Type d'équation d'onde système physique est déterminé par son hamiltonien, qui acquiert donc une signification fondamentale dans tout l'appareil mathématique de la mécanique quantique.

La forme de l'hamiltonien d'une particule libre a déjà été établie Exigences générales, lié à l’homogénéité et à l’isotropie de l’espace et au principe de relativité de Galilée. DANS mécanique classique ces exigences conduisent à une dépendance quadratique de l'énergie d'une particule sur sa quantité de mouvement : où la constante est appelée masse de la particule (voir I, § 4). DANS mécanique quantique les mêmes exigences conduisent à la même relation pour les valeurs propres de l'énergie et de la quantité de mouvement - des quantités conservées simultanément mesurables (pour une particule libre).

Mais pour que la relation soit valable pour toutes les valeurs propres d'énergie et de quantité de mouvement, elle doit également être valable pour leurs opérateurs :

En remplaçant (15.2) ici, nous obtenons l'hamiltonien d'une particule en mouvement libre sous la forme

Où - Opérateur Laplace.

Hamiltonien d'un système de particules sans interaction égal à la somme Hamiltoniens de chacun d'eux :

où l'indice a numérote les particules ; - Opérateur de Laplace, dans lequel la différenciation s'effectue par rapport aux coordonnées de la particule.

En mécanique classique (non relativiste), l'interaction des particules est décrite par un terme additif dans la fonction de Hamilton - l'énergie potentielle d'interaction, qui est fonction des coordonnées des particules.

En ajoutant la même fonction au hamiltonien du système, l'interaction des particules en mécanique quantique est décrite :

le premier terme peut être considéré comme un opérateur énergie cinétique, et le second en tant qu'opérateur énergie potentielle. En particulier, l'hamiltonien pour une particule située dans un champ externe est

où U(x, y, z) est l'énergie potentielle d'une particule dans un champ externe.

La substitution des expressions (17.2) à (17.5) dans l'équation générale (8.1) donne les équations d'onde pour les systèmes correspondants. Écrivons ici l'équation d'onde d'une particule dans un champ externe

L'équation (10.2), qui définit les états stationnaires, prend la forme

Les équations (17.6), (17.7) ont été établies par Schrödinger en 1926 et sont appelées équations de Schrödinger.

Pour une particule libre, l'équation (17.7) a la forme

Cette équation a des solutions finies dans tout l’espace pour tout valeur positiveénergie E. Pour les états avec certaines directions de mouvement, ces solutions sont les fonctions propres de l'opérateur impulsion, et . Les fonctions d'onde complètes (dépendantes du temps) d'un tel états stationnaires ressembler

(17,9)

Chacune de ces fonctions - une onde plane - décrit un état dans lequel la particule a une certaine énergie E et un certain élan. La fréquence de cette onde est égale à et son vecteur d'onde la longueur d'onde correspondante est appelée longueur d'onde de Broglie de la particule.

Le spectre énergétique d'une particule en mouvement libre s'avère ainsi continu, s'étendant de zéro à Chacune de ces valeurs propres (sauf que seule la valeur est dégénérée, et la dégénérescence est d'une multiplicité infinie. En effet, chaque valeur non nulle de E correspond ensemble infini fonctions propres (17.9), différant dans les directions vectorielles avec la même valeur absolue.

Voyons comment se produit la transition limite vers la mécanique classique dans l'équation de Schrödinger, en considérant par souci de simplicité une seule particule dans un champ externe. En substituant l'expression limite (6.1) de la fonction d'onde dans l'équation de Schrödinger (17.6), on obtient, par différenciation,

Cette équation a des termes purement réels et purement imaginaires (rappelons que S et a sont réels) ; en les assimilant séparément à zéro, nous obtenons deux équations :

En négligeant le terme contenu dans la première de ces équations, on obtient

(17,10)

c'est-à-dire, comme prévu, l'équation classique de Hamilton-Jacobi pour l'action d'une particule S. On voit d'ailleurs qu'en mécanique classique cela vaut jusqu'à des quantités du premier ordre (et non zéro) inclus.

La deuxième des équations résultantes après multiplication par 2a peut être réécrite sous la forme

Cette équation a un visuel signification physique: il y a la densité de probabilité de trouver une particule à un endroit particulier de l'espace ; il y a la vitesse classique v de la particule. Par conséquent, l'équation (17.11) n'est rien de plus qu'une équation de continuité, montrant que la densité de probabilité « se déplace » selon les lois de la mécanique classique avec vitesse classique v en tout point.

Tâche

Trouvez la loi de transformation de la fonction d’onde sous la transformée galiléenne.

Solution. Faisons une transformation fonction d'onde mouvement libre particules (onde plane). Puisque toute fonction peut être développée en ondes planes, la loi de transformation sera ainsi trouvée pour une fonction d’onde arbitraire.

Ondes planes dans les systèmes de référence K et K" (K" se déplace par rapport à K avec la vitesse V) :

De plus, l'impulsion et les énergies des particules dans les deux systèmes sont liées entre elles par les formules

(voir I, § 8), En substituant ces expressions dans on obtient

Sous cette forme, cette formule ne contient plus de grandeurs caractérisant le libre mouvement d'une particule, et établit la valeur souhaitée loi commune transformation de la fonction d'onde d'un état de particule arbitraire. Pour un système de particules, l'exposant en (1) doit contenir la somme des particules.

Conférence 5. ÉQUATION DE SCHRÖDINGER.

Signification probabiliste des ondes de Broglie. Fonction vague.

Les ondes de De Broglie ont une nature quantique, qui n'a aucune analogie avec les ondes de la physique classique. N'est pas ondes électromagnétiques, puisque leur distribution dans l'espace n'est associée à la distribution d'aucun Champ électromagnétique. La question sur la nature des ondes peut être formulée comme une question sur la signification physique de l'amplitude de ces ondes. Au lieu de l'amplitude, il est plus pratique de choisir une intensité d'onde proportionnelle au carré du module d'amplitude.

Des expériences sur la diffraction électronique, il s'ensuit que dans ces expériences, une distribution inégale des faisceaux d'électrons réfléchis le long de diverses directions. Du point de vue des ondes, la présence de maxima du nombre d'électrons dans certaines directions signifie que ces directions correspondent à la plus haute intensité des ondes de De Broglie. L'intensité des ondes en un point donné de l'espace détermine la densité de probabilité que les électrons atteignent ce point en 1 seconde.

Cela a servi de base à une sorte d’interprétation statistique et probabiliste des ondes de Broglie.

Le carré de l’amplitude de l’onde de Broglie en un point donné est une mesure de la probabilité qu’une particule soit détectée à ce point.

Afin de décrire la distribution de probabilité de trouver une particule dans ce moment temps à un moment donné dans l'espace, nous introduisons une fonction qui est fonction du temps et des coordonnées, notée lettre grecque ψ et s'appelle fonction d'onde ou simplement fonction psi.

Par définition, la probabilité qu'une particule ait une coordonnée dans x, x+dx.

Si , alors est la probabilité que la particule soit dans le volume dxdydz.

Par conséquent, la probabilité qu'une particule se trouve dans un élément de volume dV est proportionnelle au carré du module de la fonction psi et de l'élément de volume dV.

La signification physique n'est pas la fonction ψ elle-même, mais le carré de son module , où ψ* est la fonction complexe conjuguée à ψ. L'ampleur est logique densité de probabilité, c'est à dire. définit probabilité qu'une particule se trouve à un point donné de l'espace. En d’autres termes, il détermine l’intensité des ondes de Broglie. La fonction d'onde est la principale caractéristique de l'état des microobjets ( particules élémentaires, atomes, molécules).

Équation instable Schrödinger.

Les équations de Newton en mécanique classique permettent aux corps macroscopiques de résoudre le problème principal de la mécanique : étant donné les forces agissant sur le corps (ou un système de corps) et les conditions initiales, trouver les coordonnées du corps et sa vitesse à tout instant. dans le temps, c'est-à-dire décrire le mouvement d'un corps dans l'espace et dans le temps.

Lorsqu’on pose un problème similaire en mécanique quantique, il est nécessaire de prendre en compte les restrictions sur la possibilité d’application aux microparticules. notions classiques coordonnées et élan. Puisque l’état d’une microparticule dans l’espace à un instant donné est déterminé par la fonction d’onde, ou plus précisément par la probabilité de trouver la particule dans points x, y, zà l'instant t, l'équation fondamentale de la mécanique quantique est une équation par rapport à la fonction psi.

Cette équation a été obtenue en 1926 par Schrödinger. Comme les équations du mouvement de Newton, l’équation de Schrödinger est postulée plutôt que dérivée. La validité de cette équation est prouvée par le fait que les conclusions obtenues grâce à elle sont en bon accord avec les expériences.

L'équation de Schrödinger a la forme

,

ici m est la masse des particules, i est unité imaginaire, est l'opérateur de Laplace dont le résultat agit sur une fonction

.

U(x,y,z,t) – dans le cadre de nos problèmes, l'énergie potentielle d'une particule se déplaçant dans un champ de force. De l'équation de Schrödinger, il s'ensuit que le type de fonction psi est déterminé par la fonction U, c'est-à-dire en fin de compte, la nature des forces agissant sur la particule.

L'équation de Schrödinger est complétée conditions importantes, qui se superposent à la fonction psi. Il y a trois conditions :

1) la fonction ψ doit être finie, continue et sans ambiguïté ;

2) dérivés doit être continu

3) la fonction doit être intégrable, c'est-à-dire intégral

doit être définitif. Dans les cas les plus simples, la troisième condition se réduit à la condition de normalisation

Cela signifie que la présence d'une particule quelque part dans l'espace est événement fiable et sa probabilité doit être égale à un. Les deux premières conditions sont les exigences habituelles imposées à la solution souhaitée de l’équation différentielle.

Expliquons comment on peut arriver à l'équation de Schrödinger. Par souci de simplicité, nous nous limitons au cas unidimensionnel. Considérons une particule en mouvement libre (U = 0).

Comparons-lui, selon l'idée de de Broglie, une onde plane

Remplaçons et réécrivons

.

En différenciant cette expression une fois par rapport à t, et une seconde fois deux fois par rapport à x, on obtient

L'énergie et l'impulsion d'une particule libre sont liées par la relation

Substitution des expressions pour E et p 2 dans cette relation

La dernière expression coïncide avec l'équation de Schrödinger à U =0.

Dans le cas du mouvement des particules dans un champ de force caractérisé par l'énergie potentielle U, l'énergie E et l'impulsion p sont liées par la relation

Le raisonnement exposé n’a aucune valeur probante et ne peut être considéré comme une dérivation de l’équation de Schrödinger. Leur but est d’expliquer comment on peut arriver à établir cette équation.

Heisenberg a été amené à la conclusion que l'équation du mouvement en mécanique quantique, qui décrit le mouvement des microparticules dans divers champs de force, il doit y avoir une équation à partir de laquelle découleraient les valeurs observées expérimentalement propriétés des vagues particules. L'équation directrice doit être une équation pour la fonction d'onde Ψ (x, y, z, t), puisque c'est précisément cela, ou, plus précisément, la quantité |Ψ| 2, détermine la probabilité qu'une particule soit présente à un moment donné t en volume Δ V, c'est-à-dire dans la zone avec les coordonnées X Et x + dx, y Et y + dù, z Et z+ dz.

L'équation de base de la mécanique quantique non relativiste a été formulée en 1926 par E. Schrödinger. L'équation de Schrödinger, comme toutes les équations fondamentales de la physique (par exemple les équations de Newton en mécanique classique et les équations de Maxwell pour le champ électromagnétique), n'est pas dérivée, mais postulée. L'exactitude de cette équation est confirmée par l'accord avec l'expérience obtenue à partir de son en utilisant les résultats, ce qui, à son tour, lui confère le caractère d’une loi de la nature.

Équation générale Schrödinger a la forme :

Où ? =h/(2π), m- masse des particules, Δ - Opérateur de Laplace , je- unité imaginaire, U(x, y, z, t) - fonction potentielle particule dans le champ de force dans lequel elle se déplace, Ψ( x, y, z, t) est la fonction d'onde souhaitée de la particule.

L'équation (1) est valable pour toute particule (avec un spin égal à 0) se déplaçant à une vitesse faible (par rapport à la vitesse de la lumière), c'est-à-dire υ "Avec.

Il est complété par des conditions, superposé à la fonction d'onde :

1) la fonction d'onde doit être finie, sans ambiguïté et continue ;

2) dérivés doit être continu ;

3) fonction |Ψ| 2 doit être intégrable (cette condition dans les cas les plus simples se réduit à la condition de normalisation des probabilités).

L'équation (1) est appelée équation de Schrödinger dépendante du temps.

Pour beaucoup phénomènes physiques, se produisant dans le micromonde, l'équation (1) peut être simplifiée en éliminant la dépendance de Ψ au temps, c'est-à-dire trouvez l'équation de Schrödinger pour les états stationnaires - états avec des valeurs d'énergie fixes. Ceci est possible si le champ de force dans lequel la particule se déplace est stationnaire, c'est-à-dire la fonction U = U(x, y,z) ne dépend pas explicitement du temps et a le sens d'énergie potentielle. DANS dans ce cas la solution de l'équation de Schrödinger peut être représentée comme

. (2)

Équation (2) appelée équation de Schrödinger pour les états stationnaires.

Cette équation inclut comme paramètre énergie totale E particules. En théorie équations différentielles il est prouvé que de telles équations ont un nombre infini de solutions, dont, en imposant conditions aux limites des solutions qui ont une signification physique sont sélectionnées. Pour l'équation de Schrödinger, ces conditions sont conditions de régularité des fonctions d'onde: Les nouvelles fonctions doivent être finies, sans ambiguïté et continues avec leurs dérivées premières.

Ainsi, seules les solutions exprimées par des fonctions régulières Ψ ont une réelle signification physique. Mais les solutions régulières n'ont lieu pour aucune valeur de paramètre E, mais seulement pour un certain ensemble d'entre eux, caractéristiques d'une tâche donnée. Ces valeurs énergétiques sont appelées valeurs propres . Des solutions adaptées valeurs propres l'énergie est appelée fonctions propres . Valeurs propres E peut former à la fois continu et série discrète. Dans le premier cas, ils parlent d'un spectre continu ou solide, dans le second, d'un spectre discret.

Particule dans un « puits de potentiel » rectangulaire unidimensionnelavec des « murs » infiniment hauts

Réalisons analyse qualitative solutions de l’équation de Schrödinger appliquée à une particule dans un « puits de potentiel » rectangulaire unidimensionnel avec des « murs » infiniment hauts. Un tel « trou » est décrit par l’énergie potentielle de la forme (pour plus de simplicité, nous supposons que la particule se déplace le long de l’axe X)

Où je est la largeur du « trou », et l’énergie est comptée à partir de son fond (Fig. 2).

L'équation de Schrödinger pour les états stationnaires dans le cas d'un problème unidimensionnel s'écrira sous la forme :

. (1)

Selon les conditions du problème (des « murs » infiniment hauts), la particule ne pénètre pas au-delà du « trou », donc la probabilité de sa détection (et, par conséquent, la fonction d'onde) à l'extérieur du « trou » est nulle. Aux limites de la « fosse » (à X= 0 et x = 1) la fonction d'onde continue doit également disparaître.

Par conséquent, les conditions aux limites dans ce cas sont de la forme :

Ψ (0) = Ψ ( je) = 0. (2)

Dans la « fosse » (0 ≤ X≤ 0) l'équation de Schrödinger (1) se réduira à l'équation :

ou . (3)

Où k 2 = 2mE /? 2.(4)

Solution générale de l'équation différentielle (3) :

Ψ ( X) = UN péché kx + B parce que kx.

Puisque d’après (2) Ψ (0) = 0, alors B = 0. Alors

Ψ ( X) = UN péché kx. (5)

Condition Ψ ( je) = UN péché kl= 0 (2) est exécuté uniquement lorsque kl = nπ, Où n- des entiers, c'est-à-dire il est nécessaire que

k = nπ/l. (6)

Des expressions (4) et (6) il résulte que :

(n = 1, 2, 3,…), (7)

c'est-à-dire que l'équation stationnaire de Schrödinger, qui décrit le mouvement d'une particule dans un « puits de potentiel » avec des « murs » infiniment hauts, n'est satisfaite que pour les valeurs propres E p, en fonction d'un entier P. Par conséquent, l'énergie E p les particules dans un « puits de potentiel » aux « murs » infiniment hauts n'acceptent que certain valeurs discrètes, c'est-à-dire qu'il est quantifié.

Valeurs énergétiques quantifiées E p sont appelés niveaux d'énergie et le numéro P, qui détermine les niveaux d'énergie d'une particule est appelé nombre quantique principal. Ainsi, une microparticule dans un « puits de potentiel » aux « parois » infiniment hautes ne peut être qu’à un certain niveau d’énergie E p, ou, comme on dit, la particule est dans un état quantique P.

En remplaçant dans (5) la valeur kà partir de (6), on retrouve les fonctions propres :

.

Constante d'intégration UN on retrouve à partir de la condition de normalisation, qui pour ce cas s'écrira sous la forme :

.

Suite à l'intégration on obtient , et les fonctions propres auront la forme :

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Graphiques des fonctions propres (8) correspondant aux niveaux d'énergie (7) à n= 1,2,3, illustré à la Fig. 3, UN. En figue. 3, b montre la densité de probabilité de détection d'une particule à différentes distances des « parois » du trou, égale à ‌‌‌‌‌‌ Ψ n(X)‌ 2 = Ψ n(X)·Ψ n * (X) Pour n = 1, 2 et 3. Il résulte de la figure que, par exemple, dans un état quantique avec m= 2, une particule ne peut pas être au milieu du « trou », alors qu’elle peut tout aussi souvent être à sa gauche et bonnes pièces. Ce comportement de la particule indique que les concepts de trajectoires de particules en mécanique quantique sont intenables.

De l'expression (7) il résulte que l'intervalle d'énergie entre deux niveaux adjacents est égal à :

Par exemple, pour un électron de dimensions de puits je= 10 -1 m (électrons libres dans le métal) , Δ E n ≈ 10 -35 · n J ≈ 10 -1 6 n eV, c'est-à-dire Les niveaux d'énergie sont si proches que le spectre peut pratiquement être considéré comme continu. Si les dimensions du puits sont comparables à celles atomiques ( je ≈ 10 -10 m), puis pour l'électron Δ E n ≈ 10 -17 n J. ≈ 10 2 n eV, c'est-à-dire Des valeurs d'énergie évidemment discrètes (spectre de raies) sont obtenues.

Ainsi, appliquer l’équation de Schrödinger à une particule dans un « puits de potentiel » aux « parois » infiniment hautes conduit à des valeurs d’énergie quantifiées, alors que la mécanique classique n’impose aucune restriction sur l’énergie de cette particule.

De plus, la considération mécanique quantique de ce problème conduit à la conclusion qu'une particule « dans un puits de potentiel » avec des « parois » infiniment hautes ne peut pas avoir une énergie inférieure à l'énergie minimale égale à π 2 ? 2 /(2t1 2). La présence d'une énergie minimale non nulle n'est pas accidentelle et découle de la relation d'incertitude. Incertitude des coordonnées Δ X particules dans une « fosse » large jeégal à Δ X= je.

Alors, selon la relation d’incertitude, l’impulsion ne peut pas avoir une valeur exacte, en l’occurrence nulle. Incertitude de quantité de mouvement Δ R. ≈ h/l. Cet écart de valeurs de quantité de mouvement correspond à l'énergie cinétique E min ≈(Δ p) 2 / (2m) = ? 2 / (2ml2). Tous les autres niveaux ( p> 1) avoir une énergie dépassant cette valeur minimale.

Des formules (9) et (7), il s'ensuit que pour les grands nombres quantiques ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/P« 1, c'est-à-dire que les niveaux adjacents sont proches : plus ils sont proches, plus P. Si P. est très grand, on peut alors parler d'une séquence presque continue de niveaux et caractéristique processus quantiques— la discrétion est atténuée. Ce résultat est un cas particulier du principe de correspondance de Bohr (1923), selon lequel les lois de la mécanique quantique doivent grandes valeurs les nombres quantiques se transforment en lois de la physique classique.

Solutions stationnaires de l'équation de Schrödinger.

Annexe A

Trouver une solution à l'équation de Schrödinger pour électron libre sous la forme d'un paquet d'ondes .

Écrivons l'équation de Schrödinger pour un électron libre

Après transformations, l'équation de Schrödinger prend la forme

(A.2)

On résout cette équation avec la condition initiale

(A.3)

Voici la fonction d'onde électronique dans moment de départ temps. On cherche une solution à l'équation (A.2) sous la forme de l'intégrale de Fourier

(A.4)

On substitue (A.4) dans (A.2) et on obtient

La solution (A.4) peut maintenant s’écrire sous la forme suivante

(A.6)

Nous utilisons condition initiale(A.3), et de (A.6) nous obtenons le développement de la fonction d'onde initiale de l'électron dans l'intégrale de Fourier.

(A.7)

A l’expression (A.7) on applique conversion inverse Fourier

(A.8)

Résumons les transformations opérées. Ainsi, si la fonction d'onde de l'électron à l'instant initial est connue, alors après intégration (A.8), nous trouvons les coefficients. Ensuite, après avoir substitué ces coefficients dans (A.6) et intégré, nous obtenons la fonction d’onde de l’électron à un instant arbitraire en tout point de l’espace.

Pour certaines distributions, l'intégration peut être effectuée explicitement et obtenir expression analytique pour résoudre l'équation de Schrödinger. Comme fonction d'onde initiale, nous prenons la distribution gaussienne modulée par une onde monochromatique plane.

Voici le moment moyen des électrons. Choisir la fonction d'onde initiale sous cette forme nous permettra d'obtenir une solution de l'équation de Schrödinger sous la forme d'un paquet d'ondes.

Considérons en détail les propriétés de la fonction d'onde initiale (A.9).

Premièrement, la fonction d'onde est normalisée à l'unité.

(A.10)

La normalisation (A.10) est facilement prouvée à l’aide de l’intégrale du tableau suivant.

(A.11)

Deuxièmement, si la fonction d'onde est normalisée à l'unité, alors le module au carré de la fonction d'onde est la densité de probabilité de trouver un électron en un point donné de l'espace.

Ici, la quantité sera appelée l'amplitude du paquet d'ondes à l'instant initial. La signification physique de l'amplitude du paquet est valeur maximum distributions de probabilité. La figure 1 montre un graphique de la distribution de densité de probabilité.

Distribution de la densité de probabilité au moment initial.

Notons quelques caractéristiques du graphique de la figure 1.

1. La coordonnée est un point sur un axe X, dans laquelle la distribution de probabilité a une valeur maximale. On peut donc dire qu'avec le plus probable on peut détecter un électron à proximité d'un point.

2. La valeur déterminera l'écart par rapport au point auquel la valeur de distribution diminue de e fois la valeur maximale.

(A.13)

Dans ce cas, la valeur est appelée la largeur du paquet d'ondes à l'instant initial et la valeur est appelée la demi-largeur du paquet.

3. Calculer la probabilité de trouver un électron dans l'intervalle .

(A.14)

Ainsi, la probabilité de détecter un électron dans une région ayant un centre et une demi-largeur est de 0,843. Cette probabilité est proche de l'unité, c'est pourquoi on parle généralement de la région à demi-largeur comme de la région où se trouve l'électron au moment initial.

Troisième, la fonction d'onde initiale n'est pas une fonction propre de l'opérateur impulsion. Par conséquent, un électron dans un état avec une fonction d’onde n’a pas d’impulsion spécifique ; on ne peut parler que de l’impulsion moyenne de l’électron. Calculons l'impulsion moyenne des électrons.

Par conséquent, la valeur de la formule (A.9) est la valeur moyenne de l’impulsion électronique. La formule (A.15) est facilement prouvée si vous utilisez l'intégrale du tableau (A.11).

Ainsi, les propriétés de la fonction d'onde initiale ont été analysées. Remplaçons maintenant la fonction par l'intégrale de Fourier (A.8) et trouvons les coefficients.

Dans l'intégrale (A.16) nous effectuons le changement suivant de la variable d'intégration.

(A.17)

Il en résulte que l’intégrale (A.16) prend la forme suivante.

(A.18)

En conséquence, nous obtenons l’expression suivante pour les coefficients.

(A.18)

En substituant les coefficients dans la formule (A.6), nous obtenons l'expression intégrale suivante pour la fonction d'onde.

Dans l'intégrale (A.19) nous effectuons le changement suivant de la variable d'intégration.

(A.20)

Il en résulte que l’intégrale (A.19) prend la forme suivante.

On obtient finalement la formule du paquet d'ondes.

(A.22)

Il est facile de voir que pour l’instant initial, la formule (A.22) se transforme en formule (A.9) pour la fonction d’onde initiale. Trouvons la densité de probabilité pour la fonction (A.22).

Nous substituons le paquet d'ondes (A.22) dans la formule (A.23), et nous obtenons ainsi l'expression suivante.

(A.24)

Ici, le centre du paquet d'ondes, ou le maximum de la distribution de densité de probabilité, se déplace à une vitesse égale à la valeur suivante.

La demi-largeur du paquet d'ondes augmente avec le temps et est déterminée par la formule suivante.

(A.26)

L'amplitude du paquet d'ondes diminue avec le temps et est déterminée par la formule suivante.

(A.27)

Ainsi, la distribution de probabilité d’un paquet d’ondes peut s’écrire sous la forme suivante.

(A.28)

Sur la figure 2. montre la distribution de probabilité à trois moments consécutifs.

Distribution de probabilité à trois moments consécutifs.

Appendice B

informations générales sur la résolution de l'équation de Schrödinger .

Introduction.

Mouvement d'une particule quantique dans cas général décrit par l'équation de Schrödinger :

Ici, i est l'unité imaginaire, h =1,0546´10 -34 (J×s) est la constante de Planck. Opérateur Ĥ s'appelle l'opérateur de Hamilton. La forme de l'opérateur de Hamilton dépend du type d'interaction de l'électron avec les champs externes.

Si nous ne prenons pas en compte les propriétés de spin de l'électron, par exemple si nous ne considérons pas le mouvement de l'électron dans un champ magnétique, alors l'opérateur de Hamilton peut être représenté sous la forme.

(B.2)

Voici l’opérateur d’énergie cinétique :

, (B.3)

Où m=9,1094´10 -31 (kg) – masse électronique. L'énergie potentielle décrit l'interaction d'un électron avec un champ électrique externe.

Dans ce travail de laboratoire nous considérerons le mouvement unidimensionnel d'un électron le long de l'axe X. L'équation de Schrödinger prend dans ce cas la forme suivante :

. (B.4)

Équation (B.4) avec point mathématique la vue est une équation aux dérivées partielles pour une fonction d'onde inconnue Oui=Oui(x,t). On sait qu’une telle équation a solution définitive, si les conditions initiales et aux limites appropriées sont spécifiées. Les conditions initiales et aux limites sont sélectionnées en fonction des spécificités problème physique.

Supposons, par exemple, qu'un électron se déplace de gauche à droite avec une impulsion moyenne p 0 . De plus, au temps initial t=0, l'électron est localisé dans une certaine région de l'espace x m -d< x < x m +d. Здесь x m – центр области локализации электрона, а d – эффективная полуширина этой области.

Dans ce cas, la condition initiale ressemblera à ceci :

. (B.5)

Ici Y 0 (x) est la fonction d'onde à l'instant initial. La fonction d'onde est fonction complexe, il est donc pratique de représenter graphiquement non pas la fonction d'onde elle-même, mais la densité de probabilité.

Densité de probabilité de trouver un électron dans cet endroità un instant donné s'exprime par la fonction d'onde comme suit :

Notez que les probabilités doivent être normalisées à l’unité. De là, nous obtenons la condition de normalisation de la fonction d’onde :

. (B.7)

Distribution de la densité de probabilité au moment initial

, (B.8)

peut être représenté graphiquement. Sur la figure 3. l'emplacement possible de l'électron à l'instant initial est indiqué.

L'emplacement de l'électron au moment t=0.

De cette figure, il ressort clairement que, avec la plus grande probabilité, l'électron se trouve au point x m. Lettre UN nous désignerons l'amplitude (valeur maximale) de la distribution de probabilité. Cette figure montre également comment est déterminée la largeur 2d ou demi-largeur d de la distribution. Si la distribution a un caractère exponentiel ou gaussien, alors la largeur de la distribution est déterminée à un niveau en e fois inférieure à la valeur maximale.

Sur la figure 3. le vecteur du moment moyen des électrons est affiché. Cela signifie que l’électron se déplace de droite à gauche et que la distribution de probabilité se déplacera également de droite à gauche. Sur la figure 2. montre la distribution de probabilité à trois moments consécutifs. Sur la figure 2. on voit que le maximum de la distribution x m (t) se déplace de gauche à droite.

Sur la figure 2. on peut remarquer que le mouvement d'un électron de droite à gauche s'accompagne d'une déformation de la distribution de densité de probabilité. Amplitude UN(t) diminue et la demi-largeur d(t) augmente. Tous les détails ci-dessus sur le mouvement de l'électron peuvent être obtenus en résolvant l'équation de Schrödinger (B4) avec la condition initiale (B.5).

Résumé . Selon la formulation du problème physique, la forme de l'équation de Schrödinger peut changer. Lors de l'étude de certains phénomènes physiques décrits par l'équation de Schrödinger, les conditions initiales et aux limites nécessaires sont sélectionnées pour trouver une solution à l'équation de Schrödinger.

Solutions stationnaires de l'équation de Schrödinger.

Si un électron se déplace dans un champ externe constant, son énergie potentielle ne dépendra pas du temps. Dans ce cas, l'un des solutions possibles L'équation de Schrödinger (B.4) est une solution séparable dans le temps t et le long de la coordonnée x.

Nous utilisons une technique connue en mathématiques pour résoudre des équations différentielles. On cherche une solution à l’équation (B.4) sous la forme :

. (B.9)

On substitue (B.9) dans l'équation (B.4) et on obtient les relations suivantes :

. (B.10)

Ici E– une constante à laquelle, en mécanique quantique, on donne la signification de l’énergie totale d’un électron. Les relations (B.10) sont équivalentes aux deux équations différentielles suivantes :

. (B.11)

La première équation du système (B.11) a la suivante décision commune:

Ici C est une constante arbitraire. On substitue (B.12) dans l'expression (B.9) et obtenons une solution de l'équation de Schrödinger (B.4) sous la forme :

, (B.13)

où est la fonction oui(x) satisfait l’équation.

(B.14)

Constante C contenu dans la fonction oui(X).

La solution de l'équation de Schrödinger (B.4) sous la forme de l'expression (B.13) s'appelle solution stationnaire de l'équation de Schrödinger. L'équation (B.14) est appelée équation de Schrödinger stationnaire. Fonction oui(x) est appelé fonction d'onde, indépendant du temps.

L’état de l’électron, décrit par la fonction d’onde (B.13), est appelé état stationnaire. La mécanique quantique stipule que dans un état stationnaire, un électron a certaine énergie E.

Les résultats obtenus peuvent être généralisés à l'équation de Schrödinger (B.1) pour le mouvement tridimensionnel des électrons. Si l'opérateur de Hamilton Ĥ ne dépend pas explicitement du temps, alors une des solutions possibles de l'équation de Schrödinger (B.1) est une solution stationnaire de la forme suivante :

, (B.15)

où la fonction d'onde satisfait l'équation de Schrödinger stationnaire.

(B.16)

Notez que les équations (B.14) et (B.16) de la mécanique quantique portent également ce nom. Ces équations sont des équations pour fonctions natives Et valeurs propres Opérateur de Hamilton. Autrement dit, en résolvant l’équation (B.16) on trouve les énergies E(valeurs propres de l'opérateur Hamilton) et les fonctions d'onde correspondantes (fonctions propres de l'opérateur Hamilton).

Résumé . Les solutions stationnaires de l'équation de Schrödinger constituent une certaine classe de solutions parmi un vaste ensemble d'autres solutions de l'équation de Schrödinger. Des solutions stationnaires existent si l'opérateur hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps. Dans un état stationnaire, un électron possède une certaine énergie. Trouver valeurs possibles l'énergie, il faut résoudre l'équation stationnaire de Schrödinger.

Paquet de vagues.

Il est facile de voir que les solutions stationnaires de l'équation de Schrödinger ne décrivent pas le mouvement d'un électron localisé, comme le montrent les figures 1 et 2. En effet, si l’on prend la solution stationnaire (B.13) et trouve la distribution de probabilité, on obtiendra une fonction indépendante du temps.

(B.17)

Cela n'est pas surprenant ; la solution stationnaire (B.13) est l'une des solutions possibles de l'équation aux dérivées partielles (B.4).

Mais ce qui est intéressant c’est qu’en raison de la linéarité de l’équation de Schrödinger (B.4) par rapport à la fonction d’onde Oui(x,t), pour les solutions de cette équation le principe de superposition est satisfait. Pour les états stationnaires, ce principe s’énonce comme suit. Toute combinaison linéaire de solutions stationnaires (avec différentes énergies E) de l'équation de Schrödinger (B.4) est également une solution de l'équation de Schrödinger (B.4).

Donner expression mathématique Pour le principe de superposition, il faut dire quelques mots sur le spectre énergétique de l’électron. Si la solution de l’équation stationnaire de Schrödinger (B.14) a un spectre discret, cela signifie que l’équation (B.14) peut s’écrire comme suit :

(B.18)

où l'indice n parcourt, d'une manière générale, une série infinie de valeurs n=0,1,2,¼. Dans ce cas, la solution de l'équation de Schrödinger (B.4) peut être représentée comme une somme de solutions stationnaires.

(B.19)

En mécanique quantique, il est prouvé que les fonctions propres oui n(x) d'un spectre discret peut devenir un système de fonctions orthonormé. Cela signifie qu'il est en cours d'exécution condition suivante normalisation.

(B.20)

Ici d n m est le symbole de Kronecker.

oui n (x) est orthonormé, alors les coefficients C n en somme (B.19) ont une signification physique simple. Module carré du coefficient C n égal à la probabilité qu'un électron dans un état avec fonction d'onde (B.19) a de l'énergie E n.

La chose la plus importante dans cette affirmation est qu’un électron dans un état avec fonction d’onde (B.19) n’a pas d’énergie spécifique. Lors de la mesure de l'énergie, cet électron peut avoir n'importe quelle énergie de l'ensemble avec probabilité (B.21).

Par conséquent, ils disent qu'un électron peut avoir l'une ou l'autre énergie avec une probabilité déterminée par la formule (B.21).

Un électron qui est dans un état stationnaire et possède une certaine énergie sera appelé électron monochromatique. Un électron qui n’est pas dans un état stationnaire et ne possède donc pas une certaine énergie sera appelé électron non monochromatique.

Si la solution de l'équation stationnaire de Schrödinger (B.14) a un spectre continu, alors cela signifie que l'équation (B.14) peut s'écrire sous la forme suivante :

, (B.22)

où est l'énergie E prend des valeurs sur un intervalle continu [ E min, E maximum]. Dans ce cas, la solution de l'équation de Schrödinger (B.4) peut être représentée comme une intégrale de solutions stationnaires.

(B.23)

Fonctions propres du spectre continu oui En mécanique quantique, E (x) est généralement normalisé à la fonction d :

, (B.24)

La définition de la fonction d est contenue dans les relations intégrales suivantes :

Pour visualiser le comportement de la fonction d, la description suivante de cette fonction est donnée :

Donc, si le système de fonctions oui E (x) est normalisé à la fonction d, puis au carré du module du coefficient C(E) dans l'intégrale (B.23) égale à la densité la probabilité qu'un électron dans un état avec fonction d'onde (B.19) ait de l'énergie E.

La fonction d'onde Y(x,t) présentée comme une somme (B.19) ou comme une intégrale (B.23) de solutions stationnaires de l'équation de Schrödinger est appelée paquet de vagues.

Ainsi, l’état d’un électron non monochromatique est décrit par un paquet d’ondes. On peut aussi dire ceci : les états d'un électron monochromatique avec leurs facteurs de poids contribuent à l'état d'un électron non monochromatique.

Sur la figure 1. et figure 2. Les paquets d'ondes électroniques sont représentés à différents moments.

Résumé . L'état d'un électron non monochromatique est décrit par un paquet d'ondes. Un électron non monochromatique n’a pas d’énergie spécifique. Un paquet d'ondes peut être représenté comme une somme ou une intégrale de fonctions d'onde d'états stationnaires avec leurs propres énergies. La probabilité qu'un électron non monochromatique possède l'une ou l'autre énergie issue de cet ensemble d'énergies est déterminée par la contribution des états stationnaires correspondants au paquet d'ondes.

Mouvement libre. Solution générale de l'équation de Schrödinger.

Selon le champ avec lequel l'électron interagit, la solution de l'équation stationnaire de Schrödinger (B.14) peut avoir type différent. Ce laboratoire examine la libre circulation. Par conséquent, dans l’équation (B.14), nous mettons l’énergie potentielle égal à zéro. En conséquence nous obtenons l'équation suivante:

, (B.26)

la solution générale de cette équation a la forme suivante :

. (B.27)

Ici C 1 et C 2 sont deux constantes arbitraires, k a la signification d'un nombre d'onde.

Maintenant, en utilisant l'expression (B.23), nous écrivons la solution générale de l'équation de Schrödinger pour le mouvement libre. Nous substituons la fonction (B.27) en intégrale (B.23). Dans le même temps, nous tenons compte du fait que les limites de l'intégration en matière d'énergie E pour la libre circulation sont sélectionnés de zéro à l'infini. En conséquence, nous obtenons l'expression suivante :

Dans cette intégrale, il convient de passer de l’intégration à l’énergie Eà l'intégration sur le nombre d'onde k. Nous supposerons que le nombre d'onde peut prendre à la fois positif et valeurs négatives. Pour plus de commodité, nous introduisons la fréquence w associée à l'énergie E, la relation suivante :

En transformant l'intégrale (B.28), on obtient l'expression suivante pour le paquet d'ondes :

. (B.30)

L'intégrale (B.30) donne la solution générale de l'équation de Schrödinger (B.4) pour le mouvement libre. Chances C(k) sont trouvés à partir des conditions initiales.

Prenons la condition initiale (B.5) et substituons-y la solution (B.30). En conséquence, nous obtenons l'expression suivante :

(B.31)

L'intégrale (B.31) n'est rien de plus que l'expansion de la fonction d'onde initiale dans l'intégrale de Fourier. En utilisant la transformée de Fourier inverse, on trouve les coefficients C(k).

. (B.32)

Résumé . Par libre mouvement d'un électron, nous entendons le mouvement en l'absence champ externe dans une région infinie de l'espace. Si la fonction d'onde de l'électron à l'instant initial Y 0 (x) est connue, alors en utilisant les formules (B.32) et (B.30), on peut trouver la solution générale de l'équation de Schrödinger Y(x,t ) pour la libre circulation de l’électron.

§ 217. Équation générale de Schrödinger. Équation de Schrödinger pour les états stationnaires

L'interprétation statistique des ondes de Da Broglie (voir § 216) et de la relation d'incertitude de Heisenberg (voir § 215) a conduit à la conclusion que l'équation du mouvement en mécanique quantique, qui décrit le mouvement des microparticules dans divers champs de force, devrait être une équation d'où les observables sur les propriétés expérimentales des ondes des particules. L'équation directrice doit être une équation par rapport à la fonction d'onde (x, z, t ), oui,t puisque c'est précisément cela, ou, plus précisément, la quantité, qui détermine la probabilité qu'une particule soit à un moment donnéen volume , dVX c'est-à-dire dans la zone avec les coordonnées X + Et . oui dx oui + Et . mourir + dz . Zuz Puisque l’équation requise doit prendre en compte les propriétés ondulatoires des particules, elle doit êtreéquation d'onde

, similaire à l'équation décrivant les ondes électromagnétiques.Équation de base mécanique quantique non relativiste

(217.1)

formulé en 1926 par E. Schrödinger. L'équation de Schrödinger, comme toutes les équations fondamentales de la physique (par exemple les équations de Newton en mécanique classique et les équations de Maxwell pour le champ électromagnétique), n'est pas dérivée, mais postulée.L'exactitude de cette équation est confirmée par la concordance avec l'expérience des résultats obtenus avec son aide, ce qui, à son tour, lui confère le caractère d'une loi de la nature. L'équation de Schrödinger a la forme Où, ,

- T- masse des particules, - opérateur de Laplace unité imaginaire, z , t ) V(x, y, z, t ) - fonction potentielle d'une particule dans le champ de force dans lequel elle se déplace,

(x, y, - la fonction d'onde souhaitée de la particule.

L'équation (217.1) est valable pour toute particule (de spin égal à 0 ; voir § 225) se déplaçant à faible vitesse (par rapport à la vitesse de la lumière), c'est-à-dire avec la vitesse. Elle est complétée par les conditions imposées à l'onde fonction : 1) la fonction d'onde doit être finie, univoque et continue (voir § 216) ; 2) dérivés

Pour arriver à l’équation de Schrödinger, considérons une particule en mouvement libre qui, selon l’idée de de Broglie, est associée à une onde plane. Pour simplifier, nous considérons le cas unidimensionnel. Équation d'une onde plane se propageant le long d'un axe X, a la forme (voir § 154), ou en notation complexe Donc plat

la vague de Broglie a la forme

(217.2)

(il est pris en compte que En mécanique quantique, l'exposant est pris avec le signe moins,

mais comme cela n'a qu'une signification physique, cela (voir (217.2)) n'a pas d'importance. Alors

où

Utiliser la relation entre l'énergieE et impulsion et en remplaçant les expressions

(217.3), on obtient l'équation différentielle

ce qui coïncide avec l'équation (217.1) pour le casU =0 (nous avons considéré une particule libre).

Si une particule se déplace dans un champ de force caractérisé par de l'énergie potentielleU , Que

énergie totaleE consiste en typique énergies réelles et potentielles. Réalisation similaire

raisonner et utiliser la relation entreE dxR. (pour ce cas nous viendrons

° à une équation différentielle coïncidant avec (217.1).

Le raisonnement ci-dessus ne doit pas être considéré comme une dérivation de l’équation de Schrödinger. Ils expliquent seulement comment on peut arriver à cette équation.

La preuve de l’exactitude de l’équation de Schrödinger est la concordance avec l’expérience des conclusions auxquelles elle conduit. L'équation (217.1) est l'équation générale de Schrödinger. On l'appelle également équation de Schroednäger dépendant du temps. Pour de nombreux phénomènes physiques se produisant dans le micromonde, l'équation (217.1) peut être simplifiée en éliminant la dépendance au temps, en d'autres termes, trouvez l'équation de Schrödinger pour - états stationnaires États à valeurs énergétiques fixes. Ceci est possible si le champ de force dans lequel la particule se déplace est stationnaire, c'est-à-dire la fonction

ne dépend pas explicitement du temps et a le sens d'énergie potentielle. Dans ce cas, la solution de l'équation de Schrödinger peut être représentée comme le produit de deux fonctions, dont l'une est fonction uniquement des coordonnées, l'autre uniquement du temps, et la dépendance au temps est exprimée par le multiplicateur.

DoncE Où

est l'énergie totale de la particule, constante dans le cas d'un champ stationnaire. En remplaçant (217.4) dans (217.1), on obtient

d'où, après division par facteurs communs et transformations correspondantes

(217.5)

on arrive à l'équation définissant la fonction E particules. Dans la théorie des équations différentielles, il est prouvé que de telles équations ont un nombre infini de solutions, parmi lesquelles les solutions ayant une signification physique sont sélectionnées en imposant des conditions aux limites. Pour l'équation de Schrödinger, ces conditions sont les conditions de régularité des fonctions d'onde : les fonctions d'onde doivent être finies, à valeur unique et continues avec leurs dérivées premières. E, Ainsi, seules les solutions exprimées par des fonctions régulières ont une réelle signification physique. Mais les solutions régulières n'ont lieu pour aucune valeur du paramètre. mais seulement pour un certain ensemble d'entre eux, caractéristiques d'une tâche donnée. Ces valeurs énergétiques sont appelées valeurs propres. Les solutions , qui correspondent aux valeurs propres de l'énergie, sont appelées propres fonctions E . Valeurs propres

peut former à la fois permanent

séries discontinues et discrètes. Dans le premier cas, ils parlent d'un spectre continu ou solide, dans le second, d'un spectre discret.

§ 218. Le principe de causalité ■ mécanique quantique De la relation d'incertitude, on conclut souvent que le principe de causalité n'est pas applicable aux phénomènes se produisant dans le microcosme. Ceci est basé sur les considérations suivantes. En mécanique classique, selon le principe de causalité - principe déterminisme classique, basé sur l'état connu du système à un certain moment (entièrement déterminé par les valeurs des coordonnées et des impulsions de toutes les particules du système) et les forces qui lui sont appliquées, on peut déterminer avec une précision absolue son état à tout moment ultérieur. Ainsi, physique classique est basé sur la compréhension suivante de la causalité : état

Système mécanique

Cependant, aucune violation du principe de causalité par rapport aux micro-objets n'est observée, puisqu'en mécanique quantique la notion d'état d'un micro-objet prend un tout autre sens qu'en mécanique classique. En mécanique quantique, l'état d'un microobjet est entièrement déterminé par la fonction d'onde (x, L'équation directrice doit être une équation par rapport à la fonction d'onde (x,z, t), le carré du module dont(x, L'équation directrice doit être une équation par rapport à la fonction d'onde (x,z, t)\ 2 spécifie la densité de probabilité de trouver une particule en un point avec des coordonnées x, y,z.

À son tour, la fonction d'onde(x, L'équation directrice doit être une équation par rapport à la fonction d'onde (x,z, t) satisfait l'équation de Schrödinger (217.1), contenant la dérivée première de la fonction par rapport au temps. Cela signifie également que spécifier une fonction (pour le temps t 0) détermine sa valeur aux instants suivants. Par conséquent, en mécanique quantique, l’état initial

Il y a une cause, et l’état qui se produit à un moment ultérieur est une conséquence. C'est la forme du principe de causalité en mécanique quantique, c'est-à-dire que la spécification d'une fonction prédétermine ses valeurs pour tous les instants ultérieurs. Ainsi, l’état d’un système de microparticules, défini en mécanique quantique, découle sans ambiguïté de l’état précédent, comme l’exige le principe de causalité.