બે રેન્ડમ દલીલોનું કાર્ય. રેન્ડમ ચલોના કાર્યો

જો શક્ય મૂલ્યોની દરેક જોડી રેન્ડમ ચલો એક્સઅને વાયરેન્ડમ ચલના એક સંભવિત મૂલ્યને અનુરૂપ છે Z,તે ઝેડકહેવાય છે બે રેન્ડમ દલીલો Xનું કાર્યઅને Y:

Z= j ( એક્સ, વાય).

આગળનાં ઉદાહરણો બતાવશે કે ફંક્શનનું વિતરણ કેવી રીતે શોધવું Z = X + Yશરતોના જાણીતા વિતરણો અનુસાર. આ સમસ્યા ઘણીવાર વ્યવહારમાં જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો એક્સ- માપન ઉપકરણના રીડિંગ્સની ભૂલ (સામાન્ય રીતે વિતરિત), વાય- રીડિંગ્સને નજીકના સ્કેલ ડિવિઝનમાં ગોળાકાર કરવામાં ભૂલ (સમાન રીતે વિતરિત), પછી કાર્ય ઉદ્ભવે છે - ભૂલોના સરવાળાના વિતરણનો કાયદો શોધવા માટે Z=X+Y.

1. ચાલો એક્સઅને વાય- અલગ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો. વિધેયના વિતરણ કાયદાને દોરવા માટે Z = X + Y,આપણે બધું શોધવાની જરૂર છે શક્ય મૂલ્યો ઝેડઅને તેમની સંભાવનાઓ.

ઉદાહરણ 1.અલગ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો વિતરણો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

રેન્ડમ ચલનું વિતરણ બનાવો Z = X+Y.

ઉકેલ. સંભવિત મૂલ્યો ઝેડદરેક સંભવિત મૂલ્યનો સરવાળો છે એક્સતમામ સંભવિત મૂલ્યો સાથે Y:

z 1 = 1+ 3= 4; z 2 = 1+ 4= 5; z 3 = 2+ 3= 5; z 4 = 2+ 4= 6.

ચાલો આ સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓ શોધીએ. ક્રમમાં ઝેડ= 4, તે પર્યાપ્ત છે કે મૂલ્ય એક્સઅર્થ લીધો x 1 =1 અને મૂલ્ય વાય- અર્થ y 1 = 3. આ સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓ, આ વિતરણ કાયદાઓમાંથી નીચે મુજબ છે, અનુક્રમે 0.4 અને 0.2 ની સમાન છે.

દલીલો એક્સઅને વાયસ્વતંત્ર છે, તેથી ઘટનાઓ X= 1i વાય= 3 સ્વતંત્ર છે અને તેથી, તેમની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના (એટલે ​​​​કે, ઘટનાની સંભાવના ઝેડ= 1+3 = 4) ગુણાકાર પ્રમેય દ્વારા 0.4*0.2 = 0.08 બરાબર છે.

આપણે એ જ રીતે શોધી શકીએ છીએ:

પી(Z= 1+ 4= 5) = 0, 4* 0, 8= 0, 32;

આર(Z= 2 + 3 = 5) = 0, 6* 0, 2 = 0, 12;

આર(Z= 2 + 4 = 6)= 0, 6* 0, 8 = 0, 48.

ચાલો પ્રથમ સંભાવનાઓ ઉમેરીને જરૂરી વિતરણ લખીએ અસંગત ઘટનાઓ Z = z 2 , Z = z 3 (0,32+0,12 = 0,44):

નિયંત્રણ: 0.08 + 0.44 + 0.48 = 1.

2. ચાલો એક્સઅને વાય- સતત રેન્ડમ ચલો. સાબિત: જો એક્સઅને વાયસ્વતંત્ર, પછી વિતરણ ઘનતા g(z) રકમો Z = X + Y(જો કે ઓછામાં ઓછી એક દલીલની ઘનતા અંતરાલ પર નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવી હોય () એક સૂત્ર દ્વારા) સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.

(*)

અથવા સમાન સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને

(**)

જ્યાં f 1 , એફ 2 - દલીલોની વિતરણ ઘનતા.

જો દલીલોના સંભવિત મૂલ્યો બિન-નકારાત્મક હોય, તો પછી g(z) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે

(***)

અથવા સમકક્ષ સૂત્ર દ્વારા

(****)

સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની વિતરણ ઘનતાને કહેવામાં આવે છે રચના

સંભાવના વિતરણનો નિયમ કહેવાય છે ટકાઉજો આવા કાયદાઓની રચના સમાન કાયદો છે (અલગ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, પરિમાણોમાં). સામાન્ય કાયદામાં સ્થિરતાની મિલકત હોય છે: સામાન્ય કાયદાઓની રચના પણ હોય છે સામાન્ય વિતરણ (ગાણિતિક અપેક્ષાઅને આ રચનાનો તફાવત, અનુક્રમે, ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને શરતોના ભિન્નતાના સરવાળો માટે સમાન છે). ઉદાહરણ તરીકે, જો એક્સઅને વાય- સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો સામાન્ય રીતે ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતાઓ સાથે અનુક્રમે સમાન વિતરિત એ 1 = Z, a 2 = 4, ડી 1 =1, ડી 2 = 0, 5, પછી આ જથ્થાઓની રચના (એટલે ​​​​કે, રકમ Z ની સંભાવના ઘનતા = એક્સ+ વાય) પણ સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે, અને રચનાની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા અનુક્રમે સમાન છે એ = 3 + 4 = 7; ડી=l +0.5=1.5.

ઉદાહરણ 2.સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો એક્સઅને વાયવિતરણ ઘનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે:

f(x)= ;

f(y)= .

આ કાયદાઓની રચના શોધો, એટલે કે રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા Z = X+Y.

ઉકેલ. દલીલોના સંભવિત મૂલ્યો બિન-નકારાત્મક છે તેથી, અમે સૂત્ર (***) નો ઉપયોગ કરીશું.

તેની અહીં નોંધ કરો z 0 કારણ કે Z=X+Yઅને, શરત દ્વારા, શક્ય મૂલ્યો એક્સઅને વાયબિન-નકારાત્મક.

ચી ચોરસ વિતરણ

દો X i(i = 1, 2, ..., પૃ) એ સામાન્ય સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે, અને તેમાંના દરેકની ગાણિતિક અપેક્ષા શૂન્યની બરાબર છે, અને પ્રમાણભૂત વિચલન એક સમાન છે. પછી આ જથ્થાઓના વર્ગોનો સરવાળો

સાથે ચી ચોરસ કાયદા અનુસાર વિતરિત k = nસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી; જો આ જથ્થાઓ એક રેખીય સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે, ઉદાહરણ તરીકે , પછી સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા k=n- 1.

આ વિતરણની ઘનતા

જ્યાં - ગામા કાર્ય; ખાસ કરીને

(n+ 1)=n!.

આ બતાવે છે કે ચી ચોરસ વિતરણ એક પરિમાણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા k

જેમ જેમ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ, વિતરણ ધીમે ધીમે સામાન્યની નજીક આવે છે.

વિદ્યાર્થી વિતરણ

દો ઝેડસામાન્ય રેન્ડમ ચલ છે, અને એમ(ઝેડ) = 0, s( ઝેડ)= 1, a વી- સ્વતંત્ર ઝેડએક જથ્થો જે કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે kસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી. પછી મૂલ્ય

નામનું વિતરણ છે ટી-વિતરણ અથવા વિદ્યાર્થી વિતરણ (અંગ્રેજી આંકડાશાસ્ત્રી ડબલ્યુ. ગોસેટનું ઉપનામ), સાથે kસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી.

તેથી, નોર્મલાઇઝ્ડનો ગુણોત્તર સામાન્ય કદથી વર્ગમૂળસાથે ચી-સ્ક્વેર કાયદા અનુસાર વિતરિત સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલમાંથી kદ્વારા વિભાજિત સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી k,સાથે વિદ્યાર્થીના કાયદા અનુસાર વિતરિત kસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી.

જેમ જેમ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ, વિદ્યાર્થીઓનું વિતરણ ઝડપથી સામાન્ય થાય છે. વધુ માહિતીઆ વિતરણ નીચે આપેલ છે (જુઓ પ્રકરણ XVI, § 16).

§ 15. વિતરણ એફફિશર - સ્નેડેકોર

જો યુઅને વી- સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે કાયદા અનુસાર વિતરિત સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો k 1 અને k 2 , પછી મૂલ્ય

વિતરણ કહેવાય છે એફસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે ફિશર-સ્નેડેકોર k 1 અને k 2 (ક્યારેક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે વી 2).

આ વિતરણની ઘનતા

અમે જુઓ કે વિતરણ એફબે પરિમાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા. આ વિતરણ વિશે વધારાની માહિતી નીચે આપેલ છે (જુઓ પ્રકરણ XIX, § 8).

કાર્યો

1. રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા શોધો X,તેની વિતરણ ઘનતા જાણીને:

એ) અન્ય મૂલ્યો માટે x;

b) f(x)= 1/ 2lખાતે એ- l x a+l, f(x)= અન્ય મૂલ્યો માટે 0 એક્સ.

પ્રતિનિધિ a)એમ(એક્સ)= 0, ડી(એક્સ) = l/2; b) એમ(એક્સ)= એ, ડી(એક્સ)= લ 2 / 3.

2. રેન્ડમ ચલ એક્સસામાન્ય રીતે વિતરિત. આ મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા અને પ્રમાણભૂત વિચલન અનુક્રમે 6 અને 2 ની સમાન છે, જે પરીક્ષણના પરિણામે છે એક્સઅંતરાલ (4,8) માં સમાયેલ મૂલ્ય લેશે.

પ્રતિનિધિ 0,6826.

3. રેન્ડમ ચલ સામાન્ય રીતે વિતરિત થાય છે. આ મૂલ્યનું પ્રમાણભૂત વિચલન 0.4 છે. દ્વારા તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલનું વિચલન થવાની સંભાવના શોધો સંપૂર્ણ મૂલ્ય 0.3 કરતા ઓછો હશે.

પ્રતિનિધિ 0,5468.

4. રેન્ડમ માપન ભૂલોને આધીન છે સામાન્ય કાયદોસરેરાશ સાથે ચોરસ વિચલન s=1 mm અને ગાણિતિક અપેક્ષા એ= 0. સંભવિતતા શોધો કે બે સ્વતંત્ર અવલોકનોમાંથી ઓછામાં ઓછા એકની ભૂલ સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં 1.28 મીમીથી વધુ ન હોય.

પ્રતિનિધિ 0,96.

5. ઓટોમેટિક મશીન દ્વારા ઉત્પાદિત રોલર્સને પ્રમાણભૂત ગણવામાં આવે છે જો ડિઝાઇનના કદમાંથી રોલર વ્યાસનું વિચલન 2 મીમીથી વધુ ન હોય. રેન્ડમ વિચલનોરોલર વ્યાસ પ્રમાણભૂત વિચલન s = 1.6 mm અને ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે સામાન્ય કાયદાનું પાલન કરે છે a = 0. મશીન પ્રમાણભૂત રોલરોના કેટલા ટકા ઉત્પાદન કરે છે?

પ્રતિનિધિઆશરે 79%.

6. અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સવિતરણ કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે:

જો X અને Y ચલોના સંભવિત મૂલ્યોની દરેક જોડી રેન્ડમ ચલ Zના એક સંભવિત મૂલ્યને અનુરૂપ હોય, તો Z એ દલીલો X અને Y: Z=φ(X, Y) ના બે કેસોનું કાર્ય કહેવાય છે.

1. X અને Y ને અલગ સ્વતંત્ર માત્રામાં રહેવા દો.

Z=X+Y ફંક્શન માટે વિતરણ કાયદો બનાવવા માટે, Z ના તમામ સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની સંભાવનાઓ શોધવા જરૂરી છે. કારણ કે X અને Y સ્વતંત્ર માત્રા છે, પછી zi=xi+yi, pz=px*py. જો zi=zj, તો તેમની સંભાવનાઓ ઉમેરે છે.

2. X અને Y ને સતત માત્રામાં રહેવા દો. તે સાબિત થયું છે: જો X અને Y સ્વતંત્ર છે, તો સરવાળા Z=X+Y ની વિતરણ ઘનતા g(z) (જો કે ઓછામાં ઓછી એક દલીલની ઘનતા અંતરાલ પર આપવામાં આવી હોય (-∞;∞ ) એક સૂત્ર દ્વારા) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

જ્યાં f1, f2 એ દલીલોની વિતરણ ઘનતા છે.

જો દલીલોના સંભવિત મૂલ્યો બિન-નકારાત્મક હોય, તો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને g(z) જોવા મળે છે:

સ્વતંત્ર રેન્ડમ જથ્થાના સરવાળાની વિતરણ ઘનતાને રચના કહેવામાં આવે છે, અને જો આવા કાયદાઓની રચના સમાન કાયદો હોય તો સંભાવના વિતરણ કાયદો સ્થિર કહેવાય છે. M(z)=M(x)+M(y); D(z)=D(x)+D(y).

તમે વૈજ્ઞાનિક સર્ચ એન્જિન Otvety.Online માં પણ તમને રુચિ ધરાવો છો તે માહિતી મેળવી શકો છો. શોધ ફોર્મનો ઉપયોગ કરો:

વિષય 26 પર વધુ. બે રેન્ડમ દલીલોનું કાર્ય:

1. 15. બે દલીલોના કાર્યોના આંશિક વ્યુત્પન્ન, તેમના ભૌમિતિક અર્થ.
2. 23. બંધ પ્રદેશમાં બે દલીલોના કાર્યની સૌથી નાની અને સૌથી મોટી કિંમતો.
3. રેન્ડમ દલીલોના સ્કેલર ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા. દ્વિ-પરિમાણીય સ્વતંત્ર કેસ.
4. 31. બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનું વિતરણ કાર્ય
5. 120. ઉદાહરણ સાથે બતાવો અને વિવાદમાં તકનીકોનો સાર સમજાવો: "જાહેર માટે દલીલ", "દયા માટે દલીલ", "અજ્ઞાનતા માટે દલીલ", "વ્યર્થતા માટે દલીલ" અને "વ્યક્તિ માટે દલીલ". ઉદાહરણ સાથે સમજાવો અને તાર્કિક શબ્દ "ચકાસણી" સમજાવો.

જો રેન્ડમ ચલોની દરેક જોડી
અને રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોમાંથી એકને અનુરૂપ છે , તે
બે રેન્ડમ દલીલોનું કાર્ય કહેવાય છે
અને . વ્યવહારમાં, સૌથી સામાન્ય કાર્ય ફંક્શનના વિતરણ કાયદાને શોધવાનું છે
શરતોના જાણીતા વિતરણો અનુસાર.
ઉદાહરણ તરીકે, જો કેટલાક માપન ઉપકરણના રીડિંગ્સની ભૂલ છે (સામાન્ય રીતે સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે), અને
.

- આ ઉપકરણના રીડિંગ્સની રાઉન્ડિંગ ભૂલ (સમાન રીતે વિતરિત), પછી કાર્ય ઉદ્ભવે છે - ભૂલોના સરવાળાના વિતરણનો કાયદો શોધવા માટે
જે તેમના વિતરણ કાયદા દ્વારા નિર્દિષ્ટ છે.
અને પછી રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો - આ મૂલ્યોના સરવાળાના તમામ સંભવિત મૂલ્યો છે
અને , અને અનુરૂપ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ

મૂલ્યોની અનુરૂપ સંભાવનાઓના ઉત્પાદનો તરીકે જોવા મળે છે
અને .

માં સમાવેશ થાય છેઅને આ ઉત્પાદનોના સરવાળા તરીકે, જો સરવાળાનું એક મૂલ્ય મૂલ્યોના વિવિધ સંયોજનોને અનુરૂપ હોય
અને .

ઉદાહરણ 1.
અલગ રેન્ડમ ચલોના વિતરણની શ્રેણી આપવામાં આવે

પછી કાર્ય :

મૂલ્યો લે છે: 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9. અમે ગુણાકારના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અને સંભાવનાઓના ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ નીચે પ્રમાણે શોધીએ છીએ:
.

અમે રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણી મેળવીએ છીએ
અને -નીચેની લાઇનમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે, તેથી આ કોષ્ટક વાસ્તવમાં રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણીને સ્પષ્ટ કરે છે 7.2.
અને - સ્વતંત્ર છે, પછી રેન્ડમ ચલોની વિતરણ ઘનતા જાણીને
અને -
, અનુક્રમે, રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા

નીચેના ફોર્મ્યુલામાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

;

.

ખાસ કરીને, જો
અંતરાલ પર માત્ર હકારાત્મક મૂલ્યો લો
, પછી નીચેના સૂત્રોને પરિપૂર્ણ કરો:

ઉદાહરણ 2.સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો દો
અને તેમની વિતરણ ઘનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે:

રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો શોધો
.

આમ,

તે તપાસવું સરળ છે કે વિતરણ ઘનતાની મુખ્ય મિલકત સંતુષ્ટ છે, એટલે કે,

§ 8. રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ્સ

8.1 રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમના વિતરણના નિયમો.

અત્યાર સુધી ધ્યાનમાં લેવાયેલા તમામ રેન્ડમ ચલોને એક નંબર (એક દલીલ) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે - એક-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ. પરંતુ, તેમના ઉપરાંત, અમે એવા જથ્થાઓને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ જે બે, ત્રણ અથવા વધુ દલીલો પર આધારિત છે, કહેવાતા બહુપરિમાણીય રેન્ડમ ચલ, જેને એક-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ તરીકે ગણી શકાય.
દ્વારા
અને - દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ, અને દરેક મૂલ્યો દર્શાવો - કહેવાય છે .

ઘટક (ઘટક) દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ કહેવામાં આવે છે અલગ

, જો તેના ઘટકો અલગ રેન્ડમ ચલો છે. સતત

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ કહેવાય છે, જેનાં ઘટકો સતત રેન્ડમ ચલ છે. એક અલગ દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો

ફોર્મનું ટેબલ કહેવાય છે:
,

ઘટનાઓ થી ફોર્મસંપૂર્ણ જૂથ

અસંગત ઘટનાઓ, તો કોષ્ટકમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે.

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલના વિતરણના કાયદાને જાણતા, તમે દરેક ઘટકના વિતરણનો કાયદો શોધી શકો છો:

(કોષ્ટક કૉલમમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો);

(કોષ્ટક પંક્તિમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો).ઉદાહરણ 1 .

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમના વિતરણનો કાયદો
અને .

જથ્થો:
રેન્ડમ ચલોના વિતરણના નિયમો દોરો

રેન્ડમ ચલ વિતરણ છે: વ્યાખ્યા.
દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય
એક ફંક્શન કહેવાય છે જે અલગ અને સતત રેન્ડમ ચલ બંને માટે અર્થપૂર્ણ બને છે. ભૌમિતિક રીતે, આ સમાનતાને રેન્ડમ બિંદુની સંભાવના તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે

બિંદુ પર તેના શિરોબિંદુ સાથે અનંત ચોરસમાં પડે છે

, ડાબી બાજુએ અને આ શિરોબિંદુની નીચે સ્થિત છે.
.

વિતરણ કાર્યની મૂળભૂત ગુણધર્મો:મિલકત 1.

મિલકત 2.ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન એ બંને દલીલો માટે બિન-ઘટતું કાર્ય છે, એટલે કે. અને મિલકત 3.

દરેક માટેનીચેના સંબંધો ધરાવે છે:

રેન્ડમ ચલમિલકત 4. સંયુક્ત વિતરણ દ્વિ-પરિમાણીય સતત રેન્ડમ ચલની સંભાવનાઓને વિતરણ કાર્યનું બીજું મિશ્ર વ્યુત્પન્ન કહેવામાં આવે છે, એટલે કે.

.

ઉદાહરણ 2.રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનું વિતરણ કાર્ય આપેલ છે
:
તેની વિતરણ ઘનતા શોધો.

રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની વિતરણ ઘનતા જાણીએ
-
.

,

પછી સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને વિતરણ કાર્ય શોધી શકાય છે:

આ વિતરણ ઘનતાની વ્યાખ્યામાંથી સીધા જ અનુસરે છે.
હિટ સંભાવના
પ્રદેશ માટે

સમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

, ડાબી બાજુએ અને આ શિરોબિંદુની નીચે સ્થિત છે.દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ ઘનતાના ગુણધર્મો.

વિતરણ કાર્યની મૂળભૂત ગુણધર્મો:દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ ઘનતા હંમેશા હકારાત્મક છે: ડબલઅયોગ્ય અભિન્ન

વિતરણ ઘનતામાંથી એકીકરણની અનંત મર્યાદાઓ સાથે એકતા સમાન છે
જો બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની સંયુક્ત સંભાવના વિતરણ ઘનતા જાણીતી હોય, તો દરેક ઘટકની વિતરણ ઘનતા શોધી શકાય છે.
પણ

.

.

,

પછીએવી જ રીતે આપણને મળે છે

ઉદાહરણ 3.
અને

દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ ઘનતા આપવા દો
રેન્ડમ ચલોની વિતરણ ઘનતા શોધો
ખાતે અને અને આ અંતરાલની બહાર શૂન્ય બરાબર છે. એ જ રીતે, કાર્યની સમપ્રમાણતાને કારણે

પ્રમાણમાં

, અમને મળે છે:
વિતરણના શરતી કાયદા.

અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓ માટે શરતી સંભાવનાની વિભાવના સમાન ખ્યાલ

, રેન્ડમ ચલો વચ્ચેની અવલંબનને દર્શાવવા માટે રજૂ કરી શકાય છે. ચાલો સ્વતંત્ર અને સતત દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલોના કિસ્સાઓને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ.એ)

એક અલગ દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ જથ્થા માટે,

આપેલ ટેબલ:શરતી સંભાવનાઓની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

ટિપ્પણી.અનુરૂપ શરતી સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે, એટલે કે.

ઉદાહરણ 4.
કોષ્ટક દ્વારા એક અલગ રેન્ડમ ચલ આપવા દો: ઘટકનો શરતી વિતરણ કાયદો શોધો .

પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે રેન્ડમ ચલ

અર્થ લીધો દેખીતી રીતે, આ સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે. b) માટે
સતત દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ
શરતી વિતરણ ઘનતા
ઘટક

,

આપેલ મૂલ્ય પર વલણ કહેવાય છે
શરતી વિતરણ ઘનતા
-
.

તેવી જ રીતે,શરતી વિતરણ ઘનતા
ઉદાહરણ 5.
સતત દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલની સંયુક્ત વિતરણ ઘનતાને દો

કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે:

.

ઘટકોની શરતી વિતરણ ઘનતા શોધો.

રેન્ડમ ચલગણતરીમાં પોઈસન ઈન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો પછી શરતી વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે: દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ ઘનતા આપવા દો
શરતી ગાણિતિક અપેક્ષા. શરતી ગાણિતિક અપેક્ષા

અલગ રેન્ડમ ચલ

શક્ય મૂલ્યોના ઉત્પાદનોનો સરવાળો છેકોષ્ટક દ્વારા દ્વિ-પરિમાણીય અલગ રેન્ડમ ચલ આપવા દો:

શરતી ગાણિતિક અપેક્ષાઓ શોધો: ખાતે
અને
ખાતે

પછી

પછી

સતત માત્રા માટે:

આશ્રિત અને સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો.

રેન્ડમ ચલબે રેન્ડમ ચલોને કહેવામાં આવે છે સ્વતંત્ર , જો તેમાંથી એકનો વિતરણ કાયદો અન્ય રેન્ડમ વેરીએબલે લીધેલા સંભવિત મૂલ્યો પર આધાર રાખતો નથી. આમાંથી વ્યાખ્યાઓ જોઈએકે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના શરતી વિતરણ કાયદાઓ તેમના બિનશરતી વિતરણ કાયદા સમાન છે.

પ્રમેય.
અને સ્વતંત્ર હતા, સમાનતા રાખવા માટે તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે:

અમે પ્રમેય સાબિત કરીશું નહીં, પરંતુ પરિણામે, અમને મળે છે:

પરિણામ. રેન્ડમ ચલો માટે ક્રમમાં
અને સ્વતંત્ર હતા, તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે સિસ્ટમના સંયુક્ત વિતરણની ઘનતા
સમાન હતું - કામ પરઘટકોની વિતરણ ઘનતા, એટલે કે.

બે રેન્ડમ સિસ્ટમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

જથ્થો

સહસંબંધ ક્ષણ. ગુણાંક

રેન્ડમ ચલસહસંબંધ
સહસંબંધ ક્ષણ
અને રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમો

આ જથ્થાઓના વિચલનના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવામાં આવે છે:નોંધ 1.

તે જોવાનું સરળ છે કે સહસંબંધ ક્ષણ ફોર્મમાં લખી શકાય છે:નોંધ 2. બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની સહસંબંધ ક્ષણ.

શૂન્ય બરાબર

આ રેન્ડમ ચલોની સ્વતંત્રતાની સ્થિતિને અનુસરે છે.નોંધ 3.
અને રેન્ડમ ચલોની સહસંબંધ ક્ષણ માટે

રેન્ડમ ચલઅસમાનતા ધરાવે છે
રેન્ડમ ચલો
અને સહસંબંધ ગુણાંક

(2)

આ જથ્થાના પ્રમાણભૂત વિચલનોના ગુણોત્તર સાથે સહસંબંધ ક્ષણનો ગુણોત્તર કહેવાય છે, એટલે કે.

જો રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર હોય, તો તેમની સહસંબંધ ક્ષણ શૂન્યની બરાબર છે અને તે મુજબ, તેમનો સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્યની બરાબર છે.

(3)

રિમાર્ક 3 ને ધ્યાનમાં લેતા, અમે સહસંબંધ ગુણાંકની મુખ્ય મિલકત મેળવીએ છીએ:ઉદાહરણ 7.

ચાલો અલગ રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમના કેસને ધ્યાનમાં લઈએ, જેનું વિતરણ કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યું છે: .

ઘટકોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતા શોધો અને તેમના માટે સહસંબંધ ગુણાંક શોધો

ચાલો ઘટકોના વિતરણના એક-પરિમાણીય કાયદાઓ શોધીએ અને તેમને.

સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

માટે

ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા:

પછી સહસંબંધ ક્ષણ સમાન છે:

અને અંતે, સહસંબંધ ગુણાંક છે:
અને આનો અર્થ એ છે કે રેન્ડમ ચલો

ખૂબ જ નબળી અવલંબન છે.

ચાલો સતત રેન્ડમ ચલોના કિસ્સામાં સમાન સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ.ઉદાહરણ 8.
રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ દો

ઘનતા સાથે વિતરણ કાયદાને આધીન છે: વિસ્તાર ક્યાં છે.શોધો
અને અને તેમના સહસંબંધ ગુણાંક .

પ્રદેશ
- આ એક ત્રિકોણ છે:

0 2

પ્રથમ આપણે પરિમાણની કિંમત શોધીએ છીએ , વિતરણ ઘનતાની મૂળભૂત સ્થિતિને ધ્યાનમાં લેતા:

અમારા કિસ્સામાં,

અહીંથી,
અને વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે:

ચાલો ઘટકોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધીએ.

કાર્ય થી
અને પ્રદેશ
સંદર્ભે સપ્રમાણ અને , પછી રેન્ડમ મૂલ્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
અને સંયોગ, એટલે કે

રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા

સહસંબંધ ક્ષણ સમાન છે:

અને અંતે,

રેન્ડમનો સહસંબંધ અને અવલંબન

જથ્થો

રેન્ડમ ચલબે રેન્ડમ ચલો
અને કહેવાય છે સહસંબંધિત , જો તેમની સહસંબંધ ક્ષણ (અથવા, સમકક્ષ રીતે, સહસંબંધ ગુણાંક) શૂન્યથી અલગ હોય.

સહસંબંધિત માત્રાઓ નિર્ભર છે. વિપરીત ધારણા હંમેશા પકડી શકતી નથી, એટલે કે. આશ્રિત રેન્ડમ ચલો ક્યાં તો સહસંબંધિત અથવા અસંબંધિત હોઈ શકે છે. જો રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર છે, તો તે અનિવાર્યપણે અસંબંધિત છે.

ચાલો આપણે તે બે ઉદાહરણ દ્વારા જોઈએ આશ્રિત માત્રાઅસંબંધિત હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ.
દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ દો

માટે - વિતરણ ઘનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
અને તે સાબિત કરો

- અસંબંધિત જથ્થો.

ઘટકોની વિતરણ ઘનતા, જેમ કે જોવામાં સરળ છે, આપેલ અંડાકારની અંદર અનુરૂપ સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે અને અંડાકારની બહાર શૂન્ય સમાન હોય છે.
અને ત્યારથી

કાર્ય થી
- આશ્રિત રેન્ડમ ચલો.
તે પછી, ઓય અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે
, એ જ રીતે,
, સમપ્રમાણતાને કારણે

ઓક્સ અક્ષ (પણ કાર્યો) ને સંબંધિત. કારણ કે આંતરિક અવિભાજ્ય શૂન્યની બરાબર છે (નહીંનું અભિન્નસમ કાર્ય

સમાન કાર્યની બરાબર છે, અને એકીકરણની મર્યાદા સપ્રમાણ છે). પછી

આ જથ્થાઓના વિચલનના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવામાં આવે છે:તે આ નિર્ભર રેન્ડમ ચલો સહસંબંધિત નથી.

તે જોવાનું સરળ છે કે સહસંબંધ ક્ષણ ફોર્મમાં લખી શકાય છે:દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલના સામાન્ય રીતે વિતરિત ઘટકો માટે, અસંબંધિતતા અને સ્વતંત્રતાના ખ્યાલો સમકક્ષ છે.
અને જો ઘટકો
, તે

રેખીય અવલંબન દ્વારા જોડાયેલા છે, એટલે કે.

ગ્રંથસૂચિ

Gmurman V.E. સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડા - M.: Vyssh. શાળા, 2001.

Gmurman V.E. સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની માર્ગદર્શિકા - M.: Vyssh. શાળા , 2001

ગુર્સ્કી ઇ.આઇ. ગાણિતિક આંકડાઓના તત્વો સાથેની સંભાવના સિદ્ધાંત - એમ.: વ્યાસ.

શાળા, 1971.

Izosova L.A., Izosov A.V. રેન્ડમ ચલો // સંકેતની પદ્ધતિ// - મેગ્નિટોગોર્સ્ક, 2003.

ચિસ્ત્યાકોવ વી.પી. સંભાવના સિદ્ધાંત પર અભ્યાસક્રમ - એમ.: નૌકા, 1982.

રેન્ડમ ચલોના કાર્યની વ્યાખ્યા. અલગ કાર્ય રેન્ડમ દલીલઅને તેની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. સતત રેન્ડમ દલીલનું કાર્ય અને તેની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. બે રેન્ડમ દલીલોના કાર્યો. બે રેન્ડમ દલીલોના કાર્ય માટે સંભાવના વિતરણ કાર્ય અને ઘનતાનું નિર્ધારણ.

એક રેન્ડમ ચલના કાર્યની સંભાવના વિતરણનો કાયદો

વિવિધની ચોકસાઈનું મૂલ્યાંકન કરવા સંબંધિત સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે આપોઆપ સિસ્ટમો, ઉત્પાદન ચોકસાઈ વ્યક્તિગત ઘટકોસિસ્ટમો, વગેરે, ઘણીવાર એક અથવા વધુ રેન્ડમ ચલોના કાર્યોને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. આવા કાર્યો પણ રેન્ડમ ચલ છે. તેથી, સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, સમસ્યામાં દેખાતા રેન્ડમ ચલોના વિતરણ કાયદાને જાણવું જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, રેન્ડમ દલીલોની સિસ્ટમનો વિતરણ કાયદો અને કાર્યાત્મક અવલંબન સામાન્ય રીતે જાણીતું છે.

આમ, એક સમસ્યા ઊભી થાય છે જે નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે.

રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ આપેલ છે (X_1,X_2,\ldots,X_n), જેનો વિતરણ કાયદો જાણીતો છે. કેટલાક રેન્ડમ ચલ Y ને આ રેન્ડમ ચલોના કાર્ય તરીકે ગણવામાં આવે છે:

Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).

વિધેયોના સ્વરૂપ (6.1) અને તેની દલીલોના સંયુક્ત વિતરણના કાયદાને જાણીને, રેન્ડમ ચલ Y ના વિતરણનો કાયદો નક્કી કરવો જરૂરી છે.

ચાલો એક રેન્ડમ દલીલના કાર્યના વિતરણ કાયદાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ

Y=\varphi(X).

\શરૂઆત(એરે)(|c|c

પછી Y=\varphi(X) પણ શક્ય મૂલ્યો સાથેનું એક અલગ રેન્ડમ ચલ છે. જો બધા મૂલ્યો y_1,y_2,\ldots,y_nઅલગ છે, પછી દરેક k=1,2, \ldots, n ઘટનાઓ \(X=x_k\) અને \(Y=y_k=\varphi(x_k)\)સમાન છે. આથી,

P\(Y=y_k\)=P\(X=x_k\)=p_k

\begin(એરે)(|c|c (P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(એરે)

જો સંખ્યાઓ વચ્ચે y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n)ત્યાં સમાન છે, પછી દરેક જૂથ સમાન મૂલ્યો y_k=\varphi(x_k) તમારે કોષ્ટકમાં એક કૉલમ ફાળવવાની અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે.

સતત રેન્ડમ ચલ માટે, સમસ્યા નીચે મુજબ છે: રેન્ડમ ચલ X ની વિતરણ ઘનતા f(x) જાણીને, રેન્ડમ ચલ Y=\varphi(X) ની વિતરણ ઘનતા g(y) શોધો. સમસ્યા હલ કરતી વખતે, અમે બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

ચાલો આપણે સૌ પ્રથમ ધારીએ કે ફંક્શન y=\varphi(x) એકવિધ રીતે વધી રહ્યું છે, સતત અને અંતરાલ (a;b) પર અલગ છે જેના પર X ની તમામ સંભવિત કિંમતો આવેલી છે. પછી વ્યસ્ત ફંક્શન x=\psi(y) અસ્તિત્વમાં છે, જ્યારે એકવિધ રીતે વધતું, સતત અને ભિન્નતાપાત્ર પણ છે. આ કિસ્સામાં આપણે મેળવીએ છીએ

G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.

ઉદાહરણ 1. રેન્ડમ ચલ X ઘનતા સાથે વિતરિત

F(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))e^(-x^2/2)

અવલંબન Y=X^3 દ્વારા X મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલ રેન્ડમ ચલ Y ના વિતરણનો કાયદો શોધો.

ઉકેલ.ફંક્શન y=x^3 અંતરાલ પર મોનોટોનિક હોવાથી (-\infty;+\infty), અમે સૂત્ર (6.2) લાગુ કરી શકીએ છીએ. વ્યસ્ત કાર્યકાર્ય \varphi(x)=x^3 ના સંબંધમાં \psi(y)=\sqrt(y) છે, તેનું વ્યુત્પન્ન \psi"(y)=\frac(1)(3\sqrt(y^2)). આથી,

G(y)=\frac(1)(3\sqrt(2\pi))e^(-\sqrt(y^2)/2)\frac(1)(\sqrt(y^2))

ચાલો નોનમોનોટોનિક ફંક્શનના કેસને ધ્યાનમાં લઈએ. ફંક્શન y=\varphi(x) ને એવું રહેવા દો કે વ્યસ્ત ફંક્શન x=\psi(y) અસ્પષ્ટ છે, એટલે કે y નું એક મૂલ્ય દલીલ xના અનેક મૂલ્યોને અનુરૂપ છે, જેને આપણે સૂચવીએ છીએ x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y), જ્યાં n એ વિભાગોની સંખ્યા છે જેમાં ફંક્શન y=\varphi(x) એકવિધ રીતે બદલાય છે. પછી

G(y)=\sum\limits_(k=1)^(n)f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

ઉદાહરણ 2. ઉદાહરણ 1 ની શરતો હેઠળ, રેન્ડમ ચલ Y=X^2 નું વિતરણ શોધો.

ઉકેલ.વ્યસ્ત કાર્ય x=\psi(y) અસ્પષ્ટ છે. દલીલ y નું એક મૂલ્ય x ફંક્શનના બે મૂલ્યોને અનુરૂપ છે

\begin(એકત્ર કરેલ)g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\ =\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(-\sqrt(y^2)\જમણે)^2/2)\!\left|-\frac(1) )(2\sqrt(y)\right|+\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(\sqrt(y^2)\જમણે)^2/2 )\!\left|\frac(1)(2\sqrt(y))\right|=\frac(1)(\sqrt(2\pi(y))\,e^(-y/2) .\અંત(એકત્ર થયેલ)

બે રેન્ડમ ચલોના કાર્યનો વિતરણ કાયદો

રેન્ડમ ચલ Y ને સિસ્ટમ (X_1;X_2) બનાવતા બે રેન્ડમ ચલોનું કાર્ય થવા દો, એટલે કે. Y=\varphi(X_1;X_2). કાર્ય એ સિસ્ટમના જાણીતા વિતરણ (X_1;X_2) નો ઉપયોગ કરીને રેન્ડમ ચલ Y નું વિતરણ શોધવાનું છે.

f(x_1;x_2) એ રેન્ડમ ચલ (X_1;X_2) ની સિસ્ટમની વિતરણ ઘનતા છે. ચાલો X_1 ની બરાબર એક નવો જથ્થો Y_1 ને ધ્યાનમાં લઈએ અને સમીકરણોની સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લઈએ

અમે ધારીશું કે આ સિસ્ટમ x_1,x_2 ના સંદર્ભમાં અનન્ય રીતે ઉકેલી શકાય તેવી છે

રેન્ડમ ચલ Y ની વિતરણ ઘનતા

G_1(y)=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac(\partial\psi(y;x_1)) (\partial(y))\right|dx_1.

નોંધ કરો કે જો રજૂ કરેલ નવું મૂલ્ય Y_1 X_2 ની બરાબર સેટ કરેલ હોય તો તર્ક બદલાતો નથી.

રેન્ડમ ચલોના કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા

વ્યવહારમાં, ઘણીવાર એવા કિસ્સાઓ હોય છે જ્યારે રેન્ડમ ચલોના કાર્યના વિતરણના કાયદાને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરવાની કોઈ ખાસ જરૂર હોતી નથી, પરંતુ તે ફક્ત તેની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ સૂચવવા માટે પૂરતું છે. આમ, આ કાર્યોના વિતરણના નિયમો ઉપરાંત રેન્ડમ ચલોના કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવામાં સમસ્યા ઊભી થાય છે.

રેન્ડમ ચલ Y ને રેન્ડમ દલીલ X નું કાર્ય થવા દો કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છેવિતરણ

Y=\varphi(X).

તેની ગાણિતિક અપેક્ષા નક્કી કરવા માટે, Y જથ્થાના વિતરણનો કાયદો શોધ્યા વિના તે જરૂરી છે.

M(Y)=M[\varphi(X)].

X એ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સીરિઝ ધરાવતું એક અલગ રેન્ડમ ચલ છે

\begin(એરે)(|c|c

ચાલો Y મૂલ્યના મૂલ્યો અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓનું કોષ્ટક બનાવીએ:

\begin(એરે)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(એરે)

આ કોષ્ટક રેન્ડમ ચલ Y ની વિતરણ શ્રેણી નથી, ત્યારથી માં સામાન્ય કેસકેટલાક મૂલ્યો સમાન હોઈ શકે છે અને ટોચની પંક્તિમાંના મૂલ્યો ચડતા ક્રમમાં હોય તે જરૂરી નથી. જો કે, રેન્ડમ ચલ Y ની ગાણિતિક અપેક્ષા સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે

M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

ફોર્મ્યુલા (6.4) સ્પષ્ટપણે ફંક્શન \varphi(X) ના વિતરણ કાયદાને સમાવતું નથી, પરંતુ ફક્ત દલીલ X નો વિતરણ કાયદો ધરાવે છે. આમ, વિધેય Y=\varphi(X) ની ગાણિતિક અપેક્ષા નક્કી કરવા માટે, ફંક્શન \varphi(X) ના વિતરણ કાયદાને જાણવું બિલકુલ જરૂરી નથી, પરંતુ દલીલ X ના વિતરણ કાયદાને જાણવું જરૂરી છે.

સતત રેન્ડમ ચલ માટે, ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

ચાલો એવા કિસ્સાઓ પર વિચાર કરીએ કે જ્યારે, રેન્ડમ દલીલોના કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધવા માટે, દલીલોના વિતરણના નિયમોનું પણ જ્ઞાન જરૂરી નથી, પરંતુ ફક્ત તેમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓને જાણવા માટે તે પૂરતું છે. ચાલો આ કિસ્સાઓને પ્રમેયના રૂપમાં ઘડીએ.

પ્રમેય 6.1. આશ્રિત અને સ્વતંત્ર બંને રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા આ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી છે:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

પ્રમેય 6.2. બે રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ વત્તા સહસંબંધ ક્ષણના ઉત્પાદનની સમાન છે:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

કોરોલરી 6.1. બે અસંબંધિત રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદન સમાન છે.

કોરોલરી 6.2. બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે.

રેન્ડમ ચલોના ફંક્શનનો ભિન્નતા

વિક્ષેપની વ્યાખ્યા દ્વારા આપણી પાસે છે D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. આથી,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2], ક્યાં .

ચાલો આપીએ ગણતરીના સૂત્રોમાત્ર સતત રેન્ડમ દલીલોના કેસ માટે. એક અવ્યવસ્થિત દલીલ Y=\varphi(X) ના કાર્ય માટે, તફાવત સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x))^2f(x)\,dx,

જ્યાં M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા \varphi(X);

f(x) - મૂલ્ય X ની વિતરણ ઘનતા.

ફોર્મ્યુલા (6.5) ને નીચેના સાથે બદલી શકાય છે:

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X) ચાલો વિચાર કરીએવિક્ષેપ પ્રમેય જે રમે છેમહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા

સંભાવના સિદ્ધાંત અને તેના કાર્યક્રમોમાં. પ્રમેય 6.3.રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો તફાવત આ ચલોના ચલોના સરવાળાના સરવાળા વત્તા સરવાળાના બમણા સમાન છે

સહસંબંધ ક્ષણો

નીચેના તમામ સાથે દરેક સમન્ડ જથ્થો:

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(i)કોરોલરી 6.3.

અસંબંધિત રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો તફાવત એ શરતોના ભિન્નતાના સરવાળા સમાન છે:

\mu_(y_1y_2)= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2). \mu_(y_1y_2)=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X))..

એટલે કે, રેન્ડમ ચલોના બે કાર્યોની સહસંબંધ ક્ષણ આ વિધેયોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષાને બાદ કરતાં ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ગુણાંક જેટલી છે.

ચાલો મુખ્ય જોઈએ

સહસંબંધ ક્ષણ અને સહસંબંધ ગુણાંકના ગુણધર્મો