Probabilité 1 sur 7. Addition de probabilités d'événements mutuellement simultanés

Les AA Khalafyan

THÉORIE DES PROBABILITÉS

ET STATISTIQUES MATHÉMATIQUES

textes de cours

Krasnodar 2008

Définition statistique de la probabilité

Il existe une grande classe d'événements dont les probabilités ne peuvent pas être calculées à l'aide de définition classique. Tout d’abord, il s’agit d’événements dont les résultats sont inégalement possibles (par exemple, dés« injuste », la pièce est aplatie, etc.). Dans de tels cas, cela peut aider définition statistique probabilité basée sur le comptage de la fréquence d'apparition d'un événement dans les essais.

Définition 2.La probabilité statistique d'occurrence de l'événement A est appelée fréquence relative occurrence de cet événement dans n essais effectués, c'est-à-dire

(UN) = W( UN) = m/n,

Où ( UN) – détermination statistique de probabilité; W( UN) – fréquence relative; n – nombre de tests effectués ; m – nombre d'essais dans lesquels l'événement UN apparu. Noter que probabilité statistique est une caractéristique expérimentée et expérimentale.

De plus, quand n → ∞, (UN) → P( UN), par exemple, dans les expériences de Buffon (XVIIIe siècle) la fréquence relative d'apparition des armoiries avec 4040 lancers de pièces s'est avérée être de 0,5069, dans les expériences de Pearson (XIXe siècle) avec 23000 lancers – 0,5005.

Définition géométrique de la probabilité

Un autre inconvénient de la définition classique qui limite son application est qu'elle suppose numéro final résultats possibles. Dans certains cas, cet inconvénient peut être éliminé en utilisant définition géométrique probabilités. Soit, par exemple, une figure plate g fait partie silhouette plate G(Fig. 3).

Ajuster G un point est lancé au hasard. Cela signifie que tous les points de la région G« droits égaux » par rapport au fait d'être jeté là-bas point aléatoire. En supposant que la probabilité d'un événement UN– la pointe lancée touche g proportionnel à l'aire de cette figure S g et ne dépend pas de sa localisation par rapport à la zone G, ni du formulaire g, nous trouverons

R.(UN) = S g/SG

Où SG– superficie de la région G. Mais puisque les zones g Et G peut être unidimensionnel, bidimensionnel, tridimensionnel et multidimensionnel, désignant alors la mesure de la région par mes, tu peux donner plus définition générale probabilité géométrique

P. = mesure / mesureG.

Preuve.

R.(VIRGINIE) = R.(DANSÇ UN)/R.(UN) = R.(UNÇ DANS)/R.(UN) = {P.(un/b)R.(DANS)}/R.(UN) = {R.(UN)R.(DANS)}/R.(UN) = R.(DANS).

De la définition 4 découlent les formules de multiplication des probabilités pour les événements dépendants et indépendants.

Corollaire 1. La probabilité de survenance conjointe de plusieurs événements est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux par probabilités conditionnelles tous les autres, et la probabilité de chaque événement ultérieur est calculée en supposant que tous les événements précédents se sont déjà produits :

P.(A 1 A 2 … A n)=P(Un 1)P A1(Un 2)P A1A2(Un 3)…P A1A2…An-1(Un).

Définition 6. Les événements A 1, A 2, ..., A n sont collectivement indépendants si deux d'entre eux sont indépendants et si l'un de ces événements et toutes les combinaisons (produits) d'autres événements sont indépendants.

Corollaire 2. La probabilité de survenance conjointe de plusieurs événements indépendants dans l'ensemble est égale au produit des probabilités de ces événements :

P.(A 1 A 2 … A n) = P.(UN 1)P.(UN 2)… P.(UN n).

Preuve.

P.(UN 1 UN 2 … UN n) = P.(UN 1 · UN 2 … UN n) = P.(UN 1)P.(UN 2 … UN n).=…= P.(UN 1)P.(UN 2)… P.(Un).

Définition 7. Événement A 1, A 2,… Un formulaire groupe completévénements s'ils sont incompatibles par paires (Un je∩Un j= Ø, pour tout je ≠ j)et forment ensemble Ω, ceux. .

Théorème 2. Si les événements A 1, A 2,… A n former un ensemble complet d'événements, R.(Un je) > 0 (car il ne sera pas déterminé P.(B/Un je)), alors la probabilité d'un événement BÎ S est défini comme la somme des produits des probabilités inconditionnelles d'occurrence d'un événement Un je sur les probabilités conditionnelles qu'un événement se produise B, c'est-à-dire

. (1)

Preuve. Depuis les événements Un je sont incompatibles par paires, alors leur intersection avec l'événement B sont également incompatibles par paires, c'est-à-dire B∩A je Et B∩Aj– incompatible avec je¹j. En utilisant la propriété de distributivité ((È Un je)Ç DANS = È( UN je Ç DANS)), événement B peut être représenté comme . Utilisons l'axiome d'addition 3 et la formule de multiplication des probabilités, on obtient

La formule (1) est appelée formule pleine probabilité.

A partir de la formule de probabilité totale, il est facile d'obtenir la formule de Bayes, sous l'hypothèse supplémentaire que P.(B)>0

Où k = 1, 2, …, n.

Preuve.P(UNE k /B) = P(UNE k ∩ B)/P(B)

Probabilités d'événements P.(Un je), je =1, 2, …, n sont appelés probabilités antérieures, c'est-à-dire probabilités d'événements avant l'expérience et probabilités conditionnelles de ces événements P.(Un k/B), sont appelées probabilités postérieures, c'est-à-dire clarifié à la suite d'une expérience dont le résultat a été la survenance de l'événement DANS.

Tâche. DANS société commerciale arrivé téléphones portables derniers modèles de trois fabricants Alcatel, Siemens, Motorola dans le rapport 1 : 4 : 5. La pratique a montré que les téléphones reçus du 1er, 2ème, 3ème fabricant ne nécessiteront pas de réparation pendant la période de garantie dans respectivement 98 %, 88 % et 92 % des cas. Déterminez la probabilité que le téléphone mis en vente ne nécessite pas de réparations pendant la période de garantie, que le téléphone vendu nécessite des réparations pendant la période de garantie et de quel fabricant provient probablement le téléphone.

Exemple 1.

Exemple 2.

Définition 1. Variable aléatoire espace de probabilité { Ω, S, P) est une fonction X(w) , défini pour wΩ, et tel que pour tout réel x() l'ensemble ( w :X(w) < x}принадлежит полю S. En d’autres termes, pour tout événement de ce type w, la probabilité est déterminée P.(X(w)< x) = P.(X < x).

Nous désignerons les variables aléatoires par des lettres majuscules en lettres latines X, Oui, Z, ..., et les valeurs variables aléatoires– lettres latines minuscules x, oui, z...

Définition 2. Une variable aléatoire X est dite discrète si elle prend uniquement des valeurs provenant d'un ensemble discret. En d'autres termes, il existe un nombre fini ou dénombrable de valeurs de x 1 , x 2 , …, tel que P(X = x je) = p je ³ 0, je = 1, 2…, etå p je = 1.

Si les valeurs d'une variable aléatoire et les probabilités correspondantes sont connues, alors on dit que la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète a été déterminée.

Si un tableau est compilé, dans la partie supérieure duquel se trouvent les valeurs des variables aléatoires, et dans la partie inférieure les probabilités correspondantes, alors on obtient une série de distribution de la variable aléatoire, qui précise la loi de distribution du discret variable aléatoire.

Exemple 3. Compilons une série de répartition pour la perte d'un blason lors de 2 tirages au sort. Résultats possibles – GG, GR, RG, RR. D’après les résultats possibles, il est clair que les armoiries peuvent apparaître 0, 1 et 2 fois, avec les probabilités correspondantes – ¼, ½, ¼. La série de distribution prendra alors la forme

Définition 3.La fonction de distribution d'une variable aléatoire X est appelée la fonction F(x), en fonction de x Î R et en prenant la valeur, égal à la probabilitéévénements w, ce X < x, c'est-à-dire F(x) = P.(avec : X(w)< x } = P.(X < x).

De la définition, il s'ensuit que toute variable aléatoire a une fonction de distribution.

Répartition uniforme

Définition 1. Variable aléatoire X, accepter des valeurs 1, 2, …, n, a une distribution uniforme si P m = P.(X = m) = 1/n,

m = 1, …, n.

C'est évident ça.

Considérez le problème suivant. N balles, dont M balles blanc. Récupéré au hasard n balles. Trouvez la probabilité que parmi ceux extraits, il y ait m boules blanches.

C'est facile à voir.

Distribution de Poisson

Définition 4. La variable aléatoire X a une distribution de Poisson avec le paramètre je, Si , m = 0, 1, …

Montrons que Σp m = 1. .

Distribution binomiale

Définition 5.La variable aléatoire X a distribution binomiale, Si , m = 0, 1, …, n,

Où n– nombre de tests selon le schéma Bernoulli, m– nombre de réussites, r– probabilité de réussite dans un seul résultat, q = 1-p.

Distribution de Bernoulli

Définition 6.La variable aléatoire X a une distribution de Bernoulli si P(X= m) = P m = p m q n - m, m = 0, 1, …, n.

En liberté m Et n le calcul utilisant la formule de Bernoulli devient problématique. Par conséquent, dans un certain nombre de cas, il est possible de remplacer la formule de Bernoulli par une formule asymptotique approchée appropriée. Alors si n- gros, mais r peu alors .

Théorème de Poisson. Si n® ¥, et p® 0, donc n.p.® l, alors .

Preuve. Notons l n = n.p., selon les conditions du théorème , Alors

À n® ¥, l n m®l m,

De là, nous obtenons l’énoncé du théorème. P n(m) ® à n ® ¥.

La formule de Poisson est une bonne approximation de la formule de Bernoulli si npq 9 £. Si les travaux npq est grand, alors pour calculer Р n (m) utiliser le théorème local de Moivre – Laplace.

Théorème local Moivre-Laplace. Laisser pО(0;1) est constant, la valeur est uniformément limitée, c'est-à-dire $ s, |x m |<с . Alors

Où b(n;m) est une quantité infiniment petite, et .

Des conditions du théorème, il résulte que ,

Où , .

Pour calculer Р n (m) selon la formule donnée précédemment, des tables de fonctions sont utilisées

Problème 1. Trois clients entrent l'un après l'autre dans un magasin de vêtements. Le responsable estime que la probabilité qu'un visiteur entrant effectue un achat est de 0,3. Créez une série du nombre de visiteurs qui ont effectué un achat.

Solution.

x je
p je	0,343	0,441	0,189	0,027

Problème 2. La probabilité de panne d'un ordinateur est de 0,01. Construisez une série de distribution pour le nombre d’ordinateurs en panne avec un total de 25.

Solution.

Problème 3. Les voitures arrivent au showroom de vente par lots de 10 pièces. Seules 5 voitures sur 10 reçues sont soumises à un contrôle de qualité et de sécurité. Généralement, 2 véhicules reçus sur 10 ne répondent pas aux normes de qualité et de sécurité. Quelle est la probabilité qu’au moins un véhicule contrôlé sur cinq soit rejeté ?

Solution. P = P (1) + P (2) = + =0,5556 + 0,2222 = 0,7778

Preuve.

Problème 1. La probabilité qu'un appareil sélectionné au hasard nécessite un ajustement supplémentaire est de 0,05. Si, lors d'un contrôle aléatoire d'un lot d'appareils, il s'avère qu'au moins 6 % des appareils sélectionnés nécessitent un réglage, alors l'ensemble du lot est renvoyé pour révision. Déterminez la probabilité que le lot soit renvoyé si 500 appareils sont sélectionnés dans le lot pour inspection.

Solution. Le lot sera restitué si le nombre d'appareils sélectionnés nécessitant un réglage est supérieur à 6%, c'est-à-dire m 1 = 500 × 6/100 = 30. Suivant : p = 0,05: q = 0,95; n.p.= 25 ; 4.87. Nous considérons que c'est un succès si l'appareil nécessite une configuration supplémentaire.

Appliquons le théorème intégral de Moivre – Laplace.

Tâche 2. Déterminez combien de produits doivent être sélectionnés pour qu'avec une probabilité de 0,95, on puisse affirmer que la fréquence relative des produits défectueux ne différera pas de plus de 0,01 de la probabilité de leur apparition.

Solution. Pour résoudre le problème, nous choisissons le schéma de Bernoulli comme modèle mathématique et utilisons la formule (4). Nous devons trouver quelque chose comme ça n de sorte que l'égalité (4) est satisfaite, si e = 0,01, b = 0,95, la probabilité p est inconnue.

F(X b) = (1 + 0,95) / 2 = 0,975. En utilisant le tableau d'application, nous constatons que X b = 1,96. Ensuite, en utilisant la formule (4), nous trouvons n= ¼ × 1,96 2 /0,01 2 = 9 600.

Répartition uniforme

Définition 5. Une variable aléatoire continue X, prenant une valeur sur le segment , a une distribution uniforme si la densité de distribution a la forme

. (1)

Il est facile de vérifier que,

Si une variable aléatoire est uniformément distribuée, alors la probabilité qu'elle prenne une valeur dans un intervalle donné ne dépend pas de la position de l'intervalle sur la droite numérique et est proportionnelle à la longueur de cet intervalle.

Montrons que la fonction de distribution X a la forme

. (2)

Laisser XÎ (–¥, un), Alors F(x) = .

Laisser XÎ [ un,b], Alors F(x) = .

Laisser X Î ( b,+¥], puis F(x) = = 0 + .

Trouvons la médiane x 0,5. Nous avons F(x 0,5) = 0,5, donc

Ainsi, la médiane de la distribution uniforme coïncide avec le milieu du segment. La figure 1 montre le graphique de densité r(X) et fonctions de distribution F(x)

pour une distribution uniforme.

Répartition normale

Définition 7. Une variable aléatoire continue a une distribution normale, avec deux paramètres a, s, si

, s>0. (5)

Le fait qu’une variable aléatoire ait une distribution normale sera brièvement écrit sous la forme X ~ N(un;s).

Montrons que p(x) - densité

(montré dans la leçon 6).

Graphique de densité distribution normale(Fig. 3) est appelée courbe normale (courbe de Gauss).

La densité de distribution est symétrique par rapport à une ligne droite X = un. Si X® ¥, puis r(X) ® 0. À mesure que s diminue, le graphique se « contracte » vers l’axe de symétrie X = un.

Jeux de distribution normale rôle spécial en théorie des probabilités et ses applications. Cela est dû au fait que, conformément à la directive centrale théorème limite théorie des probabilités lorsque certaines conditions sont remplies la somme grand nombre les variables aléatoires ont une distribution « approximativement » normale.

Parce que - densité loi normale distributions avec paramètres UN= 0 et s =1, alors la fonction = F(X), qui sert à calculer la probabilité , est la fonction de distribution de la distribution normale avec paramètres UN= 0 et s =1.

Fonction de distribution d'une variable aléatoire X avec des paramètres arbitraires UN, s peut être exprimé par F(X) – fonction de distribution d'une variable aléatoire normale avec paramètres UN= 0 et s =1.

Laisser X ~ N(un;s), alors

. (6)

Faisons un changement de variables sous le signe intégral, on obtient

F(x) = . (7)

DANS applications pratiques La théorie des probabilités nécessite souvent de trouver la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur dans un intervalle donné. Conformément à la formule (7), cette probabilité peut être trouvée à partir de valeurs du tableau Fonctions de Laplace

Trouvons la médiane d'une variable aléatoire normale X ~ N(un;s). Puisque la densité de distribution p(x) est symétrique par rapport à l'axe X = UN, Que

r(X < un) = p(x > un) = 0,5.

Par conséquent, la médiane d’une variable aléatoire normale coïncide avec le paramètre UN:

X 0,5 = UN.

Tâche 1. Les rames de métro circulent toutes les 2 minutes. Le passager entre sur la plate-forme à un moment donné. Le temps X pendant lequel il devra attendre le train est une variable aléatoire répartie avec une densité uniforme sur la surface (0, 2) min. Trouvez la probabilité qu'un passager n'attende pas plus de 0,5 minute pour le prochain train.

Solution. C'est évident que p(x)= 1/2. Alors, P 0,5 = P( 1,5 2) = = 0,25

Tâche 2. L'usine automobile Volzhsky lance un nouveau moteur. On suppose que le kilométrage moyen d'une voiture équipée d'un moteur neuf est de 160 000 km, avec un écart type de σ = 30 000 km. Quelle est la probabilité que le nombre de km parcourus avant la première réparation ? Le kilométrage de la voiture sera de 100 000 km. jusqu'à 180 000 km.

Solution. P(100 000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226.

Propriétés de dispersion

1.La variance de la constante C est égale à 0,CC = 0, AVEC = const.

Preuve.CC = M(AVEC– M.C.) 2 = M(AVEC– AVEC) = 0.

2.D(CX) = AVEC 2 DX.

Preuve. D(CX) = M(CX) 2 – M 2 (CX) = C 2 MX 2 – C 2 (MX) 2 = C 2 (MX 2 – M 2 X) = AVEC 2 DX.

3. Si X et Y – variables aléatoires indépendantes, Que

Preuve.

4. Si X 1 , X 2 , … ne sont pas dépendants, alors .

Cette propriété peut être prouvée par récurrence en utilisant la propriété 3.

Preuve. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

Preuve. D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X– MX) 2 = DX.

Soient des variables aléatoires indépendantes, et , .

Créons une nouvelle variable aléatoire, trouvons l'espérance mathématique et la variance Oui.

; .

C'est-à-dire quand n®¥ l'espérance mathématique de la moyenne arithmétique de n variables aléatoires indépendantes distribuées de manière identique reste inchangée, égale à l'espérance mathématique a, tandis que la variance tend vers zéro.

Cette propriété de stabilité statistique de la moyenne arithmétique est à la base de la loi grands nombres.

Répartition normale

Laisser X a une distribution normale. Plus tôt, dans la leçon 11 (exemple 2), il a été montré que si

Alors Y ~ N(0,1).

A partir de là, et ensuite, trouvons d'abord DY.

Ainsi

DX= D(s Oui+un) = s 2 DY= s 2 , s x= art. (2)

Distribution de Poisson

Comme on le sait

Ainsi,

Répartition uniforme

On sait que .

Nous avons montré cela précédemment, utilisons la formule.

Preuve.

La dernière intégrale de la chaîne d'égalités est égale à 0, puisqu'il résulte des conditions du problème que p(MX+t) – même fonctionner par rapport à t (p(MX+t)= p(MX-t)), UN t 2 k +1– fonction étrange.

Puisque les densités des lois de distribution normale et uniforme sont symétriques par rapport à X= MX, alors tous les moments centraux d’ordre impair sont égaux à 0.

Théorème 2. Si X~N(un,s), alors .

Plus nous connaissons les moments d’une variable aléatoire, plus nous avons une compréhension détaillée de la loi de distribution. En théorie des probabilités et en statistique mathématique, deux caractéristiques numériques basées sur des moments centraux du 3e et du 4e ordre sont le plus souvent utilisées. Il s'agit du coefficient d'asymétrie et de l'aplatissement d'une variable aléatoire.

Définition 3. Le coefficient d'asymétrie d'une variable aléatoire X est le nombre b = .

Le coefficient d'asymétrie est le moment central et initial de la variable aléatoire normalisée Oui, Où . La validité de cette affirmation découle des relations suivantes :

Asymétrie d'une variable aléatoire Xégal à l'asymétrie de la variable aléatoire Oui = α X + β

jusqu'au signe de α, . Cela découle du fait que la normalisation des variables aléatoires a X+ b et X conduit à la même variable aléatoire Oui jusqu'à signer

Si la distribution de probabilité est asymétrique, avec la « partie longue » du graphique située à droite du centre de regroupement, alors β( X) > 0 ; si la « partie longue » du graphique est située à gauche, alors β( X) < 0. Для нормального и répartition uniforme β = 0.

En tant que caractéristique d'un degré plus ou moins grand de « douceur » d'une courbe de densité ou d'un polygone de distribution par rapport à densité normale le concept d'aplatissement est utilisé.

Définition 4. L'aplatissement d'une variable aléatoire X est la quantité

Aplatissement d'une variable aléatoire Xégal à la différence entre l'initiale et moments centraux Variable aléatoire normalisée de 4ème ordre et nombre3, c'est-à-dire . Montrons ceci :

Aplatissement d'une variable aléatoire Xégal à l'aplatissement de la variable aléatoire

Oui = α X + β.

Trouvons l'aplatissement d'une variable aléatoire normale X.

Si X~N(un,s), puis ~ (0,1).

Ainsi, l'aplatissement d'une variable aléatoire normalement distribuée est égal à 0. Si la densité de distribution est unimodale et plus « culminée » que la densité de distribution normale avec la même variance, alors g( X) > 0, si dans les mêmes conditions il est moins « culminé », alors g( X) < 0.

Loi des grands nombres

La loi des grands nombres établit les conditions de convergence de la moyenne arithmétique des variables aléatoires vers la moyenne arithmétique des espérances mathématiques.

Définition 1. Séquence de variables aléatoires est dit convergent en probabilité p vers le nombre b, Si
.

Passons à la limite à dans cette inégalité et obtenons

.

Estimation d'intervalle

Si reçu estimation ponctuelle paramètre inconnu sur la base de l'échantillon, parler de l'estimation résultante comme d'un véritable paramètre est assez risqué. Dans certains cas, il est plus opportun, après avoir reçu la diffusion des estimations de paramètres, de parler de estimation d'intervalle vrai sens paramètre. Pour illustrer ce qui a été dit, considérons la construction intervalle de confiance Pour espérance mathématique répartition normale.

Nous avons montré que – meilleure estimation(absolument correct) pour l'espérance mathématique MX= Q, c'est donc une estimation absolument correcte également pour le paramètre a = distribution normale P, où t– valeur de l'argument de la fonction de Laplace, à laquelle F(t) = , e = .

1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Théorie des probabilités et mathématiques

statistiques mathématiques. M. : Lycée, 1991.

2. Eliseeva I.I., Knyazevsky V.S., Nivorozhkina L.I., Morozova Z.A. Théorie des statistiques avec les bases de la théorie des probabilités. M. : Unité, 2001.

3. Szekely G. Paradoxes en théorie des probabilités et statistiques mathématiques. M. : Mir, 1990.

4. Kremer N.Sh. Théorie des probabilités et statistiques mathématiques. M. : Unité, 2001

5. Smirnov N.V. Dunin-Barkovsky I.V. Cours de théorie des probabilités statistiques mathématiques pour les applications techniques. M. : Nauka, 1969.

6. Méthodes statistiques construction formules empiriques. M. : Ecole Supérieure, 1988.

CONFÉRENCE 1. THÉORIES DES PROBABILITÉS. HISTOIRE. DÉFINITION CLASSIQUE DE LA PROBABILITÉ.. 3

CONFÉRENCE 2. THÉORÈMES D'ADDITION ET DE MULTIPLICATION DES PROBABILITÉS. DÉFINITION STATISTIQUE ET GÉOMÉTRIQUE DE LA PROBABILITÉ.. 8

CONFÉRENCE 3. CONSTRUCTION AXIOMATIQUE DE LA THÉORIE DES PROBABILITÉS. LES AXIOMATIQUES DE KOLMOGOROV.. 14

CONFÉRENCE 4. VARIABLE ALÉATOIRE. FONCTION DE DISTRIBUTION... 17

CONFÉRENCE 5. DISTRIBUTIONS DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES... 21

CONFÉRENCE 6. THÉORÈME INTÉGRAL DE MOIVRE-LAPLACE, THÉORÈME DE BERNOULLI.. 26

CONFÉRENCE 7. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES... 29

CONFÉRENCE 8. LE CONCEPT DE VARIABLE ALÉATOIRE MULTIDIMENSIONNELLE... 35

CONFÉRENCE 9. FONCTION DE DISTRIBUTION D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE MULTIDIMENSIONNELLE... 39

CONFÉRENCE 10. PROPRIÉTÉS DE LA DENSITÉ DE PROBABILITÉ D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE BIDIMENSIONNELLE 43

CONFÉRENCE 11. FONCTIONS DES VARIABLES ALÉATOIRES.. 48

CONFÉRENCE 12. THÉORÈME SUR LA DENSITÉ DE LA SOMME DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES.. 52

CONFÉRENCE 13. LES DISTRIBUTIONS ÉTUDIANT, FISCHER SONT ALÉATOIRES.

Réponses à travail d'essai selon la théorie des probabilités aidera les étudiants de première année qui étudient les disciplines mathématiques. Les missions couvrent beaucoup matériel théorique, et la justification de leur décision sera utile à chaque étudiant.
Problème 1. Un cube dont tous les bords sont peints est découpé en 1000 cubes de même taille. Déterminer la probabilité qu'un cube tiré au hasard ait :
a) un bord peint ;
b) deux faces ombrées.

Calculs : Si un cube est découpé en cubes même taille alors toutes les faces seront divisées en 100 carrés. (Approximativement comme sur la photo)
De plus, selon la condition, le cube doit avoir un bord ombré - cela signifie que les cubes doivent appartenir à surface extérieure mais ne vous allongez pas sur les bords du cube (2 surfaces ombrées) ni sur les coins - ils ont trois surfaces ombrées.
La quantité requise est donc égale au produit de 6 faces par le nombre de cubes dans un carré de taille 8*8.
6*8*8=384 – cubes avec 1 surface peinte.
La probabilité est égale au nombre d'événements favorables sur leur nombre total P=384/1000=0,384.
b) Deux faces ombrées ont des cubes le long des bords sans les sommets du cube eux-mêmes. Il y aura 8 cubes de ce type sur un bord. Il y a un total de 12 arêtes dans le cube, donc les deux faces ombrées ont
8*12=96 cubes.
Et la probabilité de les retirer parmi les 1000 est égale
P=96/1000=0,096.
Cette tâche est résolue et nous passons à la suivante.
Tâche 2. Les lettres A, A, A, N, N, C sont écrites sur des cartes identiques. Quelle est la probabilité qu’en plaçant les cartes au hasard dans une rangée, on obtienne le mot ANANAS ?
Calculs : Il faut toujours raisonner à partir de ce que l’on sait. Étant donné 3 lettres A, 2-H et 1 - C, il y en a 6 au total. Commençons par choisir les lettres du mot « ananas ». La première lettre est A, que l'on peut choisir de 3 manières sur 6, car il y a 3 lettres A parmi les 6 connues. Par conséquent, la probabilité de tirer A en premier est
P1 =3/6=1/2.
La deuxième lettre est H, mais il ne faut pas oublier qu'après avoir retiré A, il reste 5 lettres parmi lesquelles choisir. Par conséquent, la probabilité de tirer le numéro 2 H est égale à
P2 =2/5.
La prochaine probabilité A est tirée au sort parmi les 4 restantes
P3 =2/4.
Ensuite, H peut être extrait de la probabilité
P4 =1/3.
Plus on se rapproche de la fin plus probable, et on peut déjà extraire A avec
P5 =1/2.
Après cela, il ne reste qu'une seule carte C, donc la probabilité de la retirer est de 100 pour cent ou
P6 =1.
La probabilité de former le mot ANANAS est égale au produit des probabilités
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
C'est sur cela qu'ils sont basés tâches similaires selon la théorie des probabilités.
Tâche 3. Le marchandiseur sélectionne des échantillons au hasard parmi un lot de produits. La probabilité qu'un produit pris au hasard soit de la plus haute qualité est de 0,8. Trouver la probabilité que parmi 3 produits sélectionnés, il y ait deux produits de la plus haute qualité ?
Calculs : Cet exemple sur l'application de la formule de Bernoulli.
p = 0,8 ; q=1-0,8=0,2.
Nous calculons la probabilité en utilisant la formule

Si vous ne l’expliquez pas dans le langage des formules, alors vous devez faire des combinaisons de trois événements, dont deux sont favorables et un ne l’est pas. Cela peut s'écrire comme la somme des produits

Les deux options sont équivalentes, seule la première peut être appliquée à toutes les tâches, et la seconde à celles similaires à celle considérée.
Problème 4. Sur cinq tireurs, deux ont touché la cible avec une probabilité de 0,6 et trois avec une probabilité de 0,4. Qu'est-ce qui est le plus probable : un tireur choisi au hasard atteint la cible ou non ?
Calculs : En utilisant la formule de probabilité totale, nous déterminons la probabilité que le tireur touche.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Probabilité inférieure à P<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
La probabilité de ne pas toucher est

ou
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.
Problème 5. Sur 20 étudiants venus à l'examen, 10 étaient parfaitement préparés (ils connaissaient toutes les questions), 7 étaient bien préparés (ils connaissaient 35 questions chacun) et 3 étaient mal préparés (10 questions). Le programme contient 40 questions. Un étudiant appelé au hasard a répondu à trois questions sur le ticket. Quelle est la probabilité qu'il soit prêt à
a) excellent ;
b) mauvais.

Calculs : L'essence du problème est que l'étudiant a répondu à trois questions sur le ticket, c'est-à-dire à tout ce qui a été demandé, mais nous allons maintenant calculer quelle est la probabilité de les obtenir.
Trouvons la probabilité que l'élève ait répondu correctement à trois questions. Ce sera le rapport du nombre d'élèves par rapport à l'ensemble du groupe multiplié par la probabilité de tirer des tickets qu'ils connaissent parmi tous les possibles.

Déterminons maintenant la probabilité qu’un élève appartienne à un groupe « excellent » préparé. Cela équivaut à la proportion du premier terme de la probabilité préliminaire par rapport à la probabilité elle-même.

La probabilité qu'un élève appartienne à un groupe mal préparé est assez faible et égale à 0,00216.

Cette tâche est terminée. Comprenez-le bien et rappelez-vous comment le calculer, car il est courant dans les quiz et les tests.
Problème 6. Une pièce est lancée 5 fois. Trouver la probabilité que les armoiries apparaissent moins de 3 fois ?
Calculs : La probabilité de dessiner des armoiries ou des queues est équivalente et égale à 0,5. Moins de 3 fois signifie que les armoiries peuvent apparaître 0, 1 ou 2 fois. « Ou » s'exprime toujours en probabilité dans les opérations par addition.
On trouve les probabilités en utilisant la formule de Bernoulli

Puisque p=q=0,5, alors la probabilité est

La probabilité est de 0,5.
Problème 7. Lors de l'emboutissage de bornes métalliques, on obtient en moyenne 90 % de bornes standards. Trouvez la probabilité que parmi 900 terminaux, au moins 790 et au plus 820 terminaux soient standards.
Calculs : Les calculs doivent être effectués

La nécessité d'agir sur les probabilités survient lorsque les probabilités de certains événements sont connues et qu'il est nécessaire de calculer les probabilités d'autres événements associés à ces événements.

L'ajout de probabilités est utilisé lorsque vous devez calculer la probabilité d'une combinaison ou d'une somme logique d'événements aléatoires.

Somme des événements UN Et B indiquer UN + B ou UN ∪ B. La somme de deux événements est un événement qui se produit si et seulement si au moins un des événements se produit. Cela signifie que UN + B– un événement qui se produit si et seulement si l’événement s’est produit pendant l’observation UN ou un événement B, ou simultanément UN Et B.

Si les événements UN Et B sont mutuellement incohérents et leurs probabilités sont données, alors la probabilité qu'un de ces événements se produise à la suite d'un essai est calculée en utilisant l'addition de probabilités.

Théorème d’addition de probabilité. La probabilité que l'un des deux événements mutuellement incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :

Par exemple, lors d'une chasse, deux coups de feu sont tirés. Événement UN– frapper un canard du premier coup, événement DANS– touché dès le deuxième coup, événement ( UN+ DANS) – une touche du premier ou du deuxième coup ou de deux coups. Ainsi, si deux événements UN Et DANS– des événements incompatibles, alors UN+ DANS– la survenance d'au moins un de ces événements ou de deux événements.

Exemple 1. Il y a 30 boules de même taille dans une boîte : 10 rouges, 5 bleues et 15 blanches. Calculez la probabilité qu’une balle colorée (et non blanche) soit ramassée sans regarder.

Solution. Supposons que l'événement UN- "la boule rouge est prise", et l'événement DANS- "La balle bleue a été prise." Ensuite, l’événement est « une balle colorée (et non blanche) est prise ». Trouvons la probabilité de l'événement UN:

et événements DANS:

Événements UN Et DANS– mutuellement incompatible, puisque si une balle est prise, alors il est impossible de prendre des balles de couleurs différentes. On utilise donc l’addition de probabilités :

Le théorème pour ajouter des probabilités pour plusieurs événements incompatibles. Si les événements constituent un ensemble complet d'événements, alors la somme de leurs probabilités est égale à 1 :

La somme des probabilités d'événements opposés est également égale à 1 :

Les événements opposés forment un ensemble complet d’événements et la probabilité d’un ensemble complet d’événements est de 1.

Les probabilités d'événements opposés sont généralement indiquées en minuscules p Et q. En particulier,

d'où découlent les formules suivantes pour la probabilité d'événements opposés :

Exemple 2. La cible du stand de tir est divisée en 3 zones. La probabilité qu'un certain tireur tire sur la cible dans la première zone est de 0,15, dans la deuxième zone – 0,23, dans la troisième zone – 0,17. Trouvez la probabilité que le tireur atteigne la cible et la probabilité que le tireur rate la cible.

Solution : Trouvez la probabilité que le tireur atteigne la cible :

Trouvons la probabilité que le tireur rate la cible :

Pour des problèmes plus complexes, dans lesquels vous devez utiliser à la fois l'addition et la multiplication de probabilités, voir la page "Divers problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités".

Ajout de probabilités d'événements mutuellement simultanés

Deux événements aléatoires sont dits conjoints si la survenance d’un événement n’exclut pas la survenance d’un deuxième événement dans la même observation. Par exemple, lors du lancement d'un dé, l'événement UN Le chiffre 4 est considéré comme déployé, et l'événement DANS– lancer un nombre pair. Puisque 4 est un nombre pair, les deux événements sont compatibles. En pratique, il existe des problèmes liés au calcul des probabilités d'apparition de l'un des événements mutuellement simultanés.

Théorème d'addition de probabilité pour les événements conjoints. La probabilité que l'un des événements conjoints se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements, à laquelle est soustraite la probabilité de l'occurrence commune des deux événements, c'est-à-dire le produit des probabilités. La formule des probabilités d'événements conjoints a la forme suivante :

Depuis les événements UN Et DANS compatible, événement UN+ DANS se produit si l’un des trois événements possibles se produit : ou AB. D'après le théorème d'addition d'événements incompatibles, on calcule comme suit :

Événement UN se produira si l’un des deux événements incompatibles se produit : ou AB. Cependant, la probabilité d'occurrence d'un événement parmi plusieurs événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de tous ces événements :

De même:

En remplaçant les expressions (6) et (7) dans l'expression (5), nous obtenons la formule de probabilité pour les événements conjoints :

Lors de l'utilisation de la formule (8), il convient de tenir compte du fait que les événements UN Et DANS peut être:

mutuellement indépendants;

mutuellement dépendants.

Formule de probabilité pour des événements mutuellement indépendants :

Formule de probabilité pour des événements mutuellement dépendants :

Si les événements UN Et DANS sont incohérents, alors leur coïncidence est un cas impossible et, par conséquent, P.(AB) = 0. La quatrième formule de probabilité pour les événements incompatibles est :

Exemple 3. En course automobile, lorsque vous conduisez la première voiture, vous avez de meilleures chances de gagner, et lorsque vous conduisez la deuxième voiture. Trouver:

la probabilité que les deux voitures gagnent ;

la probabilité qu'au moins une voiture gagne ;

1) La probabilité que la première voiture gagne ne dépend pas du résultat de la deuxième voiture, donc les événements UN(la première voiture gagne) et DANS(la deuxième voiture gagnera) – épreuves indépendantes. Trouvons la probabilité que les deux voitures gagnent :

2) Trouvez la probabilité que l'une des deux voitures gagne :

Pour des problèmes plus complexes, dans lesquels vous devez utiliser à la fois l'addition et la multiplication de probabilités, voir la page "Divers problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités".

Résolvez vous-même le problème de l'addition de probabilités, puis examinez la solution

Exemple 4. Deux pièces sont lancées. Événement UN- perte des armoiries sur la première monnaie. Événement B- perte des armoiries sur la deuxième monnaie. Trouver la probabilité d'un événement C = UN + B .

Multiplier les probabilités

La multiplication de probabilité est utilisée lorsque la probabilité d'un produit logique d'événements doit être calculée.

Dans ce cas, les événements aléatoires doivent être indépendants. Deux événements sont dits indépendants l’un de l’autre si la survenance de l’un d’entre eux n’affecte pas la probabilité de survenance du deuxième événement.

Théorème de multiplication de probabilité pour les événements indépendants. Probabilité d'occurrence simultanée de deux événements indépendants UN Et DANS est égal au produit des probabilités de ces événements et se calcule par la formule :

Exemple 5. La pièce est lancée trois fois de suite. Trouvez la probabilité que les armoiries apparaissent trois fois.

Solution. La probabilité que les armoiries apparaissent au premier tirage au sort, la deuxième fois et la troisième fois. Trouvons la probabilité que les armoiries apparaissent toutes les trois fois :

Résolvez vous-même les problèmes de multiplication de probabilités, puis examinez la solution

Exemple 6. Il y a une boîte de neuf balles de tennis neuves. Pour jouer, on prend trois balles, et après le jeu elles sont remises. Lors du choix des balles, les balles jouées ne sont pas distinguées des balles non jouées. Quelle est la probabilité qu’après trois parties, il ne reste plus aucune balle non jouée dans la surface ?

Exemple 7. 32 lettres de l'alphabet russe sont écrites sur des cartes alphabet découpées. Cinq cartes sont tirées au hasard les unes après les autres et placées sur la table par ordre d'apparition. Trouvez la probabilité que les lettres forment le mot « fin ».

Exemple 8. D'un jeu complet de cartes (52 feuilles), quatre cartes sont retirées à la fois. Trouvez la probabilité que ces quatre cartes soient de couleurs différentes.

Exemple 9. La même tâche que dans l'exemple 8, mais chaque carte après avoir été retirée est remise dans le paquet.

Des problèmes plus complexes, dans lesquels vous devez utiliser à la fois l'addition et la multiplication de probabilités, ainsi que calculer le produit de plusieurs événements, peuvent être trouvés sur la page « Divers problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités ».

La probabilité qu'au moins un des événements mutuellement indépendants se produise peut être calculée en soustrayant de 1 le produit des probabilités d'événements opposés, c'est-à-dire en utilisant la formule :

Exemple 10. Le fret est acheminé par trois modes de transport : le transport fluvial, ferroviaire et routier. La probabilité que la marchandise soit livrée par transport fluvial est de 0,82, par rail de 0,87, par transport routier de 0,90. Trouvez la probabilité que la marchandise soit livrée par au moins un des trois modes de transport.

Remarques importantes !
1. Si vous voyez du charabia au lieu de formules, videz votre cache. Comment faire cela dans votre navigateur est écrit ici :
2. Avant de commencer à lire l'article, faites attention à notre navigateur pour connaître les ressources les plus utiles pour

Qu'est-ce que la probabilité ?

La première fois que j’ai rencontré ce terme, je n’aurais pas compris de quoi il s’agissait. Je vais donc essayer de l'expliquer clairement.

La probabilité est la chance que l'événement souhaité se produise.

Par exemple, vous avez décidé d’aller chez un ami, vous vous souvenez de l’entrée et même de l’étage où il habite. Mais j'ai oublié le numéro et l'emplacement de l'appartement. Et maintenant, vous vous trouvez dans l'escalier et devant vous, vous avez le choix entre des portes.

Quelle est la chance (probabilité) que si vous sonnez à la première sonnette, votre ami ouvre la porte à votre place ? Il n'y a que des appartements, et un ami n'habite que derrière l'un d'eux. A chances égales, nous pouvons choisir n’importe quelle porte.

Mais quelle est cette chance ?

La porte, la bonne porte. Probabilité de deviner en sonnant à la première porte : . Autrement dit, une fois sur trois, vous devinerez avec précision.

Nous voulons savoir, après avoir appelé une fois, à quelle fréquence devinerons-nous la porte ? Examinons toutes les options :

Tu as appelé 1er porte

Tu as appelé 2ème porte

Tu as appelé 3ème porte

Examinons maintenant toutes les options où un ami pourrait se trouver :

UN. Pour 1er la porte
b. Pour 2ème la porte
V. Pour 3ème la porte

Comparons toutes les options sous forme de tableau. Une coche indique les options lorsque votre choix coïncide avec l'emplacement d'un ami, une croix - lorsqu'il ne coïncide pas.

Comment vois-tu tout Peut être choix l'emplacement de votre ami et votre choix de la porte à sonner.

UN issue favorable à tous . Autrement dit, vous devinerez une fois en sonnant une fois à la porte, c'est-à-dire .

Il s’agit de la probabilité – le rapport entre une issue favorable (lorsque votre choix coïncide avec l’emplacement de votre ami) et le nombre d’événements possibles.

La définition est la formule. La probabilité est généralement notée p, donc :

Il n'est pas très pratique d'écrire une telle formule, nous prendrons donc pour - le nombre d'issues favorables, et pour - le nombre total d'issues.

La probabilité peut s'écrire en pourcentage ; pour ce faire, vous devez multiplier le résultat obtenu par :

Le mot « résultats » a probablement attiré votre attention. Puisque les mathématiciens appellent diverses actions (dans notre cas, une telle action est une sonnette) des expériences, le résultat de telles expériences est généralement appelé le résultat.

Eh bien, il y a des résultats favorables et défavorables.

Revenons à notre exemple. Disons que nous avons sonné à l'une des portes, mais qu'un étranger nous l'a ouverte. Nous n'avons pas bien deviné. Quelle est la probabilité que si nous sonnons à l’une des portes restantes, notre ami nous l’ouvre ?

Si vous pensiez cela, alors c'est une erreur. Voyons cela.

Il nous reste deux portes. Nous avons donc des étapes possibles :

1) Appeler 1er porte
2) Appeler 2ème porte

L’ami, malgré tout cela, est définitivement derrière l’un d’eux (après tout, il n’était pas derrière celui que nous avons appelé) :

a) Ami pour 1er la porte
b) Ami pour 2ème la porte

Dessinons à nouveau le tableau :

Comme vous pouvez le constater, il n’existe que des options favorables. Autrement dit, la probabilité est égale.

Pourquoi pas?

La situation que nous avons considérée est exemple d'événements dépendants. Le premier événement est la première sonnette, le deuxième événement est la deuxième sonnette.

Et ils sont appelés dépendants car ils influencent les actions suivantes. Après tout, si après la première sonnerie, un ami répondait à la sonnette, quelle serait la probabilité qu'il se trouve derrière l'un des deux autres ? Droite, .

Mais s’il y a des événements dépendants, alors il doit aussi y en avoir. indépendant? C'est vrai, cela arrive.

Un exemple classique est de lancer une pièce de monnaie.

Lancez une pièce de monnaie une fois. Quelle est la probabilité d’obtenir face, par exemple ? C'est vrai - car il y a toutes les options (que ce soit face ou face, nous négligerons la probabilité que la pièce atterrisse sur sa tranche), mais cela ne convient qu'à nous.

Mais c'est tombé sur face. D'accord, relançons-le. Quelle est la probabilité d’obtenir face maintenant ? Rien n'a changé, tout est pareil. Combien d'options ? Deux. De combien sommes-nous satisfaits ? Un.

Et laissez-le apparaître face au moins mille fois de suite. La probabilité d’obtenir face d’un coup sera la même. Il existe toujours des options, et des plus avantageuses.

Il est facile de distinguer les événements dépendants des événements indépendants :

Si l’expérience est réalisée une fois (ils lancent une pièce de monnaie une fois, sonnent une fois à la porte, etc.), alors les événements sont toujours indépendants.

Si une expérience est réalisée plusieurs fois (une pièce est lancée une fois, la sonnette retentit plusieurs fois), alors le premier événement est toujours indépendant. Et puis, si le nombre de résultats favorables ou le nombre de résultats change, alors les événements sont dépendants, et sinon, ils sont indépendants.

Entraînons-nous un peu à déterminer la probabilité.

Exemple 1.

La pièce est lancée deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir face deux fois de suite ?

Solution:

Considérons toutes les options possibles :

Aigle-aigle

Pile-queue

Queues-Têtes

Queues-queues

Comme vous pouvez le constater, il n’existe que des options. Parmi ceux-ci, nous ne sommes que satisfaits. C'est-à-dire la probabilité :

Si la condition vous demande simplement de trouver la probabilité, alors la réponse doit être donnée sous la forme d’une fraction décimale. S'il était précisé que la réponse doit être donnée sous forme de pourcentage, nous multiplierions par.

Répondre:

Exemple 2.

Dans une boîte de chocolats, tous les chocolats sont conditionnés dans le même emballage. Cependant, des bonbons - aux noix, au cognac, aux cerises, au caramel et au nougat.

Quelle est la probabilité de prendre un bonbon et d’obtenir un bonbon aux noix ? Donnez votre réponse en pourcentage.

Solution:

Combien y a-t-il de résultats possibles ? .

Autrement dit, si vous prenez un bonbon, ce sera l'un de ceux disponibles dans la boîte.

Combien d’issues favorables ?

Car la boîte ne contient que des chocolats aux noix.

Répondre:

Exemple 3.

Dans une boîte de ballons. dont des blancs et des noirs.

Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?

Nous avons ajouté d'autres boules noires à la boîte. Quelle est maintenant la probabilité de tirer une boule blanche ?

Solution:

a) Il n'y a que des balles dans la boîte. Parmi eux sont blancs.

La probabilité est :

b) Il y a maintenant plus de balles dans la boîte. Et il reste autant de Blancs.

Répondre:

Probabilité totale

La probabilité de tous les événements possibles est égale à ().

Disons qu'il y a des boules rouges et vertes dans une boîte. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? Boule verte ? Boule rouge ou verte ?

Probabilité de tirer une boule rouge

Boule verte :

Boule rouge ou verte :

Comme vous pouvez le constater, la somme de tous les événements possibles est égale à (). Comprendre ce point vous aidera à résoudre de nombreux problèmes.

Exemple 4.

Il y a des marqueurs dans la boîte : vert, rouge, bleu, jaune, noir.

Quelle est la probabilité de ne pas tirer de marqueur rouge ?

Solution:

Comptons le nombre des issues favorables.

PAS un marqueur rouge, cela signifie vert, bleu, jaune ou noir.

La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.
Règle pour multiplier les probabilités d'événements indépendants

Vous savez déjà ce que sont les événements indépendants.

Que se passe-t-il si vous avez besoin de trouver la probabilité que deux événements indépendants (ou plus) se produisent consécutivement ?

Disons que nous voulons savoir quelle est la probabilité que si nous lançons une pièce de monnaie une fois, nous voyions face deux fois ?

Nous avons déjà considéré - .

Et si on jetait une pièce de monnaie une fois ? Quelle est la probabilité de voir un aigle deux fois de suite ?

Total des options possibles :

Aigle-aigle-aigle

Pile-pile-face

Pile-face-tête

Pile-pile-pile

Face-face-face

Pile-pile-pile

Queues-queues-têtes

Queues-queues-queues

Je ne sais pas pour vous, mais j’ai commis des erreurs à plusieurs reprises en dressant cette liste. Ouah! Et seule l'option (la première) nous convient.

Pour 5 lancers, vous pouvez faire vous-même une liste des résultats possibles. Mais les mathématiciens ne sont pas aussi travailleurs que vous.

Par conséquent, ils ont d'abord remarqué puis prouvé que la probabilité d'une certaine séquence d'événements indépendants diminue à chaque fois de la probabilité d'un événement.

Autrement dit,

Regardons l'exemple de la même pièce malheureuse.

Probabilité de se prendre la tête dans un défi ? . Maintenant, on lance la pièce une fois.

Quelle est la probabilité d’avoir face à face ?

Cette règle ne fonctionne pas seulement si l’on nous demande de trouver la probabilité qu’un même événement se produise plusieurs fois de suite.

Si nous voulions retrouver la séquence QUEUES-TÊTES-QUEUES pour des lancers consécutifs, nous ferions de même.

La probabilité d'obtenir pile est de face - .

Probabilité d’obtenir la séquence QUEUES-TÊTES-QUEUES-QUEUES :

Vous pouvez le vérifier vous-même en créant un tableau.

La règle pour ajouter les probabilités d'événements incompatibles.

Alors arrête ! Nouvelle définition.

Voyons cela. Prenons notre pièce usée et lançons-la une fois.
Options possibles :

Aigle-aigle-aigle

Pile-pile-face

Pile-face-tête

Pile-pile-pile

Face-face-face

Pile-pile-pile

Queues-queues-têtes

Queues-queues-queues

Ainsi, les événements incompatibles sont une certaine séquence d'événements donnée. - ce sont des événements incompatibles.

Si nous voulons déterminer quelle est la probabilité de deux (ou plusieurs) événements incompatibles, alors nous ajoutons les probabilités de ces événements.

Vous devez comprendre que pile ou face sont deux événements indépendants.

Si nous voulons déterminer la probabilité qu’une séquence (ou toute autre) se produise, alors nous utilisons la règle de multiplication des probabilités.
Quelle est la probabilité d’obtenir face au premier lancer et face au deuxième et au troisième lancer ?

Mais si nous voulons savoir quelle est la probabilité d’obtenir une séquence parmi plusieurs, par exemple lorsque face apparaît exactement une fois, c’est-à-dire options et, ensuite, nous devons additionner les probabilités de ces séquences.

Toutes les options nous conviennent.

On peut obtenir la même chose en additionnant les probabilités d’occurrence de chaque séquence :
Ainsi, nous ajoutons des probabilités lorsque nous voulons déterminer la probabilité de certaines séquences d’événements incohérentes.

Il existe une excellente règle pour vous aider à éviter de confondre quand multiplier et quand additionner :

Revenons à l'exemple où nous avons lancé une pièce de monnaie une fois et avons voulu connaître la probabilité de voir face une fois.
Que devrait-il se passer ?

Devrait tomber :
(pile ET pile ET pile) OU (pile ET pile ET pile) OU (face ET pile ET pile).
Voici comment cela se passe :

Regardons quelques exemples.

Exemple 5.

Il y a des crayons dans la boîte. rouge, vert, orange et jaune et noir. Quelle est la probabilité de dessiner des crayons rouges ou verts ?

Solution:

Exemple 6.

Si un dé est lancé deux fois, quelle est la probabilité d’obtenir un total de 8 ?

Solution.

Comment pouvons-nous obtenir des points ?

(et) ou (et) ou (et) ou (et) ou (et).

La probabilité d’obtenir un (n’importe quel) visage est de .

On calcule la probabilité :

Entraînement.

Je pense que vous comprenez maintenant quand vous devez calculer des probabilités, quand les additionner et quand les multiplier. N'est-ce pas ? Pratiquons un peu.

Tâches :

Prenons un jeu de cartes contenant des cartes comprenant des piques, des cœurs, 13 trèfles et 13 carreaux. De à l'As de chaque couleur.

Quelle est la probabilité de tirer des trèfles d'affilée (on remet la première carte retirée dans le paquet et on la mélange) ?

Quelle est la probabilité de tirer une carte noire (pique ou trèfle) ?

Quelle est la probabilité de tirer une image (valet, dame, roi ou as) ?

Quelle est la probabilité de tirer deux images d'affilée (on retire la première carte tirée du jeu) ?

Quelle est la probabilité, en prenant deux cartes, d'obtenir une combinaison (valet, dame ou roi) et un as. L'ordre dans lequel les cartes sont tirées n'a pas d'importance.

Réponses :

Si vous étiez capable de résoudre tous les problèmes vous-même, alors vous êtes génial ! Vous allez maintenant résoudre les problèmes de théorie des probabilités lors de l'examen d'État unifié comme des fous !

THÉORIE DES PROBABILITÉS. NIVEAU MOYEN

Regardons un exemple. Disons que nous jetons un dé. De quel genre d'os s'agit-il, le savez-vous ? C'est ce qu'on appelle un cube avec des chiffres sur ses faces. Combien de visages, autant de chiffres : de à combien ? À.

Alors on lance les dés et on veut qu'il arrive ou. Et nous comprenons.

Dans la théorie des probabilités, ils disent ce qui s'est passé événement propice(à ne pas confondre avec prospère).

Si cela se produisait, l’événement serait également favorable. Au total, seuls deux événements favorables peuvent survenir.

Combien sont défavorables ? Puisqu'il existe un total d'événements possibles, cela signifie que les événements défavorables sont des événements (c'est-à-dire si ou tombe).

Définition:

La probabilité est le rapport entre le nombre d'événements favorables et le nombre de tous les événements possibles.. Autrement dit, la probabilité montre quelle proportion de tous les événements possibles est favorable.

La probabilité est désignée par une lettre latine (apparemment du mot anglais probabilité - vraisemblance).

Il est d'usage de mesurer la probabilité en pourcentage (voir sujet,). Pour ce faire, la valeur de probabilité doit être multipliée par. Dans l’exemple des dés, probabilité.

Et en pourcentage : .

Exemples (décidez vous-même) :

Quelle est la probabilité d’obtenir face en lançant une pièce de monnaie ? Quelle est la probabilité que des têtes atterrissent ?

Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair en lançant un dé ? Lequel est étrange ?

Dans une boîte de crayons simples, bleus et rouges. Nous dessinons un crayon au hasard. Quelle est la probabilité d’en obtenir un simple ?

Solutions :

Combien y a-t-il d’options ? Pile et queue – juste deux. Combien d’entre eux sont favorables ? Un seul est un aigle. Donc la probabilité
C'est la même chose avec les queues : .

Options totales : (combien de côtés le cube a, autant d'options différentes). Les favorables : (ce sont tous des nombres pairs :).
Probabilité. Bien sûr, c’est la même chose avec les nombres impairs.

Total: . Favorable : . Probabilité : .

Probabilité totale

Tous les crayons de la boîte sont verts. Quelle est la probabilité de dessiner un crayon rouge ? Il n'y a pas de hasard : probabilité (après tout, événements favorables -).

Un tel événement est dit impossible.

Quelle est la probabilité de dessiner un crayon vert ? Il y a exactement le même nombre d’événements favorables que le nombre total d’événements (tous les événements sont favorables). La probabilité est donc égale à ou.

Un tel événement est dit fiable.

Si une boîte contient des crayons verts et rouges, quelle est la probabilité de tirer du vert ou du rouge ? Encore. Notons ceci : la probabilité de retirer le vert est égale, et le rouge est égale.

En somme, ces probabilités sont exactement égales. C'est, la somme des probabilités de tous les événements possibles est égale à ou.

Exemple:

Dans une boîte de crayons, parmi eux se trouvent du bleu, du rouge, du vert, uni, du jaune et le reste est orange. Quelle est la probabilité de ne pas tirer vert ?

Solution:

Nous nous souvenons que toutes les probabilités s’additionnent. Et la probabilité de devenir vert est égale. Cela signifie que la probabilité de ne pas tirer du vert est égale.

Rappelez-vous cette astuce : La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.

Événements indépendants et règle de multiplication

Vous lancez une pièce une fois et vous voulez qu'elle tombe face les deux fois. Quelle est la probabilité que cela se produise ?

Passons en revue toutes les options possibles et déterminons combien il y en a :

Pile-Tête, Pile-Tête, Pile-Pile, Pile-Tail. Quels autres ?

Options totales. Parmi ceux-ci, un seul nous convient : Aigle-Aigle. Au total, la probabilité est égale.

Bien. Maintenant, tirons à pile ou face une fois. Faites le calcul vous-même. Est-ce que ça a marché ? (répondre).

Vous avez peut-être remarqué qu'avec l'ajout de chaque lancer suivant, la probabilité diminue de moitié. La règle générale s'appelle règle de multiplication:

Les probabilités d'événements indépendants changent.

Que sont les événements indépendants ? Tout est logique : ce sont ceux qui ne dépendent pas les uns des autres. Par exemple, lorsque l'on lance une pièce plusieurs fois, à chaque fois un nouveau lancer est effectué dont le résultat ne dépend pas de tous les lancers précédents. On peut tout aussi bien lancer deux pièces différentes en même temps.

Plus d'exemples :

Les dés sont lancés deux fois. Quelle est la probabilité de l’obtenir les deux fois ?

La pièce est lancée une fois. Quelle est la probabilité que cela tombe face la première fois, puis face deux fois ?

Le joueur lance deux dés. Quelle est la probabilité que la somme de leurs nombres soit égale ?

Réponses :

Les événements sont indépendants, ce qui signifie que la règle de multiplication fonctionne : .

La probabilité de tomber sur face est égale. La probabilité d’obtenir pile est la même. Multiplier:

12 ne peut être obtenu que si deux -ki sont lancés : .

Les événements incompatibles et la règle d'addition

Les événements qui se complètent au point d’être pleinement probables sont appelés incompatibles. Comme leur nom l’indique, ils ne peuvent pas se produire simultanément. Par exemple, si nous lançons une pièce, elle peut tomber sur pile ou sur face.

Exemple.

Dans une boîte de crayons, parmi eux se trouvent du bleu, du rouge, du vert, uni, du jaune et le reste est orange. Quelle est la probabilité de tirer du vert ou du rouge ?

Solution .

La probabilité de dessiner un crayon vert est égale. Rouge - .

Événements favorables en tout : vert + rouge. Cela signifie que la probabilité de tirer du vert ou du rouge est égale.

La même probabilité peut être représentée sous cette forme : .

Voici la règle d'addition : les probabilités d'événements incompatibles s'additionnent.

Problèmes de type mixte

Exemple.

La pièce est lancée deux fois. Quelle est la probabilité que les résultats des lancers soient différents ?

Solution .

Cela signifie que si le premier résultat est face, le second doit être face, et vice versa. Il s’avère qu’il existe deux paires d’événements indépendants et que ces paires sont incompatibles entre elles. Comment ne pas se tromper sur où multiplier et où ajouter.

Il existe une règle simple pour de telles situations. Essayez de décrire ce qui va se passer en utilisant les conjonctions « ET » ou « OU ». Par exemple, dans ce cas :

Il devrait apparaître (pile et face) ou (pile et face).

Là où il y a une conjonction « et », il y aura multiplication, et là où il y a « ou », il y aura addition :

Essayez-le vous-même :

Quelle est la probabilité que si une pièce est lancée deux fois, elle tombe du même côté à chaque fois ?

Les dés sont lancés deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir un total de points ?

Solutions :

Autre exemple :

Lancez une pièce de monnaie une fois. Quelle est la probabilité que des têtes apparaissent au moins une fois ?

Solution:

THÉORIE DES PROBABILITÉS. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

La probabilité est le rapport entre le nombre d’événements favorables et le nombre de tous les événements possibles.

Événements indépendants

Deux événements sont indépendants si la survenance de l’un ne modifie pas la probabilité que l’autre se produise.

Probabilité totale

La probabilité de tous les événements possibles est égale à ().

La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.

Règle pour multiplier les probabilités d'événements indépendants

La probabilité d'une certaine séquence d'événements indépendants est égale au produit des probabilités de chaque événement

Événements incompatibles

Les événements incompatibles sont ceux qui ne peuvent pas se produire simultanément à la suite d'une expérience. Un certain nombre d'événements incompatibles forment un groupe complet d'événements.

Les probabilités d’événements incompatibles s’additionnent.

Après avoir décrit ce qui devrait se passer, en utilisant les conjonctions « ET » ou « OU », au lieu de « ET » nous mettons un signe de multiplication, et au lieu de « OU » nous mettons un signe d'addition.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème est que cela ne suffit peut-être pas...

Pour quoi?

Pour avoir réussi l'examen d'État unifié, pour entrer à l'université avec un budget limité et, SURTOUT, pour la vie.

Je ne vais vous convaincre de rien, je dirai juste une chose...

Les personnes qui ont reçu une bonne éducation gagnent beaucoup plus que celles qui ne l’ont pas reçue. Ce sont des statistiques.

Mais ce n’est pas l’essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que de nombreuses autres opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

Mais pensez par vous-même...

Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen d'État unifié et finalement être... plus heureux ?

GAGNEZ VOTRE MAIN EN RÉSOUDANT DES PROBLÈMES SUR CE SUJET.

Aucune théorie ne vous sera demandée lors de l'examen.

Vous aurez besoin résoudre des problèmes contre le temps.

Et si vous ne les avez pas résolus (BEAUCOUP !), vous ferez certainement une erreur stupide quelque part ou vous n’aurez tout simplement pas le temps.

C'est comme dans le sport : il faut répéter plusieurs fois pour gagner avec certitude.

Retrouvez la collection où vous voulez, nécessairement avec des solutions, une analyse détaillée et décidez, décidez, décidez !

Vous pouvez utiliser nos tâches (facultatif) et nous les recommandons bien sûr.

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Comment? Il existe deux options :

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Et en conclusion...

Si vous n'aimez pas nos tâches, trouvez-en d'autres. Ne vous arrêtez pas à la théorie.

« Compris » et « Je peux résoudre » sont des compétences complètement différentes. Vous avez besoin des deux.

Trouvez les problèmes et résolvez-les !