ભૌમિતિક આકૃતિઓને સમાન જો કહેવામાં આવે છે. અમૂર્ત: આકૃતિઓની સમાનતા

સમાનતા પરિવર્તનની વ્યાખ્યા પ્લેન અને અવકાશ બંનેમાં સમાન છે. આકૃતિનું આકૃતિમાં રૂપાંતરણને સમાનતા રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે જો આ રૂપાંતર દરમિયાન બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન સંખ્યામાં બદલાય (વધારો અથવા ઘટાડો). આનો અર્થ એ છે કે જો મનસ્વી બિંદુઓઆ રૂપાંતર સાથે આકૃતિ F ના A અને B આકૃતિના બિંદુઓ પર જાય છે જ્યાં .

સંખ્યા k ને સમાનતા ગુણાંક કહેવામાં આવે છે જ્યારે સમાનતા પરિવર્તન એક ચળવળ હોય છે.

હોમોથેટી એ સમાનતાનું પરિવર્તન છે.

સમાનતા પરિવર્તનના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લો.

1. સમાનતા રૂપાંતરણ દરમિયાન, એક જ રેખા પર પડેલા ત્રણ બિંદુઓ A, B અને C, તે જ રેખા પર પડેલા ત્રણ લાઇ પોઈન્ટમાં રૂપાંતરિત થાય છે. તદુપરાંત, જો બિંદુ B બિંદુ A અને C વચ્ચે આવેલું છે, તો બિંદુ બિંદુઓ વચ્ચે આવેલું છે

2. સમાનતા રૂપાંતરણ રેખાઓને સીધી રેખાઓમાં, અર્ધ-રેખાને અર્ધ-લાઇનમાં, વિભાગોને ભાગોમાં, વિમાનોને વિમાનોમાં પરિવર્તિત કરે છે.

3. સમાનતા રૂપાંતરણ અર્ધ-રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓને સાચવે છે.

4. દરેક સમાનતા રૂપાંતર એક સમાનતા નથી.

આકૃતિ 226 માં, આકૃતિ F માંથી હોમોથેટી દ્વારા મેળવવામાં આવે છે, અને આકૃતિ રેખા વિશે સમપ્રમાણતા દ્વારા આકૃતિમાંથી મેળવવામાં આવે છે. F થી F માં રૂપાંતર કરી રહ્યા છીએ? સમાનતા રૂપાંતર છે, કારણ કે તે અનુરૂપ બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના સંબંધોને સાચવે છે, પરંતુ આ રૂપાંતર એક સમાનતા નથી.

અવકાશમાં સમાનતા માટે નીચેનું પ્રમેય સાચું છે:

અવકાશમાં હોમોથેટી ટ્રાન્સફોર્મેશન હોમોથેટી સેન્ટરમાંથી પસાર ન થતા કોઈપણ પ્લેનને રૂપાંતરિત કરે છે સમાંતર વિમાનઅથવા તમારામાં.

આકૃતિ 227 બે હોમોથેટીક ક્યુબ્સ દર્શાવે છે જેનું હોમોથેટી ગુણાંક 2 જેટલું છે. પ્લેન ABCD સમાંતર પ્લેન ABCDમાં જાય છે. ક્યુબના અન્ય ચહેરાઓના વિમાનો વિશે પણ એવું જ કહી શકાય.

78. સમાન આંકડા.

બે આકૃતિઓ F સમાનતા રૂપાંતર દ્વારા એકબીજામાં પરિવર્તિત થાય તો તેને સમાન કહેવામાં આવે છે. આકૃતિઓની સમાનતા દર્શાવવા માટે, પ્રતીકનો ઉપયોગ થાય છે. એન્ટ્રી વાંચે છે: "આકૃતિ F આકૃતિ જેવી જ છે."

સમાનતા રૂપાંતરણના ગુણધર્મોમાંથી તે અનુસરે છે સમાન બહુકોણઅનુરૂપ ખૂણા સમાન છે અને અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણસર છે.

નોટેશન ધારે છે કે સમાનતા રૂપાંતર દ્વારા સંયુક્ત શિરોબિંદુઓ અનુરૂપ સ્થાનો પર છે, એટલે કે A - માટે જાય છે

માટે સમાન ત્રિકોણસમાનતાઓ સાચી છે

જો અનુરૂપ ખૂણા સમાન હોય અને અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણસર હોય તો બે ત્રિકોણ સમાન હોય છે. ચાલો ત્રિકોણ માટે સમાનતા માપદંડો ઘડીએ.

અમૂર્ત

વિષય પર: "આકૃતિઓની સમાનતા"

પૂર્ણ:

વિદ્યાર્થી

તપાસેલ:

1. સમાનતા પરિવર્તન

2. સમાનતા પરિવર્તનના ગુણધર્મો

3. આંકડાઓની સમાનતા

4. બે ખૂણા પર ત્રિકોણની સમાનતાનું ચિહ્ન

5. બે બાજુઓ પરના ત્રિકોણની સમાનતા અને તેમની વચ્ચેનો કોણ

6. ત્રણ બાજુઓ પર ત્રિકોણની સમાનતાની નિશાની

7. કાટકોણ ત્રિકોણની સમાનતા

8. વર્તુળમાં કોતરેલા ખૂણા

9. વર્તુળના તાર અને સેકન્ટ્સના સેગમેન્ટ્સની પ્રમાણસરતા

10. "આકૃતિઓની સમાનતા" વિષય પર સમસ્યાઓ

1. સમાનતા પરિવર્તન

આકૃતિ F નું આકૃતિ F "માં રૂપાંતરણને સમાનતા રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે જો, આ રૂપાંતર દરમિયાન, બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન સંખ્યા (ફિગ. 1) દ્વારા બદલાય છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે જો મનસ્વી બિંદુઓ X, Y ના આકૃતિ F, સમાનતા રૂપાંતર દરમિયાન, બિંદુઓ X", Y"આકૃતિ F", પછી X"Y" = k-XY, અને સંખ્યા k એ બધા બિંદુઓ X, Y માટે સમાન છે. સંખ્યા k કહેવાય છે સમાનતા ગુણાંક. k = l માટે, સમાનતા પરિવર્તન દેખીતી રીતે ગતિ છે.

ચાલો F - આ આંકડોઅને O - નિશ્ચિત બિંદુ (ફિગ. 2). ચાલો આકૃતિ F ના મનસ્વી બિંદુ X દ્વારા કિરણ OX દોરીએ અને તેના પર k OX ના બરાબર OX સેગમેન્ટ લખીએ, જ્યાં k છે હકારાત્મક સંખ્યા. આકૃતિ Fનું રૂપાંતર, જેમાં તેના દરેક બિંદુ X બિંદુ X પર જાય છે, જે દર્શાવેલ રીતે બાંધવામાં આવે છે, તેને કેન્દ્ર O ના સંદર્ભમાં હોમોથેટી કહેવામાં આવે છે. સંખ્યા k ને હોમોથેટી ગુણાંક કહેવામાં આવે છે, આકૃતિઓ F અને F" ને હોમોથેટિક કહેવામાં આવે છે.

પ્રમેય 1. હોમોથેટી એ સમાનતા પરિવર્તન છે

પુરાવો. ચાલો O ને હોમોથેટી સેન્ટર, k એ હોમોથેટી ગુણાંક, X અને Y આકૃતિના બે મનસ્વી બિંદુઓ હોઈએ (ફિગ. 3)

Fig.3 Fig.4

સમાનતા સાથે, પોઈન્ટ X અને Y અનુક્રમે OX અને OY કિરણો પર પોઈન્ટ X" અને Y" પર જાય છે, અને OX" = k·OX, OY" = k·OY. આ વેક્ટર સમાનતા સૂચવે છે OX" = kOX, OY" = kOY.

આ સમાનતાની અવધિને ટર્મ દ્વારા બાદ કરતાં, આપણે મેળવીએ છીએ: OY"-OX" = k (OY-OX).

ત્યારથી OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, પછી X"Y" = kХY. આનો અર્થ છે /X"Y"/=k /XY/, એટલે કે. X"Y" = kXY. પરિણામે, હોમોથેટી એ સમાનતાનું પરિવર્તન છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

મશીન પાર્ટ્સ, સ્ટ્રક્ચર્સ, સાઇટ પ્લાન વગેરેના ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે સમાનતા પરિવર્તનનો વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. આ છબીઓ સંપૂર્ણ કદમાં કાલ્પનિક છબીઓના સમાન રૂપાંતરણ છે. સમાનતા ગુણાંકને સ્કેલ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ભૂપ્રદેશનો એક વિભાગ 1:100 ના સ્કેલ પર દર્શાવવામાં આવ્યો છે, તો તેનો અર્થ એ છે કે યોજના પરનો એક સેન્ટિમીટર જમીન પર 1 મીટરને અનુરૂપ છે.

કાર્ય. આકૃતિ 4 1:1000 ના સ્કેલ પર એસ્ટેટની યોજના દર્શાવે છે. એસ્ટેટના પરિમાણો (લંબાઈ અને પહોળાઈ) નક્કી કરો.

ઉકેલ. પ્લાન પર એસ્ટેટની લંબાઈ અને પહોળાઈ 4 cm અને 2.7 cm છે કારણ કે પ્લાન 1:1000 ના સ્કેલ પર બનાવવામાં આવ્યો છે, એસ્ટેટના પરિમાણો અનુક્રમે 2.7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm છે. 40 મી.

2. સમાનતા પરિવર્તનના ગુણધર્મો

જેમ ગતિ માટે, તે સાબિત થાય છે કે સમાનતા રૂપાંતર દરમિયાન, ત્રણ બિંદુઓ A, B, C, એક જ રેખા પર પડેલા, ત્રણ બિંદુઓ A 1, B 1, C 1 માં જાય છે, તે પણ સમાન રેખા પર પડેલા છે. તદુપરાંત, જો બિંદુ B બિંદુ A અને C વચ્ચે આવેલું છે, તો બિંદુ B 1 બિંદુ A 1 અને C 1 વચ્ચે આવેલું છે. તે અનુસરે છે કે સમાનતા રૂપાંતરણ રેખાઓને સીધી રેખાઓમાં, અર્ધ-રેખાને અર્ધ-લાઇનમાં અને ભાગોને ભાગોમાં પરિવર્તિત કરે છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે સમાનતા રૂપાંતરણ અર્ધ-રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓને સાચવે છે.

ખરેખર, કોણ ABC ને ગુણાંક k સાથે સમાનતા રૂપાંતર દ્વારા કોણ A 1 B 1 C 1 (ફિગ. 5) માં પરિવર્તિત થવા દો. ચાલો કોણ ABC ને હોમોથેટી ગુણાંક k સાથે તેના શિરોબિંદુ B ને સંબંધિત હોમોથેટી ટ્રાન્સફોર્મેશનને આધિન કરીએ. આ કિસ્સામાં, પોઇન્ટ A અને C પોઇન્ટ A 2 અને C 2 પર જશે. ત્રિકોણ A 2 BC 2 અને A 1 B 1 C 1 ત્રીજા માપદંડ મુજબ સમાન છે. ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે ખૂણા A 2 BC 2 અને A 1 B 1 C 1 સમાન છે. આનો અર્થ એ થયો કે ખૂણા ABC અને A 1 B 1 C 1 સમાન છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

3. આંકડાઓની સમાનતા

બે આકૃતિઓ સમાનતા રૂપાંતર દ્વારા એકબીજામાં રૂપાંતરિત થાય તો તેને સમાન કહેવામાં આવે છે. આકૃતિઓની સમાનતા દર્શાવવા માટે, એક વિશિષ્ટ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: ∞. સંકેત F∞F" આ રીતે વાંચે છે: "આકૃતિ F એ આકૃતિ F સમાન છે"."

ચાલો સાબિત કરીએ કે જો આકૃતિ F 1 આકૃતિ F 2 જેવી છે, અને આકૃતિ F 2 આકૃતિ F 3 જેવી છે, તો આકૃતિ F 1 અને F 3 સમાન છે.

X 1 અને Y 1 એ આકૃતિ F 1 ના બે મનસ્વી બિંદુઓ છે. સમાનતા રૂપાંતર જે આકૃતિ F 1 ને F 2 માં પરિવર્તિત કરે છે તે આ બિંદુઓને X 2, Y 2 બિંદુઓમાં પરિવર્તિત કરે છે, જેના માટે X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1.

સમાનતા રૂપાંતર જે આકૃતિ F 2 ને F 3 માં પરિવર્તિત કરે છે તે પોઈન્ટ X 2, Y 2 ને પોઈન્ટ X 3, Y 3 માં રૂપાંતરિત કરે છે, જેના માટે X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2.

સમાનતાઓમાંથી

X 2 Y 2 = kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

તે અનુસરે છે કે X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 . આનો અર્થ એ છે કે આકૃતિ F 1 નું F 3 માં રૂપાંતર, અનુક્રમે બે સમાનતા રૂપાંતરણો કરીને મેળવેલી સમાનતા છે. પરિણામે, આકૃતિઓ F 1 અને F 3 સમાન છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ત્રિકોણની સમાનતા માટેના સંકેતમાં: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - એવું માનવામાં આવે છે કે સમાનતા રૂપાંતર દ્વારા સંયુક્ત શિરોબિંદુઓ અનુરૂપ સ્થાનો પર છે, એટલે કે A 1 માં, B B 1 માં અને C માં C માં જાય છે. 1.

સમાનતા પરિવર્તનના ગુણધર્મો પરથી તે અનુસરે છે કે સમાન આકૃતિઓ માટે અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે, અને અનુરૂપ સેગમેન્ટ્સ પ્રમાણસર છે. ખાસ કરીને, સમાન ત્રિકોણ ABC અને A 1 B 1 C 1 માટે

A=A 1, B=B 1, C=C 1

4. બે ખૂણાઓ અનુસાર ત્રિકોણની સમાનતાનો અર્થ

પ્રમેય 2. જો એક ત્રિકોણના બે ખૂણા બીજા ત્રિકોણના બે ખૂણા સમાન હોય, તો આવા ત્રિકોણ સમાન હોય છે.

પુરાવો. ABC અને A 1 B 1 C 1 A=A 1, B=B 1 ત્રિકોણને ચાલો. ચાલો સાબિત કરીએ કે ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

દો . ચાલો ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 ને સમાનતા ગુણાંક k સાથે સમાનતા રૂપાંતરણને આધીન કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, હોમોથેટી (ફિગ. 6). આ કિસ્સામાં આપણને કેટલાક ત્રિકોણ A 2 B 2 C 2 મળે છે, ત્રિકોણ સમાન ABC. ખરેખર, કારણ કે સમાનતા રૂપાંતરણ ખૂણાઓને સાચવે છે, તો પછી A 2 = A 1, B 2 = B 1. આનો અર્થ એ થયો કે ABC અને A ત્રિકોણમાં 2 B 2 C 2 A = A 2 , B = B 2 છે. આગળ, A 2 B 2 = kA 1 B 1 =AB. પરિણામે, ત્રિકોણ ABC અને A 2 B 2 C 2 બીજા માપદંડ (બાજુ અને અડીને આવેલા ખૂણાઓ દ્વારા) અનુસાર સમાન છે.

ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 અને A 2 B 2 C 2 હોમોથેટિક છે અને તેથી સમાન છે, અને ત્રિકોણ A 2 B 2 C 2 અને ABC સમાન છે અને તેથી તે પણ સમાન છે, તો ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 અને ABC સમાન છે. . પ્રમેય સાબિત થયો છે.

કાર્ય. સીધું, બાજુની સમાંતરત્રિકોણ ABC નો AB તેની બાજુ AC ને બિંદુ A 1 પર અને તેની બાજુ BC ને બિંદુ B 1 પર છેદે છે. સાબિત કરો કે Δ ABC ~ ΔA 1 B 1 C.

ઉકેલ (ફિગ. 7). ત્રિકોણ ABC અને A 1 B 1 C શિરોબિંદુ C પર એક સામાન્ય કોણ ધરાવે છે, અને ખૂણા CA 1 B 1 અને CAB સમાંતર AB અને A 1 B 1 ના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે. તેથી, બે ખૂણા પર ΔАВС~ΔА 1 В 1 С.

5. બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા પરના ત્રિકોણની સમાનતાનો અર્થ

પ્રમેય 3. જો એક ત્રિકોણની બે બાજુઓ બીજા ત્રિકોણની બે બાજુઓના પ્રમાણસર હોય અને આ બાજુઓ દ્વારા બનેલા ખૂણા સમાન હોય, તો ત્રિકોણ સમાન છે.

સાબિતી (પ્રમેય 2 ના પુરાવા જેવું જ). ABC અને A 1 B 1 C 1 C=C 1 અને AC=kA 1 C 1, BC=kB 1 C 1 ત્રિકોણને ચાલો. ચાલો સાબિત કરીએ કે ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

ચાલો ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 ને સમાનતા ગુણાંક k સાથે સમાનતા રૂપાંતરણને આધીન કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, હોમોથેટી (ફિગ. 8).

આ કિસ્સામાં, આપણે ચોક્કસ ત્રિકોણ A 2 B 2 C 2 ત્રિકોણ ABC ની બરાબર મેળવીએ છીએ. ખરેખર, કારણ કે સમાનતા રૂપાંતરણ ખૂણાઓને સાચવે છે, તો પછી C 2 = = C 1 . આનો અર્થ એ થયો કે ABC અને A ત્રિકોણમાં 2 B 2 C 2 C=C 2 છે. આગળ, A 2 C 2 = kA 1 C 1 =AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 =BC. પરિણામે, ત્રિકોણ ABC અને A 2 B 2 C 2 પ્રથમ માપદંડ (બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો) અનુસાર સમાન છે.

ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 અને A 2 B 2 C 2 હોમોથેટિક છે અને તેથી સમાન છે, અને ત્રિકોણ A 2 B 2 C 2 અને ABC સમાન છે અને તેથી પણ સમાન છે, તો ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 અને ABC સમાન છે. . પ્રમેય સાબિત થયો છે.

કાર્ય. તીવ્ર કોણ C સાથે ત્રિકોણ ABC માં, ઊંચાઈ AE અને BD દોરવામાં આવે છે (ફિગ. 9). સાબિત કરો કે ΔABC~ΔEDC.

ઉકેલ. ABC અને EDC ત્રિકોણમાં સામાન્ય શિરોબિંદુ કોણ C છે. ચાલો આ ખૂણાને અડીને આવેલા ત્રિકોણની બાજુઓની પ્રમાણસરતા સાબિત કરીએ. અમારી પાસે EC = AC cos γ, DC = BC cos γ છે. એટલે કે, કોણ C ને અડીને આવેલી બાજુઓ ત્રિકોણ માટે પ્રમાણસર છે. આનો અર્થ છે બે બાજુઓ પર ΔABC~ΔEDC અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો.

6. ત્રણ બાજુઓ પર ત્રિકોણની સમાનતાનો અર્થ

પ્રમેય 4. જો એક ત્રિકોણની બાજુઓ બીજા ત્રિકોણની બાજુઓના પ્રમાણસર હોય, તો આવા ત્રિકોણ સમાન હોય છે.

સાબિતી (પ્રમેય 2 ના પુરાવા જેવું જ). ABC અને A 1 B 1 C 1 AB = kA 1 B 1, AC = kA 1 C 1, BC = kB 1 C 1 ત્રિકોણને ચાલો. ચાલો સાબિત કરીએ કે ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

ચાલો ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 ને સમાનતા ગુણાંક k સાથે સમાનતા રૂપાંતરણને આધીન કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, હોમોથેટી (ફિગ. 10). આ કિસ્સામાં, આપણે ચોક્કસ ત્રિકોણ A 2 B 2 C 2 ત્રિકોણ ABC ની બરાબર મેળવીએ છીએ. ખરેખર, ત્રિકોણ માટે અનુરૂપ બાજુઓ સમાન છે:

A 2 B 2 = kA 1 B 1 = AB, A 2 C 2 = kA 1 C 1 =AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 =BC.

પરિણામે, ત્રિકોણ ત્રીજા માપદંડ (ત્રણ બાજુઓ પર) અનુસાર સમાન છે.

ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 અને A 2 B 2 C 2 હોમોથેટિક છે અને તેથી સમાન છે, અને ત્રિકોણ A 2 B 2 C 2 અને ABC સમાન છે અને તેથી પણ સમાન છે, તો ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 અને ABC સમાન છે. . પ્રમેય સાબિત થયો છે.

કાર્ય. સાબિત કરો કે સમાન ત્રિકોણની પરિમિતિ અનુરૂપ બાજુઓ તરીકે સંબંધિત છે.

ઉકેલ. ABC અને A 1 B 1 C 1 સમાન ત્રિકોણ હોવા દો. પછી ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓના પ્રમાણસર છે, એટલે કે A 1 B 1 =kAB, B 1 C 1 = kBC, A 1 C 1 =kAC. આ સમાનતા શબ્દને શબ્દ દ્વારા ઉમેરવાથી, અમને મળે છે:

A 1 B 1 + B 1 C 1 +A 1 C 1 =k(AB+BC+AC).

એટલે કે, ત્રિકોણની પરિમિતિ અનુરૂપ બાજુઓ તરીકે સંબંધિત છે.

7. લંબચોરસ ત્રિકોણની સમાનતા

યુ જમણો ત્રિકોણએક ખૂણો સાચો છે. તેથી, પ્રમેય 2 મુજબ, બે જમણા ત્રિકોણ સમાન હોવા માટે, તે દરેકમાં સમાન તીવ્ર કોણ હોય તે પૂરતું છે.

કાટકોણ ત્રિકોણની સમાનતા માટે આ પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ત્રિકોણમાં કેટલાક સંબંધો સાબિત કરીશું.

ABC ને કાટકોણ C સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ બનવા દો. શિરોબિંદુમાંથી ઊંચાઈની સીડી દોરો જમણો ખૂણો(ફિગ. 11).

ABC અને CBD ત્રિકોણ ધરાવે છે સામાન્ય કોણશિરોબિંદુ B પર. તેથી, તેઓ સમાન છે: ΔABC~ΔCBD. ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણસર છે:

આ સંબંધ સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ ઘડવામાં આવે છે: કાટખૂણે ત્રિકોણનો પગ એ કર્ણ અને આ પગના કર્ણ પર પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનો પ્રમાણસર સરેરાશ છે.

જમણો ત્રિકોણ ACD અને CBD પણ સમાન છે. તેઓ શિરોબિંદુ A અને C પર સમાન તીવ્ર ખૂણા ધરાવે છે. આ ત્રિકોણની સમાનતા પરથી, તેમની બાજુઓની પ્રમાણસરતા નીચે મુજબ છે:

આ સંબંધ સામાન્ય રીતે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે: કાટખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરવામાં આવેલા કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ કર્ણ પરના પગ I ના અંદાજો વચ્ચેનું સરેરાશ પ્રમાણ છે.

ચાલો સાબિત કરીએ આગામી મિલકતત્રિકોણ દ્વિભાજક: ત્રિકોણનો દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.

CD એ ત્રિકોણ ABC (ફિગ. 12) નું દ્વિભાજક છે. જો ત્રિકોણ ABC એ આધાર AB સાથે સમદ્વિબાજુ છે, તો દ્વિભાજકની દર્શાવેલ મિલકત સ્પષ્ટ છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં દ્વિભાજક CD પણ મધ્યક છે.

ચાલો વિચાર કરીએ સામાન્ય કેસ, જ્યારે AC≠BC. ચાલો A ​​અને B શિરોબિંદુઓમાંથી લંબ AF અને BE રેખા CD પર છોડીએ.

કાટકોણ ત્રિકોણ ACF અને VSE સમાન છે, કારણ કે તેમની પાસે શિરોબિંદુ C પર સમાન તીવ્ર કોણ છે. ત્રિકોણની સમાનતા પરથી, બાજુઓની પ્રમાણસરતા નીચે મુજબ છે:

કાટકોણ ત્રિકોણ ADF અને BDE પણ સમાન છે. શિરોબિંદુ D પરના તેમના ખૂણાઓ ઊભી રાશિઓ સમાન છે. ત્રિકોણની સમાનતાથી બાજુઓના પ્રમાણને અનુસરે છે:

આ સમાનતાને પાછલા એક સાથે સરખાવતા, અમને મળે છે:

એટલે કે, સેગમેન્ટ્સ AD અને BD એ AC અને BC ની બાજુઓના પ્રમાણસર છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

8. વર્તુળમાં શામેલ ખૂણા

એક ખૂણો વિમાનને બે ભાગોમાં તોડે છે. દરેક ભાગને પ્લેન એંગલ કહેવામાં આવે છે. આકૃતિ 13 માં, બાજુઓ a અને b સાથેનો એક પ્લેન એંગલ છાંયો છે. સામાન્ય બાજુઓ સાથેના સમતલ ખૂણાઓને પૂરક કહેવામાં આવે છે.

જો પ્લેન એંગલ અર્ધ-વિમાનનો ભાગ હોય, તો તેનું ડિગ્રી માપ કહેવામાં આવે છે ડિગ્રી માપસમાન બાજુઓ સાથે નિયમિત કોણ. જો પ્લેન એન્ગલમાં અર્ધ-વિમાન હોય, તો તેનું ડિગ્રી માપ 360° - α માનવામાં આવે છે, જ્યાં α એ વધારાના પ્લેન એંગલનું ડિગ્રી માપ છે (ફિગ. 14).

ચોખા. 13 ફિગ.14

વર્તુળમાં કેન્દ્રિય ખૂણો એ તેના કેન્દ્રમાં શિરોબિંદુ ધરાવતો સમતલ કોણ છે. સમતલ કોણની અંદર સ્થિત વર્તુળના ભાગને આ કેન્દ્રીય કોણ (ફિગ. 15) ને અનુરૂપ વર્તુળની ચાપ કહેવામાં આવે છે. વર્તુળના ચાપનું ડિગ્રી માપ એ સંબંધિત કેન્દ્રીય કોણનું ડિગ્રી માપ છે.

ચોખા. 15 ફિગ. 16

એક ખૂણો જેનું શિરોબિંદુ વર્તુળ પર સ્થિત છે અને જેની બાજુઓ આ વર્તુળને છેદે છે તેને વર્તુળમાં અંકિત કહેવામાં આવે છે. આકૃતિ 16 માં કોણ BAC વર્તુળમાં અંકિત થયેલ છે. તેનું શિરોબિંદુ A વર્તુળ પર આવેલું છે, અને તેની બાજુઓ વર્તુળને B અને C બિંદુઓ પર છેદે છે. એવું પણ કહેવાય છે કે કોણ A તાર BC પર રહે છે. સીધી રેખા BC વર્તુળને બે ચાપમાં વિભાજિત કરે છે. આ ચાપને અનુરૂપ કેન્દ્રીય ખૂણો કે જેમાં બિંદુ A ન હોય તેને કહેવામાં આવે છે કેન્દ્રીય કોણ, આપેલ અંકિત કોણને અનુરૂપ.

પ્રમેય 5. વર્તુળમાં લખાયેલો ખૂણો છે અડધા સમાનઅનુરૂપ કેન્દ્રીય કોણ.

પુરાવો. ચાલો પહેલા વિચારીએ ખાસ કેસ, જ્યારે ખૂણાની એક બાજુ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે (ફિગ. 17, a). ત્રિકોણ AOB સમદ્વિબાજુ છે કારણ કે તેની બાજુઓ OA અને OB ત્રિજ્યામાં સમાન છે. તેથી, ત્રિકોણના ખૂણા A અને B સમાન છે. અને તેમનો સરવાળો સમાન હોવાથી બાહ્ય ખૂણોશિરોબિંદુ O પર ત્રિકોણ, તો ત્રિકોણનો B કોણ AOC ના અડધા ખૂણા જેટલો છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

સહાયક વ્યાસ BD (ફિગ. 17, b, c) દોરીને સામાન્ય કેસને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા વિશેષ કેસમાં ઘટાડવામાં આવે છે. આકૃતિ 17, b માં પ્રસ્તુત કેસમાં ABC= CBD+ ABD= ½ COD + ½ AOD= ½ AOC.

આકૃતિ 17, c માં પ્રસ્તુત કેસમાં,

ABC = CBD - ABD = ½ COD - ½ AOD = ½ AOC.

પ્રમેય સંપૂર્ણપણે સાબિત થાય છે.

9. વર્તુળના તાર અને સેકન્ટના સેગમેન્ટ્સનું પ્રમાણ

જો વર્તુળની તાર AB અને CD બિંદુ S પર છેદે છે

ToAS·BS=CS·DS.

ચાલો પહેલા સાબિત કરીએ કે ત્રિકોણ ASD અને CSB સમાન છે (ફિગ. 19). પ્રમેય 5 ના કોરોલરી દ્વારા અંકિત કોણ DCB અને DAB સમાન છે. ખૂણા ASD અને BSC વર્ટિકલ કોણ સમાન છે. દર્શાવેલ ખૂણાઓની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે ત્રિકોણ ASZ અને CSB સમાન છે.

ત્રિકોણની સમાનતામાંથી પ્રમાણને અનુસરે છે

AS BS = CS DS, જે આપણને સાબિત કરવાની જરૂર હતી

Fig.19 Fig.20

જો બિંદુ P થી વર્તુળ તરફ બે સેકન્ટ દોરવામાં આવ્યા હોય, અનુક્રમે A, B અને C, D પર વર્તુળને છેદે છે, તો પછી

બિંદુ A અને C એ બિંદુ P (ફિગ. 20) ની સૌથી નજીકના વર્તુળ સાથેના સેકન્ટ્સના આંતરછેદના બિંદુઓ છે. ત્રિકોણ PAD અને PCB સમાન છે. તેમની પાસે શિરોબિંદુ P પર એક સામાન્ય કોણ છે, અને શિરોબિંદુઓ B અને D પરના ખૂણા વર્તુળમાં લખેલા ખૂણાઓની મિલકત અનુસાર સમાન છે. ત્રિકોણની સમાનતામાંથી પ્રમાણને અનુસરે છે

તેથી PA·PB=PC·PD, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

10. "આકૃતિઓની સમાનતા" વિષય પર સમસ્યાઓ

અમૂર્ત

વિષય પર: "આકૃતિઓની સમાનતા"

પૂર્ણ:

વિદ્યાર્થી

તપાસેલ:

1. સમાનતા પરિવર્તન

2. સમાનતા પરિવર્તનના ગુણધર્મો

3. આંકડાઓની સમાનતા

4. બે ખૂણા પર ત્રિકોણની સમાનતાનું ચિહ્ન

5. બે બાજુઓ પરના ત્રિકોણની સમાનતા અને તેમની વચ્ચેનો કોણ

6. ત્રણ બાજુઓ પર ત્રિકોણની સમાનતાની નિશાની

7. કાટકોણ ત્રિકોણની સમાનતા

8. વર્તુળમાં કોતરેલા ખૂણા

9. વર્તુળના તાર અને સેકન્ટ્સના સેગમેન્ટ્સની પ્રમાણસરતા

10. "આકૃતિઓની સમાનતા" વિષય પર સમસ્યાઓ

1. સમાનતા પરિવર્તન

આકૃતિ F નું આકૃતિ F "માં રૂપાંતરણને સમાનતા રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે જો, આ રૂપાંતર દરમિયાન, બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન સંખ્યા (ફિગ. 1) દ્વારા બદલાય છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે જો મનસ્વી બિંદુઓ X, Y ના આકૃતિ F, સમાનતા રૂપાંતર દરમિયાન, બિંદુઓ X", Y"આકૃતિ F", પછી X"Y" = k-XY, અને સંખ્યા k એ બધા બિંદુઓ X, Y માટે સમાન છે. સંખ્યા k કહેવાય છે સમાનતા ગુણાંક. k = l માટે, સમાનતા પરિવર્તન દેખીતી રીતે ગતિ છે.

ચાલો F એ આપેલ આકૃતિ અને O એ નિશ્ચિત બિંદુ (ફિગ. 2) છે. ચાલો આકૃતિ F ના મનસ્વી બિંદુ X દ્વારા એક કિરણ OX દોરીએ અને તેના પર k·OX ની બરાબર એક સેગમેન્ટ OX લખીએ, જ્યાં k એ ધન સંખ્યા છે. આકૃતિ F નું રૂપાંતર, જેમાં તેના દરેક બિંદુ X બિંદુ X પર જાય છે", દર્શાવેલ રીતે બાંધવામાં આવે છે, તેને કેન્દ્ર O ની સાપેક્ષમાં હોમોથેટી કહેવામાં આવે છે. સંખ્યા k ને હોમોથેટી ગુણાંક કહેવામાં આવે છે, F અને F" આકૃતિઓને હોમોથેટીક કહેવામાં આવે છે.

પ્રમેય 1. હોમોથેટી એ સમાનતા પરિવર્તન છે

પુરાવો. ચાલો O ને હોમોથેટી સેન્ટર, k એ હોમોથેટી ગુણાંક, X અને Y આકૃતિના બે મનસ્વી બિંદુઓ હોઈએ (ફિગ. 3)

Fig.3 Fig.4

મશીન પાર્ટ્સ, સ્ટ્રક્ચર્સ, સાઇટ પ્લાન વગેરેના ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે સમાનતા પરિવર્તનનો વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. આ છબીઓ સંપૂર્ણ કદમાં કાલ્પનિક છબીઓના સમાન રૂપાંતરણ છે. સમાનતા ગુણાંકને સ્કેલ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ભૂપ્રદેશનો એક વિભાગ 1:100 ના સ્કેલ પર દર્શાવવામાં આવ્યો છે, તો તેનો અર્થ એ છે કે યોજના પરનો એક સેન્ટિમીટર જમીન પર 1 મીટરને અનુરૂપ છે.

કાર્ય. આકૃતિ 4 1:1000 ના સ્કેલ પર એસ્ટેટની યોજના દર્શાવે છે. એસ્ટેટના પરિમાણો (લંબાઈ અને પહોળાઈ) નક્કી કરો.

ઉકેલ. પ્લાન પર એસ્ટેટની લંબાઈ અને પહોળાઈ 4 cm અને 2.7 cm છે કારણ કે પ્લાન 1:1000 ના સ્કેલ પર બનાવવામાં આવ્યો છે, એસ્ટેટના પરિમાણો અનુક્રમે 2.7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm છે. 40 મી.

2. સમાનતા પરિવર્તનના ગુણધર્મો

જેમ ગતિ માટે, તે સાબિત થાય છે કે સમાનતા રૂપાંતર દરમિયાન, ત્રણ બિંદુઓ A, B, C, એક જ રેખા પર પડેલા, ત્રણ બિંદુઓ A 1, B 1, C 1 માં જાય છે, તે પણ સમાન રેખા પર પડેલા છે. તદુપરાંત, જો બિંદુ B બિંદુ A અને C વચ્ચે આવેલું છે, તો બિંદુ B 1 બિંદુ A 1 અને C 1 વચ્ચે આવેલું છે. તે અનુસરે છે કે સમાનતા રૂપાંતરણ રેખાઓને સીધી રેખાઓમાં, અર્ધ-રેખાને અર્ધ-લાઇનમાં અને ભાગોને ભાગોમાં પરિવર્તિત કરે છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે સમાનતા રૂપાંતરણ અર્ધ-રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓને સાચવે છે.

ખરેખર, કોણ ABC ને ગુણાંક k સાથે સમાનતા રૂપાંતર દ્વારા કોણ A 1 B 1 C 1 (ફિગ. 5) માં પરિવર્તિત થવા દો. ચાલો કોણ ABC ને હોમોથેટી ગુણાંક k સાથે તેના શિરોબિંદુ B ને સંબંધિત હોમોથેટી ટ્રાન્સફોર્મેશનને આધિન કરીએ. આ કિસ્સામાં, પોઇન્ટ A અને C પોઇન્ટ A 2 અને C 2 પર જશે. ત્રિકોણ A 2 BC 2 અને A 1 B 1 C 1 ત્રીજા માપદંડ મુજબ સમાન છે. ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે ખૂણા A 2 BC 2 અને A 1 B 1 C 1 સમાન છે. આનો અર્થ એ થયો કે ખૂણા ABC અને A 1 B 1 C 1 સમાન છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

3. આંકડાઓની સમાનતા

બે આકૃતિઓ સમાનતા રૂપાંતર દ્વારા એકબીજામાં રૂપાંતરિત થાય તો તેને સમાન કહેવામાં આવે છે. આકૃતિઓની સમાનતા દર્શાવવા માટે, એક વિશિષ્ટ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: ∞. સંકેત F∞F" આ રીતે વાંચે છે: "આકૃતિ F એ આકૃતિ F સમાન છે"."

ચાલો સાબિત કરીએ કે જો આકૃતિ F 1 આકૃતિ F 2 જેવી છે, અને આકૃતિ F 2 આકૃતિ F 3 જેવી છે, તો આકૃતિ F 1 અને F 3 સમાન છે.

X 1 અને Y 1 એ આકૃતિ F 1 ના બે મનસ્વી બિંદુઓ છે. સમાનતા રૂપાંતર જે આકૃતિ F 1 ને F 2 માં પરિવર્તિત કરે છે તે આ બિંદુઓને X 2, Y 2 બિંદુઓમાં પરિવર્તિત કરે છે, જેના માટે X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1.

સમાનતા રૂપાંતર જે આકૃતિ F 2 ને F 3 માં પરિવર્તિત કરે છે તે પોઈન્ટ X 2, Y 2 ને પોઈન્ટ X 3, Y 3 માં રૂપાંતરિત કરે છે, જેના માટે X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2.

સમાનતાઓમાંથી

X 2 Y 2 = kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

તે અનુસરે છે કે X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 . આનો અર્થ એ છે કે આકૃતિ F 1 નું F 3 માં રૂપાંતર, અનુક્રમે બે સમાનતા રૂપાંતરણો કરીને મેળવેલી સમાનતા છે. પરિણામે, આકૃતિઓ F 1 અને F 3 સમાન છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ત્રિકોણની સમાનતા માટેના સંકેતમાં: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - એવું માનવામાં આવે છે કે સમાનતા રૂપાંતર દ્વારા સંયુક્ત શિરોબિંદુઓ અનુરૂપ સ્થાનો પર છે, એટલે કે A 1 માં, B B 1 માં અને C માં C માં જાય છે. 1.

સમાનતા પરિવર્તનના ગુણધર્મો પરથી તે અનુસરે છે કે સમાન આકૃતિઓ માટે અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે, અને અનુરૂપ સેગમેન્ટ્સ પ્રમાણસર છે. ખાસ કરીને, સમાન ત્રિકોણ ABC અને A 1 B 1 C 1 માટે

4. બે ખૂણાઓ અનુસાર ત્રિકોણની સમાનતાનો અર્થ

પ્રમેય 2. જો એક ત્રિકોણના બે ખૂણા બીજા ત્રિકોણના બે ખૂણા સમાન હોય, તો આવા ત્રિકોણ સમાન હોય છે.

પુરાવો. ચાલો ત્રિકોણ ABC અને A પાસે 1 B 1 C 1 છે

ઉદાહરણો

• દરેક હોમોથેટી એક સમાનતા છે.
• દરેક ચળવળ (સમાન સહિત) ને ગુણાંક સાથે સમાનતા પરિવર્તન તરીકે પણ ગણી શકાય. k = 1 .

ચિત્રમાં સમાન આકૃતિઓ સમાન રંગો ધરાવે છે.

સંબંધિત વ્યાખ્યાઓ

ગુણધર્મો

IN મેટ્રિક જગ્યાઓજેમ માં n-પરિમાણીય રીમેનિયન, સ્યુડો-રીમેનિયન અને ફિન્સલેરીયન સ્પેસ, સમાનતાને રૂપાંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે અવકાશના મેટ્રિકને સતત પરિબળ સુધી લઈ જાય છે.

n-પરિમાણીય યુક્લિડિયન, સ્યુડો-યુક્લિડિયન, રીમેનિયન, સ્યુડો-રીમેનિયન અથવા ફિન્સલર સ્પેસની તમામ સમાનતાઓનો સમૂહ છે આર-સદસ્ય જૂઠ પરિવર્તનનું જૂથ, જેને અનુરૂપ અવકાશના સમાન (હોમોથેટિક) પરિવર્તનનું જૂથ કહેવાય છે. ઉલ્લેખિત પ્રકારની દરેક જગ્યાઓમાં આર- સમાન લાઇ ટ્રાન્સફોર્મેશનના સભ્ય જૂથમાં સમાવે છે ( આર− 1) - હિલચાલના સામાન્ય પેટાજૂથના સભ્ય.

પણ જુઓ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "સમાન આકૃતિઓ" શું છે તે જુઓ:સમાન આંકડા - અનુરૂપ હોય તેવા આંકડારેખીય તત્વો પ્રમાણસર છે, અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા સમાન છે, એટલે કે, ક્યારેસમાન આકાર પાસે … વિવિધ કદ

જો કેન્દ્રને અનુરૂપ બિંદુઓનું અંતર પ્રમાણસર હોય તો બે હોમોલોજિકલ આકૃતિઓને જૂથ કહેવામાં આવે છે. આના પરથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે G. આકૃતિઓ સમાન આકૃતિઓ છે અને સમાન રીતે સ્થિત છે અથવા સમાન અને વિપરીત સ્થિત છે. આમાં હોમોલોજીનું કેન્દ્ર... ... જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશએફ. Brockhaus અને I.A. એફ્રોન

પાયથાગોરિયન પ્રમેય એ યુક્લિડિયન ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રમેયમાંનું એક છે, જે કાટખૂણે ત્રિકોણની બાજુઓ વચ્ચે સંબંધ સ્થાપિત કરે છે. વિષયવસ્તુ 1 ફોર્મ્યુલેશન 2 પુરાવા ... વિકિપીડિયા

ટિંકચરની ઢાલ શિલ્ડ ધારક શિલ્ડ ધારક (સૂત્ર) ... વિકિપીડિયા

કિલપેક, ઈંગ્લેન્ડના ચર્ચમાંથી પ્રખ્યાત શીલા ના ગીગ (અંગ્રેજી: Sheela na Gig) નગ્ન સ્ત્રીઓની શિલ્પાત્મક છબીઓ, સામાન્ય રીતે ... વિકિપીડિયા

- ... વિકિપીડિયા

બીજી વખત હું અશ્વેતોના દેશમાં જવાનું વિચારી રહ્યો હતો, એ હકીકત પર ધ્યાન ન આપ્યું કે તેની નરકની આબોહવાએ મને પ્રથમ સફરમાં લગભગ મારી નાખ્યો. મેં આ યાત્રા ખૂબ જ મિશ્ર લાગણીઓ સાથે હાથ ધરી હતી અને વિવિધ... ... પ્રાણી જીવનથી છૂટકારો મેળવી શક્યો નથી

પ્રમાણમાં સાથે સામાન્ય નામ સ્પષ્ટ સામગ્રીઅને પ્રમાણમાં સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત વોલ્યુમ. પી. છે, ઉદાહરણ તરીકે, " રાસાયણિક તત્વ"," કાયદો", "ગુરુત્વાકર્ષણ", "ખગોળશાસ્ત્ર", "કવિતા", વગેરે. તે નામો વચ્ચે એક અલગ સીમા છે જેને P કહી શકાય... ફિલોસોફિકલ જ્ઞાનકોશ

પ્લાનિમેટ્રીમાંથી શરતોની વ્યાખ્યાઓ અહીં એકત્રિત કરવામાં આવી છે. આ શબ્દાવલિમાં (આ પૃષ્ઠ પર) શબ્દોના સંદર્ભો ઇટાલિકમાં છે. # A B C D E E E F G H I K L M N O P R S ... વિકિપીડિયા

પ્લાનિમેટ્રીમાંથી શરતોની વ્યાખ્યાઓ અહીં એકત્રિત કરવામાં આવી છે. આ શબ્દાવલિમાં (આ પૃષ્ઠ પર) શબ્દોના સંદર્ભો ઇટાલિકમાં છે. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... વિકિપીડિયા

પુસ્તકો

• પ્રબોધકો અને ચમત્કાર કામદારો. રહસ્યવાદ વિશેના સ્કેચ, વી.ઇ. રોઝનોવ. મોસ્કો, 1977. પોલિટિઝડટ. માલિકનું બંધનકર્તા. સ્થિતિ સારી છે. અધ્યાત્મવાદ અને જ્યોતિષશાસ્ત્ર, થિયોસોફી અને ગૂઢવિદ્યા - આ શબ્દો સામયિકો અને અખબારોના પૃષ્ઠો પર સતત મળી શકે છે ...
• ગણતરી, આકાર, કદ. 4 થી 5 વર્ષના બાળકો સાથેના વર્ગો માટે. રમત અને સ્ટીકરો સાથેનું પુસ્તક, ડોરોફીવા એ. આલ્બમ “એકાઉન્ટ. ફોર્મ. સ્કૂલ ઓફ ધ સેવન ડ્વાર્ફ સિરિઝમાંથી મેગ્નિટ્યુડ", અભ્યાસના પાંચમા વર્ષ, વિકાસલક્ષી માર્ગદર્શિકા છે, જ્યાં દરેક પાઠ રમતિયાળ રીતે ચલાવવામાં આવે છે અને બાળકોને આપવાનું ચાલુ રાખે છે...

ભૂમિતિ

આંકડાઓની સમાનતા

સમાન આંકડાઓના ગુણધર્મો

પ્રમેય. જ્યારે કોઈ આકૃતિ આકૃતિ જેવી હોય છે, અને આકૃતિ આકૃતિ જેવી જ હોય ​​છે, ત્યારે આકૃતિઓ અને સમાન
સમાનતા પરિવર્તનના ગુણધર્મો પરથી તે અનુસરે છે કે સમાન આકૃતિઓ માટે અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે, અને અનુરૂપ સેગમેન્ટ્સ પ્રમાણસર છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમાન ત્રિકોણમાં ABCઅને:
; ; ;
.

ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો

પ્રમેય 1. જો એક ત્રિકોણના બે ખૂણા અનુક્રમે બીજા ત્રિકોણના બે ખૂણા સમાન હોય, તો આવા ત્રિકોણ સમાન હોય છે.
પ્રમેય 2. જો એક ત્રિકોણની બે બાજુઓ બીજા ત્રિકોણની બે બાજુઓના પ્રમાણસર હોય અને આ બાજુઓ દ્વારા બનેલા ખૂણા સમાન હોય, તો ત્રિકોણ સમાન છે.
પ્રમેય 3. જો એક ત્રિકોણની બાજુઓ બીજા ત્રિકોણની બાજુઓ સાથે પ્રમાણસર હોય, તો આવા ત્રિકોણ સમાન હોય છે.
આ પ્રમેયમાંથી તથ્યોને અનુસરે છે જે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ઉપયોગી છે.
1. ત્રિકોણની બાજુની સમાંતર સીધી રેખા અને તેની અન્ય બે બાજુઓને છેદતી તેમાંથી આ એક સમાન ત્રિકોણને કાપી નાખે છે.
તસ્વીરમાં.

2. સમાન ત્રિકોણ માટે, અનુરૂપ તત્વો (ઊંચાઈ, મધ્ય, દ્વિભાજકો, વગેરે) અનુરૂપ બાજુઓ તરીકે સંબંધિત છે.
3. સમાન ત્રિકોણ માટે, પરિમિતિ અનુરૂપ બાજુઓ તરીકે સંબંધિત છે.
4. જો વિશે- ટ્રેપેઝોઇડ કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ એબીસીડી, તે .
ટ્રેપેઝોઇડની આકૃતિમાં એબીસીડી:.

5. જો ટ્રેપેઝોઇડની બાજુઓની ચાલુ રહે છે એબીસીડીએક બિંદુ પર છેદે કે, પછી (આકૃતિ જુઓ) .
.

કાટકોણ ત્રિકોણની સમાનતા

પ્રમેય 1. જો કાટકોણ ત્રિકોણ સમાન હોય તીવ્ર કોણ, પછી તેઓ સમાન છે.
પ્રમેય 2. જો એક જમણા ત્રિકોણના બે પગ બીજા જમણા ત્રિકોણના બે પગના પ્રમાણસર હોય, તો આ ત્રિકોણ સમાન છે.
પ્રમેય 3. જો એક કાટકોણ ત્રિકોણનો પગ અને કર્ણ બીજા જમણા ત્રિકોણના પગ અને કર્ણના પ્રમાણસર હોય, તો આવા ત્રિકોણ સમાન હોય છે.
પ્રમેય 4. કાટકોણના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ ત્રિકોણને આના સમાન બે કાટકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
તસ્વીરમાં .

જમણા ત્રિકોણની સમાનતા પરથી નીચે મુજબ છે.
1. કાટકોણ ત્રિકોણનો પગ એ કર્ણ અને આ પગના કર્ણ પરના પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનું સરેરાશ પ્રમાણ છે:
; ,
અથવા
; .
2. કાટખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરવામાં આવેલા કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ કર્ણ પરના પગના અંદાજો વચ્ચેનું સરેરાશ પ્રમાણ છે:
, અથવા
3. ત્રિકોણના દ્વિભાજકની મિલકત:
ત્રિકોણનું દ્વિભાજક (મનસ્વી) વિભાજન કરે છે વિરુદ્ધ બાજુઅન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં ત્રિકોણ.
માં ચિત્રમાં બી.પી.- દ્વિભાજક.
, અથવા

સમભુજની સમાનતા અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ

1. બધું સમભુજ ત્રિકોણસમાન
2. જો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોય સમાન ખૂણાબાજુઓ વચ્ચે, પછી તેઓ સમાન છે.
3. જો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં પ્રમાણસર આધાર હોય અને બાજુ, પછી તેઓ સમાન છે.