બહુપદીનો બીજગણિતીય સરવાળો. બહુપદીનો ગુણાકાર કરવાનું ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર

વિષય:બહુપદીનો સરવાળો અને બાદબાકી.

પાઠ હેતુઓ:

શૈક્ષણિક:બહુપદી ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમો શીખો; "કૉલમમાં" બહુપદી ઉમેરવાનો નિયમ દાખલ કરો; "વિરોધી બહુપદી" નો ખ્યાલ રજૂ કરો.

વિકાસલક્ષી:બહુપદીના રૂપાંતરણમાં વિદ્યાર્થીઓની કુશળતા વિકસાવો; અભિવ્યક્તિ માટે શરતો બનાવો જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિઅને વિદ્યાર્થી પ્રવૃત્તિ.

શિક્ષણ:હેતુપૂર્ણતા કેળવો, સંગઠન કરો, સામગ્રીનો અભ્યાસ કરવામાં રસ બનાવો વિવિધ પ્રકારોપ્રવૃત્તિઓ

યોગ્યતાઓની રચનામાં ફાળો આપો:શૈક્ષણિક-જ્ઞાનાત્મક અને માહિતી-સંચારાત્મક.

પાઠનો પ્રકાર: નવી સામગ્રી શીખવાનો પાઠ.

સાધન: ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડસ્માર્ટબોર્ડ, મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર.

પાઠ માળખું:

સંસ્થાકીય તબક્કો. પ્રેરણા.

મૂળભૂત જ્ઞાન અપડેટ કરવું.

નવી સામગ્રી શીખવી.

શારીરિક શિક્ષણ મિનિટ.

હસ્તગત જ્ઞાનનું પ્રાથમિક એકત્રીકરણ.

પાઠનો સારાંશ. પ્રતિબિંબ.

હોમવર્ક. બ્રીફિંગ.

પાઠની પ્રગતિ

1. સંસ્થાકીય તબક્કો. પ્રેરણા.

આજના પાઠમાં આપણે બહુપદી ઉમેરવા અને બાદબાકી કેવી રીતે કરવી તે શીખવા જઈ રહ્યા છીએ. ચાલો “કૉલમમાં” બહુપદી ઉમેરવા માટેના અલ્ગોરિધમ અને “વિરોધી બહુપદી” ની વિભાવનાથી પરિચિત થઈએ.

2. મૂળભૂત જ્ઞાન અપડેટ કરવું.

મિત્રો, આજના પાઠમાં આપણે ઘણી નવી વસ્તુઓ શીખીશું. પરંતુ આવરી લેવામાં આવેલી સામગ્રીના જ્ઞાન વિના, તે અમારા માટે મુશ્કેલ બનશે, તેથી અમે એક નાનું મૌખિક સર્વેક્ષણ કરીશું.

આગળનો સૈદ્ધાંતિક સર્વેક્ષણ (સ્લાઇડ 2)

મોનોમિયલનો સરવાળો કહેવાય છે ( બહુપદી).

બહુપદી કે જે બે મોનોમિયલનો સરવાળો હોય તેને કહેવાય છે ( દ્વિપદી).

સરવાળો ( વિરુદ્ધ) મોનોમિયલ શૂન્ય બરાબર છે.

બહુપદીનો ગુણાકાર કરતી વખતે ( એકમ)પરિણામ એ જ બહુપદી છે.

પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદીની ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે ( સૌથી મોટી ડિગ્રી).

મૌખિક સર્વેક્ષણ. (સ્લાઇડ 3).એક પછી એક "પુસ્તક" પર ક્લિક કરીને, વિદ્યાર્થીઓ લાવે છે સમાન શરતો, અને સ્વ-પરીક્ષણ કરો.

3. નવી સામગ્રીનો અભ્યાસ.

શિક્ષક : બહુપદીઓ ઘણી વાર છે ગાણિતિક મોડેલો વ્યવહારુ સમસ્યાઓ, તેથી આપણે કરવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે અંકગણિત કામગીરીબહુપદી સાથે અને આવા અભિવ્યક્તિઓ મહત્તમ સુધી ઘટાડે છે સરળ દૃશ્ય. ચાલો જાણીએ કે કેવી રીતે બહુપદી ઉમેરવા અને બાદ કરવી. હકીકતમાં, આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે આ કેવી રીતે કરવું.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો બહુપદીનો સરવાળો અને તફાવત બનાવીએ (સ્લાઇડ 4) અને પરિણામી બીજગણિત અભિવ્યક્તિમાં આપણે કૌંસ ખોલીએ છીએ.

(કૌંસ ખોલો, નોટબુકમાં કામ કરીને, જોડીમાં. એક વિદ્યાર્થી રૂપાંતરણ કરે છે પાછળની બાજુબોર્ડ અમે કામની પ્રગતિ તપાસીએ છીએ અને વિશ્લેષણ કરીએ છીએ કે શું બધી કામગીરી યોગ્ય રીતે કરવામાં આવી હતી?)

આપણે જોઈએ છીએ કે રૂપાંતરણના પરિણામે મેળવેલ સરવાળો અને તફાવત પણ બહુપદી છે.

અમે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ: (સ્લાઇડ 5). બહુપદીનો બીજગણિત સરવાળો શોધવા માટે, તમારે કૌંસ ખોલીને સમાન પદો લાવવાની જરૂર છે. તદુપરાંત, જો કૌંસની પહેલાં કોઈ નિશાની હોય «+» , પછી કૌંસમાં શરતોના ચિહ્નો છે બદલશો નહીં. જો કૌંસની પહેલા કોઈ નિશાની હોય «-» , પછી કૌંસની અંદરના શબ્દોના ચિહ્નો વિપરીત.

એ જ રીતે, તમે બહુપદીની કોઈપણ સંખ્યાનો સરવાળો શોધી શકો છો. વિદ્યાર્થીઓ કાર્ય પૂર્ણ કરે (સ્લાઇડ 6), અને કાર્યની શુદ્ધતા તપાસો (સ્લાઇડ 7)

છેલ્લું પગલું પૂર્ણ કર્યા પછી કાર્યો 1, આપેલ એકની વિરુદ્ધ બહુપદીનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે.

આપેલ બહુપદીની વિરુદ્ધ મૂળ બહુપદીનો ગુણાકાર (-1) છે. વિદ્યાર્થીઓ પ્રદર્શન કરે છે કાર્ય 2 (સ્લાઇડ 8). (અમે ઇરેઝરથી ભૂંસી નાખીએ છીએ અને તપાસો).

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો મૂળ બહુપદી સાથે તેનો સરવાળો શૂન્ય છે. વિદ્યાર્થીઓ પ્રદર્શન કરે છે કાર્ય 3 (સ્લાઇડ 9). (ગાબડા પર ક્લિક કરો અને તપાસો!).

4. શારીરિક શિક્ષણ મિનિટ.

શિક્ષક . આંખો માટે અને મગજનો પરિભ્રમણ સુધારવા માટે કસરતો આપે છે.

ઝડપથી ઝબકવું, તમારી આંખો બંધ કરો અને શાંતિથી બેસો, ધીમે ધીમે પાંચની ગણતરી કરો. 4-5 વખત પુનરાવર્તન કરો.

બહાર ખેંચો જમણો હાથઆગળ તમારી આંખો સાથે અનુસરો, તમારા માથાને ફેરવ્યા વિના, ધીમી ચળવળ તર્જનીવિસ્તરાયેલ હાથ ડાબા અને જમણા, ઉપર અને નીચે. 4-5 વખત પુનરાવર્તન કરો.

સરેરાશ ગતિએ, 3-4 કરો પરિપત્ર ગતિઆંખો માં જમણી બાજુ, માં સમાન રકમ ડાબી બાજુ. તમારી આંખના સ્નાયુઓને આરામ આપો અને 1-6 ગણતી વખતે અંતર જુઓ. 1-2 વખત પુનરાવર્તન કરો.

ચાલો ચાલુ રાખીએ...

શિક્ષક . પરંતુ બહુપદી પદો અને તેમના પદોની સંખ્યા ઘણી મોટી હોઈ શકે છે, અને પછી આવા શબ્દો શોધવા અને લાવવા ખૂબ મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, આપણે 'કૉલમ રાઇટિંગ' ના વિચારનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે આપણે સરવાળો અને બાદબાકીમાં ઉપયોગ કર્યો છે. બહુ-અંકની સંખ્યાઓ. બહુ-અંકની સંખ્યાઓ ઉમેરતી વખતે, આ સંકેત સમાન અંકોમાં અંકોની નિકટતા પ્રાપ્ત કરવામાં મદદ કરે છે, અને બહુપદી ઉમેરતી વખતે, સમાન શબ્દોની નિકટતા પ્રાપ્ત કરવામાં મદદ કરે છે.( સ્લાઇડ 10).

(વિરોધી મોનોમિયલ પર ક્લિક કરો, ત્યાંથી તેમનો બાકાત બતાવો, અને પ્રાપ્ત પરિણામના સ્થાન પર પણ ક્લિક કરો). પરિણામે, અમે આવીએ છીએ નીચેના અલ્ગોરિધમનો"કૉલમમાં" બહુપદીનો ઉમેરો. જીભ: યાદ રાખો).

વિદ્યાર્થીઓ પ્રદર્શન કરે છે કાર્ય 4વિકલ્પો અનુસાર. ( સ્લાઇડ 11). પરસ્પર ચકાસણી હાથ ધરો.

હવે બહુપદી બાદબાકીની ક્રિયાની ચર્ચા કરીએ. આપણે તે બાદબાકી જાણીએ છીએ તર્કસંગત સંખ્યાઉમેરીને બદલી શકાય છે વિરોધી સંખ્યા. બહુપદી સાથે કામ કરતી વખતે આપણે તે જ કરી શકીએ છીએ.

"કૉલમમાં" બહુપદીની બાદબાકી પણ સરવાળે આવે છે, સૌપ્રથમ તમારે સબટ્રાહેન્ડ બહુપદીને તેની વિરુદ્ધથી બદલવાની જરૂર છે.

તેથી, "કૉલમમાં" બહુપદીની બાદબાકી માટેનું અલ્ગોરિધમ માત્ર બહુપદી ઉમેરવા માટેના અનુરૂપ અલ્ગોરિધમથી અલગ છે જેમાં તે એક વધારાનું પગલું ધરાવે છે - સબટ્રેહેન્ડ બહુપદીને તેના વિરુદ્ધ સાથે બદલીને. ( સ્લાઇડ 12). (અમે વિરોધી મોનોમિયલ પર ક્લિક કરીએ છીએ, ત્યાં તેમનો બાકાત દર્શાવે છે, અને પ્રાપ્ત પરિણામના સ્થાન પર પણ ક્લિક કરીએ છીએ). પરિણામે, "કૉલમમાં" બહુપદીને બાદ કરવા માટે અમે નીચેના અલ્ગોરિધમ પર પહોંચીએ છીએ. જીભ: યાદ રાખો).

5. હસ્તગત જ્ઞાનનું પ્રાથમિક એકત્રીકરણ.

અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીને એકીકૃત કરવા માટે કાર્યો હાથ ધરવા.

કાર્ય 5 (સ્લાઇડ 13).

કાર્ય 6. જનરેટર ક્યુબનો ઉપયોગ કરીને, ક્યુબ પર અને એરો પર એકાંતરે ક્લિક કરીને, બહુપદીને કૉલમમાં ગોઠવીને, અમે ઉમેરણ કરીએ છીએ. (સ્લાઇડ 14).

6. પાઠનો સારાંશ.

પ્રતિબિંબ.

પાઠમાં તમે કઈ નવી અને રસપ્રદ વસ્તુઓ શીખી?

બહુપદી ઉમેરવાના નિયમોમાંથી કયો તમારા માટે સૌથી વધુ સ્વીકાર્ય અને અનુકૂળ છે?

તમે કઈ મુશ્કેલીઓ અનુભવી?

7. હોમવર્ક. બ્રીફિંગ.

શિક્ષક હોમવર્ક કેવી રીતે પૂર્ણ કરવું તેની સૂચનાઓ આપે છે.

આના પર પાઠ:
"બહુપદી ઉમેરવી અને બાદબાકી કરવી. નિયમો અને ઉદાહરણો"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં. એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

ઑનલાઇન સ્ટોર "ઇન્ટિગ્રલ" માં વિકાસલક્ષી અને શૈક્ષણિક સહાય
યુ.એન. મકરીચેવા
એ.જી. દ્વારા પાઠ્યપુસ્તક માટે ઈલેક્ટ્રોનિક પાઠ્યપુસ્તક. મોર્ડકોવિચ

બહુપદીનો ઉમેરો

ચાલો વ્યાખ્યા યાદ કરીએ: બહુપદી એ મોનોમિયલનો સરવાળો છે!
આનો અર્થ એ છે કે બહુપદી ઉમેરવા માટે, તમારે મૂળ પદોના ચિહ્નોને સાચવીને, તેમને એક બહુપદી તરીકે લખવાની જરૂર છે.

પરંતુ જ્યાં સુધી કૌશલ્ય વિકસિત ન થાય ત્યાં સુધી, અમે ચોક્કસ નિયમ અનુસાર ઉમેરીશું:
1. બહુપદીને કૌંસમાં લખો અને તેમની વચ્ચે “+” ચિહ્નો મૂકો.
2. કૌંસ વિના ફરીથી લખો. જો બહુપદીના પ્રથમ પદમાં કૌંસમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન હોય, તો અમે તેને કૌંસની પહેલાંના વત્તાને બદલે લખીએ છીએ. અમે ચિહ્નોને સાચવીને, બહુપદીની બાકીની શરતોને ફરીથી લખીએ છીએ.
3. અમે પરિણામી બહુપદીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ.

ઉદાહરણો.
1) બહુપદી ઉમેરો: a 3 + 2b + c અને a 2 + 2b - 1.

ઉકેલ.

(a 3 + 2b + c) + (a 2 + 2b - 1).
2. કૌંસ ખોલો: a 3 + 2b + c + a 2 + 2b - 1.

a 3 + 2b + c + a 2 + 2b - 1 = a 3 + 4b + c + a 2 - 1.
4. અને ચાલો તેને સુંદર (પ્રમાણભૂત) સ્વરૂપમાં લખીએ: a 3 + a 2 + 4b + c - 1.

2) બહુપદી ઉમેરો: a 3 + 2b + c અને -a 2 + 2b - 1.

ઉકેલ.
1. કૌંસમાં બહુપદી લખો અને કૌંસ વચ્ચે વત્તાનું ચિહ્ન મૂકો:
(a 3 + 2b + c) + (-a 2 + 2b - 1).
2. કૌંસ ખોલો: a 3 + 2b + c - a 2 + 2b - 1.
3. જે ઉમેરે છે તે બધું ઉમેરીએ (સમાન આપો):
a 3 + 2b + c - a 2 + 2b - 1 = a 3 + 4b + c - a 2 - 1.
4. અને ચાલો તેને સુંદર (પ્રમાણભૂત) સ્વરૂપમાં લખીએ: a 3 - a 2 + 4b + c - 1.

બહુપદી બાદબાકી

ચાલો ઉદાહરણ 2 - (1 + 1) હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. પહેલા આપણે કૌંસમાં કામગીરી કરીએ છીએ, પછી બાદબાકી કરીએ છીએ, આપણને જવાબ 0 મળે છે. જો આપણે ફક્ત કૌંસને દૂર કરીએ, તો જવાબ 2 આવશે. જો આપણે ચિહ્નો બદલીશું, તો સાચો જવાબ 0 હશે.

ઉદાહરણો.
1) બહુપદી a 3 b + 2ac - 5 માંથી, બહુપદી 2a 3 b + ac + 5 બાદ કરો.

ઉકેલ.

(a 3 b + 2ac - 5) - (2a 3 b + ac + 5).
2. કૌંસ ખોલો: a 3 b + 2ac - 5 - 2a 3 b - ac - 5.
3. જે ઉમેરે છે તે બધું ઉમેરીએ (સમાન આપો):
a 3 b + 2ac - 5 - 2a 3 b - ac - 5 = -a 3 b + ac - 10.
4. અને ચાલો તેને સુંદર (પ્રમાણભૂત) સ્વરૂપમાં લખીએ: -a 3 b + ac - 10.

2) બહુપદી a 3 b + 2ac - 5 માંથી, બહુપદી -2a 3 b + ac + 5 બાદ કરો.

ઉકેલ.
1. કૌંસમાં બહુપદી લખો અને કૌંસ વચ્ચે બાદબાકીનું ચિહ્ન મૂકો:
(a 3 b + 2ac - 5) - (-2a 3 b + ac + 5).
2. કૌંસ ખોલો: a 3 b + 2ac - 5 + 2a 3 b - ac - 5.
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સબટ્રાહેન્ડમાં પ્રથમ માઈનસ વત્તામાં બદલાઈ ગયો છે! (આપણે હંમેશા ધ્યાનથી જોઈએ છીએ: ક્યાં વત્તા, ક્યાં માઈનસ? કૌંસની સામેનું ચિહ્ન કૌંસમાંના ચિહ્ન પર સુપરિમ્પોઝ કરવામાં આવે છે: વત્તા પર વત્તા વત્તા આપે છે, વત્તા પર વત્તા ઓછા આપે છે, ઓછા પર ઓછાથી વત્તા મળે છે. )
3. જે ઉમેરે છે તે બધું ઉમેરીએ (સમાન આપો):
a 3 b + 2ac - 5 + 2a 3 b - ac - 5 = 3a 3 b + ac - 10.
4. અને ચાલો તેને સુંદર (પ્રમાણભૂત) સ્વરૂપમાં લખીએ: 3a 3 b + ac - 10.

બહુપદી ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાની પદ્ધતિઓ ખૂબ સમાન છે, બાદબાકી કરતી વખતે માત્ર ચિહ્નો બદલાય છે. તેથી, આ ક્રિયાઓને એક નિયમમાં જોડવામાં આવી હતી.

બહુપદીનો બીજગણિત સરવાળો શોધવા માટે, તમારે તેમને કૌંસમાં લખવાની અને ચિહ્નોને ગોઠવવાની જરૂર છે. પછી કૌંસને નીચે પ્રમાણે ખોલો: જો કૌંસની આગળ વત્તાનું ચિહ્ન હોય, તો બહુપદીના શબ્દોના ચિહ્નો બદલાતા નથી; ઊલટું

ઉદાહરણ.
બહુપદીનો બીજગણિત સરવાળો શોધો: A + B – C, જ્યાં:
A = a 2 b + ab + 4;
B = -5a 2 b + 6ab - 5;
C = -4a 2 b + 3ab + 8.

ઉકેલ.
1. બહુપદીને કૌંસમાં લખો: (a 2 b + ab + 4) + (-5a 2 b + 6ab - 5) - (-4a 2 b + 3ab + 8).
2. કૌંસ ખોલો: a 2 b + ab + 4 - 5a 2 b + 6ab - 5 + 4a 2 b - 3ab - 8.
3. અહીં સમાન છે:
a 2 b + ab + 4 - 5a 2 b + 6ab - 5 + 4a 2 b - 3ab - 8 = 4ab – 9.
4. અને લખો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ: 4ab – 9.
નોંધ લો કે બહુપદીની કેટલીક શરતો અદૃશ્ય થઈ ગઈ છે.
ખરેખર a 2 b - 5a 2 b + 4a 2 b = 0.
આવા કિસ્સાઓમાં, એવું કહેવાનો રિવાજ છે કે 2 બી, 5 એ 2 બી, 4 એ 2 બી પરસ્પર નાશ પામે છે.

સ્વ-ઉકેલ માટે ઉદાહરણો

2) A = – 4x 2 y + xy – 8;
B = 6x 2 y + 8xy + y;
C = – 3xy + x.

3) A = xy 2 – 7xy – x;
B = 9xy 2 + xy + 6;
C = 5xy 2 + 8xy + x.

સરવાળો અને બાદબાકીની ક્રિયાઓ છે મૂળભૂત ક્રિયાઓઘણા કિસ્સાઓમાં ઉકેલો બીજગણિત સમસ્યાઓ. આ વિડીયોમાં આપણે બહુપદી સાથે કામ કરવાના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો જોઈશું.

શરૂ કરવા માટે, યાદ કરો કે બહુપદી એ એક અભિવ્યક્તિ છે જેમાં ઘણા જુદા જુદા મોનોમિયલ અથવા મોનોમિયલનો સમાવેશ થાય છે. તદુપરાંત, આવા દરેક મોનોમિયલ કાં તો રજૂ કરે છે સંખ્યાત્મક મૂલ્ય, અથવા ચલ. કેટલીકવાર ચલોને ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર દ્વારા જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે, અને તેમના પોતાના સંખ્યાત્મક ગુણાંક પણ હોઈ શકે છે.

અગાઉના વિડિયો પ્રવચનોમાં, અમે સમાન શબ્દોને ઘટાડવા તરફ જોયું - કોઈપણ બહુપદીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં સરળ બનાવવું. તે તરત જ એક ટિપ્પણી દાખલ કરવા યોગ્ય છે કે આવી ક્રિયાઓ એક બહુપદીની અંદર સરવાળો અને બાદબાકીની ક્રિયાઓ સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે. પરંતુ અનેક બહુપદીઓ સાથે બીજગણિતીય કામગીરીના કિસ્સામાં, પ્રારંભિક સરળીકરણ બિનજરૂરી હોઈ શકે છે અને કાર્યને જટિલ બનાવી શકે છે. અંતિમ બહુપદીને પ્રમાણિત કરવું વધુ યોગ્ય રહેશે. છેવટે, બહુપદીમાં વધુ મોનોમિયલ, સમાન શબ્દો શોધવાનું સરળ છે. તેથી, જો કાર્ય બે બહુપદી ઉમેરવા અથવા બાદ કરવાનું છે, તો તમારે તરત જ તેમને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું જોઈએ નહીં.

IN રેખીય બીજગણિતએક જ શ્રેણીમાં બહુપદીને અલગ કૌંસમાં લખવાનો રિવાજ છે. આ ચિહ્નને યોગ્ય રીતે જાહેર કરવામાં મદદ કરે છે. તેથી, જો આપણી પાસે બે બહુપદી હોય, તો આપણે તેને શ્રેણીમાં લખીએ અને મૂકીએ જરૂરી નિશાનીકૌંસ વચ્ચે:

(a 2 + c 3 - 7) + (3a 2 - 2c 3 +3)

ઉકેલવા માટે આપેલ અભિવ્યક્તિતે ફક્ત સામાન્ય કરવા માટે પૂરતું છે બીજગણિત ઉમેરો. આ કરવા માટે, ચિહ્નો સાચવવાના નિયમોને ધ્યાનમાં રાખીને, કૌંસ ખોલો. ઉમેરતી વખતે (જ્યારે વત્તા હોય છે), બધા ચિહ્નો યથાવત સાચવવામાં આવે છે કૌંસ સરળતાથી છોડી શકાય છે; અમે અભિવ્યક્તિને નવા સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ:

a 2 + c 3 - 7 + 3a 2 - 2c 3 +3 =

4a 2 - 1c 3 - 4 = 4a 2 - s 3 - 4

અમે પરિણામી બહુપદીને સમાન શબ્દોને ઘટાડવાના નિયમો અનુસાર પ્રક્રિયા કરીએ છીએ, સામાન્ય ચલો શોધીએ છીએ અને તમામ સમાન મૂલ્યો ઘટાડીએ છીએ. કેટલીકવાર અમે ચોક્કસ એકવિધતા માટે સ્ટેપવાઈઝ સરવાળો અથવા બાદબાકીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પરિણામે, અમારી અભિવ્યક્તિ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે, જેનો જવાબ છે ઉદાહરણ આપ્યું. તે સમજવા યોગ્ય છે કે, ઔપચારિક રીતે, બહુપદીનો સરવાળો, માં આ કિસ્સામાં, અભિવ્યક્તિ છે:

a 2 + c 3 - 7 + 3a 2 - 2c 3 +3

જો તમે તેને જવાબમાં દર્શાવશો તો તેને ભૂલ ગણવામાં આવશે નહીં. પરંતુ, અલ્ગોરિધમ્સના કાયદા અનુસાર બીજગણિત ગણતરીઓ, બહુપદી સાથેની કામગીરી માટેનો અંતિમ જવાબ શક્ય તેટલો સરળ બનાવવો જોઈએ, એટલે કે. પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો.
બાદબાકીની ક્રિયાઓ એ જ રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે, ફક્ત એ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા કે કૌંસની સામે બાદબાકીનું ચિહ્ન અંદરના ચિહ્નને બદલશે:

(a 2 + c 3 - 7) - (3a 2 - 2c 3 +3) =

A 2 + c 3 - 7 - 3a 2 + 2c 3 - 3=

2a 2 + 3c 3 - 10

બીજા બહુપદીમાં (બાદબાકી) માઈનસને કારણે ચિહ્નો સંપૂર્ણપણે ઊંધી છે: ચાલુ વિરોધી અર્થો. જે પછી સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ સંપૂર્ણ રીતે સમીકરણ માટે સમાન છે (જે હકીકતમાં, બહુપદીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું તે છે).

કેટલીકવાર કેટલીક સમસ્યાઓમાં વિપરીત કામગીરી કરવી જરૂરી છે - બહુપદીથી રચના સુધી ચોક્કસ રકમઅથવા તફાવત. આ વધુ ઉકેલ માટે જરૂરી હોઈ શકે છે, અને બહુપદીને વિભાજિત કરવાની શરતો સમસ્યાની વાસ્તવિકતાઓ દ્વારા જ સેટ કરવામાં આવી છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે અભિવ્યક્તિની જરૂર છે જેમ કે:

3a 2 - 2c 3 +3

આ કિસ્સામાં કાર્ય નીચે મુજબ છે: અભિવ્યક્તિને બહુપદીના સરવાળા તરીકે રજૂ કરો, જેમાંથી એક 3a 2 છે. કૌંસમાં ઉલ્લેખિત બહુપદીઓને હાઇલાઇટ કરીને આ કરવાનું સરળ છે. તે જ સમયે, તમારે ચિહ્નો બદલવાની જરૂર નથી, કારણ કે વત્તા તમને આ કરવાની મંજૂરી આપે છે:

3а 2 + (- 2с 3 +3)

જો તમને બહુપદીના તફાવતની જરૂર હોય, જેમાંથી એક 3a 2 છે, તો તમારે માત્ર બહુપદીને કૌંસ સાથે અલગ કરવાની જરૂર નથી, પણ એક બાદબાકી પણ મૂકવાની જરૂર છે, જે બીજા બહુપદીમાં ચિહ્નોને ઉલટાવે છે:

3a 2 - (2c 3 -3)

આમ, જો તમે બીજગણિતીય ઉમેરણના ગુણોનો કુશળતાપૂર્વક ઉપયોગ કરો તો બહુપદીના સરવાળા અથવા બાદબાકીને લગતી સમસ્યાઓ એકદમ સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે.

બહુપદી સાથે, અન્ય કોઈપણ સાથે બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ, તમે વિવિધ ક્રિયાઓ કરી શકો છો. ચાલો જાણીએ કે બહુપદી કેવી રીતે ઉમેરવી અને બાદબાકી કરવી.

બે બહુપદીઓ આપવા દો. તેમને ઉમેરવા માટે, તેમને કૌંસમાં લખો અને તેમની વચ્ચે વત્તાનું ચિહ્ન મૂકો. પછી આપણે કૌંસ ખોલીએ છીએ અને સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ. બાદબાકી કરતી વખતે, અમે કૌંસ વચ્ચે બાદબાકીનું ચિહ્ન મૂકીએ છીએ.

અમે તેમને કૌંસ સાથે ખોલીએ છીએ અને સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ. જો કૌંસની આગળ વત્તાનું ચિહ્ન હોય, તો કૌંસ ખોલીને આપણે કૌંસમાં બંધાયેલ બહુપદીમાં સમાવિષ્ટ દરેક મોનોમીયલની નિશાની સાચવી રાખીએ છીએ. જો કૌંસની સામે બાદબાકીનું ચિહ્ન હોય, તો કૌંસ ખોલીને, તમારે કૌંસમાં બંધાયેલ બહુપદીમાં સમાવિષ્ટ દરેક મોનોમિયલના ચિહ્નોને બદલવું જોઈએ.

સમાન શબ્દો લાવવા માટે, તમારે સમાન મોનોમિયલ્સના ગુણાંક ઉમેરવાની જરૂર છે, અને પછી પરિણામી સંખ્યાને અક્ષર અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણો

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

બે બહુપદી x^3 +5*x^2 - 4*x + 5 અને -x^3 + 3*x^2 - x + 2 આપેલ છે. આ બહુપદીઓનો સરવાળો અને તફાવત શોધો.

(x^3 +5*x^2 - 4*x + 5) + (-x^3 + 3*x^2 - x + 2) =

x^3 +5*x^2 - 4*x + 5 - x^3 + 3*x^2 - x + 2 =

8*x^2 - 5*x + 7.

(x^3 +5*x^2 - 4*x + 5) - (-x^3 + 3*x^2 - x + 2) =

x^3 +5*x^2 - 4*x + 5 + x^3 - 3*x^2 + x - 2 =

2*x^3 + 2*x^2 -3*x +1.

બહુપદીઓનો બીજગણિતીય સરવાળો

એ નોંધવું જોઈએ કે x^3 - x^3 = 0. અને તેથી, ઉમેરતી વખતે, એકવિધ x^3 અદૃશ્ય થઈ જાય છે. આ કિસ્સામાં, x^3 અને -x^3 શબ્દો એકબીજાને રદ કરવા માટે કહેવાય છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, બહુપદીનો સરવાળો અને બાદબાકી સમાન નિયમ અનુસાર કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, "બહુપદીઓનો ઉમેરો" અથવા "બહુપદીઓનો તફાવત" શબ્દોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર નથી. તેઓને એક અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલી શકાય છે - "બહુપદીઓનો બીજગણિતીય સરવાળો."

તમે લખી શકો છો સામાન્ય નિયમશોધવું બીજગણિત રકમઅનેક બહુપદીઓ.
પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખેલા અનેક બહુપદીઓનો બીજગણિતીય સરવાળો શોધવા માટે, કૌંસ ખોલીને સમાન પદો લાવવા જરૂરી છે.

તે જ સમયે, જો કૌંસની સામે વત્તાનું ચિહ્ન હોય, તો કૌંસ ખોલતી વખતે, શરતોની સામેના ચિહ્નો યથાવત રાખવા જોઈએ. જો કૌંસની સામે માઈનસ ચિહ્ન હોય, તો કૌંસ ખોલતી વખતે, શરતોની સામેના ચિહ્નોને વિરુદ્ધ રાશિઓ સાથે બદલવું આવશ્યક છે. “વત્તા” થી “માઈનસ” અને “માઈનસ” થી “પ્લસ”.

ધારો કે આપણે મોનોમિયલ ઉમેરવાની જરૂર છે:

પરિણામી અભિવ્યક્તિ એ બીજગણિતીય સરવાળો છે. પરિચયિત શરત (§ 16) અનુસાર, અમે દરેક જગ્યાએ વધારાના ચિહ્નને છોડી શકીએ છીએ અને ટૂંકમાં લખી શકીએ છીએ:

આ અભિવ્યક્તિમાં બે સમાન શબ્દો છે.

ચાલો તેમને રજૂ કરીએ અને તે જ સમયે x ના સંદર્ભમાં ઘટતી શક્તિઓમાં બહુપદીને ગોઠવીએ:

(આ મોનોમિયલ્સમાં બદલીને અને મૂલ્યોના પરિણામી સરવાળામાં તપાસો:

તેથી આપણે નીચેના નિયમ મેળવી શકીએ છીએ:

મોનોમિયલ ઉમેરવા માટે, તેમને તેમના ચિહ્નો સાથે એક પછી એક (બીજગણિત રકમ તરીકે) લખવા માટે પૂરતું છે.

જો પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં સમાન શરતો હોય, તો તે આપવી આવશ્યક છે.

2. બહુપદીનો ઉમેરો.

ચાલો સમસ્યા હલ કરીએ. એક ટોપલીમાં x સફરજન હતા, બીજામાં પહેલા કરતા y વધુ સફરજન હતા અને ત્રીજામાં બીજા કરતા 27 ઓછા સફરજન હતા. ત્રણેય બાસ્કેટમાં કેટલા સફરજન હતા?

1) પ્રથમ ટોપલીમાં x સફરજન હતા.

2) બીજી ટોપલીમાં સફરજન હતા.

3) ત્રીજી ટોપલીમાં સફરજન હતા.

4) ત્રણ બાસ્કેટમાં સફરજન હતા.

પરિણામી જવાબ એ એકવિધ અને બે બહુપદીનો સરવાળો છે.

ચાલો આ જવાબને સરળ બનાવીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે દરેક અભિવ્યક્તિ બીજગણિત રકમ છે. તેથી, સરવાળો ઉમેરવાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ છીએ:

સમાન શરતો લાવ્યા પછી આખરે આપણને મળે છે:

બાસ્કેટમાં કેટલા સફરજન હતા તે નક્કી કરો જો:

આનો અર્થ એ છે કે આપણે બહુપદી ઉમેરવા માટે નીચેના નિયમ મેળવી શકીએ છીએ:

બહુપદી ઉમેરવા માટે, તમારે ક્રમિક રીતે (એક બીજગણિત રકમના રૂપમાં) તેમના તમામ શબ્દો તેમના ચિહ્નો સાથે સંગ્રહિત કરવાની જરૂર છે.

જો પરિણામી અભિવ્યક્તિ સમાન શબ્દો ધરાવે છે, તો તે આપવી આવશ્યક છે.

3. વિસ્તરણ કૌંસ.

નક્કી કરતી વખતે અગાઉનું કાર્યમારે કૌંસ ખોલવાના હતા, જેમાંના દરેકની સામે પ્લુઓનું ચિહ્ન હતું. તેથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ:

વત્તાના ચિહ્નથી આગળ આવેલા કૌંસને ખોલવા માટે, તમારે કૌંસમાં કૌંસ વગરના તમામ શબ્દો તેમના ચિહ્નો સાથે લખવાની જરૂર છે.

નોંધ. જો કોઈ અભિવ્યક્તિ કૌંસ સાથે તેની સામે કોઈપણ ચિહ્ન વિના શરૂ થાય છે, તો વત્તા ચિહ્ન સૂચિત છે, ઉદાહરણ તરીકે:

4. બ્રેકેટિંગ.

કેટલીકવાર તે જરૂરી છે, તેનાથી વિપરીત, કૌંસમાં બહુપદી અથવા તેનો ભાગ બંધ કરવો. સમાન શબ્દોને કાસ્ટ કરતી વખતે અમે આ કર્યું છે (અગાઉના ફકરામાં ઉદાહરણ જુઓ). ચાલો આ ઉદાહરણ લઈએ. ધારો કે આપણે અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવાની જરૂર છે:

દેખીતી રીતે, અહીં પહેલા 258 માંથી 238 બાદ કરો અને 20 થી 136 નો તફાવત ઉમેરો તે વધુ ફાયદાકારક છે. ગણતરીઓ સરળતાથી અને ઝડપથી મનમાં કરવામાં આવે છે. આ બતાવવા માટે, ચાલો બીજા અને ત્રીજા પદોને કૌંસમાં જોડીએ:

ધારો કે સામાન્ય રીતે તમારે બહુપદી અથવા તેના ભાગને કૌંસમાં બંધ કરવાની જરૂર છે અને કૌંસની આગળ વત્તાનું ચિહ્ન મૂકવું પડશે. અમને નીચેના નિયમ દ્વારા માર્ગદર્શન આપવામાં આવશે:

કૌંસમાં બહુપદીને તેમની આગળ વત્તા ચિહ્ન સાથે બંધ કરવા માટે, તમારે બહુપદીના તમામ શબ્દો કૌંસમાં તેમના ચિહ્નો સાથે લખવાની જરૂર છે:

ફકરા 3 માં નિર્ધારિત નિયમ અનુસાર કૌંસ ખોલીને આ સમાનતાની સાચીતા ચકાસવી સરળ છે.

5. ગોઠવાયેલા બહુપદીઓનો ઉમેરો.

જો બહુપદીઓ એક જ અક્ષર (બંને ચડતા અથવા બંને ઉતરતા) ની શક્તિઓમાં ગોઠવાયેલા હોય, તો તેને નીચે પ્રમાણે ઉમેરવા વધુ અનુકૂળ છે: એક બહુપદીને બીજા હેઠળ સહી કરો જેથી સમાન પદો એકની નીચે સ્થિત હોય; આ પછી, તેઓ તરત જ સમાન શરતો ઘટાડે છે અને અંતિમ પરિણામ લખે છે.

ગોઠવાયેલા બહુપદીનો ઉમેરો પણ ત્યારે કરવામાં આવે છે જ્યારે તેમાં એક કરતાં વધુ અક્ષર હોય છે.