires sont un analogue des nombres complexes de valeur absolue 1
• Les matrices hermitiennes sont des analogues des nombres réels
• Les matrices hermitiennes définies positives sont des analogues des nombres réels positifs

Les matrices asymétriques-hermitiennes sont des analogues de nombres imaginaires purs

introuvable ; Voir math/README - aide à la configuration.) : a+bi \mapsto \begin(pmatrix)a&b\\-b&a\end(pmatrix),

et avec cette intégration, l'addition et la multiplication sont préservées. Il est facile de vérifier que toutes les analogies ci-dessus seront conservées.

Donnez votre avis sur l'article "Matrice normale"

Remarques

• Links Horn, Roger A. et Johnson, Charles R. (1985), Analyse matricielle

, La Presse de l'Universite de Cambridge, ISBN 978-0-521-38632-6.

D'aussi loin que je me souvienne, j'ai toujours été attiré par la soif de vie des gens et par leur capacité à trouver de la joie même dans les situations les plus désespérées ou les plus tristes. situations de vie. C’est plus facile à dire – j’ai toujours aimé » fort d'esprit" personnes. Un véritable exemple de « survie » pour moi à cette époque était notre jeune voisine, Leocadia. Mon âme d'enfant impressionnable était émerveillée par son courage et son désir de vivre vraiment indéracinable. Léocadia était ma brillante idole et l'exemple le plus élevé jusqu'à quel point une personne est capable de s'élever au-dessus de toute maladie physique, sans permettre à cette maladie de détruire ni sa personnalité ni sa vie...
Certaines maladies sont curables et il suffit d’être patient pour attendre que cela se produise enfin. Sa maladie l'a accompagnée pour le reste de sa vie et il n'y avait aucun espoir de le devenir un jour. personne normale Malheureusement, cette jeune femme courageuse ne l’a pas fait.
Le destin, le moqueur, la traita très cruellement. Lorsque Leocadia était encore une toute petite fille tout à fait normale, elle a eu la « chance » de tomber dans des marches de pierre et de se blesser gravement à la colonne vertébrale et au sternum. Au début, les médecins ne savaient même pas si elle serait un jour capable de marcher. Mais après un certain temps, cette fille forte et joyeuse a réussi, grâce à sa détermination et sa persévérance, à se lever du lit d'hôpital et à recommencer lentement mais sûrement ses « premiers pas »...
Il semble que tout s'est bien terminé. Mais, après un certain temps, à la grande horreur de tous, une énorme bosse absolument terrible a commencé à se développer devant et derrière elle, qui a ensuite littéralement défiguré son corps au-delà de toute reconnaissance... Et ce qui était le plus offensant, c'était que la nature, comme par moquerie, récompensée c'est une fille aux yeux bleus avec un visage incroyablement beau, lumineux et raffiné, comme pour montrer quelle merveilleuse beauté elle aurait pu être si un destin aussi cruel ne lui avait pas été préparé...
Je n'essaie même pas d'imaginer quoi chagrin et la solitude a dû passer par là femme incroyable, essayant, petite fille, de s'habituer tant bien que mal à son terrible malheur. Et comment pourrait-elle survivre et ne pas se briser alors que, plusieurs années plus tard, étant déjà devenue une fille adulte, a dû se regarder dans le miroir et comprendre qu'elle ne pourrait jamais expérimenter le simple bonheur féminin, aussi bon et personne gentille elle ne l'était pas... Elle a accepté son malheur avec une âme pure et ouverte et, apparemment, c'est ce qui l'a aidée à maintenir une confiance très forte en elle-même, sans se mettre en colère contre le monde qui nous entoure et ne pas pleurer sur mon destin maléfique et tordu.
À ce jour, je me souviens encore de son sourire chaleureux et constant yeux brillants, qui nous rencontrait à chaque fois, quelle que soit son humeur ou sa condition physique (et très souvent je sentais combien c'était vraiment difficile pour elle)... J'ai vraiment aimé et respecté cette femme forte et brillante pour son optimisme inépuisable et sa profonde bonté spirituelle. . Et il semblait qu’elle n’avait pas la moindre raison de croire à la même bonté, car à bien des égards, elle n’avait jamais pu ressentir ce que c’était que de vivre vraiment. Ou peut-être qu'elle l'a ressenti beaucoup plus profondément que nous ne pouvions le ressentir ?
J'étais alors encore trop petite pour comprendre l'abîme de la différence entre une vie aussi infirme et la vie des gens normaux. personnes en bonne santé, mais je me souviens très bien que même de nombreuses années plus tard, les souvenirs de mon merveilleux voisin m'ont très souvent aidé à endurer griefs émotionnels et la solitude et le fait de ne pas m'effondrer alors que c'était vraiment très difficile.
Je n'ai jamais compris les gens qui étaient toujours insatisfaits de quelque chose et se plaignaient constamment de leur sort, toujours invariablement « amer et injuste ». Et je n'ai jamais compris la raison qui leur donnait le droit de croire que le bonheur leur était déjà destiné d'avance dès leur naissance même et ce qu’ils ont, eh bien, juste « droit légal"à ce bonheur non perturbé (et totalement immérité !)...

Une matrice normale peut être considérée comme un outil d'organisation, un classeur contenant tout entrées possibles dans l'espace n-tuples, dans lesquels rien ne manque ou n'est dupliqué. À première vue, il peut sembler que les avantages de l’utilisation de cet outil sont limités. petit bloquer les codes, car pour les codes plus longs que n=20 espace n-les tuples contiennent des millions d'éléments. Cependant, même pour les codes volumineux, la matrice normale nous permet de déterminer des caractéristiques initiales importantes, telles que les compromis possibles entre la détection et la correction d'erreurs et les limites des capacités de correction d'erreurs du code. L'une de ces restrictions, appelée Limite de Hamming, est décrit comme suit.

Nombre de bits de parité : (6.52,a)

Nombre de cosets : (6.52,6)

Ici la valeur défini par l'équation (6.16), représente le nombre de façons de choisir n peu j erroné. Notons que la somme des termes de l’équation (6.52) située dans crochets, donne quantité minimale lignes, qui doivent être présentes dans une matrice normale pour corriger toutes les combinaisons d'erreurs, jusqu'à t-erreurs de bits. L'inégalité détermine la limite inférieure du nombrep- bit de parité (ou cosets) en fonction des capacités de correction du code t-erreurs de bits. De même, on peut dire que l’inégalité donne limite supérieure t capacités de correction de code n- p- -erreurs de bits en fonction du nombre t bit de parité (ou coset). Pour activer la correctionp-) -erreurs de bits de codes de blocs linéaires arbitraires

(p, n une condition nécessaire est de satisfaire la limite de Hamming. n Pour montrer comment une matrice normale peut fournir une représentation visuelle de cette limite, prenons comme exemple le code BHC (127,106). La matrice contient tout = 2127 = 1,70 x 10 38- des tuples d'espace. La rangée supérieure de la matrice contient = 2106 = 8,11 x 10 31 mots de code ; c'est donc le nombre de colonnes dans la matrice. La colonne la plus à gauche contient 2 097 152 éléments constitutifs des classes coset ; c'est donc le nombre de lignes dans la matrice. Même si le numéro t-les tuples et les mots de code sont tout simplement énormes, cela ne nous intéresse pas

type spécifique

chaque élément de la matrice. Le principal intérêt est le nombre de cosets. Il existe 2 097 152 cosets et donc 2 097 151 combinaisons erronées que ce code peut corriger. Ce qui suit montre comment ce nombre de cosets détermine limite supérieure la combinaison nécessite la présence d'un premier coset. Les conditions requises pour les erreurs à un, deux et trois bits sont ensuite répertoriées. Il indique également le nombre de cosets requis pour corriger chaque type d'erreur et le nombre total de cosets requis pour corriger tous les types d'erreurs, jusqu'au type d'erreur requis. Dans ce tableau, vous pouvez voir que le code (127 106) est capable de corriger toutes les combinaisons contenant 1, 2 ou 3 bits erronés, et cela ne représente que 341 504 des 2 097 152 cosets possibles. Les 1 755 648 lignes inutilisées indiquent un potentiel de correction d’erreurs plus important que celui utilisé. En effet, on peut essayer d'insérer toutes les erreurs possibles sur 4 bits dans la matrice. Mais en regardant le tableau. 6.3, il apparaît clairement que cela est impossible puisque, comme le montre dernière ligne tableaux, le nombre de cosets restant dans la matrice est nettement inférieur au nombre total de cosets requis pour corriger les erreurs de 4 bits. Par conséquent, la limite de Hamming du code décrit (127,106) garantit la correction de toutes les erreurs jusqu'à 3 bits.

Tableau 6.3. Limite des possibilités de correction pour le code (127, 106)

Nombre d'erreurs sur les bits Nombre d'erreurs requises Nombre total nécessaire

cours de coset cours de coset

Par conséquent, toute matrice A satisfaisant l’équation UN ∗ UN = Les AA ∗ , peut être réduit à une forme diagonale. (Deux matrices A et B sont dites unitairement similaires s’il existe une matrice unitaire S pour laquelle UN = S -1 BS. .)

Le concept de matrice normale peut être étendu aux opérateurs normaux dans les espaces de Hilbert de dimension infinie et aux éléments normaux dans C*-algèbres.

Cas particuliers

Parmi les matrices complexes, toutes les matrices unitaires, hermitiennes et asymétriques sont normales. Parmi les matrices réelles, toutes les matrices orthogonales, symétriques et antisymétriques sont normales. Cependant, il n’est pas vrai que toutes les matrices normales soient unitaires, hermitiennes ou asymétriques. Par exemple,

n'est ni unitaire, ni hermitien, ni asymétrique-hermitien, bien que ce soit normal, puisque

Conséquences

Soit A une matrice triangulaire supérieure normale. Depuis (UN ∗ UN) ii = (Les AA ∗) ii , la première ligne doit avoir la même norme que la première colonne :

$\backslash left\; \backslash |A\; e\_1\; \backslash right\backslash |^2\; =\; \backslash left\; \backslash |A^*\; e\_1\; \backslash right\; \backslash |^2.$

Les premiers éléments de la première ligne et de la première colonne sont identiques et le reste de la première colonne est constitué de zéros. Il s'ensuit que dans la chaîne tous les éléments de 2 à n doivent être nuls. En poursuivant ces arguments pour les paires ligne/colonne numérotées de 2 à n, nous constatons que A est diagonale.

La notion de normalité est importante car les matrices normales sont exactement celles que concerne le théorème spectral :

Les éléments diagonaux de la matrice Λ sont les valeurs propres, et les colonnes de U sont les vecteurs propres de la matrice A. (les valeurs propres dans Λ sont dans le même ordre que leurs colonnes propres correspondantes dans U).

Une autre façon d'énoncer le théorème spectral est de dire que les matrices normales sont exactement les matrices qui peuvent être représentées comme une matrice diagonale en choisissant une base orthonormée appropriée de l'espace. C n. On peut également affirmer qu'une matrice est normale si et seulement si son espace propre coïncide avec C n et les vecteurs propres sont orthogonaux au produit scalaire standard dans C n .

Le théorème spectral des matrices normales est un cas particulier de la décomposition de Schur plus générale, qui s'applique à toutes les matrices carrées. Soit A une matrice carrée. Ensuite, selon la décomposition de Schur, elle est unitairement similaire à une matrice triangulaire supérieure, disons B. Si A est normal, alors B est normal aussi. Mais alors B doit être diagonal pour la raison indiquée ci-dessus.

Le théorème spectral permet de classer les matrices normales en termes de spectre, par exemple :

En général, la somme ou le produit de deux matrices normales n’est pas nécessairement une matrice normale. Toutefois, ce qui suit s'applique :

Dans ce cas particulier, les colonnes de la matrice U  ∗ sont des vecteurs propres de A et B et forment une base orthonormée dans C n. L'énoncé découle des théorèmes selon lesquels sur un corps algébriquement clos matrices de déplacement conjointement réductible à la forme triangulaire et qu'une matrice normale est réductible à une matrice diagonale, dans ce dernier cas avec en plus que cela peut être fait simultanément.

Définitions équivalentes

On peut donner une liste assez longue de définitions équivalentes d'une matrice normale. Soit A - n × n matrice complexe. Les déclarations suivantes sont équivalentes :

1. A est normal.
2. Un est réduit à la forme diagonale en utilisant une matrice unitaire.
3. Tous les points de l'espace peuvent être obtenus sous forme de combinaisons linéaires d'un ensemble de vecteurs propres orthonormés de la matrice A.
4. ||Hache|| = ||UN ∗ x|| pour tout x.
5. La norme de Frobenius d'une matrice A peut être calculée à partir des valeurs propres de la matrice A : $\backslash operatorname(tr)\; (A^*\; A)\; =\; \backslash sum\backslash nolimits\_j\; |\backslash lambda\_j|^2.$
6. Partie hermitienne $(A\; +\; A^\backslash ast)/2$ et parties asymétriques-hermitiennes $(A\; -\; A^(\backslash ast))/2$ les matrices A commutent.
7. UN∗ est un polynôme (degrés ≤ n− 1 ) de A .
8. UN ∗ = UA pour une matrice unitaire U.
9. U et P commutent, où U et P représentent la décomposition polaire UN = EN HAUT. en une matrice unitaire U et une matrice définie positive P.
10. A fait la navette avec une matrice normale N ayant des valeurs propres différentes.
11. σi = |λi| pour tout 1 ≤ ≤ n je , où A a σ 1 ≥ ... ≥ valeurs propres singulières σn |λ 1 | ≥ ... ≥ |et vecteurs propres|.
12. λn La norme d’opérateur d’une matrice normale A est égale à numérique Et rayon spectral

introuvable ; Voir math/README pour l'aide à la configuration.) : \sup_( \|x\|=1 ) \|Ax\| = \sup_( \|x\|=1 ) |\langle Axe, x \rangle| = \max \( |\lambda| : \lambda \in \sigma(A) \) Certaines des définitions énumérées ci-dessus, mais pas toutes, peuvent être généralisées aux opérateurs normaux dans les espaces de Hilbert de dimension infinie. Par exemple, un opérateur borné satisfaisant (9) est seulement.

quasi-normal

Il est parfois utile (et parfois trompeur) de considérer les relations entre différents types de matrices normales comme étant analogues à différents types de nombres complexes :

• nombres complexes
• Les matrices inversibles sont un analogue des nombres complexes non nuls
• La matrice conjuguée-transposée est un analogue du nombre conjugué
• Les matrices unitaires sont un analogue des nombres complexes de valeur absolue 1
• Les matrices hermitiennes sont des analogues des nombres réels
• Les matrices hermitiennes définies positives sont des analogues des nombres réels positifs

Les matrices asymétriques-hermitiennes sont des analogues de nombres imaginaires purs

introuvable ; Voir math/README - aide à la configuration.) : a+bi \mapsto \begin(pmatrix)a&b\\-b&a\end(pmatrix),

et avec cette intégration, l'addition et la multiplication sont préservées. Il est facile de vérifier que toutes les analogies ci-dessus seront conservées.

Donnez votre avis sur l'article "Matrice normale"

Remarques

• Links Horn, Roger A. et Johnson, Charles R. (1985), Analyse matricielle

, La Presse de l'Universite de Cambridge, ISBN 978-0-521-38632-6.

Normalioji matrica statusas T sritis fizika atitikmenys : engl. vok matrice normale. Matrice normale, f ; Normalmatrix, f rus. matrice normale, f pranc. matrice normale, f … Fizikos terminų žodynas

Une matrice carrée qui fait la navette avec son conjugué (c'est-à-dire)... Encyclopédie mathématique

Forme normale (Jordanie) des matrices. Avec chacun matrice carrée connecté classe entière matrices similaires à la matrice A. Dans cette classe, il existe toujours une matrice qui a une forme de Jordan normale (ou canonique) spéciale [le terme « N. (f.) f. m."... ...

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