Équation du mouvement d'un oscillateur harmonique. Oscillateur harmonique idéal

Les corps qui, lorsqu'ils se déplacent, effectuent des oscillations harmoniques sont appelés oscillateurs harmoniques. Examinons quelques exemples d'oscillateurs harmoniques.

Exemple 1. Un pendule à ressort est un corps de massem, capable d'osciller sous l'action d'une force élastique en apesanteur (m ressorts  m corps ) ressorts (Fig. 4.2).

T

Figure 4.3. Pendule physique.

Exemple 2. Un pendule physique est un corps rigide qui oscille sous l'influence de la gravité autour d'un axe horizontal mobile qui ne coïncide pas avec son centre de gravité C (Fig. 4.3). L'axe passe par le point O. Si le pendule est dévié de la position d'équilibre d'un petit angle  et relâché, il oscillera, suivant l'équation de base de la dynamique du mouvement de rotation d'un corps rigide.
, Où J.- moment d'inertie pendule par rapport à l'axe, M est le moment de force ramenant le pendule physique à la position d'équilibre. Il est créé par la gravité, son moment est égal à
(je=OS). En conséquence nous obtenons
. Il s’agit de l’équation différentielle des vibrations pour angles arbitraires déviations. Aux petits angles, quand
,
ou, en prenant
, on obtient l'équation différentielle d'oscillation d'un pendule physique
.
Ses solutions ont la forme
ou
et période
.

. Ainsi, pour de petits écarts par rapport à la position d'équilibre, le pendule physique effectue des oscillations harmoniques avec une fréquence cyclique Exemple 3.mUn pendule mathématique est un point matériel avec une massem(une balle lourde de petite taille), suspendue à un poids léger (par rapport àje. boule), élastique, fil inextensible long moment d'inertie d'un point matériel J = ml 2, puis à partir des formules d'un pendule physique, nous obtenons des expressions pour la fréquence cyclique et la période d'oscillation d'un pendule mathématique

,
.

4. 4. Oscillations amorties. @

Dans les exemples considérés d'oscillations harmoniques, la seule force agissant sur point matériel(corps), était force quasi-élastique F et n’a pas pris en compte les forces de résistance présentes dans tout système réel. Par conséquent, les oscillations considérées peuvent être appelées oscillations harmoniques non amorties idéales.

La présence d'une force de résistance de l'environnement dans un système oscillatoire réel entraîne une diminution de l'énergie du système. Si la perte d’énergie n’est pas compensée par le travail de forces extérieures, les oscillations s’éteindront. Les oscillations amorties sont celles dont l'amplitude diminue avec le temps.

Considérons les oscillations libres amorties. Aux basses vitesses, la force de traînée F C est proportionnelle à la vitesse v et inversement proportionnelle à celle-ci dans la direction
, où r - coefficient de traînée environnement. En utilisant Deuxième loi de Newton, on obtient l'équation différentielle oscillations amorties
,
,
. Notons
,
. L’équation différentielle prend alors la forme :

Figure 4.4. Dépendance du déplacement et de l'amplitude des oscillations amorties dans le temps.

Il s'agit d'une équation différentielle d'oscillations amorties. Ici  0 est la fréquence naturelle des oscillations du système, c'est-à-dire la fréquence des oscillations libres à r=0,  - le coefficient d'amortissement détermine le taux de diminution de l'amplitude. Les solutions de cette équation sous la condition  0 sont

ou
.

Le graphique de la dernière fonction est présenté sur la Fig. 4.4. La ligne pointillée supérieure donne le graphique de la fonction
, A 0 - amplitude en moment de départ temps. L'amplitude diminue avec le temps selon une loi exponentielle,  - le coefficient d'atténuation est inverse en amplitude temps de détente , c'est-à-dire temps pendant lequel l'amplitude diminue de e fois, puisque

,
, = 1, . Fréquence et période des oscillations amorties
,
; à très faible résistance du milieu ( 2  0 2), la période d'oscillation est presque égale à
.

À mesure que  augmente, la période d'oscillation augmente et à > 0, la solution de l'équation différentielle montre que les oscillations ne se produisent pas, mais que le système se déplace de manière monotone vers la position d'équilibre. Ce type de mouvement est appelé apériodique. Pour caractériser le taux d'atténuation des oscillations, deux autres paramètres sont utilisés : le décrément d'amortissement D et . décrément logarithmique

Le décrément d'amortissement montre combien de fois l'amplitude des oscillations diminue au cours d'une période T.

N

Parce que , Que
, où N est le nombre d'oscillations par temps.

Oscillations d'un oscillateur harmonique Oscillateur harmonique appelé objet physique, dont l'évolution dans le temps est décrite par l'équation différentielle

Où q– coordonnée généralisée de l'oscillateur harmonique, t- temps, ? – fréquence caractéristique d'un oscillateur harmonique. Deux points au-dessus de la variable indiquent la dérivée seconde par rapport au temps. Ampleur q effectuer des oscillations harmoniques.
Problème de lecture de l'oscillateur harmonique rôle central tant en classique qu'en physique quantique.
Grande quantité systèmes physiques se comportent comme des oscillateurs harmoniques avec de petits écarts par rapport à l’équilibre. Il s'agit notamment des mathématiques et pendules physiques, vibrations des atomes dans les molécules et solides, circuits oscillatoires électriques et bien d'autres.
Les petites oscillations d'un pendule sont harmoniques

Énergie, fonction de Lagrange et Hamilton
Énergie cinétique l'oscillateur harmonique est donné par l'expression

L'énergie potentielle d'un oscillateur harmonique est donnée par l'expression

Ainsi, compte tenu de la valeur q coordonnée généralisée, la fonction de Lagrange de l'oscillateur harmonique s'écrit

.

Impulsion généralisée

Fonction Hamilton

.

Vibrations forcées
Sous l'influence d'une force périodique externe dont la fréquence ne coïncide pas nécessairement avec la fréquence propre de l'oscillateur harmonique, l'oscillateur effectue des oscillations harmoniques dont l'amplitude est déterminée par la valeur force externe et le rapport entre la fréquence externe et la fréquence naturelle de l'oscillateur.
Oscillations forcées d'un oscillateur harmonique avec fréquence ? 0 sous l'influence d'une force avec une fréquence décrite par l'équation ?

Où f 0 – amplitude de la force externe.
Une solution particulière de cette équation décrivant les oscillations forcées a la forme

.

Un oscillateur harmonique sous l'influence d'une force externe effectue des oscillations harmoniques d'une amplitude . Lorsque l'amplitude oscillations forcées tend vers l’infini. Ce phénomène est appelé résonance.
Oscillateur harmonique avec atténuation
En prenant en compte les forces de frottement ou de résistance d'une autre nature, qui conduisent à la dissipation de l'énergie de l'oscillateur et à sa conversion en chaleur, l'équation de l'oscillateur harmonique change. En particulier, un cas très courant est celui où les forces de résistance sont proportionnelles au taux de variation de la quantité q. Alors l’équation de l’oscillateur harmonique prend la forme

De telles oscillations diminuent avec le temps selon la loi

Oscillations forcées d'un oscillateur harmonique avec amortissement
Sous l'action d'une force externe périodique, même avec atténuation, des oscillations harmoniques s'établissent pour l'oscillateur avec une amplitude qui dépend de la force appliquée, du rapport de fréquence, ainsi que du degré d'atténuation.
L'amplitude des oscillations forcées, prenant en compte l'amortissement, est déterminée par la formule

.

Il s'agit d'une valeur finie à toutes les fréquences de la force externe.
Un pendule mathématique avec un petit écart initial par rapport à la verticale effectue des oscillations harmoniques avec une fréquence

Circuit oscillatoire oscillateur harmonique, avec fréquence

Où L est l'inductance, C est la capacité.
Voir Oscillateur quantique pour plus de détails.
Spectre valeurs propres et ses propres fonctions
Fonctions d'onde les six premiers états avec des nombres quantiques de n= 0 à 5. La coordonnée généralisée est tracée sur l'axe des ordonnées. L'hamiltonien de l'oscillateur harmonique est obtenu en remplaçant l'impulsion dans la fonction hamiltonienne. p sur

.

Le spectre de l'oscillateur harmonique est de équation stationnaire Schrödinger et est donné par la formule

.

Ici n– nombre quantique, va de zéro à l’infini. Les niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique sont équidistants. Caractéristique L'oscillateur harmonique est que même dans l'état fondamental, l'oscillateur harmonique a une énergie non nulle.

Cette faible énergie est appelée énergie du point zéro.
Fonctions propres oscillateur harmonique correspondant au nombre quantique n sont donnés par des formules

,

Où, un Hn(x)– Polynômes d’Hermite.
Quand même n les fonctions propres de l'oscillateur harmonique sont appariées, alors que pour Nepranu elles sont impaires. L'hamiltonien de l'oscillateur harmonique fait la navette avec l'opérateur de remplacement x sur - x(opérateur de parité), et a donc des fonctions propres communes avec cet opérateur.
Opérateurs de naissance et de destruction
Si l'on définit l'opérateur de naissance

Et l'opérateur de destruction

,

.

Les opérateurs de création et de destruction satisfont la relation de commutation :

Les fonctions propres de l'oscillateur harmonique ont alors la forme

Ou, en utilisant la notation vectorielle ket et bra :

L'action totale de l'opérateur de naissance sur l'opérateur harmonieux est dans l'état | n> conduit à une transition vers l'état | n+1> :

Action de l'opérateur de destruction sur l'Etat | n> conduit à une transition vers l'état | n-1> :

Opérateur

On l’appelle opérateur de nombre de particules car la relation est valable pour lui.

Règles de sélection
Lorsqu'un photon est émis ou absorbé, les transitions autorisées pour un oscillateur harmonique sont celles dans lesquelles le nombre quantique n change de un. Compte tenu du caractère équidistant des niveaux, cette règle de sélection conduit au fait que, malgré nombre infini niveaux, dans le spectre absorption optique ou n'y a-t-il qu'une seule ligne de rayonnement provenant d'un oscillateur harmonique avec une fréquence ?
Dans les spectres vibrationnels réels des molécules, des écarts par rapport à cette règle sont possibles en raison de l'anharmonicité du potentiel d'interaction interatomique réel, des transitions quadripolaires, etc.

Oscillateur harmonique

Oscillateur harmonique(en mécanique classique) - un système qui, lorsqu'il est déplacé d'une position d'équilibre, subit une force de rappel F, proportionnel au déplacement x(selon la loi de Hooke) :

Où k- coefficient de rigidité du système.

Si F est la seule force agissant sur le système, alors le système est appelé simple ou oscillateur harmonique conservateur. Les vibrations libres d'un tel système sont mouvement périodique proche de la position d’équilibre (vibrations harmoniques). La fréquence et l'amplitude sont constantes et la fréquence ne dépend pas de l'amplitude.

Des exemples mécaniques d'oscillateur harmonique sont un pendule mathématique (avec de petits angles de déviation), un pendule de torsion et des systèmes acoustiques. Parmi d'autres analogues d'un oscillateur harmonique, il convient de souligner l'oscillateur harmonique électrique (voir circuit LC).

Vibrations gratuites

Oscillateur harmonique conservateur

Comme modèle d'oscillateur harmonique conservateur, nous prenons une charge de masse m, fixé au ressort par rigidité k .

Laisser x- déplacement de la charge par rapport à la position d'équilibre. Ensuite, selon la loi de Hooke, une force de rappel agira sur lui :

Alors énergie totale a une valeur constante

Mouvement harmonique simple- c'est le mouvement d'un simple oscillateur harmonique, mouvement périodique qui n’est ni forcé ni amorti. Un corps en mouvement harmonique simple est exposé à une seule force variable, qui en valeur absolue est directement proportionnelle au déplacement. x de la position d’équilibre et est dirigé dans la direction opposée.

Ce mouvement est périodique : le corps oscille autour de la position d'équilibre selon une loi sinusoïdale. Chaque oscillation suivante est la même que la précédente et la période, la fréquence et l'amplitude des oscillations restent constantes. Si nous supposons que la position d'équilibre est en un point de coordonnée, égal à zéro, puis le décalage x le corps à partir de la position d'équilibre à tout moment est donné par la formule :

Où UN- amplitude des oscillations, f- fréquence, φ - phase initiale.

La fréquence des mouvements est déterminée propriétés caractéristiques système (par exemple, la masse d'un corps en mouvement), tandis que l'amplitude et la phase initiale sont déterminées par les conditions initiales - le déplacement et la vitesse du corps au moment où les oscillations commencent. Les énergies cinétiques et potentielles du système dépendent également de ces propriétés et conditions.

Un simple mouvement harmonique peut être modèles mathématiques différents types mouvements tels que l'oscillation d'un ressort. D'autres cas qui peuvent être grossièrement considérés comme un simple mouvement harmonique sont le mouvement d'un pendule et la vibration des molécules.

Le mouvement harmonique simple constitue la base de certaines méthodes d’analyse de types de mouvement plus complexes. L'une de ces méthodes est la méthode basée sur la transformée de Fourier, dont l'essence se résume à l'expansion de plus type complexe mouvements en une série de mouvements harmoniques simples.

Tout système dans lequel un mouvement harmonique simple se produit possède deux propriétés clés :

1. Lorsqu’un système est déséquilibré, il doit y avoir une force de rappel qui tend à ramener le système à l’équilibre.
2. La force de rappel doit être exactement ou approximativement proportionnelle au déplacement.

Le système ressort de charge satisfait à ces deux conditions.

Une fois qu'une charge déplacée est soumise à une force de rappel, elle accélère et tend à revenir à sa position initiale. point de départ, c'est-à-dire à la position d'équilibre. À mesure que la charge s'approche de la position d'équilibre, la force de rappel diminue et tend vers zéro. Cependant, dans la situation x = 0 la charge a une certaine quantité de mouvement (impulsion), acquise grâce à l'action de la force de rappel. Par conséquent, la charge dépasse la position d'équilibre, commençant à nouveau à déformer le ressort (mais déjà en direction opposée). La force de rappel aura tendance à le ralentir jusqu'à ce que la vitesse devienne nulle ; et la force s'efforcera à nouveau de ramener la charge à sa position d'équilibre.

Tant qu'il n'y a pas de perte d'énergie dans le système, la charge oscillera comme décrit ci-dessus ; un tel mouvement est appelé périodique.

Une analyse plus approfondie montrera que dans le cas d’un système charge-ressort, le mouvement est simple harmonique.

Dynamique du simple mouvement harmonique

Pour les vibrations dans un espace unidimensionnel, en tenant compte de la deuxième loi de Newton ( F= m  d² x/d t² ) et la loi de Hooke ( F = −kx, comme décrit ci-dessus), nous avons une équation différentielle linéaire du second ordre :

La solution de cette équation différentielle est sinusoïdale ; une solution est :

Où UN, ω et φ - constantes, et la position d'équilibre est prise comme position initiale. Chacune de ces constantes représente une valeur importante propriété physique mouvements : UN est l'amplitude, ω = 2π f- fréquence circulaire, et φ - phase initiale.

Mouvement circulaire universel

Le mouvement harmonique simple peut dans certains cas être considéré comme une projection unidimensionnelle du mouvement circulaire universel. Si un objet se déplace avec une vitesse angulaire constante ω le long d'un cercle de rayon r, dont le centre est l'origine du plan x−y, alors un tel mouvement le long de chacun des axes de coordonnées est une harmonique simple d'amplitude r et fréquence circulaire ω.

Un poids comme un simple pendule

Dans le rapprochement des petits angles, le mouvement d'un pendule simple est proche de l'harmonique simple. La période d'oscillation d'un tel pendule attaché à une tige de longueur ℓ avec accélération chute libre g est donné par la formule

Cela montre que la période d'oscillation ne dépend pas de l'amplitude et de la masse du pendule, mais dépend de l'accélération de la gravité. g, donc, avec la même longueur du pendule, sur la Lune il oscillera plus lentement, car la gravité y est plus faible et moins de valeur accélération de la chute libre.

Cette approximation n'est correcte que pour les petits angles de déviation, puisque l'expression de l'accélération angulaire est proportionnelle au sinus de la coordonnée :

qu'est-ce que ça fait accélération angulaire directement proportionnel à l'angle θ, et cela satisfait à la définition du mouvement harmonique simple.

Oscillateur harmonique amorti

En prenant comme base le même modèle, nous y ajouterons la force de frottement visqueux. La force de frottement visqueux est dirigée contre la vitesse de déplacement de la charge par rapport au fluide et est proportionnelle à cette vitesse. Alors pleine force, agissant sur la charge, s'écrit :

En effectuant des actions similaires, nous obtenons une équation différentielle décrivant oscillateur amorti:

Ici, la désignation est introduite : . Le coefficient est appelé constante d’atténuation. Il a également la dimension de la fréquence.

La solution se décompose en trois cas.

L'amortissement critique est remarquable en ce sens que c'est à l'amortissement critique que l'oscillateur tend le plus rapidement vers la position d'équilibre. Si le frottement est moins que critique, il atteindra la position d’équilibre plus rapidement, mais la « dépassera » en raison de l’inertie et oscillera. Si le frottement est supérieur au seuil critique, alors l'oscillateur tendra de manière exponentielle vers la position d'équilibre, mais plus lentement, plus le frottement est important.

Par conséquent, dans les indicateurs à cadran (par exemple, dans les ampèremètres), ils tentent généralement d'introduire une atténuation critique afin que ses lectures puissent être lues le plus rapidement possible.

L'amortissement d'un oscillateur est aussi souvent caractérisé par un paramètre sans dimension appelé facteur de qualité. Le facteur de qualité est généralement désigné par la lettre . Par définition, le facteur de qualité est égal à :

Plus le facteur de qualité est élevé, plus la décroissance des oscillations de l’oscillateur est lente.

Un oscillateur avec amortissement critique a un facteur de qualité de 0,5. En conséquence, le facteur de qualité indique le comportement de l'oscillateur. Si le facteur de qualité est supérieur à 0,5, alors le libre mouvement de l'oscillateur représente des oscillations ; Au fil du temps, il franchira la position d’équilibre un nombre illimité de fois. Un facteur de qualité inférieur ou égal à 0,5 correspond à un mouvement non oscillant de l'oscillateur ; V libre circulation il franchira la position d'équilibre au plus une fois.

Le facteur de qualité est parfois appelé facteur de gain de l'oscillateur, car avec certaines méthodes d'excitation, lorsque la fréquence d'excitation coïncide avec celle de résonance, l'amplitude des oscillations s'avère environ fois supérieure à celle d'une excitation à basse fréquence.

De plus, le facteur de qualité est approximativement égal au nombre de cycles oscillatoires pendant lesquels l'amplitude d'oscillation diminue d'un facteur multiplié par .

Au cas où mouvement oscillatoire l'atténuation est également caractérisée par des paramètres tels que :

• Durée de vie vibrations (alias temps de décroissance, c'est pareil temps de détente) τ - temps pendant lequel l'amplitude des oscillations diminuera en e une fois.

Vibrations forcées

Les oscillations de l'oscillateur sont dites forcées lorsqu'une influence externe supplémentaire lui est appliquée. Cet effet peut être produit par divers moyens et par diverses lois. Par exemple, l'excitation d'une force est l'effet sur une charge d'une force qui ne dépend que du temps selon une certaine loi. L'excitation cinématique est l'effet sur l'oscillateur du mouvement du point d'attache du ressort le long de loi donnée. Il est également possible d'être affecté par le frottement lorsque, par exemple, le milieu avec lequel la charge subit un frottement se déplace selon une loi donnée.

Découvertes dans le domaine quantique et autres domaines. Dans le même temps, de nouveaux appareils et dispositifs sont inventés grâce auxquels il est possible de réaliser diverses études et expliquer les phénomènes du micromonde. L'un de ces mécanismes est un oscillateur harmonique dont le principe de fonctionnement était connu des représentants des civilisations anciennes.

Appareil et ses types

Un oscillateur harmonique est système mécanique, en mouvement, qui est décrit par une différentielle à coefficients valeur constante. La plupart exemples simples de tels dispositifs - une charge sur un ressort, un pendule, des systèmes acoustiques, un mouvement particules moléculaires etc.

Classiquement, on distingue les types suivants de cet appareil :

Application de l'appareil

Cet appareil est utilisé dans divers domaines, principalement pour étudier la nature systèmes oscillatoires. Un oscillateur harmonique quantique est utilisé pour étudier le comportement des éléments photoniques. Les résultats des expériences peuvent être utilisés dans divers domaines. Ainsi, des physiciens d'un institut américain ont découvert que des atomes de béryllium situés à des distances assez grandes les uns des autres peuvent interagir au niveau quantique. De plus, le comportement de ces particules est similaire à celui des corps (boules métalliques) dans le macrocosme, se déplaçant dans un ordre de va-et-vient, semblable à un oscillateur harmonieux. Les ions béryllium, bien qu'ils soient physiquement longues distances, ont échangé les plus petites unités d'énergie (quanta). Cette découverte permet des progrès significatifs dans les technologies informatiques et fournit également une nouvelle solution dans la production d'équipements informatiques et électroniques.

L'oscillateur harmonique est utilisé pour estimer œuvres musicales. Cette méthode est appelée examen spectroscopique. Il a été constaté que le système le plus stable est une composition de quatre musiciens (quatuor). UN œuvres modernes La plupart d'entre eux sont anharmoniques.

Un oscillateur harmonique est une particule qui subit un mouvement unidimensionnel sous l'action d'une force quasi élastique. L'énergie potentielle d'une telle particule a la forme

Exprimer k dans la formule (27.1) en termes de

Dans le cas unidimensionnel, l’équation de Schrödinger (voir (21.5)) pour l’oscillateur ressemble donc à ceci :

Énergie totale, oscillateur). Théoriquement équations différentielles il est prouvé que l'équation (27.2) a des solutions finies, sans ambiguïté et continues pour les valeurs du paramètre E égales à

Sur la fig. 27.1 montre le diagramme niveaux d'énergie oscillateur harmonique. Pour plus de clarté, les niveaux sont inscrits dans la courbe énergie potentielle. Il convient toutefois de rappeler que dans mécanique quantique l'énergie totale ne peut pas être représentée comme la somme des énergies T et U précisément définies (voir le dernier paragraphe du paragraphe précédent).

Les niveaux d’énergie d’un oscillateur harmonique sont équidistants, c’est-à-dire espacés de la même distance les uns des autres. Moins signification possible l'énergie est égale à . Cette valeur est appelée énergie du point zéro.

L'existence de l'énergie du point zéro est confirmée par des expériences étudiant la diffusion de la lumière par les cristaux à basses températures. Il s'avère que l'intensité de la lumière diffusée ne tend pas vers zéro à mesure que la température diminue, mais vers un certain valeur finale, indiquant que lorsque zéro absolu vibrations des atomes dans réseau cristallin ne t'arrête pas.

La mécanique quantique nous permet de calculer des probabilités diverses transitions système quantique d'un état à un autre. De tels calculs montrent que pour un oscillateur harmonique, seules les transitions entre niveaux adjacents sont possibles. Lors de telles transitions, le nombre quantique change de un :

Conditions imposées aux changements nombres quantiques lors des transitions du système d'un état à un autre, sont appelées règles de sélection.

Ainsi, pour un oscillateur harmonique, il existe une règle de sélection exprimée par la formule (27.4).

Il résulte de la règle (27.4) que l'énergie d'un oscillateur harmonique ne peut changer que par portions /rto. Ce résultat, obtenu naturellement en mécanique quantique, coïncide avec celui qui est très étranger à la mécanique quantique. physique classique une hypothèse que Planck a dû faire pour calculer l'émissivité d'un corps complètement noir (voir § 7). Notez que Planck a supposé que l'énergie d'un oscillateur harmonique ne peut être qu'un multiple entier de Ha. En réalité, il y a aussi zéro énergie, dont l'existence n'a été établie qu'après la création de la mécanique quantique.