Quelles propriétés ont les nombres du triangle de Pascal ? Les maths j'aime

Histoire du triangle. La première mention d'une séquence triangulaire de coefficients binomiaux appelée meru-prastaara apparaît dans un commentaire du mathématicien indien du Xe siècle Halayudha sur les travaux d'un autre mathématicien, Pingala. Le triangle a également été exploré par Omar Khayyam vers 1100, c'est pourquoi en Iran, ce motif est appelé triangle de Khayyam. En 1303, le livre « Le miroir de Jasper » est publié. quatre éléments" du mathématicien chinois Zhu Shijie, dans lequel le triangle de Pascal était représenté dans l'une des illustrations ; On pense qu'il a été inventé par un autre mathématicien chinois, Yang Hui (c'est pourquoi les Chinois l'appellent le triangle de Yang Hui). Sur page de titre Un manuel d'arithmétique écrit en 1529 par Peter Apian, astronome à l'université d'Ingoltstadt, représente également le triangle de Pascal. Et en 1653 (dans d'autres sources en 1655), le livre de Blaise Pascal « Traité sur le triangle arithmétique » fut publié.

Propriétés Le triangle de Pascal. Si vous tracez le triangle de Pascal, vous obtenez triangle isocèle. Dans ce triangle, il y en a en haut et sur les côtés. Chaque nombre est égal à la somme des deux nombres situés au-dessus. Le triangle peut se poursuivre indéfiniment. Les lignes du triangle sont symétriques par rapport à axe vertical. A une application dans théorie des probabilités a des propriétés divertissantes.

Propriétés du triangle de Pascal. Les nombres d'un triangle sont symétriques (égaux) par rapport à l'axe vertical. d'abord et dernier numéro sont égaux à 1. le deuxième et l'avant-dernier nombre sont égaux à n. le troisième nombre est égal au nombre triangulaire, qui est également égal à la somme des nombres des lignes précédentes. le quatrième nombre est tétraédrique. La somme des nombres de la diagonale ascendante à partir du premier élément de la (n-1)ème ligne est nième numéro Fibonacci. Si soustrait de numéro central dans une ligne avec un numéro pair, un numéro adjacent de la même ligne, vous obtenez alors le numéro catalan. Somme nièmes nombres Les lignes du triangle de Pascal sont égales à 2n. Facteurs premiers Les nombres du triangle de Pascal forment des structures symétriques auto-similaires. Si dans le triangle de Pascal tout nombres impairs Colorez les pairs en noir et les pairs en blanc, puis un triangle de Sierpinski se forme. Tous les nombres de la nième rangée, sauf un, sont divisibles par le nombre n si et seulement si n est nombre premier. Si dans une rangée avec un nombre impair on additionne tous les nombres de numéros de série de la forme 3n, 3n+1, 3n+2, alors les deux premières sommes seront égales et la troisième sera inférieure à 1. Chaque nombre dans le triangle est égal au nombre de façons d'y accéder à partir du sommet, en se déplaçant vers la droite ou vers le bas.

Le célèbre scientifique américain Martin Gardner a déclaré : « Le triangle de Pascal est si simple que même un enfant de dix ans peut l’écrire. En même temps, il recèle des trésors inépuisables et relie divers aspects des mathématiciens qui, à première vue, n'ont rien de commun entre eux. Ces propriétés inhabituelles nous permettent de considérer le triangle de Pascal comme l’un des schémas les plus élégants de toutes les mathématiques.

Considérons les expressions suivantes avec des puissances (a + b) n, où a + b est n'importe quel binôme et n est un entier.

Chaque expression est un polynôme. Vous pouvez remarquer des fonctionnalités dans toutes les expressions.

1. Dans chaque expression, il y a un terme de plus que l'exposant n.

2. Dans chaque terme la somme des puissances est égale à n, c'est-à-dire la puissance à laquelle un binôme est élevé.

3. Les puissances partent de la puissance binomiale n et décroissent vers 0. Le dernier terme n'a pas de facteur a. Le premier terme n'a pas de facteur b, c'est-à-dire les degrés b commencent à 0 et augmentent jusqu'à n.

4. Les coefficients commencent à 1 et augmentent de certaines valeurs jusqu'à « à mi-chemin », puis diminuent des mêmes valeurs jusqu'à 1.

Regardons de plus près les coefficients. Disons que nous voulons trouver la valeur de (a + b) 6 . D'après la fonctionnalité que nous venons de remarquer, il devrait y avoir 7 membres ici
une 6 + c 1 une 5 b + c 2 une 4 b 2 + c 3 une 3 b 3 + c 4 une 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Mais comment déterminer la valeur de chaque coefficient c i ? Nous pouvons le faire de deux manières. La première méthode consiste à écrire les coefficients dans un triangle, comme indiqué ci-dessous. C'est ce qu'on appelle Le triangle de Pascal :

Il existe de nombreuses caractéristiques dans le triangle. Trouvez-en autant que vous le pouvez.
Vous avez peut-être trouvé un moyen d’écrire la prochaine chaîne de nombres en utilisant les nombres de la ligne ci-dessus. Les unités sont toujours situées sur les côtés. Chaque nombre restant est la somme des deux nombres au-dessus de ce nombre. Essayons de trouver la valeur de l'expression (a + b) 6 en ajoutant la ligne suivante, en utilisant les fonctionnalités que nous avons trouvées :

On voit ça dans la dernière ligne

premier et dernier chiffres 1 ;
le deuxième nombre est 1 + 5, ou 6 ;
le troisième nombre est 5 + 10, ou 15 ;
le quatrième nombre est 10 + 10, ou 20 ;
le cinquième nombre est 10 + 5, ou 15 ; Et
le sixième nombre est 5 + 1, ou 6 .

Donc l'expression (a + b) 6 sera égale à
(une + b) 6 = 1 un 6 + 6 une 5b + 15 une 4 b 2 + 20 une 3 b 3 + 15 une 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 b6.

Pour élever à la puissance (a + b) 8, on ajoute deux droites au triangle de Pascal :

Alors
(une + b) 8 = une 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Nous pouvons résumer nos résultats comme suit.

Binôme de Newton utilisant le triangle de Pascal

Pour tout binôme a+ b et tout nombre naturel n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n,
où les nombres c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n sont tirés de la série (n + 1) du triangle de Pascal.

Exemple 1Élever à une puissance : (u - v) 5 .

Solution Nous avons (a + b)n, où a = u, b = -v et n = 5. Nous utilisons la 6ème ligne du triangle de Pascal :
1 5 10 10 5 1
Ensuite nous avons
(u - v) 5 = 5 = 1 (u)5+ 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5 .
Notez que les signes des termes fluctuent entre + et -. Lorsque le degré -v est un nombre impair, le signe est -.

Exemple 2 Monter à une puissance : (2t + 3/t) 4 .

Solution Nous avons (a + b)n, où a = 2t, b = 3/t et n = 4. Nous utilisons la 5ème ligne du triangle de Pascal :
1 4 6 4 1
Ensuite nous avons

Expansion binomiale à l'aide de valeurs factorielles

Disons que nous voulons trouver la valeur de (a + b) 11. L'inconvénient d'utiliser le triangle de Pascal est qu'il faut calculer toutes les lignes précédentes du triangle pour obtenir ligne requise. Méthode suivante vous permet d'éviter cela. Il vous permet également de trouver une ligne spécifique – par exemple la 8ème ligne – sans avoir à évaluer toutes les autres lignes. Cette méthode est utile dans les calculs, les statistiques et utilise notation du coefficient binomial .
Nous pouvons formuler le binôme de Newton comme suit.

Binôme de Newton utilisant la notation factorielle

Pour tout binôme (a + b) et tout entier naturel n,
.

Le binôme de Newton peut être prouvé par la méthode induction mathématique. Cela montre pourquoi on l'appelle coefficient binomial .

Exemple 3 Monter à une puissance : (x 2 - 2y) 5 .

Solution Nous avons (a + b) n , où a = x 2 , b = -2y et n = 5. Ensuite, en utilisant le binôme de Newton, nous avons

Enfin, (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

Exemple 4 Monter à une puissance : (2/x + 3√x) 4.

Solution Nous avons (a + b)n, où a = 2/x, b = 3√x et n = 4. Ensuite, en utilisant le binôme de Newton, nous obtenons

Enfin (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .

Trouver un membre spécifique

Supposons que nous voulions déterminer tel ou tel terme à partir d'une expression. La méthode que nous avons développée va nous permettre de retrouver ce terme sans calculer toutes les lignes du triangle de Pascal ni tous les coefficients précédents.

Notez que dans le binôme de Newton nous donne le 1er terme, nous donne le 2ème terme, nous donne le 3ème terme et ainsi de suite. Cela peut être résumé comme suit.

Trouver le terme (k + 1)

(k + 1) terme de l'expression (a + b) n est .

Exemple 5 Trouvez le 5ème terme dans l'expression (2x - 5y) 6 .

Solution Tout d’abord, notons que 5 = 4 + 1. Alors k = 4, a = 2x, b = -5y et n = 6. Alors le 5ème terme de l’expression sera

Exemple 6 Trouvez le 8ème terme dans l'expression (3x - 2) 10.

Solution Tout d’abord, on note que 8 = 7 + 1. Alors k = 7, a = 3x, b = -2 et n = 10. Alors le 8ème terme de l’expression sera

Nombre total de sous-ensembles

Supposons qu'un ensemble ait n objets. Le nombre de sous-ensembles contenant k éléments est . Le nombre total de sous-ensembles d'un ensemble est le nombre de sous-ensembles avec 0 élément, ainsi que le nombre de sous-ensembles avec 1 élément, ainsi que le nombre de sous-ensembles avec 2 éléments, et ainsi de suite. Le nombre total de sous-ensembles d’un ensemble de n éléments est
.
Voyons maintenant l'élévation à la puissance (1 + 1) n :

.
Donc. le nombre total de sous-ensembles est (1 + 1) n, soit 2 n. Nous avons prouvé ce qui suit.

Nombre total de sous-ensembles

Le nombre total de sous-ensembles d’un ensemble de n éléments est 2n.

Exemple 7 Combien de sous-ensembles l’ensemble (A, B, C, D, E) possède-t-il ?

Solution L'ensemble comporte 5 éléments, alors le nombre de sous-ensembles est de 2 à 5, soit 32.

Exemple 8 La chaîne de restaurants Wendy's propose les garnitures de hamburger suivantes :
{ketchup, moutarde, mayonnaise, tomates, laitue, oignon, champignons, olives, fromage}.
Combien différents types Quels hamburgers Wendy peut-elle proposer, à l'exclusion de la taille des hamburgers ou du nombre de hamburgers ?

Solution Les garnitures de chaque hamburger font partie d'un sous-ensemble de l'ensemble de toutes les garnitures possibles, et l'ensemble vide n'est qu'un hamburger. Le nombre total de hamburgers possibles sera égal à

. Ainsi, Wendy's peut proposer 512 hamburgers différents.

Publié dans le magazine Hard"n"Soft n°10 2003

L'étonnant triangle du grand Français

Je me souviens bien d'un professeur qui avait
vision et pensait qu'il devenait fou.
Il est venu vers moi dans un état de panique totale.
En réponse, j'ai simplement pris sur l'étagère un livre écrit par
il y a environ quatre cents ans, et montra au patient
gravure sur bois représentant exactement
ce qu'il a imaginé.
Carl Gustav Jung. L'homme et ses symboles.

Quand je lis Pascal, il me semble
que je lis moi-même.
Stendhal

Mention désobligeante" des gens irremplaçables non », tant apprécié des managers incompétents, pourrait convenir s'il s'agissait de creuser une tranchée ou de nettoyer les ordures, au contraire, tout type d'activité lié à la créativité montrera l'irremplaçabilité et le caractère unique de chaque personne. nous parlons de sur les génies, alors nous devrions tous remercier le destin pour l'opportunité de profiter des fruits de leur activité, pour la lumière qui en émane, illuminant les chemins du développement humain. Sur le site Internet du magazine "Knowledge is Power", il y a un vote pour savoir qui vous considérez comme le scientifique le plus important des 2000 dernières années. (http://www.znanie-sila.ru/vote/?id=2 - au fait, regardez, il est intéressant de comparer vos préférences avec le choix de la majorité.) Et, bien sûr, parmi les scientifiques les plus populaires, nous voir à juste titre le nom de Blaise Pascal (1623 -1662).

Pascal est décédé à l'âge de 39 ans, mais malgré tout courte vie, il est entré dans l'histoire comme mathématicien exceptionnel, physicien, philosophe et écrivain. Une unité de pression (pascal) et un langage de programmation extrêmement répandu portent son nom par ses descendants reconnaissants. Turbo Pascal 5.5 pour DOS était particulièrement populaire, maintenant Borland Pascal 7.0 et ses développement ultérieur à Delphes. Les œuvres de Pascal s'étendent le plus différents domaines . Il est l'un des créateurs analyse mathématique

, géométrie projective, théorie des probabilités, hydrostatique (la loi de Pascal est bien connue, selon laquelle un changement de pression dans un fluide au repos est transmis à ses autres points sans changement), le créateur d'un dispositif de calcul mécanique - la « roue de Pascal » - comme disaient les contemporains. Pascal a démontré que l'air a de l'élasticité, a prouvé qu'il a du poids et a découvert que les lectures du baromètre dépendent de l'humidité et de la température de l'air et peuvent donc être utilisées pour prédire le temps. Certains de réalisations pratiques Pascal a été récompensé- Aujourd'hui, peu de gens connaissent le nom de leur auteur. Par exemple, très peu de gens diront désormais que la voiture la plus ordinaire est l'invention de Blaise Pascal. Il a également eu l'idée des omnibus - des calèches multiplaces à itinéraires fixes - le premier type de transport public urbain régulier. Déjà à l'âge de seize ans, Pascal formulait un théorème sur un hexagone inscrit dans section conique(Théorème de Pascal). (On sait qu'il a ensuite obtenu environ 400 corollaires de son théorème.) Quelques années plus tard, Blaise Pascal a créé un dispositif informatique mécanique - une machine de sommation qui permettait d'additionner des nombres dans système décimal

Compte. Dans cette machine, les nombres étaient définis par des tours de disques (roues) correspondants avec des divisions numériques, et le résultat de l'opération pouvait être lu dans des fenêtres - une pour chaque chiffre. Blaise Pascal et un autre grand Français, Pierre Fermat, sont devenus les fondateurs de la théorie des probabilités, et l'année de sa naissance est souvent appelée 1654, lorsque Pascal et Fermat ont donné indépendamment explication correcte ce qu’on appelle le paradoxe de la division tarifaire. Deux joueurs jouent à un jeu « inoffensif » (c'est-à-dire qu'ils ont tous deux les mêmes chances de gagner), convenant que le premier à gagner six jeux recevra la totalité du prix. Supposons que le jeu s'arrête avant que l'un d'eux ne remporte un prix (par exemple, le premier joueur a gagné cinq parties et le deuxième joueur en a gagné trois). Comment répartir équitablement le prix ? Même si, d'une manière générale, ce problème

Pendant ce temps, vous devez diviser dans un rapport de 7 : 1. Pascal et Fermat ont tous deux traité le paradoxe de la division des paris comme un problème de probabilité, établissant qu'une division équitable était proportionnelle aux chances du premier joueur de remporter le prix. Supposons que le premier joueur n'ait plus qu'une partie à gagner et que le second doive gagner trois autres parties pour gagner, et que les joueurs continuent la partie et jouent les trois parties, même si certaines d'entre elles s'avèrent inutiles pour déterminer le vainqueur. . Pour une telle continuation, tous les 2 3 = 8 résultats possibles seront également probables. Étant donné que le deuxième joueur ne reçoit un prix que dans un seul résultat (s'il gagne les trois jeux), et que dans les autres cas, le premier joueur gagne, le rapport 7 : 1 est juste (Pascal et Fermat ont également trouvé. solution générale

pour le cas où un joueur doit gagner n jeux supplémentaires pour recevoir un prix, et l'autre doit gagner m jeux.)

Mais l'ouvrage mathématique le plus célèbre de Blaise Pascal est peut-être son traité sur le « triangle arithmétique » formé par des coefficients binomiaux (triangle de Pascal), qui a des applications en théorie des probabilités et possède des propriétés surprenantes et amusantes. Nous considérerons ce triangle magique ; ceux qui souhaitent approfondir leurs connaissances sur le brillant scientifique trouveront une liste de la littérature à son sujet sur http://inf.1september.ru/2002/1/france.htm, et sur le site « Sous-marin ». " http://schools. techno.ru/sch444/MUSEUM/PRES/PL-4-98.htm une histoire intrigante sur Pascal, son père, sa sœur et le cardinal Richelieu lui-même.
Le triangle sera ivre
Vous le donnez avec fracas !
Même s'il était un parallélépipède,
S'il était un cube, ce serait un pou

V. Vysotsky En fait, le triangle de Pascal était connu bien avant 1653, date de publication du Traité du Triangle Arithmétique. Ainsi, ce triangle est reproduit sur la page de titre d'un manuel d'arithmétique rédigé en début XVIe Peter Apian, astronome à l'université d'Ingoltstadt. Un triangle est également représenté dans une illustration d’un livre d’un mathématicien chinois publié en 1303. Omar Khayam

Martin Gardner écrit dans le livre « Mathematical Novels » (M., Mir, 1974) : « Le triangle de Pascal est si simple que même un enfant de dix ans peut l'écrire. En même temps, il recèle des trésors et des liens inépuisables. ensemble divers aspects des mathématiques qui, à première vue, n'ont rien de commun entre eux. De telles propriétés inhabituelles nous permettent de considérer le triangle de Pascal comme l'un des schémas les plus élégants de toutes les mathématiques.

Supposons que vous entrez dans la ville comme indiqué sur le schéma avec la flèche bleue, et que vous ne puissiez qu'avancer, ou plutôt, choisir constamment, avancer vers la gauche ou avancer vers la droite. Les nœuds qui ne peuvent être atteints que d'une seule manière sont marqués par des visages souriants verts ; un point qui peut être atteint de deux manières est représenté par un visage souriant rouge et trois, respectivement, en rose. C'est l'une des options de construction d'un triangle, proposée par Hugo Steinhaus dans son classique « Mathématique Kaléidoscope ».

Et la structure du triangle de Pascal s’explique encore plus simplement par les mots suivants : chaque nombre est égal à la somme des deux nombres situés au-dessus de lui. Tout est élémentaire, mais il y a tellement de miracles cachés.

Le sommet du triangle est 1. Le triangle peut se poursuivre indéfiniment. Il est symétrique par rapport à un axe vertical passant par son sommet. Le long des diagonales (dans la mesure où un triangle peut avoir des diagonales, mais ne chipotons pas, on retrouve une telle terminologie dans les publications), parallèle aux côtés triangle (marqué de lignes vertes sur la figure) les nombres triangulaires et leurs généralisations au cas d'espaces de toutes dimensions sont construits.

Les nombres triangulaires sous la forme la plus courante et la plus familière montrent combien de cercles touchants peuvent être disposés sous la forme d'un triangle - comment exemple classique disposition initiale des boules au billard. Vous pouvez en attacher deux de plus à une pièce - pour un total de trois - à deux, vous pouvez en attacher trois de plus - pour un total de six. En continuant à augmenter les rangs tout en conservant la forme du triangle, nous obtenons les rangs 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., ce que montre le deuxième. ligne verte. Cette merveilleuse série, dont chaque membre est égal à la somme de la série naturelle des nombres (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), contient également de nombreux nombres familiers qui sont bien connu des amateurs de mathématiques : 6 et 28 - nombres parfaits, 36 - nombre carré, 8 et 21 sont des nombres de Fibonacci.

La ligne verte suivante nous montrera les nombres tétraédriques - nous pouvons mettre une balle sur trois - un total de quatre, sous trois nous pouvons en mettre six (efforcez-vous et imaginez !) - un total de dix, et ainsi de suite. Vous pouvez en savoir plus sur les nombres triangulaires dans Hard"n"Soft No. 4 2002 dans l'article "Cannibal Rabbits, Quatrains and the Reserve of Sequences" également disponible sur Watermelon.

Et la prochaine ligne verte (1, 5, 15, 35,...) démontrera une tentative de tracer un hypertétraèdre dans espace à quatre dimensions- une balle en touche quatre, et elles en touchent à leur tour dix... Dans notre monde, cela est impossible, seulement dans un monde virtuel à quatre dimensions. Et plus encore, le tétraèdre à cinq dimensions, comme en témoigne la ligne verte suivante, ne peut exister que dans le raisonnement des topologues.

Mais que nous dit la ligne verte supérieure, sur laquelle se situent les nombres de la série naturelle ? Ce sont également des nombres triangulaires, mais unidimensionnels, indiquant combien de balles peuvent être disposées le long de la ligne - autant qu'il y en a, disposez-en autant. Si nous allons jusqu'au bout, alors la rangée de un la plus haute est également constituée de nombres triangulaires dans un espace de dimension zéro - peu importe le nombre de balles que nous prenons, nous ne pourrons pas en placer plus d'une, car il n'y a tout simplement nulle part - il y a ni longueur, ni largeur, ni hauteur.

Un simple coup d'œil au triangle de Pascal suffit pour constater les faits curieux suivants : 10 noyaux peuvent être pliés aussi bien sous la forme d'un tétraèdre que sous la forme d'un triangle plat. Et 56 hypernoyaux formant un tétraèdre dans un espace à cinq dimensions peuvent être disposés dans le tétraèdre tridimensionnel habituel, cependant, si nous essayions de disposer un triangle à partir de 56 noyaux, alors un noyau resterait en trop.

Comment dessiner le triangle de Pascal pour jouer avec ? Il est préférable d'utiliser l'idée que nous avons envisagée lors de la programmation de la vie hexagonale dans Hard"n"Soft n°5 2002 (sur Arbuz), à savoir qu'un tableau bidimensionnel ordinaire est pris, mais lorsqu'il est affiché à l'écran, les lignes sont décalées après une ligne paire vers la droite d'un quart de pas, les lignes impaires vers la gauche d'un quart de pas, puis les lignes sont décalées d'un demi-pas, ce qui nous donne une structure de champ hexagonale avec un réseau rectangulaire. Et la bidimensionnalité du tableau rend son utilisation très facile, en spécifiant les actions sur la cellule dans une boucle en lignes et en lignes.

Après avoir bidouillé pendant quelques minutes, vous serez récompensé par un triangle apparaissant à l'écran et vous serez donc prêt pour les prochaines expériences inhabituelles. (Vous ne devez pas spécifier trop de lignes, car à partir de 13-14 lignes, quatre et nombres à cinq chiffres, ils se confondent avec ceux qui se trouvent à côté d'eux et l'image devient floue. Vous pouvez bien sûr augmenter le rayon de la cellule et réduire la police, mais les nombres au milieu du triangle grandissent rapidement et fusionnent, bien que quelques lignes plus bas.)

Mais d'abord quelques autres propriétés intéressantes Le triangle de Pascal. Pour trouver la somme des nombres sur n'importe quelle diagonale depuis le début jusqu'au lieu qui nous intéresse, il suffit de regarder le nombre situé en dessous et à gauche du dernier terme. (à gauche pour la diagonale droite, pour la diagonale gauche ce sera à droite, et en général - plus proche du milieu du triangle). Supposons, par exemple, que nous voulions calculer la somme des nombres de la série naturelle de 1 à 9. En « descendant » en diagonale jusqu'au nombre 9, nous verrons le nombre 45 en bas à gauche de celui-ci. la somme requise. Quelle est la somme des huit premiers nombres triangulaires ? Nous trouvons le huitième nombre sur la deuxième diagonale et descendons vers la gauche. Réponse : 120. Mais au fait, 120 est un nombre tétraédrique. Ainsi, en prenant toutes les boules qui composent les 8 premiers triangles, on pourrait former un tétraèdre. Essayez avec des cerises ou des pommes

Les sommes de nombres le long des diagonales moins abruptes (marquées par des lignes rouges sur la figure) forment la séquence de Fibonacci, bien connue des lecteurs réguliers. Voir, par exemple, l'article « Cannibal Rabbits, Quatrains... » mentionné ci-dessus ou de nombreux documents sur la pastèque.

Mais dans les publications précédentes, nous n'avons pas parlé du fait que les nombres de Fibonacci se trouvent souvent dans problèmes combinatoires Oh. Considérons une rangée de n chaises. De combien de manières les hommes et les femmes peuvent-ils s'asseoir dessus pour qu'aucune femme ne s'assoie l'une à côté de l'autre ? Lorsque n=1, 2, 3, 4, ... le nombre de façons est respectivement de 2, 3, 5, 8, ..., c'est-à-dire qu'il coïncide avec les nombres de Fibonacci. Pascal ne savait apparemment pas que les nombres de Fibonacci étaient cachés dans son triangle. Cette circonstance n'a été découverte qu'au 19ème siècle. Les nombres sur les lignes horizontales du triangle de Pascal sont coefficients binomiaux, c'est-à-dire les coefficients de dilatation (x+y) n en puissances de x et y. Par exemple, (x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2 et (x+y) 3 =x 3 +3x 2 y+3xy2+y 3. Les coefficients de dilatation 1, 2, 2 sont dans la deuxième rangée et 1, 3, 3, 1 sont dans la troisième rangée du triangle. Pour trouver les coefficients de dilatation (x+y) n, il suffit de regarder la nième ligne du triangle.

C'est exactement ce que propriété fondamentale Le triangle de Pascal le relie à la combinatoire et à la théorie des probabilités, en faisant un moyen pratique d'effectuer des calculs.

Supposons (un exemple de Martin Gardner) qu'un certain cheikh, suivant les lois de l'hospitalité, décide de vous donner trois de ses sept épouses. Combien de choix différents pouvez-vous faire parmi les belles habitants du harem ? Pour répondre à cela question passionnante il vous suffit de trouver le nombre à l'intersection de la diagonale 3 et de la ligne 7 : il s'avère être égal à 35. Si, pris d'excitation joyeuse, vous confondez les numéros de diagonale et de ligne et cherchez le nombre à l'intersection de la diagonale 7 avec la ligne 3, vous constaterez qu’elles ne se croisent pas. C'est-à-dire que la méthode elle-même ne vous permet pas de faire des erreurs ! DANS cas général

Où n!=1*2*3*4*....*n est ce qu'on appelle la factorielle du nombre n. Et les mêmes trois épouses sur sept peuvent être choisies de tant de façons : C 3 7 =7!/3!/4!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3/1 *2*3 *4=5040/6/24=35, ce que nous avons obtenu plus tôt. Et les valeurs des coefficients binomiaux sont déterminées par la formule et, comme nous l'avons découvert, ce sont les rangées du triangle de Pascal, reliant de manière incompréhensible ce triangle à la combinatoire et au développement des binômes en puissances.

À propos, de la formule combinée, il s'ensuit que le nombre d'options pour choisir trois sur sept est égal au nombre d'options pour choisir quatre sur sept, ou le nombre d'options pour remplir les cartes Sportloto 5 sur 36. est égal au nombre de choix 31 sur 36, pensez à ce sujet agréable.

Le lien entre la combinatoire et la théorie des probabilités devient clair si l’on considère les huit résultats possibles du tirage au sort de trois pièces : GGG, GGR, GRG, RGG, RGR, RRG, RRR. Il n'est pas difficile de voir que trois blasons apparaissent dans un seul cas, deux blasons dans trois cas, un blason dans trois cas, et pas d'armoiries dans un cas. Les nombres d'épreuves favorables pour recevoir les armoiries 3, 2, 1 et 0 sont 1, 3, 3, 1. Ce sont les nombres qui apparaissent dans la troisième rangée du triangle de Pascal. Supposons maintenant que nous voulions connaître la probabilité d’obtenir exactement 5 armoiries en lançant 10 pièces en même temps. Tout d'abord, vous devez compter combien il y en a de diverses manières , vous permettant de choisir 5 pièces sur 10. On obtient la réponse en trouvant le nombre à l'intersection de la 5ème diagonale et de la 10ème ligne. Il est égal à 252. En additionnant tous les nombres de la 10ème ligne, on trouve que le nombre de calculs possibles peut être considérablement réduit si l'on utilise la propriété suivante des coefficients binomiaux : la somme des coefficients binomiaux (x+y) ) n, et ce sont eux qui se trouvent dans n La ième rangée du triangle de Pascal est égale à 2 n. Vraiment,, situé dans n'importe quelle ligne du triangle, est le double de la somme des nombres de la ligne précédente, car lors de la construction de chaque ligne, les nombres de la précédente sont notés deux fois. La somme des nombres de la première ligne (la plus haute) est égale à 1. Par conséquent, les sommes des nombres dans les lignes du triangle de Pascal forment une progression géométrique avec le premier terme égal à 1 et le dénominateur 2 : 1, 2, 4, 8, .... La puissance dixième de 2 est 1024. Par conséquent, la probabilité d’obtenir cinq faces en lançant 10 pièces est de 252/1024= 63/256.

Ceux qui souhaitent en savoir plus sur le lien entre le triangle de Pascal et la combinatoire peuvent visiter la page http://combinatorica.narod.ru/third.html. Le triangle de Pascal est bidimensionnel et se situe dans un plan. Le savon apparaît involontairement - mais est-il possible d'étendre ses motifs à un analogue tridimensionnel (et quadridimensionnel) ? Il s'avère que c'est possible ! L'article d'O. V. Kuzmin (http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/1006.html) considère un analogue tridimensionnel d'un triangle - la pyramide de Pascal, sa connexion avec les coefficients trinomiaux et donne exemples de processus

, ce qu'un tel modèle peut refléter. Maintenant, enfin, passons à la partie la plus intéressante pour nous. propriété incroyable

Le triangle de Pascal. Remplaçons chaque nombre du triangle de Pascal par un point. De plus, nous afficherons les points impairs dans une couleur contrastée, et les pairs dans une couleur transparente ou de fond. Le résultat sera étonnamment surprenant : le triangle de Pascal se divisera en triangles plus petits, formant un motif élégant. Ces modèles réservent de nombreuses surprises. À mesure que nous nous éloignons du sommet, nous rencontrerons des triangles de tailles toujours croissantes, ne contenant pas un seul point gras, c'est-à-dire « composés » uniquement de nombres pairs. Au sommet du triangle de Pascal il y a un triangle « caché » constitué d'un seul point, puis il y a des triangles contenant 6, 28, 120, 496, ... points. Trois de ces nombres – 6, 28 et 496 – sont réputés parfaits car chacun d’eux est égal à la somme de tous ses diviseurs autres que le nombre lui-même.

La parité d'un nombre peut être facilement déterminée en comparant le reste de la division par deux avec zéro ; pour un nombre pair, le reste est zéro, pour un nombre impair, le reste est un. Et pour déterminer le reste, vous pouvez utiliser la fonction Mod, disponible dans presque tous les langages de programmation. Si vous êtes trop paresseux pour programmer, mais que vous voulez absolument voir ce miracle, allez sur http://www.informika.ru/text/inftech/edu/edujava/mathematics/Pascal/Pascal.html et vous y trouverez un applet qui dessine le triangle de Pascal avec des points en tenant compte de la parité.

Il existe également un lien vers le code source en Java, vous pouvez le comprendre et l'améliorer à votre propre discrétion. Les amateurs de mathématiques seront immédiatement frappés par la « fractalité » de l'objet obtenu, ou plutôt, on ne voit rien d'autre que le « Triangle de Sierpinski », analogue du célèbre « Tapis Sierpinski ». Ces modèles sont particulièrement populaires, aux côtés du « Koch Snowflake » et des ensembles Mandelbrot et Julie Steel. dernières années en raison de l'engouement pour les fractales et les synergies. Expliquons brièvement pour les débutants.

Du maître des mathématiques populaires Martin Gardner, nous constatons qu'en 1905, lors de la conférence annuelle Olympiade mathématique en Hongrie, le problème a été proposé : « Un carré est divisé en 9 parties (comme pour le jeu de tic-tac-toe) et le carré central est supprimé Ensuite chacun des 8 carrés restants est divisé en 9 parties, le carré central. est supprimé et la procédure est répétée plusieurs fois. Trouvez la limite vers laquelle la zone tend le chiffre résultant. Ainsi - la figure résultante est le tapis Sierpinski - le carré est tellement plein de trous qu'il est déjà plus proche de la ligne. Le triangle que nous avons vu peut être obtenu de la même manière - initialement les milieux des côtés du triangle sont connectés et le triangle résultant est supprimé.

Dans un deuxième temps, la même opération est réalisée avec les trois triangles restants, puis avec les neuf triangles restants, et ainsi de suite. Pouvez-vous trouver la limite vers laquelle tend la surface restante ? Et comment expliquer la coïncidence des deux modèles ?

Les auteurs de la page http://chaos.h1.ru/ChaosAndFractals/1/ proposent de construire immédiatement le triangle de Pascal en le remplissant non pas de nombres, mais de zéros ou de uns selon la règle : la somme de deux zéros ou de deux uns donne zéro (c'est-à-dire que la somme de deux nombres pairs ou impairs est toujours paire), et la somme de zéro et un donne un (comme la somme d'un nombre pair avec un nombre impair). Cette technique nous permettra de construire un triangle arbitrairement grand, et en le remplissant avec des nombres « réels », nous pourrions rencontrer une limitation sur représentation de la machine chiffres, et avec le fait que la fonction Mod est activée limite de nombre déclaré comme Double commence à échouer. Les auteurs de la page mentionnée proposent également d'organiser le triangle sous forme d'un tableau bidimensionnel (ce que nous avons fait) et d'utiliser son champ pour modéliser Cellular Automata, ce que nous avons fait dans l'article sur le jeu Life (on Watermelon). , sans toutefois limiter le champ à un triangle.

On continue - on essaie de vérifier non pas la parité, mais le reste de la division par d'autres nombres, et à chaque fois on est surpris par l'apparition du triangle. Après avoir joué pendant un moment, nous remarquerons que lorsque vous définissez le nombre par lequel nous vérifions comme étant un nombre simple, vous obtenez de beaux motifs avec un motif prononcé (essayez de régler 3, 5, 7, 11, 13, 17.. .), et en divisant par numéro composé

Considérons un triangle construit « relativement » au nombre 7, c'est-à-dire que les nombres qui ne sont pas divisibles par 7 sans reste sont dessinés en noir, ceux qui sont divisibles sont dessinés en blanc, et essayons de voir les motifs.

Pour ceux qui souhaitent approfondir les liens entre la combinatoire, la théorie des probabilités et le triangle de Pascal, nous recommandons l'article de Gregory J. Chaitin « Randomness in Arithmetic » de la revue IN THE WORLD OF SCIENCE. (Scientific American. Édition en russe). N° 9 1988, situé sur http://grokhovs2.chat.ru/arith/arith.html, mais pour l'instant nous allons faire quelque chose de nouveau - essayons de colorer le triangle de Pascal. Pour ce faire, nous attribuons trois variables (r,g,b) responsables respectivement des composantes rouge, verte et bleue de la coloration cellulaire et lions leur valeur (le maximum peut être égal à 255) au contrôle de divisibilité par différents numéros. Dans la liste de programmes ci-dessus, la couleur rouge dépend, comme auparavant, de la parité du nombre, la couleur verte dépend de sa divisibilité par 9 et la couleur bleue dépend de sa divisibilité par 11. De nombreuses variantes d'expériences sont marquées d'apostrophes. en guise de commentaires, vous pouvez les "faire revivre" ou inventer vos propres "numéros de contrôle" et leurs nuances de couleurs.

Dim a(100, 100) En tant que double Dim radius En tant qu'octet, i En tant qu'octet, kol En tant qu'octet Dim sdvig En tant qu'entier, X En tant qu'entier, Y En tant qu'entier, X1 En tant qu'entier, Y1 En tant qu'entier Private Sub Form_Load() Pour Y = 1 To kol Pour X = 1 To kol a(X, Y) = 0 Suivant X Suivant Y rayon = 5 " rayon de cellule en pixels kol = 20 " Nombre de lignes a(Int(kol / 2), 0) = 1 " en premier unité , à partir de laquelle le triangle grandit DrawWidth = 1 "Épaisseur de ligne Pour Y = 0 À kol Pour X = 1 À kol sdvig = rayon / 2 * (-1) ^ Y " Décalez chaque ligne vers la gauche, puis vers la droite Si Y > 0 Alors si sdvig > 0 Alors a(X, Y) = a(X + 1, Y - 1) + a(X - 0, Y - 1) Sinon a(X, Y) = a(X + 0 , Y - 1 ) + a(X - 1, Y - 1) Fin Si Fin Si X1 = 60 + X * rayon * 2 + sdvig Y1 = 10 + Y * rayon * 1,7 FillStyle = 0 r = 0 : g = 0 : b = 0 Si a(X, Y) > 0 Alors Si (a(X, Y) - Int(a(X, Y) / 2) * 2) = 0 Alors r = 250 "Si (a(X, Y) / 4 ) - Int(a(X, Y) / 4) = 0 Alors r = 120 "Si (a(X, Y) / 8) - Int(a(X, Y) / 8) = 0 Alors r = 180 " Si (a(X, Y) / 16) - Int(a(X, Y) / 16) = 0 Alors r = 250 " Si (a(X, Y) / 3) - Int(a( X, Y) / 3) = 0 Alors g = 60 Si (a(X, Y) / 9) - Int(a(X, Y) / 9) = 0 Alors g = 250 "Si (a(X, Y ) / 7) - Int(a(X, Y) / 7) = 0 Alors g = 180 "Si (a(X, Y) / 5) - Int(a(X, Y) / 5) = 0 Alors g = 250 Si ( a(X, Y) / 11) - Int(a(X, Y) / 11) = 0 Alors b = 250 "Si (a(X, Y) / 13) - Int(a(X, Y) / 13 ) = 0 Alors b = 120 "Si (a(X, Y) / 17) - Int(a(X, Y) / 17) = 0 Alors b = 180 " Si (a(X, Y) / 19) - Int(a(X, Y) / 19) = 0 Alors b = 250 ForeColor = RGB(r, g, b) FillColor = RGB(r, g, b) " Cercle de couleur de remplissage (X1, Y1) , rayon, RVB (90, 90, 90) End If Next X Next Y " Quitter le programme Private Sub Exit_Click() End End Sub

Et voici le résultat du programme. N'est-ce pas beau ? Des « zones Sierpinski » triangulaires rouges sont visibles, qui, superposées aux fenêtres vertes à partir de neuf, donnent des zones jaunes, et avec les zones bleues de division par 11, donnent des zones lilas. Cette beauté a-t-elle valeur appliquéeà part le motif du papier peint, ce n'est pas encore clair, mais du triangle de Pascal, surtout celui coloré, on peut s'attendre à des miracles, peut-être dans un avenir proche. Et en voici un autre option de coloration, effectué selon l'algorithme

R = a(x, y) / 3 Mod 255 g = a(x, y) / 2 Mod 255 b = a(x, y) / 4 Mod 255

Regardez l'image, essayez de la lier à l'algorithme, ou mieux encore, essayez votre propre version. L'article http://www.webbyawards.ru/pcworld/2001/07/130_print.htm suggère d'utiliser la récursivité pour construire le triangle de Pascal. Ce qu'est la récursivité et dans quelle mesure elle est optimale pour la programmation peut être trouvé sur http://arbuz.ferghana.ru/z_vetki.htm. Sur les pages http://hcinsu.chat.ru/algoritm/mathem/binom.html et http://dkws.narod.ru/math/tpas.html vous trouverez des programmes pour composer le triangle de Pascal, et sur la page http :// galibin.chat.ru/Java/Pascal/index.html il existe aussi une applet qui le dessine à l'écran, cependant, vous êtes maintenant déjà bien armé, mais ces pages peuvent vous donner de nouvelles idées.

Il y en a plus sur le triangle de Pascal bon article animateur de la rubrique de programmation divertissante "Computer News" A. Kolesnikov sur http://www.kv.by/index2002151201.htm. Nous avons commencé notre réflexion sur le triangle de Pascal avec les options de mouvement, et nous terminerons par elles. Il y a un livre sur la page dédié aux énigmes Evgenia Gika "Échecs et mathématiques". Dans le chapitre consacré à la géométrie de l'échiquier (http://golovolomka.hobby.ru/books/gik/05.shtml) l'auteur donne des exemples étonnants

Et la toute dernière question, liée à la fois au triangle de Pascal et aux échecs. Quelle est la somme de tous les nombres au-dessus d’une ligne ? Considérez vous-même ces sommes, en commençant par le haut, et vous verrez les valeurs 1, 3, 7, 15, 31,... Vous n'avez pas besoin de beaucoup d'imagination pour voir un schéma simple : la somme de tous les nombres pour n lignes sont 2 n -1. Et qu’est-ce que les échecs ont à voir là-dedans ? Selon une légende bien connue, le Raja aurait promis au créateur des échecs toute récompense qu'il demanderait. Lorsque le premier joueur d'échecs demanda de mettre un grain de blé sur la première case de l'échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite, en continuant à le doubler, jusqu'à la 64ème case, le Raja s'offusqua même de d’abord par la maigreur de la récompense demandée. Lorsque ses commerçants ont estimé la quantité demandée, il s'est avéré que ce grain pouvait couvrir toute la Terre jusqu'aux genoux ; c'est bien plus que ce qui a été et sera collecté dans toutes les récoltes de l'humanité. (À propos, vous pouvez estimer la hauteur de la couche de grains, étant donné le volume du grain, par exemple 1 mm 3, multiplier par 2 64, soustraire certainement 1 et diviser par la superficie de la surface terrestre.) Donc - sur chaque carré du plateau il y aurait (serait) le nombre de grains,égal à la somme

nombres dans la rangée correspondante du triangle de Pascal, et la somme de tous les grains sur les n premières cellules serait égale à la somme des nombres sur ces n rangées de ce triangle magique. C'est avec cette fantaisie abondante que nous conclurons notre réflexion.

Variations sur le thème "Le Triangle de Pascal"

Histoire

Le triangle de Pascal est peut-être l’un des schémas numériques les plus célèbres et les plus élégants de toutes les mathématiques.

Blaise Pascal, mathématicien et philosophe français, lui a dédié un « Traité sur le triangle arithmétique » spécial.

Cependant, cette table triangulaire était connue bien avant 1665 – date de publication du traité.

Ainsi, en 1529, le triangle de Pascal fut reproduit sur la page de titre d'un manuel d'arithmétique rédigé par l'astronome Peter Apian.

Un triangle est également représenté dans l’illustration du livre « Le miroir de jaspe des quatre éléments » du mathématicien chinois Zhu Shijie, publié en 1303.

Omar Khayyam, qui était non seulement philosophe et poète, mais aussi mathématicien, connaissait l'existence du triangle en 1110, l'empruntant à son tour à des sources chinoises ou indiennes antérieures.

Construction du triangle de Pascal Le triangle de Pascal est simplement un infini "table de nombres", dans lequel il y en a un en haut et sur les côtés, chacun des nombres restants est égal à la somme des deux nombres au-dessus à gauche et à droite dans la ligne précédente. Le tableau a une symétrie par rapport à l'axe passant par son sommet.

Propriétés du triangle de Pascal

Propriétés de chaîne

nième ligne

prochaine propriété

Nombres triangulaires
Les nombres triangulaires, tétraédriques et autres sont alignés le long des diagonales parallèles aux côtés du triangle. Les nombres triangulaires indiquent le nombre de boules ou autres objets disposés sous forme de triangle (ces nombres forment la séquence suivante : 1,3,6,10,15,21,..., dans laquelle 1 est le premier nombre triangulaire, 3 est le deuxième nombre triangulaire, 6-tiers, etc. jusqu'à m-ro, qui montre combien de termes du triangle de Pascal sont contenus dans les m premières lignes - de zéro à (m-1)ième).

Nombres tétraédriques
Les membres de la suite 1,4, 10, 20, 36, 56,... sont appelés nombres pyramidaux, ou plus précisément tétraédriques : 1 est le premier nombre tétraédrique, 4 est le deuxième, 10 est le troisième, etc. .jusqu'à m-ro. Ces nombres montrent combien de balles peuvent être empilées sous la forme pyramide triangulaire(tétraèdre).

Numéros de Fibonacci
En 1228, l'éminent mathématicien italien Léonard de Pise, mieux connu aujourd'hui sous le nom de Fibonacci, écrivit son célèbre « Livre du Boulier ». L'un des problèmes de ce livre, celui de l'élevage des lapins, a abouti à la séquence de nombres 1,1,2,3,5,8,13,21..., dans laquelle chaque terme, à partir du troisième, est le somme des deux termes précédents. Cette séquence est appelée série de Fibonacci, les membres de la série de Fibonacci sont appelés nombres de Fibonacci. Désignant le nième nombre de Fibonacci par

Il existe un lien intéressant entre la série de Fibonacci et le triangle de Pascal. Pour chaque diagonale ascendante du triangle de Pascal, on forme la somme de tous les nombres de cette diagonale. Nous obtenons 1 pour la première diagonale, 1 pour la deuxième, 2 pour la troisième, 3 pour la quatrième et 5 pour la cinquième. Nous n’avons rien de plus que cinq nombres de Fibonacci initiaux. Il s’avère que la somme des nombres est toujours nième diagonale est le nième nombre de Fibonacci. Pour prouver la proposition qui nous intéresse, il suffit de montrer que la somme de tous les nombres qui composent les nièmes et (n+1) diagonales du triangle de Pascal est égale à la somme des nombres qui composent son m+ 2ème diagonale.

Coefficients binomiaux
Les nombres sur les lignes horizontales sont des coefficients binomiaux. La ligne numérotée n est constituée des coefficients du développement binomial (1+n)n. Montrons cela en utilisant l'opération de Pascal. Mais d'abord, imaginons comment les coefficients binomiaux sont déterminés.

Prenons un binôme 1+x et commençons à l'élever aux puissances 0, 1, 2, 3, etc., en disposant les polynômes résultants en puissances croissantes de la lettre x. Nous obtiendrons

1.(1+x)0=1,
2.(1+x)1=1+x,
3. (1 +x)2=(1 +x)(1 +x)= 1 +2x+x2,
4.(1+х)3=1+Зх+Зх2+хЗ
etc.

En général, pour tout ensemble nombre non négatif n
(1+x)n=a0+a1x+a2x2+...+apxp,
où a0,a1,...,ap

La dernière relation peut être réécrite sous la forme et à partir des relations 1-4 on obtient

Le triangle de Pascal s'est formé dont chaque élément

C’est cette propriété fondamentale du triangle de Pascal qui le relie non seulement à la combinatoire et à la théorie des probabilités, mais également à d’autres domaines des mathématiques et de leurs applications.

Résoudre des problèmes en utilisant le triangle de Pascal

Vieux problèmes liés au hasard
Depuis l'Antiquité, divers jeu d'argent. DANS Grèce antique et à Rome, les jeux d'astragale se sont répandus, lorsque les joueurs jetaient des os d'animaux. Aussi populaire dés- des cubes avec des points marqués sur les faces. Le jeu s’est ensuite répandu dans toute l’Europe médiévale.

Ces jeux ont donné beaucoup de choses aux mathématiciens tâches intéressantes, qui a ensuite constitué la base de la théorie des probabilités. Les problèmes liés au partage de la mise étaient très populaires. Après tout, en règle générale, le jeu se jouait pour de l'argent : les joueurs faisaient des paris et le gagnant prenait la totalité du montant. Cependant, le jeu était parfois interrompu avant la finale, et la question se posait : comment répartir l'argent.

De nombreux mathématiciens ont travaillé à la résolution de ce problème, mais jusqu'à milieu du 17ème siècle des siècles, ils ne l'ont jamais trouvé. En 1654 entre Mathématiciens français Blaise Pascal, que nous connaissons déjà, et Pierre Fermat entament une correspondance concernant un certain nombre de problèmes combinatoires, dont des problèmes de partage de la mise. Les deux scientifiques, bien que plusieurs de différentes manières, est venu à la bonne décision, divisant la mise proportionnellement à la probabilité de gagner la totalité du montant si le jeu continue.

Il convient de noter qu'avant eux, aucun des mathématiciens n'a calculé la probabilité des événements ; dans leur correspondance, la théorie des probabilités et la combinatoire ont été scientifiquement étayées, et donc Pascal et Fermat sont considérés comme les fondateurs de la théorie des probabilités.

Considérons un des problèmes de Fermat, résolu par Pascal à l'aide de sa table numérique.

Supposons que le joueur A ait besoin de deux parties avant de gagner tout le match, et que le joueur B ait besoin de trois parties. Comment répartir équitablement la mise si le jeu est interrompu ?

Pascal additionne le nombre de parties manquantes aux joueurs et prend une ligne de tableau dans laquelle le nombre de termes est égal à la somme trouvée, soit 5. Alors la part du joueur A sera égale à la somme des trois (d'après le nombre de parties manquantes au joueur B) premiers termes de la cinquième rangée, et la part du joueur B est la somme des deux nombres restants. Écrivons cette ligne : 1,4,6,4, 1. La part du joueur A est de 1+4+6=11, et la part du joueur B est de -1+4=5.

Autres triangles arithmétiques

Considérons des triangles dont la construction est associée à des nombres combinatoires connus à un paramètre. La création de tels triangles est basée sur le principe de construction du triangle de Pascal évoqué ci-dessus.

Le triangle de Luc

Considérons le construit triangle arithmétique. Ce triangle est appelé le triangle de Lucas, puisque les sommes des nombres sur les diagonales ascendantes donnent la séquence des nombres de Lucas : 1, 3, 4, 7, 11, 18, / qui peut être défini comme

Ln=Ln-1+Ln-2, L0=2, L1=1

Chaque élément du triangle est déterminé par la règle de Pascal Ln+1,k=Ln, k-1+Ln, k avec les conditions initiales L1,0=1, L1,1=2 et L0,k=0

c'est-à-dire nième ligne une trappe triangulaire peut être obtenue ajouter le nième et (n-1)ièmes rangées du triangle de Pascal.

Triangle de Fibonacci

A partir des nombres (fm, n) satisfaisant les équations
fm, n=fm-1,n+fm-2,n,
fm, n=fm-1,n-1+fm-2,n-2, où c conditions initiales f0,0=f1,0=f1,1=f2,1=1 le triangle suivant est construit.

fm, n =fn fn-m, m Є n Є 0, où fn est le nième nombre de Fibonacci. Le triangle construit s’appelle le triangle de Fibonacci.

Triangle de Tribonacci

Considérons un autre triangle dont la création est basée sur la méthode de construction du triangle de Pascal. C'est le triangle Tribonacci. Il est nommé ainsi car les sommes des éléments sur les diagonales ascendantes forment une séquence de nombres de Tribonacci : 1,1,2,4,7,13,24,44,..., qui peut être définie par la relation de récurrence suivante : tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn avec conditions initiales t0 = 1, t1 = 1, t2 = 2

"Triangle emblématique"

Construction du "triangle des signes"

Devant nous se trouve un triangle composé uniquement de signes, de plus et de moins, selon le principe de formation du triangle de Pascal. Contrairement à ce dernier, il est situé à la base.

Tout d'abord, la première ligne est définie, composée d'un nombre arbitraire de caractères et de leur emplacement. Chaque caractère de la ligne suivante est obtenu en multipliant deux caractères supérieurs.

L'une de nos tâches est d'établir à partir de quel nombre de caractères dans la première ligne le nombre de moins et de plus sera le même. Quantité totale les caractères du tableau peuvent être déterminés par la formule

où n est le nombre de caractères de la première ligne.

Une séquence de nombres est formée dans laquelle le nombre de moins et de plus peut être égal : 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16,..., chacun indiquant le nombre de caractères dans la première ligne. . Cependant, il n'a pas été établi dans quelle disposition des signes le nombre de moins et de plus sera exactement le même.

Notre deuxième tâche concernant le triangle du produit des signes est d'établir le plus petit nombre de plus qu'un « triangle de signes » puisse avoir.

Il y a une séquence intéressante de caractères dans la première ligne : +, -, -, +, -, -, ... (ou -, -, + ,- ,- ,+ , ...), dans laquelle le nombre des plus, comme auparavant, est considéré comme le plus petit et égal à 1/3 de nombre total signes, c'est-à-dire égal

Il est important de noter que si vous faites progressivement le tour du triangle, la séquence de signes +, -, -, ... restera.

Faisons attention au fait que le plus petit nombre de plus, égal à 1/3 du nombre total de signes, peut également être vu dans le triangle avec n = 2.