Département de l'éducation, des sports et du tourisme du comité exécutif du district de Borisov

Agence gouvernementaleéducation

« Lycée N° 16 Borissov"

Le triangle de Pascal

élève de 7e année "A"

Aboyan Elizaveta Alexandrovna,

adresse du domicile : Borissov,

Rue Smolevichiskaya, 8, 76-51-80

Superviseur:

Ishchuk Olga Eduardovna, professeur de mathématiques

Borissov, 2016

Table des matières

Introduction

Dans ce année académique nous avons commencé à étudier nouvel article"géométrie".

L'un des chapitres du cours de géométrie s'intitule « Triangles ». J'étais très intéressé ce sujet. J'ai toujours voulu apprendre beaucoup de nouvelles choses sur les triangles, leur origine et leur signification dans nos vies. Après tout, le monde des triangles est très mystérieux et intéressant.

Le triangle est la première figure géométrique retrouvée dans les ornements anciens. En étudiant la littérature, j'ai appris qu'en Égypte, il symbolisait la triade volonté spirituelle, amour, intuition et intelligence supérieure une personne, c'est-à-dire sa personnalité ou son âme.

Les Aztèques utilisaient l'image d'un triangle dont le sommet était relié à un triangle inversé comme symbole du cycle temporel. Le triangle combiné à la croix forme le signe alchimique du Soufre.

Triangle équilatéral, symbolisant, selon la tradition hébraïque, la perfection, chez les chrétiens, cela signifie la Trinité - Père, Fils et Saint-Esprit.

Il existe de nombreux types de triangles, mais celui qui m'a le plus intéressé était le triangle de Pascal.

Problème de recherche :

Le problème de mes recherches est que j'ai essayé d'identifier et de montrer à quel point les triangles sont largement utilisés dans la vie pratique.

Importance pratique de l'étude :

Ce travaux de recherche peut être utilisé comme matériel supplémentaire pour les cours de géométrie, pour activités parascolaires en mathématiques.

Objectif de l'étude :

Familiarisez-vous avec le triangle de Pascal et son application comme type de triangle ;

Hypothèse:

Si les nombres du triangle de Pascal ont propriétés spéciales, alors il peut être considéré comme unique pour la solution diverses tâches

Tâches :

Déterminer l'application des propriétés des nombres du triangle de Pascal ;

Étudier la littérature sur le thème « Le Triangle de Pascal » ;

Identifier les propriétés des nombres qui composent le triangle de Pascal ;

Formuler la conclusion et les résultats de l'étude ;

Objet d'étude : le triangle comme figure géométrique

Sujet de recherche : propriétés du triangle de Pascal

Méthodes de recherche :

Travaux analytiques et statistiques avec littérature de référence, scientifique, pédagogique et spécialisée ;

Recherche d'informations sur les ressources Internet.

Domaines de travail :

Sélection d'un problème, de sources littéraires, élaboration d'un plan ;

Travailler avec la littérature et d'autres sources ;

Traitement des données reçues ;

Analyse des résultats, formulation des conclusions ;

Formation multimédia.

Principales étapes de l'étude : préparatoire ; actif;

Déroulement de l'étude : réflexif ; analytique; présentation.

Partie théorique travail

Introduction au Triangle de Pascal

Ma première connaissance du triangle de Pascal a eu lieu alors que j'étudiais le sujet « Élever un binôme à une puissance » dans un cours d'algèbre.Je connais déjà les formules du carré de la somme et du carré de la différence, du cube de la somme et du cube de la différence. J'ai remarqué qu'on peut obtenir des formules pour élever un binôme au quatrième, au cinquième, etc. Le degré est possible, étant donné une certaine tendance dans les coefficients et les degrés de chaque terme.

Les coefficients de toutes les lignes peuvent être disposés sous la forme d'un triangle :

Ainsi, j’ai fait connaissance avec le triangle de Pascal et j’ai décidé de continuer à étudier le triangle arithmétique.

Blaise Pascal - mathématicien français

B Les Pascal (19 juin 1623, Clermont-Ferrand, - 19 août 1662, Paris) - mathématicien français, physicien, écrivain et philosophe.

Pascal était un mathématicien de premier ordre. Il a contribué à créer deux nouvelles orientations majeures recherche mathématique. À l'âge de seize ans, il écrit un remarquable traité sur la géométrie projective et correspond en 1654 avec Pierre de Fermat sur la théorie des probabilités, qui eut par la suite une influence fondamentale sur le développement de l'économie moderne.

Le triangle de Pascal comme type de triangle

En étudiant les types de triangles, j'ai découvert que le triangle de Pascal est un triangle arithmétique formé de coefficients binomiaux. Nommé d'après Blaise Pascal. En fait, le triangle de Pascal était connu bien avant 1653, date de publication du Traité du Triangle Arithmétique. Ainsi, ce triangle est reproduit dans page de titre manuel d'arithmétique écrit en début XVIe Peter Apian, astronome à l'université d'Ingoltstadt. Un triangle est également représenté dans une illustration d’un livre d’un mathématicien chinois publié en 1303. Omar Khayyam, qui était non seulement philosophe et poète, mais aussi mathématicien, connaissait déjà l'existence du triangle vers 1100, l'empruntant à son tour à des sources chinoises ou indiennes antérieures.

J'ai aussi appris du livre « Mathematical Novels » (M., Mir, 1974) de Martin Gardner que « le triangle de Pascal est si simple que même un enfant de dix ans peut l'écrire. En même temps, il cache des choses inépuisables. des trésors et des liens entre eux divers aspects des mathématiciens qui, à première vue, n'ont rien de commun entre eux. Ces propriétés inhabituelles font du triangle de Pascal l’un des diagrammes les plus élégants de toutes les mathématiques. »

J'ai regardé le schéma de construction d'un triangle proposé par Hugo Steinhaus dans son classique « Kaléidoscope mathématique" : supposons que vous entrez dans la ville comme indiqué sur le schéma avec la flèche bleue, et que vous ne puissiez qu'avancer, ou plutôt, en choisissant constamment, avancer vers la gauche, ou avancer vers la droite. Les nœuds qui ne peuvent être atteints que d'une seule manière sont marqués par des émoticônes vertes, un point pouvant être atteint de deux manières est indiqué par une émoticône rouge et trois, respectivement, par des émoticônes roses. C'est l'une des options pour construire un triangle.

(Figure 1)

Étudier littérature spéciale, j’ai appris que les mots expliquent encore plus simplement la structure du triangle de Pascal: chaque nombre est égal à la somme des deux nombres au-dessus .

Tout est élémentaire, mais il y a tellement de miracles cachés. Si vous tracez le triangle de Pascal, vous obtenez triangle isocèle. Dans ce triangle, il y en a en haut et sur les côtés. Chaque nombre est égal à la somme des deux nombres situés au-dessus. Le triangle peut se poursuivre indéfiniment. Il est symétrique par rapport à axe vertical, passant par son sommet. Le long des diagonales (dans la mesure où un triangle peut avoir des diagonales, mais ne chipotons pas, on retrouve une telle terminologie dans les publications), parallèle aux côtés triangle (marqué de lignes vertes sur la figure) les nombres triangulaires et leurs généralisations au cas d'espaces de toutes dimensions sont construits. Les nombres triangulaires sous la forme la plus courante et la plus familière montrent combien de cercles touchants peuvent être disposés sous la forme d'un triangle - comment exemple classique disposition initiale des boules au billard. Vous pouvez en attacher deux de plus à une pièce - pour un total de trois - à deux, vous pouvez en attacher trois de plus - pour un total de six.

Nous avons les nombres triangulaires sur la figure : 3 ; 6 ; 10 ; 15.

En continuant à augmenter les rangs tout en conservant la forme du triangle, nous obtenons les rangs 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., ce que montre le deuxième. ligne verte. Cette merveilleuse série, dont chaque membre égal à la somme série naturelle de nombres (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), contient également de nombreuses connaissances bien connues des amateurs de mathématiques : 6 et 28 sont des nombres parfaits, 36 - nombre carré, 8 et 21 sont des nombres de Fibonacci.

La ligne verte suivante nous montrera les nombres tétraédriques - nous pouvons mettre une balle sur trois - un total de quatre, nous pouvons mettre six sous trois - un total de dix, et ainsi de suite.

Pour trouver la somme des nombres sur n'importe quelle diagonale depuis le début jusqu'au lieu qui nous intéresse, il suffit de regarder le nombre situé en dessous et à gauche du dernier terme (à gauche pour la diagonale droite, à droite pour la diagonale gauche diagonale, et en général - plus proche du milieu du triangle). Supposons, par exemple, que nous voulions calculer la somme des nombres de la série naturelle de 1 à 9. En « descendant » en diagonale jusqu'au nombre 9, nous verrons le nombre 45 en bas à gauche de celui-ci. la somme requise. Quelle est la somme des huit premiers nombres triangulaires ? Nous trouvons le huitième nombre sur la deuxième diagonale et descendons vers la gauche. Réponse : 120.

(Figure 2)

Le triangle de Pascal a des applications en théorie des probabilités et possède des propriétés remarquables.

Propriétés du triangle de Pascal et leur application à la résolution de problèmes

Pascal a exploré en détail les propriétés et les applications de son « triangle ». Je ne donnerai à titre d'exemple que 3 propriétés du « triangle », trouvées par Pascal lui-même ; dans ce cas, je partirai de l'emplacement du « triangle » sur le plan, qui a été indiqué par Pascal, et parlerai de rangées horizontales et verticales.

Propriété 1 : Chaque nombre A du tableau est égal à la somme des nombres de la ligne horizontale précédente, en commençant par celui le plus à gauche jusqu'à celui immédiatement au-dessus du nombre A (dans laquelle les cellules contenant les termes qui totalisent A sont ombré).(Figure 4)

(Figure 4)(Figure 5)(Figure 6)

Propriété 2 : Chaque nombre A du tableau est égal à la somme des nombres du précédent rangée verticale, en commençant par celui du haut jusqu'au chiffre A immédiatement à gauche.(Figure 5)

Propriété 3 :Chaque nombre du tableau, étant réduit de un, est égal à la somme de tous les nombres remplissant le rectangle délimité par les lignes verticales et horizontales à l'intersection desquelles se trouve le nombre A (ces lignes elles-mêmes ne sont pas incluses dans le rectangle de question).(Figure 6)

Le triangle de Pascal et la théorie des probabilités.

Blaise Pascal et autres grand français, Pierre Fermat, est devenu le fondateur de la théorie des probabilités lorsque Pascal et Fermat ont donné indépendamment explication correcte ce qu’on appelle le paradoxe de la division tarifaire. Deux joueurs jouent à un jeu « inoffensif » (c'est-à-dire qu'ils ont tous deux les mêmes chances de gagner), convenant que le premier à gagner six jeux recevra la totalité du prix. Supposons que le jeu s'arrête avant que l'un d'eux ne remporte un prix (par exemple, le premier joueur a gagné cinq parties et le deuxième joueur en a gagné trois). Comment répartir équitablement le prix ? Ainsi, selon une décision, le prix aurait dû être divisé dans un rapport de 5 : 3, c'est-à-dire proportionnellement aux parties gagnées, selon un autre - dans le rapport 2 : 1 (ici le raisonnement s'est apparemment déroulé comme suit : puisque le premier joueur a gagné deux parties supplémentaires, soit un tiers des six parties nécessaires pour gagner, il devrait recevoir un tiers du prix et le reste doit être divisé en deux).

Pendant ce temps, vous devez diviser dans un rapport de 7 : 1. Pascal et Fermat ont tous deux traité le paradoxe de la division des paris comme un problème de probabilité, établissant qu'une division équitable était proportionnelle aux chances du premier joueur de remporter le prix. Supposons que le premier joueur n'ait plus qu'une partie à gagner et que le second doive gagner trois autres parties pour gagner, et que les joueurs continuent la partie et jouent les trois parties, même si certaines d'entre elles s'avèrent inutiles pour déterminer le vainqueur. . Pour une telle suite, tous les 2 3 = 8 résultats possibles seront également probables. Puisque le deuxième joueur reçoit un prix dans un seul résultat (s'il gagne les trois jeux) et que le premier joueur gagne dans les autres cas, le ratio est de 7 : 1.

En science et en pratique, il existe souvent des problèmes pour lesquels il est nécessaire de créer diverses combinaisons de nombre finiéléments et compter le nombre de combinaisons. De tels problèmes sont appelés problèmes combinatoires..

Considérons formules de base combinatoire :

Il s'agit de n'importe quel sous-ensemble ordonnémà partir des éléments de l'ensemblen.

Dans le triangle de Pascalun nombre indiquant combien de façons vous pouvez choisirkéléments d'un ensemble contenantn divers éléments, se trouve à l'intersectionkla diagonale etn-ème ligne. Pour calculer la combinaison , nJe vais à la septième diagonale à partir du haut et je compte trois nombres horizontalement. J'obtiens le numéro 35.

Vous pouvez également utiliser le triangle de Pascal pour calculer les emplacements.

.Si nous devons compter, alors sachant que , et 3!=6, on obtient la valeur de ce placement 210.

Je suis arrivé à la conclusion que les propriétés considérées du triangle de Pascal confirment les paroles de Martin Gardner selon lesquelles le triangle de Pascal est l'un des schémas les plus élégants de toutes les mathématiques.

La pertinence de l'étude est due à la complication annuelle des tâches CT, qui nécessitent des connaissances approfondies non seulement en algèbre, mais aussi en géométrie.

Partie pratique travail

Dans son travaux pratiques J'ai sélectionné un certain nombre de problèmes sur le thème « Le Triangle de Pascal »

Problème 1. La boutique Philatélie vend 8 séries différentes de timbres dédiées à des thèmes sportifs. De combien de façons pouvez-vous en choisir 3 ensembles ?

Solution:

Dans le triangle de Pascal, un nombre indiquant de combien de manières k éléments peuvent être sélectionnés dans un ensemble contenant n éléments différents se trouve à l'intersection de la k-ième diagonale et de la n-ième rangée.

Je vais trouver la huitième diagonale à partir du haut et compter trois nombres horizontalement. J'obtiens le numéro 56.(Figure 8)

Tâche 2. Sur les six médecins de la clinique, deux doivent être envoyés en formation avancée. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

Solution:

Je vais trouver la sixième diagonale à partir du haut et compter deux nombres horizontalement. J'obtiens le numéro 15.

(P(Figure 9)

Tâche 3. Le pack contient 7 cahiers lignés et 5 cahiers carrés de taille égale. Prenez 3 cahiers au hasard dans le pack. Quelle est la probabilité que les trois cahiers se retrouvent dans un carré ?

Solution. Trouvons d'abord nombre total résultats possibles, c'est-à-dire de combien de façons peut-on choisir 3 cahiers parmi 12 cahiers ?

Tâche 4. Il y a 10 lignes droites sur un plan, et parmi elles il n'y a pas de lignes parallèles et exactement deux lignes droites passent par chaque point de leur intersection. Combien de points d’intersection ont-ils ?

Solution : La réponse se situe à l’intersection de -45 points !

Tâche 5.Il y a 10 boules dans le sac, numérotées de 1 à 10. 2 boules sont tirées au hasard. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse des boules numérotées 7 et 3 ?

Il existe 45 façons de retirer 2 balles parmi les 10 disponibles. La probabilité que notre événement se produise est de 2 sur 45.(Figure 11)

Durant la recherche pratique, je suis arrivé à les conclusions suivantes: lors de la résolution de problèmes combinatoires et de problèmes de théorie des probabilités, vous pouvez utiliser non seulement des formules combinatoires, mais également utiliser les propriétés du triangle de Pascal

Conclusion

Les travaux sur le sujet choisi ont été réalisés en totale conformité avec le plan de recherche, à savoir : l'objet et le sujet de l'étude, les buts et objectifs ont été fixés et les résultats attendus ont été déterminés. Les méthodes de recherche utilisées ont été indiquées et la problématique a été définie.

Dans ce travail, il a été donné caractéristiques générales triangle comme figure géométrique, le triangle de Pascal et ses propriétés ont été examinés en détail.

J'en suis arrivé à la conclusion que l'un des schémas numériques les plus célèbres et les plus élégants de toutes les mathématiques est le triangle de Pascal. Le triangle de Pascal est un concept beaucoup plus large que je ne l'imaginais. Il a non seulement propriétés étonnantes, mais a également été utilisé dans l'architecture du Moyen Âge pour construire des schémas de proportionnalité et pour construire des angles droits par les géomètres et les architectes. En utilisant le triangle de Pascal, vous pouvez résoudre des problèmes issus de la théorie des probabilités et de la combinatoire.AVEC problèmes combinatoires J'ai rencontré dans les cours de mathématiques en 6e année et lors de la résolution de problèmes de l'Olympiade

L'importance pratique de ce travail est la suivante : moi, ayant étudié beaucoup de littérature sur ce problème, acquis des connaissances complémentaires dans le domaine des mathématiques, ont renforcé mon intérêt pour cette science.

J'ai appris que le triangle de Pascal s'utilise :

Sensibilisé à l'algèbre

Lors de la résolution de problèmes combinatoires

Résoudre divers problèmes dans le domaine de la physique

Avec l'avènement ordinateurs la construction du triangle de Pascal est devenue un problème favori des débutants lorsqu'ils apprennent les bases de la programmation.

Le travail sur ce sujet s'est avéré intéressant et utile.

Liste des sources et de la littérature utilisée

1. Abachiev S.K., Fractalité arc-en-ciel du triangle de Pascal / S.K. Abachiev, - Minsk, 1999.-168p.

2. Galkin E.V. Tâches non standards en mathématiques. Tâches logiques. Livre pour les élèves de la 5e à la 11e année Moscou, « Lumières », 1996. – 194p.

3. Martin Gardner. Chapitre 17. Le charme inépuisable du triangle de Pascal / Romans mathématiques. - Minsk : Mir, 1974.- 456 p.

4. Le triangle de Pascal. V.A. Ouspenski. - 2e éd. – Moscou : Nauka, 1979. – 48 p.

5. Fuchs D., Fuchs M., Arithmétique des coefficients binomiaux / Quantique. - 1970. - N° 6. - P.17-25.

6. Encyclopédie pour enfants. T 11. Mathématiques / Ch. éd. M. Aksenova ; méthode. et resp. éd. V. Volodine. – M. : Avanta+, 2004. – 688.

8. http:// davaiknam. ru/ texte/ volshebnij- treugolenik.

Numérique Le triangle de Pascal

Il y a une unité isolée sur la ligne supérieure du triangle. Dans les lignes restantes, chaque nombre est la somme de ses deux voisins à l'étage supérieur - à gauche et à droite. S’il manque un voisin, il est considéré comme nul. Le triangle s’étend indéfiniment vers le bas ; nous présentons uniquement les huit premières lignes : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 ...

Notons par la lettre n le numéro de ligne du triangle, et par la lettre k le numéro du numéro de la ligne (la numérotation commence dans les deux cas à partir de zéro). Le plus souvent, le nombre à la nième ligne et à la kième place de cette ligne est noté C n k , moins souvent - n k .

Citons juste quelques faits liés au triangle de Pascal.

Les nombres dans la nième rangée du triangle sont coefficients binomiaux, c'est-à-dire les coefficients du développement au nième degré Le binôme de Newton: une + b n = ∑ k = 0 n C n k ⁢ une k ⁢ b n − k .

La somme de tous les nombres de la nième ligne est égale à la nième puissance de deux : ∑ k = 0 n C n k = 2 n . Cette formule est obtenue à partir de la formule binomiale si on met a = b = 1.

Il est possible de prouver une formule explicite pour calculer coefficient binomial: C n k = n !

k! ⁢ n - k !.

Si les lignes du triangle de Pascal sont alignées vers la gauche, alors les sommes des nombres situés le long des diagonales allant de gauche à droite et de bas en haut sont égales

Numéros de Fibonacci - 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 … (chaque nombre de cette séquence est égal à la somme des deux précédents, et deux uns commencent la séquence) : 1 ⬃ 1 2 1 ⬃ ⬃ 3 5 1 1 ⬃ ⬃ 8 13 1 2 1 ⬃ ⬃ 21 34 1 3 3 1 ⬃ ⬃ 55 89 1 4 6 4 1 ⬃ ⬃ 144 233 1 5 10 10 5 1 ⬃ ⬃ 377 610 1 15 20 15 6 1 ⬃ ⬃ 987 1597 1 7 21 35 35 21 7 1 ⬃ ⬃ 2584 4181 … ⬃ ⬃ Si vous coloriez les nombres impairs du triangle de Pascal dans une couleur et les nombres pairs dans une autre, vous obtiendrez l'image suivante (dans la figure 10.1. « Triangle de Pascal-Sierpinski », les nombres des 128 premières lignes sont colorés de cette manière) : Une image similaire peut être construite comme suit. Dans le triangle ombré, repeignez-le d'une couleur différentetriangle du milieu(formé par les milieux des côtés de l'original). Les trois petits triangles situés aux coins du grand resteront peints de la même couleur. Faisons avec chacun d'eux exactement de la même manière qu'avec le grand, c'est-à-dire recolorons le triangle du milieu dans chacun. Nous ferons de même avec les triangles restants de l'ancienne couleur. Si cette procédure est répétée à l'infini, une figure bicolore restera à la place du triangle d'origine. La partie qui n'est pas repeinte s'appelle

Triangle de Sierpinski. Les premières étapes de la construction du triangle de Sierpinski sont illustrées dans la figure 10.2. "Construction du triangle de Sierpinski".- après tout, il se compose de trois copies de lui-même, réduites de moitié (ce sont des parties du triangle de Sierpinski, contenues dans de petits triangles adjacents aux coins). L'autosimilarité est l'une des propriétés caractéristiques fractales , dont nous parlerons dans le chapitre 44. " Systèmes L". Le triangle de Sierpinski sera également évoqué dans ce chapitre.

À propos du lien mystérieux entre le triangle de Pascal et nombres premiers nous lisons dans le livre dans une courte note de Yu. Matiyasevich. Remplaçons les nombres du triangle de Pascal par leurs restes de la division par le numéro de ligne. Disposons les lignes dans le triangle obtenu de manière à ce que la ligne suivante commence deux colonnes à droite du début de la précédente (voir Figure 10.3. « Relation du triangle de Pascal avec les nombres premiers »). Ensuite, les colonnes avec des nombres premiers ne seront composées que de zéros et les colonnes avec des nombres composés contiendront un nombre différent de zéro.

Numérique Le triangle de Pascal

Citons juste quelques faits liés au triangle de Pascal.

La somme de tous les nombres de la nième ligne est égale à la nième puissance de deux : ∑ k = 0 n C n k = 2 n . Cette formule est obtenue à partir de la formule binomiale si on met a = b = 1.

Il est possible de prouver une formule explicite pour calculer le coefficient binomial : C n k = n !

k! ⁢ n - k !.

Si les lignes du triangle de Pascal sont alignées vers la gauche, alors les sommes des nombres situés le long des diagonales allant de gauche à droite et de bas en haut sont égales

k! Une image similaire peut être construite comme suit. Dans le triangle ombré, repeignez-le d'une couleur différentetriangle du milieu(formé par les milieux des côtés de l'original). Les trois petits triangles situés aux coins du grand resteront peints de la même couleur. Faisons avec chacun d'eux exactement de la même manière qu'avec le grand, c'est-à-dire recolorons le triangle du milieu dans chacun. Nous ferons de même avec les triangles restants de l'ancienne couleur. Si cette procédure est répétée à l'infini, une figure bicolore restera à la place du triangle d'origine. La partie qui n'est pas repeinte s'appelle

⁢ n - k ! 10.2. "Construction du triangle de Sierpinski".- après tout, il se compose de trois copies de lui-même, réduites de moitié (ce sont des parties du triangle de Sierpinski, contenues dans de petits triangles adjacents aux coins). L'autosimilarité est l'une des propriétés caractéristiques fractales , dont nous parlerons dans le chapitre 44. " Systèmes L". Le triangle de Sierpinski sera également évoqué dans ce chapitre.

Une image similaire peut être construite comme suit. Dans le triangle ombré, repeignez son triangle médian (formé par les milieux des côtés de celui d'origine) dans une couleur différente. Les trois petits triangles situés aux coins du grand resteront peints de la même couleur. Faisons avec chacun d'eux exactement de la même manière qu'avec le grand, c'est-à-dire recolorons le triangle du milieu dans chacun. Nous ferons de même avec les triangles restants de l'ancienne couleur. Si cette procédure est répétée à l'infini, une figure bicolore restera à la place du triangle d'origine. La partie qui n'est pas repeinte s'appelle

Construire un triangle est assez simple : vous devez en mettre des sur les bords extérieurs, et chaque nombre à l'intérieur est égal à la somme des deux nombres qui se trouvent au-dessus. Ainsi, le troisième nombre de la sixième ligne est égal à , car c'est la somme des nombres et .

Attention! Nous dirons en fait quel est le deuxième nombre de la cinquième ligne. Pour des raisons qui deviendront bientôt claires, nous commençons à numéroter les lignes et les colonnes du triangle à partir de zéro. Par exemple, le deuxième nombre de la quatrième ligne est .

Connaissant la règle de l'addition, vous pouvez continuer à l'infini : vous pouvez écrire autant de lignes que votre patience le permet.

Les 10 premières lignes du triangle de Pascal

Pascal a introduit son triangle en 1653 dans le Traité du triangle arithmétique dans le cadre d'un problème d'étude des probabilités et de calcul. Les questions ressemblaient à celles-ci : « Si je veux choisir deux personnes parmi quatre données données, combien y a-t-il de paires possibles » ou « Quelle est la probabilité d’obtenir un full ? » note au poker, trois cartes d'une valeur et deux d'une autre) lorsque cinq cartes sont distribuées dans un jeu bien mélangé ? » Pascal et Fermat discutaient surtout de probabilité dans les lettres qu'ils échangeaient à l'époque. Vous pouvez voir le triangle original de Pascal.

Quel est le rapport entre le triangle et la probabilité ? Eh bien, si vous souhaitez sélectionner des objets à partir de données, alors le nombre options possibles le choix est égal au ième nombre de la ième rangée du triangle. N'oubliez pas que les numéros de ligne et les nombres dans les lignes d'un triangle commencent à zéro ! En utilisant cette règle, nous voyons qu’il existe exactement deux manières de sélectionner deux personnes à partir de quatre valeurs données. Et donc - le troisième nombre dans la neuvième ligne du triangle, il existe alors un moyen de sélectionner trois personnes parmi neuf données. Une fois que vous aurez appris à calculer cela, vous ferez un petit pas vers le calcul de toutes les probabilités possibles.

À première vue, il semble assez difficile de comprendre pourquoi un triangle donne la bonne réponse à cette question. Il peut aussi paraître étrange que nous devions toujours repartir de zéro pour que cela fonctionne. Pour voir que tout cela est absolument exact, nous ferons deux remarques.

Premièrement, si vous avez un groupe d’objets, de combien de façons pouvez-vous sélectionner zéro objet parmi eux ? Il existe exactement une façon de sélectionner zéro objet, c'est-à-dire simplement en déclarant que vous n'en prenez aucun. De plus, vous ne disposez que d’une seule manière pour sélectionner tous les objets. Et cela correspond exactement à ceux situés aux deux extrémités de chaque ligne.

Blaise-Pascal

Deuxièmement, si nous voulons sélectionner des éléments à partir des données, nous remarquons qu'il existe deux scénarios mutuellement exclusifs : soit notre élément préféré fait partie de ceux sélectionnés, soit il ne l'est pas. Si nous le sélectionnons, nous devons également sélectionner un élément parmi les éléments restants afin de sélectionner exactement les éléments. Si nous ne sélectionnons pas un élément donné, nous devons alors sélectionner tous les éléments à partir des données d'élément restantes après avoir éliminé notre élément préféré. Puisqu’il s’agit de possibilités mutuellement exclusives d’obtenir quantité totale options, nous devons additionner le nombre d’options dans chaque scénario.

En bref, pour obtenir le nombre de façons de sélectionner des objets à partir des données, nous devons ajouter le nombre de façons de sélectionner un objet dans , et le nombre de façons de sélectionner des objets dans . Mais c’est précisément la règle d’addition du triangle de Pascal !

Nous savons déjà qu'un triangle est entièrement déterminé par la disposition des unités sur ses côtés et la règle d'addition. Étant donné que ces propriétés s'appliquent également à la réponse à la question sur le nombre d'options pour choisir des objets, le triangle devrait ici également donner la bonne réponse.

La capacité d’effectuer de tels calculs est inestimable dans de nombreux cas. Il n'est donc pas surprenant que Pascal ne soit pas le premier. Ces nombres ont été examinés par des mathématiciens indiens, chinois et iraniens dans des moments différents, qui a commencé il y a plus de mille ans. Et bien sûr, tout le monde reconnaîtra le triangle de Yang Hui, 1303 :

C'est drôle, même sans pouvoir distinguer les chiffres, on peut trouver une faute de frappe dans ce triangle vieux de plus de 700 ans ! Indice : La règle d'addition rend le triangle de Pascal symétrique par rapport à la droite verticale passant par son sommet. Si vous regardez attentivement, dans le triangle de Yang Hui, cette symétrie est brisée en un seul endroit.

Il y a beaucoup de choses merveilleuses dans le triangle. Où sont les miracles ? Certains d’entre eux sont faciles à repérer. Si vous additionnez les nombres de la ième rangée d’un triangle, vous obtiendrez toujours une puissance (par exemple, ). C'est assez ennuyeux pour nous.

Un peu plus intéressant est le fait que si vous additionnez les nombres sur les diagonales d’un triangle, vous obtenez la séquence de nombres de Fibonacci. Et la séquence de Fibonacci elle-même contient de nombreuses surprises.

Récemment, quelque chose de surprenant et de nouveau a été découvert dans le triangle de Pascal. Comme nous l’avons vu, lorsque vous additionnez les nombres d’une rangée d’un triangle, quelque chose d’intéressant se produit. Ce fait concernant les sommes est aussi vieux que le triangle lui-même. Cependant, jusqu'en 2012, avant Harlan Brothers, personne n'essayait de comprendre ce qui se passerait si l'on multipliait les nombres dans chaque ligne.

Désignons par le produit des nombres de la ème rangée du triangle. Alors, et ainsi de suite. Les chiffres produits ne semblent pas avoir de propriétés miraculeuses évidentes. Les frères ont eu l'idée de voir ce qui se passerait si l'on divisait ces produits calculés pour des lignes adjacentes. Plus précisément, car il a trouvé les nombres obtenus par la formule suivante :

Autrement dit, pour chaque ligne, il considérait une fraction dont le numérateur égal au produit tous les nombres de la ligne en dessous et de la ligne au-dessus, et le dénominateur est le produit au carré de tous les nombres de cette ligne.

Et voici ce qui est étonnant : à mesure qu'il augmente, ce rapport se rapproche du nombre ! Rappelez-vous, c'est nombre décimal Avec nombre infini nombres approximativement égaux à . Cela apparaît dans la capitalisation des intérêts, les modèles de croissance démographique et d'autres situations avec croissance exponentielle. C'est incroyable que ce numéro puisse être si joli d'une manière simple trouvé dans le triangle de Pascal. Puisque vous savez quoi rechercher, il est facile de voir que le ratio en question se rapproche à mesure que vous grandissez. Comme vous pouvez le constater, les calculs ne nécessitent qu’un peu d’algèbre.

Cette jolie animation de Richard Greene montre clairement le résultat de Harlan Brothers :

Il y a un autre miracle dans le triangle que tout le monde devrait connaître. Colorons chaque nombre du triangle dans l'une des deux couleurs, selon qu'il est pair ou impair. Par exemple, nous pourrions peindre nombres pairs blancs et les impairs - bleus. Si nous faisons cela pour les 500 premières lignes du triangle, nous obtenons ce modèle :

Il s’agit d’une fractale célèbre connue sous le nom de triangle de Sierpinski ! Cela conduit à diverses sortes questions. Un nombre est pair ou impair si, divisé par, il donne un reste ou, respectivement. Que se passe-t-il lorsque nous divisons ? Les restes peuvent être égaux à ou . Que se passe-t-il si vous utilisez huit couleurs et coloriez chaque nombre en fonction de son reste lorsqu'il est divisé par huit ? Pour les 500 premières lignes du triangle, nous obtenons une belle image :

Commentaires : 6

1 Mourad :

Erreurs grossières - absurdités commises par nos ancêtres et par nous

Mes recherches ont révélé les erreurs grossières suivantes - des absurdités commises par nos ancêtres et par nous :
1. Ils croyaient que l'homme est mortel, mais il s'avère qu'il est éternel et idéal. Dans l’Univers, les corps créés, d’où ils sont venus, n’y reviennent jamais. Il n’y a alors pas de mort : tous les corps créés dans l’Univers sont vivants. Tout jusqu'à présent né de l'homme sont restitués sous une forme éternelle et idéale, chacun des codes de 30 bits - les nombres trouvent leurs paires idéales, et la somme des codes - les nombres de paires est de 30 neuf.
2. Nous ne montons qu'à 4 étapes du développement mental, et il y en a 7 : La valeur supplémentaire non divisible 1butto = 1000 st.-7 = 10 st.-21 - le début, le poids et le volume d'une cellule vivante - une âme vivante et la valeur supplémentaire non extensible 1sap = 1000 st.7 = 10 st.21. C'est la taille de chacun système solaire et il y en aura 3 sextillions.
3. Tous les corps créés dans l'Univers sont constitués des mêmes cellules - cubes, poids et volume 1butto = 10-21. Femme idéale Un jeune de 25 ans est constitué de 360 sextillions de cellules, et homme idéal Un jeune de 25 ans équivaut à 366 sextillions = 366x10st.21 cellules, chaque cellule étant elle-même une personne. Cela signifie que la partie est égale au tout : un « je » pour tous les « 366x10st.21I » et « 366x10st.21 I » pour un « je » - c'est pour les hommes.
4. La partie est égale au tout et il n’y a pas nombres fractionnaires, mais ils pensaient le contraire. Alors il n'y a pas d'irrationnel et nombres transcendantaux. Il n'y a pas non plus de logarithme, fonctions trigonométriques, limites, différentielles et intégrales, calcul variationnel, théorie des probabilités et statistiques. L’univers et la connaissance sont finis, mais ils pensaient le contraire. Il n’est pas nécessaire d’utiliser des expressions radicales.
5. Nous avons considéré l'égalité Zn = Xn +Yn grand théorème L'équation de Fermat ou diophantienne est une solution de l'équation (Zn – Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. Alors Zn = – (Xn +Yn) est une solution de l’équation (Zn+Xn)Xn = (Zn + Yn)Yn. Ils ont confondu la solution avec l’équation, mais ne connaissaient pas l’équation elle-même. C'est absurde, une honte pour les mathématiciens !
Solutions problèmes d'optimisation conduit à des systèmes de linéaire, de puissance et équations différentielles. Il s’avère que nous avons confondu la solution avec l’équation du système et que nous ne connaissions pas l’équation elle-même : Zn = Xn + Yn est une solution de l’équation (Zn- Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. La solution Zn = Xn +Yn est +103n = +(500 x 103(n-1) + 500 x103(n-1)) et -103n = – (500 x 103(n-1) + 500 x103(n- 1 )). Chaque 103n = 10n x 102n est la base d'un cube et en même temps un Rubik de l'ordre de 10n.
Nous avons considéré l'égalité c2 = a2+ b2 : carré de l'hypoténuse = somme des carrés des jambes comme étant le théorème de Pythagore, mais il s'avère que c'est une solution de l'équation (c2- a2) a2 = (c2- b2 )b2. Alors c2= – (a2+ b2) est une solution de l’équation (c2+ a2) a2 = (c2+ b2) b2. Cela signifie que sur 2 égaux triangles rectangles, des pattes égales peuvent former un carré - la base d'un cube. A partir de 12 triangles rectangles égaux, des pattes égales peuvent former un cube. Selon la longueur de la jambe, vous pouvez former différents cubes et en même temps des rubis.
6. Nous n'avons pas compris la signification de l'addition et de la multiplication de 1 (unités). S'il y a 9 hommes et 9 femmes, alors 9 + 9 = 18 personnes. 10 hommes et 9 femmes, puis 10 + 9 = 19 personnes, 10 hommes et 10 femmes, puis 10 +10 = 20 personnes, 11 hommes et 10 femmes, puis 11 +10 = 21 personnes. Produits 1 (unités) :
111111111 × 111111111= 12345678987654321 ; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321. 0111111111 x 1111111110 = 0123456789876543210 ; 01111111111 x 1111111110 = 01234567899876543210. Ces opérations portent sur des entiers négatifs et positifs de 1 bit.
Si l'on place 2 cubes aux extrémités d'un segment de longueur 20 unités. Donnons à l'un une charge moins, au second un plus, puis ils se retrouvent simultanément au milieu du segment, chacun parcourant 10 unités du chemin, s'il n'y a pas d'obstacles sur le chemin : 01234567899876543210. Ensuite on leur donne les mêmes charges, alors ils occuperont positions initiales, et les chiffres changent : 98765432100123456789.
Si l'on place 2 cubes aux extrémités d'un segment de longueur 200 unités. Donnons à l'un une charge négative, à l'autre un plus, puis ils se rencontrent simultanément au milieu du segment, chacun parcourant 100 unités du chemin, s'il n'y a pas d'obstacles sur le chemin : 00...9999...00. Ensuite on leur donne des charges du même nom, ils prendront les positions initiales, et les chiffres changent : 99...0000...99.
Si l'on place 2 cubes aux extrémités d'un segment de longueur 2000 unités. Donnons à l'un une charge négative, à l'autre un plus, puis ils se rencontrent simultanément au milieu du segment, chacun parcourant 1000 unités du chemin, s'il n'y a pas d'obstacles sur le chemin : 000...999999...000. Ensuite on leur donne des charges du même nom, ils prendront les positions initiales, et les chiffres changent : 999...000000...999.
En continuant ce processus, on atteint 2 sextillions d'unités, puis chaque cube, passé, 1 sextillion de chemins se rejoignent au milieu. La loi de l'attraction de Newton est complétée par la répulsion. Chaque chemin 1 (unité) doit se voir attribuer un numéro, commençant par 21 zéros et se terminant par 21 neuf.
Le code - les nombres attribués à chaque paire - des corps créés dans l'Univers, est le produit d'entiers constitués des nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Par exemple , chaque couple humain se voit attribuer un numéro de code de 30 bits, leur somme est de 30 neuf. Attribution d'un code - le numéro de chaque personne commence par 30 zéros et se termine par 30 neuf.
L’usage des entiers pour les besoins de l’Humanité est suffisant au 3ème degré :
-(0 + 1 + 2 + … + n) + (0 + 1 + 2 + … + n) ; -(02 + 12 + 22 + … + n2) + (02 + 12 + 22 + … + n2) ;
-(03 + 13 + 23 + … + n3) + (03 + 13 + 23 + … + n3) ; -(04 + 14 + 24 + … + n4) + (04 + 14 + 24 + … + n4) ;
7. On croyait que 1Ko = 1024b, et 1Ko =1000b, 1Kg =1000g, 1m =1000mm. Le temps a une base de 60. 1 heure = 60 minutes, 1 minute. = 60 sec, 1 sec = 60 milli sec, 1 milli sec = 60 micro sec, 1 micro sec = 60 nano sec, 1 nano sec = 60 pic sec, 1 pic sec = 60 femto sec, 1 fem sec = 60 otto sec , 1 otto sec = 60 bouton sec.
8. Le monde a un système de coordonnées cubique (à base carrée), et non rectangulaire (et non cartésien). En effet, X = a, Y = a, X + Y = 2a, XY= a x a est la base. X = une, Y = une, Z = une, X + Y+ Z =3a, XYZ= une x une x une.
Un système de coordonnées rectangulaires (cartésiennes) est obtenu à partir de la propriété des nombres entiers : la somme de 2 nombres X et Y ne change pas en ajoutant et en soustrayant le nombre b, mais les produits changent.
X = a + b, Y = a – b, X + Y =2a, XY= (a + b) x (a – b) = a2- b2.
X = a +√b, Y = a – √b, X + Y =2a, XY= (a + √b) x (a – √b) = a2- b.
X = a + bi, Y = a – bi, X + Y =2a, XY= (a + bi) x (a – bi) = a2+ b2.
X = a +√bi, Y = a – √bi, X + Y =2a, XY= (a + √bi) x (a – √bi) = a2 + b
9. Le modèle de la Terre n'est pas un globe, mais un cube et en même temps un Rubik de l'ordre de 24 - la surface est un grand carré, divisé en 576 petits carrés, même taille. Longueur du côté petit carré 1000 km = 10 st 6 m Chaque m². m. de la surface de la Terre devrait être recouverte de vapeur, mais nous vivons dans des absurdités.
10. Le centre de la Terre (le début, le nombril) et le début des temps se trouvent au nord du Turkménistan (Kunya-Urgench, lieu saint 360), et ils pensaient que les temps commençaient à Greenwich.
11. Il existe de nombreux calendriers dans le monde, mais il devrait y en avoir calendrier universel Saparova M;
12. Nouvelle année pour saluer le lever du soleil et la nouvelle lune le soir.
13. Porte une montre qui affiche 24 heures. Une journée de 24 heures commence et se termine au lever du soleil ;
14. Il existe de nombreux alphabets et langues dans le monde, mais il devrait y avoir une seule langue numérique.
15 Il existe de nombreuses sciences dans le monde, mais il ne devrait y avoir qu'une seule science : l'arithgraphe.
16. Une personne naît au bout de 9 mois = ¾ d'année, et on fête son anniversaire tous les deux ans. L'âge d'une personne est déterminé par la formule : (4n)/3, où n est le nombre divisé par 3 - après 3 ans, ajoutez 1 an = 9 mois.
17.B Tableau périodiqueéléments chimiques de D. I. Mendeleev chacun élément chimique un organisme vivant, tout l'argent est du papier, du métal et aussi des organismes vivants, ce que nous mangeons, buvons, respirons et marchons sont également des organismes vivants. Nous nous en assurerons en obtenant la valeur 1butto=10st.-21.
Vous pouvez ajouter des absurdités et comment les corriger, nous en bénéficierons, nous deviendrons bientôt éternels et idéaux.
Il n'y a qu'une seule issue : une transition complète vers le 10e système numérique. Si nous corrigeons toutes les absurdités, alors nos têtes, nos ordinateurs, effectueront 1 000 fois 1 000 opérations par seconde et tous nos problèmes seront résolus.
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