Lire à propos fonction d'onde et théories probabilistes de la mécanique quantique : l'essence de l'équation de Schrödinger, l'état d'une particule quantique, un oscillateur harmonique, un diagramme.
Nous parlons de l'amplitude de probabilité en mécanique quantique, qui décrit l'état quantique d'une particule et son comportement.
Objectif d'apprentissage
- Combinez la fonction d'onde et la densité de probabilité d'identification d'une particule.
Points principaux
- |ψ| 2 (x) correspond à la densité de probabilité d'identifier une particule à un lieu et à un moment précis.
- Les lois de la mécanique quantique caractérisent l'évolution de la fonction d'onde. L'équation de Schrödinger explique son nom.
- La fonction d'onde doit satisfaire de nombreuses contraintes mathématiques pour le calcul et l'interprétation physique.
Termes
- L'équation de Schrödinger est une différentielle partielle caractérisant un changement d'état système physique. Elle a été formulée en 1925 par Erwin Schrödinger.
- Un oscillateur harmonique est un système qui, lorsqu'il est déplacé de sa position d'origine, est influencé par une force F proportionnelle au déplacement x.
En mécanique quantique, la fonction d'onde reflète l'amplitude de probabilité qui caractérise l'état quantique d'une particule et son comportement. Habituellement, la valeur est nombre complexe. Les symboles les plus courants pour la fonction d'onde sont ψ (x) ou Ψ(x). Bien que ψ soit un nombre complexe, |ψ| 2 – réel et correspond à la densité de probabilité de trouver une particule dans un lieu et un moment précis.
Les trajectoires sont affichées ici oscillateur harmonique en classique (A-B) et quantique (C-H) mécanique. La boule quantique a une fonction d'onde affichée avec la vraie partie en bleu et imaginaire en rouge. TrajectoiresC-F - exemples vagues stationnaires. Chacune de ces fréquences sera proportionnelle au niveau d'énergie possible de l'oscillateur
Les lois de la mécanique quantique évoluent avec le temps. La fonction d'onde ressemble à d'autres, comme les vagues dans l'eau ou une corde. Le fait est que la formule de Schrödinger est un type d’équation d’onde en mathématiques. Cela conduit à la dualité des particules ondulatoires.
La fonction d'onde doit respecter les restrictions suivantes :
- toujours définitif.
- toujours continu et continuellement différentiable.
- satisfait à la condition de normalisation appropriée pour que la particule existe avec une certitude à 100 %.
Si les exigences ne sont pas satisfaites, la fonction d'onde ne peut pas être interprétée comme une amplitude de probabilité. Si nous ignorons ces positions et utilisons la fonction d’onde pour déterminer les observations d’un système quantique, nous n’obtiendrons pas de valeurs finies et définies.
Fonction d'onde, ou fonction psi ψ ( displaystyle psi )- une fonction à valeurs complexes utilisée en mécanique quantique pour décrire l'état pur d'un système. Est le coefficient d'expansion du vecteur d'état sur une base (généralement une coordonnée) :
|
ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x , t) | x ⟩ d x (\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx) Où | x⟩ = |
x 1 , x 2 , … , x n ⟩ (\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_(1),x_(2),\ldots,x_(n)\right\rangle )
est le vecteur de base de coordonnées, et Ψ(x, t) = ⟨x |ψ (t) ⟩ (\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle )
- fonction d'onde en représentation de coordonnées.Normalisation de la fonction d'onde Fonction d'ondeΨ ( displaystyle Psi )
dans sa signification, il doit satisfaire à la condition dite de normalisation, par exemple dans une représentation coordonnée ayant la forme :
∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 (\displaystyle (\int \limits _(V)(\Psi ^(\ast )\Psi )dV)=1) Cette condition exprime le fait que la probabilité de trouver une particule avec une fonction d’onde donnée n’importe où dans l’espace est égale à un. DANS cas général l'intégration doit être effectuée sur toutes les variables dont dépend la fonction d'onde dans une représentation donnée. Principe de superposition d'états quantiques
Pour les fonctions d'onde, le principe de superposition est valable, qui consiste dans le fait que si un système peut être dans des états décrits par des fonctions d'ondeΨ 1 (\ displaystyle \ Psi _ (1)) Et cas général Ψ 2 (\ displaystyle \ Psi _ (2)).
, alors il peut aussi être dans un état décrit par la fonction d'onde Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+ c_(2)\Psi _(2)+\ldots +(c)_(N)(\Psi )_(N)=\somme _(n=1)^(N)(c)_(n)( \Psi )_(n)).
Dans cet état, le carré du module du coefficient c n ( displaystyle (c) _ (n)) détermine la probabilité que, une fois mesuré, le système soit détecté dans un état décrit par la fonction d'onde Ψ n (\displaystyle (\Psi )_(n)).
Par conséquent, pour les fonctions d’onde normalisées ∑ n = 1 N |.
c n |
2 = 1 (\displaystyle \sum _(n=1)^(N)\left|c_(n)\right|^(2)=1) Conditions de régularité de la fonction d'onde La signification probabiliste de la fonction d'onde impose certaines restrictions
, ou conditions, sur les fonctions d'onde dans les problèmes de mécanique quantique. Ces conditions standards sont souvent appelées conditions de régularité de la fonction d'onde. Fonction d'onde dans diverses représentations les états sont utilisés dans différentes représentations - correspondront à l'expression du même vecteur dans différents systèmes de coordonnées. D'autres opérations avec des fonctions d'onde auront également des analogues dans le langage des vecteurs. En mécanique des vagues, une représentation est utilisée où les arguments de la fonction psi sont le système complet continu faire la navette entre les observables, et la représentation matricielle utilise une représentation où les arguments de la fonction psi sont le système complet
discret
observables des déplacements domicile-travail. Par conséquent, les formulations fonctionnelles (onde) et matricielles sont évidemment mathématiquement équivalentes.
corpusculaire - dualisme ondulatoire en physique quantique, l'état d'une particule est décrit à l'aide de la fonction d'onde ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- fonction psi). Définition 1
Fonction d'onde
est une fonction utilisée en mécanique quantique. Il décrit l’état d’un système ayant des dimensions dans l’espace. C'est un vecteur d'état.
En physique quantique, l’objectif n’est pas de prédire avec précision un événement, mais d’estimer la probabilité d’un événement particulier. Connaissant la valeur de probabilité, trouvez les valeurs moyennes des grandeurs physiques. La fonction d'onde vous permet de trouver de telles probabilités.
Ainsi, la probabilité de présence d’une microparticule dans le volume dV au temps t peut être définie comme :
où $\psi^*$ est la fonction conjuguée complexe à la fonction $\psi.$ La densité de probabilité (probabilité par unité de volume) est égale à :
La probabilité est une quantité qui peut être observée dans une expérience. Dans le même temps, la fonction d'onde n'est pas disponible pour l'observation, car elle est complexe (en physique classique, les paramètres qui caractérisent l'état d'une particule sont disponibles pour l'observation).
Condition de normalisation pour la fonction $\psi$
La fonction d'onde est déterminée jusqu'à un facteur constant arbitraire. Ce fait n'affecte pas l'état de la particule décrite par la fonction $\psi$. Cependant, la fonction d'onde est choisie de telle manière qu'elle satisfasse à la condition de normalisation :
où l'intégrale est prise sur tout l'espace ou sur une région dans laquelle la fonction d'onde n'est pas nulle. La condition de normalisation (2) signifie que dans toute la région où $\psi\ne 0$ la particule est présente de manière fiable. Une fonction d'onde qui obéit à la condition de normalisation est dite normalisée. Si $(\left|\psi\right|)^2=0$, alors cet état signifie qu’il n’y a probablement aucune particule dans la zone étudiée.
La normalisation de la forme (2) est possible avec un spectre discret de valeurs propres.
La condition de normalisation peut ne pas être réalisable. Donc, si $\psi$ est une onde plane de Broglie et que la probabilité de trouver une particule est la même pour tous les points de l'espace. Ces cas sont considérés comme modèle idéal, dans lequel la particule est présente dans une région de l’espace vaste mais limitée.
Principe de superposition des fonctions d'onde
Ce principe est l'un des principaux postulats théorie des quanta. Sa signification est la suivante : si pour certains systèmes des états sont possibles qui sont décrits par les fonctions d'onde $\psi_1\ (\rm et)\ $ $\psi_2$, alors pour ce système il existe un état :
où $C_(1\ )et\ C_2$ -- cotes constantes. Le principe de superposition est confirmé empiriquement.
On peut parler de l'addition d'un nombre quelconque d'états quantiques :
où $(\left|C_n\right|)^2$ est la probabilité que le système se trouve dans un état décrit par la fonction d'onde $\psi_n.$ Pour les fonctions d'onde soumises à la condition de normalisation (2), la la condition suivante est remplie :
États stationnaires
En théorie quantique rôle spécial avoir des états stationnaires (états dans lesquels tous les paramètres physiques ne change pas avec le temps). (La fonction d'onde elle-même est fondamentalement inobservable.) En régime permanent, la fonction $\psi$ a la forme :
où $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ne dépend pas du temps, $E$ est l'énergie des particules. Avec la forme (3) de la fonction d'onde, la densité de probabilité ($P$) est une constante de temps :
Depuis propriétés physiques états stationnaires suivez les exigences mathématiques pour la fonction d'onde $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.
Exigences mathématiques pour la fonction d'onde pour les états stationnaires
$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$- la fonction doit être en tout point :
- continu,
- non ambigu,
- fini.
Si énergie potentielle a une surface discontinue, alors sur de telles surfaces la fonction $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ et sa dérivée première doivent rester continues. Dans la région de l'espace où l'énergie potentielle devient infinie, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ doit être nul. La continuité de la fonction $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ nécessite qu'à toute limite de cette région $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$. La condition de continuité est imposée aux dérivées partielles de la fonction d'onde ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ partiel z)$).
Exemple 1
Exercice: Pour une certaine particule, une fonction d'onde de la forme est donnée : $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, où $r$ est la distance à la particule. au centre de force (Fig. 1 ), $a=const$. Appliquez la condition de normalisation, trouvez le coefficient de normalisation A.
Graphique 1.
Solution:
Écrivons la condition de normalisation pour notre cas sous la forme :
\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),))\]
où $dV=4\pi r^2dr$ (voir Fig. 1 D'après les conditions, il est clair que le problème a symétrie sphérique). Des conditions du problème nous avons :
\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\gauche(1.2\droite).\]
Remplaçons $dV$ et les fonctions d'onde (1.2) dans la condition de normalisation :
\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\ droite).)\]
Réalisons l'intégration sur le côté gauche :
\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\gauche(1.4\droite).)\]
A partir de la formule (1.4) on exprime le coefficient requis :
Répondre:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$
Exemple 2
Exercice: Quelle est la distance la plus probable ($r_B$) d'un électron au noyau si la fonction d'onde qui décrit l'état fondamental de l'électron dans un atome d'hydrogène peut être définie comme : $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, où $ r$ est la distance de l'électron au noyau, $a$ est le premier rayon de Bohr ?
Solution:
Nous utilisons une formule qui détermine la probabilité de présence d'une microparticule dans un volume $dV$ au temps $t$ :
où $dV=4\pi r^2dr.\ $On a donc :
Dans ce cas, nous écrivons $p=\frac(dP)(dr)$ sous la forme :
Pour déterminer la distance la plus probable, la dérivée $\frac(dp)(dr)$ est égale à zéro :
\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2.4)\]
Puisque la solution $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ ne nous convient pas, cela se passe comme ceci :
Cet article décrit la fonction d'onde et sa signification physique. L'application de ce concept dans le cadre de l'équation de Schrödinger est également considérée.
La science est au seuil de la découverte de la physique quantique
À la fin du XIXe siècle, les jeunes qui souhaitaient lier leur vie à la science étaient découragés de devenir physiciens. On pensait que tous les phénomènes avaient déjà été découverts et qu'il ne pouvait plus y avoir de grandes avancées dans ce domaine. Or, malgré l’apparente exhaustivité des connaissances humaines, personne n’osera parler ainsi. Parce que cela arrive souvent : un phénomène ou un effet est théoriquement prédit, mais les gens n’ont pas la puissance technique et technologique pour le prouver ou le réfuter. Par exemple, Einstein l'avait prédit il y a plus de cent ans, mais il n'est devenu possible de prouver leur existence qu'il y a un an. Cela s'applique également au monde (à savoir, un concept tel que la fonction d'onde leur est applicable) : jusqu'à ce que les scientifiques réalisent que la structure de l'atome est complexe, ils n'avaient pas besoin d'étudier le comportement de si petits objets.
Spectres et photographie
Un élan pour le développement physique quantiqueétait le développement de la technologie photographique. Jusqu'au début du XXe siècle, la capture d'images était fastidieuse, longue et coûteuse : l'appareil photo pesait des dizaines de kilogrammes et les modèles devaient rester debout pendant une demi-heure dans la même position. De plus, la moindre erreur lors de la manipulation de plaques de verre fragiles recouvertes d'une émulsion photosensible entraînait une perte irréversible d'informations. Mais progressivement, les appareils sont devenus plus légers, la vitesse d'obturation est devenue plus courte et la production de tirages est devenue de plus en plus parfaite. Finalement, il est devenu possible d'obtenir le spectre différentes substances. Les questions et incohérences apparues dans les premières théories sur la nature des spectres ont donné lieu à tout un nouvelle science. Base pour description mathématique le comportement du microcosme est devenu la fonction d'onde de la particule et son équation de Schrödinger.
Dualité onde-particule
Après avoir déterminé la structure de l'atome, la question s'est posée : pourquoi l'électron ne tombe-t-il pas sur le noyau ? Après tout, selon les équations de Maxwell, toute particule chargée en mouvement émet un rayonnement et perd donc de l’énergie. Si cela était vrai pour les électrons du noyau, l’univers tel que nous le connaissons ne durerait pas longtemps. Rappelons que notre objectif est la fonction d'onde et son signification statistique.
Une hypothèse brillante des scientifiques est venue à la rescousse : les particules élémentaires sont à la fois des ondes et des particules (corpuscules). Leurs propriétés sont la masse avec l'impulsion et la longueur d'onde avec la fréquence. De plus, grâce à la présence de deux propriétés auparavant incompatibles, les particules élémentaires ont acquis de nouvelles caractéristiques.
L’un d’eux est le spin difficile à imaginer. Il y a plus de particules fines, quarks, ces propriétés sont si nombreuses qu'on leur donne des noms absolument incroyables : arôme, couleur. Si le lecteur les rencontre dans un livre de mécanique quantique, qu'il se souvienne : ils ne sont pas du tout ce qu'ils paraissent à première vue. Cependant, comment pouvons-nous décrire le comportement d’un tel système, où tous les éléments possèdent un ensemble étrange de propriétés ? La réponse se trouve dans la section suivante.
équation de Schrödinger
L'équation permet de trouver l'état dans lequel se trouve une particule élémentaire (et, sous une forme généralisée, un système quantique) :
je ħ[(d/dt) Ψ]= Ĥ ψ.
Les notations de cette relation sont les suivantes :
- ħ=h/2 π, où h est la constante de Planck.
- Ĥ - Hamiltonien, opérateur de l'énergie totale du système.
En changeant les coordonnées dans lesquelles cette fonction est résolue et les conditions en fonction du type de particule et du champ dans lequel elle se trouve, on peut obtenir la loi de comportement du système considéré.
Concepts de physique quantique
Que le lecteur ne se laisse pas tromper par l’apparente simplicité des termes utilisés. Des mots et expressions tels que « opérateur », « énergie totale", "cellule unitaire", est termes physiques. Leurs significations doivent être clarifiées séparément et il est préférable d'utiliser des manuels. Nous donnerons ensuite une description et la forme de la fonction d'onde, mais cet article est de nature récapitulative. Pour une compréhension plus approfondie de ce concept, il est nécessaire d'étudier l'appareil mathématique à un certain niveau.
Fonction d'onde
Son expression mathématique est
|ψ(t)> = ʃ Ψ(x, t)|x> dx.
La fonction d'onde d'un électron ou de toute autre particule élémentaire est toujours décrite par lettre grecqueΨ, c'est pourquoi on l'appelle parfois aussi fonction psi.
Vous devez d’abord comprendre que la fonction dépend de toutes les coordonnées et du temps. Autrement dit, Ψ(x, t) est en fait Ψ(x 1, x 2 ... x n, t). Remarque importante, puisque la solution de l'équation de Schrödinger dépend des coordonnées.
Ensuite, il est nécessaire de préciser que par |x> nous entendons le vecteur de base du système de coordonnées sélectionné. Autrement dit, en fonction de ce qui doit être obtenu exactement, l'impulsion ou la probabilité |x> aura la forme | x 1, x 2, …, x n >. Évidemment, n dépendra aussi du minimum base vectorielle système sélectionné. Autrement dit, en temps normal espace tridimensionnel n=3. Pour le lecteur inexpérimenté, expliquons que toutes ces icônes à proximité de l'indicateur x ne sont pas qu'un caprice, mais une opération mathématique spécifique. Il ne sera pas possible de le comprendre sans les calculs mathématiques les plus complexes, nous espérons donc sincèrement que les personnes intéressées comprendront par elles-mêmes sa signification.
Enfin, il faut expliquer que Ψ(x, t)=
L'essence physique de la fonction d'onde
Malgré valeur de base de cette quantité, elle-même n’a pas pour base un phénomène ou un concept. La signification physique de la fonction d'onde est le carré de son module total. La formule ressemble à ceci :
|Ψ (x 1 , x 2 , …, x n , t)| 2 = ω,
où ω a la valeur de la densité de probabilité. Dans le cas de spectres discrets (plutôt que continus), cette quantité prend le sens d'une simple probabilité.
Une conséquence de la signification physique de la fonction d'onde
Cette signification physique a des conséquences considérables sur tout. monde quantique. Comme le montre clairement la valeur de ω, tous les états des particules élémentaires acquièrent une connotation probabiliste. La plupart exemple clair est la distribution spatiale des nuages d'électrons dans les orbitales autour du noyau atomique.
Prenons deux types d'hybridation d'électrons dans des atomes ayant le plus formes simples nuages : s et p. Les nuages du premier type sont de forme sphérique. Mais si le lecteur se souvient des manuels de physique, ces nuages d'électrons sont toujours représentés comme une sorte d'amas flou de points, et non comme une sphère lisse. Cela signifie qu'à une certaine distance du noyau se trouve une zone avec le plus probable rencontrer l’électron s. Or, à mesure qu’on s’approche et qu’on s’éloigne, cette probabilité n’est pas nulle, elle est juste moindre. Dans ce cas, pour les électrons p, la forme du nuage d’électrons est représentée comme un haltère quelque peu vague. Autrement dit, il existe une surface assez complexe sur laquelle la probabilité de trouver un électron est la plus élevée. Mais même à proximité de cet « haltère », à la fois plus loin et plus proche du noyau, une telle probabilité n’est pas nulle.
Normalisation de la fonction d'onde
Ce dernier implique la nécessité de normaliser la fonction d'onde. La normalisation signifie un tel « ajustement » de certains paramètres dans lesquels un certain rapport est vrai. Si l'on considère les coordonnées spatiales, alors la probabilité de trouver une particule donnée (un électron par exemple) dans univers existant doit être égal à 1. La formule ressemble à ceci :
ʃ V Ψ* Ψ dV=1.
Ainsi, la loi de conservation de l'énergie est satisfaite : si l'on recherche un électron spécifique, il doit être entièrement en espace donné. Sinon, résoudre l’équation de Schrödinger n’a tout simplement aucun sens. Et peu importe que cette particule se trouve à l’intérieur d’une étoile ou dans un vide cosmique géant, elle doit être quelque part.
Nous avons mentionné juste plus haut que les variables dont dépend la fonction peuvent également être des coordonnées non spatiales. Dans ce cas, la normalisation est effectuée en fonction de tous les paramètres dont dépend la fonction.
Le mouvement instantané : astuce ou réalité ?
En mécanique quantique, séparer les mathématiques des signification physique incroyablement difficile. Par exemple, le quantique a été introduit par Planck pour plus de commodité expression mathématique une des équations. Or, le principe de discrétion de nombreuses quantités et concepts (énergie, moment cinétique, champ) sous-tend approche moderneà l'étude du micromonde. Ψ a aussi un tel paradoxe. Selon une solution de l’équation de Schrödinger, il est possible que lors de la mesure, l’état quantique du système change instantanément. Ce phénomène est généralement appelé réduction ou effondrement de la fonction d'onde. Si cela est possible en réalité, systèmes quantiques capable de se déplacer avec vitesse infinie. Mais la limite de vitesse des objets matériels de notre Univers est immuable : rien ne peut bouger plus rapide que la lumière. Ce phénomène n'a jamais été enregistré, mais il n'a pas encore été possible de le réfuter théoriquement. Avec le temps, peut-être, ce paradoxe sera résolu : soit l'humanité disposera d'un instrument qui enregistrera un tel phénomène, soit une astuce mathématique sera trouvée qui prouvera l'incohérence de cette hypothèse. Il existe une troisième option : les gens créeront un tel phénomène, mais en même temps système solaire tombera dans un trou noir artificiel.
Fonction d'onde d'un système à plusieurs particules (atome d'hydrogène)
Comme nous l'avons expliqué tout au long de cet article, la fonction psi décrit un particule élémentaire. Mais en y regardant de plus près, l’atome d’hydrogène ressemble à un système composé de seulement deux particules (un électron négatif et un proton positif). Les fonctions d'onde de l'atome d'hydrogène peuvent être décrites comme à deux particules ou par un opérateur tel qu'une matrice de densité. Ces matrices ne sont pas exactement une continuation de la fonction psi. Ils montrent plutôt la correspondance entre les probabilités de trouver une particule dans un état et dans un autre. Il est important de rappeler que le problème n’a été résolu que pour deux corps à la fois. Les matrices de densité sont applicables à des paires de particules, mais ne sont pas possibles pour des particules plus grandes. systèmes complexes, par exemple, lorsque trois corps ou plus interagissent. Ce fait révèle une incroyable similitude entre les mécaniques les plus « grossières » et les plus « fines ». physique quantique. Par conséquent, vous ne devriez pas penser que puisqu'il y a mécanique quantique, en physique ordinaire, de nouvelles idées ne peuvent pas surgir. Des choses intéressantes se cachent derrière chaque tournure de manipulations mathématiques.
Dérivation de la formule du noyau dans le cas particule libre donnée dans le problème 4.11 n’est pas satisfaisante pour deux raisons interdépendantes. Premièrement, la notion de somme sur diverses conditions et, utilisé dans l'expression (4.62), n'est pas satisfaisant si les états appartiennent à un spectre continu, ce qui est le cas dans le cas d'une particule libre. Deuxièmement, les fonctions d'onde pour les particules libres ( vagues planes], bien qu'ils soient orthogonaux, ne peuvent pas être normalisés, puisque
et la condition d'égalité (4.47), qui a été utilisée lors de la dérivation de l'expression (4.62), n'est pas satisfaite. Ces deux points peuvent être simultanément corrigés de manière purement mathématique. Revenons au développement d'une fonction arbitraire en termes de propres fonctions :
(4.65)
et tenir compte du fait que tout ou partie des états peuvent appartenir à un spectre continu, de sorte qu'une partie de la somme doit être remplacée par une intégrale. Il est possible d’obtenir mathématiquement strictement une expression correcte pour le noyau, similaire à l’expression (4.62), mais également applicable dans le cas où les états sont dans la partie continue du spectre.
Normalisation au volume final. De nombreux physiciens préfèrent une approche différente, moins rigoureuse. Ce qu'ils font est une modification du problème initial, et les résultats (dans leur sens physique) changeront de manière insignifiante, mais tous les états s'avèrent discrets en énergie et donc toutes les expansions prennent la forme sommes simples. Dans notre exemple, cela peut être réalisé comme suit. On considère l'amplitude de la probabilité de transition d'un point à un autre heure de fin. Si ces deux points sont à une distance finie l'un de l'autre et que l'intervalle de temps qui les sépare n'est pas trop long, alors il n'y aura certainement pas de différences notables dans l'amplitude, que l'électron soit réellement libre ou qu'il soit censé être placé dans un endroit très éloigné. grand volume en caisson avec des parois situées très loin des points et . Si la particule pouvait atteindre les parois et revenir dans le temps, cela pourrait affecter l’amplitude ; mais si les murs sont suffisamment éloignés, ils n’affecteront en rien l’amplitude.
Bien entendu, cette hypothèse peut devenir incorrecte avec un choix particulier de murs ; par exemple, si la pointe est au foyer d'ondes émergeant de la pointe et réfléchies par les parois. Parfois, par inertie, ils commettent une erreur en remplaçant un système situé dans l'espace libre par un système situé au centre. grande sphère. Le fait que le système reste exactement au centre d'une sphère parfaite peut produire un certain effet (semblable à l'apparition d'une tache lumineuse au centre de l'ombre d'un objet parfaitement rond) qui ne disparaît pas même si le rayon de la la sphère tend vers l’infini. L'influence de la surface serait négligeable dans le cas de murs de forme différente ou pour un système décalé par rapport au centre de cette sphère.
Considérons d'abord le cas unidimensionnel. Les fonctions d'onde en fonction des coordonnées ont la forme , où prend les deux signes. Quelle forme auront les fonctions si la plage de changement est limitée à un intervalle arbitraire de à ? La réponse dépend des conditions aux limites qui déterminent les valeurs aux points et . Le plus simple avec point physique la vision sont les conditions aux limites dans le cas de murs qui créent un fort potentiel répulsif pour la particule, limitant ainsi la zone de son mouvement (c'est-à-dire avec une réflexion idéale). Dans ce cas, aux points et . Solutions de l'équation des vagues
, (4.66)
correspondant à l'énergie dans la région seront les exponentielles et/ou toute combinaison linéaire d'entre elles. Cependant, les deux , et ne satisfont pas aux conditions aux limites choisies, car (où est un nombre entier), les propriétés requises sont possédées dans le cas impair par leur demi-somme (c'est-à-dire), et dans le cas pair - divisées par leur demi-différence (c'est-à-dire), comme cela est représenté schématiquement sur la Fig. 4.1. Ainsi, les fonctions d'onde des états ont la forme de sinus et de cosinus, et celles correspondantes niveaux d'énergie discrets et ne forment pas un continuum.
Figue. 4.1. Vue des fonctions d'onde unidimensionnelles normalisées dans une boîte.
Les quatre premiers d'entre eux sont présentés. Les énergies des niveaux correspondants sont égales 
, , Et . Valeur absolue l'énergie, qui dépend de la taille de notre boîte fictive, est insignifiante pour la plupart des problèmes réels. Ce qui compte vraiment, c'est le rapport entre les énergies des différents états.
Si les solutions sont écrites sous la forme et , alors elles seront normalisées, puisque
. (4.67)
La somme de tous les états est la somme sur . Si l'on considère, par exemple, les fonctions sinusoïdales (c'est-à-dire même des valeurs), puis pour de petites valeurs et une très grande valeur (les murs sont loin du point qui nous intéresse), les fonctions voisines par les nombres diffèrent très peu. Leur différence
(4.68)
approximativement proportionnelle à la petite valeur. La somme over peut donc être remplacée par l’intégrale over . Puisque les valeurs valides sont situées séquentiellement avec un intervalle , les états sont situés dans l'intervalle. Tout cela s'applique également aux états avec une fonction d'onde cosinusoïdale, donc dans toutes nos formules nous pouvons remplacer les sommes par des intégrales
, (4.69)
sans oublier qu'à la fin il faut additionner les résultats pour les deux types de fonctions d'onde, à savoir et .
Il est souvent peu pratique d'utiliser et comme fonctions d'onde, et leurs combinaisons linéaires sont préférables
Et .
Cependant, en introduisant un volume limité, nous sommes obligés d'utiliser des sinus et des cosinus, et non leurs combinaisons linéaires, car lorsque valeur définie la solution sera seulement une de ces fonctions, et non les deux à la fois. Mais si l’on néglige les petites erreurs résultant d’aussi petites différences dans les valeurs de , alors on peut s’attendre à obtenir des résultats corrects avec ces nouvelles combinaisons linéaires. Après normalisation, ils prennent la forme et . Puisqu'une onde peut être considérée comme une onde mais avec une valeur négative de , notre nouvelle procédure, incluant la combinaison des deux types de fonctions d'onde, revient à ce qui suit règle générale: prenez les fonctions d'onde d'une particule libre, normalisez-les sur un segment de la longueur de changement de la variable (c'est-à-dire put ) et remplacez les sommes sur les états par des intégrales sur la variable afin que le nombre d'états avec des valeurs contenues dans l'intervalle est égal à , et lui-même passe de à .
Conditions aux limites périodiques. Parfois, une telle excursion vers les cosinus et les sinus, puis de retour vers les exponentielles, peut être contournée en utilisant l'argument suivant. L’introduction d’un mur étant une technique artificielle, sa position spécifique et la condition aux limites correspondante ne devraient avoir aucune influence. signification physique, si seulement le mur est suffisamment enlevé. Par conséquent, au lieu de physiquement conditions simples nous pouvons en utiliser d'autres, dont les solutions se révéleront immédiatement exponentielles. Ces conditions sont
(4.70)
. (4.71)
On les appelle périodiques conditions aux limites, car exiger une périodicité avec une période dans tout l'espace conduirait aux mêmes conditions. Il est facile de vérifier que les fonctions sont des solutions normalisées sur l'intervalle à condition que , où soit un nombre entier (positif ou négatif) ou zéro. Cela suit directement la règle formulée ci-dessus.
Nous pouvons comprendre ce qui se passe dans le cas de trois dimensions si l'on considère une boîte rectangulaire dont les côtés sont égaux à , , . Nous utilisons des conditions aux limites périodiques, c'est-à-dire que nous exigeons que les valeurs de la fonction d'onde et de sa dérivée première d'un côté de la boîte soient symétriquement égales à leurs valeurs du côté opposé. La fonction d'onde normalisée d'une particule libre sera le produit
, (4.72)
où est le volume de la boîte, et valeurs acceptables il y aura , et (, , - entiers). De plus, le nombre de solutions avec des valeurs , , , situées respectivement dans les intervalles , , , est égal au produit, vous devez introduire un facteur supplémentaire . [L'expression (4.64) contient le produit de deux fonctions d'onde.] Deuxièmement, le symbole somme doit être remplacé par l'intégrale 
. Tout cela justifie ce qui a été fait au § 2 du chapitre. 4, ainsi que les résultats du problème 4.11.
Il est à noter que les multiplicateurs s'annulent, comme il se doit, puisque le noyau ne doit pas dépendre de la taille de la boîte.
Quelques notes sur la rigueur mathématique. Le lecteur, voyant le volume diminuer à la fin du calcul, peut avoir l'une des deux réactions suivantes : soit la satisfaction qu'il rétrécisse, comme il se doit, puisque les murs n'affectent rien, soit la perplexité quant au pourquoi tout est fait ainsi. de manière lâche, « sale » et déroutante, en utilisant des murs qui n'ont pas vrai sens, etc., alors que tout cela pourrait être fait de manière beaucoup plus élégante et mathématiquement plus stricte sans aucun mur ou autre. Le type de réaction que vous avez dépend de si vous pensez physiquement ou mathématiquement. Il existe de nombreux malentendus entre mathématiciens et physiciens à propos de la rigueur mathématique en physique, il peut donc être approprié d'évaluer chaque méthode : le raisonnement en boîte et la considération mathématiquement rigoureuse.
Il y a bien sûr plus question triviale: Quelle méthode nous est la plus familière, c'est-à-dire nécessite un minimum de nouvelles connaissances ? Avant de compter le nombre d’états différents dans une boîte, c’était la première chose à laquelle pensaient la plupart des physiciens.
Parallèlement à cela, mathématiquement solution stricte peut ne pas être physiquement rigoureux; en d’autres termes, il est possible que la boîte existe réellement. Il ne s’agit pas nécessairement d’une boîte rectangulaire, car il arrive rarement que des expériences soient réalisées sous les étoiles ; le plus souvent, ils sont passés dans la pièce. Bien que physiquement, il semble tout à fait raisonnable que les murs n'influencent pas l'expérience, une telle formulation du problème doit néanmoins être considérée comme une idéalisation. Supprimer les murs à l'infini n'est pas mieux que de les remplacer par des miroirs idéaux suffisamment éloignés. Dans le premier cas, la rigueur mathématique est également violée, puisque les murs réels ne sont pas à l’infini.
L’approche du mur éloigné est aussi juste et rigoureuse que justifiée. Cela présente plusieurs avantages. Par exemple, lorsque le volume des formules finales est réduit, nous constatons qu'au moins un aspect de l'idéalisation n'a pas d'importance : jusqu'à quel point les murs sont supprimés. Ce résultat nous convainc intuitivement que la véritable localisation de l’environnement réel n’est peut-être pas significative. Enfin, la formule résultante est très utile lorsque l’on a réellement un cas de dimensions finies. Par exemple, au ch. 8 nous l'utiliserons pour compter le nombre de différents ondes sonores dans un grand bloc de substance rectangulaire.
D’un autre côté, l’avantage d’une approche mathématiquement rigoureuse est l’élimination des détails essentiellement inutiles qui ne sont pas inclus dans le résultat. Bien que l’introduction des murs nous permette de comprendre pourquoi ils n’affectent toujours rien, on peut néanmoins être convaincu de la validité de cela sans entrer dans les détails.
Le problème de la normalisation des fonctions d’onde est assez difficile. exemple spécial, mais cela illustre le point principal. Le physicien ne peut pas comprendre la prudence dont fait preuve le mathématicien lorsqu’il résout un problème idéalisé. problème physique. Il sait que la véritable tâche est bien plus difficile. Elle a déjà été simplifiée par l'intuition, qui écarte l'inessentiel et se rapproche de ce qui reste.
