લોગરીધમિક સમીકરણો લોગરીધમથી પાવર. લઘુગણક સમીકરણો

લઘુગણક સમીકરણએ એક સમીકરણ છે જેમાં અજ્ઞાત (x) અને તેની સાથેના અભિવ્યક્તિઓ લઘુગણક કાર્યની નિશાની હેઠળ છે. ઉકેલ લઘુગણક સમીકરણોધારે છે કે તમે પહેલાથી જ અને સાથે પરિચિત છો.
લઘુગણક સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા?

સૌથી સરળ સમીકરણ છે લોગ a x = b, જ્યાં a અને b અમુક સંખ્યાઓ છે, x એ અજ્ઞાત છે.
લઘુગણક સમીકરણ ઉકેલવું x = a b પ્રદાન કરેલ છે: a > 0, a 1.

એ નોંધવું જોઈએ કે જો x લઘુગણકની બહાર ક્યાંક હોય, ઉદાહરણ તરીકે લોગ 2 x = x-2, તો આવા સમીકરણને પહેલેથી જ મિશ્ર કહેવામાં આવે છે અને તેને ઉકેલવા માટે વિશેષ અભિગમની જરૂર છે.

આદર્શ કિસ્સો એ છે કે જ્યારે તમે એવા સમીકરણને આવો છો જેમાં લઘુગણક ચિન્હ હેઠળ માત્ર સંખ્યાઓ જ હોય, ઉદાહરણ તરીકે x+2 = લોગ 2 2. તેને ઉકેલવા માટે અહીં લોગરીધમના ગુણધર્મો જાણવા માટે પૂરતું છે. પરંતુ આવા નસીબ વારંવાર થતું નથી, તેથી વધુ મુશ્કેલ વસ્તુઓ માટે તૈયાર રહો.

પરંતુ પ્રથમ, ચાલો સાથે શરૂ કરીએ સરળ સમીકરણો. તેમને ઉકેલવા માટે, સૌથી વધુ હોવું ઇચ્છનીય છે સામાન્ય વિચારલઘુગણક વિશે.

સરળ લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલવા

આમાં લોગ 2 x = લોગ 2 16 પ્રકારના સમીકરણોનો સમાવેશ થાય છે. નરી આંખે જોઈ શકાય છે કે લઘુગણકના ચિહ્નને બાદ કરવાથી આપણને x = 16 મળે છે.

વધુ જટિલ લઘુગણક સમીકરણને ઉકેલવા માટે, તે સામાન્ય રીતે સામાન્ય ઉકેલવા માટે ઘટાડવામાં આવે છે બીજગણિતીય સમીકરણઅથવા સરળ લઘુગણક સમીકરણ લોગ a x = b ના ઉકેલ માટે. સરળ સમીકરણોમાં આ એક ચળવળમાં થાય છે, તેથી જ તેને સૌથી સરળ કહેવામાં આવે છે.

લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને હલ કરવાની ઉપરોક્ત પદ્ધતિ એ લઘુગણક સમીકરણોને ઉકેલવાની મુખ્ય રીતો પૈકીની એક છે. ગણિતમાં, આ કામગીરીને પોટેન્શિએશન કહેવામાં આવે છે. અસ્તિત્વમાં છે ચોક્કસ નિયમોઅથવા આ પ્રકારની કામગીરી માટે પ્રતિબંધો:

• લઘુગણક સમાન સંખ્યાત્મક પાયા ધરાવે છે
• સમીકરણની બંને બાજુઓમાં લઘુગણક મુક્ત છે, એટલે કે. કોઈપણ ગુણાંક અને અન્ય વિના વિવિધ પ્રકારનાઅભિવ્યક્તિઓ

ચાલો કહીએ કે સમીકરણ લોગ 2 x = 2log 2 (1 - x) પોટેન્શિએશન લાગુ પડતું નથી - જમણી બાજુનો ગુણાંક 2 તેને મંજૂરી આપતું નથી. IN નીચેના ઉદાહરણ log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) પ્રતિબંધોમાંથી એક પણ પૂર્ણ થયું નથી - ડાબી બાજુએ બે લઘુગણક છે. જો ત્યાં એક જ હોત, તો તે સંપૂર્ણપણે અલગ બાબત હોત!

સામાન્ય રીતે, જો સમીકરણનું સ્વરૂપ હોય તો જ તમે લઘુગણકને દૂર કરી શકો છો:

લોગ એ (...) = લોગ એ (...)

ચોક્કસ કોઈપણ અભિવ્યક્તિઓ કૌંસમાં મૂકી શકાય છે, આની પોટેન્શિએશન કામગીરી પર કોઈ અસર થતી નથી. અને લઘુગણકને નાબૂદ કર્યા પછી, એક સરળ સમીકરણ રહેશે - રેખીય, ચતુર્ભુજ, ઘાતાંકીય, વગેરે, જે, મને આશા છે, તમે કેવી રીતે હલ કરવું તે પહેલેથી જ જાણો છો.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ લઈએ:

લોગ 3 (2x-5) = લોગ 3 x

અમે સંભવિતતા લાગુ કરીએ છીએ, અમને મળે છે:

લોગ 3 (2x-1) = 2

લઘુગણકની વ્યાખ્યાના આધારે, એટલે કે, લઘુગણક એ તે સંખ્યા છે કે જેના પર લોગરિધમ ચિહ્ન હેઠળ હોય તેવી અભિવ્યક્તિ મેળવવા માટે આધારને વધારવો આવશ્યક છે, એટલે કે. (4x-1), અમને મળે છે:

ફરીથી અમને એક સુંદર જવાબ મળ્યો. અહીં આપણે લઘુગણકને નાબૂદ કર્યા વિના કર્યું છે, પરંતુ પોટેન્શિએશન પણ અહીં લાગુ પડે છે, કારણ કે લોગરીધમ કોઈપણ સંખ્યામાંથી બનાવી શકાય છે, અને આપણને જરૂર છે તે બરાબર. આ પદ્ધતિ લઘુગણક સમીકરણો અને ખાસ કરીને અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં ખૂબ મદદરૂપ છે.

ચાલો પોટેન્શિએશનનો ઉપયોગ કરીને આપણું લઘુગણક સમીકરણ લોગ 3 (2x-1) = 2 હલ કરીએ:

ચાલો લોગરીધમ તરીકે નંબર 2 ની કલ્પના કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, આ લોગ 3 9, કારણ કે 3 2 =9.

પછી લોગ 3 (2x-1) = લોગ 3 9 અને ફરીથી આપણને એ જ સમીકરણ 2x-1 = 9 મળે છે. મને આશા છે કે બધું સ્પષ્ટ છે.

તેથી અમે સૌથી સરળ લઘુગણક સમીકરણોને કેવી રીતે ઉકેલવા તે જોવામાં આવ્યું, જે ખરેખર ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલવા, સૌથી ભયંકર અને ટ્વિસ્ટેડ મુદ્દાઓ પણ, અંતે હંમેશા સરળ સમીકરણો ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે.

અમે ઉપર જે કંઈ કર્યું તેમાં, અમે એક ખૂબ જ ચૂકી ગયા મહત્વપૂર્ણ બિંદુ, જે પછીથી હશે નિર્ણાયક ભૂમિકા. હકીકત એ છે કે કોઈપણ લઘુગણક સમીકરણનો ઉકેલ, સૌથી પ્રાથમિક એક પણ, બે સમાન ભાગો ધરાવે છે. પ્રથમ સમીકરણનો ઉકેલ છે, બીજો વિસ્તાર સાથે કામ કરે છે સ્વીકાર્ય મૂલ્યો(ODZ). આ બરાબર પહેલો ભાગ છે જેમાં આપણે નિપુણતા મેળવી છે. ઉપરોક્ત માં ડીએલના ઉદાહરણોજવાબને કોઈપણ રીતે અસર કરતું નથી, તેથી અમે તેને ધ્યાનમાં લીધું નથી.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ લઈએ:

લોગ 3 (x 2 -3) = લોગ 3 (2x)

બાહ્ય રીતે, આ સમીકરણ પ્રારંભિક સમીકરણથી અલગ નથી, જે ખૂબ જ સફળતાપૂર્વક ઉકેલી શકાય છે. પણ એવું નથી. ના, અલબત્ત અમે તેને હલ કરીશું, પરંતુ સંભવતઃ ખોટી રીતે, કારણ કે તેમાં એક નાનો હુમલો છે જેમાં સી-ગ્રેડના વિદ્યાર્થીઓ અને ઉત્તમ વિદ્યાર્થીઓ બંને તરત જ તેમાં આવે છે. ચાલો નજીકથી નજર કરીએ.

ચાલો કહીએ કે તમારે સમીકરણનું મૂળ અથવા મૂળનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે, જો તેમાંના ઘણા હોય તો:

લોગ 3 (x 2 -3) = લોગ 3 (2x)

અમે પોટેન્શિએશનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, તે અહીં સ્વીકાર્ય છે. પરિણામે, અમને સામાન્ય મળે છે ચતુર્ભુજ સમીકરણ.

સમીકરણના મૂળ શોધો:

તે બે મૂળ બહાર આવ્યું.

જવાબ: 3 અને -1

પ્રથમ નજરમાં બધું સાચું છે. પરંતુ ચાલો પરિણામ તપાસીએ અને તેને બદલીએ મૂળ સમીકરણ.

ચાલો x 1 = 3 થી શરૂઆત કરીએ:

લોગ 3 6 = લોગ 3 6

ચેક સફળ થયો, હવે કતાર x 2 = -1 છે:

લોગ 3 (-2) = લોગ 3 (-2)

ઠીક છે, રોકો! બહારથી બધું પરફેક્ટ છે. એક વસ્તુ - નકારાત્મક સંખ્યાઓમાંથી કોઈ લઘુગણક નથી! આનો અર્થ એ થયો કે મૂળ x = -1 આપણા સમીકરણને ઉકેલવા માટે યોગ્ય નથી. અને તેથી સાચો જવાબ 3 હશે, 2 નહીં, જેમ આપણે લખ્યું છે.

આ તે છે જ્યાં ODZ એ તેની ઘાતક ભૂમિકા ભજવી હતી, જેના વિશે અમે ભૂલી ગયા હતા.

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીમાં x ના તે મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે જે મૂળ ઉદાહરણ માટે માન્ય અથવા અર્થપૂર્ણ છે.

ODZ વિના, કોઈપણ સમીકરણનો કોઈપણ ઉકેલ, એકદમ સાચો પણ, લોટરીમાં ફેરવાય છે - 50/50.

જે લાગતું હતું તે નક્કી કરતી વખતે અમે કેવી રીતે પકડાઈ ગયા પ્રાથમિક ઉદાહરણ? પરંતુ ચોક્કસપણે સંભવિતતાની ક્ષણે. લઘુગણક અદૃશ્ય થઈ ગયા, અને તેમની સાથે તમામ પ્રતિબંધો.

આ કિસ્સામાં શું કરવું? લોગરીધમ્સને દૂર કરવાનો ઇનકાર કરો છો? અને આ સમીકરણને હલ કરવાનો સંપૂર્ણ ઇનકાર?

ના, અમે, એક પ્રખ્યાત ગીતના વાસ્તવિક હીરોની જેમ, એક ચકરાવો લઈશું!

અમે કોઈપણ લઘુગણક સમીકરણ ઉકેલવાનું શરૂ કરીએ તે પહેલાં, અમે ODZ લખીશું. પરંતુ તે પછી, તમે અમારા સમીકરણ સાથે તમારું હૃદય જે ઈચ્છે તે કરી શકો છો. જવાબ પ્રાપ્ત કર્યા પછી, અમે ફક્ત તે મૂળોને ફેંકી દઈએ છીએ જે અમારા ODZ માં શામેલ નથી અને અંતિમ સંસ્કરણ લખીશું.

હવે ચાલો નક્કી કરીએ કે ODZ કેવી રીતે રેકોર્ડ કરવું. આ કરવા માટે, અમે મૂળ સમીકરણની કાળજીપૂર્વક તપાસ કરીએ છીએ અને તેમાં શંકાસ્પદ સ્થાનો જોઈએ છીએ, જેમ કે x દ્વારા વિભાજન, મૂળ પણ વગેરે. જ્યાં સુધી આપણે સમીકરણ ઉકેલી ન લઈએ, ત્યાં સુધી આપણે જાણતા નથી કે x બરાબર શું છે, પરંતુ આપણે ખાતરીપૂર્વક જાણીએ છીએ કે ત્યાં x છે જે, જ્યારે અવેજી કરવામાં આવે ત્યારે, 0 દ્વારા ભાગાકાર અથવા નિષ્કર્ષણ આપશે. વર્ગમૂળનકારાત્મક સંખ્યામાંથી સ્પષ્ટપણે જવાબ તરીકે યોગ્ય નથી. તેથી, આવા x અસ્વીકાર્ય છે, જ્યારે બાકીના ODZ ની રચના કરશે.

ચાલો એ જ સમીકરણનો ફરીથી ઉપયોગ કરીએ:

લોગ 3 (x 2 -3) = લોગ 3 (2x)

લોગ 3 (x 2 -3) = લોગ 3 (2x)

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ત્યાં 0 દ્વારા કોઈ વિભાજન નથી, ત્યાં કોઈ વર્ગમૂળ પણ નથી, પરંતુ લઘુગણકના મુખ્ય ભાગમાં x સાથે અભિવ્યક્તિઓ છે. ચાલો તરત જ યાદ રાખીએ કે લઘુગણકની અંદરની અભિવ્યક્તિ હંમેશા >0 હોવી જોઈએ. અમે આ સ્થિતિને ODZ ના રૂપમાં લખીએ છીએ:

તે. અમે હજી સુધી કંઈપણ હલ કર્યું નથી, પરંતુ અમે પહેલાથી જ સમગ્ર સબલોગરિધમિક અભિવ્યક્તિ માટે ફરજિયાત શરત લખી છે. તાણવુંમતલબ કે આ શરતો એક સાથે સંતુષ્ટ થવી જોઈએ.

ODZ લખાયેલ છે, પરંતુ અસમાનતાની પરિણામી સિસ્ટમને હલ કરવી પણ જરૂરી છે, જે આપણે કરીશું. આપણને જવાબ મળે છે x > v3. હવે આપણે ખાતરીપૂર્વક જાણીએ છીએ કે કયો x આપણને અનુકૂળ નહિ આવે. અને પછી આપણે લઘુગણક સમીકરણ પોતે જ હલ કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ, જે આપણે ઉપર કર્યું છે.

x 1 = 3 અને x 2 = -1 જવાબો પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તે જોવાનું સરળ છે કે ફક્ત x1 = 3 જ આપણને અનુકૂળ આવે છે, અને અમે તેને અંતિમ જવાબ તરીકે લખીએ છીએ.

ભવિષ્ય માટે, નીચેનાને યાદ રાખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે: અમે કોઈપણ લઘુગણક સમીકરણને 2 તબક્કામાં હલ કરીએ છીએ. પ્રથમ સમીકરણ પોતે જ ઉકેલવાનું છે, બીજું ODZ શરત હલ કરવાનું છે. બંને તબક્કાઓ એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે કરવામાં આવે છે અને જવાબ લખતી વખતે જ તેની સરખામણી કરવામાં આવે છે, એટલે કે. બિનજરૂરી બધું કાઢી નાખો અને સાચો જવાબ લખો.

સામગ્રીને મજબૂત કરવા માટે, અમે વિડિઓ જોવાની ભારપૂર્વક ભલામણ કરીએ છીએ:

વિડીયો લોગ ઉકેલવાના અન્ય ઉદાહરણો બતાવે છે. સમીકરણો અને વ્યવહારમાં અંતરાલ પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરવો.

આ પ્રશ્ન માટે, લઘુગણક સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવાહમણાં માટે એટલું જ. જો લોગ દ્વારા કંઈક નક્કી કરવામાં આવે છે. સમીકરણો અસ્પષ્ટ અથવા અગમ્ય રહે છે, ટિપ્પણીઓમાં તમારા પ્રશ્નો લખો.

નોંધ: એકેડેમી ઓફ સોશિયલ એજ્યુકેશન (ASE) નવા વિદ્યાર્થીઓને સ્વીકારવા માટે તૈયાર છે.

સૂચનાઓ

આપેલ લઘુગણક અભિવ્યક્તિ લખો. જો અભિવ્યક્તિ 10 ના લઘુગણકનો ઉપયોગ કરે છે, તો તેનું સંકેત ટૂંકું કરવામાં આવે છે અને આના જેવું દેખાય છે: lg b એ દશાંશ લઘુગણક છે. જો લઘુગણકમાં તેના આધાર તરીકે સંખ્યા e હોય, તો અભિવ્યક્તિ લખો: ln b – કુદરતી લઘુગણક. તે સમજી શકાય છે કે કોઈપણનું પરિણામ એ શક્તિ છે કે જેના પર સંખ્યા b મેળવવા માટે આધાર નંબર વધારવામાં આવશ્યક છે.

જ્યારે બે કાર્યોનો સરવાળો શોધો, ત્યારે તમારે તેમને એક પછી એક અલગ કરવાની જરૂર છે અને પરિણામો ઉમેરવાની જરૂર છે: (u+v)" = u"+v";

બે ફંક્શનના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન શોધતી વખતે, પ્રથમ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નને બીજા વડે ગુણાકાર કરવો અને બીજા ફંક્શનના વ્યુત્પન્નને પ્રથમ ફંક્શન વડે ગુણાકાર કરવો જરૂરી છે: (u*v)" = u"*v +v"*u;

બે વિધેયોના ભાગનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, વિભાજક ફંક્શન દ્વારા ગુણાકાર કરેલ ડિવિડન્ડના વ્યુત્પન્નના ગુણાંકમાંથી બાદબાકી કરવી જરૂરી છે અને ડિવિડન્ડના કાર્ય દ્વારા ગુણાકાર કરીને વિભાજકના વ્યુત્પન્નનો ગુણાંક અને ભાગાકાર આ બધું વિભાજક ફંક્શન સ્ક્વેર દ્વારા. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

જો આપવામાં આવે છે જટિલ કાર્ય, પછી તેમાંથી વ્યુત્પન્નનો ગુણાકાર કરવો જરૂરી છે આંતરિક કાર્યઅને બાહ્ય એકનું વ્યુત્પન્ન. ચાલો y=u(v(x)), પછી y"(x)=y"(u)*v"(x).

ઉપરોક્ત પ્રાપ્ત પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને, તમે લગભગ કોઈપણ કાર્યને અલગ કરી શકો છો. તો ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
એક બિંદુ પર વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવામાં પણ સમસ્યાઓ છે. ફંક્શન y=e^(x^2+6x+5) આપવા દો, તમારે x=1 બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમત શોધવાની જરૂર છે.
1) ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) માં ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરો આપેલ બિંદુ y"(1)=8*e^0=8

વિષય પર વિડિઓ

મદદરૂપ સલાહ

પ્રાથમિક ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક શીખો. આ સમયને નોંધપાત્ર રીતે બચાવશે.

સ્ત્રોતો:

• અચલનું વ્યુત્પન્ન

તો, શું તફાવત છે? ir તર્કસંગત સમીકરણતર્કસંગત થી? જો અજ્ઞાત ચલ વર્ગમૂળ ચિહ્ન હેઠળ હોય, તો સમીકરણ અતાર્કિક ગણવામાં આવે છે.

સૂચનાઓ

આવા સમીકરણો ઉકેલવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિ એ બંને બાજુઓ બાંધવાની પદ્ધતિ છે સમીકરણોએક ચોરસ માં. જોકે. આ સ્વાભાવિક છે, તમારે પ્રથમ વસ્તુ જે કરવાની જરૂર છે તે છે ચિહ્નથી છુટકારો મેળવવો. આ પદ્ધતિ તકનીકી રીતે મુશ્કેલ નથી, પરંતુ કેટલીકવાર તે મુશ્કેલી તરફ દોરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ v(2x-5)=v(4x-7) છે. બંને બાજુઓનું વર્ગીકરણ કરવાથી તમને 2x-5=4x-7 મળે છે. આવા સમીકરણને ઉકેલવું મુશ્કેલ નથી; x=1. પરંતુ 1 નંબર આપવામાં આવશે નહીં સમીકરણો. શા માટે? x ની કિંમતને બદલે એકને સમીકરણમાં બદલો અને જમણી અને ડાબી બાજુએ એવા સમીકરણો હશે જેનો અર્થ નથી. આ મૂલ્ય વર્ગમૂળ માટે માન્ય નથી. તેથી, 1 એ બાહ્ય મૂળ છે, અને તેથી આ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી.

તેથી, એક અતાર્કિક સમીકરણ તેની બંને બાજુઓના વર્ગીકરણની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. અને સમીકરણ હલ કર્યા પછી, તેને કાપી નાખવું જરૂરી છે બાહ્ય મૂળ. આ કરવા માટે, મૂળ સમીકરણમાં મળેલા મૂળને બદલો.

બીજા એકનો વિચાર કરો.
2х+vх-3=0
અલબત્ત, આ સમીકરણ અગાઉના સમીકરણ જેવા જ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. સંયોજનો ખસેડો સમીકરણો, જેમાં વર્ગમૂળ નથી, માં જમણી બાજુઅને પછી સ્ક્વેરિંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો. પરિણામી તર્કસંગત સમીકરણ અને મૂળ ઉકેલો. પણ અન્ય, વધુ ભવ્ય. નવું ચલ દાખલ કરો; vх=y. તદનુસાર, તમને 2y2+y-3=0 ફોર્મનું સમીકરણ પ્રાપ્ત થશે. એટલે કે, એક સામાન્ય ચતુર્ભુજ સમીકરણ. તેના મૂળ શોધો; y1=1 અને y2=-3/2. આગળ, બે ઉકેલો સમીકરણો vх=1; vх=-3/2. બીજા સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી; પ્રથમથી આપણે શોધીએ છીએ કે x=1. મૂળ તપાસવાનું ભૂલશો નહીં.

ઓળખ ઉકેલવી એકદમ સરળ છે. આ કરવા માટે તમારે કરવાની જરૂર છે ઓળખ પરિવર્તનજ્યાં સુધી લક્ષ્ય પ્રાપ્ત ન થાય. આમ, સરળ ની મદદ સાથે અંકગણિત કામગીરીહાથમાં રહેલું કાર્ય હલ થશે.

તમને જરૂર પડશે

• - કાગળ;
• - પેન.

સૂચનાઓ

આવા પરિવર્તનોમાં સૌથી સરળ બીજગણિત સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર છે (જેમ કે સરવાળોનો વર્ગ (તફાવત), વર્ગોનો તફાવત, સરવાળો (તફાવત), સરવાળો (તફાવત))નો સમઘન. વધુમાં, ત્યાં ઘણા છે અને ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો, જે અનિવાર્યપણે સમાન ઓળખ છે.

ખરેખર, બે પદોના સરવાળાનો વર્ગ ચોરસ સમાનપ્રથમ વત્તા પ્રથમના ઉત્પાદનને બીજા વડે બમણું કરો અને બીજાના વર્ગને વત્તા કરો, એટલે કે (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

બંનેને સરળ બનાવો

ઉકેલના સામાન્ય સિદ્ધાંતો

વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ

બીજા પ્રકારના અવિભાજ્ય ઉકેલો

એકીકરણ મર્યાદાઓનું અવેજી

પરિચય

ગણતરીઓને ઝડપી બનાવવા અને સરળ બનાવવા માટે લઘુગણકની શોધ કરવામાં આવી હતી. લઘુગણકનો વિચાર, એટલે કે સમાન આધારની શક્તિઓ તરીકે સંખ્યાઓને વ્યક્ત કરવાનો વિચાર, મિખાઇલ સ્ટીફેલનો છે. પરંતુ સ્ટીફેલના સમયમાં, ગણિત એટલું વિકસિત નહોતું અને લઘુગણકનો વિચાર વિકસિત થયો ન હતો. સ્કોટિશ વૈજ્ઞાનિક જ્હોન નેપિયર (1550-1617) અને સ્વિસ જોબસ્ટ બુર્ગી (1552-1632) દ્વારા 1614માં પ્રથમ વખત લોગરીધમ્સની શોધ કરવામાં આવી હતી. "લોગરિધમ્સના અદ્ભુત કોષ્ટકનું વર્ણન" શીર્ષક હેઠળ, લઘુગણકનો નેપિયરનો સિદ્ધાંત એકદમ સંપૂર્ણ વોલ્યુમમાં આપવામાં આવ્યો હતો, લઘુગણકની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ સૌથી સરળ તરીકે આપવામાં આવી હતી, તેથી લઘુગણકની શોધમાં નેપિયરની યોગ્યતા બર્ગી કરતા વધારે હતી. . બર્ગીએ નેપિયરની જેમ જ ટેબલ પર કામ કર્યું હતું, પરંતુ ઘણા સમય સુધીતેમને ગુપ્ત રાખ્યા અને ફક્ત 1620 માં પ્રકાશિત કર્યા. નેપિયરે 1594 ની આસપાસ લઘુગણકના વિચારમાં નિપુણતા મેળવી. જોકે કોષ્ટકો 20 વર્ષ પછી પ્રકાશિત થયા હતા. પહેલા તેણે તેના લઘુગણકને "કૃત્રિમ નંબરો" કહ્યા અને પછી જ આને "પ્રસ્તાવિત કર્યા. કૃત્રિમ સંખ્યાઓ"એક શબ્દ "લોગરિધમ" માં કૉલ કરવા માટે, જે ગ્રીકમાંથી અનુવાદમાં "સંબંધિત સંખ્યાઓ" છે, એક અંકગણિત પ્રગતિમાંથી લેવામાં આવે છે, અને બીજો તેના માટે ખાસ પસંદ કરેલ ભૌમિતિક પ્રગતિમાંથી લેવામાં આવે છે. રશિયનમાં પ્રથમ કોષ્ટકો 1703 માં પ્રકાશિત થયા હતા. 18મી સદીના અદ્ભુત શિક્ષકની ભાગીદારી સાથે. એલ.એફ. મેગ્નિટસ્કી. લઘુગણકના સિદ્ધાંતના વિકાસમાં મહાન મહત્વસેન્ટ પીટર્સબર્ગના શિક્ષણશાસ્ત્રી લિયોનહાર્ડ યુલરની કૃતિઓ હતી. લોગરીધમ્સને પાવર વધારવાના વિપરિત તરીકે ધ્યાનમાં લેનારા તે પ્રથમ હતા; તેમણે "લોગરીધમ બેઝ" અને "મન્ટિસા" બેઝ 10 સાથે લોગરીધમનું સંકલિત કોષ્ટકો રજૂ કર્યા હતા. દશાંશ કોષ્ટકો વ્યવહારિક ઉપયોગ માટે વધુ અનુકૂળ છે. નેપિયરના લઘુગણક કરતાં સરળ. એ કારણે દશાંશ લઘુગણકક્યારેક બ્રિગ્સ કહેવાય છે. બ્રિગ્સ દ્વારા "પાત્રીકરણ" શબ્દની રજૂઆત કરવામાં આવી હતી.

તે દૂરના સમયમાં, જ્યારે ઋષિઓએ અજાણ્યા જથ્થાઓ ધરાવતી સમાનતા વિશે વિચારવાનું શરૂ કર્યું, ત્યારે કદાચ કોઈ સિક્કા અથવા પાકીટ નહોતા. પરંતુ ત્યાં ઢગલા, તેમજ પોટ્સ અને બાસ્કેટ હતા, જે સ્ટોરેજ કેશની ભૂમિકા માટે યોગ્ય હતા જે અજ્ઞાત સંખ્યામાં વસ્તુઓને પકડી શકે છે. પ્રાચીનોમાં ગાણિતિક સમસ્યાઓમેસોપોટેમિયા, ભારત, ચીન, ગ્રીસ, અજાણ્યા જથ્થામાં બગીચામાં મોરની સંખ્યા, ટોળામાં બળદની સંખ્યા, મિલકતનું વિભાજન કરતી વખતે ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી વસ્તુઓની સંપૂર્ણતા દર્શાવવામાં આવી છે. લેખિકાઓ, અધિકારીઓ અને દીક્ષાર્થીઓ હિસાબ વિજ્ઞાનમાં સારી રીતે પ્રશિક્ષિત છે ગુપ્ત જ્ઞાનપાદરીઓ આવા કાર્યો સાથે ખૂબ સફળતાપૂર્વક સામનો કરે છે.

અમારા સુધી પહોંચેલા સ્ત્રોતો સૂચવે છે કે પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકો પાસે કેટલાક હતા સામાન્ય તકનીકોઅજ્ઞાત જથ્થા સાથે સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. જો કે, એક પણ પેપિરસ નહીં, એક પણ નહીં માટીની ગોળીઆ તકનીકોનું કોઈ વર્ણન આપવામાં આવ્યું નથી. લેખકોએ ક્યારેક-ક્યારેક તેમની સંખ્યાત્મક ગણતરીઓ અસ્પષ્ટ ટિપ્પણીઓ સાથે પૂરી પાડી હતી જેમ કે: "જુઓ!", "આ કરો!", "તમને યોગ્ય મળ્યું." આ અર્થમાં, અપવાદ એલેક્ઝાન્ડ્રિયા (III સદી) ના ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી ડાયોફન્ટસનું "અંકગણિત" છે - તેમના ઉકેલોની વ્યવસ્થિત રજૂઆત સાથે સમીકરણો કંપોઝ કરવા માટેની સમસ્યાઓનો સંગ્રહ.

જો કે, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પ્રથમ માર્ગદર્શિકા જે વ્યાપકપણે જાણીતી બની હતી તે 9મી સદીના બગદાદના વૈજ્ઞાનિકનું કાર્ય હતું. મુહમ્મદ બિન મુસા અલ-ખ્વારીઝમી. આ ગ્રંથના અરબી નામમાંથી "અલ-જબર" શબ્દ - "કિતાબ અલ-જાબેર વાલ-મુકાબલા" ("પુનઃસ્થાપન અને વિરોધનું પુસ્તક") - સમય જતાં જાણીતા શબ્દ "બીજગણિત" માં ફેરવાઈ ગયો, અને કાર્ય અલ-ખ્વારિઝ્મીએ પોતે સમીકરણો ઉકેલવાના વિજ્ઞાનના વિકાસમાં પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે સેવા આપી હતી.

લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓ

1. લઘુગણક સમીકરણો

લઘુગણક ચિહ્ન હેઠળ અથવા તેના આધાર પર અજાણ્યા સમીકરણને લઘુગણક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

સૌથી સરળ લઘુગણક સમીકરણ એ ફોર્મનું સમીકરણ છે

લોગ a x = b . (1)

વિધાન 1. જો a > 0, a≠ 1, સમીકરણ (1) કોઈપણ વાસ્તવિક માટે bતે છે માત્ર નિર્ણય x = a b .

ઉદાહરણ 1. સમીકરણો ઉકેલો:

એ) લોગ 2 x= 3, b) લોગ 3 x= -1, c)

ઉકેલ. વિધાન 1 નો ઉપયોગ કરીને, અમને મળે છે a) x= 2 3 અથવા x= 8; b) x= 3 -1 અથવા x= 1/3 ; c)

ચાલો લોગરીધમના મૂળભૂત ગુણધર્મો રજૂ કરીએ.

P1. મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ:

જ્યાં a > 0, a≠ 1 અને b > 0.

P2. હકારાત્મક પરિબળોના ઉત્પાદનનું લઘુગણક સરવાળો સમાનઆ પરિબળોના લઘુગણક:

લોગ a એન 1 · એન 2 = લોગ a એન 1 + લોગ a એન 2 (a > 0, a ≠ 1, એન 1 > 0, એન 2 > 0).

ટિપ્પણી. જો એન 1 · એન 2 > 0, પછી પ્રોપર્ટી P2 ફોર્મ લે છે

લોગ a એન 1 · એન 2 = લોગ a |એન 1 | + લોગ a |એન 2 | (a > 0, a ≠ 1, એન 1 · એન 2 > 0).

P3. બેના ભાગનો લઘુગણક હકારાત્મક સંખ્યાઓ તફાવત સમાનડિવિડન્ડ અને વિભાજકના લઘુગણક

ટિપ્પણી. જો

P4. ધન સંખ્યાની શક્તિનો લઘુગણક ઉત્પાદન સમાનઆ સંખ્યાના લઘુગણક દીઠ ઘાતાંક:

લોગ a એન k = kલોગ a એન (a > 0, a ≠ 1, એન > 0).

ટિપ્પણી. જો k - બેકી સંખ્યા (k = 2s), તે

લોગ a એન 2s = 2sલોગ a |એન | (a > 0, a ≠ 1, એન ≠ 0).

P5. બીજા આધાર પર જવા માટેનું સૂત્ર:

ખાસ કરીને જો એન = b, અમને મળે છે

ગુણધર્મો P4 અને P5 નો ઉપયોગ કરીને, નીચેના ગુણધર્મો મેળવવાનું સરળ છે

અને, જો (5) માં c- બેકી સંખ્યા ( c = 2n), થાય છે

ચાલો લોગરીધમિક ફંક્શનના મુખ્ય ગુણધર્મોની યાદી કરીએ f (x) = લોગ a x :

1. લઘુગણક કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન એ હકારાત્મક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

2. લઘુગણક કાર્યના મૂલ્યોની શ્રેણી એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

3. ક્યારે a > 1 લઘુગણક કાર્યસખત વધારો (0< x 1 < x 2લોગ a x 1 < loga x 2), અને 0 પર< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2લોગ a x 1 > લોગ a x 2).

4.લોગ a 1 = 0 અને લોગ a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. જો a> 1, પછી લઘુગણક કાર્ય નકારાત્મક હોય ત્યારે x(0;1) અને હકારાત્મક ખાતે x(1;+∞), અને જો 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) અને નકારાત્મક ખાતે x (1;+∞).

6. જો a> 1, પછી લઘુગણક કાર્ય બહિર્મુખ ઉપરની તરફ છે, અને જો a(0;1) - બહિર્મુખ નીચેની તરફ.

લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે નીચેના વિધાન (ઉદાહરણ તરીકે જુઓ) વપરાય છે.

બીજગણિત 11 મા ધોરણ

વિષય: "લોગરીધમિક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ"

પાઠ હેતુઓ:

શૈક્ષણિક: વિશે જ્ઞાનની રચના અલગ અલગ રીતેલઘુગણક સમીકરણો ઉકેલવા, તેમને દરેકમાં લાગુ કરવાની કુશળતા ચોક્કસ પરિસ્થિતિઅને ઉકેલવા માટે કોઈપણ પદ્ધતિ પસંદ કરો;

વિકાસલક્ષી: જ્ઞાનને અવલોકન કરવા, તુલના કરવા, લાગુ કરવાની કુશળતાનો વિકાસ નવી પરિસ્થિતિ, પેટર્ન ઓળખો, સામાન્યીકરણ કરો; પરસ્પર નિયંત્રણ અને સ્વ-નિયંત્રણની કુશળતા વિકસાવવી;

શૈક્ષણિક: પ્રત્યે જવાબદાર વલણને પ્રોત્સાહન આપવું શૈક્ષણિક કાર્ય, પાઠમાંની સામગ્રીની સચેત ધારણા, સાવચેતીપૂર્વક નોંધ લેવી.

પાઠનો પ્રકાર: નવી સામગ્રી રજૂ કરવા પર પાઠ.

"લોગરિધમ્સની શોધ, ખગોળશાસ્ત્રીના કાર્યને ઘટાડીને, તેનું જીવન વધાર્યું."
ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઅને ખગોળશાસ્ત્રી પી.એસ. લેપ્લેસ

વર્ગો દરમિયાન

I. પાઠનું લક્ષ્ય નક્કી કરવું

લઘુગણકની અભ્યાસ કરેલ વ્યાખ્યા, લઘુગણકના ગુણધર્મો અને લઘુગણક કાર્ય આપણને લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલવા દેશે. બધા લઘુગણક સમીકરણો, ભલે તે ગમે તેટલા જટિલ હોય, સમાન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. આપણે આજના પાઠમાં આ અલ્ગોરિધમ્સ જોઈશું. તેમાંના ઘણા નથી. જો તમે તેમાં નિપુણતા મેળવશો, તો પછી લઘુગણક સાથેનું કોઈપણ સમીકરણ તમારામાંના દરેક માટે શક્ય બનશે.

તમારી નોટબુકમાં પાઠનો વિષય લખો: "લોગરીધમિક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ." હું દરેકને સહકાર આપવા આમંત્રણ આપું છું.

II. અપડેટ કરો પૃષ્ઠભૂમિ જ્ઞાન

ચાલો પાઠના વિષયનો અભ્યાસ કરવાની તૈયારી કરીએ. તમે દરેક કાર્યને હલ કરો અને જવાબ લખો, તમારે શરત લખવાની જરૂર નથી. જોડીમાં કામ.

1) x ના કયા મૂલ્યો માટે ફંક્શનનો અર્થ થાય છે:

(દરેક સ્લાઇડ માટે જવાબો તપાસવામાં આવે છે અને ભૂલોને ઉકેલવામાં આવે છે)

2) શું કાર્યોના આલેખ એકરૂપ થાય છે?

3) સમાનતાને લઘુગણક સમાનતા તરીકે ફરીથી લખો:

4) આધાર 2 સાથે સંખ્યાઓને લઘુગણક તરીકે લખો:

5) ગણતરી કરો:

6) આ સમાનતાઓમાં ગુમ થયેલ તત્વોને પુનઃસ્થાપિત કરવાનો અથવા પૂરક બનાવવાનો પ્રયાસ કરો.

III. નવી સામગ્રીનો પરિચય

નીચેનું નિવેદન સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત થાય છે:

"સમીકરણ એ સોનેરી ચાવી છે જે તમામ ગાણિતિક તલ ખોલે છે."
આધુનિક પોલિશ ગણિતશાસ્ત્રી એસ. કોવાલ

લઘુગણક સમીકરણની વ્યાખ્યા ઘડવાનો પ્રયાસ કરો. (લોગરીધમ ચિહ્ન હેઠળ અજ્ઞાત ધરાવતું સમીકરણ).

ચાલો વિચાર કરીએ સૌથી સરળ લઘુગણક સમીકરણ:લોગએx = b(જ્યાં a>0, a ≠ 1). સકારાત્મક સંખ્યાઓના સમૂહ પર લઘુગણક કાર્ય વધે છે (અથવા ઘટે છે) અને તમામ લે છે વાસ્તવિક મૂલ્યો, પછી રુટ પ્રમેય દ્વારા તે અનુસરે છે કે કોઈપણ b માટે આ સમીકરણ છે, અને વધુમાં, માત્ર એક, ઉકેલ, અને એક હકારાત્મક છે.

લઘુગણકની વ્યાખ્યા યાદ રાખો. (એક સંખ્યા x નું લઘુગણક એ આધાર a એ શક્તિનું સૂચક છે કે જેમાં x સંખ્યા મેળવવા માટે આધાર a ને ઉભો કરવો આવશ્યક છે). લઘુગણકની વ્યાખ્યામાંથી તે તરત જ તેને અનુસરે છે એવીઆવો ઉકેલ છે.

શીર્ષક લખો: લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

1. લઘુગણકની વ્યાખ્યા દ્વારા.

આ રીતે ફોર્મના સરળ સમીકરણો ઉકેલાય છે.

ચાલો વિચાર કરીએ નંબર 514(a)): સમીકરણ ઉકેલો

તમે તેને કેવી રીતે હલ કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂકશો? (લોગરીધમની વ્યાખ્યા દ્વારા)

ઉકેલ. , તેથી 2x - 4 = 4; x = 4.

આ કાર્યમાં, 2x - 4 > 0, ત્યારથી > 0, તેથી કોઈ બાહ્ય મૂળ દેખાઈ શકે નહીં, અને તપાસવાની કોઈ જરૂર નથી. આ કાર્યમાં શરત 2x - 4 > 0 લખવાની જરૂર નથી.

2. પોટેંટાઈઝેશન(આ અભિવ્યક્તિમાં આપેલ અભિવ્યક્તિના લઘુગણકમાંથી સંક્રમણ).

ચાલો વિચાર કરીએ નંબર 519(જી): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

તમે કઈ વિશેષતાની નોંધ લીધી? (પાયા સમાન છે અને બે સમીકરણોના લઘુગણક સમાન છે.) શું કરી શકાય? (સંભવિત કરો).

તે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે કોઈપણ ઉકેલ બધા x વચ્ચે સમાયેલ છે જેના માટે લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓ હકારાત્મક છે.

ઉકેલ: ODZ:

X2+8>0 એ બિનજરૂરી અસમાનતા છે

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

ચાલો મૂળ સમીકરણને પોટેન્શિએટ કરીએ

આપણને સમીકરણ x2+8= 8x+8 મળે છે

ચાલો તેને હલ કરીએ: x2-8x=0

જવાબ: 0; 8

IN સામાન્ય દૃશ્ય સમકક્ષ સિસ્ટમમાં સંક્રમણ:

સમીકરણ

(સિસ્ટમમાં બિનજરૂરી સ્થિતિ છે - એક અસમાનતા ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી).

વર્ગ માટે પ્રશ્ન: આ ત્રણમાંથી કયો ઉકેલ તમને સૌથી વધુ ગમ્યો? (પદ્ધતિઓની ચર્ચા).

તમને કોઈપણ રીતે નિર્ણય લેવાનો અધિકાર છે.

3. નવા ચલનો પરિચય.

ચાલો વિચાર કરીએ નંબર 520(જી). .

તમે શું નોંધ્યું? (લોગ3xના સંદર્ભમાં આ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે) કોઈ સૂચનો? (નવું ચલ રજૂ કરો)

ઉકેલ. ODZ: x > 0.

ચાલો , પછી સમીકરણ ફોર્મ લે છે:. ભેદભાવ D > 0. વિયેટાના પ્રમેય અનુસાર મૂળ:.

ચાલો બદલી પર પાછા જઈએ: અથવા.

સૌથી સરળ લઘુગણક સમીકરણો હલ કર્યા પછી, અમને મળે છે:

જવાબ: 27;

4. સમીકરણની બંને બાજુ લઘુગણક.

સમીકરણ ઉકેલો:.

ઉકેલ: ODZ: x>0, આધાર 10 માં સમીકરણની બંને બાજુઓનો લઘુગણક લો:

ચાલો પાવરના લઘુગણકની મિલકત લાગુ કરીએ:

(logx + 3) logx = 4

ચાલો logx = y, પછી (y + 3)y = 4

, (D > 0) વિયેટાના પ્રમેય મુજબ મૂળ: y1 = -4 અને y2 = 1.

ચાલો રિપ્લેસમેન્ટ પર પાછા આવીએ, આપણને મળે છે: lgx = -4,; lgx = 1, .

જવાબ: 0.0001; 10.

5. એક આધાર પર ઘટાડો.

નંબર 523(c). સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ: ODZ: x>0. ચાલો આધાર 3 પર આગળ વધીએ.

6. કાર્યાત્મક-ગ્રાફિક પદ્ધતિ.

№ 509(ડી).સમીકરણને ગ્રાફિકલી ઉકેલો: = 3 - x.

તમે કેવી રીતે હલ કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂકશો? (બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બે કાર્યો y = log2x અને y = 3 - xનો ગ્રાફ બનાવો અને આલેખના આંતરછેદના બિંદુઓના એબ્સીસા માટે જુઓ).

સ્લાઇડ પર તમારું સોલ્યુશન જુઓ.

આલેખ બનાવવાનું ટાળવાની એક રીત છે . તે નીચે મુજબ છે : જો કાર્યોમાંથી એક y = f(x) વધે છે, અને અન્ય y = g(x) અંતરાલ X પર ઘટે છે, પછી સમીકરણ f(x) = g(x) અંતરાલ X પર વધુમાં વધુ એક રૂટ હોય છે.

જો કોઈ મૂળ હોય, તો તે અનુમાન કરી શકાય છે.

અમારા કિસ્સામાં, x>0 માટે કાર્ય વધે છે, અને x>0 સહિત x ના તમામ મૂલ્યો માટે કાર્ય y = 3 - x ઘટે છે, જેનો અર્થ છે કે સમીકરણમાં એક કરતાં વધુ મૂળ નથી. નોંધ કરો કે x = 2 પર સમીકરણ સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે, ત્યારથી.

« યોગ્ય ઉપયોગપદ્ધતિઓ શીખી શકાય છે
માત્ર તેમને અરજી કરીને વિવિધ ઉદાહરણો».
ગણિતના ડેનિશ ઇતિહાસકાર જી.જી. ઝેઇટેન

આઈવી. ગૃહ કાર્ય

પૃષ્ઠ 39 ઉદાહરણ 3 ધ્યાનમાં લો, નંબર 514(b), નંબર 529(b), નંબર 520(b), નંબર 523(b) ઉકેલો

V. પાઠનો સારાંશ

લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલવાની કઈ પદ્ધતિઓ આપણે વર્ગમાં જોઈ છે?

આગળના પાઠોમાં આપણે વધુ જોઈશું જટિલ સમીકરણો. તેમને હલ કરવા માટે, અભ્યાસ કરેલ પદ્ધતિઓ ઉપયોગી થશે.

બતાવેલ છેલ્લી સ્લાઇડ:

"દુનિયામાં કંઈપણ કરતાં વધુ શું છે?
અવકાશ.
સૌથી સમજદાર વસ્તુ શું છે?
સમય.
શ્રેષ્ઠ ભાગ શું છે?
તમે જે ઇચ્છો તે પ્રાપ્ત કરો."
થેલ્સ

હું ઈચ્છું છું કે દરેક વ્યક્તિ જે ઈચ્છે છે તે પ્રાપ્ત કરે. તમારા સહકાર અને સમજણ બદલ આભાર.

લઘુગણક સમીકરણો. અમે ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના ભાગ Bની સમસ્યાઓ પર વિચાર કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. અમે લેખ "", "" માં કેટલાક સમીકરણોના ઉકેલોની તપાસ કરી છે. આ લેખમાં આપણે લઘુગણક સમીકરણો જોઈશું. હું તરત જ કહીશ કે યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં આવા સમીકરણો ઉકેલતી વખતે કોઈ જટિલ પરિવર્તન થશે નહીં. તેઓ સરળ છે.

લઘુગણકના ગુણધર્મો જાણવા માટે, મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખને જાણવા અને સમજવા માટે તે પૂરતું છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે તેને ઉકેલ્યા પછી, તમારે એક તપાસ કરવી જોઈએ - પરિણામી મૂલ્યને મૂળ સમીકરણમાં બદલો અને ગણતરી કરો, અંતે તમને સાચી સમાનતા મળવી જોઈએ.

વ્યાખ્યા:

આધાર b થી સંખ્યાનો લઘુગણક ઘાત છે.જેના પર a મેળવવા માટે b ઉભા થવું આવશ્યક છે.

દાખ્લા તરીકે:

લોગ 3 9 = 2, 3 2 = 9 થી

લઘુગણકના ગુણધર્મો:

લઘુગણકના વિશેષ કિસ્સાઓ:

ચાલો સમસ્યાઓ હલ કરીએ. પ્રથમ ઉદાહરણમાં આપણે તપાસ કરીશું. પછીની તપાસ જાતે કરો.

સમીકરણનું મૂળ શોધો: લોગ 3 (4–x) = 4

ત્યારથી લોગ b a = x b x = a, પછી

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

પરીક્ષા:

લોગ 3 (4–(–77)) = 4

લોગ 3 81 = 4

3 4 = 81 સાચો.

જવાબ: – 77

તમારા માટે નક્કી કરો:

સમીકરણનું મૂળ શોધો: લોગ 2 (4 – x) = 7

લોગ 5 ના સમીકરણનું મૂળ શોધો(4 + x) = 2

અમે મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

ત્યારથી લોગ a b = x b x = a, પછી

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

પરીક્ષા:

લોગ 5 (4 + 21) = 2

લોગ 5 25 = 2

5 2 = 25 સાચો.

જવાબ: 21

લોગ 3 (14 – x) = લોગ 3 5 સમીકરણનું મૂળ શોધો.

થાય છે આગામી મિલકત, તેનો અર્થ નીચે મુજબ છે: જો સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુએ આપણી પાસે લઘુગણક હોય સમાન આધાર, તો પછી આપણે લઘુગણકના ચિહ્નો હેઠળના સમીકરણોને સમાન બનાવી શકીએ.

14 – x = 5

x=9

ચેક કરો.

જવાબ: 9

તમારા માટે નક્કી કરો:

લોગ 5 (5 – x) = લોગ 5 3 સમીકરણનું મૂળ શોધો.

સમીકરણનું મૂળ શોધો: લોગ 4 (x + 3) = લોગ 4 (4x – 15).

જો log c a = log c b, તો a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

ચેક કરો.

જવાબ: 6

સમીકરણ લોગ 1/8 (13 – x) = – 2 નું મૂળ શોધો.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

ચેક કરો.

એક નાનો ઉમેરો - મિલકતનો ઉપયોગ અહીં થાય છે

ડિગ્રી ().

જવાબ: – 51

તમારા માટે નક્કી કરો:

સમીકરણનું મૂળ શોધો: લોગ 1/7 (7 – x) = – 2

લોગ 2 (4 – x) = 2 લોગ 2 5 સમીકરણનું મૂળ શોધો.

ચાલો જમણી બાજુ બદલીએ. ચાલો મિલકતનો ઉપયોગ કરીએ:

log a b m = m∙ log a b

લોગ 2 (4 – x) = લોગ 2 5 2

જો log c a = log c b, તો a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

ચેક કરો.

જવાબ:- 21

તમારા માટે નક્કી કરો:

સમીકરણનું મૂળ શોધો: લોગ 5 (5 – x) = 2 લોગ 5 3

લોગ 5 (x 2 + 4x) = લોગ 5 (x 2 + 11) સમીકરણ ઉકેલો

જો log c a = log c b, તો a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2.75

ચેક કરો.

જવાબ: 2.75

તમારા માટે નક્કી કરો:

લોગ 5 (x 2 + x) = લોગ 5 (x 2 + 10) સમીકરણનું મૂળ શોધો.

લોગ 2 (2 – x) = લોગ 2 (2 – 3x) +1 સમીકરણ ઉકેલો.

સાથે જરૂરી છે જમણી બાજુસમીકરણો ફોર્મની અભિવ્યક્તિ મેળવે છે:

લોગ 2 (......)

અમે 1 ને બેઝ 2 લઘુગણક તરીકે રજૂ કરીએ છીએ:

1 = લોગ 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

લોગ 2 (2 – x) = લોગ 2 (2 – 3x) + લોગ 2 2

અમને મળે છે:

લોગ 2 (2 – x) = લોગ 2 2 (2 – 3x)

જો log c a = log c b, તો a = b, પછી

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0.4

ચેક કરો.

જવાબ: 0.4

તમારા માટે નક્કી કરો: આગળ તમારે ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરવાની જરૂર છે. માર્ગ દ્વારા,

મૂળ 6 અને – 4 છે.

મૂળ "-4" એ ઉકેલ નથી કારણ કે લઘુગણકનો આધાર હોવો આવશ્યક છે શૂન્યથી ઉપર, અને ક્યારે "– 4"તે બરાબર છે" – 5" ઉકેલ રુટ 6 છે.ચેક કરો.

જવાબ: 6.

આર તમારા પોતાના પર ખાઓ:

સમીકરણ લોગ x –5 49 = 2 ઉકેલો. જો સમીકરણમાં એક કરતાં વધુ મૂળ હોય, તો નાના સાથે જવાબ આપો.

તમે જોયું તેમ, લઘુગણક સમીકરણો સાથે કોઈ જટિલ પરિવર્તનો નથીના. લોગરીધમના ગુણધર્મો જાણવા અને તેને લાગુ કરવામાં સક્ષમ થવા માટે તે પૂરતું છે. IN એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા કાર્યોપરિવર્તન સાથે સંબંધિત લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓ, વધુ ગંભીર રૂપાંતરણો કરવામાં આવે છે અને ઊંડા ઉકેલની કુશળતા જરૂરી છે. અમે આવા ઉદાહરણો જોઈશું, તેમને ચૂકશો નહીં!હું તમને સફળતાની ઇચ્છા કરું છું !!!

આપની, એલેક્ઝાન્ડર ક્રુતિત્સ્કીખ.

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.