સંકલન પદ્ધતિ, અલબત્ત, ખૂબ સારી છે, પરંતુ વાસ્તવિક C2 સમસ્યાઓમાં કોઈ કોઓર્ડિનેટ્સ અથવા વેક્ટર નથી. તેથી તેમનો પરિચય કરાવવો પડશે. હા, હા, તેને આ રીતે લો અને દાખલ કરો: પ્રારંભિક બિંદુ સૂચવો, એકમ સેગમેન્ટઅને x, y અને z અક્ષોની દિશા.
સૌથી વધુ અદ્ભુત મિલકતઆ પદ્ધતિ એ છે કે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બરાબર કેવી રીતે દાખલ કરવામાં આવી છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી. જો બધી ગણતરીઓ સાચી હોય, તો જવાબ સાચો હશે.
ક્યુબ કોઓર્ડિનેટ્સ
જો સમસ્યા C2 માં સમઘન હોય, તો તમારી જાતને નસીબદાર માનો. આ સૌથી સરળ પોલિહેડ્રોન છે, બસ ડાયહેડ્રલ એંગલજે 90° ની બરાબર છે.
કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ દાખલ કરવા માટે પણ ખૂબ જ સરળ છે:
- કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ બિંદુ A પર છે;
- મોટેભાગે, ક્યુબની ધાર સૂચવવામાં આવતી નથી, તેથી અમે તેને એકમ સેગમેન્ટ તરીકે લઈએ છીએ;
- x અક્ષ ધાર AB, y - ધાર AD સાથે, અને z અક્ષ - ધાર AA 1 સાથે નિર્દેશિત છે.
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: z-અક્ષ ઉપર તરફ નિર્દેશ કરે છે! દ્વિ-પરિમાણીય સંકલન પ્રણાલી પછી, આ કંઈક અંશે અસામાન્ય છે, પરંતુ હકીકતમાં તે ખૂબ જ તાર્કિક છે.
તેથી હવે ક્યુબના દરેક શિરોબિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે. ચાલો તેમને કોષ્ટકમાં એકત્રિત કરીએ - ક્યુબના નીચેના પ્લેન માટે અલગથી:
તે નોંધવું સરળ છે કે ઉપલા પ્લેનના બિંદુઓ ફક્ત z કોઓર્ડિનેટમાં નીચલા પ્લેનના અનુરૂપ બિંદુઓથી અલગ છે. ઉદાહરણ તરીકે, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). મુખ્ય વસ્તુ મૂંઝવણમાં ન આવવાની છે!
પ્રિઝમ પહેલેથી જ વધુ મનોરંજક છે. યોગ્ય અભિગમ સાથે, ફક્ત નીચલા પાયાના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણવા માટે તે પૂરતું છે - ઉપલાની આપમેળે ગણતરી કરવામાં આવશે.
સમસ્યાઓ C2 માં, ફક્ત નિયમિત ટ્રાઇહેડ્રલ પ્રિઝમ્સ (આધારિત સીધા પ્રિઝમ નિયમિત ત્રિકોણ). તેમના માટે, સંકલન સિસ્ટમ લગભગ સમઘન માટે સમાન રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે. માર્ગ દ્વારા, જો કોઈ જાણતું નથી, તો સમઘન એ પ્રિઝમ પણ છે, ફક્ત ટેટ્રાહેડ્રલ.
તો, ચાલો જઈએ! અમે સંકલન સિસ્ટમ રજૂ કરીએ છીએ:
- કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ બિંદુ A પર છે;
- અમે પ્રિઝમની બાજુને એક સેગમેન્ટ તરીકે લઈએ છીએ, સિવાય કે સમસ્યાના નિવેદનમાં અન્યથા સૂચવવામાં આવ્યું હોય;
- અમે x અક્ષને ધાર AB, z - ધાર AA 1 સાથે દિશામાન કરીએ છીએ અને y અક્ષને સ્થાન આપીએ છીએ જેથી OXY પ્લેન બેઝ પ્લેન ABC સાથે એકરુપ થાય.
અહીં કેટલીક સ્પષ્ટતા જરૂરી છે. હકીકત એ છે કે y અક્ષ એજ AC સાથે સુસંગત નથી, જેમ કે ઘણા લોકો માને છે. શા માટે તે મેળ ખાતું નથી? તમારા માટે વિચારો: ત્રિકોણ ABC સમભુજ છે, તેમાંના બધા ખૂણા 60° છે. અને સંકલન અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો 90° હોવો જોઈએ, તેથી ઉપરનું ચિત્ર આના જેવું દેખાશે:
હું આશા રાખું છું કે હવે તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે કે શા માટે y અક્ષ AC સાથે નહીં જાય. ચાલો આ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ CH દોરીએ. ત્રિકોણ ACH એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે, અને AC = 1, તેથી AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 sin A = sin 60°. બિંદુ C ના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવા માટે આ હકીકતો જરૂરી છે.
ચાલો હવે બનેલ સંકલન પ્રણાલી સાથે સમગ્ર પ્રિઝમ પર એક નજર કરીએ:
અમને પોઈન્ટના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે:
જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, પ્રિઝમના ઉપલા પાયાના બિંદુઓ ફક્ત z કોઓર્ડિનેટ દ્વારા નીચલા એકના અનુરૂપ બિંદુઓથી અલગ પડે છે. મુખ્ય સમસ્યા પોઈન્ટ C અને C 1 છે. તેમની પાસે અતાર્કિક કોઓર્ડિનેટ્સ છે જે તમારે ફક્ત યાદ રાખવાની જરૂર છે. સારું, અથવા સમજો કે તેઓ ક્યાંથી આવે છે.
હેક્સાગોનલ પ્રિઝમ કોઓર્ડિનેટ્સ
ષટ્કોણ પ્રિઝમ એ "ક્લોન કરેલ" ત્રિકોણાકાર છે. જો તમે નીચલા આધારને જોશો તો તમે સમજી શકો છો કે આ કેવી રીતે થાય છે - ચાલો તેને ABCDEF કહીએ. ચાલો હાથ ધરીએ વધારાના બાંધકામો: સેગમેન્ટ્સ AD, BE અને CF. પરિણામ છ ત્રિકોણ છે, જેમાંથી દરેક (ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણ ABO) ત્રિકોણ પ્રિઝમનો આધાર છે.
હવે ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પોતે જ રજૂ કરીએ. કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ - બિંદુ O - ષટ્કોણ ABCDEF ની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવશે. x અક્ષ FC સાથે જશે, અને y અક્ષ AB અને DE સેગમેન્ટના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થશે. અમને આ ચિત્ર મળે છે:
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: મૂળ પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુ સાથે સુસંગત નથી! વાસ્તવમાં, વાસ્તવિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમે જોશો કે આ ખૂબ અનુકૂળ છે કારણ કે તે ગણતરીઓની માત્રાને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકે છે.
જે બાકી છે તે z અક્ષ ઉમેરવાનું છે. પરંપરા અનુસાર, અમે તેને OXY પ્લેન પર કાટખૂણે દોરીએ છીએ અને તેને ઊભી રીતે ઉપર તરફ દિશામાન કરીએ છીએ. અમને અંતિમ ચિત્ર મળે છે:
ચાલો હવે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ લખીએ. ચાલો ધારીએ કે આપણા નિયમિત ષટ્કોણ પ્રિઝમની બધી કિનારીઓ 1 ની બરાબર છે. તેથી, નીચલા આધારના કોઓર્ડિનેટ્સ છે:
ઉપલા આધારના કોઓર્ડિનેટ્સ z અક્ષ સાથે એક દ્વારા ખસેડવામાં આવે છે:
પિરામિડ સામાન્ય રીતે ખૂબ જ કઠોર હોય છે. અમે ફક્ત સૌથી સરળ કેસનું વિશ્લેષણ કરીશું - એક નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડ, જેની બધી ધાર એક સમાન છે. જો કે, વાસ્તવિક C2 સમસ્યાઓમાં, ધારની લંબાઈ અલગ હોઈ શકે છે, તેથી નીચે છે સામાન્ય યોજનાસંકલન ગણતરીઓ.
તેથી, સાચું ચતુષ્કોણીય પિરામિડ. આ Cheops જેવું જ છે, માત્ર થોડું નાનું. ચાલો તેને SABCD દર્શાવીએ, જ્યાં S એ શિરોબિંદુ છે. ચાલો એક સંકલન પ્રણાલી રજૂ કરીએ: મૂળ બિંદુ A પર છે, એકમ સેગમેન્ટ AB = 1 છે, x અક્ષ AB સાથે નિર્દેશિત છે, y અક્ષ AD સાથે નિર્દેશિત છે, અને z અક્ષ ઉપરની તરફ નિર્દેશિત છે, OXY પ્લેન પર લંબ છે . વધુ ગણતરીઓ માટે, અમને ઊંચાઈ SH ની જરૂર છે - તેથી અમે તેને બનાવીશું. અમને નીચેનું ચિત્ર મળે છે:
હવે ચાલો બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ. પ્રથમ, ચાલો OXY પ્લેન જોઈએ. અહીં બધું સરળ છે: આધાર એક ચોરસ છે, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીતા છે. બિંદુ S સાથે સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે. SH એ OXY સમતલની ઊંચાઈ હોવાથી, બિંદુ S અને H માત્ર z સંકલનમાં જ અલગ પડે છે. વાસ્તવમાં, સેગમેન્ટ SH ની લંબાઈ એ બિંદુ S માટે z સંકલન છે, કારણ કે H = (0.5; 0.5; 0).
તેની નોંધ લો ત્રિકોણ ABCઅને ASC ત્રણ બાજુઓ પર સમાન છે (AS = CS = AB = CB = 1, અને બાજુ AC સામાન્ય છે). તેથી SH = BH. પરંતુ BH એ ચોરસ ABCD ના અડધો કર્ણ છે, એટલે કે. BH = AB પાપ 45°. અમને તમામ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે:
તે બધા પિરામિડના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે છે. પરંતુ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિલકુલ નહીં. અમે ફક્ત સૌથી સામાન્ય પોલિહેડ્રા જોયા, પરંતુ આ ઉદાહરણો કોઈપણ અન્ય આકૃતિઓના કોઓર્ડિનેટ્સની સ્વતંત્ર રીતે ગણતરી કરવા માટે પૂરતા છે. તેથી, આપણે હકીકતમાં, ઉકેલની પદ્ધતિઓ તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ ચોક્કસ કાર્યો C2.
સાથે એકબીજાને લંબરૂપ બે અથવા ત્રણ છેદતી અક્ષોની ક્રમબદ્ધ સિસ્ટમ સામાન્ય શરૂઆતસંદર્ભ (મૂળ) અને લંબાઈના સામાન્ય એકમને કહેવામાં આવે છે લંબચોરસ કાર્ટેશિયન સિસ્ટમસંકલન .
સામાન્ય કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (affine કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ)માં કાટખૂણે અક્ષો શામેલ હોઈ શકે નહીં. સન્માનમાં ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીરેને ડેસકાર્ટેસ (1596-1662) એ આવી સંકલન પ્રણાલીનું નામ આપ્યું છે જેમાં લંબાઈનું એક સામાન્ય એકમ તમામ અક્ષો પર માપવામાં આવે છે અને અક્ષો સીધી હોય છે.
પ્લેન પર લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બે અક્ષો ધરાવે છે અને અવકાશમાં લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ - ત્રણ અક્ષો. પ્લેન પર અથવા અવકાશમાં દરેક બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સના ક્રમબદ્ધ સમૂહ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે - સંકલન સિસ્ટમની લંબાઈના એકમને અનુરૂપ સંખ્યાઓ.
નોંધ કરો કે, વ્યાખ્યામાંથી નીચે મુજબ, એક સીધી રેખા પર, એટલે કે, એક પરિમાણમાં કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ છે. લીટી પર કાર્ટેઝિયન કોઓર્ડિનેટ્સનો પરિચય એ એક એવી રીત છે કે જેના દ્વારા લીટી પરનો કોઈપણ બિંદુ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ છે, એટલે કે, સંકલન.
રેને ડેસકાર્ટેસના કાર્યોમાં ઉદ્ભવેલી સંકલન પદ્ધતિએ તમામ ગણિતની ક્રાંતિકારી પુનઃરચના તરીકે ચિહ્નિત કર્યું. અર્થઘટન કરવું શક્ય બન્યું બીજગણિતીય સમીકરણો(અથવા અસમાનતા) ભૌમિતિક છબીઓ (ગ્રાફ) ના રૂપમાં અને તેનાથી વિપરીત, ઉકેલ માટે જુઓ ભૌમિતિક સમસ્યાઓવિશ્લેષણાત્મક સૂત્રો અને સમીકરણોની સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને. હા, અસમાનતા z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной સંકલન વિમાન xOyઅને 3 એકમો દ્વારા આ પ્લેન ઉપર સ્થિત છે.
કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને, આપેલ વળાંક પરના બિંદુનું સભ્યપદ એ હકીકતને અનુરૂપ છે કે સંખ્યાઓ xઅને yકેટલાક સમીકરણને સંતોષો. આમ, આપેલ બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળ પરના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ ( a; b) સમીકરણને સંતોષો (x - a)² + ( y - b)² = આર² .
પ્લેન પર લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ
સમાન મૂળ અને સમાન સ્કેલ એકમ સ્વરૂપ સાથેના પ્લેન પર બે લંબરૂપ અક્ષો પ્લેન પર કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ . આમાંની એક ધરીને અક્ષ કહેવામાં આવે છે બળદ, અથવા x-અક્ષ , અન્ય - ધરી ઓય, અથવા y-અક્ષ . આ અક્ષોને પણ કહેવામાં આવે છે સંકલન અક્ષો. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ એમxઅને એમyઅનુક્રમે, એક મનસ્વી બિંદુનું પ્રક્ષેપણ એમધરી પર બળદઅને ઓય. અંદાજો કેવી રીતે મેળવવું? ચાલો બિંદુ મારફતે જાઓ એમ બળદ. આ સીધી રેખા ધરીને છેદે છે બળદબિંદુ પર એમx. ચાલો બિંદુ મારફતે જાઓ એમઅક્ષને લંબરૂપ સીધી રેખા ઓય. આ સીધી રેખા ધરીને છેદે છે ઓયબિંદુ પર એમy. આ નીચે ચિત્રમાં બતાવવામાં આવ્યું છે.
xઅને yપોઈન્ટ એમઅમે તે મુજબ નિર્દેશિત સેગમેન્ટના મૂલ્યોને કૉલ કરીશું ઓમxઅને ઓમy. આ નિર્દેશિત સેગમેન્ટ્સના મૂલ્યોની ગણતરી તે મુજબ કરવામાં આવે છે x = x0 - 0 અને y = y0 - 0 . કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ xઅને yપોઈન્ટ એમ એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ . હકીકત એ છે કે બિંદુ એમકોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે xઅને y, નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે: એમ(x, y) .
સંકલન અક્ષો પ્લેનને ચાર ભાગમાં વહેંચે છે ચતુર્થાંશ , જેની સંખ્યા નીચેની આકૃતિમાં બતાવવામાં આવી છે. તે ચોક્કસ ચતુર્થાંશમાં તેમના સ્થાનના આધારે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ માટે સંકેતોની ગોઠવણ પણ દર્શાવે છે.
પ્લેન પર કાર્ટેઝિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ ઉપરાંત, ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીને પણ ઘણીવાર ગણવામાં આવે છે. એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાંથી બીજામાં સંક્રમણની પદ્ધતિ વિશે - પાઠમાં ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી .
અવકાશમાં લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ
અવકાશમાં કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ પ્લેનમાં કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે સંપૂર્ણ સામ્યતામાં રજૂ કરવામાં આવે છે.
અવકાશમાં ત્રણ પરસ્પર લંબ અક્ષો (સંકલન અક્ષો) એક સામાન્ય મૂળ સાથે ઓઅને તે જ સ્કેલ એકમ સાથે તેઓ રચે છે અવકાશમાં કાર્ટેશિયન લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ .
આમાંથી એક ધરીને અક્ષ કહેવામાં આવે છે બળદ, અથવા x-અક્ષ , અન્ય - ધરી ઓય, અથવા y-અક્ષ , ત્રીજો - અક્ષ ઓઝ, અથવા ધરી લાગુ . દો એમx, એમy એમz- મનસ્વી બિંદુના અંદાજો એમધરી પર જગ્યા બળદ , ઓયઅને ઓઝઅનુક્રમે
ચાલો બિંદુ મારફતે જાઓ એમ બળદબળદબિંદુ પર એમx. ચાલો બિંદુ મારફતે જાઓ એમધરી પર લંબરૂપ વિમાન ઓય. આ વિમાન ધરીને છેદે છે ઓયબિંદુ પર એમy. ચાલો બિંદુ મારફતે જાઓ એમધરી પર લંબરૂપ વિમાન ઓઝ. આ વિમાન ધરીને છેદે છે ઓઝબિંદુ પર એમz.
કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ x , yઅને zપોઈન્ટ એમઅમે તે મુજબ નિર્દેશિત સેગમેન્ટના મૂલ્યોને કૉલ કરીશું ઓમx, ઓમyઅને ઓમz. આ નિર્દેશિત સેગમેન્ટ્સના મૂલ્યોની ગણતરી તે મુજબ કરવામાં આવે છે x = x0 - 0 , y = y0 - 0 અને z = z0 - 0 .
કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ x , yઅને zપોઈન્ટ એમતે મુજબ બોલાવવામાં આવે છે એબ્સીસા , ઓર્ડિનેટ અને અરજી કરવી .
જોડીમાં લેવામાં આવેલા સંકલન અક્ષો સંકલન વિમાનોમાં સ્થિત છે xOy , yOzઅને zOx .
કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પોઈન્ટ વિશે સમસ્યાઓ
ઉદાહરણ 1.
એ(2; -3) ;
બી(3; -1) ;
સી(-5; 1) .
એબ્સીસા અક્ષ પર આ બિંદુઓના અંદાજોના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.
ઉકેલ. આ પાઠના સૈદ્ધાંતિક ભાગમાંથી નીચે મુજબ, એબ્સીસા અક્ષ પર એક બિંદુનું પ્રક્ષેપણ એબ્સીસા અક્ષ પર જ સ્થિત છે, એટલે કે, અક્ષ બળદ, અને તેથી પોઈન્ટના એબ્સીસા સમાન એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ (અક્ષ પર સંકલન) ધરાવે છે ઓય, જેને x-અક્ષ બિંદુ 0 પર છેદે છે), શૂન્ય બરાબર. તેથી આપણે x-અક્ષ પર આ બિંદુઓના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ:
એx(2;0);
બીx(3;0);
સીx (-5; 0).
ઉદાહરણ 2.કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, પ્લેન પર પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે
એ(-3; 2) ;
બી(-5; 1) ;
સી(3; -2) .
ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર આ બિંદુઓના અંદાજોના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.
ઉકેલ. આ પાઠના સૈદ્ધાંતિક ભાગમાંથી નીચે મુજબ, ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર બિંદુનું પ્રક્ષેપણ ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર જ સ્થિત છે, એટલે કે, અક્ષ ઓય, અને તેથી તે પોઈન્ટના જ ઓર્ડિનેટ સમાન ઓર્ડિનેટ ધરાવે છે, અને એબ્સીસા (અક્ષ પર સંકલન) બળદ, જેને ઓર્ડિનેટ અક્ષ બિંદુ 0 પર છેદે છે), જે શૂન્યની બરાબર છે. તેથી આપણે ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર આ બિંદુઓના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ:
એy(0;2);
બીy(0;1);
સીy(0;-2).
ઉદાહરણ 3.કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, પ્લેન પર પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે
એ(2; 3) ;
બી(-3; 2) ;
સી(-1; -1) .
બળદ .
બળદ બળદ બળદ, ની જેમ જ abscissa હશે આપેલ બિંદુ, અને બરાબર ઓર્ડિનેટ સંપૂર્ણ મૂલ્યઆપેલ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ અને તેની વિરુદ્ધનું ચિહ્ન. તેથી આપણને અક્ષની સાપેક્ષમાં આ બિંદુઓ સાથે સપ્રમાણતા ધરાવતા બિંદુઓના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે બળદ :
એ"(2; -3) ;
બી"(-3; -2) ;
સી"(-1; 1) .
કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ જાતે ઉકેલો, અને પછી ઉકેલો જુઓ
ઉદાહરણ 4.નક્કી કરો કે કયા ચતુર્થાંશમાં (ક્વાર્ટર, ચતુર્થાંશ સાથે ચિત્રકામ - ફકરાના અંતે "પ્લેન પર લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ") એક બિંદુ સ્થિત થઈ શકે છે એમ(x; y) , જો
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
ઉદાહરણ 5.કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, પ્લેન પર પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે
એ(-2; 5) ;
બી(3; -5) ;
સી(a; b) .
અક્ષની તુલનામાં આ બિંદુઓના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો ઓય .
ચાલો સાથે મળીને સમસ્યાઓ હલ કરવાનું ચાલુ રાખીએ
ઉદાહરણ 6.કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, પ્લેન પર પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે
એ(-1; 2) ;
બી(3; -1) ;
સી(-2; -2) .
અક્ષની તુલનામાં આ બિંદુઓના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો ઓય .
ઉકેલ. ધરીની આસપાસ 180 ડિગ્રી ફેરવો ઓયઅક્ષમાંથી દિશાત્મક સેગમેન્ટ ઓયઆ બિંદુ સુધી. આકૃતિમાં, જ્યાં પ્લેનના ચતુર્થાંશ દર્શાવવામાં આવ્યા છે, ત્યાં આપણે જોઈએ છીએ કે અક્ષની તુલનામાં આપેલ એક સાથે સપ્રમાણતા ધરાવે છે. ઓય, આપેલ બિંદુ જેટલો જ ઓર્ડિનેટ ધરાવશે અને આપેલ બિંદુના એબ્સીસાના નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં સમાન અને ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ એબ્સીસા હશે. તેથી આપણને અક્ષની સાપેક્ષમાં આ બિંદુઓ સાથે સપ્રમાણતા ધરાવતા બિંદુઓના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે ઓય :
એ"(1; 2) ;
બી"(-3; -1) ;
સી"(2; -2) .
ઉદાહરણ 7.કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, પ્લેન પર પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે
એ(3; 3) ;
બી(2; -4) ;
સી(-2; 1) .
ઉત્પત્તિના સંબંધમાં આ બિંદુઓના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.
ઉકેલ. અમે મૂળથી આપેલ બિંદુ સુધી જતા નિર્દેશિત સેગમેન્ટને મૂળની આસપાસ 180 ડિગ્રી ફેરવીએ છીએ. આકૃતિમાં, જ્યાં સમતલના ચતુર્થાંશ દર્શાવેલ છે, આપણે જોઈએ છીએ કે કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિના સંબંધમાં આપેલ બિંદુની સપ્રમાણતા ધરાવતા બિંદુમાં એબ્સીસા હશે અને આપેલ બિંદુના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટના નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં સમાન હશે, પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ. તેથી આપણે મૂળની તુલનામાં આ બિંદુઓ સાથે સપ્રમાણતા ધરાવતા બિંદુઓના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ:
એ"(-3; -3) ;
બી"(-2; 4) ;
સી(2; -1) .
ઉદાહરણ 8.
એ(4; 3; 5) ;
બી(-3; 2; 1) ;
સી(2; -3; 0) .
આ બિંદુઓના અંદાજોના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો:
1) પ્લેનમાં ઓક્સી ;
2) પ્લેનમાં ઓક્સઝ ;
3) વિમાનમાં ઓયઝ ;
4) એબ્સીસા અક્ષ પર;
5) ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર;
6) એપ્લિકેશન અક્ષ પર.
1) પ્લેન પર બિંદુનું પ્રક્ષેપણ ઓક્સીઆ પ્લેન પર જ સ્થિત છે, અને તેથી આપેલ બિંદુના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ સમાન એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ અને શૂન્યની બરાબર એપ્લીકેશન ધરાવે છે. તેથી આપણે આ બિંદુઓના અંદાજોના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ ઓક્સી :
એxy (4; 3; 0);
બીxy (-3; 2; 0);
સીxy(2;-3;0).
2) પ્લેન પર બિંદુનું પ્રક્ષેપણ ઓક્સઝઆ પ્લેન પર જ સ્થિત છે, અને તેથી આપેલ બિંદુના એબ્સીસા અને એપ્લીકેટ સમાન એબ્સીસા અને એપ્લીકેટ છે, અને શૂન્યની બરાબર ઓર્ડિનેટ છે. તેથી આપણે આ બિંદુઓના અંદાજોના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ ઓક્સઝ :
એxz (4; 0; 5);
બીxz (-3; 0; 1);
સીxz (2; 0; 0).
3) પ્લેન પર બિંદુનું પ્રક્ષેપણ ઓયઝઆ પ્લેન પર જ સ્થિત છે, અને તેથી આપેલ બિંદુના ઓર્ડિનેટ અને એપ્લીકેટ સમાન ઓર્ડિનેટ અને એપ્લીકેટ છે અને શૂન્યની બરાબર એબ્સીસા છે. તેથી આપણે આ બિંદુઓના અંદાજોના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ ઓયઝ :
એyz(0; 3; 5);
બીyz (0; 2; 1);
સીyz (0; -3; 0).
4) આ પાઠના સૈદ્ધાંતિક ભાગમાંથી નીચે મુજબ, એબ્સીસા અક્ષ પરના બિંદુનું પ્રક્ષેપણ એબ્સીસા અક્ષ પર જ સ્થિત છે, એટલે કે, ધરી બળદ, અને તેથી પોઈન્ટના એબ્સીસા સમાન એબ્સીસા ધરાવે છે, અને પ્રક્ષેપણના ઓર્ડિનેટ અને એપ્લીકેટ શૂન્યના બરાબર છે (કારણ કે ઓર્ડિનેટ અને એપ્લીકેટ અક્ષ એબ્સીસાને પોઈન્ટ 0 પર છેદે છે). અમે એબ્સીસા અક્ષ પર આ બિંદુઓના અંદાજોના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ:
એx (4; 0; 0);
બીx (-3; 0; 0);
સીx(2;0;0).
5) ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર બિંદુનું પ્રક્ષેપણ ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર જ સ્થિત છે, એટલે કે, અક્ષ ઓય, અને તેથી તે પોઈન્ટના જ ઓર્ડિનેટ સમાન ઓર્ડિનેટ ધરાવે છે, અને પ્રક્ષેપણના એબ્સીસા અને એપ્લીકેટ શૂન્ય સમાન છે (કારણ કે એબ્સીસા અને એપ્લીકેટ અક્ષ બિંદુ 0 પર ઓર્ડિનેટ અક્ષને છેદે છે). અમે ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર આ બિંદુઓના અંદાજોના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ:
એy(0; 3; 0);
બીy (0; 2; 0);
સીy(0;-3;0).
6) એપ્લીકેટ અક્ષ પરના બિંદુનું પ્રક્ષેપણ એપ્લીકેટ અક્ષ પર જ સ્થિત છે, એટલે કે, ધરી ઓઝ, અને તેથી પોઈન્ટના જ એપ્લીકેટ સમાન એપ્લીકેટ ધરાવે છે, અને પ્રક્ષેપણના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ શૂન્યની બરાબર છે (કારણ કે એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ એપ્લીકેટ અક્ષને બિંદુ 0 પર છેદે છે). અમે એપ્લિકેશન અક્ષ પર આ બિંદુઓના અંદાજોના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ:
એz (0; 0; 5);
બીz (0; 0; 1);
સીz(0; 0; 0).
ઉદાહરણ 9.કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, જગ્યામાં પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે
એ(2; 3; 1) ;
બી(5; -3; 2) ;
સી(-3; 2; -1) .
આ બિંદુઓના સંદર્ભમાં સપ્રમાણતાવાળા બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો:
1) વિમાન ઓક્સી ;
2) વિમાનો ઓક્સઝ ;
3) વિમાનો ઓયઝ ;
4) એબ્સીસા અક્ષો;
5) અક્ષો ગોઠવો;
6) અક્ષો લાગુ કરો;
7) કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ.
1) ધરીની બીજી બાજુના બિંદુને “ખસેડો” ઓક્સી ઓક્સી, આપેલ પોઈન્ટના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટની સમાન એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ હશે, અને આપેલ બિંદુના અનુરૂપની તીવ્રતામાં સમાન એપ્લિકેશન, પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હશે. તેથી, અમને પ્લેન સંબંધિત ડેટાના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુઓના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે ઓક્સી :
એ"(2; 3; -1) ;
બી"(5; -3; -2) ;
સી"(-3; 2; 1) .
2) ધરીની બીજી બાજુના બિંદુને “ખસેડો” ઓક્સઝસમાન અંતર સુધી. કોઓર્ડિનેટ સ્પેસ દર્શાવતી આકૃતિમાંથી, આપણે જોઈએ છીએ કે ધરીની સાપેક્ષમાં આપેલ એક બિંદુ સાથે સપ્રમાણતા ધરાવે છે. ઓક્સઝ, આપેલ પોઈન્ટના એબ્સીસા અને એપ્લીકેટની બરાબર એબ્સીસા અને એપ્લીકેટ હશે, અને આપેલ પોઈન્ટના ઓર્ડિનેટની તીવ્રતામાં સમાન ઓર્ડિનેટ હશે, પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હશે. તેથી, અમને પ્લેન સંબંધિત ડેટાના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુઓના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે ઓક્સઝ :
એ"(2; -3; 1) ;
બી"(5; 3; 2) ;
સી"(-3; -2; -1) .
3) ધરીની બીજી બાજુના બિંદુને “ખસેડો” ઓયઝસમાન અંતર સુધી. કોઓર્ડિનેટ સ્પેસ દર્શાવતી આકૃતિમાંથી, આપણે જોઈએ છીએ કે ધરીની સાપેક્ષમાં આપેલ એક બિંદુ સાથે સપ્રમાણતા ધરાવે છે. ઓયઝ, આપેલ પોઈન્ટના ઓર્ડિનેટ અને એપ્લીકેટની સમાન ઓર્ડિનેટ અને એપ્લીકેટ હશે, અને આપેલ બિંદુના એબ્સીસાના મૂલ્યમાં સમાન એબ્સીસા હશે, પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હશે. તેથી, અમને પ્લેન સંબંધિત ડેટાના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુઓના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે ઓયઝ :
એ"(-2; 3; 1) ;
બી"(-5; -3; 2) ;
સી"(3; 2; -1) .
સાથે સામ્યતા દ્વારા સપ્રમાણ બિંદુઓપ્લેન પર અને અવકાશમાંના બિંદુઓ પ્લેન્સને સંબંધિત ડેટાને સમપ્રમાણતા ધરાવે છે, અમે નોંધીએ છીએ કે અવકાશમાં કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના અમુક અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણતાના કિસ્સામાં, અક્ષ પરનું સંકલન જેના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતા આપવામાં આવે છે તેની નિશાની જાળવી રાખો, અને અન્ય બે અક્ષો પરના કોઓર્ડિનેટ્સ ચોક્કસ દ્રષ્ટિએ આપેલ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ જેટલું જ મૂલ્ય સમાન હશે, પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હશે.
4) એબ્સીસા તેની નિશાની જાળવી રાખશે, પરંતુ ઓર્ડિનેટ અને લાગુ ચિહ્નો બદલશે. તેથી, અમે એબ્સીસા અક્ષને લગતા ડેટાના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુઓના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ:
એ"(2; -3; -1) ;
બી"(5; 3; -2) ;
સી"(-3; -2; 1) .
5) ઓર્ડિનેટ તેની નિશાની જાળવી રાખશે, પરંતુ એબ્સીસા અને એપ્લીકેટ ચિહ્નો બદલશે. તેથી, અમે ઓર્ડિનેટ અક્ષને સંબંધિત ડેટાના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુઓના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ:
એ"(-2; 3; -1) ;
બી"(-5; -3; -2) ;
સી"(3; 2; 1) .
6) અરજીકર્તા તેની નિશાની જાળવી રાખશે, પરંતુ એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ ચિહ્નો બદલશે. તેથી, અમે એપ્લિકેશન અક્ષને સંબંધિત ડેટાના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુઓના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ:
એ"(-2; -3; 1) ;
બી"(-5; 3; 2) ;
સી"(3; -2; -1) .
7) સમતલ પરના બિંદુઓના કિસ્સામાં સમપ્રમાણતા સાથે સામ્યતા દ્વારા, કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ વિશે સપ્રમાણતાના કિસ્સામાં, આપેલ બિંદુના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુના તમામ કોઓર્ડિનેટ્સ આપેલ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સના ચોક્કસ મૂલ્યમાં સમાન હશે, પરંતુ ચિહ્નમાં તેમની વિરુદ્ધ. તેથી, અમે મૂળના સંબંધમાં ડેટાને સપ્રમાણતા ધરાવતા બિંદુઓના નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ.
પ્લેન પર લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી બે પરસ્પર લંબરૂપ સીધી રેખાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સીધી રેખાઓને સંકલન અક્ષ (અથવા સંકલન અક્ષ) કહેવામાં આવે છે. આ રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને મૂળ કહેવામાં આવે છે અને તેને O અક્ષર દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.
સામાન્ય રીતે એક રેખા આડી હોય છે, બીજી ઊભી હોય છે. આડી રેખાને x-axis (અથવા Ox) તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે અને તેને abscissa અક્ષ કહેવામાં આવે છે, ઊભી રેખા y-axis (Oy) છે, જેને ઓર્ડિનેટ અક્ષ કહેવાય છે. સમગ્ર સંકલન પ્રણાલીને xOy નામ આપવામાં આવ્યું છે.
બિંદુ O દરેક અક્ષને બે અર્ધ-અક્ષોમાં વિભાજિત કરે છે, જેમાંથી એક સકારાત્મક (તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે) માનવામાં આવે છે, અન્ય - નકારાત્મક.
પ્લેનના દરેક બિંદુ F ને સંખ્યાઓની જોડી (x;y) - તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સોંપવામાં આવે છે.
x કોઓર્ડિનેટને એબ્સીસા કહેવામાં આવે છે. તે બળદ સમાન છે, યોગ્ય ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે.
y કોઓર્ડિનેટને ઓર્ડિનેટ કહેવામાં આવે છે અને તે બિંદુ F થી Oy અક્ષ (યોગ્ય ચિહ્ન સાથે) સુધીના અંતર જેટલું છે.
એક્સલ અંતર સામાન્ય રીતે (પરંતુ હંમેશા નહીં) લંબાઈના સમાન એકમમાં માપવામાં આવે છે.
y-અક્ષની જમણી બાજુએ સ્થિત પોઈન્ટમાં ધન એબ્સીસાસ હોય છે. ઓર્ડિનેટ અક્ષની ડાબી બાજુએ આવેલા પોઈન્ટમાં નકારાત્મક એબ્સીસીસ હોય છે. Oy અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે, તેનો x સંકલન શૂન્ય છે.
સકારાત્મક ઓર્ડિનેટ સાથેના બિંદુઓ x-અક્ષની ઉપર આવેલા છે, અને નકારાત્મક ઓર્ડિનેટ સાથેના બિંદુઓ નીચે છે. જો કોઈ બિંદુ ઓક્સ અક્ષ પર આવેલું હોય, તો તેનો y સંકલન શૂન્ય છે.
કોઓર્ડિનેટ અક્ષ પ્લેનને ચાર ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે, જેને કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર (અથવા કોઓર્ડિનેટ એન્ગલ અથવા ચતુર્થાંશ) કહેવામાં આવે છે.
1 સંકલન ક્વાર્ટરજમણી બાજુએ સ્થિત છે ટોચનો ખૂણોસંકલન પ્લેન xOy. પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં સ્થિત પોઈન્ટના બંને કોઓર્ડિનેટ્સ હકારાત્મક છે.
એક ક્વાર્ટરથી બીજામાં સંક્રમણ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં કરવામાં આવે છે.
2 સંકલન ક્વાર્ટરઉપલા ડાબા ખૂણામાં સ્થિત છે. બીજા ક્વાર્ટરમાં પડેલા પોઈન્ટમાં નેગેટિવ એબ્સીસા અને પોઝીટીવ ઓર્ડિનેટ હોય છે.
3 સંકલન ક્વાર્ટર xOy પ્લેનના નીચલા ડાબા ચતુર્થાંશમાં આવેલું છે. સાથે જોડાયેલા પોઈન્ટના બંને કોઓર્ડિનેટ્સ III સંકલનખૂણો, નકારાત્મક.
4 સંકલન ક્વાર્ટરકોઓર્ડિનેટ પ્લેનનો નીચેનો જમણો ખૂણો છે. IV ક્વાર્ટરના કોઈપણ બિંદુમાં પ્રથમ હકારાત્મક સંકલન અને નકારાત્મક સેકન્ડ હોય છે.
લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં બિંદુઓના સ્થાનનું ઉદાહરણ:
જો અવકાશમાં બિંદુ O દ્વારા આપણે ત્રણ કાટખૂણે સીધી રેખાઓ દોરીએ છીએ, તો અમે તેમને કૉલ કરીએ છીએ, તમે તેમને જમણી બાજુએ લઈ જાઓ છો, તો અમને મળશે અવકાશમાં લંબચોરસ સિસ્ટમ કો-અથવા-ડી-નાટ. કો-અથવા-દી-નાટ અક્ષને આ રીતે નામ આપવામાં આવ્યું છે: ઓક્સ - એબી-સીસ અક્ષ, ઓય - અથવા-દી-નાટ અક્ષ અને ઓઝ - અપ-પ્લી-કેટ અક્ષ. કો-ઓર-ડી-નાટની આખી સિસ્ટમ એટલે ઓક્સીઝ. આમ, ત્યાં ત્રણ દેખાય છે સહ-અથવા-ડી-નેટ-પ્લેન: Oxy, Oxz, Oyz.
અહીં એક લંબચોરસ કો-ઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બિંદુ B(4;3;5) ના નિર્માણનું ઉદાહરણ છે (ફિગ. 1 જુઓ).
ચોખા. 1. અવકાશમાં બિંદુ Bનું બાંધકામ
પ્રથમ સહ-અથવા-દી-થી-ટા બિંદુ B 4 છે, તેથી જ Ox 4 પર-kla-dy-va-em થી, ચાલો સીધા pa-ral-lel-but axis Oy પર જઈએ જ્યાં સુધી તે સાથે છેદે નહીં. y = 3માંથી પસાર થતી સીધી રેખા. આમ, આપણે બિંદુ K મેળવીએ છીએ. આ બિંદુ ઓક્સી સમતલમાં આવેલું છે અને તેમાં K(4;3;0) સંકલન છે. હવે તમારે ઓઝ અક્ષની સીધી સમાંતર બનાવવાની જરૂર છે. અને સીધી રેખા, જે ઓક્સી પ્લેનમાં up-pli-ka-toy 5 અને pa-ral-lel-na dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram -ma સાથે બિંદુ પરથી પસાર થાય છે. તેમના re-se-se-che-nii પર આપણને જરૂરી બિંદુ B મળે છે.
બિંદુઓના સ્થાનને ધ્યાનમાં લો કે જેના માટે એક અથવા બે ગુણાંક 0 ની બરાબર છે (ફિગ 2 જુઓ).
ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ A(3;-1;0). તમારે Oy અક્ષને ડાબેથી મૂલ્ય -1 સુધી ચાલુ રાખવાની જરૂર છે, Ox અક્ષ પર બિંદુ 3 શોધો અને આ મૂલ્યોમાંથી પસાર થતી રેખાઓના આંતરછેદ પર ચાલો બિંદુ A શોધીએ. આ બિંદુનું અંદાજિત મૂલ્ય 0 છે, જેનો અર્થ છે કે તે ઓક્સી પ્લેનમાં આવેલું છે.
પોઈન્ટ C(0;2;0) પાસે abs-cis-su અને up-pli-ka-tu 0 છે - ફ્રૉમ-મે-ચા-એમ નથી. Or-di-na-ta બરાબર 2 છે, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ C માત્ર Oy-axis પર આવેલું છે, જે ફ્લેટ સ્ટે Oxy અને Oyz નથી.
બિંદુ D(-4;0;3) ને ખસેડવા માટે આપણે ઑક્સ અક્ષને શરૂઆતથી આગળ વધારીએ છીએ -4. હવે આપણે આ બિંદુથી પ્રતિ-પેન-ડી-કુ-લ્યાર - સીધા, સમાંતર-અક્ષ Oz ને સીધા, સમાંતર અક્ષ Ox સાથે અને Oz પરના મૂલ્ય 3માંથી પસાર થતા per-re-se-che-niy ને પુનઃસ્થાપિત કરીએ છીએ. ધરી આપણને વર્તમાન D(-4;0;3) મળે છે. બિંદુનો ક્રમ 0 ની બરાબર હોવાથી, આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ D Oxz સમતલમાં આવેલો છે.
આગલું બિંદુ E(0;5;-3). અથવા-દી-ના-તા પોઈન્ટ 5, એ-પ્લી-કા-ટા -3, પત્રવ્યવહાર -th અક્ષો પર આ મૂલ્યોમાંથી પસાર થતી પ્રો-વો-ડિમ સીધી રેખાઓ, અને તેમના આંતરછેદ પર આપણે બિંદુ E(0) મેળવીએ છીએ ;5;-3). આ બિંદુ 0 નું પ્રથમ કોઓર્ડિનેશન ધરાવે છે, જેનો અર્થ છે કે તે Oyz પ્લેનમાં આવેલું છે.
2. વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ
ચાલો Oxyz જગ્યામાં કો-અથવા-ડી-નાટની લંબચોરસ સિસ્ટમ જોઈએ. ચાલો અવકાશમાં એક લંબચોરસ સિસ્ટમ બનાવીએ, co-or-di-nat Oxyz. દરેક રેખીય અક્ષ પર એક જ વેક્ટર હોય છે, એટલે કે વેક્ટર, કોઈ વસ્તુની લંબાઈ એક જેટલી હોય છે. અમે ab-ciss અક્ષના એકમ વેક્ટર, or-di-nat અક્ષના એકમ વેક્ટર અને up-pli-cat અક્ષના એકમ વેક્ટર (જુઓ. ફિગ. 1) દર્શાવીએ છીએ. આ પોપચા જમણા હાથની કુહાડીઓ સાથે સંરેખિત હોય છે, એક જ લંબાઈ ધરાવે છે અને અથવા-ટુ-ગો-નાલ-એનવાય - જોડીમાં -પરંતુ પેન-દી-કુ-લ્યાર-નવાય છે. આવી સદીઓ કહેવાય છે ko-or-di-nat-ny-mi સદી-થી-ra-miઅથવા બા-ઝી-સોમ.
ચોખા. 1. પોપચાને ત્રણ કો-અથવા-દી-નાટ પોપચામાં વિભાજીત કરવી
એક મેમ વેક્ટર લો, તેને ના-ચા-લો કો-ઓર-ડી-નાટમાં મૂકો અને આ વેક્ટરને ત્રણ ચોક્કસ-પ્લાનર-લીંગમાં વિઘટિત કરો - અલગ-અલગ પ્લેન્સમાં - સદી-થી-ફ્રેમ્સમાં. આ કરવા માટે, ચાલો બિંદુ M ના પ્રક્ષેપણને ઓક્સી પ્લેન પર નીચે કરીએ, અને વેક્ટર્સનું કો-ઓર્ડિનેશન શોધીએ, અને. ચાલો ખાઈએ:. આપણે આ દરેક સદીઓને અલગથી જોઈએ છીએ. વેક્ટર ઓક્સ અક્ષ પર આવેલું છે, જેનો અર્થ છે કે, વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની મિલકત અનુસાર, તેને અમુક સંખ્યા x પત્ની-થી-કો-અથવા-ડી-નાટ-ની વેક્ટર-ટોર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. , અને પોપચાની લંબાઈ લંબાઈ કરતા બરાબર x ગણી વધારે છે. અમે પોપચાઓ સાથે પણ તે જ કરીએ છીએ અને, અને અમે પોપચાને ત્રણ કો-અથવા-દી-નાટ પોપચા -થી-રામમાં વિભાજીત કરીએ છીએ:
x, y અને z ના આ વિતરણના ગુણાંક માટે કહેવામાં આવે છે અવકાશમાં કો-ઓર-દી-ના-તા-મી સદી-રા.
અમે આદિકાળના સિદ્ધાંતો પર ધ્યાન આપીએ છીએ, જે આપેલ સદીઓના કો-ઓર-દી-ઓન-ધેર અનુસાર પોઝ-ઇન-લા-યુત કરે છે, કો-ઓર-દી-ના- તમે તેમના સરવાળો અને તફાવતો છો, તેમજ આપેલ સંખ્યા માટે આપેલ સદીના સહ-અથવા-દી-ના-યુ પ્રો-ઇઝ-વે-દે-નિયા.
1) ઉમેરો:
2) તમે-ચી-તા-ની:
3) સંખ્યા વડે ગુણાકાર: 
,
વેક્ટર, ના-ચા-લો કો-રો-ગો ના-ચા-લોમ કો-ઓર-દી-નાટ, ના-ઝી-વા-એટ-સ્યા સાથે સુસંગત છે ત્રિજ્યા-સદી-રમ.(ફિગ. 2). વેક્ટર - ra-di-us-વેક્ટર, જ્યાં x, y અને z એ સહ-અથવા -di-nat-nym સદી-થી-રેમ અનુસાર આ વેક્ટરના વિતરણના ગુણાંક છે , , . આ કિસ્સામાં, ઓક્સ અક્ષ પર x એ બિંદુ A નો પ્રથમ કો-ઓપ છે, y એ Oy અક્ષ પર બિંદુ B નો કો-અથવા છે, z એ Oz અક્ષ પર કો-ઓપ -ડી-ના-ટા બિંદુ C છે . ડ્રોઇંગ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે કો-ઓર-દી-ના-યુ રા-દી-ઉસ-વેક-ટુ-રા એક સમયે -ઓન-તે-મી પોઇન્ટ એમ.
બિંદુ A(x1;y1;z1) અને બિંદુ B(x2;y2;z2) લો (ફિગ. 3 જુઓ). આપણે સદી અને સદી વચ્ચેના તફાવત તરીકે વેક્ટરની કલ્પના કરીએ છીએ. તદુપરાંત, અને - રા-દી-ઉસ-વેક-રી, અને તેમના સહ-અથવા-દી-ના-તમે આ સદીઓના સહકાર-અથવા-દી-ના-તા-મી કોન્સોવ સાથે સહકાર કરો છો. પછી આપણે સહ-અથવા-દી-ના-તમે સદીને સહ-અથવા-દી-નાત સદીઓ વચ્ચેના તફાવત તરીકે રજૂ કરી શકીએ છીએ અને : . આ રીતે, કો-ઓર-દી-ના-યુ સેન્ચ્યુરી-ટુ-રા અમે કો-ઓર-દી-ના-યુ એન્ડ ધ એન્ડ અને ના-ચા-લા સદી-થી-રા દ્વારા વિકાસ કરી શકીએ છીએ.
ચાલો સહ-અથવા-દી-ના-યુ દ્વારા સદીઓના ગુણધર્મો અને તેમની અભિવ્યક્તિને સમજાવતા ઉદાહરણો જોઈએ. એક સદી મેમ લો, . અમને સદી માટે કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, આ શોધવાનો અર્થ એ છે કે સદીના સહ-અથવા-દી-ના-યુને શોધવું, જે તેને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે. એમના કો-ઓર-દી-ના-યુની સહ-જવાબદારીની સો સદીને બદલે એ જ જગ્યાએ મૂકીને. ચાલો ખાઈએ:
હવે આપણે કૌંસમાં દરેક કો-અથવા-ડી-ઓન-તે દ્વારા સંખ્યા 3 નો ગુણાકાર કરીએ છીએ, અને તે જ 2 સાથે કરીએ છીએ:
અમે ત્રણ સદીઓનો સરવાળો મેળવ્યો છે, અમે તેમને ઉપર અભ્યાસ કરેલ મિલકત અનુસાર સંગ્રહિત કરીએ છીએ:
જવાબ: 
ઉદાહરણ નંબર 2.
આપેલ: ત્રિકોણાકાર pi-ra-mi-da AOBC (જુઓ ફિગ. 4). વિમાનો AOB, AOC અને OCB જોડીમાં છે, પરંતુ પ્રતિ-પેન-ડી-કુ-લ્યાર-નવાય. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; એન - ser.OC; પી - ગ્રે સી.બી.
શોધો:,,,,,,,.
ઉકેલ: ચાલો બિંદુ O પર પ્રારંભિક બિંદુ સાથે co-or-di-nat Oxyz ની લંબચોરસ સિસ્ટમ રજૂ કરીએ. શરત પ્રમાણે, આપણે અક્ષો પરના બિંદુઓ A, B અને C અને તેની se-re-di-ny કિનારીઓ જાણીએ છીએ. pi-ra-mi-dy - M, P અને N. આકૃતિ અનુસાર -di-na-you vert-shin pi-ra-mi-dy: A(3;0;0), B(0;7; 0), C(0;0;4).
એક લંબચોરસ (અન્ય નામો સપાટ, દ્વિ-પરિમાણીય છે) સંકલન પ્રણાલી, જેનું નામ ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક ડેસકાર્ટેસ (1596-1650)ના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, “પ્લેન પર કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ,” જમણા ખૂણા (લંબ) પરના આંતરછેદ દ્વારા રચાય છે. બે સંખ્યાત્મક અક્ષોજેથી એકનો સકારાત્મક અર્ધ-અક્ષ જમણી તરફ નિર્દેશિત થાય છે (x-અક્ષ, અથવા એબ્સીસા અક્ષ), અને બીજો ઉપર તરફ નિર્દેશિત થાય છે (y-અક્ષ અથવા ઓર્ડિનેટ અક્ષ).
અક્ષોનું આંતરછેદ બિંદુ તે દરેકના 0 બિંદુ સાથે એકરુપ છે અને તેને મૂળ કહેવામાં આવે છે.
દરેક અક્ષો માટે, એક મનસ્વી સ્કેલ (એક લંબાઈનો સેગમેન્ટ) પસંદ થયેલ છે. પ્લેન પરનો દરેક બિંદુ સંખ્યાઓની એક જોડીને અનુરૂપ છે, જેને પ્લેન પરના આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત, સંખ્યાઓની કોઈપણ ક્રમાંકિત જોડી પ્લેન પરના એક બિંદુને અનુલક્ષે છે જેના માટે આ સંખ્યાઓ કોઓર્ડિનેટ્સ છે.
બિંદુના પ્રથમ સંકલનને તે બિંદુનો એબ્સીસા કહેવામાં આવે છે, અને બીજા સંકલનને ઓર્ડિનેટ કહેવામાં આવે છે.
સમગ્ર સંકલન પ્લેન 4 ચતુર્થાંશ (ક્વાર્ટર) માં વિભાજિત થયેલ છે. ચતુર્થાંશ પ્રથમથી ચોથા ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્થિત છે (આકૃતિ જુઓ).
બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે તેના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ અક્ષનું અંતર શોધવાની જરૂર છે. કારણ કે અંતર (સૌથી ટૂંકું) કાટખૂણે દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, પછી બિંદુ પરથી બે કાટખૂણે (કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર સહાયક રેખાઓ) અક્ષ પર નીચે કરવામાં આવે છે જેથી તેમના આંતરછેદનું સ્થાન સ્થાન હોય. આપેલ બિંદુકોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં. અક્ષો સાથે કાટખૂણે આંતરછેદના બિંદુઓને સંકલન અક્ષો પરના બિંદુના અંદાજો કહેવામાં આવે છે.
પ્રથમ ચતુર્થાંશ એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટના હકારાત્મક અર્ધ-અક્ષો દ્વારા મર્યાદિત છે. તેથી, પ્લેનના આ ક્વાર્ટરમાં બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ હકારાત્મક હશે
(ચિહ્નો "+" અને
ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરની આકૃતિમાં M (2; 4) પોઇન્ટ કરો.
બીજો ચતુર્થાંશ નકારાત્મક x-અક્ષ અને હકારાત્મક y-અક્ષ દ્વારા મર્યાદિત છે. પરિણામે, એબ્સીસા અક્ષ સાથેના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નકારાત્મક હશે (ચિહ્ન "-"), અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે તેઓ હકારાત્મક હશે (ચિહ્ન "+").
ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરની આકૃતિમાં બિંદુ C (-4; 1).
ત્રીજો ચતુર્થાંશ નકારાત્મક x-અક્ષ અને ઋણ y-અક્ષ દ્વારા મર્યાદિત છે. પરિણામે, એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથેના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નકારાત્મક હશે (ચિહ્નો "-" અને "-").
ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરની આકૃતિમાં બિંદુ D (-6; -2).
ચોથો ચતુર્થાંશ હકારાત્મક x-અક્ષ અને નકારાત્મક y-અક્ષ દ્વારા મર્યાદિત છે. પરિણામે, એબ્સીસા અક્ષ સાથેના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ હકારાત્મક હશે (“+” ચિહ્ન). અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે - નકારાત્મક (ચિહ્ન "-").
ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરની આકૃતિમાં બિંદુ R (3; -3).
તેના ઉલ્લેખિત કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને બિંદુનું નિર્માણ કરવું
આપણે x-અક્ષ પર બિંદુનો પ્રથમ સંકલન શોધીશું અને તેના દ્વારા સહાયક રેખા દોરીશું - એક લંબરૂપ;
આપણે ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર બિંદુનો બીજો સંકલન શોધીએ છીએ અને તેના દ્વારા સહાયક રેખા દોરીએ છીએ - એક લંબરૂપ;
બે લંબ (સહાયક રેખાઓ) ના આંતરછેદનો બિંદુ આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુને અનુરૂપ હશે.
