2 distance d'un point à un plan. Distance du point au plan

Tout d’abord, considérons un cercle de rayon 1 et de centre à (0;0). Pour tout αЄR, le rayon 0A peut être tracé de telle sorte que la mesure en radians de l'angle entre 0A et l'axe 0x soit égale à α. Le sens antihoraire est considéré comme positif. Laissez l'extrémité du rayon A avoir les coordonnées (a,b).

Définition du sinus

Définition : Le nombre b, égal à l'ordonnée du rayon unité construit de la manière décrite, est noté sinα et est appelé sinus de l'angle α.

Exemple : sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Définition du cosinus

Définition : Le nombre a, égal à l'abscisse de l'extrémité du rayon unité construit de la manière décrite, est noté cosα et est appelé cosinus de l'angle α.

Exemple : cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2

Ces exemples utilisent la définition du sinus et du cosinus d'un angle en termes de coordonnées de l'extrémité du rayon unité et cercle unitaire. Pour une représentation plus visuelle, vous devez tracer un cercle unité et y tracer les points correspondants, puis compter leurs abscisses pour calculer le cosinus et les ordonnées pour calculer le sinus.

Définition de la tangente

Définition : La fonction tgx=sinx/cosx pour x≠π/2+πk, kЄZ, est appelée la cotangente de l'angle x. Domaine de définition fonctions tgx c'est tout nombres réels, sauf x=π/2+πn, nЄZ.

Exemple : tg0 tgπ = 0 0 = 0

Cet exemple est similaire au précédent. Pour calculer la tangente d'un angle, il faut diviser l'ordonnée d'un point par son abscisse.

Définition de cotangente

Définition : La fonction ctgx=cosx/sinx pour x≠πk, kЄZ est appelée cotangente de l'angle x. Le domaine de définition de la fonction ctgx = est constitué de tous les nombres réels sauf les points x=πk, kЄZ.

Regardons un exemple utilisant un triangle rectangle régulier

Pour clarifier ce que sont le cosinus, le sinus, la tangente et la cotangente. Regardons un exemple utilisant un triangle rectangle régulier d'angle y et côtés a,b,c. Hypoténuse c, pattes a et b respectivement. L'angle entre l'hypoténuse c et la jambe b y.

Définition: Le sinus de l'angle y est le rapport jambe opposéeà l'hypoténuse : siny = a/c

Définition: Le cosinus de l'angle y est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse : cosy= in/c

Définition: La tangente de l'angle y est le rapport du côté opposé au côté adjacent : tgy = a/b

Définition: La cotangente de l'angle y est le rapport du côté adjacent au côté opposé : ctgy= in/a

Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont également appelés fonctions trigonométriques. Chaque angle a son propre sinus et cosinus. Et presque tout le monde a sa propre tangente et cotangente.

On pense que si on nous donne un angle, alors son sinus, son cosinus, sa tangente et sa cotangente nous sont connus ! Et vice versa. Étant donné respectivement un sinus ou toute autre fonction trigonométrique, nous connaissons l’angle. Même des tableaux spéciaux ont été créés où fonctions trigonométriques pour chaque angle.

Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente d'un angle vous aidera à comprendre triangle rectangle.

Comment s’appellent les côtés d’un triangle rectangle ? C'est vrai, l'hypoténuse et les jambes : l'hypoténuse est le côté qui se trouve à l'opposé de l'angle droit (dans notre exemple c'est le côté \(AC\)) ; les jambes sont les deux côtés restants \(AB\) et \(BC\) (ceux adjacents à angle droit), et, si l'on considère les jambes par rapport à l'angle \(BC\), alors la jambe \(AB\) est la jambe adjacente, et la jambe \(BC\) est l'opposée. Alors maintenant, répondons à la question : que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ?

Sinus d'angle– c'est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.

Dans notre triangle :

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus de l'angle– c’est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l’hypoténuse.

Dans notre triangle :

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangente de l'angle– c’est le rapport entre le côté opposé (distant) et le côté adjacent (proche).

Dans notre triangle :

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangente d'angle– c'est le rapport entre la jambe adjacente (proche) et la jambe opposée (lointaine).

Dans notre triangle :

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ces définitions sont nécessaires souviens-toi! Pour qu'il soit plus facile de se rappeler quelle jambe diviser en quoi, vous devez clairement comprendre que dans tangente Et cotangente seules les jambes sont assises et l'hypoténuse n'apparaît que dans sinus Et cosinus. Et puis vous pouvez créer une chaîne d’associations. Par exemple, celui-ci :

Cosinus → toucher → toucher → adjacent ;

Cotangente → toucher → toucher → adjacent.

Tout d'abord, vous devez vous rappeler que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, comme les rapports des côtés d'un triangle, ne dépendent pas des longueurs de ces côtés (au même angle). Vous ne me croyez pas ? Assurez-vous ensuite en regardant la photo :

Considérons, par exemple, le cosinus de l'angle \(\beta \) . Par définition, à partir d'un triangle \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), mais on peut calculer le cosinus de l'angle \(\beta \) à partir du triangle \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vous voyez, les longueurs des côtés sont différentes, mais la valeur du cosinus d'un angle est la même. Ainsi, les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente dépendent uniquement de la grandeur de l'angle.

Si vous comprenez les définitions, alors allez-y et consolidez-les !

Pour le triangle \(ABC \) représenté dans la figure ci-dessous, on trouve \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Eh bien, tu l'as eu ? Alors essayez-le vous-même : calculez la même chose pour l'angle \(\beta \) .

Réponses : \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Cercle unitaire (trigonométrique)

Comprenant les notions de degrés et de radians, nous avons considéré un cercle de rayon égal à \(1\) . Un tel cercle s'appelle célibataire. Ce sera très utile lors de l’étude de la trigonométrie. Par conséquent, regardons-le un peu plus en détail.

Comme vous pouvez le voir, cercle donné intégré Système cartésien coordonnées Rayon du cercle égal à un, tandis que le centre du cercle se trouve à l'origine, position de départ Le rayon vecteur est fixé le long de la direction positive de l'axe \(x\) (dans notre exemple, il s'agit du rayon \(AB\)).

Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée le long de l'axe \(x\) et la coordonnée le long de l'axe \(y\). Quels sont ces numéros de coordonnées ? Et en général, qu’ont-ils à voir avec le sujet abordé ? Pour ce faire, nous devons nous souvenir du triangle rectangle considéré. Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérons le triangle \(ACG\) . Il est rectangulaire car \(CG\) est perpendiculaire à l'axe \(x\).

Qu'est-ce que \(\cos \ \alpha \) du triangle \(ACG \) ? C'est exact \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). De plus, nous savons que \(AC\) est le rayon du cercle unité, ce qui signifie \(AC=1\) . Remplaçons cette valeur dans notre formule du cosinus. Voici ce qui se passe :

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

À quoi est égal \(\sin \ \alpha \) du triangle \(ACG \) ? Eh bien bien sûr \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Remplacez la valeur du rayon \(AC\) dans cette formule et obtenez :

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Alors, pouvez-vous dire quelles sont les coordonnées du point \(C\) appartenant au cercle ? Eh bien, pas question ? Et si vous réalisiez que \(\cos \ \alpha \) et \(\sin \alpha \) ne sont que des nombres ? À quelle coordonnée correspond \(\cos \alpha \) ? Eh bien, bien sûr, la coordonnée \(x\) ! Et à quelle coordonnée correspond \(\sin \alpha \) ? C'est vrai, coordonnez \(y\) ! Donc le point \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

À quoi sont alors égaux \(tg \alpha \) et \(ctg \alpha \) ? C'est vrai, utilisons les définitions correspondantes de tangente et de cotangente et obtenons cela \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), UN \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Et si l'angle est plus grand ? Par exemple, comme sur cette photo :

Qu'est-ce qui a changé dans dans cet exemple? Voyons cela. Pour ce faire, revenons à un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : angle (comme adjacent à l'angle \(\beta \) ). Quelle est la valeur du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour un angle \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? C'est vrai, nous adhérons aux définitions correspondantes des fonctions trigonométriques :

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Eh bien, comme vous pouvez le constater, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée \(y\) ; la valeur du cosinus de l'angle - coordonnée \(x\) ; et les valeurs de tangente et de cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations s’appliquent à toute rotation du rayon vecteur.

Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur se situe dans la direction positive de l’axe \(x\). Jusqu’à présent, nous avons fait pivoter ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons pivoter dans le sens des aiguilles d’une montre ? Rien d'extraordinaire, vous obtiendrez aussi un angle d'une certaine valeur, mais seulement il sera négatif. Ainsi, en faisant tourner le rayon vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous obtenons angles positifs , et en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre – négatif.

Ainsi, nous savons que la révolution entière du rayon vecteur autour du cercle est \(360()^\circ \) ou \(2\pi \) . Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur de \(390()^\circ \) ou de \(-1140()^\circ \) ? Eh bien, bien sûr, vous pouvez ! Dans le premier cas, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), ainsi, le rayon vecteur fera un tour complet et s'arrêtera à la position \(30()^\circ \) ou \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Dans le deuxième cas, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois révolutions complètes et s'arrêtera à la position \(-60()^\circ \) ou \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent de \(360()^\circ \cdot m \) ou \(2\pi \cdot m \) (où \(m \) est n'importe quel nombre entier), correspondent à la même position du rayon vecteur.

La figure ci-dessous montre l'angle \(\beta =-60()^\circ \) . La même image correspond au coin \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Tous ces angles peuvent être écrits par la formule générale \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ou \(\beta +2\pi \cdot m \) (où \(m \) est n'importe quel nombre entier)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et en utilisant le cercle unité, essayez de répondre quelles sont les valeurs :

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Voici un cercle unitaire pour vous aider :

Vous rencontrez des difficultés ? Alors découvrons-le. Nous savons donc que :

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(tableau)\)

A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures d'angle. Bon, commençons dans l'ordre : le coin dans \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) correspond à un point de coordonnées \(\left(0;1 \right) \) , donc :

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- n'existe pas ;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

De plus, en adhérant à la même logique, nous découvrons que les coins de \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) correspondent à des points avec des coordonnées \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \droite) \), respectivement. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.

Réponses :

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0\)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- n'existe pas

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- n'existe pas

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- n'existe pas

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- n'existe pas

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Ainsi, nous pouvons faire le tableau suivant :

Il n’est pas nécessaire de mémoriser toutes ces valeurs. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Vous devez vous en souvenir ou être capable de le sortir !! \) !}

Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles dans et \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) indiqué dans le tableau ci-dessous, vous devez vous rappeler :

N'ayez pas peur, nous allons maintenant vous montrer un exemple de mémorisation assez simple des valeurs correspondantes :

Pour utiliser cette méthode, il est essentiel de se souvenir des valeurs sinusoïdales pour les trois mesures d'angle ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), ainsi que la valeur de la tangente de l'angle en \(30()^\circ \) . Connaissant ces valeurs \(4\), il est assez simple de restituer l'ensemble du tableau - les valeurs du cosinus sont transférées conformément aux flèches, soit :

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(tableau) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs de \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Le numérateur "\(1 \)" correspondra à \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) et le dénominateur "\(\sqrt(\text(3)) \)" correspondra à \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Les valeurs cotangentes sont transférées conformément aux flèches indiquées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec les flèches, il suffira alors de mémoriser uniquement les valeurs \(4\) du tableau.

Coordonnées d'un point sur un cercle

Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaissant les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation ? Eh bien, bien sûr, vous pouvez ! Sortons-le formule générale pour trouver les coordonnées d'un point. Par exemple, voici un cercle devant nous :

On nous donne ce point \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centre du cercle. Le rayon du cercle est \(1.5\) . Il faut trouver les coordonnées du point \(P\) obtenues en faisant pivoter le point \(O\) de \(\delta \) degrés.

Comme le montre la figure, la coordonnée \(x\) du point \(P\) correspond à la longueur du segment \(TP=UQ=UK+KQ\) . La longueur du segment \(UK\) correspond à la coordonnée \(x\) du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale à \(3\) . La longueur du segment \(KQ\) peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Alors on a que pour le point \(P\) la coordonnée \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

En utilisant la même logique, on trouve la valeur de la coordonnée y du point \(P\) . Ainsi,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Ainsi, en général, les coordonnées des points sont déterminées par les formules :

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(tableau) \), Où

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordonnées du centre du cercle,

\(r\) - rayon du cercle,

\(\delta \) - angle de rotation du rayon vectoriel.

Comme vous pouvez le constater, pour le cercle unité que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, puisque les coordonnées du centre sont égales à zéro et le rayon est égal à un :

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Les enseignants estiment que chaque élève devrait être capable d'effectuer des calculs, de savoir formules trigonométriques, mais tous les enseignants n'expliquent pas ce que sont le sinus et le cosinus. Quelle est leur signification, où sont-ils utilisés ? Pourquoi parlons-nous de triangles, mais le manuel montre un cercle ? Essayons de relier tous les faits ensemble.

Matière scolaire

L'étude de la trigonométrie commence généralement entre la 7e et la 8e année. lycée. À ce moment-là, on explique aux élèves ce que sont le sinus et le cosinus et on leur demande de résoudre des problèmes géométriques à l’aide de ces fonctions. D'autres apparaissent plus tard formules complexes et les expressions requises algébriquement transformation (formules double et demi-angle, fonctions de puissance), le travail est effectué avec un cercle trigonométrique.

Cependant, les enseignants ne sont pas toujours en mesure d'expliquer clairement le sens des concepts utilisés et l'applicabilité des formules. Par conséquent, l'étudiant ne voit souvent pas l'intérêt de ce sujet, et les informations mémorisées sont rapidement oubliées. Cependant, cela vaut la peine d'expliquer une fois par exemple à un lycéen le lien entre la fonction et mouvement oscillatoire, et le lien logique restera dans les mémoires pendant de nombreuses années, et les blagues sur l'inutilité du sujet appartiendront au passé.

Usage

Par curiosité, examinons différentes branches de la physique. Vous souhaitez déterminer la portée d'un projectile ? Ou calculez-vous la force de friction entre un objet et une certaine surface ? Faire pivoter le pendule, observer les rayons traverser le verre, calculer l'induction ? Dans presque toutes les formules, ils apparaissent concepts trigonométriques. Alors, que sont le sinus et le cosinus ?

Définitions

Le sinus d'un angle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse, le cosinus est le rapport du côté adjacent à la même hypoténuse. Il n'y a absolument rien de compliqué ici. Peut-être que les étudiants sont généralement confus par les significations qu'ils voient dans table trigonométrique, car des racines carrées y apparaissent. Oui, obtenir des décimales n'est pas très pratique, mais qui a dit que tous les nombres en mathématiques devaient être égaux ?

En fait, vous pouvez trouver une astuce amusante dans les livres de problèmes de trigonométrie : la plupart des réponses ici sont paires et, dans le pire des cas, contiennent la racine de deux ou trois. La conclusion est simple : si votre réponse s'avère être une fraction « à plusieurs étages », revérifiez la solution pour déceler des erreurs de calcul ou de raisonnement. Et vous les trouverez très probablement.

Ce qu'il faut retenir

Comme toute science, la trigonométrie contient des données qui doivent être apprises.

Tout d'abord, vous devez vous rappeler valeurs numériques pour les sinus, les cosinus d'un triangle rectangle 0 et 90, ainsi que 30, 45 et 60 degrés. Ces indicateurs surviennent dans neuf cas sur dix tâches scolaires. En regardant ces valeurs dans un manuel, vous perdrez beaucoup de temps et il n'y aura nulle part où les regarder lors d'un test ou d'un examen.

Il ne faut pas oublier que la valeur des deux fonctions ne peut pas dépasser un. Si quelque part dans vos calculs vous obtenez une valeur en dehors de la plage 0-1, arrêtez et réessayez le problème.

La somme des carrés du sinus et du cosinus est égale à un. Si vous avez déjà trouvé l'une des valeurs, utilisez cette formule pour trouver la valeur restante.

Théorèmes

Il existe deux théorèmes de base en trigonométrie de base : les sinus et les cosinus.

La première stipule que le rapport de chaque côté d’un triangle au sinus de l’angle opposé est le même. La seconde est que le carré de n'importe quel côté peut être obtenu en additionnant les carrés des deux côtés restants et en soustrayant leur double produit, multiplié par le cosinus de l'angle qui les sépare.

Ainsi, si l'on substitue la valeur d'un angle de 90 degrés dans le théorème du cosinus, on obtient... le théorème de Pythagore. Désormais, si vous devez calculer l'aire d'une figure qui n'est pas un triangle rectangle, vous n'avez plus à vous inquiéter - les deux théorèmes discutés simplifieront considérablement la solution du problème.

Buts et objectifs

L'apprentissage de la trigonométrie deviendra beaucoup plus facile lorsque vous réaliserez un fait simple : toutes les actions que vous effectuez visent à atteindre un seul objectif. Tous les paramètres d'un triangle peuvent être trouvés si vous connaissez le strict minimum d'informations à son sujet - cela peut être la valeur d'un angle et la longueur de deux côtés ou, par exemple, de trois côtés.

Pour déterminer le sinus, le cosinus, la tangente de n'importe quel angle, ces données sont suffisantes et avec leur aide, vous pouvez facilement calculer l'aire de la figure. Presque toujours, la réponse nécessite l’une des valeurs mentionnées, et elles peuvent être trouvées en utilisant les mêmes formules.

Incohérences dans l'apprentissage de la trigonométrie

L'une des questions déroutantes que les écoliers préfèrent éviter est de découvrir le lien entre différentes notions en trigonométrie. Il semblerait que les triangles soient utilisés pour étudier les sinus et les cosinus des angles, mais pour une raison quelconque, les symboles se retrouvent souvent dans la figure avec un cercle. De plus, il existe un graphique ondulatoire complètement incompréhensible appelé onde sinusoïdale, qui n'a aucune ressemblance extérieure avec un cercle ou des triangles.

De plus, les angles sont mesurés soit en degrés, soit en radians, et le nombre Pi, écrit simplement 3,14 (sans unités), apparaît pour une raison quelconque dans les formules, correspondant à 180 degrés. Comment tout cela est-il connecté ?

Unités de mesure

Pourquoi Pi est-il exactement 3,14 ? Vous rappelez-vous quelle est cette signification ? C'est le nombre de rayons qui forment un arc sur un demi-cercle. Si le diamètre du cercle est de 2 centimètres, la circonférence sera de 3,14 * 2, soit 6,28.

Deuxième point : vous avez peut-être remarqué la similitude entre les mots « radian » et « radius ». Le fait est qu’un radian est numériquement égale à la valeur l'angle sous-tendu du centre du cercle sur un arc d'un rayon de long.

Nous allons maintenant combiner les connaissances acquises et comprendre pourquoi « Pi en deux » est écrit en haut de l'axe de coordonnées en trigonométrie, et « Pi » est écrit à gauche. Ce magnitude angulaire, mesuré en radians, car un demi-cercle fait 180 degrés, soit 3,14 radians. Et là où il y a des degrés, il y a des sinus et des cosinus. Il est facile de tracer un triangle à partir du point souhaité, en réservant les segments au centre et à l'axe de coordonnées.

Regardons vers l'avenir

La trigonométrie, étudiée à l'école, traite d'un système de coordonnées rectilignes, où, aussi étrange que cela puisse paraître, une ligne droite est une ligne droite.

Mais il y a plus des moyens complexes travailler avec l'espace : la somme des angles du triangle sera ici supérieure à 180 degrés, et la ligne droite à notre avis ressemblera à un véritable arc.

Passons des paroles aux actes ! Prends une pomme. Faites trois coupes avec un couteau pour que, vu du dessus, vous obteniez un triangle. Retirez le morceau de pomme obtenu et regardez les « côtes » où se termine la peau. Ils ne sont pas hétéros du tout. Le fruit dans vos mains peut être classiquement appelé rond, mais imaginez maintenant à quel point les formules doivent être complexes avec lesquelles vous pouvez trouver l'aire du morceau coupé. Mais certains spécialistes résolvent ces problèmes quotidiennement.

Fonctions trigonométriques dans la vie

Avez-vous remarqué que le trajet le plus court pour un avion d'un point A à un point B à la surface de notre planète a une forme d'arc prononcée ? La raison est simple : la Terre est sphérique, ce qui signifie que vous ne pouvez pas grand-chose calculer à l’aide de triangles – vous devez utiliser des formules plus complexes.

Vous ne pouvez pas vous passer du sinus/cosinus angle aigu dans toutes les questions liées à l'espace. Il est intéressant de noter que de nombreux facteurs sont réunis ici : des fonctions trigonométriques sont nécessaires pour calculer le mouvement des planètes le long de cercles, d'ellipses et de diverses trajectoires. formes complexes; le processus de lancement de fusées, de satellites, de navettes, de désamarrage de véhicules de recherche ; surveillance étoiles lointaines et l'étude des galaxies que les humains ne pourront pas atteindre dans un avenir prévisible.

En général, le champ d'activité d'une personne connaissant la trigonométrie est très large et, apparemment, ne fera que s'élargir avec le temps.

Conclusion

Aujourd'hui, nous avons appris, ou du moins répété, ce que sont le sinus et le cosinus. Ce sont des concepts dont vous n’avez pas besoin d’avoir peur – il suffit de les vouloir et vous comprendrez leur signification. N'oubliez pas que la trigonométrie n'est pas un objectif, mais seulement un outil qui peut être utilisé pour satisfaire des besoins réels. besoins humains: construire des maisons, assurer la sécurité routière, voire explorer l'immensité de l'univers.

En effet, la science elle-même peut sembler ennuyeuse, mais dès que vous y trouverez un moyen d'atteindre vos propres objectifs et de vous réaliser, le processus d'apprentissage deviendra intéressant et votre motivation personnelle augmentera.

Comme devoirs Essayez de trouver des moyens d'appliquer les fonctions trigonométriques dans un domaine d'activité qui vous intéresse personnellement. Imaginez, utilisez votre imagination, et vous découvrirez probablement que de nouvelles connaissances vous seront utiles à l'avenir. Et en plus, les mathématiques sont utiles pour développement général pensée.

Cet article parle de déterminer la distance entre un point et un plan. Analysons la méthode des coordonnées, qui nous permettra de trouver la distance de point donné espace tridimensionnel. Pour renforcer cela, regardons des exemples de plusieurs tâches.

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La distance d'un point à un plan se trouve par distance connue de point en point, où l'un d'eux est donné, et l'autre est une projection sur un plan donné.

Lorsqu'un point M 1 avec un plan χ est spécifié dans l'espace, alors à travers le point vous pouvez dessiner perpendiculaire au plan direct. H1 est point commun leurs intersections. De là on obtient que le segment M 1 H 1 est une perpendiculaire tracée du point M 1 au plan χ, où le point H 1 est la base de la perpendiculaire.

Définition 1

Appelons la distance d'un point donné à la base d'une perpendiculaire tirée d'un point donné à avion donné.

La définition peut être écrite sous différentes formulations.

Définition 2

Distance du point au plan est la longueur de la perpendiculaire tracée d'un point donné à un plan donné.

La distance du point M 1 au plan χ est déterminée comme suit : la distance du point M 1 au plan χ sera la plus petite d'un point donné à n'importe quel point du plan. Si le point H 2 est situé dans le plan χ et n'est pas égal au point H 2, alors on obtient un triangle rectangle de la forme M 2 H 1 H 2 , qui est rectangulaire, où il y a une jambe M 2 H 1, M 2 H 2 – l'hypoténuse. Cela signifie qu'il s'ensuit que M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 est considéré comme incliné, qui est tiré du point M 1 jusqu'au plan χ. Nous avons que la perpendiculaire tirée d'un point donné au plan est inférieure à l'inclinée tirée du point au plan donné. Regardons ce cas dans la figure ci-dessous.

Distance d'un point à un plan - théorie, exemples, solutions

Il y a un certain nombre problèmes géométriques, dont les solutions doivent contenir la distance du point au plan. Il peut y avoir différentes manières de l'identifier. Pour résoudre, utilisez le théorème de Pythagore ou similarité des triangles. Lorsque, selon la condition, il est nécessaire de calculer la distance d'un point à un plan, précisée dans système rectangulaire les coordonnées de l'espace tridimensionnel sont résolues par la méthode des coordonnées. Ce paragraphe traite de cette méthode.

D'après les conditions du problème, on a qu'un point dans l'espace tridimensionnel de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) avec un plan χ est donné il faut déterminer la distance de M 1 à ; le plan χ. Plusieurs méthodes de résolution sont utilisées pour résoudre.

Première façon

Cette méthode est basée sur la recherche de la distance d'un point à un plan en utilisant les coordonnées du point H 1, qui sont la base de la perpendiculaire du point M 1 au plan χ. Ensuite, vous devez calculer la distance entre M 1 et H 1.

Pour résoudre le problème de la deuxième manière, utilisez équation normale avion donné.

Deuxième façon

Par condition, nous avons que H 1 est la base de la perpendiculaire qui a été abaissée du point M 1 au plan χ. Ensuite on détermine les coordonnées (x 2, y 2, z 2) du point H 1. La distance requise de M 1 au plan χ est trouvée par la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, où M 1 (x 1, y 1, z 1) et H 1 (x 2, y 2, z 2). Pour résoudre, vous devez connaître les coordonnées du point H 1.

On a que H 1 est le point d'intersection du plan χ avec la droite a, qui passe par le point M 1 situé perpendiculairement au plan χ. Il s'ensuit qu'il est nécessaire d'établir une équation pour une droite passant par un point donné perpendiculaire à un plan donné. C'est alors que l'on pourra déterminer les coordonnées du point H 1. Il faut calculer les coordonnées du point d'intersection de la droite et du plan.

Algorithme pour trouver la distance d'un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) au plan χ :

Définition 3

• établir une équation de la droite a passant par le point M 1 et en même temps
• perpendiculaire au plan χ ;
• trouver et calculer les coordonnées (x 2 , y 2 , z 2) du point H 1, qui sont des points
• intersection de la ligne a avec le plan χ ;
• calculez la distance de M 1 à χ en utilisant la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Troisième voie

Dans un système de coordonnées rectangulaires donné O x y z il existe un plan χ, alors on obtient une équation normale du plan de la forme cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. De là, nous obtenons que la distance M 1 H 1 avec le point M 1 (x 1 , y 1 , z 1) tracé au plan χ, calculée par la formule M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Cette formule est valable, puisqu'elle a été établie grâce au théorème.

Théorème

Si le point M 1 (x 1 , y 1 , z 1) est donné dans espace tridimensionnel, ayant une équation normale du plan χ de la forme cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, alors la distance du point au plan M 1 H 1 est calculée à partir de la formule M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, puisque x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Preuve

La preuve du théorème revient à trouver la distance d'un point à une ligne. De là, nous obtenons que la distance de M 1 au plan χ est le module de la différence entre la projection numérique du rayon vecteur M 1 avec la distance de l'origine au plan χ. On obtient alors l'expression M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Le vecteur normal du plan χ a la forme n → = cos α, cos β, cos γ, et sa longueur est égale à un, n p n → O M → est la projection numérique du vecteur O M → = (x 1, y 1 , z 1) dans la direction déterminée par le vecteur n → .

Appliquons la formule de calcul vecteurs scalaires. Ensuite, nous obtenons une expression pour trouver un vecteur de la forme n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , puisque n → = cos α , cos β , cos γ · z et O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Formulaire de coordonnées l'entrée prendra la forme n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , alors M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Le théorème a été prouvé.

De là, nous obtenons que la distance du point M 1 (x 1, y 1, z 1) au plan χ est calculée en substituant dans côté gaucheéquation normale du plan cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 au lieu des coordonnées x, y, z x 1, y 1 et z 1, lié au point M 1, en prenant valeur absolue la valeur obtenue.

Regardons des exemples de recherche de la distance entre un point avec des coordonnées et un plan donné.

Exemple 1

Calculez la distance du point de coordonnées M 1 (5, - 3, 10) au plan 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Solution

Résolvons le problème de deux manières.

La première méthode commence par calculer le vecteur directeur de la ligne a. Par condition, nous avons que l'équation donnée 2 x - y + 5 z - 3 = 0 est une équation du plan vue générale, et n → = (2, - 1, 5) est le vecteur normal du plan donné. Il est utilisé comme vecteur directeur d’une droite a, perpendiculaire à un plan donné. Doit être écrit équation canonique une droite dans l'espace passant par M 1 (5, - 3, 10) de vecteur directeur de coordonnées 2, - 1, 5.

L'équation deviendra x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Les points d'intersection doivent être déterminés. Pour ce faire, combinez doucement les équations dans un système pour passer des équations canoniques aux équations de deux droites qui se croisent. Ce point prenons H 1. Nous obtenons cela

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Après quoi vous devez activer le système

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Passons à la règle de solution du système gaussien :

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Nous obtenons cela H 1 (1, - 1, 0).

On calcule la distance d'un point donné à l'avion. On prend les points M 1 (5, - 3, 10) et H 1 (1, - 1, 0) et on obtient

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

La deuxième solution consiste d'abord à réduire l'équation donnée 2 x - y + 5 z - 3 = 0 à aspect normal. Nous déterminons le facteur de normalisation et obtenons 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. De là, nous dérivons l'équation du plan 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Le côté gauche de l'équation est calculé en substituant x = 5, y = - 3, z = 10, et vous devez prendre la distance de M 1 (5, - 3, 10) à 2 x - y + 5 z - 3 = 0 module. On obtient l'expression :

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Réponse : 2 h 30.

Lorsque le plan χ est spécifié par l'une des méthodes de la section sur les méthodes de spécification d'un plan, vous devez d'abord obtenir l'équation du plan χ et calculer la distance requise en utilisant n'importe quelle méthode.

Exemple 2

Dans l'espace tridimensionnel, les points de coordonnées M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) sont spécifiés. Calculez la distance de M 1 au plan A B C.

Solution

Vous devez d'abord écrire l'équation du plan passant par les trois points donnés avec les coordonnées M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Il s’ensuit que le problème a une solution similaire à la précédente. Cela signifie que la distance du point M 1 au plan A B C a une valeur de 2 30.

Réponse : 2 h 30.

Trouver la distance d'un point donné sur un plan ou à un plan auquel ils sont parallèles est plus pratique en appliquant la formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . On en déduit que les équations normales des plans sont obtenues en plusieurs étapes.

Exemple 3

Trouver la distance d'un point donné de coordonnées M 1 (- 3 , 2 , - 7) à plan de coordonnées O x y z et avion, donné par l'équation 2 ans - 5 = 0 .

Solution

Le plan de coordonnées O y z correspond à une équation de la forme x = 0. Pour le plan O y z c'est normal. Par conséquent, il est nécessaire de substituer les valeurs x = - 3 dans le côté gauche de l'expression et de prendre la valeur absolue de la distance du point de coordonnées M 1 (- 3, 2, - 7) au plan. On obtient une valeur égale à - 3 = 3.

Après la transformation, l'équation normale du plan 2 y - 5 = 0 prendra la forme y - 5 2 = 0. Ensuite, vous pouvez trouver la distance requise entre le point de coordonnées M 1 (- 3, 2, - 7) et le plan 2 y - 5 = 0. En remplaçant et en calculant, nous obtenons 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Répondre: La distance requise de M 1 (- 3, 2, - 7) à O y z a une valeur de 3, et à 2 y - 5 = 0 a une valeur de 5 2 - 2.

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