7 માંથી 1 સંભાવના. પરસ્પર એક સાથે ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો ઉમેરો

A.A. ખલાફયાન

સંભાવના સિદ્ધાંત

અને ગાણિતિક આંકડા

વ્યાખ્યાન પાઠો

ક્રાસ્નોદર 2008

સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યા

ઘટનાઓનો એક મોટો વર્ગ છે જેની સંભાવનાઓનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાતી નથી શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા. સૌ પ્રથમ, આ અસમાન રીતે શક્ય પરિણામો સાથેની ઘટનાઓ છે (ઉદાહરણ તરીકે, ડાઇસ"અયોગ્ય", સિક્કો ચપટી છે, વગેરે). આવા કિસ્સાઓમાં તે મદદ કરી શકે છે આંકડાકીય વ્યાખ્યાટ્રાયલ્સમાં ઘટનાની ઘટનાની આવર્તનની ગણતરી પર આધારિત સંભાવના.

વ્યાખ્યા 2.ઘટના A ની ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના કહેવામાં આવે છે સંબંધિત આવર્તનકરવામાં આવેલ n ટ્રાયલ્સમાં આ ઘટનાની ઘટના, એટલે કે

(એ) = ડબલ્યુ( એ) = m/n,

ક્યાં ( એ) – સંભાવનાના આંકડાકીય નિર્ધારણ; ડબલ્યુ( એ) – સંબંધિત આવર્તન; n – કરવામાં આવેલ પરીક્ષણોની સંખ્યા; m – ટ્રાયલની સંખ્યા જેમાં ઘટના એદેખાયા. તેની નોંધ લો આંકડાકીય સંભાવનાએક અનુભવી, પ્રાયોગિક લાક્ષણિકતા છે.

વધુમાં, જ્યારે n → ∞, (એ) → પી( એ), ઉદાહરણ તરીકે, બફોનના પ્રયોગોમાં (XVIII સદી) 4040 સિક્કા ટૉસ સાથે કોટ ઑફ આર્મ્સના દેખાવની સંબંધિત આવર્તન 0.5069 હોવાનું બહાર આવ્યું છે, પીયર્સનના પ્રયોગોમાં (XIX સદી) 23000 ટૉસ સાથે – 0,5005.

સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા

શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાની બીજી ખામી જે તેની એપ્લિકેશનને મર્યાદિત કરે છે તે એ છે કે તે ધારે છે અંતિમ સંખ્યાશક્ય પરિણામો. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, આ ગેરલાભનો ઉપયોગ કરીને દૂર કરી શકાય છે ભૌમિતિક વ્યાખ્યાસંભાવનાઓ ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, એક સપાટ આકૃતિ gભાગ બનાવે છે સપાટ આકૃતિ જી(ફિગ. 3).

ફિટ જીએક બિંદુ રેન્ડમ પર ફેંકવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રદેશના તમામ બિંદુઓ જીત્યાં ફેંકી દેવાના સંબંધમાં "સમાન અધિકારો". રેન્ડમ બિંદુ. ધારી રહ્યા છીએ કે ઘટનાની સંભાવના એ- ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ હિટ gઆ આંકડોના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણસર એસ જીઅને તે વિસ્તારની તુલનામાં તેના સ્થાન પર આધારિત નથી જી, ન તો ફોર્મમાંથી g, અમે શોધીશું

આર(એ) = એસ જી/એસ જી

જ્યાં એસ જી- પ્રદેશનો વિસ્તાર જી. પરંતુ વિસ્તારો થી gઅને જીએક-પરિમાણીય, દ્વિ-પરિમાણીય, ત્રિ-પરિમાણીય અને બહુપરિમાણીય હોઈ શકે છે, પછી, પ્રદેશના માપને સૂચિત કરીને માપ, તમે વધુ આપી શકો છો સામાન્ય વ્યાખ્યા ભૌમિતિક સંભાવના

પી = measg / measG.

પુરાવો.

આર(V/A) = આર(INÇ એ)/આર(એ) = આર(એÇ IN)/આર(એ) = {પી(a/b)આર(IN)}/આર(એ) = {આર(એ)આર(IN)}/આર(એ) = આર(IN).

વ્યાખ્યા 4 થી, આશ્રિત અને સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટેની સંભાવનાઓના ગુણાકાર માટેના સૂત્રો અનુસરે છે.

કોરોલરી 1.ઘણી ઘટનાઓની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના તેમાંથી એક વખતની સંભાવનાના ઉત્પાદન જેટલી છે શરતી સંભાવનાઓઅન્ય તમામ, અને દરેક અનુગામી ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી એ ધારણા હેઠળ કરવામાં આવે છે કે અગાઉની બધી ઘટનાઓ પહેલેથી જ આવી ચૂકી છે:

પી(A 1 A 2 … A n)= પી(એ 1)P A1(A 2)P A1A2(A 3)…P A1A2…An-1(એ એન).

વ્યાખ્યા 6. ઘટનાઓ A 1, A 2, ..., A n સામૂહિક રીતે સ્વતંત્ર છે જો તેમાંથી કોઈપણ બે સ્વતંત્ર હોય અને આમાંથી કોઈપણ ઘટનાઓ અને અન્ય ઘટનાઓના કોઈપણ સંયોજનો (ઉત્પાદનો) સ્વતંત્ર હોય..

કોરોલરી 2.એકંદરમાં સ્વતંત્ર હોય તેવી અનેક ઘટનાઓની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી છે:

પી(A 1 A 2 … A n) = પી(એ 1)પી(એ 2)… પી(એ n).

પુરાવો.

પી(એ 1 એ 2 … એ n) = પી(એ 1 · એ 2 … એ n) = પી(એ 1)પી(એ 2 … એ n).=…= પી(એ 1)પી(એ 2)… પી(એ એન).

વ્યાખ્યા 7. ઘટના A 1, A 2, … A n ફોર્મ સંપૂર્ણ જૂથઘટનાઓ જો તેઓ જોડી પ્રમાણે અસંગત હોય (એ i∩એ જે= Ø, કોઈપણ માટે i ≠ જે)અને સાથે મળીને રચે છે Ω, તે. .

પ્રમેય 2.જો ઘટનાઓ A 1, A 2, … A nઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવવું, આર(એ i) > 0 (કારણ કે તે નિર્ધારિત કરવામાં આવશે નહીં પી(બી/એ i)), પછી અમુક ઘટનાની સંભાવના બીÎS એ ઘટનાની ઘટનાની બિનશરતી સંભાવનાઓના ઉત્પાદનોના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. એ iઘટના બનવાની શરતી સંભાવનાઓ પર બી, એટલે કે

. (1)

પુરાવો.ઘટનાઓ થી એ iજોડી પ્રમાણે અસંગત હોય છે, પછી ઘટના સાથે તેમનું આંતરછેદ બીજોડીમાં અસંગત પણ છે, એટલે કે B∩A iઅને B∩А જે- સાથે અસંગત i¹j.વિતરણ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ((È એ i)Ç IN = È( એહું Ç IN)), ઘટના બીતરીકે રજૂ કરી શકાય છે . ચાલો આપણે ઉમેરા 3 નો ઉપયોગ કરીએ અને સંભાવનાઓના ગુણાકાર માટે સૂત્ર મેળવીએ

સૂત્ર (1) સૂત્ર કહેવાય છે સંપૂર્ણ સંભાવના.

કુલ સંભાવના સૂત્રમાંથી, વધારાની ધારણા હેઠળ, બેયસનું સૂત્ર મેળવવાનું સરળ છે પી(બી)>0

જ્યાં k = 1, 2, …, n.

પુરાવો.P(A k /B) = P(A k ∩ B)/P(B)

ઘટનાઓની સંભાવનાઓ પી(એ i), i =1, 2, …, nકહેવાય છે પૂર્વ સંભાવનાઓ, એટલે કે પ્રયોગ પહેલાંની ઘટનાઓની સંભાવનાઓ અને આ ઘટનાઓની શરતી સંભાવનાઓ પી(એ કે/બી), પશ્ચાદવર્તી સંભાવનાઓ કહેવાય છે, એટલે કે. અનુભવના પરિણામે સ્પષ્ટતા, જેનું પરિણામ ઘટનાની ઘટના હતી IN.

કાર્ય. IN ટ્રેડિંગ કંપનીપહોંચ્યા સેલ ફોનત્રણ ઉત્પાદકોના નવીનતમ મોડલ અલ્કાટેલ, સિમેન્સ, મોટોરોલા 1: 4: 5 ગુણોત્તરમાં. પ્રેક્ટિસ દર્શાવે છે કે 1લી, 2જી, 3જી ઉત્પાદક પાસેથી પ્રાપ્ત થયેલ ફોનને અનુક્રમે 98%, 88% અને 92% કેસોમાં વોરંટી સમયગાળા દરમિયાન સમારકામની જરૂર રહેશે નહીં. સંભવિતતા શોધો કે જે ફોન વેચાણ પર છે તેને વોરંટી સમયગાળા દરમિયાન સમારકામની જરૂર પડશે નહીં, ફોને વોરંટી સમયગાળા દરમિયાન જરૂરી સમારકામ માટે વેચાણ કર્યું છે અને ફોન કયા ઉત્પાદક પાસેથી આવ્યો હોવાની સંભાવના છે.

ઉદાહરણ 1.

ઉદાહરણ 2.

વ્યાખ્યા 1. રેન્ડમ ચલ સંભાવના જગ્યા { Ω, S, P) એ કોઈપણ કાર્ય X છે(w) , માટે વ્યાખ્યાયિત wÎΩ, અને જેમ કે તમામ વાસ્તવિક x() સમૂહ માટે (ડબલ્યુ : એક્સ(w) < x}принадлежит полю S. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આવી કોઈપણ ઘટના માટે w સંભાવના નક્કી કરવામાં આવે છે પી(એક્સ(w)< x) = પી(એક્સ < x).

અમે કેપિટલ અક્ષરો દ્વારા રેન્ડમ ચલોને દર્શાવીશું લેટિન અક્ષરોમાં એક્સ, વાય, ઝેડ, ..., અને મૂલ્યો રેન્ડમ ચલો- લોઅરકેસ લેટિન અક્ષરો x, y, z...

વ્યાખ્યા 2. રેન્ડમ ચલ Xને ડિસ્ક્રીટ કહેવામાં આવે છે જો તે અમુક અલગ સેટમાંથી જ મૂલ્યો લે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, x ના મૂલ્યોની મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર સંખ્યા છે 1 , x 2 , …, જેમ કે પી(એક્સ = x i) = p i ³ 0, i = 1, 2…, અનેå p i = 1.

જો રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ જાણીતી હોય, તો અમે કહીએ છીએ કે એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો નક્કી કરવામાં આવ્યો છે.

જો કોષ્ટક સંકલિત કરવામાં આવે છે, જેના ઉપરના ભાગમાં રેન્ડમ ચલોના મૂલ્યો સ્થિત છે, અને નીચેના ભાગમાં અનુરૂપ સંભાવનાઓ છે, તો પછી આપણે રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણી મેળવીએ છીએ, જે ડિસ્ક્રીટના વિતરણ કાયદાને સ્પષ્ટ કરે છે. રેન્ડમ ચલ.

ઉદાહરણ 3.ચાલો 2 સિક્કા ટૉસ દરમિયાન હથિયારોના કોટના નુકસાન માટે વિતરણ શ્રેણીનું સંકલન કરીએ. સંભવિત પરિણામો - GG, GR, RG, RR. સંભવિત પરિણામો પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે આર્મ્સ કોટ 0, 1 અને 2 વખત દેખાઈ શકે છે, અનુરૂપ સંભાવનાઓ સાથે - ¼, ½, ¼. પછી વિતરણ શ્રેણી ફોર્મ લેશે

વ્યાખ્યા 3.રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણ કાર્યને ફંક્શન F કહેવામાં આવે છે(x), x પર આધાર રાખીને Î આર અને મૂલ્ય લેવું, સંભાવના સમાનઘટનાઓ w કે એક્સ < x, એટલે કે, એફ(x) = પી(w: એક્સ(w)< x } = પી(એક્સ < x).

વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે કોઈપણ રેન્ડમ ચલમાં વિતરણ કાર્ય હોય છે.

સમાન વિતરણ

વ્યાખ્યા 1. રેન્ડમ ચલ X, મૂલ્યો સ્વીકારે છે 1, 2, …, n, એક સમાન વિતરણ ધરાવે છે જો P m = પી(એક્સ = m) = 1/n,

m = 1, …, n

તે સ્પષ્ટ છે કે.

નીચેની સમસ્યાનો વિચાર કરો એનબોલ, જેમાંથી એમબોલ સફેદ. રેન્ડમ પર પુનઃપ્રાપ્ત nબોલ સંભવિતતા શોધો કે જેમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે તે હશે mસફેદ દડા.

તે જોવાનું સરળ છે.

ઝેરનું વિતરણ

વ્યાખ્યા 4. રેન્ડમ ચલ X પરિમાણ સાથે પોઈસન વિતરણ ધરાવે છે l જો , m = 0, 1, …

ચાલો બતાવીએ કે Σp m = 1. .

દ્વિપદી વિતરણ

વ્યાખ્યા 5.રેન્ડમ ચલ X પાસે છે દ્વિપદી વિતરણ, જો , m = 0, 1, …, n,

જ્યાં n- બર્નૌલી યોજના અનુસાર પરીક્ષણોની સંખ્યા, m- સફળતાઓની સંખ્યા, આર- એક પરિણામમાં સફળતાની સંભાવના, q = 1–પૃ.

બર્નૌલી વિતરણ

વ્યાખ્યા 6.રેન્ડમ ચલ X પાસે બર્નોલી વિતરણ હોય છે જો P(એક્સ= m) = પી એમ = p m q n - m, m = 0, 1, …, n.

મોટા પ્રમાણમાં mઅને nબર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી સમસ્યારૂપ બને છે. તેથી, સંખ્યાબંધ કેસોમાં બર્નોલી ફોર્મ્યુલાને યોગ્ય અંદાજિત એસિમ્પટોટિક ફોર્મ્યુલા સાથે બદલવું શક્ય છે. તેથી જો n- મોટું, પરંતુ આરપછી થોડું .

પોઈસનનું પ્રમેય.જો n® ¥, અને પી® 0, તેથી એન.પી.® l, પછી .

પુરાવો. ચાલો l n = સૂચવીએ એન.પી., પ્રમેયની શરતો અનુસાર , પછી

મુ n® ¥, એલ n m® લ m,

આમાંથી આપણે પ્રમેયનું નિવેદન મેળવીએ છીએ. પી એન(m) ® ખાતે n ® ¥.

પોઈસનનું સૂત્ર એ બર્નૌલીના સૂત્રનું સારું અનુમાન છે જો npq£9. જો કામ npqમોટી છે, પછી ગણતરી કરવી Р n (m) Moivre-Laplace ના સ્થાનિક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો.

સ્થાનિક પ્રમેય Moivre - Laplace.દો પીО(0;1) સ્થિર છે, મૂલ્ય સમાનરૂપે મર્યાદિત છે, એટલે કે. $ s, |x m |<с . પછી

જ્યાં b(n;m)એક અનંત નાનો જથ્થો છે, અને .

પ્રમેયની શરતો પરથી તે અનુસરે છે ,

જ્યાં , .

ગણતરી કરવી Р n (m)અગાઉ આપેલ સૂત્ર મુજબ, ફંક્શન કોષ્ટકોનો ઉપયોગ થાય છે

સમસ્યા 1. ત્રણ ગ્રાહકો એક પછી એક કપડાંની દુકાનમાં પ્રવેશે છે. મેનેજરનો અંદાજ છે કે પ્રવેશનાર મુલાકાતી ખરીદી કરશે તેવી સંભાવના 0.3 છે. ખરીદનાર મુલાકાતીઓની સંખ્યાની શ્રેણી બનાવો.

ઉકેલ.

x i
p i	0,343	0,441	0,189	0,027

સમસ્યા 2. કોઈપણ કમ્પ્યુટર તૂટવાની સંભાવના 0.01 છે. કુલ 25 સાથે નિષ્ફળ કમ્પ્યુટર્સની સંખ્યા માટે વિતરણ શ્રેણી બનાવો.

ઉકેલ.

સમસ્યા 3. કાર વેચાણના શોરૂમ પર 10 ટુકડાઓના બેચમાં આવે છે. પ્રાપ્ત 10 માંથી માત્ર 5 કાર ગુણવત્તા અને સુરક્ષા નિયંત્રણને આધીન છે. સામાન્ય રીતે, પ્રાપ્ત 10 માંથી 2 વાહનો ગુણવત્તા અને સલામતીના ધોરણોને પૂર્ણ કરતા નથી. ચકાસાયેલ 5માંથી ઓછામાં ઓછી એક કાર રિજેક્ટ થવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ. P = P (1) + P (2) = + = 0.5556 + 0.2222 = 0.7778

પુરાવો.

સમસ્યા 1. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ ઉપકરણને વધારાના ગોઠવણની જરૂર હોય તેવી સંભાવના 0.05 છે. જો, ઉપકરણોની બેચની રેન્ડમ તપાસ દરમિયાન, એવું જાણવા મળે છે કે પસંદ કરેલા ઉપકરણોમાંથી ઓછામાં ઓછા 6% ને ગોઠવણની જરૂર છે, તો પછી સમગ્ર બેચ પુનરાવર્તન માટે પરત કરવામાં આવે છે. જો બેચમાંથી 500 ઉપકરણો નિરીક્ષણ માટે પસંદ કરવામાં આવ્યા હોય તો બેચ પરત કરવામાં આવશે તેવી સંભાવના નક્કી કરો.

ઉકેલ.જો ગોઠવણની જરૂર હોય તેવા પસંદ કરેલા ઉપકરણોની સંખ્યા 6% કરતાં વધુ હોય તો બેચ પરત કરવામાં આવશે, એટલે કે. m 1 = 500 × 6/100 = 30. આગળ: પી = 0,05: q = 0,95; એન.પી.= 25; 4.87. જો ઉપકરણને વધારાના ગોઠવણીની જરૂર હોય તો અમે તેને સફળ ગણીએ છીએ.

ચાલો Moivre-Laplace અભિન્ન પ્રમેય લાગુ કરીએ.

કાર્ય 2.નિર્ધારિત કરો કે કેટલા ઉત્પાદનોને પસંદ કરવાની જરૂર છે જેથી કરીને 0.95 ની સંભાવના સાથે એવું કહી શકાય કે ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંબંધિત આવર્તન તેમની ઘટનાની સંભાવનાથી 0.01 કરતાં વધુ નહીં અલગ હશે.

ઉકેલ.સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, અમે ગાણિતિક મોડેલ તરીકે બર્નૌલી યોજના પસંદ કરીએ છીએ અને સૂત્ર (4) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આપણે આના જેવું કંઈક શોધવાની જરૂર છે nજેથી સમાનતા (4) સંતુષ્ટ છે, જો e = 0.01, b = 0.95, સંભાવના p અજ્ઞાત છે.

એફ(એક્સ b) = (1 + 0.95) / 2 = 0.975. એપ્લિકેશન કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને આપણે તે શોધીએ છીએ એક્સ b = 1.96. પછી સૂત્ર (4) નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ n= ¼ × 1.96 2 /0.01 2 = 9600.

સમાન વિતરણ

વ્યાખ્યા 5. એક સતત રેન્ડમ ચલ X, સેગમેન્ટ પર મૂલ્ય લે છે, જો વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ હોય તો તેનું સમાન વિતરણ હોય છે

. (1)

તે ચકાસવું સરળ છે કે,

જો રેન્ડમ ચલ સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે, તો તે આપેલ અંતરાલમાંથી મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના સંખ્યા રેખા પરના અંતરાલની સ્થિતિ પર આધારિત નથી અને તે આ અંતરાલની લંબાઈના પ્રમાણસર છે.

ચાલો બતાવીએ કે ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન X પાસે ફોર્મ છે

. (2)

દો એક્સÎ (–¥, a), પછી એફ(x) = .

દો એક્સÎ [ a,b], પછી એફ(x) = .

દો એક્સ Î ( b,+¥], પછી એફ(x) = = 0 + .

ચાલો મધ્યક શોધીએ x 0.5. અમારી પાસે છે એફ(x 0.5) = 0.5, તેથી

તેથી, સમાન વિતરણનો મધ્ય ભાગ સેગમેન્ટની મધ્ય સાથે એકરુપ છે. આકૃતિ 1 ઘનતા ગ્રાફ બતાવે છે આર(એક્સ) અને વિતરણ કાર્યો એફ(x)

સમાન વિતરણ માટે.

સામાન્ય વિતરણ

વ્યાખ્યા 7. સતત રેન્ડમ ચલનું સામાન્ય વિતરણ હોય છે, જેમાં બે પરિમાણો a, s, if હોય છે

, s>0. (5)

હકીકત એ છે કે રેન્ડમ ચલનું સામાન્ય વિતરણ છે તે ફોર્મમાં ટૂંકમાં લખવામાં આવશે એક્સ ~ એન(a;s).

ચાલો તે બતાવીએ પી(x) - ઘનતા

(લેક્ચર 6 માં બતાવેલ છે).

ઘનતા ગ્રાફ સામાન્ય વિતરણ(ફિગ. 3) ને સામાન્ય વળાંક (ગૌસીયન વળાંક) કહેવામાં આવે છે.

વિતરણ ઘનતા સીધી રેખાની તુલનામાં સપ્રમાણ છે એક્સ = a. જો એક્સ® ¥, પછી આર(એક્સ) ® 0. જેમ જેમ s ઘટે છે તેમ, ગ્રાફ સમપ્રમાણતાની અક્ષ સાથે "સંકુચિત" થાય છે એક્સ = a.

સામાન્ય વિતરણ નાટકો વિશેષ ભૂમિકાસંભાવના સિદ્ધાંત અને તેના કાર્યક્રમોમાં. આ એ હકીકતને કારણે છે કે, કેન્દ્રીય અનુસાર મર્યાદા પ્રમેયસંભાવના સિદ્ધાંત જ્યારે અમુક શરતો સરવાળો પૂરી થાય છે મોટી સંખ્યામાંરેન્ડમ ચલોમાં "આશરે" સામાન્ય વિતરણ હોય છે.

કારણ કે - ઘનતા સામાન્ય કાયદોપરિમાણો સાથે વિતરણ એ= 0 અને s =1, પછી કાર્ય = એફ(એક્સ), જેનો ઉપયોગ સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે થાય છે , પરિમાણો સાથે સામાન્ય વિતરણનું વિતરણ કાર્ય છે એ= 0 અને s = 1.

રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય એક્સમનસ્વી પરિમાણો સાથે એ, s દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે એફ(એક્સ) - પરિમાણો સાથે સામાન્ય રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય એ= 0 અને s = 1.

દો એક્સ ~ એન(a;s), પછી

. (6)

ચાલો અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ ચલોમાં ફેરફાર કરીએ, આપણને મળે છે

એફ(x) = . (7)

IN વ્યવહારુ કાર્યક્રમોસંભાવના સિદ્ધાંતને ઘણીવાર સંભવિતતા શોધવાની જરૂર પડે છે કે રેન્ડમ ચલ આપેલ અંતરાલમાંથી મૂલ્ય લેશે. સૂત્ર (7) અનુસાર, આ સંભાવના પરથી શોધી શકાય છે કોષ્ટક મૂલ્યોલેપ્લેસ કાર્યો

ચાલો સામાન્ય રેન્ડમ ચલનો મધ્યક શોધીએ એક્સ ~ એન(a;s). કારણ કે વિતરણ ઘનતા p(x) ધરી વિશે સપ્રમાણ છે એક્સ = એ, તે

આર(એક્સ < a) = પી(x > a) = 0,5.

તેથી, સામાન્ય રેન્ડમ ચલનો મધ્યક પરિમાણ સાથે મેળ ખાય છે એ:

એક્સ 0,5 = એ.

કાર્ય 1.મેટ્રો ટ્રેન દર 2 મિનિટે દોડે છે. મુસાફર અમુક સમયે પ્લેટફોર્મમાં પ્રવેશે છે. સમય X જે દરમિયાન તેણે ટ્રેનની રાહ જોવી પડશે તે રેન્ડમ ચલ છે જે વિસ્તાર (0, 2) મિનિટ પર સમાન ઘનતા સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે. સંભવિતતા શોધો કે મુસાફરને આગલી ટ્રેન માટે 0.5 મિનિટથી વધુ રાહ જોવી પડશે નહીં.

ઉકેલ. તે સ્પષ્ટ છે કે p(x)= 1/2. પછી, P 0.5 = પી( 1,5 2) = = 0,25

કાર્ય 2.વોલ્ઝસ્કી ઓટોમોબાઈલ પ્લાન્ટ નવું એન્જિન લોન્ચ કરે છે. એવું માનવામાં આવે છે કે નવા એન્જિનવાળી કારનું સરેરાશ માઇલેજ σ = 30 હજાર કિમીના પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે 160 હજાર કિમી છે. પ્રથમ સમારકામ પહેલા કિ.મી.ની સંખ્યા કેટલી છે તેની સંભાવના કેટલી છે? કારની માઈલેજ 100 હજાર કિમી સુધીની હશે. 180 હજાર કિમી સુધી.

ઉકેલ. P(100000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226.

વિક્ષેપ ગુણધર્મો

1.અચળ C નું વિચલન બરાબર છે 0,ડીસી = 0, સાથે = const.

પુરાવો.ડીસી = એમ(સાથે– એમ.સી.) 2 = એમ(સાથે– સાથે) = 0.

2.ડી(સીએક્સ) = સાથે 2 ડીએક્સ.

પુરાવો. ડી(સીએક્સ) = એમ(સીએક્સ) 2 – એમ 2 (સીએક્સ) = સી 2 એમએક્સ 2 – સી 2 (એમએક્સ) 2 = સી 2 (એમએક્સ 2 – એમ 2 એક્સ) = સાથે 2 ડીએક્સ.

3. જો X અને Y – સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો, તે

પુરાવો.

4. જો એક્સ 1 , એક્સ 2 , … પછી નિર્ભર નથી .

આ મિલકત પ્રોપર્ટી 3 નો ઉપયોગ કરીને ઇન્ડક્શન દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે.

પુરાવો. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

પુરાવો. D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X– MX) 2 = DX.

સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ રહેવા દો, અને , .

ચાલો એક નવું રેન્ડમ ચલ બનાવીએ, ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા શોધીએ વાય.

; .

એટલે કે, જ્યારે n®¥ n સ્વતંત્ર રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોના અંકગણિત સરેરાશની ગાણિતિક અપેક્ષા યથાવત રહે છે, ગાણિતિક અપેક્ષા a ની બરાબર છે, જ્યારે ભિન્નતા શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે.

અંકગણિતની આંકડાકીય સ્થિરતાનો આ ગુણધર્મ કાયદાને અન્ડરલાઈઝ કરે છે મોટી સંખ્યામાં.

સામાન્ય વિતરણ

દો એક્સસામાન્ય વિતરણ છે. અગાઉ, વ્યાખ્યાન 11 (ઉદાહરણ 2) માં દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે જો

પછી Y ~ N(0,1).

અહીંથી, અને પછી, તો ચાલો પહેલા શોધીએ ડીવાય.

આથી

ડીએક્સ= ડી(ઓ વાય+a) = ઓ 2 ડીવાય= s 2 , s x= સે. (2)

ઝેરનું વિતરણ

જેમ જાણીતું છે

આથી,

સમાન વિતરણ

તે જાણીતું છે .

અગાઉ આપણે બતાવ્યું હતું કે, ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ.

પુરાવો.

સમાનતાઓની સાંકળમાં છેલ્લું અભિન્ન 0 બરાબર છે, કારણ કે તે સમસ્યાની શરતોને અનુસરે છે કે p(MX+t) -ના સંદર્ભમાં પણ કાર્ય કરે છે t (p(MX+t)= p(MX-t)), એ t 2 k +1- વિચિત્ર કાર્ય.

કારણ કે સામાન્ય અને સમાન વિતરણ કાયદાની ઘનતા આ સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે એક્સ= એમએક્સ, તો વિષમ ક્રમની તમામ કેન્દ્રીય ક્ષણો 0 ની બરાબર છે.

પ્રમેય 2.જો એક્સ~એન(a,ઓ), પછી .

રેન્ડમ વેરીએબલની જેટલી વધુ ક્ષણો જાણીતી છે, તેટલી જ આપણી પાસે વિતરણ કાયદાની વધુ વિગતવાર સમજ છે. સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓમાં, 3જી અને 4ઠ્ઠી ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણો પર આધારિત બે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓનો મોટાભાગે ઉપયોગ થાય છે. આ રેન્ડમ વેરીએબલના skewness ગુણાંક અને kurtosis છે.

વ્યાખ્યા 3. રેન્ડમ ચલ X નો અસમપ્રમાણતા ગુણાંક એ સંખ્યા છે b = .

અસમપ્રમાણતા ગુણાંક એ સામાન્યકૃત રેન્ડમ ચલની મધ્ય અને પ્રારંભિક ક્ષણ છે વાય, ક્યાં . આ નિવેદનની માન્યતા નીચેના સંબંધોમાંથી નીચે મુજબ છે:

રેન્ડમ ચલની વિકૃતિ એક્સરેન્ડમ ચલની અસમપ્રમાણતા સમાન વાય = α એક્સ + β

α, ની નિશાની સુધી. આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે રેન્ડમ ચલોનું સામાન્યકરણ a એક્સ+ b અને એક્સસમાન રેન્ડમ ચલ તરફ દોરી જાય છે વાયસહી કરવા સુધી

જો સંભવિત વિતરણ અસમપ્રમાણ હોય, તો જૂથ કેન્દ્રની જમણી બાજુએ સ્થિત ગ્રાફના "લાંબા ભાગ" સાથે, તો β( એક્સ) > 0; જો ગ્રાફનો "લાંબો ભાગ" ડાબી બાજુએ સ્થિત છે, તો પછી β( એક્સ) < 0. Для нормального и સમાન વિતરણ β = 0.

સરખામણીમાં ઘનતા વળાંક અથવા વિતરણ બહુકોણની "સરળતા" ની વધુ અથવા ઓછી ડિગ્રીની લાક્ષણિકતા તરીકે સામાન્ય ઘનતાકુર્ટોસિસની વિભાવનાનો ઉપયોગ થાય છે.

વ્યાખ્યા 4. રેન્ડમ વેરીએબલ X નું કર્ટોસિસ એ જથ્થો છે

રેન્ડમ ચલનું કુર્ટોસિસ એક્સપ્રારંભિક અને વચ્ચેના તફાવતની સમાન કેન્દ્રીય ક્ષણો 4 થી ક્રમમાં રેન્ડમ ચલ અને નંબર3 નોર્મલાઇઝ્ડ, એટલે કે. . ચાલો આ બતાવીએ:

રેન્ડમ ચલનું કુર્ટોસિસ એક્સરેન્ડમ વેરીએબલના કુર્ટોસિસની સમાન

વાય = α એક્સ + β.

ચાલો સામાન્ય રેન્ડમ ચલનું કુર્ટોસિસ શોધીએ એક્સ.

જો એક્સ~એન(a,s), પછી ~ (0,1).

આમ, સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું કર્ટોસિસ 0 ની બરાબર છે. જો વિતરણ ઘનતા સમાન ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણ ઘનતા કરતાં એકરૂપ અને વધુ "શિખર" હોય, તો g( એક્સ) > 0, જો સમાન પરિસ્થિતિઓમાં તે ઓછું "શિખર" હોય, તો g( એક્સ) < 0.

મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો

મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો રેન્ડમ ચલોના અંકગણિત સરેરાશના ગાણિતિક અપેક્ષાઓના અંકગણિત સરેરાશ સાથે કન્વર્જન્સ માટેની શરતો સ્થાપિત કરે છે.

વ્યાખ્યા 1. રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ સંભાવના p માં સંખ્યાને કન્વર્જન્ટ કહેવામાં આવે છે b જો
.

ચાલો આપણે આ અસમાનતાની મર્યાદાને પાર કરીએ અને મેળવીએ

.

અંતરાલ અંદાજ

જો પ્રાપ્ત થાય છે બિંદુ અંદાજ અજ્ઞાત પરિમાણનમૂનાના આધારે, પછી પરિણામી અંદાજ વિશે સાચા પરિમાણ તરીકે વાત કરવી ખૂબ જોખમી છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, પેરામીટર અંદાજોનો ફેલાવો પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તે વિશે વાત કરવી વધુ યોગ્ય છે અંતરાલ અંદાજ સાચો અર્થપરિમાણ. શું કહેવામાં આવ્યું છે તે સમજાવવા, બાંધકામનો વિચાર કરો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલમાટે ગાણિતિક અપેક્ષાસામાન્ય વિતરણ.

અમે તે બતાવ્યું છે – શ્રેષ્ઠ અંદાજ(એકદમ સાચો) ગાણિતિક અપેક્ષા માટે એમએક્સ= Q, તેથી તે પરિમાણ a = સામાન્ય વિતરણ P માટે પણ એકદમ સાચો અંદાજ છે, જ્યાં t– લેપ્લેસ ફંક્શનની દલીલનું મૂલ્ય, જેના પર એફ(t) = , e = .

1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B.સંભાવના અને ગણિતનો સિદ્ધાંત

ગાણિતિક આંકડા. એમ.: સ્નાતક શાળા, 1991.

2. એલિસીવા I.I., Knyazevsky V.S., Nivorozhkina L.I., Morozova Z.A.સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત બાબતો સાથે આંકડાશાસ્ત્રનો સિદ્ધાંત. એમ.: યુનિટી, 2001.

3. સ્ઝેકલી જી.સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓમાં વિરોધાભાસ. એમ.: મીર, 1990.

4. ક્રેમર એન.એસ.એચ.સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડા. એમ.: યુનિટી, 2001

5. સ્મિર્નોવ એન.વી. ડ્યુનિન-બાર્કોવ્સ્કી I.V.સંભાવના સિદ્ધાંત કોર્સ ગાણિતિક આંકડાતકનીકી એપ્લિકેશનો માટે. એમ.: નૌકા, 1969.

6. આંકડાકીય પદ્ધતિઓબાંધકામ પ્રયોગમૂલક સૂત્રો. એમ.: ઉચ્ચ શાળા, 1988.

લેક્ચર 1. સંભાવના સિદ્ધાંતો. ઇતિહાસ. સંભાવનાની ક્લાસિકલ વ્યાખ્યા.. 3

લેક્ચર 2. સંભાવનાઓના ઉમેરણ અને ગુણાકારના સિદ્ધાંતો. સંભાવનાની આંકડાકીય, ભૌમિતિક વ્યાખ્યા.. 8

લેક્ચર 3. સંભાવના થિયરીનું અક્ષીય નિર્માણ. કોલમોગોરોવનું એક્સિઓમેટિક્સ.. 14

લેક્ચર 4. રેન્ડમ વેરીએબલ. વિતરણ કાર્ય... 17

લેક્ચર 5. ડિસક્રીટ રેન્ડમ ચલોનું વિતરણ... 21

લેક્ચર 6. મોઇવર-લેપ્લેસ ઇન્ટિગ્રલ થિયોરેમ, બર્નૌલીનો પ્રમેય.. 26

લેક્ચર 7. સતત રેન્ડમ ચલ... 29

લેક્ચર 8. બહુપરીમાણીય રેન્ડમ ચલનો ખ્યાલ... 35

લેક્ચર 9. બહુપરીમાણીય રેન્ડમ વેરીએબલનું વિતરણ કાર્ય... 39

લેક્ચર 10. દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ 43ની સંભાવનાની ઘનતાના ગુણધર્મ

લેક્ચર 11. રેન્ડમ વેરીએબલ્સના કાર્યો.. 48

લેક્ચર 12. બે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ઘનતા પર પ્રમેય.. 52

લેક્ચર 13. વિદ્યાર્થી, ફિશર ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ રેન્ડમ છે

ના જવાબો પરીક્ષણ કાર્યસંભાવના સિદ્ધાંત અનુસારગાણિતિક વિષયોનો અભ્યાસ કરતા પ્રથમ વર્ષના વિદ્યાર્થીઓને મદદ કરશે. સોંપણીઓ ઘણો આવરી લે છે સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી, અને તેમના નિર્ણય માટેનો તર્ક દરેક વિદ્યાર્થી માટે ઉપયોગી થશે.
સમસ્યા 1. તમામ કિનારીઓ પેઇન્ટેડ ક્યુબને સમાન કદના 1000 ક્યુબ્સમાં કાપવામાં આવે છે. અવ્યવસ્થિત રીતે દોરવામાં આવેલ ક્યુબમાં હશે તેવી સંભાવના નક્કી કરો:
a) એક પેઇન્ટેડ ધાર;
b) બે શેડવાળા ચહેરા.

ગણતરીઓ: જો ક્યુબને ક્યુબ્સમાં કાપવામાં આવે સમાન કદપછી બધા ચહેરાઓને 100 ચોરસમાં વહેંચવામાં આવશે. (લગભગ ચિત્રમાંની જેમ)
આગળ, શરત અનુસાર, ક્યુબમાં એક છાંયડો ધાર હોવો જોઈએ - આનો અર્થ એ છે કે સમઘનનું હોવું જોઈએ બાહ્ય સપાટીપરંતુ ક્યુબ (2 શેડવાળી સપાટીઓ) ની ધાર પર સૂશો નહીં અને ખૂણા પર નહીં - તેમની પાસે ત્રણ છાંયેલી સપાટી છે.
તેથી, જરૂરી જથ્થો 8*8 કદના ચોરસમાં 6 ચહેરાના ઉત્પાદન અને ક્યુબ્સની સંખ્યા જેટલો છે.
6*8*8=384 – 1 પેઇન્ટેડ સપાટી સાથે ક્યુબ્સ.
સંભાવના તેમની કુલ સંખ્યા P=384/1000=0.384 માટે અનુકૂળ ઘટનાઓની સંખ્યા જેટલી છે.
b) બે છાંયડાવાળા ચહેરાઓ ક્યુબના શિરોબિંદુઓ વિના કિનારીઓ સાથે સમઘન ધરાવે છે. એક ધાર પર 8 આવા ક્યુબ્સ હશે. ક્યુબમાં કુલ 12 કિનારીઓ છે, તેથી બે શેડવાળા ચહેરાઓ છે
8*12=96 ક્યુબ્સ.
અને તમામ 1000 વચ્ચે તેમને બહાર કાઢવાની સંભાવના સમાન છે
P=96/1000=0.096.
આ કાર્ય ઉકેલાઈ ગયું છે અને અમે આગળના કાર્ય પર આગળ વધીએ છીએ.
કાર્ય 2. અક્ષરો A, A, A, N, N, C સમાન કાર્ડ્સ પર લખેલા છે. અવ્યવસ્થિત રીતે કાર્ડ્સને એક પંક્તિમાં મૂકવાથી, આપણને PINEAPPLE શબ્દ મળશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?
ગણતરીઓ: તમારે હંમેશા જે જાણીતું છે તેના પરથી તર્ક કરવો જોઈએ. 3 અક્ષરો A, 2-H, અને 1 - C જોતાં, ચાલો "અનાનસ" શબ્દ માટે અક્ષરો પસંદ કરવાનું શરૂ કરીએ. પ્રથમ અક્ષર A છે, જેને આપણે 6 માંથી 3 રીતે પસંદ કરી શકીએ છીએ, કારણ કે 6 જાણીતા અક્ષરોમાં 3 અક્ષર A છે. તેથી, પ્રથમ A દોરવાની સંભાવના છે
પૃષ્ઠ 1 =3/6=1/2.
બીજો અક્ષર H છે, પરંતુ આપણે એ ન ભૂલવું જોઈએ કે A ને બહાર કાઢ્યા પછી, પસંદ કરવા માટે 5 અક્ષરો બાકી છે. તેથી, ડ્રોઇંગ નંબર 2 H ની સંભાવના સમાન છે
પી 2 =2/5.
બાકી રહેલી 4 વચ્ચે આગામી A સંભાવના દોરવામાં આવે છે
પી 3 =2/4.
આગળ, સંભવિતતામાંથી H કાઢી શકાય છે
પૃષ્ઠ 4 =1/3.
અંતની નજીક વધુ શક્યતા, અને આપણે પહેલાથી જ A સાથે કાઢી શકીએ છીએ
પૃષ્ઠ 5 = 1/2.
આ પછી, ત્યાં માત્ર એક કાર્ડ C બાકી છે, તેથી તેને દોરવાની સંભાવના 100 ટકા અથવા છે
પૃષ્ઠ 6 =1.
PINEAPPLE શબ્દની રચનાની સંભાવના સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી છે
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0.016(6).
આ તે છે જેના પર તેઓ આધારિત છે સમાન કાર્યોસંભાવના સિદ્ધાંત અનુસાર.
કાર્ય 3. વેપારી ઉત્પાદનોના બેચમાંથી રેન્ડમ પર નમૂનાઓ પસંદ કરે છે. રેન્ડમ પર લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન ઉચ્ચતમ ગ્રેડનું હોવાની સંભાવના 0.8 છે. સંભવિતતા શોધો કે પસંદ કરેલ 3 ઉત્પાદનોમાંથી ઉચ્ચ ગુણવત્તાવાળા બે ઉત્પાદનો હશે?
ગણતરીઓ: આ ઉદાહરણબર્નૌલીના સૂત્રના ઉપયોગ પર.
p=0.8; q=1-0.8=0.2.
અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંભાવનાની ગણતરી કરીએ છીએ

જો તમે તેને સૂત્રોની ભાષામાં સમજાવતા નથી, તો તમારે ત્રણ ઘટનાઓના સંયોજનો બનાવવાની જરૂર છે, જેમાંથી બે અનુકૂળ છે અને જેમાંથી એક નથી. આ ઉત્પાદનોના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે

બંને વિકલ્પો સમકક્ષ છે, ફક્ત પ્રથમ બધા કાર્યોમાં લાગુ કરી શકાય છે, અને બીજાને ધ્યાનમાં લેવાયેલા સમાનમાં લાગુ કરી શકાય છે.
સમસ્યા 4. પાંચ શૂટર્સમાંથી બે એ 0.6 ની સંભાવના સાથે અને ત્રણે 0.4 ની સંભાવના સાથે લક્ષ્યને ફટકાર્યું. વધુ શક્યતા શું છે: અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરાયેલ શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરે છે કે નહીં?
ગણતરીઓ: કુલ સંભવિતતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે શૂટર હિટ કરશે તેવી સંભાવના નક્કી કરીએ છીએ.
P=2/5*0.6+3/5*0.4=0.24+0.24=0.48.
P કરતાં ઓછી સંભાવના<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
હિટ ન થવાની સંભાવના છે

અથવા
P=2/5*(1-0.6)+3/5*(1-0.4)=0.16+0.36=0.52.
સમસ્યા 5. પરીક્ષામાં આવેલા 20 વિદ્યાર્થીઓ સાથે, 10 સંપૂર્ણ રીતે તૈયાર હતા (તેઓ બધા પ્રશ્નો જાણતા હતા), 7 સારી રીતે તૈયાર હતા (દરેકને 35 પ્રશ્નો જાણતા હતા), અને 3 ખરાબ રીતે તૈયાર હતા (10 પ્રશ્નો). પ્રોગ્રામમાં 40 પ્રશ્નો છે. રેન્ડમલી કૉલ કરેલ વિદ્યાર્થીએ ટિકિટ પર ત્રણ પ્રશ્નોના જવાબ આપ્યા. તે માટે તૈયાર છે તે સંભાવના કેટલી છે
a) ઉત્તમ;
b) ખરાબ.

ગણતરીઓ: સમસ્યાનો સાર એ છે કે વિદ્યાર્થીએ ટિકિટ પર ત્રણ પ્રશ્નોના જવાબો આપ્યા, એટલે કે, જે પૂછવામાં આવ્યું હતું તે બધું, પરંતુ હવે અમે ગણતરી કરીશું કે તે મેળવવાની સંભાવના શું છે.
ચાલો સંભાવના શોધીએ કે વિદ્યાર્થીએ ત્રણ પ્રશ્નોના સાચા જવાબ આપ્યા. આ સમગ્ર જૂથ માટે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર હશે જે તેઓ શક્ય તમામ વચ્ચે જાણે છે તેવી ટિકિટો દોરવાની સંભાવના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવશે.

હવે ચાલો સંભાવના શોધીએ કે વિદ્યાર્થી એવા જૂથનો છે જે "ઉત્તમ રીતે" તૈયાર છે. આ પ્રારંભિક સંભાવનાની પ્રથમ મુદતની સંભાવનાની સમકક્ષ છે

વિદ્યાર્થી એવા જૂથનો છે કે જે નબળી રીતે તૈયાર થયો હોય તેની સંભાવના તદ્દન નાની અને 0.00216 જેટલી છે.

આ કાર્ય પૂર્ણ થયું છે. તેને સારી રીતે સમજો અને યાદ રાખો કે તેની ગણતરી કેવી રીતે કરવી, કારણ કે તે ક્વિઝ અને પરીક્ષણો પર સામાન્ય છે.
સમસ્યા 6. એક સિક્કો 5 વખત ફેંકવામાં આવે છે. શસ્ત્રોનો કોટ 3 કરતા ઓછો વખત દેખાશે તેવી સંભાવના શોધો?
ગણતરીઓ: શસ્ત્રો અથવા પૂંછડીઓનો કોટ દોરવાની સંભાવના 0.5 ની સમકક્ષ અને સમાન છે. 3 કરતા ઓછા વખતનો અર્થ એ છે કે આર્મ્સ કોટ 0, 1 અથવા 2 વખત દેખાઈ શકે છે. "અથવા" હંમેશા વધારા દ્વારા કામગીરીમાં સંભવિતતામાં દર્શાવવામાં આવે છે.
અમે બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ

p=q=0.5 થી, પછી સંભાવના છે

સંભાવના 0.5 છે.
સમસ્યા 7. જ્યારે મેટલ ટર્મિનલ્સને સ્ટેમ્પિંગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સરેરાશ 90% પ્રમાણભૂત મેળવવામાં આવે છે. 900 ટર્મિનલ્સમાંથી ઓછામાં ઓછા 790 અને વધુમાં વધુ 820 ટર્મિનલ પ્રમાણભૂત હશે તેવી સંભાવના શોધો.
ગણતરીઓ: ગણતરીઓ હાથ ધરવામાં આવશ્યક છે

સંભાવનાઓ પર કાર્ય કરવાની જરૂરિયાત ત્યારે થાય છે જ્યારે કેટલીક ઘટનાઓની સંભાવનાઓ જાણીતી હોય છે, અને આ ઘટનાઓ સાથે સંકળાયેલી અન્ય ઘટનાઓની સંભાવનાઓની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

જ્યારે તમારે સંયોજનની સંભાવના અથવા રેન્ડમ ઘટનાઓના તાર્કિક સરવાળાની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય ત્યારે સંભાવનાઓના ઉમેરણનો ઉપયોગ થાય છે.

ઘટનાઓનો સરવાળો એઅને બીસૂચવો એ + બીઅથવા એ ∪ બી. બે ઘટનાઓનો સરવાળો એ એવી ઘટના છે જે બને છે જો અને માત્ર જો ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને. આનો અર્થ એ છે કે એ + બી- જો અને માત્ર જો ઘટના અવલોકન દરમિયાન આવી હોય તો જ થાય છે એઅથવા ઘટના બી, અથવા એક સાથે એઅને બી.

જો ઘટનાઓ એઅને બીપરસ્પર અસંગત હોય છે અને તેમની સંભાવનાઓ આપવામાં આવે છે, પછી સંભવિતતાના ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને આમાંની એક ઘટના એક અજમાયશના પરિણામે બનશે તેવી સંભાવનાની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય.બે પરસ્પર અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક થવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

ઉદાહરણ તરીકે, શિકાર કરતી વખતે, બે ગોળી ચલાવવામાં આવે છે. ઘટના એ- પ્રથમ શોટ, ઇવેન્ટ સાથે બતકને મારવું IN- બીજા શોટથી હિટ, ઘટના ( એ+ IN) – પ્રથમ અથવા બીજા શોટથી અથવા બે શોટમાંથી હિટ. તેથી, જો બે ઘટનાઓ એઅને IN- અસંગત ઘટનાઓ, પછી એ+ IN- આ ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક અથવા બે ઘટનાઓની ઘટના.

ઉદાહરણ 1.એક બોક્સમાં સમાન કદના 30 બોલ છે: 10 લાલ, 5 વાદળી અને 15 સફેદ. સંભાવનાની ગણતરી કરો કે રંગીન (સફેદ નહીં) બોલ જોયા વિના લેવામાં આવશે.

ઉકેલ. ચાલો માની લઈએ કે ઘટના એ- "લાલ બોલ લેવામાં આવ્યો છે", અને ઘટના IN- "વાદળી બોલ લેવામાં આવ્યો હતો." પછી ઇવેન્ટ "એક રંગીન (સફેદ નહીં) બોલ લેવામાં આવે છે." ચાલો ઘટનાની સંભાવના શોધીએ એ:

અને ઘટનાઓ IN:

ઘટનાઓ એઅને IN- પરસ્પર અસંગત, કારણ કે જો એક બોલ લેવામાં આવે, તો પછી વિવિધ રંગોના બોલ લેવાનું અશક્ય છે. તેથી, અમે સંભાવનાઓના ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ઘણી અસંગત ઘટનાઓ માટે સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેય.જો ઘટનાઓ ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ બનાવે છે, તો તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે:

વિપરીત ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો પણ 1 ની બરાબર છે:

વિરોધી ઘટનાઓ ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ બનાવે છે, અને ઘટનાઓના સંપૂર્ણ સમૂહની સંભાવના 1 છે.

વિપરીત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ સામાન્ય રીતે નાના અક્ષરોમાં સૂચવવામાં આવે છે પીઅને q. ખાસ કરીને,

જેમાંથી વિપરીત ઘટનાઓની સંભાવના માટે નીચેના સૂત્રો અનુસરે છે:

ઉદાહરણ 2.શૂટિંગ રેન્જમાં લક્ષ્યને 3 ઝોનમાં વહેંચવામાં આવ્યું છે. ચોક્કસ શૂટર પ્રથમ ઝોનમાં લક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરે તેવી સંભાવના 0.15 છે, બીજા ઝોનમાં - 0.23, ત્રીજા ઝોનમાં - 0.17. શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના અને શૂટર લક્ષ્ય ચૂકી જશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ: શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના શોધો:

ચાલો સંભાવના શોધીએ કે શૂટર લક્ષ્ય ચૂકી જશે:

વધુ જટિલ સમસ્યાઓ માટે, જેમાં તમારે સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, "સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી વિવિધ સમસ્યાઓ" પૃષ્ઠ જુઓ.

પરસ્પર એક સાથે ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો ઉમેરો

બે અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે જો એક ઘટનાની ઘટના એ જ અવલોકનમાં બીજી ઘટનાની ઘટનાને બાકાત ન રાખે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ડાઇ ફેંકવાની ઘટના એનંબર 4 રોલ આઉટ ગણવામાં આવે છે, અને ઘટના IN- એક સમાન નંબર રોલિંગ. 4 એક સમ સંખ્યા હોવાથી, બે ઘટનાઓ સુસંગત છે. વ્યવહારમાં, પરસ્પર એક સાથે ઘટનાઓમાંની એકની ઘટનાની સંભાવનાઓની ગણતરી કરવામાં સમસ્યાઓ છે.

સંયુક્ત ઘટનાઓ માટે સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય.સંયુક્ત ઘટનાઓમાંથી એક થવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે, જેમાંથી બંને ઘટનાઓની સામાન્ય ઘટનાની સંભાવનાને બાદ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, સંભાવનાઓનું ઉત્પાદન. સંયુક્ત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ માટેના સૂત્રમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

ઘટનાઓ થી એઅને INસુસંગત, ઘટના એ+ INજો ત્રણ સંભવિત ઘટનાઓમાંથી એક થાય તો થાય છે: અથવા એબી. અસંગત ઘટનાઓના ઉમેરાના પ્રમેય અનુસાર, અમે નીચે પ્રમાણે ગણતરી કરીએ છીએ:

ઘટના એજો બેમાંથી એક અસંગત ઘટના બને તો થશે: અથવા એબી. જો કે, ઘણી અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક ઘટના બનવાની સંભાવના આ બધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

તેવી જ રીતે:

અભિવ્યક્તિ (6) અને (7) ને અભિવ્યક્તિ (5) માં બદલીને, અમે સંયુક્ત ઘટનાઓ માટે સંભાવના સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

સૂત્ર (8) નો ઉપયોગ કરતી વખતે, તે ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ એઅને INહોઈ શકે છે:

પરસ્પર સ્વતંત્ર;

પરસ્પર નિર્ભર.

પરસ્પર સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સંભાવના સૂત્ર:

પરસ્પર આધારિત ઘટનાઓ માટે સંભાવના સૂત્ર:

જો ઘટનાઓ એઅને INઅસંગત છે, તો પછી તેમનો સંયોગ એક અશક્ય કેસ છે અને આમ, પી(એબી) = 0. અસંગત ઘટનાઓ માટે ચોથું સંભાવના સૂત્ર છે:

ઉદાહરણ 3.ઓટો રેસિંગમાં, જ્યારે તમે પ્રથમ કાર ચલાવો છો, ત્યારે તમારી જીતવાની વધુ સારી તક હોય છે, અને જ્યારે તમે બીજી કાર ચલાવો છો. શોધો:

સંભાવના છે કે બંને કાર જીતશે;

સંભાવના કે ઓછામાં ઓછી એક કાર જીતશે;

1) પ્રથમ કાર જીતશે તેવી સંભાવના બીજી કારના પરિણામ પર આધારિત નથી, તેથી ઘટનાઓ એ(પ્રથમ કાર જીતે છે) અને IN(બીજી કાર જીતશે) - સ્વતંત્ર ઇવેન્ટ્સ. ચાલો બંને કાર જીતવાની સંભાવના શોધીએ:

2) બેમાંથી એક કાર જીતશે તેવી સંભાવના શોધો:

વધુ જટિલ સમસ્યાઓ માટે, જેમાં તમારે સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, "સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી વિવિધ સમસ્યાઓ" પૃષ્ઠ જુઓ.

સંભવિતતાની સમસ્યાનો ઉમેરો જાતે ઉકેલો, અને પછી ઉકેલ જુઓ

ઉદાહરણ 4.બે સિક્કા ફેંકવામાં આવે છે. ઘટના એ- પ્રથમ સિક્કા પર શસ્ત્રોના કોટનું નુકસાન. ઘટના બી- બીજા સિક્કા પર શસ્ત્રોના કોટનું નુકસાન. ઘટનાની સંભાવના શોધો સી = એ + બી .

ગુણાકાર સંભાવનાઓ

જ્યારે ઘટનાઓના તાર્કિક ઉત્પાદનની સંભાવનાની ગણતરી કરવી આવશ્યક હોય ત્યારે સંભાવના ગુણાકારનો ઉપયોગ થાય છે.

આ કિસ્સામાં, રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સ સ્વતંત્ર હોવી આવશ્યક છે. બે ઘટનાઓ પરસ્પર સ્વતંત્ર હોવાનું કહેવાય છે જો એક ઘટનાની ઘટના બીજી ઘટનાની ઘટનાની સંભાવનાને અસર કરતી નથી.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય.બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓની એક સાથે ઘટનાની સંભાવના એઅને INઆ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનની સમાન છે અને સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 5.સિક્કો સતત ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે. શસ્ત્રોનો કોટ ત્રણેય વખત દેખાશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. સિક્કાના પ્રથમ ટૉસ પર, બીજી વખત અને ત્રીજી વખત શસ્ત્રોનો કોટ દેખાશે તેવી સંભાવના. ચાલો સંભાવના શોધીએ કે આર્મ્સનો કોટ ત્રણેય વખત દેખાશે:

સંભવિતતાના ગુણાકારની સમસ્યાઓ તમારી જાતે ઉકેલો અને પછી ઉકેલ જુઓ

ઉદાહરણ 6.નવ નવા ટેનિસ બોલનું બોક્સ છે. રમવા માટે, ત્રણ બોલ લેવામાં આવે છે, અને રમત પછી તેઓ પાછા મૂકવામાં આવે છે. બોલની પસંદગી કરતી વખતે, રમાયેલા દડાઓ ન રમાયેલા દડાઓથી અલગ પડતા નથી. ત્રણ રમત પછી બૉક્સમાં રમ્યા વિનાના કોઈ બોલ બાકી રહેશે નહીં તેની સંભાવના કેટલી છે?

ઉદાહરણ 7.કટ-આઉટ આલ્ફાબેટ કાર્ડ પર રશિયન મૂળાક્ષરના 32 અક્ષરો લખેલા છે. પાંચ કાર્ડ એક પછી એક રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે અને દેખાવના ક્રમમાં ટેબલ પર મૂકવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે અક્ષરો "અંત" શબ્દ બનાવશે.

ઉદાહરણ 8.કાર્ડ્સના સંપૂર્ણ ડેક (52 શીટ્સ) માંથી, ચાર કાર્ડ એકસાથે લેવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે આ ચારેય કાર્ડ અલગ-અલગ પોશાકોના હશે.

ઉદાહરણ 9.ઉદાહરણ તરીકે સમાન કાર્ય 8, પરંતુ દરેક કાર્ડ દૂર કર્યા પછી ડેક પર પરત કરવામાં આવે છે.

વધુ જટિલ સમસ્યાઓ, જેમાં તમારે સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, તેમજ ઘણી ઘટનાઓના ઉત્પાદનની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, "સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી વિવિધ સમસ્યાઓ" પૃષ્ઠ પર મળી શકે છે.

પરસ્પર સ્વતંત્ર ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવનાની ગણતરી વિરોધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનને 1 માંથી બાદ કરીને કરી શકાય છે, એટલે કે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:

ઉદાહરણ 10.કાર્ગો પરિવહનના ત્રણ પ્રકારો દ્વારા પહોંચાડવામાં આવે છે: નદી, રેલ અને માર્ગ પરિવહન. નદી પરિવહન દ્વારા 0.82, રેલ દ્વારા 0.87, માર્ગ પરિવહન દ્વારા 0.90 કાર્ગો પહોંચાડવામાં આવશે તેવી સંભાવના છે. પરિવહનના ત્રણ મોડમાંથી ઓછામાં ઓછા એક દ્વારા કાર્ગો પહોંચાડવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો.

મહત્વપૂર્ણ નોંધો!
1. જો તમને સૂત્રોને બદલે ગોબ્લેડીગુક દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. તમારા બ્રાઉઝરમાં આ કેવી રીતે કરવું તે અહીં લખ્યું છે:
2. તમે લેખ વાંચવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, માટેના સૌથી ઉપયોગી સંસાધનો માટે અમારા નેવિગેટર પર ધ્યાન આપો

સંભાવના શું છે?

જ્યારે મેં આ શબ્દનો પ્રથમ વખત સામનો કર્યો, ત્યારે હું સમજી શક્યો ન હોત કે તે શું છે. તેથી, હું સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવાનો પ્રયત્ન કરીશ.

સંભાવના એ તક છે કે જે ઘટના આપણે ઈચ્છીએ છીએ તે બનશે.

ઉદાહરણ તરીકે, તમે મિત્રના ઘરે જવાનું નક્કી કર્યું, તમને પ્રવેશદ્વાર અને તે ફ્લોર પણ યાદ છે કે જેના પર તે રહે છે. પરંતુ હું એપાર્ટમેન્ટનો નંબર અને લોકેશન ભૂલી ગયો હતો. અને હવે તમે દાદર પર ઉભા છો, અને તમારી સામે પસંદ કરવા માટે દરવાજા છે.

જો તમે પ્રથમ ડોરબેલ વગાડો છો, તો તમારો મિત્ર તમારા માટે દરવાજાનો જવાબ આપશે એવી તક (સંભાવના) શું છે? ત્યાં ફક્ત એપાર્ટમેન્ટ્સ છે, અને એક મિત્ર તેમાંથી એકની પાછળ જ રહે છે. સમાન તક સાથે અમે કોઈપણ દરવાજો પસંદ કરી શકીએ છીએ.

પરંતુ આ તક શું છે?

દરવાજો, જમણો દરવાજો. પ્રથમ દરવાજાની રીંગ વગાડીને અનુમાન લગાવવાની સંભાવના: . એટલે કે, ત્રણમાંથી એક વખત તમે ચોક્કસ અનુમાન લગાવશો.

અમે જાણવા માંગીએ છીએ, એકવાર ફોન કર્યા પછી, અમે દરવાજો કેટલી વાર ધારીશું? ચાલો બધા વિકલ્પો જોઈએ:

તમે ફોન કર્યો 1લીદરવાજો

તમે ફોન કર્યો 2જીદરવાજો

તમે ફોન કર્યો 3જીદરવાજો

હવે ચાલો બધા વિકલ્પો જોઈએ જ્યાં મિત્ર હોઈ શકે:

એ. માટે 1લીદરવાજો
b માટે 2જીદરવાજો
વી. માટે 3જીદરવાજો

ચાલો કોષ્ટક સ્વરૂપમાં બધા વિકલ્પોની તુલના કરીએ. ચેકમાર્ક વિકલ્પો સૂચવે છે જ્યારે તમારી પસંદગી મિત્રના સ્થાન સાથે એકરુપ હોય, ક્રોસ - જ્યારે તે એકરૂપ ન હોય.

તમે બધું કેવી રીતે જોશો કદાચ વિકલ્પોતમારા મિત્રનું સ્થાન અને કયા દરવાજા પર રિંગ કરવી તે તમારી પસંદગી.

એ દરેક વસ્તુ માટે અનુકૂળ પરિણામો . એટલે કે, તમે એકવાર ડોરબેલ વગાડીને અનુમાન લગાવશો, એટલે કે. .

આ સંભાવના છે - અનુકૂળ પરિણામનો ગુણોત્તર (જ્યારે તમારી પસંદગી તમારા મિત્રના સ્થાન સાથે એકરુપ હોય) અને સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા.

વ્યાખ્યા એ સૂત્ર છે. સંભાવના સામાન્ય રીતે p દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તેથી:

આવા સૂત્ર લખવા માટે તે ખૂબ અનુકૂળ નથી, તેથી અમે - સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા, અને માટે - પરિણામોની કુલ સંખ્યા લઈશું.

સંભાવનાને ટકાવારી તરીકે લખી શકાય છે આ કરવા માટે, તમારે પરિણામી પરિણામને આના દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

"પરિણામો" શબ્દે કદાચ તમારી નજર ખેંચી લીધી. ગણિતશાસ્ત્રીઓ વિવિધ ક્રિયાઓને (અમારા કિસ્સામાં, આવી ક્રિયા ડોરબેલ છે) પ્રયોગો કહેતા હોવાથી, આવા પ્રયોગોના પરિણામને સામાન્ય રીતે પરિણામ કહેવામાં આવે છે.

સારું, ત્યાં અનુકૂળ અને પ્રતિકૂળ પરિણામો છે.

ચાલો આપણા ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ. ચાલો કહીએ કે અમે એક દરવાજો વગાડ્યો, પરંતુ એક અજાણી વ્યક્તિએ તે અમારા માટે ખોલ્યો. અમે સાચું અનુમાન કર્યું નથી. શું સંભાવના છે કે જો આપણે બાકીના દરવાજામાંથી એકને રિંગ કરીએ, તો આપણો મિત્ર તે આપણા માટે ખોલશે?

જો તમે એવું વિચાર્યું હોય, તો આ એક ભૂલ છે. ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ.

અમારી પાસે બે દરવાજા બાકી છે. તેથી અમારી પાસે શક્ય પગલાં છે:

1) કૉલ કરો 1લીદરવાજો
2) કૉલ કરો 2જીદરવાજો

મિત્ર, આ બધું હોવા છતાં, ચોક્કસપણે તેમાંથી એકની પાછળ છે (છેવટે, તે અમે જેને બોલાવ્યા તેની પાછળ ન હતો):

એ) માટે મિત્ર 1લીદરવાજો
b) માટે મિત્ર 2જીદરવાજો

ચાલો ફરીથી ટેબલ દોરીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ત્યાં ફક્ત વિકલ્પો છે, જેમાંથી અનુકૂળ છે. એટલે કે, સંભાવના સમાન છે.

કેમ નહીં?

અમે ધ્યાનમાં લીધેલ પરિસ્થિતિ છે આશ્રિત ઘટનાઓનું ઉદાહરણ.પ્રથમ ઘટના પ્રથમ ડોરબેલ છે, બીજી ઘટના બીજી ડોરબેલ છે.

અને તેમને આશ્રિત કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેઓ નીચેની ક્રિયાઓને પ્રભાવિત કરે છે. છેવટે, જો પ્રથમ રિંગ પછી ડોરબેલનો જવાબ મિત્ર દ્વારા આપવામાં આવે, તો તે અન્ય બેમાંથી એકની પાછળ હોવાની સંભાવના કેટલી હશે? સાચું, .

પરંતુ જો ત્યાં આશ્રિત ઘટનાઓ હોય, તો તે પણ હોવી જોઈએ સ્વતંત્ર? તે સાચું છે, તેઓ થાય છે.

પાઠ્યપુસ્તકનું ઉદાહરણ સિક્કો ફેંકવાનું છે.

એકવાર સિક્કો ફેંકો. ઉદાહરણ તરીકે, હેડ મેળવવાની સંભાવના શું છે? તે સાચું છે - કારણ કે ત્યાં બધા વિકલ્પો છે (ક્યાં તો માથા અથવા પૂંછડીઓ, અમે તેની ધાર પર સિક્કાના ઉતરાણની સંભાવનાને અવગણીશું), પરંતુ તે ફક્ત અમને અનુકૂળ છે.

પરંતુ તે માથા ઉપર આવી. ઠીક છે, ચાલો તેને ફરીથી ફેંકીએ. હવે હેડ મળવાની સંભાવના કેટલી છે? કંઈપણ બદલાયું નથી, બધું સમાન છે. કેટલા વિકલ્પો? બે. આપણે કેટલા ખુશ છીએ? એક.

અને તેને સતત એક હજાર વખત ઉપર આવવા દો. એક જ સમયે હેડ મેળવવાની સંભાવના સમાન હશે. ત્યાં હંમેશા વિકલ્પો છે, અને અનુકૂળ રાશિઓ.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓથી આશ્રિત ઘટનાઓને અલગ પાડવી સરળ છે:

જો પ્રયોગ એકવાર હાથ ધરવામાં આવે છે (તેઓ એકવાર સિક્કો ફેંકે છે, એકવાર ડોરબેલ વગાડે છે, વગેરે), તો ઘટનાઓ હંમેશા સ્વતંત્ર હોય છે.

જો પ્રયોગ ઘણી વખત કરવામાં આવે છે (એક સિક્કો એકવાર ફેંકવામાં આવે છે, ડોરબેલ ઘણી વખત વગાડવામાં આવે છે), તો પ્રથમ ઘટના હંમેશા સ્વતંત્ર હોય છે. અને પછી, જો અનુકૂળ લોકોની સંખ્યા અથવા તમામ પરિણામોની સંખ્યા બદલાય છે, તો ઘટનાઓ નિર્ભર છે, અને જો નહીં, તો તે સ્વતંત્ર છે.

ચાલો સંભાવના નક્કી કરવાની થોડી પ્રેક્ટિસ કરીએ.

ઉદાહરણ 1.

સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. સતત બે વાર હેડ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

ચાલો બધા સંભવિત વિકલ્પો ધ્યાનમાં લઈએ:

ગરુડ-ગરુડ

હેડ-પૂંછડી

પૂંછડીઓ-માથાઓ

પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ત્યાં ફક્ત વિકલ્પો છે. આમાંથી, અમે ફક્ત સંતુષ્ટ છીએ. એટલે કે, સંભાવના:

જો સ્થિતિ ફક્ત તમને સંભાવના શોધવા માટે પૂછે છે, તો જવાબ દશાંશ અપૂર્ણાંકના રૂપમાં આપવો આવશ્યક છે. જો તે સ્પષ્ટ કરવામાં આવ્યું હતું કે જવાબ ટકાવારી તરીકે આપવો જોઈએ, તો અમે વડે ગુણાકાર કરીશું.

જવાબ:

ઉદાહરણ 2.

ચોકલેટના બોક્સમાં, બધી ચોકલેટ એક જ રેપરમાં પેક કરવામાં આવે છે. જો કે, કેન્ડીમાંથી - બદામ સાથે, કોગ્નેક સાથે, ચેરી સાથે, કારામેલ સાથે અને નૌગાટ સાથે.

એક કેન્ડી લેવાની અને બદામ સાથે કેન્ડી મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે? ટકાવારી તરીકે તમારો જવાબ આપો.

ઉકેલ:

કેટલા સંભવિત પરિણામો છે? .

એટલે કે, જો તમે એક કેન્ડી લો છો, તો તે બોક્સમાં ઉપલબ્ધ તેમાંથી એક હશે.

કેટલા સાનુકૂળ પરિણામો?

કારણ કે બોક્સમાં માત્ર બદામ સાથેની ચોકલેટ હોય છે.

જવાબ:

ઉદાહરણ 3.

ફુગ્ગાના બોક્સમાં. જેમાંથી સફેદ અને કાળા છે.

સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

અમે બૉક્સમાં વધુ કાળા દડા ઉમેર્યા. હવે સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

એ) બૉક્સમાં માત્ર દડા છે. તેમાંથી સફેદ છે.

સંભાવના છે:

b) હવે બોક્સમાં વધુ બોલ છે. અને ત્યાં માત્ર ઘણા ગોરા બાકી છે - .

જવાબ:

કુલ સંભાવના

તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંભાવના () ની બરાબર છે.

ચાલો કહીએ કે એક બોક્સમાં લાલ અને લીલા બોલ છે. લાલ બોલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? લીલો બોલ? લાલ કે લીલો બોલ?

લાલ બોલ દોરવાની સંભાવના

લીલો બોલ:

લાલ અથવા લીલો બોલ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, તમામ સંભવિત ઘટનાઓનો સરવાળો () બરાબર છે. આ મુદ્દાને સમજવાથી તમને ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ મળશે.

ઉદાહરણ 4.

બૉક્સમાં માર્કર્સ છે: લીલો, લાલ, વાદળી, પીળો, કાળો.

લાલ માર્કર નહીં દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

ચાલો સંખ્યા ગણીએ અનુકૂળ પરિણામો.

લાલ માર્કર નથી, જેનો અર્થ છે લીલો, વાદળી, પીળો અથવા કાળો.

ઘટના બનશે નહીં તેવી સંભાવના ઘટના બનવાની સંભાવનાને બાદ કરવાની સમાન છે.
સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવાનો નિયમ

તમે પહેલેથી જ જાણો છો કે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ શું છે.

જો તમને એવી સંભાવના શોધવાની જરૂર હોય કે બે (અથવા વધુ) સ્વતંત્ર ઘટનાઓ એક પંક્તિમાં થશે?

ચાલો કહીએ કે આપણે જાણવા માંગીએ છીએ કે જો આપણે એક સિક્કો એકવાર પલટાવીએ, તો આપણને બે વાર માથા જોવા મળે તેવી સંભાવના શું છે?

અમે પહેલેથી જ ધ્યાનમાં લીધું છે -.

જો આપણે એક વખત સિક્કો ફેંકીએ તો? ગરુડને સતત બે વાર જોવાની સંભાવના કેટલી છે?

કુલ સંભવિત વિકલ્પો:

ગરુડ-ગરુડ-ગરુડ

હેડ્સ-હેડ્સ-પૂંછડીઓ

હેડ્સ-ટેલ્સ-હેડ્સ

માથા-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

પૂંછડીઓ-માથાઓ-માથાઓ

પૂંછડીઓ-માથાઓ-પૂંછડીઓ

પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-માથાઓ

પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

હું તમારા વિશે જાણતો નથી, પરંતુ આ સૂચિનું સંકલન કરતી વખતે મેં ઘણી વખત ભૂલો કરી છે. વાહ! અને એકમાત્ર વિકલ્પ (પ્રથમ) અમને અનુકૂળ છે.

5 થ્રો માટે, તમે સંભવિત પરિણામોની સૂચિ જાતે બનાવી શકો છો. પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ તમારા જેટલા મહેનતુ નથી.

તેથી, તેઓએ પ્રથમ નોંધ્યું અને પછી સાબિત કર્યું કે સ્વતંત્ર ઘટનાઓના ચોક્કસ ક્રમની સંભાવના દરેક વખતે એક ઘટનાની સંભાવના દ્વારા ઘટે છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,

એ જ અશુભ સિક્કાનું ઉદાહરણ જોઈએ.

પડકારમાં માથું મેળવવાની સંભાવના? . હવે આપણે સિક્કાને એકવાર પલટાવીએ છીએ.

સળંગ હેડ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

આ નિયમ માત્ર ત્યારે જ કામ કરતું નથી જ્યારે અમને સંભાવના શોધવા માટે કહેવામાં આવે કે એક જ ઘટના સળંગ ઘણી વખત બનશે.

જો આપણે સળંગ ટોસ માટે TAILS-HEADS-TAILS નો ક્રમ શોધવા માંગતા હોઈએ, તો અમે તે જ કરીશું.

પૂંછડીઓ મેળવવાની સંભાવના છે , હેડ - .

TAILS-HEADS-TAILS-TAILS ક્રમ મેળવવાની સંભાવના:

તમે ટેબલ બનાવીને તેને જાતે ચકાસી શકો છો.

અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવાનો નિયમ.

તો રોકો! નવી વ્યાખ્યા.

ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ. ચાલો આપણો ઘસાઈ ગયેલો સિક્કો લઈએ અને તેને એકવાર ફેંકીએ.
સંભવિત વિકલ્પો:

ગરુડ-ગરુડ-ગરુડ

હેડ્સ-હેડ્સ-પૂંછડીઓ

હેડ્સ-ટેલ્સ-હેડ્સ

માથા-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

પૂંછડીઓ-માથાઓ-માથાઓ

પૂંછડીઓ-માથાઓ-પૂંછડીઓ

પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-માથાઓ

પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

તેથી, અસંગત ઘટનાઓ ચોક્કસ છે, આપેલ ઘટનાઓનો ક્રમ. - આ અસંગત ઘટનાઓ છે.

જો આપણે બે (અથવા વધુ) અસંગત ઘટનાઓની સંભાવના શું છે તે નક્કી કરવા માંગીએ છીએ, તો અમે આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરીએ છીએ.

તમારે સમજવાની જરૂર છે કે માથા અથવા પૂંછડીઓ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.

જો આપણે ક્રમ (અથવા અન્ય કોઈ) થવાની સંભાવના નક્કી કરવા માંગીએ છીએ, તો અમે સંભાવનાઓના ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ ટોસ પર હેડ અને બીજા અને ત્રીજા ટોસ પર પૂંછડીઓ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

પરંતુ જો આપણે જાણવા માંગીએ છીએ કે અનેક સિક્વન્સમાંથી એક મેળવવાની સંભાવના શું છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે હેડ બરાબર એક વાર આવે છે, એટલે કે. વિકલ્પો અને, પછી આપણે આ સિક્વન્સની સંભાવનાઓ ઉમેરવી જોઈએ.

કુલ વિકલ્પો અમને અનુકૂળ છે.

દરેક ક્રમની ઘટનાની સંભાવનાઓ ઉમેરીને આપણે સમાન વસ્તુ મેળવી શકીએ છીએ:
આમ, જ્યારે આપણે ચોક્કસ, અસંગત, ઘટનાઓના ક્રમની સંભાવના નક્કી કરવા માંગીએ છીએ ત્યારે અમે સંભાવનાઓ ઉમેરીએ છીએ.

ક્યારે ગુણાકાર કરવો અને ક્યારે ઉમેરવું તે મૂંઝવણમાં ન આવવા માટે તમને મદદ કરવા માટે એક સરસ નિયમ છે:

ચાલો ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ જ્યાં આપણે એક વખત સિક્કો ફેંક્યો અને એકવાર માથા જોવાની સંભાવના જાણવા માંગીએ છીએ.
શું થવું જોઈએ?

બહાર પડવું જોઈએ:
(માથા અને પૂંછડીઓ અને પૂંછડીઓ) અથવા (પૂંછડીઓ અને માથા અને પૂંછડીઓ) અથવા (પૂંછડીઓ અને પૂંછડીઓ અને માથા).
આ રીતે તે બહાર આવે છે:

ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 5.

બોક્સમાં પેન્સિલો છે. લાલ, લીલો, નારંગી અને પીળો અને કાળો. લાલ કે લીલી પેન્સિલો દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

ઉદાહરણ 6.

જો ડાઇ બે વાર ફેંકવામાં આવે તો કુલ 8 મળવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.

આપણે પોઈન્ટ કેવી રીતે મેળવી શકીએ?

(અને) અથવા (અને) અથવા (અને) અથવા (અને) અથવા (અને).

એક (કોઈપણ) ચહેરો મેળવવાની સંભાવના છે.

અમે સંભાવનાની ગણતરી કરીએ છીએ:

તાલીમ.

મને લાગે છે કે હવે તમે સમજો છો કે તમારે ક્યારે સંભાવનાઓની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, તેને ક્યારે ઉમેરવી અને ક્યારે તેનો ગુણાકાર કરવો. તે નથી? ચાલો થોડી પ્રેક્ટિસ કરીએ.

કાર્યો:

ચાલો એક કાર્ડ ડેક લઈએ જેમાં સ્પેડ્સ, હાર્ટ્સ, 13 ક્લબ અને 13 હીરા સહિતના કાર્ડ્સ હોય. દરેક પોશાકના પાસાનો પો થી.

એક પંક્તિમાં ક્લબ દોરવાની સંભાવના શું છે (અમે ખેંચેલું પહેલું કાર્ડ પાછું ડેકમાં મૂકીએ છીએ અને તેને શફલ કરીએ છીએ)?

બ્લેક કાર્ડ દોરવાની સંભાવના શું છે (સ્પેડ અથવા ક્લબ્સ)?

ચિત્ર (જેક, રાણી, રાજા અથવા પાસાનો પો) દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

સળંગ બે ચિત્રો દોરવાની સંભાવના કેટલી છે (અમે ડેકમાંથી દોરેલા પ્રથમ કાર્ડને દૂર કરીએ છીએ)?

બે કાર્ડ લેવાની સંભાવના શું છે - (જેક, રાણી અથવા રાજા) અને એક પાસાનો ક્રમ જેમાં કાર્ડ દોરવામાં આવ્યા છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.

જવાબો:

જો તમે બધી સમસ્યાઓ જાતે હલ કરવામાં સક્ષમ હતા, તો તમે મહાન છો! હવે તમે યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામમાં પ્રોબેબિલિટી થિયરી પ્રોબ્લેમ્સને નટ્સની જેમ ક્રેક કરશો!

સંભાવના સિદ્ધાંત. મધ્યમ સ્તર

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો કહીએ કે આપણે ડાઇ ફેંકીએ છીએ. આ કેવું હાડકું છે, તમે જાણો છો? આને તેઓ તેના ચહેરા પર સંખ્યાઓ સાથે સમઘન કહે છે. કેટલા ચહેરા, આટલી સંખ્યા: થી કેટલા સુધી? થી.

તેથી અમે ડાઇસ રોલ કરીએ છીએ અને અમે ઇચ્છીએ છીએ કે તે ઉપર આવે અથવા. અને અમે તે મેળવીએ છીએ.

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં તેઓ કહે છે કે શું થયું શુભ પ્રસંગ(સમૃદ્ધ સાથે મૂંઝવણમાં ન આવે).

જો તે થયું, તો ઘટના પણ અનુકૂળ હશે. કુલ, માત્ર બે અનુકૂળ ઘટનાઓ બની શકે છે.

કેટલા પ્રતિકૂળ છે? કુલ સંભવિત ઘટનાઓ હોવાથી, તેનો અર્થ એ છે કે પ્રતિકૂળ ઘટનાઓ ઘટનાઓ છે (આ જો અથવા ઘટી જાય).

વ્યાખ્યા:

સંભાવના એ તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા સાથે અનુકૂળ ઘટનાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે. એટલે કે, સંભાવના દર્શાવે છે કે તમામ સંભવિત ઘટનાઓનું પ્રમાણ કેટલું અનુકૂળ છે.

તેઓ લેટિન અક્ષરથી સંભાવના દર્શાવે છે (દેખીતી રીતે અંગ્રેજી શબ્દ સંભાવના - સંભાવના).

ટકાવારી તરીકે સંભાવનાને માપવાનો રિવાજ છે (વિષય જુઓ,). આ કરવા માટે, સંભાવના મૂલ્યનો ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે. ડાઇસ ઉદાહરણમાં, સંભાવના.

અને ટકાવારીમાં: .

ઉદાહરણો (તમારા માટે નક્કી કરો):

સિક્કો ફેંકતી વખતે હેડ મળવાની સંભાવના કેટલી છે? લેન્ડિંગ હેડની સંભાવના શું છે?

ડાઇ ફેંકતી વખતે સમ સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે? અને કયો વિચિત્ર છે?

સરળ, વાદળી અને લાલ પેન્સિલોના બોક્સમાં. અમે રેન્ડમ પર એક પેંસિલ દોરીએ છીએ. એક સરળ મેળવવાની સંભાવના શું છે?

ઉકેલો:

કેટલા વિકલ્પો છે? માથા અને પૂંછડીઓ - ફક્ત બે. તેમાંથી કેટલા અનુકૂળ છે? માત્ર એક જ ગરુડ છે. તેથી સંભાવના
તે પૂંછડીઓ સાથે સમાન છે: .

કુલ વિકલ્પો: (ક્યુબની કેટલી બાજુઓ છે, ઘણા વિવિધ વિકલ્પો). અનુકૂળ રાશિઓ: (આ બધી સમ સંખ્યાઓ છે:).
સંભાવના. અલબત્ત, તે વિચિત્ર સંખ્યાઓ સાથે સમાન છે.

કુલ: . અનુકૂળ:. સંભાવના:.

કુલ સંભાવના

બૉક્સની બધી પેન્સિલો લીલા છે. લાલ પેન્સિલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? ત્યાં કોઈ તકો નથી: સંભાવના (બધા પછી, અનુકૂળ ઘટનાઓ -).

આવી ઘટનાને અશક્ય કહેવામાં આવે છે.

લીલી પેન્સિલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? કુલ ઘટનાઓ જેટલી જ સાનુકૂળ ઘટનાઓ છે (બધી ઘટનાઓ અનુકૂળ છે). તેથી સંભાવના સમાન છે અથવા.

આવી ઘટનાને વિશ્વસનીય કહેવામાં આવે છે.

જો બોક્સમાં લીલી અને લાલ પેન્સિલો હોય, તો લીલો કે લાલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? ફરી. ચાલો આની નોંધ લઈએ: લીલો ખેંચવાની સંભાવના સમાન છે, અને લાલ સમાન છે.

સરવાળે, આ સંભાવનાઓ બરાબર સમાન છે. એટલે કે, તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો અથવા બરાબર છે.

ઉદાહરણ:

પેન્સિલોના બોક્સમાં, તેમાંથી વાદળી, લાલ, લીલો, સાદો, પીળો અને બાકીના નારંગી છે. લીલો ન દોરવાની સંભાવના શું છે?

ઉકેલ:

અમને યાદ છે કે બધી સંભાવનાઓ ઉમેરે છે. અને લીલા થવાની સંભાવના સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે લીલો ન દોરવાની સંભાવના સમાન છે.

આ યુક્તિ યાદ રાખો:ઘટના બનશે નહીં તેવી સંભાવના ઘટના બનવાની સંભાવનાને બાદ કરવાની સમાન છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ અને ગુણાકારનો નિયમ

તમે એક સિક્કો એક વાર ફ્લિપ કરો છો અને ઈચ્છો છો કે તે બંને વખત ઉપર આવે. આની સંભાવના શું છે?

ચાલો બધા સંભવિત વિકલ્પોમાંથી પસાર થઈએ અને નક્કી કરીએ કે ત્યાં કેટલા છે:

હેડ-હેડ, પૂંછડી-માથા, હેડ-પૂંછડી, પૂંછડી-પૂંછડી. અન્ય શું?

કુલ વિકલ્પો. આમાંથી, ફક્ત એક જ અમને અનુકૂળ છે: ઇગલ-ઇગલ. કુલમાં, સંભાવના સમાન છે.

દંડ. હવે ચાલો એક વાર સિક્કો ફેરવીએ. ગણિત જાતે કરો. તે કામ કર્યું? (જવાબ).

તમે નોંધ્યું હશે કે દરેક અનુગામી ફેંકવાના ઉમેરા સાથે, સંભાવના અડધી થઈ જાય છે. સામાન્ય નિયમ કહેવાય છે ગુણાકારનો નિયમ:

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓ બદલાય છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ શું છે? બધું તાર્કિક છે: આ તે છે જે એકબીજા પર નિર્ભર નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે આપણે સિક્કો ઘણી વખત ફેંકીએ છીએ, ત્યારે દરેક વખતે નવો ફેંકવામાં આવે છે, જેનું પરિણામ અગાઉના તમામ થ્રો પર આધારિત નથી. આપણે એક જ સમયે બે અલગ અલગ સિક્કા સરળતાથી ફેંકી શકીએ છીએ.

વધુ ઉદાહરણો:

ડાઇસ બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. તે બંને વખત આવવાની સંભાવના કેટલી છે?

સિક્કો એકવાર ફેંકવામાં આવે છે. તે પ્રથમ વખત માથા ઉપર આવશે અને પછી બે વાર પૂંછડીઓ આવશે તેની સંભાવના કેટલી છે?

ખેલાડી બે ડાઇસ રોલ કરે છે. તેમની પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન હશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

જવાબો:

ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે, જેનો અર્થ છે કે ગુણાકારનો નિયમ કામ કરે છે: .

હેડની સંભાવના સમાન છે. પૂંછડીઓની સંભાવના સમાન છે. ગુણાકાર:

12 માત્ર ત્યારે જ મેળવી શકાય છે જો બે -કી રોલ કરવામાં આવે: .

અસંગત ઘટનાઓ અને વધારાનો નિયમ

સંપૂર્ણ સંભાવનાના બિંદુ સુધી એકબીજાને પૂરક બનાવતી ઘટનાઓને અસંગત કહેવામાં આવે છે. નામ સૂચવે છે તેમ, તેઓ એક સાથે થઈ શકતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે કોઈ સિક્કો પલટીએ, તો તે માથા અથવા પૂંછડીઓ ઉપર આવી શકે છે.

ઉદાહરણ.

પેન્સિલોના બોક્સમાં, તેમાંથી વાદળી, લાલ, લીલો, સાદો, પીળો અને બાકીના નારંગી છે. લીલો કે લાલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.

લીલી પેન્સિલ દોરવાની સંભાવના સમાન છે. લાલ -.

બધામાં અનુકૂળ ઘટનાઓ: લીલો + લાલ. આનો અર્થ એ છે કે લીલો અથવા લાલ દોરવાની સંભાવના સમાન છે.

સમાન સંભાવના આ ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે: .

આ વધારાનો નિયમ છે:અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરે છે.

મિશ્ર પ્રકારની સમસ્યાઓ

ઉદાહરણ.

સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. રોલ્સનાં પરિણામો અલગ હશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.

આનો અર્થ એ છે કે જો પ્રથમ પરિણામ હેડ્સ છે, તો બીજું પૂંછડીઓ હોવું જોઈએ, અને ઊલટું. તે તારણ આપે છે કે સ્વતંત્ર ઘટનાઓની બે જોડી છે, અને આ જોડીઓ એકબીજા સાથે અસંગત છે. ક્યાં ગુણાકાર કરવો અને ક્યાં ઉમેરવું તે વિશે કેવી રીતે મૂંઝવણમાં ન આવવું.

આવી પરિસ્થિતિઓ માટે એક સરળ નિયમ છે. "AND" અથવા "OR" સંયોજનોનો ઉપયોગ કરીને શું થવાનું છે તેનું વર્ણન કરવાનો પ્રયાસ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, આ કિસ્સામાં:

તે ઉપર આવવું જોઈએ (માથા અને પૂંછડીઓ) અથવા (પૂંછડીઓ અને માથા).

જ્યાં “અને” સંયોગ હશે ત્યાં ગુણાકાર થશે, અને જ્યાં “અથવા” હશે ત્યાં ઉમેરણ હશે:

તેને જાતે અજમાવી જુઓ:

જો સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે તો સિક્કો બંને વખત એક જ બાજુ પર ઉતરે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ડાઇસ બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. કુલ પોઈન્ટ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલો:

બીજું ઉદાહરણ:

એકવાર સિક્કો ફેંકો. હેડ ઓછામાં ઓછા એક વખત દેખાશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

સંભાવના સિદ્ધાંત. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

સંભાવના એ તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા સાથે અનુકૂળ ઘટનાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ

બે ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે જો એકની ઘટના બીજી બનવાની સંભાવનાને બદલતી નથી.

કુલ સંભાવના

તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંભાવના () ની બરાબર છે.

ઘટના બનશે નહીં તેવી સંભાવના ઘટના બનવાની સંભાવનાને બાદ કરવાની સમાન છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવાનો નિયમ

સ્વતંત્ર ઘટનાઓના ચોક્કસ ક્રમની સંભાવના દરેક ઘટનાની સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી હોય છે.

અસંગત ઘટનાઓ

અસંગત ઘટનાઓ એવી છે જે પ્રયોગના પરિણામે એકસાથે ન બની શકે. સંખ્યાબંધ અસંગત ઘટનાઓ ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે.

અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરે છે.

શું થવું જોઈએ તે વર્ણવ્યા પછી, "AND" અથવા "OR" સંયોજનોનો ઉપયોગ કરીને, "AND" ને બદલે આપણે ગુણાકારનું ચિહ્ન મૂકીએ છીએ, અને "OR" ને બદલે આપણે વધારાનું ચિહ્ન મૂકીએ છીએ.

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ લાઈનો વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાની મેળે કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે?

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સફળતાપૂર્વક પાસ કરવા માટે, બજેટમાં કૉલેજમાં દાખલ થવા માટે અને સૌથી મહત્ત્વપૂર્ણ રીતે, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ...

જે લોકોએ સારું શિક્ષણ મેળવ્યું છે તેઓ જેઓએ તે પ્રાપ્ત કર્યું નથી તેના કરતા ઘણું વધારે કમાય છે. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી.

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ કારણ કે તેમની આગળ ઘણી વધુ તકો ખુલે છે અને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવા માટે અને આખરે... વધુ ખુશ થવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં.

તમને જરૂર પડશે સમય સામે સમસ્યાઓ ઉકેલો.

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો, વિગતવાર વિશ્લેષણ સાથેઅને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

તમે અમારા કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો (વૈકલ્પિક) અને અમે, અલબત્ત, તેમની ભલામણ કરીએ છીએ.

અમારા કાર્યોનો વધુ સારી રીતે ઉપયોગ કરવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકનું આયુષ્ય વધારવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો -

પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - પાઠ્યપુસ્તક ખરીદો - 499 RUR

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

સાઇટના સમગ્ર જીવન માટે તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

અને નિષ્કર્ષમાં ...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ નથી, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!