Définition. Pointer vers l'infini plan complexe appelé point singulier isolé non ambigu fonction analytiquef(z), Si dehors cercle d'un certain rayon R.,
ceux. pour , il n’y a pas de point singulier fini de la fonction f(z).
Pour étudier la fonction en un point à l'infini, on fait le remplacement 
Fonction
aura une singularité au point ζ
= 0, et ce point sera isolé, puisque
à l'intérieur du cercle 
Il n'y a pas d'autres points particuliers selon la condition. Être analytique dans ce domaine
cercle (à l'exception de ce qu'on appelle ζ
= 0), fonction 
peut être étendu dans une série Laurent en puissances ζ
. La classification décrite dans le paragraphe précédent reste totalement inchangée.
Cependant, si l'on revient à la variable d'origine z, puis séries en puissances positives et négatives z«changer» de place. Ceux. classement à l'infini points éloignés ressemblera à ceci :
Exemples. 1.
. z =
Point
je
2.
− pôle du 3ème ordre. z =
∞
. Point − de manière significative.
point singulier
§18. Résidu d'une fonction analytique en un point singulier isolé. z Laissons le point
f(z 0 est un point singulier isolé d'une fonction analytique à valeur unique f(z) . D'après le précédent, au voisinage de ce point 
) peut être représenté uniquement par la série Laurent : 
Définition.Où Déduction f(z fonction analytique z 0
) en un point singulier isolé appelé nombre complexe 
, égal à la valeur de l'intégrale z 0 .
, pris dans le sens positif le long de tout contour fermé situé dans le domaine d'analyticité de la fonction et contenant en lui un seul point singulier [f(z),z 0 ].
La déduction est indiquée par le symbole Res Il est facile de constater que le résidu se trouve en un point singulier régulier ou amovible.
égal à zéro En un pôle ou un point essentiellement singulier, le résidu est égal au coefficient Avec
.
-1 rang Laurent : Exemple. 
.
Trouver le résidu d'une fonction
(Que ce soit facile de voir que En un pôle ou un point essentiellement singulier, le résidu est égal au coefficient coefficient -1 est obtenu en multipliant les termes par n f(z),Point
]
=
}
= 0:Rés[ Il est souvent possible de calculer les résidus de fonctions sur d'une manière simple f(z. Laissez la fonction z) a incl. 
0 pôle du premier ordre. Dans ce cas, le développement de la fonction dans une série de Laurent a la forme (§16) :. Multiplions cette égalité par (z−z 0) et allons à la limite en f(z),z 0 ] =
. Le résultat nous obtenons : Res[
Alors, dans f(z),Point
]
=
.
Dans le dernier exemple, nous avons Res[
Pour calculer les résidus aux pôles d'ordre supérieur, multipliez la fonction 
(sur− ordre des pôles) et différencier la série résultante ( sur −
1) fois.
Dans ce cas on a : Res[ f(z),z 0 ]
-1 rang Laurent : Exemple. 
à z= −1.
{
Rés[ f(z),
−1]
}
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Température (environ 2,17 K) en dessous de laquelle l'hélium liquide (hélium I) passe dans un état de superfluidité (hélium II). Pour être plus précis, il existe un point lambda inférieur (à 2,172 K et 0,0497 atm) et un point lambda supérieur (à 1,76 K et 29,8 atm).... ... Wikipédia
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Une fonction analytique est un point auquel les conditions d’analyticité sont violées. Si la fonction analytique f(z) est donnée partout dans un certain voisinage du point z0... Encyclopédie physique
Dans la théorie des équations différentielles à temps complexe, un point est appelé point singulier fuchsien d'un linéaire. équation différentielle si la matrice du système A(t) contient un pôle du premier ordre. C'est le plus simple fonctionnalité possible... ... Wikipédia
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Livres
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- Le début de l'infini. Des explications qui changent le monde par David Deutsch. Citation "... Le progrès n'a pas nécessairement une fin, mais il a toujours un point de départ - une raison pour laquelle il a commencé, un événement qui y a contribué, ou un...
Définition
Sous-séquence (βn) appelé une séquence infiniment grande, si pour quelqu'un, arbitrairement grand nombre M , il existe un nombre naturel N M dépendant de M tel que pour tout nombre naturel n > N M l'inégalité
|β n | >M.
Dans ce cas, ils écrivent
.
Ou à .
On dit qu'il tend vers l'infini, ou converge vers l'infini.
Si, à partir d'un certain nombre N 0
, Que
( converge vers plus l'infini).
Si alors
( converge vers moins l'infini).
Écrivons ces définitions en utilisant les symboles logiques de l'existence et de l'universalité :
(1)
.
(2)
.
(3)
.
Les séquences avec les limites (2) et (3) sont des cas particuliers de l'infini grande séquence(1). De ces définitions il résulte que si la limite d'une suite est égale à plus ou moins l'infini, alors elle est également égale à l'infini :
.
Bien entendu, l’inverse n’est pas vrai. Les membres d'une séquence peuvent avoir des signes alternés. Dans ce cas, la limite peut être égale à l'infini, mais sans signe précis.
Notez également que si une propriété est valable pour une séquence arbitraire avec une limite égale à l'infini, alors la même propriété est valable pour une séquence dont la limite est égale à plus ou moins l'infini.
Dans de nombreux manuels de calcul, la définition d'une séquence infiniment grande indique que le nombre M est positif : M > 0 . Toutefois, cette exigence est inutile. S'il est annulé, aucune contradiction ne surviendra. C’est juste que les valeurs petites ou négatives ne nous intéressent pas. Nous nous intéressons au comportement de la séquence pour des valeurs arbitrairement grandes. valeurs positives M. Par conséquent, si le besoin s'en fait sentir, alors M peut être limité d'en bas par n'importe quel, à l'avance
numéro donné a, c'est-à-dire supposons que M > a. Quand avons-nous défini ε - quartier > 0 point final , alors l'exigence ε est important. À
valeurs négatives
, l’inégalité ne peut pas du tout être satisfaite.
Quartiers de points à l'infini
Lorsque nous avons considéré des limites finies, nous avons introduit la notion de voisinage d'un point. Rappelons qu'un voisinage d'un point final est un intervalle ouvert contenant ce point. On peut également introduire la notion de voisinages de points à l'infini. Soit M un nombre arbitraire.
Quartier du point "infini" Soit M un nombre arbitraire.
, , est appelé un ensemble. Soit M un nombre arbitraire.
Quartier du point "plus l'infini"
(4)
,
A proximité du point "moins l'infini" 1
À proprement parler, le voisinage du point « infini » est l’ensemble 2
où M
Nous pouvons maintenant donner une définition unifiée de la limite d’une suite qui s’applique à la fois aux domaines fini et.
aux limites infinies
Définition universelle de la limite de séquence Un point a (fini ou à l'infini) est une limite d'une suite si pour tout voisinage de ce point il existe un nombre naturel N tel que tous les éléments de la suite avec des nombres appartiennent à ce voisinage..
Ainsi, si une limite existe, alors en dehors du voisinage du point a, il ne peut y avoir qu'un nombre fini de membres de la séquence, ou un ensemble vide. Cette condition est nécessaire et suffisante. La preuve de cette propriété est exactement la même que pour
limites finies
Propriété de voisinage d'une séquence convergente
Pour qu'un point a (fini ou à l'infini) soit une limite de la suite, il faut et suffisant qu'en dehors de tout voisinage de ce point il existe un nombre fini de termes de la suite ou un ensemble vide.
Preuve .
Introduisons la notation suivante. Notons ε le voisinage du point a.
.
Puis pour le point final,
;
;
.
Pour les points à l'infini : En utilisant les concepts de ε - quartiers, on peut donner une autre définition universelle
limite de séquence : Un point a (terminal ou à l'infini) est la limite de la suite si pour tout ε > 0
nombre positif
.
il existe un nombre naturel N ε dépendant de ε tel que pour tout nombre n > N ε les termes x n appartiennent au ε-voisinage du point a :
.
En utilisant les symboles logiques de l’existence et de l’universalité, cette définition peut s’écrire comme suit :
Exemples de séquences infiniment grandes
Nous examinerons d’abord trois exemples simples similaires, puis en résoudrons un plus complexe.
.
.
Exemple 1
(1)
.
Écrivons la définition d'une suite infiniment grande :
.
Dans notre cas
.
Nous introduisons des nombres et , en les reliant aux inégalités :
.
D’après les propriétés des inégalités, si et , alors
Notez que cette inégalité est valable pour tout n.
Par conséquent, vous pouvez choisir comme ceci :
à ;
.
à .
Ainsi, pour n’importe lequel, nous pouvons trouver un nombre naturel qui satisfait l’inégalité.
Alors pour tout le monde,
.
(2)
.
Cela signifie que.
.
Autrement dit, la séquence est infiniment grande.
.
.
Exemple 2
.
En utilisant la définition d’une suite infiniment grande, montrer que
.
Le terme général de la séquence donnée a la forme :
Alors pour tout le monde,
.
Entrez les chiffres et :
(3)
.
Cela signifie que.
.
Autrement dit, la séquence est infiniment grande.
.
Alors pour n’importe qui, on peut trouver un nombre naturel qui satisfait l’inégalité, donc pour tout,
.
Cela signifie que.
.
Exemple 3
.
Écrivons la définition de la limite d'une suite égale à moins l'infini :
Alors pour tout le monde,
.
De là, il est clair que si et , alors Puisque pour n’importe quel nombre il est possible de trouver un nombre naturel qui satisfait l’inégalité, alorsÉtant donné , comme N nous pouvons prendre n’importe quel nombre naturel qui satisfait l’inégalité suivante :
.
Exemple 4
(2)
.
Nous l'écrirons = 1, 2, 3, ...
, Que
;
;
.
membre commun
.
Alors pour n’importe qui, on peut trouver un nombre naturel qui satisfait l’inégalité, donc pour tout,
.
séquences :
.
En utilisant la définition d’une suite infiniment grande, montrer que
Écrivons la définition de la limite d'une suite égale à plus l'infini :
Puisque n est un nombre naturel, n
Nous introduisons des nombres et M, en les reliant aux inégalités :
Ainsi, pour tout nombre M, nous pouvons trouver un nombre naturel qui satisfait l’inégalité. Alors pour tout le monde,, peut servir à déterminer la quantité totale d’énergie-impulsion contenue dans un espace-temps asymptotiquement plat et un rayonnement gravitationnel. Dans ce cas, les méthodes de spineurs sont particulièrement efficaces en combinaison avec la méthode dans laquelle « l’infini est rendu fini » par transformation conforme de la métrique. Avec cette méthode, nous transformons la métrique espace-temps en remplaçant la métrique physique d'origine par une nouvelle métrique « non physique » liée de manière conforme à
où - assez lisse et partout fonction positive, défini sur le tenseur métrique et son tenseur inverse sont transformés selon les formules
Si elle a la structure asymptotique appropriée et qu'un facteur conforme approprié est choisi, alors une certaine surface limite 3 peut être « attachée » [cette désignation se lit comme « bord » - une abréviation de « script I »]. Cette surface est introduite de telle manière que la métrique « non physique » puisse être étendue à de nouveaux points situés sur la frontière sans dégénérescence et avec dans une certaine mesure douceur. La fonction J peut également être poursuivie avec le degré de douceur approprié, mais en surface elle disparaît. Cela signifie que la métrique physique doit être infinie à la frontière Y et ne peut donc pas y être étendue. Ainsi, en termes de métriques physiques, de nouveaux points (à savoir, les points sur la surface sont infiniment éloignés des
points qui leur sont adjacents. En physique, cela correspond aux « points à l’infini ».
Attacher une surface à ce type d'espace-temps nous donne une variété lisse avec une frontière, que nous désignerons par le symbole et
Le symbole de bordure est un symbole de la région interne du collecteur). L'avantage de l'approche proposée est qu'elle peut désormais être appliquée à de puissants méthodes locales la géométrie différentielle et l'algèbre des spineurs, qui fourniront des informations sur l'asymptotique de l'espace-temps ainsi, lors de l'étude. lois les plus importantes diminution des grandeurs physiques et géométriques, par exemple dans les questions liées au rayonnement dans un espace-temps asymptotiquement plat, il n'est pas nécessaire de procéder à des passages complexes à la limite. Et la définition même de l’euclideanité asymptotique dans théorie générale la relativité peut désormais être donnée sous une forme pratique « sans coordonnées ». Les méthodes conformes sont très adaptées à la théorie de la relativité pour la simple raison qu'elles sont en grande partie invariantes de manière conforme : les équations pour la théorie sans masse champ libre, Tenseur conforme de Weyl, géodésiques isotropes, hypersurfaces isotropes, causalité relativiste et (surtout dans le cas de l'espace de Minkowski) théorie des torsions. La méthode proposée est similaire à celle utilisée dans analyse complète, où pour obtenir une sphère riemannienne on rattache un « point à l'infini » au plan d'Argand (Chapitre 1, § 2), ainsi que la méthode utilisée en géométrie projective.
Description sous forme de coordonnées explicites
Considérons d’abord la procédure de construction de l’infini conforme pour l’espace de Minkowski M. Dans ce cas, la métrique physique dans coordonnées sphériques on dirait
Pour plus de commodité, nous introduisons deux paramètres temporels : en retard et en avance. Nous obtenons.
La liberté de choisir un facteur conforme est assez grande. Cependant, dans le cas de l'espace-temps qui nous intéresse ici (à savoir asymptotiquement simple), à partir de considérations générales [voir. texte après la formule (9.7.22)] la fonction doit être choisie de telle sorte qu'elle tende vers zéro le long de n'importe quel rayon (à la fois dans le passé et dans le futur) comme l'inverse du paramètre affine du rayon A, (c'est-à-dire pour au long le rayon) . Toute hypersurface est un cône de lumière du futur, construit à partir de rayons (droites isotropes), pour lesquels les valeurs 0 et restent également constantes. La coordonnée joue le rôle d'un paramètre affine pour le devenir de chacun de ces rayons radiaux. De même, la coordonnée sert de paramètre affine du passé de ces rayons. Par conséquent, nous devons exiger que les conditions soient satisfaites au niveau et sur le rayon. Si nous voulons également que la fonction soit lisse sur des morceaux finis d’espace-temps, alors le choix se présente naturellement.
(le facteur 2 est introduit par commodité plus tard), puis
De nombreuses autres formes de fonction sont valables, mais celle-ci, comme nous le verrons bientôt, s’avère particulièrement pratique.
Pour que nos « points à l'infini » correspondent valeurs finales coordonnées, u et o doivent être remplacés par des paramètres tels que
Les limites de changement des variables sont indiquées sur la Fig. 9.1, où chaque point représente une 2-sphère de rayon. La ligne verticale correspond à l'origine spatiale et représente uniquement une singularité de coordonnées. L’espace-temps lui-même sur cette ligne (et partout), bien sûr, n’est pas singulier. Les lignes inclinées représentent l'infini (isotrope) (désigné respectivement par les symboles) de l'espace de Minkowski (puisque ces lignes correspondent aux valeurs Mais la métrique (9.1.5) est évidemment idéalement régulière sur ces lignes. On peut s'attendre à ce que l'espace -temps
Riz. 9.1. La région de l'espace correspondant à l'espace M. La ligne droite signifie que c'est l'axe de symétrie sphérique.
et sa métrique sera non singulière en dehors de ces régions. La ligne verticale est aussi une singularité de coordonnées exactement du même type que la ligne droite. L'ensemble de la bande verticale peut être utilisé pour définir un espace-temps dont la structure globale correspond au produit d'une sphère spatiale et d'un temps infini. ligne (« L'univers statique d'Einstein »). Pour le vérifier, choisissons de nouvelles coordonnées
La partie de cette métrique contenue dans croisillons, est la métrique de l'unité 3-sphère.
La partie de l'espace-temps conforme à l'espace de Minkowski d'origine peut être considérée comme l'espace compris entre les cônes de lumière des points. Un point a des coordonnées, et cette partie « s'enroule ».
Riz. 9.2. La région du cylindre d'Einstein correspondant à l'espace M.
et se ferme sur le côté « arrière » en un seul point avec des coordonnées. Notez qu'au point a, cela signifie que le point doit être considéré comme un point unique, et non comme une 2-sphère. La situation considérée est représentée sur la Fig. 9.2, où deux dimensions sont écartées. Le deux espaces Minkowski est conforme à l'intérieur du carré (représenté incliné à 45°). Ce carré s'enroule autour d'un cylindre, qui représente une version bidimensionnelle de l'univers statique d'Einstein. La prise en compte des mesures manquantes ne change rien de manière significative. A proximité d'un point, la région qui nous intéresse se trouve à l'intérieur du futur cône de lumière associé au point. Ce cône de lumière (c'est-à-dire l'ensemble de points « balayé » par les rayons qui vont du point vers le futur) se concentre sur l'arrière du point. L'univers d'Einstein en un point (qui dans la relation spatiale est diamétralement opposé au point. Près du point, la région qui nous intéresse (espace de Minkowski) s'étend dans des directions semblables à celles de l'espace à partir du futur cône de lumière pour le point, encore une fois la position spatiale est concentré en un point.
Si une séquence converge vers nombre fini a , alors ils écrivent
.
Plus tôt, nous avons pris en compte les séquences infiniment grandes. Nous avons supposé qu'ils étaient convergents et avons indiqué leurs limites avec les symboles et . Ces symboles représentent pointe à l'infini . Ils n'appartiennent pas à la multitude nombres réels
Définition
Pointer vers l'infini, ou infini non signé, est la limite vers laquelle tend une séquence infiniment grande.
Pointer vers l'infini plus l'infini, est la limite vers laquelle tend une suite infiniment grande avec des termes positifs.
Pointer vers l'infini moins l'infini, est la limite vers laquelle tend une suite infiniment grande avec des termes négatifs.
Pour tout nombre réel a, les inégalités suivantes sont vraies :
;
.
En utilisant des nombres réels, nous avons introduit le concept voisinage d'un point à l'infini.
Le voisinage d’un point est l’ensemble.
Enfin, le voisinage d’un point est l’ensemble.
Ici M est un nombre réel arbitraire et arbitrairement grand.
Ainsi, nous avons élargi l'ensemble des nombres réels en y introduisant de nouveaux éléments. À cet égard, il y a définition suivante:
Droite numérique étendue ou ensemble étendu de nombres réels est l'ensemble des nombres réels complétés par les éléments et :
.
Tout d’abord, nous allons écrire les propriétés que les points et . Nous considérons ensuite la question de la stricte définition mathématique
opérations pour ces points et preuves de ces propriétés.
Propriétés des points à l'infini.
;
;
;
;
Somme et différence.
;
;
;
;
;
;
;
.
Produit et quotient.
Relation avec les nombres réels
;
;
;
;
;
.
Soit a un nombre réel arbitraire. Alors > 0
Laissez un
;
;
.
Soit a un nombre réel arbitraire. Alors < 0
Laissez un
;
.
..
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Alors
Opérations non définies
Preuves des propriétés des points à l'infini
Définir des opérations mathématiques Nous avons déjà donné des définitions pour les points à l'infini. Nous devons maintenant leur définir des opérations mathématiques. Puisque nous avons défini ces points à l’aide de séquences, les opérations avec ces points doivent également être définies à l’aide de séquences.
Donc,
somme de deux points
,
c = une + b,
,
appartenant à l'ensemble étendu des nombres réels,
nous appellerons la limite
où et sont des séquences arbitraires ayant des limites
Et .
Les opérations de soustraction, de multiplication et de division sont définies de manière similaire. Seulement, en cas de division, les éléments du dénominateur de la fraction ne doivent pas être égaux à zéro.
Alors la différence de deux points :
Les opérations de soustraction, de multiplication et de division sont définies de manière similaire. Seulement, en cas de division, les éléments du dénominateur de la fraction ne doivent pas être égaux à zéro.
- c'est la limite : .
Les opérations de soustraction, de multiplication et de division sont définies de manière similaire. Seulement, en cas de division, les éléments du dénominateur de la fraction ne doivent pas être égaux à zéro.
Produit de points : Privé:, .
Ici et sont des séquences arbitraires dont les limites sont respectivement a et b . DANS
ce dernier cas
Preuves de propriétés
.
Pour prouver les propriétés des points à l’infini, nous devons utiliser les propriétés de séquences infiniment grandes.
,
En d’autres termes, nous devons prouver que la somme de deux suites qui convergent vers plus l’infini converge vers plus l’infini.
1
les inégalités suivantes sont satisfaites :
;
.
Alors pour et nous avons :
.
Disons-le.
Alors
à ,
Où .
Cela signifie que.
D’autres propriétés peuvent être démontrées de la même manière. A titre d'exemple, donnons une autre preuve.
.
Montrons que :
,
Pour ce faire, nous devons montrer que
où et sont des séquences arbitraires, avec des limites et .
Autrement dit, nous devons prouver que le produit de deux suites infiniment grandes est une suite infiniment grande. 1
les inégalités suivantes sont satisfaites :
;
.
Alors pour et nous avons :
.
Disons-le.
Alors
à ,
Où .
Prouvons-le. Puisque et , alors il existe des fonctions et , donc pour tout nombre positif M
Opérations non définies Partie opérations mathématiques
avec des points à l'infini ne sont pas définis. Pour montrer leur incertitude, il est nécessaire de donner quelques cas particuliers où le résultat de l'opération dépend du choix des séquences qui y sont incluses.
.
Considérez cette opération :
Il est facile de montrer que si et , alors la limite de la somme des séquences dépend du choix des séquences et .
En effet, prenons-le.
Les limites de ces séquences sont .
Plafond de montant
est égal à l'infini. Prenons maintenant . Les limites de ces séquences sont également égales.
Mais la limite de leur montant
