À quoi est égale la cotangente sinus cosinus tangente ? Triangle rectangle : sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un angle

Les enseignants pensent que chaque élève devrait être capable d'effectuer des calculs et de connaître les formules trigonométriques, mais tous les enseignants n'expliquent pas ce que sont le sinus et le cosinus. Quelle est leur signification, où sont-ils utilisés ? Pourquoi parlons-nous de triangles, mais le manuel montre un cercle ? Essayons de relier tous les faits ensemble.

Matière scolaire

L'étude de la trigonométrie commence généralement entre la 7e et la 8e année. lycée. À ce moment-là, on explique aux élèves ce que sont le sinus et le cosinus et on leur demande de résoudre problèmes géométriques en utilisant ces fonctions. D'autres apparaissent plus tard formules complexes et les expressions requises algébriquement transformation (formules double et demi-angle, fonctions de puissance), le travail est effectué avec un cercle trigonométrique.

Cependant, les enseignants ne sont pas toujours en mesure d'expliquer clairement le sens des concepts utilisés et l'applicabilité des formules. Par conséquent, l'étudiant ne voit souvent pas l'intérêt de ce sujet, et les informations mémorisées sont rapidement oubliées. Cependant, cela vaut la peine d'expliquer une fois par exemple à un lycéen le lien entre la fonction et mouvement oscillatoire, et le lien logique restera dans les mémoires pendant de nombreuses années, et les blagues sur l'inutilité du sujet appartiendront au passé.

Usage

Par curiosité, examinons différentes branches de la physique. Vous souhaitez déterminer la portée d'un projectile ? Ou calculez-vous la force de friction entre un objet et une certaine surface ? Faire pivoter le pendule, observer les rayons traverser le verre, calculer l'induction ? Dans presque toutes les formules, ils apparaissent concepts trigonométriques. Alors, que sont le sinus et le cosinus ?

Définitions

Le sinus d'un angle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse, le cosinus est le rapport du côté adjacent à la même hypoténuse. Il n'y a absolument rien de compliqué ici. Peut-être que les étudiants sont généralement confus par les significations qu'ils voient dans table trigonométrique, car des racines carrées y apparaissent. Oui, obtenir des décimales n'est pas très pratique, mais qui a dit que tous les nombres en mathématiques devaient être égaux ?

En fait, vous pouvez trouver une astuce amusante dans les livres de problèmes de trigonométrie : la plupart des réponses ici sont paires et, dans le pire des cas, contiennent la racine de deux ou trois. La conclusion est simple : si votre réponse s'avère être une fraction « à plusieurs étages », revérifiez la solution pour déceler des erreurs de calcul ou de raisonnement. Et vous les trouverez très probablement.

Ce qu'il faut retenir

Comme toute science, la trigonométrie contient des données qui doivent être apprises.

Tout d'abord, vous devez mémoriser les valeurs numériques des sinus du triangle rectangle, des cosinus 0 et 90, ainsi que de 30, 45 et 60 degrés. Ces indicateurs surviennent dans neuf cas sur dix tâches scolaires. En regardant ces valeurs dans un manuel, vous perdrez beaucoup de temps et il n'y aura nulle part où les regarder lors d'un test ou d'un examen.

Il ne faut pas oublier que la valeur des deux fonctions ne peut pas dépasser un. Si quelque part dans vos calculs vous obtenez une valeur en dehors de la plage 0-1, arrêtez et réessayez le problème.

La somme des carrés du sinus et du cosinus est égale à un. Si vous avez déjà trouvé l'une des valeurs, utilisez cette formule pour trouver la valeur restante.

Théorèmes

Il existe deux théorèmes de base en trigonométrie de base : les sinus et les cosinus.

La première stipule que le rapport de chaque côté d’un triangle au sinus de l’angle opposé est le même. La seconde est que le carré de n'importe quel côté peut être obtenu en additionnant les carrés des deux côtés restants et en soustrayant leur double produit, multiplié par le cosinus de l'angle qui les sépare.

Ainsi, si l'on substitue la valeur d'un angle de 90 degrés dans le théorème du cosinus, on obtient... le théorème de Pythagore. Désormais, si vous devez calculer l'aire d'une figure qui n'est pas un triangle rectangle, vous n'avez plus à vous inquiéter - les deux théorèmes discutés simplifieront considérablement la solution du problème.

Buts et objectifs

L'apprentissage de la trigonométrie deviendra beaucoup plus facile lorsque vous réaliserez un fait simple : toutes les actions que vous effectuez visent à atteindre un seul objectif. Tous les paramètres d'un triangle peuvent être trouvés si vous connaissez le strict minimum d'informations à son sujet - cela peut être la valeur d'un angle et la longueur de deux côtés ou, par exemple, de trois côtés.

Pour déterminer le sinus, le cosinus, la tangente de n'importe quel angle, ces données sont suffisantes et avec leur aide, vous pouvez facilement calculer l'aire de la figure. Presque toujours, la réponse nécessite l’une des valeurs mentionnées et elles peuvent être trouvées en utilisant les mêmes formules.

Incohérences dans l'apprentissage de la trigonométrie

L'une des questions déroutantes que les écoliers préfèrent éviter est de découvrir le lien entre différentes notions en trigonométrie. Il semblerait que les triangles soient utilisés pour étudier les sinus et les cosinus des angles, mais pour une raison quelconque, les symboles se retrouvent souvent dans la figure avec un cercle. De plus, il existe un graphique ondulatoire complètement incompréhensible appelé onde sinusoïdale, qui n'a aucune ressemblance extérieure avec un cercle ou des triangles.

De plus, les angles sont mesurés soit en degrés, soit en radians, et le nombre Pi, écrit simplement 3,14 (sans unités), apparaît pour une raison quelconque dans les formules, correspondant à 180 degrés. Comment tout cela est-il connecté ?

Unités

Pourquoi Pi est-il exactement 3,14 ? Vous rappelez-vous quelle est cette signification ? C'est le nombre de rayons qui forment un arc sur un demi-cercle. Si le diamètre du cercle est de 2 centimètres, la circonférence sera de 3,14 * 2, soit 6,28.

Deuxième point : vous avez peut-être remarqué la similitude entre les mots « radian » et « radius ». Le fait est qu’un radian est numériquement égale à la valeur l'angle sous-tendu du centre du cercle sur un arc d'un rayon de long.

Nous allons maintenant combiner les connaissances acquises et comprendre pourquoi « Pi en deux » est écrit en haut de l'axe de coordonnées en trigonométrie, et « Pi » est écrit à gauche. Ce magnitude angulaire, mesuré en radians, car un demi-cercle fait 180 degrés, soit 3,14 radians. Et là où il y a des degrés, il y a des sinus et des cosinus. Il est facile de tracer un triangle à partir du point souhaité, en réservant les segments au centre et à l'axe de coordonnées.

Regardons vers l'avenir

La trigonométrie, étudiée à l'école, traite d'un système de coordonnées rectilignes, où, aussi étrange que cela puisse paraître, une ligne droite est une ligne droite.

Mais il y a plus des moyens complexes travailler avec l'espace : la somme des angles du triangle sera ici supérieure à 180 degrés, et la ligne droite à notre avis ressemblera à un véritable arc.

Passons des paroles aux actes ! Prends une pomme. Faites trois coupes avec un couteau pour que, vu du dessus, vous obteniez un triangle. Retirez le morceau de pomme obtenu et regardez les « côtes » où se termine la peau. Ils ne sont pas hétéros du tout. Le fruit dans vos mains peut être classiquement appelé rond, mais imaginez maintenant à quel point les formules doivent être complexes avec lesquelles vous pouvez trouver l'aire du morceau coupé. Mais certains spécialistes résolvent ces problèmes quotidiennement.

Fonctions trigonométriques dans la vie

Avez-vous remarqué que le trajet le plus court pour un avion d'un point A à un point B à la surface de notre planète a une forme d'arc prononcée ? La raison est simple : la Terre est sphérique, ce qui signifie que vous ne pouvez pas grand-chose calculer à l’aide de triangles – vous devez utiliser des formules plus complexes.

On ne peut pas se passer du sinus/cosinus d'un angle aigu dans toutes les questions liées à l'espace. Il est intéressant de noter que de nombreux facteurs sont réunis ici : des fonctions trigonométriques sont nécessaires pour calculer le mouvement des planètes le long de cercles, d'ellipses et de diverses trajectoires. formes complexes; le processus de lancement de fusées, de satellites, de navettes, de désamarrage de véhicules de recherche ; surveillance étoiles lointaines et l'étude des galaxies que les humains ne pourront pas atteindre dans un avenir prévisible.

En général, le champ d'activité d'une personne connaissant la trigonométrie est très large et, apparemment, ne fera que s'élargir avec le temps.

Conclusion

Aujourd'hui, nous avons appris, ou du moins répété, ce que sont le sinus et le cosinus. Ce sont des concepts dont vous n’avez pas besoin d’avoir peur – il suffit de les vouloir et vous comprendrez leur signification. N'oubliez pas que la trigonométrie n'est pas un objectif, mais seulement un outil qui peut être utilisé pour satisfaire des besoins réels. Besoins humains: construire des maisons, assurer la sécurité routière, voire explorer l'immensité de l'univers.

En effet, la science elle-même peut sembler ennuyeuse, mais dès que vous y trouverez un moyen d'atteindre vos propres objectifs et de vous réaliser, le processus d'apprentissage deviendra intéressant et votre motivation personnelle augmentera.

Comme devoirs Essayez de trouver des moyens d'appliquer les fonctions trigonométriques dans un domaine d'activité qui vous intéresse personnellement. Imaginez, utilisez votre imagination, et vous découvrirez probablement que de nouvelles connaissances vous seront utiles à l'avenir. Et en plus, les mathématiques sont utiles pour développement général pensée.

L’un des domaines mathématiques avec lesquels les élèves ont le plus de difficultés est la trigonométrie. Pas étonnant : pour maîtriser couramment ce domaine de connaissances, il faut avoir pensée spatiale, capacité à trouver des sinus, cosinus, tangentes, cotangentes à l'aide de formules, simplifier des expressions, être capable d'utiliser pi dans les calculs. De plus, vous devez être capable d'utiliser la trigonométrie pour prouver des théorèmes, ce qui nécessite soit un développement mémoire mathématique, ou la capacité de dériver des chaînes logiques complexes.

Origines de la trigonométrie

Se familiariser avec cette science doit commencer par la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle, mais vous devez d'abord comprendre ce que fait la trigonométrie en général.

Historiquement, le principal objet d'étude dans cette section science mathématiqueétaient des triangles rectangles. La présence d'un angle de 90 degrés permet d'effectuer diverses opérations permettant de déterminer les valeurs de tous les paramètres de la figure en question à l'aide de deux côtés et d'un angle ou de deux angles et d'un côté. Dans le passé, les gens ont remarqué ce modèle et ont commencé à l'utiliser activement dans la construction de bâtiments, la navigation, l'astronomie et même dans l'art.

Première étape

Au départ, les gens parlaient de la relation entre les angles et les côtés uniquement en utilisant l'exemple des triangles rectangles. Ensuite, des formules spéciales ont été découvertes qui ont permis d'élargir les limites d'utilisation dans Vie courante cette branche des mathématiques.

L'étude de la trigonométrie à l'école commence aujourd'hui par les triangles rectangles, après quoi les élèves utilisent les connaissances acquises en physique et en résolvant des problèmes abstraits. équations trigonométriques, dont le travail commence au lycée.

Trigonométrie sphérique

Plus tard, lorsque la science a atteint un niveau de développement supérieur, des formules avec sinus, cosinus, tangente et cotangente ont commencé à être utilisées en géométrie sphérique, où différentes règles s'appliquent et où la somme des angles dans un triangle est toujours supérieure à 180 degrés. Cette section n'est pas étudié à l'école, mais il faut connaître son existence au moins parce que la surface de la terre, et la surface de toute autre planète est convexe, ce qui signifie que tout marquage de surface sera en espace tridimensionnel"en forme d'arc".

Prenez le globe et le fil. Attachez le fil à deux points quelconques du globe afin qu'il soit tendu. Attention, il a pris la forme d'un arc. La géométrie sphérique traite de telles formes, qui sont utilisées en géodésie, en astronomie et dans d'autres domaines théoriques et appliqués.

Triangle rectangle

Après avoir appris un peu les manières d'utiliser la trigonométrie, revenons à la trigonométrie de base afin de mieux comprendre ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente, quels calculs peuvent être effectués avec leur aide et quelles formules utiliser.

La première étape consiste à comprendre les concepts liés à un triangle rectangle. Premièrement, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle de 90 degrés. C'est le plus long. On se souvient que d'après le théorème de Pythagore, son valeur numériqueégal à la racine de la somme des carrés des deux autres côtés.

Par exemple, si les deux côtés mesurent respectivement 3 et 4 centimètres, la longueur de l'hypoténuse sera de 5 centimètres. À propos, les anciens Égyptiens le savaient il y a environ quatre mille cinq cents ans.

Les deux côtés restants, qui forment un angle droit, sont appelés jambes. De plus, il ne faut pas oublier que la somme des angles d’un triangle est système rectangulaire les coordonnées sont de 180 degrés.

Définition

Enfin, avec une bonne compréhension de la base géométrique, on peut se tourner vers la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle.

Le sinus d'un angle est le rapport entre la jambe opposée (c'est-à-dire le côté opposé à l'angle souhaité) et l'hypoténuse. Le cosinus d'un angle est le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse.

N'oubliez pas que ni le sinus ni le cosinus ne peuvent être supérieurs à un ! Pourquoi? Parce que l'hypoténuse est par défaut la plus longue, quelle que soit la longueur de la jambe, elle sera plus courte que l'hypoténuse, ce qui signifie que leur rapport sera toujours inférieur à un. Ainsi, si dans votre réponse à un problème vous obtenez un sinus ou un cosinus d'une valeur supérieure à 1, recherchez une erreur dans les calculs ou le raisonnement. Cette réponse est clairement incorrecte.

Enfin, la tangente d’un angle est le rapport du côté opposé au côté adjacent. En divisant le sinus par le cosinus, on obtient le même résultat. Regardez : d'après la formule, on divise la longueur du côté par l'hypoténuse, puis on divise par la longueur du deuxième côté et on multiplie par l'hypoténuse. Ainsi, on obtient la même relation que dans la définition de la tangente.

La cotangente est donc le rapport du côté adjacent au coin au côté opposé. On obtient le même résultat en divisant un par la tangente.

Nous avons donc examiné les définitions de ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, et nous pouvons passer aux formules.

Les formules les plus simples

En trigonométrie, vous ne pouvez pas vous passer de formules - comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente sans elles ? Mais c’est exactement ce qui est nécessaire pour résoudre des problèmes.

La première formule que vous devez connaître pour commencer à étudier la trigonométrie dit que la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est égale à un. Cette formule est une conséquence directe du théorème de Pythagore, mais cela permet de gagner du temps si l'on a besoin de connaître la taille de l'angle plutôt que son côté.

De nombreux élèves ne se souviennent pas de la deuxième formule, qui est également très populaire pour résoudre des problèmes scolaires : la somme de un et du carré de la tangente d'un angle est égale à un divisé par le carré du cosinus de l'angle. Regardez de plus près : c'est la même affirmation que dans la première formule, seuls les deux côtés de l'identité ont été divisés par le carré du cosinus. Il s’avère qu’une simple opération mathématique ne formule trigonométrique complètement méconnaissable. N'oubliez pas : savoir ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, les règles de conversion et plusieurs formules de base Vous pouvez à tout moment dériver vous-même les formules plus complexes souhaitées sur une feuille de papier.

Formules pour les angles doubles et ajout d'arguments

Deux autres formules que vous devez apprendre sont liées aux valeurs du sinus et du cosinus pour la somme et la différence des angles. Ils sont présentés dans la figure ci-dessous. Veuillez noter que dans le premier cas, le sinus et le cosinus sont multipliés les deux fois, et dans le second, le produit par paire du sinus et du cosinus est ajouté.

Il existe également des formules associées aux arguments sous la forme double angle. Ils sont complètement dérivés des précédents - en guise d'entraînement essayez de les obtenir vous-même en prenant l'angle alpha égal à l'angle bêta.

Enfin, notez que les formules à double angle peuvent être réorganisées pour réduire la puissance du sinus, du cosinus et de la tangente alpha.

Théorèmes

Les deux principaux théorèmes de la trigonométrie de base sont le théorème du sinus et le théorème du cosinus. A l'aide de ces théorèmes, vous pouvez facilement comprendre comment trouver le sinus, le cosinus et la tangente, et donc l'aire de la figure, et la taille de chaque côté, etc.

Le théorème des sinus stipule qu'en divisant la longueur de chaque côté d'un triangle par l'angle opposé, on obtient même nombre. De plus, ce nombre sera égal à deux rayons du cercle circonscrit, c'est-à-dire du cercle contenant tous les points d'un triangle donné.

Le théorème du cosinus généralise le théorème de Pythagore en le projetant sur n'importe quel triangle. Il s'avère que de la somme des carrés des deux côtés, soustrayez leur produit multiplié par le double cosinus de l'angle adjacent - la valeur résultante sera égale au carré du troisième côté. Ainsi, le théorème de Pythagore s’avère être un cas particulier du théorème du cosinus.

Erreurs d'inattention

Même en sachant ce que sont le sinus, le cosinus et la tangente, il est facile de se tromper en raison de la distraction ou d'une erreur dans les calculs les plus simples. Pour éviter de telles erreurs, examinons les plus courantes.

Premièrement, vous ne devez pas convertir des fractions en décimales tant que vous n'avez pas obtenu le résultat final - vous pouvez laisser la réponse ainsi fraction commune, sauf indication contraire dans les conditions. Une telle transformation ne peut pas être qualifiée d’erreur, mais il ne faut pas oublier qu’à chaque étape du problème, de nouvelles racines peuvent apparaître qui, selon l’idée de l’auteur, devraient être réduites. Dans ce cas, vous perdrez votre temps en tâches inutiles. opérations mathématiques. Cela est particulièrement vrai pour les valeurs telles que la racine de trois ou la racine de deux, car elles se retrouvent dans les problèmes à chaque étape. Il en va de même pour arrondir les nombres « laids ».

De plus, notez que le théorème du cosinus s’applique à n’importe quel triangle, mais pas le théorème de Pythagore ! Si vous oubliez par erreur de soustraire deux fois le produit des côtés multiplié par le cosinus de l'angle qui les sépare, vous obtiendrez non seulement un résultat complètement faux, mais vous démontrerez également une incompréhension totale du sujet. C'est pire qu'une erreur d'inattention.

Troisièmement, ne confondez pas les valeurs des angles de 30 et 60 degrés pour les sinus, cosinus, tangentes, cotangentes. Rappelez-vous ces valeurs, car le sinus est de 30 degrés égal au cosinusà 60 ans et vice versa. Il est facile de les confondre, ce qui entraînera inévitablement un résultat erroné.

Application

De nombreux étudiants ne sont pas pressés de commencer à étudier la trigonométrie car ils n'en comprennent pas le sens pratique. Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente pour un ingénieur ou un astronome ? Ce sont des concepts grâce auxquels vous pouvez calculer la distance jusqu'à étoiles lointaines, prédire la chute d'une météorite, envoyer une sonde de recherche sur une autre planète. Sans eux, il est impossible de construire un bâtiment, de concevoir une voiture, de calculer la charge sur une surface ou la trajectoire d'un objet. Et ce ne sont là que les exemples les plus évidents ! Après tout, la trigonométrie, sous une forme ou une autre, est utilisée partout, de la musique à la médecine.

Enfin

Donc tu es sinus, cosinus, tangente. Vous pouvez les utiliser dans des calculs et résoudre avec succès des problèmes scolaires.

Tout l’intérêt de la trigonométrie réside dans le fait qu’en utilisant les paramètres connus d’un triangle, vous devez calculer les inconnues. Il y a six paramètres au total : longueur trois côtés et les tailles des trois angles. La seule différence entre les tâches réside dans le fait que différentes données d'entrée sont fournies.

Vous savez maintenant comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente en fonction des longueurs connues des jambes ou de l'hypoténuse. Puisque ces termes ne signifient rien de plus qu’un rapport, et qu’un rapport est une fraction, objectif principal problème trigonométrique consiste à trouver les racines d’une équation ordinaire ou d’un système d’équations. Et ici, les mathématiques scolaires régulières vous aideront.

Lorsque des problèmes de résolution d'un triangle rectangle étaient envisagés, j'ai promis de présenter une technique pour mémoriser les définitions du sinus et du cosinus. En l'utilisant, vous vous souviendrez toujours rapidement quel côté appartient à l'hypoténuse (adjacent ou opposé). J'ai décidé de ne pas retarder trop longtemps, matériel requis ci-dessous, veuillez lire 😉

Le fait est que j'ai observé à plusieurs reprises à quel point les élèves de la 10e à la 11e année ont du mal à se souvenir de ces définitions. Ils se souviennent très bien que la jambe fait référence à l'hypoténuse, mais laquelle- ils oublient et confus. Le prix d’une erreur, comme on le sait lors d’un examen, est un point perdu.

Les informations que je présenterai directement n'ont rien à voir avec les mathématiques. Elle est liée à pensée imaginative, et avec des méthodes de communication verbale-logique. C'est exactement comme ça que je m'en souviens, une fois pour toutesdonnées de définition. Si vous les oubliez, vous pourrez toujours vous en souvenir facilement en utilisant les techniques présentées.

Permettez-moi de vous rappeler les définitions du sinus et du cosinus dans un triangle rectangle :

Cosinus L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :

Sinus L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :

Alors, quelles associations avez-vous avec le mot cosinus ?

Probablement chacun a le sien 😉Rappelez-vous le lien:

Ainsi, l'expression apparaîtra immédiatement dans votre mémoire -

«… rapport de la jambe ADJACENTE à l'hypoténuse».

Le problème de la détermination du cosinus a été résolu.

Si vous avez besoin de vous rappeler la définition du sinus dans un triangle rectangle, puis en vous souvenant de la définition du cosinus, vous pouvez facilement établir que le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse. Après tout, il n'y a que deux branches ; si la branche adjacente est « occupée » par le cosinus, alors seule la branche opposée reste avec le sinus.

Qu'en est-il de la tangente et de la cotangente ? La confusion est la même. Les étudiants savent qu'il s'agit d'une relation de jambes, mais le problème est de se rappeler laquelle fait référence à laquelle - soit l'opposé de l'adjacent, soit vice versa.

Définitions :

Tangente L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent :

Cotangente L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé :

Comment se souvenir ? Il y a deux manières. L’un utilise également une connexion verbale-logique, l’autre une connexion mathématique.

MÉTHODE MATHÉMATIQUE

Il existe une telle définition - la tangente d'un angle aigu est le rapport du sinus de l'angle à son cosinus :

*Après avoir mémorisé la formule, vous pouvez toujours déterminer que la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent.

De même.La cotangente d'un angle aigu est le rapport du cosinus de l'angle à son sinus :

Donc! En vous souvenant de ces formules, vous pouvez toujours déterminer que :

- la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent

— la cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé.

MÉTHODE LOGIQUE PAR MOTS

À propos de la tangente. Rappelez-vous le lien:

Autrement dit, si vous avez besoin de vous souvenir de la définition de la tangente, en utilisant cette connexion logique, vous pouvez facilement vous rappeler de quoi il s'agit.

"... le rapport du côté opposé au côté adjacent"

Si nous parlons de cotangente, alors en vous rappelant la définition de la tangente, vous pouvez facilement exprimer la définition de la cotangente -

"... le rapport du côté adjacent au côté opposé"

Il existe une astuce intéressante pour mémoriser la tangente et la cotangente sur le site " Tandem mathématique " , regarder.

MÉTHODE UNIVERSELLE

Vous pouvez simplement le mémoriser.Mais comme le montre la pratique, grâce aux connexions verbales-logiques, une personne se souvient longtemps des informations, et pas seulement mathématiques.

J'espère que le matériel vous a été utile.

Cordialement, Alexandre Krutitskikh

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Sinus l'angle aigu α d'un triangle rectangle est le rapport opposé jambe à l'hypoténuse.
Il est noté ainsi : sin α.

Cosinus L'angle aigu α d'un triangle rectangle est le rapport entre la jambe adjacente et l'hypoténuse.
Il est désigné ainsi : cos α.

Tangente L'angle aigu α est le rapport du côté opposé au côté adjacent.
Il est désigné ainsi : tg α.

Cotangente L'angle aigu α est le rapport du côté adjacent au côté opposé.
Il est désigné ainsi : ctg α.

Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle dépendent uniquement de la taille de l'angle.

Règles:

Basique identités trigonométriques dans un triangle rectangle :

(α – angle aigu opposé à la jambe b et adjacent à la jambe un . Côté Avec – l'hypoténuse. β – deuxième angle aigu).

À mesure que l'angle aigu augmentepéché α ettan α augmente, etcos α diminue.

Pour tout angle aigu α :

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Exemple-explication:

Soit un triangle rectangle ABC
AB = 6,
BC = 3,
angle A = 30º.

Découvrons le sinus de l'angle A et le cosinus de l'angle B.

Solution .

1) Tout d'abord, on trouve la valeur de l'angle B. Tout est simple ici : puisque dans un triangle rectangle la somme des angles aigus est de 90º, alors l'angle B = 60º :

B = 90º – 30º = 60º.

2) Calculons le péché A. Nous savons que le sinus égal au rapport côté opposé à l’hypoténuse. Pour l’angle A, le côté opposé est le côté BC. Donc:

avant JC 3 1
péché A = -- = - = -
AB 6 2

3) Calculons maintenant cos B. Nous savons que le cosinus est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse. Pour l'angle B jambe adjacente est toujours du même côté du soleil. Cela signifie que nous devons à nouveau diviser BC par AB, c'est-à-dire effectuer les mêmes actions que lors du calcul du sinus de l'angle A :

avant JC 3 1
cosB = -- = - = -
AB 6 2

Le résultat est:
péché A = cos B = 1/2.

péché 30º = cos 60º = 1/2.

Il s'ensuit que dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au cosinus d'un autre angle aigu - et vice versa. C’est exactement ce que signifient nos deux formules :
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Assurons-nous encore de cela :

1) Soit α = 60º. En substituant la valeur de α dans la formule sinusoïdale, nous obtenons :
péché (90º – 60º) = cos 60º.
péché 30º = cos 60º.

2) Soit α = 30º. En substituant la valeur de α dans la formule du cosinus, nous obtenons :
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = péché 30º.

(Pour plus d'informations sur la trigonométrie, voir la section Algèbre)

Le cosinus est un fonction trigonométrique, qui est également l'une des fonctions principales de la trigonométrie. Cosinus d'un angle dans un triangle type rectangulaire est le rapport du côté adjacent d'un triangle à l'hypoténuse du triangle. Le plus souvent, la définition du cosinus est associée à un triangle de type rectangulaire. Mais il arrive aussi que l'angle pour lequel il faut calculer le cosinus dans un triangle rectangle ne se situe pas dans ce triangle très rectangulaire. Que faire alors ? Comment trouver le cosinus d’un angle d’un triangle ?

Si vous devez calculer le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle, alors tout est très simple. Il vous suffit de vous rappeler la définition du cosinus, qui contient la solution à ce problème. Il suffit de retrouver le même rapport entre le côté adjacent, ainsi que l'hypoténuse du triangle. En effet, il n'est pas difficile d'exprimer ici le cosinus de l'angle. La formule est la suivante : - cosα = a/c, ici « a » est la longueur de la jambe, et le côté « c » est respectivement la longueur de l'hypoténuse. Par exemple, le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle peut être trouvé à l’aide de cette formule.

Si vous souhaitez savoir quel est le cosinus de l'angle dans triangle arbitraire, alors le théorème du cosinus vient à la rescousse, qui mérite d'être utilisé dans cas similaires. Le théorème du cosinus stipule que le carré du côté d'un triangle est a priori égal à la somme carrés des côtés restants du même triangle, mais sans le double du produit de ces côtés par le cosinus de l'angle qui se trouve entre eux.

1. Si vous devez trouver le cosinus d'un angle aigu dans un triangle, vous devez utiliser la formule suivante : cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Si vous avez besoin de trouver le cosinus dans un triangle angle obtus, alors vous devez utiliser la formule suivante : cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Les désignations dans la formule - a et b - sont les longueurs des côtés adjacents à l'angle souhaité, c - est la longueur du côté opposé à l'angle souhaité.

Le cosinus d'un angle peut également être calculé à l'aide du théorème du sinus. Il stipule que tous les côtés d’un triangle sont proportionnels aux sinus des angles opposés. En utilisant le théorème des sinus, vous pouvez calculer les éléments restants d'un triangle, en ayant des informations uniquement sur deux côtés et un angle opposé à un côté, ou sur deux angles et un côté. Considérez cela avec un exemple. Conditions problématiques : a=1 ; b = 2 ; c=3. L'angle opposé au côté « A » est noté α, alors, d'après les formules, on a : cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Réponse 1.

Si le cosinus d'un angle doit être calculé non pas dans un triangle, mais dans un autre arbitraire figure géométrique, alors les choses se compliquent un peu. La valeur de l'angle doit d'abord être déterminée en radians ou en degrés, et ensuite seulement, le cosinus doit être calculé à partir de cette valeur. Cosinus par valeur numérique déterminé à l'aide des tables de Bradis, calculatrices d'ingénierie ou des applications mathématiques spéciales.

Des applications mathématiques spéciales peuvent avoir des fonctions telles que le calcul automatique des cosinus des angles dans une figure particulière. La beauté de telles applications est qu'elles donnent la bonne réponse et que l'utilisateur ne perd pas son temps sur la solution. tâches complexes. Par contre, quand utilisation constante exclusivement des applications pour résoudre des problèmes, toutes les compétences nécessaires pour travailler avec la solution sont perdues problèmes mathématiques pour trouver les cosinus des angles dans des triangles, ainsi que d'autres figures arbitraires.