સંભાવનાઓ પર કાર્ય કરવાની જરૂરિયાત ત્યારે થાય છે જ્યારે કેટલીક ઘટનાઓની સંભાવનાઓ જાણીતી હોય છે, અને આ ઘટનાઓ સાથે સંકળાયેલી અન્ય ઘટનાઓની સંભાવનાઓની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

જ્યારે તમારે સંયોજનની સંભાવના અથવા રેન્ડમ ઘટનાઓના તાર્કિક સરવાળાની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય ત્યારે સંભાવનાઓના ઉમેરણનો ઉપયોગ થાય છે.

ઘટનાઓનો સરવાળો એઅને બીસૂચવો એ + બીઅથવા એ ∪ બી. બે ઘટનાઓનો સરવાળો એ એવી ઘટના છે જે બને છે જો અને માત્ર જો ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને. તેનો અર્થ એ છે કે એ + બી- જો અને માત્ર જો ઘટના અવલોકન દરમિયાન આવી હોય તો જ થાય છે એઅથવા ઘટના બી, અથવા એક સાથે એઅને બી.

જો ઘટનાઓ એઅને બીપરસ્પર અસંગત હોય છે અને તેમની સંભાવનાઓ આપવામાં આવે છે, પછી સંભવિતતાના ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને આમાંની એક ઘટના એક અજમાયશના પરિણામે બનશે તેવી સંભાવનાની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય.બેમાંથી એક વસ્તુ થવાની સંભાવના નથી સંયુક્ત ઘટનાઓ, આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા સમાન છે:

ઉદાહરણ તરીકે, શિકાર કરતી વખતે, બે ગોળી ચલાવવામાં આવે છે. ઘટના એ- પ્રથમ શોટ, ઇવેન્ટ સાથે બતકને મારવું IN- બીજા શોટથી હિટ, ઘટના ( એ+ IN) – પ્રથમ અથવા બીજા શોટથી અથવા બે શોટમાંથી હિટ. તેથી, જો બે ઘટનાઓ એઅને IN- અસંગત ઘટનાઓ, પછી એ+ IN- આ ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક અથવા બે ઘટનાઓની ઘટના.

ઉદાહરણ 1.એક બોક્સમાં 30 બોલ છે સમાન કદ: 10 લાલ, 5 વાદળી અને 15 સફેદ. સંભાવનાની ગણતરી કરો કે રંગીન (સફેદ નહીં) બોલ જોયા વિના લેવામાં આવશે.

ઉકેલ. ચાલો માની લઈએ કે ઘટના એ- "લાલ બોલ લેવામાં આવ્યો છે", અને ઘટના IN- "વાદળી બોલ લેવામાં આવ્યો હતો." પછી ઇવેન્ટ "એક રંગીન (સફેદ નહીં) બોલ લેવામાં આવે છે." ચાલો ઘટનાની સંભાવના શોધીએ એ:

અને ઘટનાઓ IN:

ઘટનાઓ એઅને IN- પરસ્પર અસંગત, કારણ કે જો એક બોલ લેવામાં આવે, તો પછી દડા લઈ શકાતા નથી વિવિધ રંગો. તેથી, અમે સંભાવનાઓના ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ઘણી અસંગત ઘટનાઓ માટે સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેય.જો ઘટનાઓ ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ બનાવે છે, તો તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે:

વિપરીત ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો પણ 1 ની બરાબર છે:

વિરોધી ઘટનાઓ ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ બનાવે છે, અને ઘટનાઓના સંપૂર્ણ સમૂહની સંભાવના 1 છે.

વિપરીત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ સામાન્ય રીતે નાના અક્ષરોમાં સૂચવવામાં આવે છે પીઅને q. વિશેષ રીતે,

શું અનુસરે છે નીચેના સૂત્રોવિપરીત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:

ઉદાહરણ 2.શૂટિંગ રેન્જમાં લક્ષ્યને 3 ઝોનમાં વહેંચવામાં આવ્યું છે. ચોક્કસ શૂટર પ્રથમ ઝોનમાં લક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરે તેવી સંભાવના 0.15 છે, બીજા ઝોનમાં - 0.23, ત્રીજા ઝોનમાં - 0.17. શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના અને શૂટર લક્ષ્ય ચૂકી જશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ: શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના શોધો:

ચાલો સંભાવના શોધીએ કે શૂટર લક્ષ્ય ચૂકી જશે:

વધુ જટિલ સમસ્યાઓ માટે, જેમાં તમારે સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, "સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી વિવિધ સમસ્યાઓ" પૃષ્ઠ જુઓ.

પરસ્પર એક સાથે ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો ઉમેરો

બે અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે જો એક ઘટનાની ઘટના એ જ અવલોકનમાં બીજી ઘટનાની ઘટનાને બાકાત રાખતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ફેંકવું ડાઇસઘટના એનંબર 4 રોલ આઉટ ગણવામાં આવે છે, અને ઘટના IN- એક સમાન નંબર રોલિંગ. નંબર 4 હોવાથી બેકી સંખ્યા, આ બે ઘટનાઓ સુસંગત છે. વ્યવહારમાં, પરસ્પર એક સાથે ઘટનાઓમાંની એકની ઘટનાની સંભાવનાઓની ગણતરી કરવામાં સમસ્યાઓ છે.

સંયુક્ત ઘટનાઓ માટે સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય.સંયુક્ત ઘટનાઓમાંથી એક થવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે, જેમાંથી સંભાવના બાદ કરવામાં આવે છે. સામાન્ય આક્રમકબંને ઘટનાઓ, એટલે કે, સંભાવનાઓનું ઉત્પાદન. સંયુક્ત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ માટેના સૂત્રમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

ઘટનાઓ થી એઅને INસુસંગત, ઘટના એ+ INત્રણમાંથી એક થાય તો થાય છે શક્ય ઘટનાઓ: અથવા એબી. અસંગત ઘટનાઓના ઉમેરણના પ્રમેય અનુસાર, અમે નીચે પ્રમાણે ગણતરી કરીએ છીએ:

ઘટના એજો બેમાંથી એક અસંગત ઘટના બને તો થશે: અથવા એબી. જો કે, ઘણી અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક ઘટના બનવાની સંભાવના આ બધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

તેવી જ રીતે:

અભિવ્યક્તિ (6) અને (7) ને અભિવ્યક્તિ (5) માં બદલીને, અમે સંયુક્ત ઘટનાઓ માટે સંભાવના સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

સૂત્ર (8) નો ઉપયોગ કરતી વખતે, તે ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ એઅને INહોઈ શકે છે:

• પરસ્પર સ્વતંત્ર;
• પરસ્પર નિર્ભર.

પરસ્પર સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સંભાવના સૂત્ર:

પરસ્પર આધારિત ઘટનાઓ માટે સંભાવના સૂત્ર:

જો ઘટનાઓ એઅને INઅસંગત છે, તો પછી તેમનો સંયોગ એક અશક્ય કેસ છે અને આમ, પી(એબી) = 0. અસંગત ઘટનાઓ માટે ચોથું સંભાવના સૂત્ર છે:

ઉદાહરણ 3.ઓટો રેસિંગમાં, જ્યારે તમે પ્રથમ કાર ચલાવો છો, ત્યારે તમારી જીતવાની વધુ સારી તક હોય છે, અને જ્યારે તમે બીજી કાર ચલાવો છો. શોધો:

• સંભાવના છે કે બંને કાર જીતશે;
• સંભાવના કે ઓછામાં ઓછી એક કાર જીતશે;

1) પ્રથમ કાર જીતે તેવી સંભાવના બીજી કારના પરિણામ પર આધારિત નથી, તેથી ઘટનાઓ એ(પ્રથમ કાર જીતે છે) અને IN(બીજી કાર જીતશે) - સ્વતંત્ર ઇવેન્ટ્સ. ચાલો બંને કાર જીતવાની સંભાવના શોધીએ:

2) બેમાંથી એક કાર જીતશે તેવી સંભાવના શોધો:

વધુ જટિલ સમસ્યાઓ માટે, જેમાં તમારે સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, "સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી વિવિધ સમસ્યાઓ" પૃષ્ઠ જુઓ.

સંભવિતતાની સમસ્યાનો ઉમેરો જાતે ઉકેલો, અને પછી ઉકેલ જુઓ

ઉદાહરણ 4.બે સિક્કા ફેંકવામાં આવે છે. ઘટના એ- પ્રથમ સિક્કા પર શસ્ત્રોના કોટનું નુકસાન. ઘટના બી- બીજા સિક્કા પર શસ્ત્રોના કોટનું નુકસાન. ઘટનાની સંભાવના શોધો સી = એ + બી .

ગુણાકાર સંભાવનાઓ

જ્યારે ઘટનાઓના તાર્કિક ઉત્પાદનની સંભાવનાની ગણતરી કરવી આવશ્યક હોય ત્યારે સંભાવના ગુણાકારનો ઉપયોગ થાય છે.

આ કિસ્સામાં, રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સ સ્વતંત્ર હોવી આવશ્યક છે. બે ઘટનાઓ પરસ્પર સ્વતંત્ર હોવાનું કહેવાય છે જો એક ઘટનાની ઘટના બીજી ઘટનાની ઘટનાની સંભાવનાને અસર કરતી નથી.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય.બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓની એક સાથે ઘટનાની સંભાવના એઅને INઆ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે અને સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 5.સિક્કો સતત ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે. શસ્ત્રોનો કોટ ત્રણેય વખત દેખાશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. સિક્કાના પ્રથમ ટૉસ પર, બીજી વખત અને ત્રીજી વખત શસ્ત્રોનો કોટ દેખાશે તેવી સંભાવના. ચાલો સંભાવના શોધીએ કે આર્મ્સનો કોટ ત્રણેય વખત દેખાશે:

સંભવિતતાના ગુણાકારની સમસ્યાઓ તમારી જાતે ઉકેલો અને પછી ઉકેલ જુઓ

ઉદાહરણ 6.નવ નવા ટેનિસ બોલનું બોક્સ છે. રમવા માટે, ત્રણ બોલ લેવામાં આવે છે, અને રમત પછી તેઓ પાછા મૂકવામાં આવે છે. બોલની પસંદગી કરતી વખતે, રમાયેલા દડાઓ ન રમાયેલા દડાઓથી અલગ પડતા નથી. પછી તેની સંભાવના કેટલી છે ત્રણ રમતોશું બૉક્સમાં કોઈ રમ્યા વિનાના બોલ બાકી છે?

ઉદાહરણ 7.કટ-આઉટ આલ્ફાબેટ કાર્ડ પર રશિયન મૂળાક્ષરના 32 અક્ષરો લખેલા છે. પાંચ કાર્ડ એક પછી એક રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે અને દેખાવના ક્રમમાં ટેબલ પર મૂકવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે અક્ષરો "અંત" શબ્દ બનાવશે.

ઉદાહરણ 8.કાર્ડ્સના સંપૂર્ણ ડેક (52 શીટ્સ) માંથી, ચાર કાર્ડ એકસાથે લેવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે આ ચારેય કાર્ડ અલગ-અલગ પોશાકોના હશે.

ઉદાહરણ 9.ઉદાહરણ તરીકે સમાન કાર્ય 8, પરંતુ દરેક કાર્ડ દૂર કર્યા પછી ડેક પર પરત કરવામાં આવે છે.

વધુ જટિલ સમસ્યાઓ, જેમાં તમારે સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, તેમજ ઘણી ઘટનાઓના ઉત્પાદનની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, "સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી વિવિધ સમસ્યાઓ" પૃષ્ઠ પર મળી શકે છે.

પરસ્પર સ્વતંત્ર ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવનાની ગણતરી વિરોધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનને 1 માંથી બાદ કરીને કરી શકાય છે, એટલે કે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:

ઉદાહરણ 10.કાર્ગો પરિવહનના ત્રણ પ્રકારો દ્વારા પહોંચાડવામાં આવે છે: નદી, રેલ અને માર્ગ પરિવહન. કાર્ગો વિતરિત કરવામાં આવશે તેવી સંભાવના નદી પરિવહન, 0.82 છે, રેલ દ્વારા 0.87, મોટર પરિવહન દ્વારા 0.90. કાર્ગો ઓછામાં ઓછા એક દ્વારા વિતરિત કરવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો ત્રણ પ્રકારપરિવહન

વ્યાખ્યાન 1.

સંભાવના

સંભાવના સિદ્ધાંત આવી ઘટનાઓ અથવા પ્રયોગોને ધ્યાનમાં લે છે, જેનું ચોક્કસ પરિણામ વિશિષ્ટ રીતે પ્રયોગની પરિસ્થિતિઓ (રેન્ડમ) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવતું નથી, પરંતુ પરિણામો અનુસાર મોટી સંખ્યામાંસરેરાશ પ્રયોગોની આગાહી કરી શકાય છે (સંપત્તિ આંકડાકીય સ્થિરતા).

પ્રાથમિક ઘટના (પ્રાથમિક પરિણામ)કોઈપણ ઘટનાને અનુભવનું પરિણામ કહેવામાં આવે છે જેને અન્ય ઘટનાઓના સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય નહીં. કારણ કે પ્રયોગનું પરિણામ અવ્યવસ્થિત છે, પછી કોઈપણ પ્રાથમિક ઘટના રેન્ડમ છે.

પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યાડબલ્યુ(પરિણામો)તમામ પ્રાથમિક ઘટનાઓ (પરિણામો) નો સમૂહ કહેવાય છે. (w 1 , …w n … ), જો પ્રયોગના પરિણામે કોઈપણ પ્રાથમિક પરિણામોઅને માત્ર એક (એક પરિણામ અન્ય કોઈપણને બાદ કરે છે). પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા મર્યાદિત, ગણતરીપાત્ર અને સમ સમાવી શકે છે અનંત સમૂહપ્રાથમિક ઘટનાઓ.

રેન્ડમ ઘટના(ઘટના)પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યાનો સબસેટ કહેવાય છે. કોઈપણ સમૂહ એ તત્વોનો સંગ્રહ છે. ઘટના તત્વો છે પ્રાથમિક ઘટનાઓ, આ ઘટનાની રચના.

ઉદાહરણ. એક સિક્કો ઉછાળવામાં આવે છે, તે માથા (w 1 = G) અથવા પૂંછડી (w 1 = P) પર ઉતરી શકે છે. W=(G,P).

ઉદાહરણ. બે સિક્કા ફેંકવામાં આવે છે W = ((G,G), (G,P), (P,G), (P,P))

ઉદાહરણ. વરસાદનું એક ટીપું લંબચોરસ વિસ્તાર પર પડે છે.

W= ((x,y), a

વિશ્વસનીય ઘટના- એક ઘટના જે હંમેશા આપેલ અનુભવના પરિણામે થાય છે, તેમાં તમામ પ્રાથમિક ઘટનાઓ શામેલ છે અને W દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

અશક્ય ઘટના– આપેલ અનુભવના પરિણામે ન થઈ શકે તેવી ઘટના તેમાં પ્રાથમિક ઘટનાઓ શામેલ નથી અને તેને Æ સૂચવવામાં આવે છે.

ઘટનાઓ પર ક્રિયાઓ.

ઇવેન્ટ્સને સેટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી તેના પરની ક્રિયાઓ સેટ પરની ક્રિયાઓ જેવી જ હોય ​​છે અને વેન ડાયાગ્રામ દ્વારા સારી રીતે દર્શાવવામાં આવે છે.

અવકાશ ડબલ્યુઆપણે એક લંબચોરસ, એક પ્રાથમિક ઘટના – લંબચોરસનો એક બિંદુ અને દરેક ઘટના – આ લંબચોરસના બિંદુઓનો ઉપગણ સૂચવીશું. ઇવેન્ટ્સ પરના ઓપરેશનનું પરિણામ શેડ કરવામાં આવશે.

કાર્ડ્સને કાર્ડ્સના ડેકમાંથી પસંદ કરવા દો. ઇવેન્ટ A - લાલ કાર્ડની પસંદગી, ઇવેન્ટ B - દસની પસંદગી

ઘટનાઓ પર કામગીરીના ગુણધર્મો

1. = Ø 6. એ = એ

2. A + A = A 7. એØ = Ø લઘુ. જો એ IN, તે

3. A A = A 8 = AA + B = B

4. એ + = 9. A B = A

5. એ + Ø = એ 10. = Ø

કામગીરીની કોમ્યુટેટીવીટી

A + B = B + A; A B = B A

કામગીરીની સહયોગીતા

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C A(B C) = (A B) C = A B C

ગુણાકારની તુલનામાં ઉમેરાની ક્રિયાની વિતરણતા

A (B + C) = A B + A C

સરવાળાની તુલનામાં ગુણાકારની કામગીરીની વિતરણતા

A + (B C) = (A + B)(A + C)

ઉદાહરણ. ચાલો ગણતરી કરીએ (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.

ખરેખર, BAÌA, ACÌA, AA=A, પછી AA+BA=A, A+AC=A.

દ્વૈત નિયમ (ડી મોર્ગનનું પ્રમેય)

ઘટનાઓના સરવાળા અને ઉત્પાદન (ગણતરીપાત્ર સંખ્યાના પણ) દ્વારા વ્યક્ત થતી કોઈપણ જટિલ ઘટના માટે, ઘટનાઓને તેમના વિરોધીઓ સાથે બદલીને અને સરવાળાના ચિહ્ન સાથે ઉત્પાદનના ચિહ્નને બદલીને વિપરીત ઘટના મેળવી શકાય છે. ઑપરેશનના ક્રમને યથાવત રાખીને ઉત્પાદનની નિશાની સાથેનો સરવાળો

ઉદાહરણ .

ઘટનાઓનું બીજગણિત.

W એ પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા બનવા દો. ઘટનાઓનું બીજગણિત S એ અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓ S ની સિસ્ટમ છે જેમ કે

1) SÉW, 2) " A, B Ì S Þ A+BÌS, ABÌS, ABÌS.

કોરોલરી Æ= WW Ì S

ચાલો W માં ઘટકોની મર્યાદિત સંખ્યા હોય, W= (w 1 ,…w n ). પછી બીજગણિત S એ W ના તમામ ઉપગણોના સમૂહ તરીકે બનાવી શકાય છે.

S=(Æ, (w 1), … (w n), (w 1 ,w 2), …(w 1 ,w n), …(w n -1 ,w n ), …(w 1, …, w n )) , તેમાં માત્ર 2 n તત્વો છે

સંખ્યાબંધ ઘટનાઓ માટે બીજગણિત સમાન રીતે બાંધવામાં આવે છે.

જો પ્રયોગના પરિણામે એ જાણી શકાય કે ઘટનાઓ A, B બની છે કે નહીં, તો પછી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ કે ઘટનાઓ , A+B, AB, AB બની છે કે નહીં, તેથી ઘટનાઓ ચોક્કસ વર્ગમાંથી પસંદ કરવી આવશ્યક છે - ઘટનાઓનું બીજગણિત.

ઘટનાઓની અસંખ્ય (ગણણીપાત્ર નથી) સંખ્યા માટે, ઘટનાઓનો વર્ગ સંકુચિત હોવો જોઈએ. ઘટનાઓનો s-બીજગણિત રજૂ કરવામાં આવ્યો છે.

સિગ્મા બીજગણિત (s-બીજગણિત) ઘટનાઓબીપ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યાના સબસેટની બિન-ખાલી સિસ્ટમ છે જેમ કે

2) A 1 , A 2 , …A n , …ÌBÞ(A 1 +A 2 + …+A n +, …)ÌB, …ÌB.

ઘટનાઓનો કોઈપણ સિગ્મા બીજગણિત એ ઘટનાઓનો બીજગણિત છે, પરંતુ તેનાથી વિપરીત નથી.

સંભાવના.

ઇવેન્ટની સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા

સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યામાં, એવું માનવામાં આવે છે કે પ્રારંભિક ઘટનાઓની જગ્યા Ω પ્રાથમિક પરિણામોની મર્યાદિત સંખ્યા ધરાવે છે, જે બધા સમાન રીતે શક્ય છે.

કેસો સમાન રીતે શક્ય, અસંગત ઘટનાઓ કહેવાય છે જે સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે.

સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યામાં આપણે તે અર્થમાં કેસોના માળખામાં છીએ પ્રાથમિક ઘટનાઓ સમાન રીતે શક્ય છે, એટલે કે. કેસો રજૂ કરે છે.

દો એન- માં કેસોની કુલ સંખ્યા Ω , એ એનએ - ઘટના બનાવતા કેસોની સંખ્યા એ(અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, ઘટના માટે અનુકૂળ એ).

વ્યાખ્યા. ઘટનાની સંભાવના A સંખ્યા ગુણોત્તર કહેવાય છે એન એ ઘટના A ને કેસોની કુલ સંખ્યા N માટે અનુકૂળ કેસો, એટલે કે. પી(એ) = ઘટનાની સંભાવનાની આ વ્યાખ્યા સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા.

ઉદાહરણો. 1. ડાઇસ ફેંકવું. Ω = {ડબલ્યુ 1 , ડબલ્યુ 2 ,…, ડબલ્યુ 6 } એન = 6.

A - બિંદુઓની સંખ્યા ત્રણ A = ( ડબલ્યુ 3 , ડબલ્યુ 6 } એન એ = 2.

2. 2 ડાઇસ ફેંકવું. Ω = {ડબલ્યુ 11 , ડબલ્યુ 12 ,…, ડબલ્યુ 66 }; એન =36.

ડબલ્યુkl = (a k, b l), k, l =

એ- સંખ્યાઓનો સરવાળો (બિંદુ) 5 છે. એ = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; એન એ = 4

.

3. એક ભઠ્ઠીમાં સફેદ અને b કાળા દડા હોય છે. અનુભવ - એક બોલ દોરવામાં આવે છે.

એ - કાળો બોલ.

સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાના આધારે, સંભાવનાના ગુણધર્મોને સાબિત કરવું સરળ છે:

1) પી( Ω ) = 1 (એન એ = એન);

3) જો એ બી= Ø, પછી P(A + B) = P(A) + P(B)( એન એ + બી= એન એ+ એન બી)

અને તેમના પરિણામો

4) આર(Ø) = 0 ( એન Ø) = 0;

5) P() = 1- P(A) ( = Ø, P(A) + P( ) = 1);

6) જો, તો P(A) P(B) (એન એ એન બી).

ક્લાસિકલ પ્રોબેબિલિટી ફોર્મ્યુલાની પ્રાયોગિક એપ્લિકેશનમાં, સૌથી મુશ્કેલ બાબત એ છે કે સમાન સંભવિત પરિણામોની કુલ સંખ્યા અને અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા નક્કી કરવી.

અહીં તેનો ઉપયોગ થાય છે સંયોજનશાસ્ત્રનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત:અમુક ઑપરેશન P ને n ઑપરેશન્સ P k (k=1, …n) નો ક્રમ બનવા દો, જેમાંથી દરેક mr રીતે કરી શકાય છે. પછી ઓપરેશન પી રીતે કરી શકાય છે.

ચાલો એક પછી એક n તત્વોમાંથી m તત્વો (ઉદાહરણ તરીકે, બોલ્સ) પસંદ કરીએ. આપણે આગળનો બોલ (n બોલની સંખ્યામાં) પરત કરી શકીએ છીએ, પછી દરેક આગામી પસંદગી સાથે આપણી પાસે સમાન n બોલ હશે. આવા નમૂનાને નમૂના કહેવામાં આવે છે પાછા સ્વાગત છે. અથવા આપણે બોલ પરત ન કરી શકીએ, પછી દરેક પસંદગી સાથે આપણે ઓછા બોલમાંથી પસંદ કરીશું. આવા નમૂનાને નમૂના કહેવામાં આવે છે વળતર નહીં.બીજી બાજુ, આપણે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ ઓર્ડરબોલનો દેખાવ. આવા નમૂનાને ઓર્ડર અથવા કહેવામાં આવે છે થી આવાસnદ્વારા બોલમાંmબોલજો પસંદ કરતી વખતે બોલના ક્રમને ધ્યાનમાં લેવામાં ન આવે, તો માત્ર તે મહત્વનું છે કે કયા બોલ પસંદ કરવામાં આવ્યા છે, પરંતુ કયા ક્રમમાં નહીં, તો આવી પસંદગી કહેવામાં આવે છે. અવ્યવસ્થિતઅથવા નું સંયોજનnદ્વારા બોલમાંmબોલચાલો જાણીએ કે ચોક્કસ નમૂના કેટલી રીતે બનાવી શકાય છે

પ્લેસમેન્ટ માટેના ફોર્મ્યુલા કોમ્બીનેટરિક્સના સિદ્ધાંતમાંથી સરળતાથી મેળવી શકાય છે. પ્લેસમેન્ટ (વળતર વિના) થી સંયોજનો (વળતર વિના) તરફ જવા માટે, તમારે પસંદગીઓ ઓર્ડર કરવાની જરૂર છે, એટલે કે. ફક્ત તત્વોના ક્રમમાં ભિન્ન હોય તેને બાકાત રાખો. માત્ર તત્વોના ક્રમમાં ભિન્ન હોય તેવા નમૂનાઓને કહેવામાં આવે છે ક્રમચયો. m તત્વોના ક્રમચયની સંખ્યા P m ==m! બરાબર છે. એ કારણે .

અમે પુરાવા વિના પુનરાવૃત્તિ સાથે સંયોજનો માટે સૂત્ર સ્વીકારીશું (તેનો પુરાવો pp. 50 - 51 પર XV1 અંકમાં આપવામાં આવ્યો છે).

ઉદાહરણ. 3 બોલ (n=3) ધરાવતા કલશમાંથી બે બોલ (m=2) પસંદ કરવામાં આવે છે. ચાલો આ નમૂનાઓ રજૂ કરીએ.

1) વળતર સાથે રહેઠાણ

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 3 2 = 9.

2) આવાસ (નૉન-રિફંડપાત્ર) (1.2) (1.3) (2.1) (2.3) (3.1) (3.2) .

3) વળતર સાથે સંયોજનો (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

4) સંયોજનો (વળતર વિના) (1,2) (1,3) (2,3) .

ઉદાહરણ. ખામીયુક્ત ભાગોના નમૂના લેવાની સમસ્યા.

N સમાન ભાગોના બેચમાં, M ખામીયુક્ત છે. n ભાગો પસંદ કરે છે (પાછા કર્યા વિના). તેમની વચ્ચે બરાબર એમ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

કેસોની કુલ સંખ્યા (n દ્વારા N ભાગોનું સંયોજન) બરાબર છે. અમે M ખામીયુક્ત ભાગોમાંથી m ખામીયુક્ત ભાગો પસંદ કરીએ છીએ, પરંતુ તે જ સમયે અમે ખામી વિના N-M ભાગોમાં ખામી વિના (n-m) ભાગો પસંદ કરીએ છીએ. પછી, સંયોજનશાસ્ત્રના મૂળભૂત સિદ્ધાંત અનુસાર, આવી પસંદગી કેસો દ્વારા તરફેણ કરવામાં આવે છે. તેથી, ઇચ્છિત સંભાવના બરાબર છે.

ભૌમિતિક સંભાવના

ક્લાસિકલ પ્રોબેબિલિટી ફોર્મ્યુલા ફક્ત કેસ સ્કીમમાં જ લાગુ કરવામાં આવે છે, જે એકદમ દુર્લભ છે. વલણ P(A) =એન એ/ એન તમામ સંભવિત પરિણામો વચ્ચે સાનુકૂળ પરિણામોના "અંશ"નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તેવી જ રીતે, ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કેટલાક વધુ જટિલ કેસોમાં થાય છે જ્યારે ત્યાં હોય છે અનંતસંખ્યા સમાન રીતે શક્યપરિણામો

ઉદાહરણ. મીટિંગ સમસ્યા.બે વિદ્યાર્થીઓ 10 થી 11 વાગ્યા સુધી ચોક્કસ સ્થળે મળવા માટે સંમત થયા, અને સ્થળ પર પહોંચનાર પ્રથમ વ્યક્તિ 15 મિનિટ સુધી મિત્રની રાહ જુએ છે અને ત્યાંથી નીકળી જાય છે. મળવાની સંભાવના શું છે?

ચાલો બિંદુ (10, 10) પર સંકલન પ્રણાલીનું મૂળ પસંદ કરીએ. ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ x - પ્રથમ વિદ્યાર્થીના આગમનનો સમય, y - બીજા વિદ્યાર્થીના આગમનનો સમય ની અક્ષો સાથે કાવતરું કરીએ.

પછી સમૂહ |x-y|<1/4, 0

વિદ્યાર્થીઓ માટે મીટિંગ પોઈન્ટ્સ (ઈવેન્ટ્સ) સમાવે છે. તેનું માપ (વિસ્તાર) mesAબરાબર 1- (3/4) 2 = 7/16. ત્યારથી mesW =1, પછી P(A) = 7/16.

આંકડાકીય સંભાવના

શાસ્ત્રીય સંભાવના અને ભૌમિતિક સંભાવનાના સૂત્રો ફક્ત કેસ માટે જ માન્ય છે સમાન રીતે શક્યપરિણામો વાસ્તવમાં, વ્યવહારમાં આપણી પાસે છે અસમાન રીતે શક્યપરિણામો આ કિસ્સાઓમાં, તમે ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને રેન્ડમ ઇવેન્ટની સંભાવના નક્કી કરી શકો છો ઘટના આવર્તન . ધારો કે પરીક્ષણમાં ઘટના બનવાની સંભાવના નક્કી કરવાની જરૂર છે એ. આ કરવા માટે, સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ પરીક્ષણો હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેકમાં બે પરિણામો શક્ય છે: એઅને . આવર્તન ઘટનાઓ A ને આપણે નંબરનો ગુણોત્તર કહીશું એન એટ્રાયલ જેમાં ઇવેન્ટ A કુલ સંખ્યામાં રેકોર્ડ કરવામાં આવી હતી એનપરીક્ષણો

ઘટનાની સંભાવના A ટ્રાયલની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે ઘટના A ની આવર્તનની મર્યાદા કહેવાય છેn, તે . આ રીતે તે નક્કી થાય છે ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના .

નોંધ કરો કે શાસ્ત્રીય, ભૌમિતિક અને આંકડાકીય વ્યાખ્યાઓ અનુસાર, ઘટના P(A) ની સંભાવના ત્રણ મુખ્ય ગુણધર્મો ધરાવે છે:

P(A)³0, 2) P(W)=1, 3) P(A 1 + …+A n) = P(A 1) + …+P(A n), જો A 1, A n જોડીમાં હોય તો અસંગત જો કે, આ વ્યાખ્યાઓમાં, પ્રાથમિક ઘટનાઓ સમાન રીતે શક્ય હોવાનું માનવામાં આવે છે.

એ.એન. કોલમોગોરોવે પ્રાથમિક ઘટનાઓની સમાન સંભાવનાની ધારણા છોડી દીધી, ઘટનાઓની સિગ્મા બીજગણિત રજૂ કરી અને ત્રીજી મિલકતને ગણી શકાય તેવી ઘટનાઓ સુધી વિસ્તારી. આનાથી ઘટનાની સંભાવનાની સ્વયંસિદ્ધ વ્યાખ્યા આપવાનું શક્ય બન્યું.

સંભાવનાની સ્વયંસિદ્ધ વ્યાખ્યા(એ.એન. કોલમોગોરોવ અનુસાર).

સંભાવના P(A) એ ઘટનાઓના સિગ્મા બીજગણિત પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ સંખ્યાત્મક કાર્ય છે જે ત્રણ સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છે:

1) બિન-નેગેટિવિટી P(A)³0, "AÎB - સિગ્મા - W પર ઘટનાઓનો બીજગણિત

2) નોર્મલાઇઝેશન P(W) = 1

3) વિસ્તૃત ઉમેરણ સ્વયંસિદ્ધ: કોઈપણ જોડી પ્રમાણે અસંગત ઘટનાઓ માટે A 1 , ... A n ... સંતુષ્ટ

P(A 1 + …+A n + …) = P(A 1) + …+P(A n) +…

(ગણનાપાત્ર ઉમેરણ).

તેથી, એ.એન. કોલમોગોરોવ સંભાવના (સંભાવના માપ) એ સંખ્યાત્મક બિન-નકારાત્મક સામાન્યકૃત ગણનાત્મક ઉમેરણ કાર્ય (સેટ્સ - ઇવેન્ટ્સ) છે જે ઘટનાઓના સિગ્મા બીજગણિત પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

જો W માં ઘટનાઓની મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર સંખ્યા હોય, તો ઘટનાઓના બીજગણિત Sને સિગ્મા બીજગણિત B તરીકે ગણી શકાય. પછી, સ્વયંસિદ્ધ 3 દ્વારા, કોઈપણ ઘટના A ની સંભાવના એ બનેલી પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.

સંભાવના જગ્યાટ્રિપલ (W, B, P) કહેવાય છે.

સંભાવનાના ગુણધર્મો

1) . હકીકતમાં, તેઓ અસંગત છે. સ્વયંસિદ્ધ 3 મુજબ.

2) P(Æ) = 0. ત્યારથી "A A+Æ = A, સ્વયંસિદ્ધ 3 દ્વારા P(A+Æ) = P(A) + P(Æ) = P(A) ÞP(Æ) = 0

3) જો AÌ B, તો P(A) £ P(B). B = A+ BA થી, સ્વયંસિદ્ધ 3 P(B) = P(A) + P(BA), પરંતુ સ્વયંસિદ્ધ 1 P(BA)³0 દ્વારા

ઉદાહરણ. 1, 2, 3, 4 નંબરોવાળા ચાર બોલવાળા કલગીમાંથી, એક બોલને રેન્ડમ રીતે ત્રણ વખત બહાર કાઢવામાં આવે છે અને તેની સંખ્યા લખવામાં આવે છે a) દડા પરત કરવા b) બોલ પરત કર્યા વિના. 1) 111 નું સંયોજન મેળવવાની સંભાવના શું છે, 2) દડાઓની સંખ્યાઓમાંથી વધતો ક્રમ રચવો?

કિસ્સામાં a) અમારી પાસે વળતર સાથે પ્લેસમેન્ટ છે, N = 4 3, 1), N A =1, P = ¼ 3, 2) N A =, કારણ કે વધતો ક્રમ હંમેશા બિન-પુનરાવર્તિત સંખ્યાઓથી બનેલો હોઈ શકે છે, P = / 4 3.

કિસ્સામાં b) N = ,1) P = 0, કારણ કે દડાની સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન થતું નથી, તો N A = 0, 2) P = 1, કારણ કે N = N A = .

ઉદાહરણ. પાંચ લોકો પાંચ કાર ધરાવતી સબવે ટ્રેનમાં ચડે છે. તેઓ અલગ-અલગ કારમાં સમાપ્ત થવાની સંભાવના કેટલી છે?

પ્રાથમિક ઘટનાઓની કુલ સંખ્યા પાંચ N = 5 5 ના પાંચ ઘટકોના પુનરાવર્તન સાથે પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા જેટલી છે. પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંખ્યા જે A બનાવે છે તે 5 છે! તેથી P = 5!/ 5 5.

લેક્ચર્સ 1 અને 2 V.F દ્વારા પ્રવચનોના આધારે લખવામાં આવ્યા હતા. પાનોવ મૂળ સામગ્રી અને ઉદાહરણોના ઉમેરા સાથે

મહત્વપૂર્ણ નોંધો!
1. જો તમને સૂત્રોને બદલે ગોબ્લેડીગુક દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. તમારા બ્રાઉઝરમાં આ કેવી રીતે કરવું તે અહીં લખ્યું છે:
2. તમે લેખ વાંચવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, માટેના સૌથી ઉપયોગી સંસાધનો માટે અમારા નેવિગેટર પર ધ્યાન આપો

સંભાવના શું છે?

જ્યારે હું આ શબ્દનો પ્રથમ વખત સામનો કરું છું, ત્યારે હું સમજી શક્યો ન હોત કે તે શું છે. તેથી, હું સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવાનો પ્રયત્ન કરીશ.

સંભાવના એ તક છે કે જે ઘટના આપણે ઈચ્છીએ છીએ તે બનશે.

ઉદાહરણ તરીકે, તમે મિત્રના ઘરે જવાનું નક્કી કર્યું, તમને પ્રવેશદ્વાર અને તે ફ્લોર પણ યાદ છે કે જેના પર તે રહે છે. પરંતુ હું એપાર્ટમેન્ટનો નંબર અને સ્થાન ભૂલી ગયો. અને હવે તમે દાદર પર ઉભા છો, અને તમારી સામે પસંદ કરવા માટે દરવાજા છે.

જો તમે પ્રથમ ડોરબેલ વગાડો છો, તો તમારો મિત્ર તમારા માટે દરવાજાનો જવાબ આપશે એવી તક (સંભાવના) શું છે? ત્યાં ફક્ત એપાર્ટમેન્ટ્સ છે, અને એક મિત્ર તેમાંથી એકની પાછળ જ રહે છે. સમાન તક સાથે અમે કોઈપણ દરવાજો પસંદ કરી શકીએ છીએ.

પરંતુ આ તક શું છે?

દરવાજો, જમણો દરવાજો. પ્રથમ ડોરબેલ વગાડીને અનુમાન લગાવવાની સંભાવના: . એટલે કે, ત્રણમાંથી એક વખત તમે ચોક્કસ અનુમાન લગાવશો.

અમે જાણવા માંગીએ છીએ, એકવાર ફોન કર્યા પછી, અમે દરવાજો કેટલી વાર ધારીશું? ચાલો બધા વિકલ્પો જોઈએ:

1. તમે ફોન કર્યો 1લીદરવાજો
2. તમે ફોન કર્યો 2જીદરવાજો
3. તમે ફોન કર્યો 3જીદરવાજો

હવે ચાલો બધા વિકલ્પો જોઈએ જ્યાં મિત્ર હોઈ શકે:

એ. પાછળ 1લીદરવાજા
b પાછળ 2જીદરવાજા
વી. પાછળ 3જીદરવાજા

ચાલો કોષ્ટક સ્વરૂપમાં બધા વિકલ્પોની તુલના કરીએ. ચેકમાર્ક વિકલ્પો સૂચવે છે જ્યારે તમારી પસંદગી મિત્રના સ્થાન સાથે એકરુપ હોય, ક્રોસ - જ્યારે તે એકરૂપ ન હોય.

તમે બધું કેવી રીતે જોશો કદાચ વિકલ્પોતમારા મિત્રનું સ્થાન અને કયા દરવાજા પર રિંગ કરવી તે તમારી પસંદગી.

એ બધા માટે અનુકૂળ પરિણામો . એટલે કે, તમે એકવાર ડોરબેલ વગાડીને અનુમાન લગાવશો, એટલે કે. .

આ સંભાવના છે - સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા સાથે અનુકૂળ પરિણામ (જ્યારે તમારી પસંદગી તમારા મિત્રના સ્થાન સાથે સુસંગત હોય) નો ગુણોત્તર.

વ્યાખ્યા એ સૂત્ર છે. સંભાવના સામાન્ય રીતે p દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તેથી:

આવા સૂત્ર લખવા માટે તે ખૂબ અનુકૂળ નથી, તેથી અમે - સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા, અને માટે - પરિણામોની કુલ સંખ્યા લઈશું.

સંભાવનાને ટકાવારી તરીકે લખી શકાય છે આ કરવા માટે, તમારે પરિણામી પરિણામને આના દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

"પરિણામો" શબ્દે કદાચ તમારી નજર ખેંચી લીધી. ગણિતશાસ્ત્રીઓ વિવિધ ક્રિયાઓને (અમારા કિસ્સામાં, આવી ક્રિયા ડોરબેલ છે) પ્રયોગો કહેતા હોવાથી, આવા પ્રયોગોના પરિણામને સામાન્ય રીતે પરિણામ કહેવામાં આવે છે.

સારું, ત્યાં અનુકૂળ અને પ્રતિકૂળ પરિણામો છે.

ચાલો આપણા ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ. ચાલો કહીએ કે અમે એક દરવાજો વગાડ્યો, પરંતુ એક અજાણી વ્યક્તિએ તે અમારા માટે ખોલ્યો. અમે સાચું અનુમાન કર્યું નથી. શું સંભાવના છે કે જો આપણે બાકીના દરવાજામાંથી એકને રિંગ કરીએ, તો આપણો મિત્ર તે આપણા માટે ખોલશે?

જો તમે એવું વિચાર્યું હોય, તો આ એક ભૂલ છે. ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ.

અમારી પાસે બે દરવાજા બાકી છે. તેથી અમારી પાસે શક્ય પગલાં છે:

1) કૉલ કરો 1લીદરવાજો
2) કૉલ કરો 2જીદરવાજો

મિત્ર, આ બધું હોવા છતાં, ચોક્કસપણે તેમાંથી એકની પાછળ છે (છેવટે, તે અમે જેને બોલાવ્યા તેની પાછળ ન હતો):

એ) માટે મિત્ર 1લીદરવાજા
b) માટે મિત્ર 2જીદરવાજા

ચાલો ફરીથી ટેબલ દોરીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ત્યાં ફક્ત વિકલ્પો છે, જેમાંથી અનુકૂળ છે. એટલે કે, સંભાવના સમાન છે.

કેમ નહિ?

અમે ધ્યાનમાં લીધેલ પરિસ્થિતિ છે આશ્રિત ઘટનાઓનું ઉદાહરણ.પ્રથમ ઘટના પ્રથમ ડોરબેલ છે, બીજી ઘટના બીજી ડોરબેલ છે.

અને તેમને આશ્રિત કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેઓ નીચેની ક્રિયાઓને પ્રભાવિત કરે છે. છેવટે, જો પ્રથમ રિંગ પછી ડોરબેલનો જવાબ મિત્ર દ્વારા આપવામાં આવે, તો તે અન્ય બેમાંથી એકની પાછળ હોવાની સંભાવના કેટલી હશે? ખરું, .

પરંતુ જો ત્યાં આશ્રિત ઘટનાઓ હોય, તો તે પણ હોવી જોઈએ સ્વતંત્ર? તે સાચું છે, તેઓ થાય છે.

પાઠ્યપુસ્તકનું ઉદાહરણ સિક્કો ફેંકવાનું છે.

1. એકવાર સિક્કો ફેંકો. ઉદાહરણ તરીકે, હેડ મેળવવાની સંભાવના શું છે? તે સાચું છે - કારણ કે ત્યાં બધા વિકલ્પો છે (ક્યાં તો માથા અથવા પૂંછડીઓ, અમે તેની ધાર પર સિક્કાના ઉતરાણની સંભાવનાને અવગણીશું), પરંતુ તે ફક્ત અમને અનુકૂળ છે.
2. પરંતુ તે માથા ઉપર આવી. ઠીક છે, ચાલો તેને ફરીથી ફેંકીએ. હવે હેડ મળવાની સંભાવના કેટલી છે? કંઈપણ બદલાયું નથી, બધું સમાન છે. કેટલા વિકલ્પો? બે. આપણે કેટલા ખુશ છીએ? એક.

અને તેને સતત એક હજાર વખત ઉપર આવવા દો. એક જ સમયે હેડ મેળવવાની સંભાવના સમાન હશે. ત્યાં હંમેશા વિકલ્પો છે, અને અનુકૂળ રાશિઓ.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓથી આશ્રિત ઘટનાઓને અલગ પાડવી સરળ છે:

1. જો પ્રયોગ એકવાર હાથ ધરવામાં આવે છે (તેઓ એકવાર સિક્કો ફેંકે છે, એકવાર ડોરબેલ વગાડે છે, વગેરે), તો ઘટનાઓ હંમેશા સ્વતંત્ર હોય છે.
2. જો પ્રયોગ ઘણી વખત કરવામાં આવે છે (એક સિક્કો એકવાર ફેંકવામાં આવે છે, ડોરબેલ ઘણી વખત વગાડવામાં આવે છે), તો પ્રથમ ઘટના હંમેશા સ્વતંત્ર હોય છે. અને પછી, જો અનુકૂળ લોકોની સંખ્યા અથવા તમામ પરિણામોની સંખ્યા બદલાય છે, તો ઘટનાઓ નિર્ભર છે, અને જો નહીં, તો તે સ્વતંત્ર છે.

ચાલો સંભાવના નક્કી કરવાની થોડી પ્રેક્ટિસ કરીએ.

ઉદાહરણ 1.

સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. સતત બે વાર હેડ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

ચાલો બધા સંભવિત વિકલ્પો ધ્યાનમાં લઈએ:

1. ગરુડ-ગરુડ
2. હેડ-પૂંછડી
3. પૂંછડીઓ-માથાઓ
4. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ત્યાં ફક્ત વિકલ્પો છે. આમાંથી, અમે ફક્ત સંતુષ્ટ છીએ. એટલે કે, સંભાવના:

જો સ્થિતિ ફક્ત તમને સંભાવના શોધવા માટે પૂછે છે, તો જવાબ દશાંશ અપૂર્ણાંકના રૂપમાં આપવો આવશ્યક છે. જો તે સ્પષ્ટ કરવામાં આવ્યું હતું કે જવાબ ટકાવારી તરીકે આપવો જોઈએ, તો અમે વડે ગુણાકાર કરીશું.

જવાબ:

ઉદાહરણ 2.

ચોકલેટના બોક્સમાં, બધી ચોકલેટ એક જ રેપરમાં પેક કરવામાં આવે છે. જો કે, મીઠાઈઓમાંથી - બદામ સાથે, કોગ્નેક સાથે, ચેરી સાથે, કારામેલ સાથે અને નૌગાટ સાથે.

એક કેન્ડી લેવાની અને બદામ સાથે કેન્ડી મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે? ટકાવારી તરીકે તમારો જવાબ આપો.

ઉકેલ:

કેટલા સંભવિત પરિણામો છે? .

એટલે કે, જો તમે એક કેન્ડી લો છો, તો તે બોક્સમાં ઉપલબ્ધ તેમાંથી એક હશે.

કેટલા સાનુકૂળ પરિણામો?

કારણ કે બોક્સમાં માત્ર બદામ સાથેની ચોકલેટ હોય છે.

જવાબ:

ઉદાહરણ 3.

ફુગ્ગાના બોક્સમાં. જેમાંથી સફેદ અને કાળા છે.

1. સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?
2. અમે બૉક્સમાં વધુ કાળા દડા ઉમેર્યા. હવે સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

એ) બૉક્સમાં માત્ર દડા છે. તેમાંથી સફેદ છે.

સંભાવના છે:

b) હવે બોક્સમાં વધુ બોલ છે. અને ત્યાં માત્ર ઘણા ગોરા બાકી છે - .

જવાબ:

કુલ સંભાવના

ચાલો કહીએ કે એક બોક્સમાં લાલ અને લીલા બોલ છે. લાલ બોલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? લીલો બોલ? લાલ કે લીલો બોલ?

લાલ બોલ દોરવાની સંભાવના

લીલો બોલ:

લાલ અથવા લીલો બોલ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, તમામ સંભવિત ઘટનાઓનો સરવાળો () બરાબર છે. આ મુદ્દાને સમજવાથી તમને ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ મળશે.

ઉદાહરણ 4.

બૉક્સમાં માર્કર્સ છે: લીલો, લાલ, વાદળી, પીળો, કાળો.

લાલ માર્કર નહીં દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

ચાલો સંખ્યા ગણીએ અનુકૂળ પરિણામો.

લાલ માર્કર નથી, જેનો અર્થ છે લીલો, વાદળી, પીળો અથવા કાળો.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવાનો નિયમ

તમે પહેલેથી જ જાણો છો કે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ શું છે.

જો તમને એવી સંભાવના શોધવાની જરૂર હોય કે બે (અથવા વધુ) સ્વતંત્ર ઘટનાઓ એક પંક્તિમાં થશે?

ચાલો કહીએ કે આપણે જાણવા માંગીએ છીએ કે જો આપણે એક સિક્કો એક વખત પલટાવીએ, તો આપણે બે વાર માથા જોશું?

અમે પહેલેથી જ ધ્યાનમાં લીધું છે -.

જો આપણે એક વખત સિક્કો ફેંકીએ તો? ગરુડને સતત બે વાર જોવાની સંભાવના કેટલી છે?

કુલ સંભવિત વિકલ્પો:

1. ગરુડ-ગરુડ-ગરુડ
2. હેડ્સ-હેડ્સ-પૂંછડીઓ
3. હેડ્સ-ટેલ્સ-હેડ્સ
4. માથા-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ
5. પૂંછડીઓ-માથાઓ-માથાઓ
6. પૂંછડીઓ-માથાઓ-પૂંછડીઓ
7. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-માથાઓ
8. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

હું તમારા વિશે જાણતો નથી, પરંતુ આ સૂચિનું સંકલન કરતી વખતે મેં ઘણી વખત ભૂલો કરી છે. વાહ! અને એકમાત્ર વિકલ્પ (પ્રથમ) અમને અનુકૂળ છે.

5 થ્રો માટે, તમે સંભવિત પરિણામોની સૂચિ જાતે બનાવી શકો છો. પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ તમારા જેટલા મહેનતુ નથી.

તેથી, તેઓએ પ્રથમ નોંધ્યું અને પછી સાબિત કર્યું કે સ્વતંત્ર ઘટનાઓના ચોક્કસ ક્રમની સંભાવના દરેક વખતે એક ઘટનાની સંભાવના દ્વારા ઘટે છે.

બીજા શબ્દો માં,

એ જ અશુભ સિક્કાનું ઉદાહરણ જોઈએ.

પડકારમાં માથું મેળવવાની સંભાવના? . હવે આપણે સિક્કાને એકવાર પલટાવીએ છીએ.

સળંગ હેડ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

આ નિયમ માત્ર ત્યારે જ કામ કરતું નથી જ્યારે અમને સંભાવના શોધવા માટે કહેવામાં આવે કે એક જ ઘટના સળંગ ઘણી વખત બનશે.

જો આપણે સળંગ ટોસ માટે TAILS-HEADS-TAILS નો ક્રમ શોધવા માંગતા હોઈએ, તો અમે તે જ કરીશું.

પૂંછડીઓ મેળવવાની સંભાવના છે , હેડ - .

TAILS-HEADS-TAILS-TAILS ક્રમ મેળવવાની સંભાવના:

તમે ટેબલ બનાવીને તેને જાતે ચકાસી શકો છો.

અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવાનો નિયમ.

તો રોકો! નવી વ્યાખ્યા.

ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ. ચાલો આપણો ઘસાઈ ગયેલો સિક્કો લઈએ અને તેને એકવાર ફેંકીએ.
સંભવિત વિકલ્પો:

1. ગરુડ-ગરુડ-ગરુડ
2. હેડ્સ-હેડ્સ-પૂંછડીઓ
3. હેડ્સ-ટેલ્સ-હેડ્સ
4. માથા-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ
5. પૂંછડીઓ-માથાઓ-માથાઓ
6. પૂંછડીઓ-માથાઓ-પૂંછડીઓ
7. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-માથાઓ
8. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

તેથી, અસંગત ઘટનાઓ ચોક્કસ છે, આપેલ ઘટનાઓનો ક્રમ. - આ અસંગત ઘટનાઓ છે.

જો આપણે બે (અથવા વધુ) અસંગત ઘટનાઓની સંભાવના શું છે તે નક્કી કરવા માંગીએ છીએ, તો અમે આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરીએ છીએ.

તમારે સમજવાની જરૂર છે કે માથા અથવા પૂંછડીઓ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.

જો આપણે ક્રમ (અથવા અન્ય કોઈ) થવાની સંભાવના નક્કી કરવા માંગીએ છીએ, તો અમે સંભાવનાઓના ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ ટોસ પર હેડ અને બીજા અને ત્રીજા ટોસ પર પૂંછડીઓ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

પરંતુ જો આપણે જાણવા માંગીએ છીએ કે અનેક સિક્વન્સમાંથી એક મેળવવાની સંભાવના શું છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે હેડ બરાબર એક વાર આવે છે, એટલે કે. વિકલ્પો અને, પછી આપણે આ સિક્વન્સની સંભાવનાઓ ઉમેરવી જોઈએ.

કુલ વિકલ્પો અમને અનુકૂળ છે.

દરેક ક્રમની ઘટનાની સંભાવનાઓ ઉમેરીને આપણે સમાન વસ્તુ મેળવી શકીએ છીએ:

આમ, જ્યારે આપણે ચોક્કસ, અસંગત, ઘટનાઓના ક્રમની સંભાવના નક્કી કરવા માંગીએ છીએ ત્યારે અમે સંભાવનાઓ ઉમેરીએ છીએ.

ક્યારે ગુણાકાર કરવો અને ક્યારે ઉમેરવું તે મૂંઝવણમાં ન આવવા માટે તમને મદદ કરવા માટે એક સરસ નિયમ છે:

ચાલો ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ જ્યાં આપણે એક વખત સિક્કો ફેંક્યો અને એકવાર માથા જોવાની સંભાવના જાણવા માંગીએ છીએ.
શું થવાનું છે?

બહાર પડવું જોઈએ:
(માથા અને પૂંછડીઓ અને પૂંછડીઓ) અથવા (પૂંછડીઓ અને માથા અને પૂંછડીઓ) અથવા (પૂંછડીઓ અને પૂંછડીઓ અને માથા).
આ રીતે તે બહાર આવે છે:

ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 5.

બોક્સમાં પેન્સિલો છે. લાલ, લીલો, નારંગી અને પીળો અને કાળો. લાલ કે લીલી પેન્સિલો દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

ઉદાહરણ 6.

જો ડાઇ બે વાર ફેંકવામાં આવે તો કુલ 8 મળવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.

આપણે પોઈન્ટ કેવી રીતે મેળવી શકીએ?

(અને) અથવા (અને) અથવા (અને) અથવા (અને) અથવા (અને).

એક (કોઈપણ) ચહેરો મેળવવાની સંભાવના છે.

અમે સંભાવનાની ગણતરી કરીએ છીએ:

તાલીમ.

મને લાગે છે કે હવે તમે સમજો છો કે તમારે ક્યારે સંભાવનાઓની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, તેને ક્યારે ઉમેરવી અને ક્યારે તેનો ગુણાકાર કરવો. તે નથી? ચાલો થોડી પ્રેક્ટિસ કરીએ.

કાર્યો:

ચાલો એક કાર્ડ ડેક લઈએ જેમાં સ્પેડ્સ, હાર્ટ્સ, 13 ક્લબ અને 13 હીરા સહિતના કાર્ડ્સ હોય. દરેક પોશાકના પાસાનો પો થી.

1. એક પંક્તિમાં ક્લબ દોરવાની સંભાવના શું છે (અમે ખેંચેલું પહેલું કાર્ડ પાછું ડેકમાં મૂકીએ છીએ અને તેને શફલ કરીએ છીએ)?
2. બ્લેક કાર્ડ દોરવાની સંભાવના શું છે (સ્પેડ અથવા ક્લબ્સ)?
3. ચિત્ર (જેક, રાણી, રાજા અથવા પાસાનો પો) દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?
4. સળંગ બે ચિત્રો દોરવાની સંભાવના કેટલી છે (અમે ડેકમાંથી દોરેલા પ્રથમ કાર્ડને દૂર કરીએ છીએ)?
5. બે કાર્ડ લેવાની સંભાવના શું છે - (જેક, રાણી અથવા રાજા) અને એક પાસાનો ક્રમ જેમાં કાર્ડ દોરવામાં આવ્યા છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.

જવાબો:

જો તમે બધી સમસ્યાઓ જાતે હલ કરવામાં સક્ષમ હતા, તો તમે મહાન છો! હવે તમે યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામમાં પ્રોબેબિલિટી થિયરી પ્રોબ્લેમ્સને નટ્સની જેમ ક્રેક કરશો!

સંભાવના સિદ્ધાંત. સરેરાશ સ્તર

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો કહીએ કે આપણે ડાઇ ફેંકીએ છીએ. આ કેવું હાડકું છે, તમે જાણો છો? આને તેઓ તેના ચહેરા પર સંખ્યાઓ સાથે સમઘન કહે છે. કેટલા ચહેરા, આટલી સંખ્યા: થી કેટલા સુધી? પહેલાં.

તેથી અમે ડાઇસ રોલ કરીએ છીએ અને અમે ઇચ્છીએ છીએ કે તે ઉપર આવે અથવા. અને અમે તે મેળવીએ છીએ.

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં તેઓ કહે છે કે શું થયું શુભ પ્રસંગ(સમૃદ્ધ સાથે મૂંઝવણમાં ન આવે).

જો તે થયું, તો ઘટના પણ અનુકૂળ હશે. કુલ, માત્ર બે અનુકૂળ ઘટનાઓ બની શકે છે.

કેટલા પ્રતિકૂળ છે? કુલ સંભવિત ઘટનાઓ હોવાથી, તેનો અર્થ એ છે કે પ્રતિકૂળ ઘટનાઓ ઘટનાઓ છે (આ જો અથવા ઘટી જાય).

વ્યાખ્યા:

સંભાવના એ તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા સાથે અનુકૂળ ઘટનાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે. એટલે કે, સંભાવના દર્શાવે છે કે તમામ સંભવિત ઘટનાઓનું પ્રમાણ કેટલું અનુકૂળ છે.

તેઓ લેટિન અક્ષરથી સંભાવના દર્શાવે છે (દેખીતી રીતે અંગ્રેજી શબ્દ સંભાવના - સંભાવના).

ટકાવારી તરીકે સંભાવનાને માપવાનો રિવાજ છે (વિષયો અને જુઓ). આ કરવા માટે, સંભાવના મૂલ્યનો ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે. ડાઇસ ઉદાહરણમાં, સંભાવના.

અને ટકાવારીમાં: .

ઉદાહરણો (તમારા માટે નક્કી કરો):

1. સિક્કો ફેંકતી વખતે હેડ મળવાની સંભાવના કેટલી છે? લેન્ડિંગ હેડની સંભાવના શું છે?
2. ડાઇ ફેંકતી વખતે સમ સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે? કયો વિષમ છે?
3. સરળ, વાદળી અને લાલ પેન્સિલોના બોક્સમાં. અમે રેન્ડમ પર એક પેંસિલ દોરીએ છીએ. એક સરળ મેળવવાની સંભાવના શું છે?

ઉકેલો:

1. કેટલા વિકલ્પો છે? માથા અને પૂંછડીઓ - ફક્ત બે. તેમાંથી કેટલા અનુકૂળ છે? માત્ર એક જ ગરુડ છે. તેથી સંભાવના

   તે પૂંછડીઓ સાથે સમાન છે: .

2. કુલ વિકલ્પો: (ક્યુબની કેટલી બાજુઓ છે, ઘણા વિવિધ વિકલ્પો). અનુકૂળ રાશિઓ: (આ બધી સમ સંખ્યાઓ છે:).
   સંભાવના. અલબત્ત, તે વિચિત્ર સંખ્યાઓ સાથે સમાન છે.
3. કુલ: . અનુકૂળ:. સંભાવના:.

કુલ સંભાવના

બૉક્સની બધી પેન્સિલો લીલા છે. લાલ પેન્સિલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? ત્યાં કોઈ તકો નથી: સંભાવના (બધા પછી, અનુકૂળ ઘટનાઓ -).

આવી ઘટનાને અશક્ય કહેવામાં આવે છે.

લીલી પેન્સિલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? કુલ ઘટનાઓ જેટલી જ સાનુકૂળ ઘટનાઓ છે (બધી ઘટનાઓ અનુકૂળ છે). તેથી સંભાવના સમાન છે અથવા.

આવી ઘટનાને વિશ્વસનીય કહેવામાં આવે છે.

જો બોક્સમાં લીલી અને લાલ પેન્સિલો હોય, તો લીલો કે લાલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? હજુ સુધી ફરી. ચાલો આની નોંધ લઈએ: લીલો બહાર ખેંચવાની સંભાવના સમાન છે, અને લાલ સમાન છે.

સરવાળે, આ સંભાવનાઓ બરાબર સમાન છે. તે જ, તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો અથવા બરાબર છે.

ઉદાહરણ:

પેન્સિલોના બોક્સમાં, તેમાંથી વાદળી, લાલ, લીલો, સાદો, પીળો અને બાકીના નારંગી છે. લીલો ન દોરવાની સંભાવના શું છે?

ઉકેલ:

અમે યાદ રાખીએ છીએ કે બધી સંભાવનાઓ ઉમેરે છે. અને લીલા થવાની સંભાવના સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે લીલો ન દોરવાની સંભાવના સમાન છે.

આ યુક્તિ યાદ રાખો:ઘટના બનશે નહીં તેવી સંભાવના ઘટના બનવાની સંભાવનાને બાદ કરવાની સમાન છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ અને ગુણાકારનો નિયમ

તમે એક સિક્કો એક વાર ફ્લિપ કરો છો અને ઈચ્છો છો કે તે બંને વખત ઉપર આવે. આની સંભાવના શું છે?

ચાલો બધા સંભવિત વિકલ્પોમાંથી પસાર થઈએ અને નક્કી કરીએ કે ત્યાં કેટલા છે:

હેડ-હેડ, પૂંછડી-માથા, હેડ-પૂંછડી, પૂંછડી-પૂંછડી. બીજું શું?

કુલ વિકલ્પો. આમાંથી, ફક્ત એક જ અમને અનુકૂળ છે: ઇગલ-ઇગલ. કુલમાં, સંભાવના સમાન છે.

દંડ. હવે ચાલો એક વાર સિક્કો ફેરવીએ. ગણિત જાતે કરો. થયું? (જવાબ).

તમે નોંધ્યું હશે કે દરેક અનુગામી ફેંકવાના ઉમેરા સાથે, સંભાવના અડધી થઈ જાય છે. સામાન્ય નિયમ કહેવાય છે ગુણાકારનો નિયમ:

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓ બદલાય છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ શું છે? બધું તાર્કિક છે: આ તે છે જે એકબીજા પર નિર્ભર નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે આપણે સિક્કો ઘણી વખત ફેંકીએ છીએ, ત્યારે દરેક વખતે નવો ફેંકવામાં આવે છે, જેનું પરિણામ અગાઉના તમામ થ્રો પર આધારિત નથી. આપણે એક જ સમયે બે અલગ અલગ સિક્કા સરળતાથી ફેંકી શકીએ છીએ.

વધુ ઉદાહરણો:

1. ડાઇસ બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. બંને વખત મળવાની સંભાવના કેટલી છે?
2. સિક્કો એકવાર ફેંકવામાં આવે છે. તે પ્રથમ વખત માથા ઉપર આવશે અને પછી બે વાર પૂંછડીઓ આવશે તેની સંભાવના કેટલી છે?
3. ખેલાડી બે ડાઇસ રોલ કરે છે. તેમની પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન હશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

જવાબો:

1. ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે, જેનો અર્થ છે કે ગુણાકારનો નિયમ કામ કરે છે: .
2. હેડની સંભાવના સમાન છે. પૂંછડીઓની સંભાવના સમાન છે. ગુણાકાર:
3. 12 માત્ર ત્યારે જ મેળવી શકાય છે જો બે -કી રોલ કરવામાં આવે: .

અસંગત ઘટનાઓ અને વધારાનો નિયમ

સંપૂર્ણ સંભાવનાના બિંદુ સુધી એકબીજાને પૂરક બનાવતી ઘટનાઓને અસંગત કહેવામાં આવે છે. નામ સૂચવે છે તેમ, તેઓ એક સાથે થઈ શકતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે સિક્કો પલટાવીએ, તો તે માથા અથવા પૂંછડીઓ ઉપર આવી શકે છે.

ઉદાહરણ.

પેન્સિલોના બોક્સમાં, તેમાંથી વાદળી, લાલ, લીલો, સાદો, પીળો અને બાકીના નારંગી છે. લીલો કે લાલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.

લીલી પેન્સિલ દોરવાની સંભાવના સમાન છે. લાલ -.

બધામાં અનુકૂળ ઘટનાઓ: લીલો + લાલ. આનો અર્થ એ છે કે લીલો અથવા લાલ દોરવાની સંભાવના સમાન છે.

સમાન સંભાવના આ ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે: .

આ વધારાનો નિયમ છે:અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરે છે.

મિશ્ર પ્રકારની સમસ્યાઓ

ઉદાહરણ.

સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. રોલ્સનાં પરિણામો અલગ હશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.

આનો અર્થ એ છે કે જો પ્રથમ પરિણામ હેડ્સ છે, તો બીજું પૂંછડીઓ હોવું જોઈએ, અને ઊલટું. તે તારણ આપે છે કે સ્વતંત્ર ઘટનાઓની બે જોડી છે, અને આ જોડીઓ એકબીજા સાથે અસંગત છે. ક્યાં ગુણાકાર કરવો અને ક્યાં ઉમેરવું તે વિશે કેવી રીતે મૂંઝવણમાં ન આવવું.

આવી પરિસ્થિતિઓ માટે એક સરળ નિયમ છે. "AND" અથવા "OR" સંયોજનોનો ઉપયોગ કરીને શું થવાનું છે તેનું વર્ણન કરવાનો પ્રયાસ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, આ કિસ્સામાં:

તે ઉપર આવવું જોઈએ (માથા અને પૂંછડીઓ) અથવા (પૂંછડીઓ અને માથા).

જ્યાં "અને" સંયોગ હશે ત્યાં ગુણાકાર હશે, અને જ્યાં "અથવા" હશે ત્યાં ઉમેરો થશે:

તેને જાતે અજમાવી જુઓ:

1. જો સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે તો સિક્કો બંને વખત એક જ બાજુ પર ઉતરે તેવી સંભાવના કેટલી છે?
2. ડાઇસ બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. કુલ પોઈન્ટ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલો:

બીજું ઉદાહરણ:

એકવાર સિક્કો ફેંકો. હેડ ઓછામાં ઓછા એક વખત દેખાશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

સંભાવના સિદ્ધાંત. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

સંભાવના એ તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા સાથે અનુકૂળ ઘટનાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ

બે ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે જો એકની ઘટના બીજી બનવાની સંભાવનાને બદલતી નથી.

કુલ સંભાવના

તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંભાવના () ની બરાબર છે.

ઘટના બનશે નહીં તેવી સંભાવના ઘટના બનવાની સંભાવનાને બાદ કરવાની સમાન છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવાનો નિયમ

સ્વતંત્ર ઘટનાઓના ચોક્કસ ક્રમની સંભાવના દરેક ઘટનાની સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી હોય છે.

અસંગત ઘટનાઓ

અસંગત ઘટનાઓ એવી છે જે પ્રયોગના પરિણામે એકસાથે ન બની શકે. સંખ્યાબંધ અસંગત ઘટનાઓ ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે.

અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરે છે.

શું થવું જોઈએ તે વર્ણવ્યા પછી, "AND" અથવા "OR" સંયોજનોનો ઉપયોગ કરીને, "AND" ને બદલે આપણે ગુણાકારનું ચિહ્ન મૂકીએ છીએ, અને "OR" ને બદલે આપણે વધારાનું ચિહ્ન મૂકીએ છીએ.

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ લાઈનો વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાની મેળે કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે?

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સફળતાપૂર્વક પાસ કરવા માટે, બજેટમાં કૉલેજમાં દાખલ થવા માટે અને સૌથી મહત્ત્વપૂર્ણ રીતે, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ...

જે લોકોએ સારું શિક્ષણ મેળવ્યું છે તેઓ જેઓએ તે પ્રાપ્ત કર્યું નથી તેના કરતા ઘણું વધારે કમાય છે. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી.

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ કારણ કે તેમની આગળ ઘણી વધુ તકો ખુલે છે અને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવા માટે અને આખરે... વધુ ખુશ થવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં.

તમને જરૂર પડશે સમય સામે સમસ્યાઓ ઉકેલો.

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો, વિગતવાર વિશ્લેષણ સાથેઅને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

તમે અમારા કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો (વૈકલ્પિક) અને અમે, અલબત્ત, તેમની ભલામણ કરીએ છીએ.

અમારા કાર્યોને વધુ સારી રીતે ઉપયોગમાં લેવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકના જીવનને લંબાવવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો -
2. પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - પાઠ્યપુસ્તક ખરીદો - 499 RUR

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

સાઇટના સમગ્ર જીવન માટે તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

નિષ્કર્ષમાં...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ નથી, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!

સંભાવના સિદ્ધાંત પર પરીક્ષણના જવાબોગાણિતિક વિષયોનો અભ્યાસ કરતા પ્રથમ વર્ષના વિદ્યાર્થીઓને મદદ કરશે. સોંપણીઓ ઘણી બધી સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીને આવરી લે છે, અને તેના ઉકેલ માટેનો તર્ક દરેક વિદ્યાર્થી માટે ઉપયોગી થશે.

સમસ્યા 1. તમામ કિનારીઓ પેઇન્ટેડ ક્યુબને સમાન કદના 1000 ક્યુબ્સમાં કાપવામાં આવે છે. અવ્યવસ્થિત રીતે દોરવામાં આવેલ ક્યુબમાં હશે તેવી સંભાવના નક્કી કરો:

• a) એક પેઇન્ટેડ ધાર;
• b) બે શેડવાળા ચહેરા.

ગણતરીઓ: જો એક ક્યુબને સમાન કદના ક્યુબ્સમાં કાપવામાં આવે, તો બધા ચહેરા 100 ચોરસમાં વિભાજિત થશે. (લગભગ ચિત્રમાંની જેમ)
આગળ, શરત અનુસાર, ક્યુબનો ચહેરો એક શેડ ધરાવતો હોવો જોઈએ - આનો અર્થ એ છે કે ક્યુબ્સ બાહ્ય સપાટીના હોવા જોઈએ પરંતુ ક્યુબની કિનારીઓ (2 શેડવાળી સપાટીઓ) પર આવેલા હોવા જોઈએ નહીં અને ખૂણા પર નહીં - તેઓ ત્રણ શેડવાળા છે. સપાટીઓ
તેથી, જરૂરી જથ્થો 8*8 કદના ચોરસમાં 6 ચહેરાના ઉત્પાદન અને ક્યુબ્સની સંખ્યા જેટલો છે.
6*8*8=384 – 1 પેઇન્ટેડ સપાટી સાથે ક્યુબ્સ.
સંભાવના તેમની કુલ સંખ્યા P=384/1000=0.384 માટે અનુકૂળ ઘટનાઓની સંખ્યા જેટલી છે.
b) બે છાંયડાવાળા ચહેરાઓ ક્યુબના શિરોબિંદુઓ વિના કિનારીઓ સાથે સમઘન ધરાવે છે. એક ધાર પર 8 આવા ક્યુબ્સ હશે. ક્યુબમાં કુલ 12 કિનારીઓ છે, તેથી બે શેડવાળા ચહેરાઓ છે
8*12=96 ક્યુબ્સ.
અને તમામ 1000 વચ્ચે તેમને બહાર કાઢવાની સંભાવના સમાન છે
P=96/1000=0.096.
આ કાર્ય ઉકેલાઈ ગયું છે અને અમે આગળના કાર્ય પર આગળ વધીએ છીએ.

કાર્ય 2. અક્ષરો A, A, A, N, N, C સમાન કાર્ડ્સ પર લખેલા છે. અવ્યવસ્થિત રીતે કાર્ડ્સને એક પંક્તિમાં મૂકવાથી, આપણને PINEAPPLE શબ્દ મળશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?
ગણતરીઓ: તમારે હંમેશા જે જાણીતું છે તેના પરથી તર્ક કરવો જોઈએ. 3 અક્ષરો A, 2-H, અને 1 - C જોતાં, ચાલો "અનાનસ" શબ્દ માટે અક્ષરો પસંદ કરવાનું શરૂ કરીએ. પ્રથમ અક્ષર A છે, જેને આપણે 6 માંથી 3 રીતે પસંદ કરી શકીએ છીએ, કારણ કે 6 જાણીતા અક્ષરોમાં 3 અક્ષર A છે. તેથી, પ્રથમ A દોરવાની સંભાવના છે
પૃષ્ઠ 1 =3/6=1/2.
બીજો અક્ષર H છે, પરંતુ આપણે એ ન ભૂલવું જોઈએ કે A ને બહાર કાઢ્યા પછી, પસંદ કરવા માટે 5 અક્ષરો બાકી છે. તેથી, ડ્રોઇંગ નંબર 2 H ની સંભાવના સમાન છે
પી 2 =2/5.
બાકી રહેલી 4 વચ્ચે આગામી A સંભાવના દોરવામાં આવે છે
પી 3 =2/4.
આગળ, H ને સંભાવનામાંથી કાઢી શકાય છે
પૃષ્ઠ 4 =1/3.
અંતની નજીક, સંભાવના વધારે છે, અને આપણે પહેલાથી જ A ને બહાર કાઢી શકીએ છીએ
પૃષ્ઠ 5 = 1/2.
આ પછી, ત્યાં માત્ર એક કાર્ડ C બાકી છે, તેથી તેને દોરવાની સંભાવના 100 ટકા અથવા છે
પૃષ્ઠ 6 =1.
PINEAPPLE શબ્દની રચનાની સંભાવના સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી છે
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0.016(6).
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સમાન સમસ્યાઓ આના પર આધારિત છે.

કાર્ય 3. વેપારી ઉત્પાદનોના બેચમાંથી રેન્ડમ પર નમૂનાઓ પસંદ કરે છે. રેન્ડમ પર લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન ઉચ્ચતમ ગ્રેડનું હશે તેવી સંભાવના 0.8 છે. સંભવિતતા શોધો કે 3 પસંદ કરેલ ઉત્પાદનોમાં ઉચ્ચતમ ગ્રેડના બે ઉત્પાદનો હશે?
ગણતરીઓ: આ ઉદાહરણ બર્નૌલીના સૂત્રના ઉપયોગ પર આધારિત છે.
p=0.8; q=1-0.8=0.2.
અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંભાવનાની ગણતરી કરીએ છીએ

જો તમે તેને સૂત્રોની ભાષામાં સમજાવતા નથી, તો તમારે ત્રણ ઘટનાઓના સંયોજનો બનાવવાની જરૂર છે, જેમાંથી બે અનુકૂળ છે અને જેમાંથી એક નથી. આને ઉત્પાદનોના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે

બંને વિકલ્પો સમકક્ષ છે, ફક્ત પ્રથમ બધા કાર્યોમાં લાગુ કરી શકાય છે, અને બીજાને ધ્યાનમાં લેવાયેલા સમાનમાં લાગુ કરી શકાય છે.

સમસ્યા 4. પાંચ શૂટર્સમાંથી બેએ 0.6 ની સંભાવના સાથે અને ત્રણે 0.4 ની સંભાવના સાથે લક્ષ્યને ફટકાર્યું. વધુ શક્યતા શું છે: અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરાયેલ શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરે છે કે નહીં?
ગણતરીઓ: કુલ સંભવિતતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે સંભાવના નક્કી કરીએ છીએ કે શૂટર હિટ કરશે.
P=2/5*0.6+3/5*0.4=0.24+0.24=0.48.
P કરતાં ઓછી સંભાવના<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
હિટ ન થવાની સંભાવના છે

અથવા
P=2/5*(1-0.6)+3/5*(1-0.4)=0.16+0.36=0.52.

સમસ્યા 5. પરીક્ષામાં આવેલા 20 વિદ્યાર્થીઓ સાથે, 10 સંપૂર્ણ રીતે તૈયાર હતા (તેઓ બધા પ્રશ્નો જાણતા હતા), 7 સારી રીતે તૈયાર હતા (દરેકને 35 પ્રશ્નો જાણતા હતા), અને 3 ખરાબ રીતે તૈયાર હતા (10 પ્રશ્નો). પ્રોગ્રામમાં 40 પ્રશ્નો છે. અવ્યવસ્થિત રીતે બોલાવવામાં આવેલા વિદ્યાર્થીએ ટિકિટ પરના ત્રણ પ્રશ્નોના જવાબ આપ્યા. તે માટે તૈયાર છે તે સંભાવના કેટલી છે

• a) ઉત્તમ;
• b) ખરાબ.

ગણતરીઓ: સમસ્યાનો સાર એ છે કે વિદ્યાર્થીએ ટિકિટ પર ત્રણ પ્રશ્નોના જવાબો આપ્યા, એટલે કે, જે પૂછવામાં આવ્યું હતું તે બધું, પરંતુ હવે અમે ગણતરી કરીશું કે તે મેળવવાની સંભાવના શું છે.
ચાલો સંભાવના શોધીએ કે વિદ્યાર્થીએ ત્રણ પ્રશ્નોના સાચા જવાબ આપ્યા. આ સમગ્ર જૂથ માટે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર હશે જે તેઓ શક્ય તમામ વચ્ચે જાણે છે તેવી ટિકિટો દોરવાની સંભાવના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવશે.

હવે ચાલો સંભાવના શોધીએ કે વિદ્યાર્થી એવા જૂથનો છે જે "ઉત્તમ રીતે" તૈયાર છે. આ પ્રારંભિક સંભાવનાની પ્રથમ મુદતની સંભાવનાની સમકક્ષ છે

વિદ્યાર્થી એવા જૂથનો છે કે જે નબળી રીતે તૈયાર થયો હોય તેની સંભાવના ઘણી નાની અને 0.00216 જેટલી છે.

આ કાર્ય પૂર્ણ થયું છે. તેને સારી રીતે સમજો અને તેની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે યાદ રાખો, કારણ કે તે ક્વિઝ અને પરીક્ષણો પર સામાન્ય છે.

સમસ્યા 6. એક સિક્કો 5 વખત ફેંકવામાં આવે છે. શસ્ત્રોનો કોટ 3 કરતા ઓછો વખત દેખાશે તેવી સંભાવના શોધો?
ગણતરીઓ: શસ્ત્રો અથવા પૂંછડીઓનો કોટ દોરવાની સંભાવના 0.5 ની સમકક્ષ અને સમાન છે. 3 કરતા ઓછા વખતનો અર્થ એ છે કે આર્મ્સ કોટ 0, 1 અથવા 2 વખત દેખાઈ શકે છે. "અથવા" હંમેશા વધારા દ્વારા કામગીરીમાં સંભાવનામાં દર્શાવવામાં આવે છે.
અમે બર્નૌલી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ

p=q=0.5 થી, પછી સંભાવના છે

સંભાવના 0.5 છે.

સમસ્યા 7. જ્યારે મેટલ ટર્મિનલ્સને સ્ટેમ્પિંગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સરેરાશ 90% સ્ટાન્ડર્ડ મેળવવામાં આવે છે. 900 ટર્મિનલ્સમાંથી ઓછામાં ઓછા 790 અને વધુમાં વધુ 820 ટર્મિનલ પ્રમાણભૂત હશે તેવી સંભાવના શોધો.

ગણતરીઓ: ગણતરીઓ હાથ ધરવામાં આવશ્યક છે

થિયરી ઓફ પ્રોબેબિલિટી અને મેથેમેટિકલ સ્ટેટિસ્ટિક્સ

1. સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષય અને આર્થિક અને તકનીકી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તેનું મહત્વ. સંભાવના અને તેની વ્યાખ્યા

લાંબા સમય સુધી, માનવતાએ તેની પ્રવૃત્તિઓ માટે માત્ર કહેવાતા નિર્ણાયક પેટર્નનો અભ્યાસ કર્યો અને તેનો ઉપયોગ કર્યો. જો કે, કારણ કે રેન્ડમ ઘટનાઓ આપણી ઇચ્છા વિના આપણા જીવનમાં વિસ્ફોટ કરે છે અને સતત આપણને ઘેરી લે છે, અને વધુમાં, લગભગ તમામ કુદરતી ઘટનાઓ પ્રકૃતિમાં રેન્ડમ હોવાથી, તેનો અભ્યાસ કેવી રીતે કરવો તે શીખવું અને આ હેતુ માટે અભ્યાસ પદ્ધતિઓ વિકસાવવી જરૂરી છે.

કાર્યકારી સંબંધોના અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપ અનુસાર, પ્રકૃતિ અને સમાજના નિયમોને બે વર્ગોમાં વહેંચવામાં આવ્યા છે: નિર્ધારિત (પૂર્વનિર્ધારિત) અને આંકડાકીય.

ઉદાહરણ તરીકે, અવકાશી મિકેનિક્સના નિયમોના આધારે, સૂર્યમંડળના ગ્રહોની હાલમાં જાણીતી સ્થિતિના આધારે, સમયના કોઈપણ સમયે તેમની સ્થિતિ લગભગ અસ્પષ્ટપણે આગાહી કરી શકાય છે, જેમાં સૌર અને ચંદ્રગ્રહણનો સમાવેશ થાય છે તે ખૂબ જ સચોટ રીતે આગાહી કરી શકાય છે. આ નિર્ણાયક કાયદાનું ઉદાહરણ છે.

જો કે, બધી ઘટનાઓની ચોક્કસ આગાહી કરી શકાતી નથી. આમ, લાંબા ગાળાના આબોહવા પરિવર્તનો અને ટૂંકા ગાળાના હવામાન ફેરફારો સફળ આગાહી માટેનો હેતુ નથી, એટલે કે. ઘણા કાયદાઓ અને દાખલાઓ નિર્ણાયક માળખામાં ખૂબ ઓછા બંધબેસે છે. આ પ્રકારના કાયદાઓને આંકડાકીય કાયદા કહેવામાં આવે છે. આ કાયદાઓ અનુસાર, સિસ્ટમની ભાવિ સ્થિતિ અસ્પષ્ટપણે નક્કી કરવામાં આવતી નથી, પરંતુ માત્ર ચોક્કસ સંભાવના સાથે.

સંભવિત સિદ્ધાંત, અન્ય ગાણિતિક વિજ્ઞાનની જેમ, પ્રેક્ટિસની જરૂરિયાતોમાંથી પુનર્જીવિત અને વિકસિત કરવામાં આવ્યો હતો. તે સામૂહિક રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સમાં અંતર્ગત દાખલાઓનો અભ્યાસ કરે છે.

સંભાવના સિદ્ધાંત સામૂહિક અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે જે પરિસ્થિતિઓના ચોક્કસ સમૂહને પુનઃઉત્પાદિત કરવામાં આવે ત્યારે ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે. કોઈપણ રેન્ડમ ઘટનાની મુખ્ય મિલકત, તેની પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના, તેની ઘટનાનું માપ અથવા સંભાવના છે.

આપણે જે ઘટનાઓ (ઘટના) અવલોકન કરીએ છીએ તેને ત્રણ પ્રકારમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: વિશ્વસનીય, અશક્ય અને રેન્ડમ.

જે ઘટના ચોક્કસ બનવાની હોય તેને ચોક્કસ કહેવાય. એવી ઘટના કે જે આપણે જાણીએ છીએ કે બનશે નહીં તે અશક્ય કહેવાય છે. અવ્યવસ્થિત ઘટના એ એવી ઘટના છે જે કાં તો થઈ શકે છે અથવા ન પણ થઈ શકે છે.

સંભાવના સિદ્ધાંત પોતે એક ઘટના બનશે કે નહીં તેની આગાહી કરવાનું કાર્ય સેટ કરતી નથી, કારણ કે રેન્ડમ ઘટના પરના તમામ કારણોના પ્રભાવને ધ્યાનમાં લેવું અશક્ય છે. બીજી બાજુ, તે તારણ આપે છે કે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટી સંખ્યામાં સજાતીય રેન્ડમ ઘટનાઓ, તેમના ચોક્કસ સ્વભાવને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ચોક્કસ પેટર્નને આધીન છે, એટલે કે, સંભવિત પેટર્ન.

તેથી, સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષય સામૂહિક સજાતીય રેન્ડમ ઘટનાઓની સંભવિત પેટર્નનો અભ્યાસ છે.

સામૂહિક અવ્યવસ્થિત ઘટનાને લગતી કેટલીક સમસ્યાઓને 17મી સદીની શરૂઆતમાં યોગ્ય ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવ્યો હતો. તકની વિવિધ રમતોના અભ્યાસક્રમ અને પરિણામોનો અભ્યાસ કરીને, બી. પાસ્કલ, પી. ફર્મેટ અને એચ. હ્યુજેન્સે 17મી સદીના મધ્યમાં સંભાવનાના શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતનો પાયો નાખ્યો હતો. તેમના કાર્યોમાં તેઓએ રેન્ડમ ચલની સંભાવના અને ગાણિતિક અપેક્ષાના ખ્યાલોનો ગર્ભિત ઉપયોગ કર્યો. માત્ર 18મી સદીની શરૂઆતમાં. જે. બર્નૌલી સંભાવનાની વિભાવના ઘડે છે.

સંભવિત સિદ્ધાંત મોઇવર, લેપ્લેસ, ગૌસ, પોઈસન અને અન્યને વધુ સફળતા આપે છે.

રશિયન અને સોવિયેત ગણિતશાસ્ત્રીઓ જેમ કે પી.એલ.એ સંભાવના સિદ્ધાંતના વિકાસમાં મોટો ફાળો આપ્યો છે. ચેબીશેવ, એ.એ. માર્કોવ, એ.એમ. લ્યાપુનોવ, એસ.એન. બર્નસ્ટેઇન, એ.એન. કોલમોગોરોવ, એ.યા. ખિંચિન, એ. પ્રોખોરોવ, વગેરે.

સંભાવના સિદ્ધાંતના વિકાસમાં એક વિશેષ સ્થાન ઉઝ્બેક શાળાનું છે, જેના અગ્રણી પ્રતિનિધિઓ વિદ્વાનો વી.આઇ. રોમનવોસ્કી, એસ.કે.એચ. સિરાઝ્દીનોવ, ટી.એ. સરિમસાકોવ, ટી.એ. અઝલારોવ, એસ.કે. ફરમાનવ, પ્રોફેસર આઈ.એસ. બાદલબેવ, એમ.યુ. ગફુરોવ, શ.એ. ખાશિમોવ અને અન્ય.

પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, પ્રેક્ટિસની જરૂરિયાતોએ, સંભાવનાના સિદ્ધાંતના ઉદભવમાં ફાળો આપ્યો, તેના વિકાસને વિજ્ઞાન તરીકે ખવડાવ્યું, જે તેની વધુ અને વધુ શાખાઓ અને વિભાગોના ઉદભવ તરફ દોરી ગયું. ગાણિતિક આંકડાઓ સંભવિતતાના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે, જેનું કાર્ય ચોક્કસ અંશે વિશ્વસનીયતા સાથે, સામાન્ય વસ્તીમાં રહેલી લાક્ષણિકતાઓને નમૂનામાંથી પુનઃનિર્માણ કરવાનું છે. વિજ્ઞાનની આવી શાખાઓ જેમ કે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો સિદ્ધાંત, કતાર સિદ્ધાંત, માહિતી સિદ્ધાંત, વિશ્વસનીયતા સિદ્ધાંત, અર્થમિતિ મોડેલિંગ, વગેરેને સંભાવના સિદ્ધાંતથી અલગ કરવામાં આવી છે.

સંભાવના સિદ્ધાંતના ઉપયોગના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ક્ષેત્રોમાં આર્થિક અને તકનીકી વિજ્ઞાનનો સમાવેશ થાય છે. હાલમાં, સંભાવના સિદ્ધાંત પર આધારિત મોડેલિંગ વિના, સહસંબંધ અને રીગ્રેસન વિશ્લેષણ, પર્યાપ્તતા અને "સંવેદનશીલ" અનુકૂલનશીલ મોડેલો વિના આર્થિક અને તકનીકી ઘટનાના અભ્યાસની કલ્પના કરવી મુશ્કેલ છે.

ટ્રાફિકના પ્રવાહમાં બનતી ઘટનાઓ, કારના ઘટકોની વિશ્વસનીયતાની ડિગ્રી, રસ્તાઓ પર કાર અકસ્માતો, તેમના અનિશ્ચિતતાને કારણે રસ્તાની ડિઝાઇનની પ્રક્રિયામાં વિવિધ પરિસ્થિતિઓનો સમાવેશ સંભવિત સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરવામાં આવતી સમસ્યાઓની શ્રેણીમાં કરવામાં આવે છે.

સંભાવના સિદ્ધાંતના મૂળભૂત ખ્યાલો અનુભવ અથવા પ્રયોગ અને ઘટનાઓ છે. અમુક પરિસ્થિતિઓ અને સંજોગોમાં કરવામાં આવતી ક્રિયાઓને અમે પ્રયોગ કહીએ છીએ. પ્રયોગના દરેક ચોક્કસ અમલીકરણને પરીક્ષણ કહેવામાં આવે છે.

પ્રયોગના દરેક કલ્પી શકાય તેવા પરિણામને પ્રાથમિક ઘટના કહેવામાં આવે છે અને તેના દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સમાં ચોક્કસ સંખ્યામાં પ્રાથમિક ઘટનાઓનો સમાવેશ થાય છે અને એ, બી, સી, ડી,... દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

પ્રાથમિક ઘટનાઓનો સમૂહ જેમ કે

1) પ્રયોગના પરિણામે, પ્રાથમિક ઘટનાઓમાંની એક હંમેશા થાય છે;

2) એક અજમાયશ દરમિયાન, માત્ર એક જ પ્રાથમિક ઘટના બનશે, જેને પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા કહેવાય છે અને તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

આમ, કોઈપણ રેન્ડમ ઘટના એ પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યાનો સબસેટ છે. પ્રારંભિક ઘટનાઓની જગ્યાની વ્યાખ્યા દ્વારા, વિશ્વસનીય ઘટના દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે. એક અશક્ય ઘટના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1: ડાઇ ફેંકવામાં આવે છે. આ પ્રયોગને અનુરૂપ પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે:

ઉદાહરણ 2. કુલ 6 બોલ માટે કલશમાં 2 લાલ, 3 વાદળી અને 1 સફેદ હોય છે. પ્રયોગમાં કલશમાંથી રેન્ડમ પર દડા દોરવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પ્રયોગને અનુરૂપ પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે:

જ્યાં પ્રાથમિક ઘટનાઓના નીચેના અર્થો છે: - એક સફેદ બોલ દેખાયો; - એક લાલ બોલ દેખાયો; - એક વાદળી બોલ દેખાયો. નીચેની ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લો:

એ - સફેદ બોલનો દેખાવ;

B - લાલ બોલનો દેખાવ;

સી - વાદળી બોલનો દેખાવ;

ડી - રંગીન (બિન-સફેદ) બોલનો દેખાવ.

અહીં આપણે જોઈએ છીએ કે આમાંની દરેક ઘટનામાં એક અથવા બીજી સંભાવના છે: કેટલીક - મોટી, અન્ય - ઓછી. દેખીતી રીતે, ઘટના B ની શક્યતાની ડિગ્રી ઘટના A કરતા વધારે છે; ઘટનાઓ C - ઘટનાઓ B કરતાં; ઘટનાઓ ડી - ઘટનાઓ C કરતાં. ઘટનાઓની તેમની સંભાવનાની ડિગ્રી અનુસાર જથ્થાત્મક રીતે એકબીજા સાથે તુલના કરવા માટે, દેખીતી રીતે, દરેક ઘટના સાથે ચોક્કસ સંખ્યાને સાંકળવી જરૂરી છે, જે મોટી છે, ઘટના વધુ શક્ય છે.

આપણે આ સંખ્યાને વડે દર્શાવીએ છીએ અને તેને ઘટના A ની સંભાવના કહીએ છીએ. ચાલો હવે સંભાવનાની વ્યાખ્યા આપીએ.

પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યાને મર્યાદિત સેટ થવા દો અને તેના તત્વો રહેવા દો. અમે ધારીશું કે તે સમાન રીતે શક્ય પ્રાથમિક ઘટનાઓ છે, એટલે કે. દરેક પ્રાથમિક ઘટનામાં અન્ય કરતા વધુ થવાની સંભાવના હોતી નથી. જેમ જાણીતું છે, દરેક રેન્ડમ ઘટના A એ ઉપગણ તરીકે પ્રાથમિક ઘટનાઓનો સમાવેશ કરે છે. આ પ્રાથમિક ઘટનાઓને A માટે અનુકૂળ કહેવાય છે.

ઘટના A ની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યાં m એ A માટે અનુકૂળ પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંખ્યા છે, n એ સમાવિષ્ટ તમામ પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંખ્યા છે.

જો ઉદાહરણમાં 1 A એ ઘટનાને સૂચવે છે કે જે પોઈન્ટની સમાન સંખ્યા દેખાશે, તો પછી

ઉદાહરણ 2 માં, ઘટનાઓની સંભાવનાઓ નીચેના મૂલ્યો ધરાવે છે:

નીચેના ગુણધર્મો સંભવિતતાની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે:

1. વિશ્વસનીય ઘટનાની સંભાવના એક સમાન છે.

ખરેખર, જો કોઈ ઘટના વિશ્વસનીય હોય, તો બધી પ્રાથમિક ઘટનાઓ તેની તરફેણ કરે છે. આ કિસ્સામાં m=n અને તેથી

2. અશક્ય ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય છે.

ખરેખર, જો કોઈ ઘટના અશક્ય હોય, તો એક પણ પ્રાથમિક ઘટના તેની તરફેણ કરતી નથી. આ કિસ્સામાં m=0 અને તેથી

3. અવ્યવસ્થિત ઘટનાની સંભાવના એ શૂન્ય અને એક વચ્ચેની સકારાત્મક સંખ્યા છે.

ખરેખર, પ્રાથમિક ઘટનાઓની કુલ સંખ્યાનો માત્ર એક ભાગ જ રેન્ડમ ઘટનાની તરફેણ કરે છે. આ કિસ્સામાં, અને તેથી, અને તેથી,

તેથી, કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના અસમાનતાને સંતોષે છે

ઘટનાની સાપેક્ષ આવર્તન એ ટ્રાયલ્સની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે જેમાં ઘટના ખરેખર કરવામાં આવેલ ટ્રાયલ્સની કુલ સંખ્યા સાથે બની હતી.

આમ, ઘટના A ની સંબંધિત આવર્તન સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યાં m એ ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા છે, n એ અજમાયશની કુલ સંખ્યા છે.

સંભાવના અને સંબંધિત આવર્તનની વ્યાખ્યાઓની તુલના કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: સંભાવનાની વ્યાખ્યા માટે જરૂરી નથી કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવે; સંબંધિત આવર્તનનું નિર્ધારણ ધારે છે કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા.

ઉદાહરણ 3. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા 80 સમાન ભાગોમાંથી, 3 ખામીયુક્ત ભાગોને ઓળખવામાં આવ્યા હતા. ખામીયુક્ત ભાગોની સંબંધિત આવર્તન છે

ઉદાહરણ 4. વર્ષ દરમિયાન, એક સુવિધા પર 24 નિરીક્ષણો હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા, અને કાયદાના 19 ઉલ્લંઘનો નોંધાયા હતા. કાયદાના ઉલ્લંઘનની સંબંધિત આવર્તન છે

લાંબા ગાળાના અવલોકનો દર્શાવે છે કે જો પ્રયોગો સમાન પરિસ્થિતિઓમાં હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેક પરીક્ષણોની સંખ્યા ઘણી મોટી હોય છે, તો સંબંધિત આવર્તનમાં થોડો ફેરફાર થાય છે (ઓછા, વધુ પરીક્ષણો કરવામાં આવે છે), ચોક્કસ સ્થિરતાની આસપાસ વધઘટ થાય છે. સંખ્યા તે બહાર આવ્યું છે કે આ સતત સંખ્યા ઘટના બનવાની સંભાવના છે.

આમ, જો સંબંધિત આવર્તન પ્રાયોગિક રીતે સ્થાપિત કરવામાં આવે છે, તો પરિણામી સંખ્યાને અંદાજિત સંભાવના મૂલ્ય તરીકે લઈ શકાય છે. આ સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યા છે.

નિષ્કર્ષમાં, ચાલો સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા જોઈએ.

જો પ્રાથમિક ઘટનાઓની અવકાશને પ્લેન પર અથવા અવકાશમાં ચોક્કસ વિસ્તાર તરીકે ગણવામાં આવે છે, અને A તેના સબસેટ તરીકે, તો ઘટના A ની સંભાવના A ના વિસ્તારો અથવા વોલ્યુમોના ગુણોત્તર તરીકે ગણવામાં આવશે અને, અને શોધવામાં આવશે. નીચેના સૂત્રો અનુસાર:

પુનરાવર્તન અને નિયંત્રણ માટેના પ્રશ્નો:

1. કારણભૂત સંબંધોના અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપ અનુસાર પ્રકૃતિ અને સમાજના નિયમો કયા વર્ગોમાં વહેંચાયેલા છે?

2. ઘટનાઓના કયા પ્રકારોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે?

3. સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષય શું છે?

4. તમે સંભાવના સિદ્ધાંતના વિકાસના ઇતિહાસ વિશે શું જાણો છો?

5. આર્થિક અને તકનીકી સમસ્યાઓ માટે સંભાવના સિદ્ધાંતનું મહત્વ શું છે?

6. પ્રયોગ, પરીક્ષણ, પ્રાથમિક ઘટના અને ઘટના શું છે, તેઓ કેવી રીતે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે?

7. પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા શું કહેવાય છે?

8. ઘટનાની સંભાવના કેવી રીતે નક્કી થાય છે?

9. તમે સંભાવનાના કયા ગુણધર્મો જાણો છો?

10. ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન વિશે તમે શું જાણો છો?

11. સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યાનો સાર શું છે?

12. સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા શું છે?

એ.એન. કોલમોગોરોવનું જીવનચરિત્ર અને કાર્યો

પ્રાથમિક સંભાવના સિદ્ધાંત એ સંભાવના સિદ્ધાંતનો તે ભાગ છે જેમાં વ્યક્તિએ માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં ઘટનાઓની સંભાવનાઓ સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે. ગાણિતિક શિસ્ત તરીકે સંભાવના સિદ્ધાંત...

વેક્ટર જગ્યા. રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાઓ ગ્રાફિકલી ઉકેલવી

હવે ચાલો કેટલીક લીનિયર પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાઓ જોઈએ અને તેને ગ્રાફિકલી ઉકેલીએ. સમસ્યા 1. મહત્તમ Z = 1+ - , . ઉકેલ. નોંધ કરો કે આ સમસ્યાની અસમાનતાની સિસ્ટમ દ્વારા નિર્ધારિત અર્ધ-વિમાનોમાં સામાન્ય બિંદુઓ નથી (આકૃતિ 2)