અડધા વર્તુળની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી. ઓનલાઈન પરિઘ કેલ્ક્યુલેટર

વર્તુળ એ એક બિંદુથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓની શ્રેણી છે, જે બદલામાં, આ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. વર્તુળની પોતાની ત્રિજ્યા પણ છે, જે કેન્દ્રથી આ બિંદુઓના અંતર જેટલી છે.

વર્તુળની લંબાઈ અને તેના વ્યાસનો ગુણોત્તર બધા વર્તુળો માટે સમાન છે. આ ગુણોત્તર એક સંખ્યા છે જે ગાણિતિક સ્થિરાંક છે, જે સૂચિત છે ગ્રીક અક્ષર π .

પરિઘ નક્કી કરી રહ્યા છીએ

તમે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળની ગણતરી કરી શકો છો:

L= π ડી = 2 π આર

આર- વર્તુળ ત્રિજ્યા

ડી- વર્તુળ વ્યાસ

એલ- પરિઘ

π - 3.14

કાર્ય:

પરિઘની ગણતરી કરો, 10 સેન્ટિમીટરની ત્રિજ્યા ધરાવે છે.

વર્તુળના પરિઘની ગણતરી માટેનું સૂત્રફોર્મ ધરાવે છે:

L= π ડી = 2 π આર

જ્યાં L એ પરિઘ છે, π 3.14 છે, r એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, D એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.

આમ, 10 સેન્ટિમીટરની ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળની લંબાઈ છે:

L = 2 × 3.14 × 10 = 62.8 સેન્ટિમીટર

વર્તુળભૌમિતિક આકૃતિ છે, જે પ્લેન રિમોટ પરના તમામ બિંદુઓનો સંગ્રહ છે આપેલ બિંદુ, જેને તેનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે, ચોક્કસ અંતર સુધી, નહીં શૂન્ય બરાબરઅને ત્રિજ્યા કહેવાય છે. વૈજ્ઞાનિકો પ્રાચીન સમયમાં પહેલાથી જ વિવિધ ડિગ્રીની ચોકસાઈ સાથે તેની લંબાઈ નક્કી કરવામાં સક્ષમ હતા: વિજ્ઞાનના ઈતિહાસકારો માને છે કે પરિઘની ગણતરી માટેનું પ્રથમ સૂત્ર પ્રાચીન બેબીલોનમાં 1900 બીસીની આસપાસ સંકલિત કરવામાં આવ્યું હતું.

આપણે દરરોજ અને દરેક જગ્યાએ વર્તુળો જેવા ભૌમિતિક આકારોનો સામનો કરીએ છીએ. તે તેનો આકાર છે જે વિવિધ વાહનોથી સજ્જ વ્હીલ્સની બાહ્ય સપાટી ધરાવે છે. આ વિગત, તેની બાહ્ય સરળતા અને અભેદ્યતા હોવા છતાં, તેમાંથી એક માનવામાં આવે છે સૌથી મોટી શોધમાનવતા, અને તે રસપ્રદ છે કે ઓસ્ટ્રેલિયાના આદિવાસીઓ અને અમેરિકન ભારતીયો, યુરોપિયનોના આગમન સુધી, તે શું છે તે વિશે સંપૂર્ણપણે કોઈ ખ્યાલ નહોતો.

તમામ સંભાવનાઓમાં, ખૂબ જ પ્રથમ પૈડા એ લોગના ટુકડા હતા જે ધરી પર માઉન્ટ થયેલ હતા. ધીમે ધીમે, વ્હીલની ડિઝાઇનમાં સુધારો કરવામાં આવ્યો, તેમની ડિઝાઇન વધુને વધુ જટિલ બની, અને તેમના ઉત્પાદનમાં ઘણાં વિવિધ સાધનોનો ઉપયોગ જરૂરી હતો. પ્રથમ, પૈડાંમાં લાકડાના રિમ અને સ્પોક્સનો સમાવેશ થતો હતો, અને પછી, તેમના વસ્ત્રોને ઘટાડવા માટે. બાહ્ય સપાટી, તેઓએ તેને મેટલ સ્ટ્રિપ્સથી આવરી લેવાનું શરૂ કર્યું. આ તત્વોની લંબાઈ નક્કી કરવા માટે, પરિઘની ગણતરી માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે (જોકે વ્યવહારમાં, મોટે ભાગે, કારીગરોએ આ "આંખ દ્વારા" અથવા ફક્ત વ્હીલને સ્ટ્રીપથી ઘેરીને અને કાપીને કર્યું હતું. જરૂરી વિભાગ).

તે નોંધવું જોઈએ કે વ્હીલમાં ઉપયોગ થતો નથી વાહનો. ઉદાહરણ તરીકે, તેનો આકાર કુંભારના ચક્ર જેવો છે, તેમજ ગિયર્સના ગિયર્સના તત્વો છે, જેનો વ્યાપકપણે ટેકનોલોજીમાં ઉપયોગ થાય છે. પાણીની મિલોના બાંધકામમાં લાંબા સમયથી વ્હીલ્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે (વૈજ્ઞાનિકો માટે જાણીતા આ પ્રકારની સૌથી જૂની રચનાઓ મેસોપોટેમિયામાં બનાવવામાં આવી હતી), તેમજ સ્પિનિંગ વ્હીલ્સનો ઉપયોગ પ્રાણીઓના ઊન અને છોડના રેસામાંથી થ્રેડો બનાવવા માટે થતો હતો.

વર્તુળોઘણીવાર બાંધકામમાં મળી શકે છે. તેમનો આકાર એકદમ વ્યાપક રાઉન્ડ વિન્ડો દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો છે, જે રોમનસ્ક આર્કિટેક્ચરલ શૈલીની ખૂબ લાક્ષણિકતા છે. આ રચનાઓનું નિર્માણ ખૂબ જ મુશ્કેલ કાર્ય છે અને ઉચ્ચ કૌશલ્ય, તેમજ ઉપલબ્ધતાની જરૂર છે ખાસ સાધન. રાઉન્ડ વિન્ડોઝની જાતોમાંની એક જહાજો અને એરક્રાફ્ટમાં સ્થાપિત પોર્થોલ્સ છે.

આમ, ડિઝાઇન ઇજનેરો કે જેઓ વિવિધ મશીનો, મિકેનિઝમ્સ અને એકમો વિકસાવે છે, તેમજ આર્કિટેક્ટ્સ અને ડિઝાઇનરોને, ઘણીવાર વર્તુળના પરિઘને નક્કી કરવાની સમસ્યાને હલ કરવી પડે છે. નંબર થી π , આ માટે જરૂરી, અનંત છે, સંપૂર્ણ ચોકસાઈ સાથે આ પરિમાણ નક્કી કરવું શક્ય નથી, અને તેથી, ગણતરીઓમાં, તેની ડિગ્રી ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, જે ચોક્કસ કિસ્સામાં જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે.

વર્તુળ એ વક્ર રેખા છે જે વર્તુળને ઘેરી લે છે. ભૂમિતિમાં, આકાર સપાટ હોય છે, તેથી વ્યાખ્યા દ્વિ-પરિમાણીય છબીનો સંદર્ભ આપે છે. એવું માનવામાં આવે છે કે આ વળાંકના તમામ બિંદુઓ વર્તુળના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે સ્થિત છે.

વર્તુળમાં ઘણી લાક્ષણિકતાઓ છે જેના આધારે આ ભૌમિતિક આકૃતિ સંબંધિત ગણતરીઓ કરવામાં આવે છે. આમાં શામેલ છે: વ્યાસ, ત્રિજ્યા, વિસ્તાર અને પરિઘ. આ લાક્ષણિકતાઓ એકબીજા સાથે સંકળાયેલી છે, એટલે કે, તેમની ગણતરી કરવા માટે, ઓછામાં ઓછા એક ઘટકો વિશેની માહિતી પૂરતી છે. ઉદાહરણ તરીકે, માત્ર ત્રિજ્યાને જાણવું ભૌમિતિક આકૃતિસૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તમે પરિઘ, વ્યાસ અને વિસ્તાર શોધી શકો છો.

• વર્તુળની ત્રિજ્યા એ તેના કેન્દ્ર સાથે જોડાયેલ વર્તુળની અંદરનો ભાગ છે.
• વ્યાસ એ વર્તુળની અંદરનો એક ભાગ છે જે તેના બિંદુઓને જોડે છે અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. આવશ્યકપણે, વ્યાસ બે ત્રિજ્યા છે. ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે તે બરાબર છે: D=2r.
• વર્તુળનો એક વધુ ઘટક છે - એક તાર. આ એક સીધી રેખા છે જે વર્તુળ પરના બે બિંદુઓને જોડે છે, પરંતુ હંમેશા કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી નથી. તેથી તેમાંથી પસાર થતી તારને વ્યાસ પણ કહેવાય છે.

પરિઘ કેવી રીતે શોધી શકાય? ચાલો હવે શોધી કાઢીએ.

પરિઘ: સૂત્ર

આ લાક્ષણિકતાને દર્શાવવા માટે લેટિન અક્ષર p પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો. આર્કિમિડીસે એ પણ સાબિત કર્યું કે વર્તુળના પરિઘ અને તેના વ્યાસનો ગુણોત્તર બધા વર્તુળો માટે સમાન સંખ્યા છે: આ સંખ્યા π છે, જે લગભગ 3.14159 ની બરાબર છે. π ની ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર છે: π = p/d. આ સૂત્ર મુજબ, p નું મૂલ્ય πd બરાબર છે, એટલે કે પરિઘ: p= πd. d (વ્યાસ) બે ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી, પરિઘ માટે સમાન સૂત્ર p=2πr તરીકે લખી શકાય છે, ચાલો ઉદાહરણ તરીકે સરળ સમસ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને સૂત્રના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ:

સમસ્યા 1

ઝાર બેલના પાયા પર વ્યાસ 6.6 મીટર છે. ઈંટના પાયાનો પરિઘ કેટલો છે?

1. તેથી, વર્તુળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર p= πd છે
2. વર્તમાન મૂલ્યને સૂત્રમાં બદલો: p=3.14*6.6= 20.724

જવાબ: બેલ બેઝનો પરિઘ 20.7 મીટર છે.

સમસ્યા 2

પૃથ્વીનો કૃત્રિમ ઉપગ્રહ ગ્રહથી 320 કિમીના અંતરે ફરે છે. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા 6370 કિમી છે. ઉપગ્રહની ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષાની લંબાઈ કેટલી છે?

1. 1. પૃથ્વી ઉપગ્રહની ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યાની ગણતરી કરો: 6370+320=6690 (km)
2. 2.સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉપગ્રહની ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષાની લંબાઈની ગણતરી કરો: P=2πr
3. 3.P=2*3.14*6690=42013.2

જવાબ: પૃથ્વી ઉપગ્રહની ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષાની લંબાઈ 42013.2 કિમી છે.

પરિઘ માપવા માટેની પદ્ધતિઓ

વર્તુળના પરિઘની ગણતરીનો વ્યવહારમાં વારંવાર ઉપયોગ થતો નથી. આનું કારણ અંદાજિત મૂલ્યસંખ્યાઓ π. રોજિંદા જીવનમાં, વર્તુળની લંબાઈ શોધવા માટે, એક વિશિષ્ટ ઉપકરણનો ઉપયોગ થાય છે - એક વક્રીમીટર. વર્તુળ પર એક મનસ્વી પ્રારંભિક બિંદુ ચિહ્નિત થયેલ છે અને જ્યાં સુધી તેઓ ફરીથી આ બિંદુ સુધી ન પહોંચે ત્યાં સુધી ઉપકરણને તેમાંથી સખત રીતે રેખા સાથે દોરી જાય છે.

વર્તુળનો પરિઘ કેવી રીતે શોધવો? તમારે ફક્ત તમારા માથામાં સરળ ગણતરીના સૂત્રો રાખવાની જરૂર છે.

પ્રથમ, ચાલો વર્તુળ અને વર્તુળ વચ્ચેનો તફાવત સમજીએ. આ તફાવત જોવા માટે, બંને આંકડા શું છે તે ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે. આ પ્લેન પર સ્થિત અસંખ્ય બિંદુઓ છે સમાન અંતરએક કેન્દ્રિય બિંદુથી. પરંતુ, જો વર્તુળ સમાવે છે આંતરિક જગ્યા, તો તે વર્તુળ સાથે સંબંધિત નથી. તે તારણ આપે છે કે વર્તુળ એ એક વર્તુળ છે જે તેને મર્યાદિત કરે છે (વર્તુળ(r)), અને વર્તુળની અંદર રહેલા અસંખ્ય બિંદુઓની સંખ્યા.

વર્તુળ પર પડેલા કોઈપણ બિંદુ L માટે, સમાનતા OL=R લાગુ પડે છે. (OL ખંડની લંબાઈ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે).

વર્તુળ પરના બે બિંદુઓને જોડતો ભાગ તે છે તાર.

વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી સીધો પસાર થતો તાર છે વ્યાસઆ વર્તુળ (D). વ્યાસની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે: D=2R

પરિઘસૂત્ર દ્વારા ગણતરી: C=2\pi R

વર્તુળનો વિસ્તાર: S=\pi R^(2)

વર્તુળની ચાપતેનો તે ભાગ કહેવાય છે જે તેના બે બિંદુઓ વચ્ચે સ્થિત છે. આ બે બિંદુઓ વર્તુળના બે ચાપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તાર સીડી બે ચાપને સબટેન્ડ કરે છે: CMD અને CLD. સમાન તાર સમાન ચાપને સમાવે છે.

મધ્ય કોણબે ત્રિજ્યા વચ્ચે આવેલો ખૂણો કહેવાય છે.

આર્ક લંબાઈસૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

1. ઉપયોગ કરીને ડિગ્રી માપ: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. રેડિયન માપનો ઉપયોગ કરીને: CD = \alpha R

વ્યાસ, જે તાર માટે લંબ છે, તે તાર અને તેના દ્વારા સંકુચિત ચાપને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.

જો વર્તુળની તાર AB અને CD બિંદુ N પર છેદે છે, તો બિંદુ N દ્વારા વિભાજિત તારોના ભાગોના ઉત્પાદન એકબીજા સાથે સમાન છે.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

વર્તુળમાં સ્પર્શક

વર્તુળમાં સ્પર્શકવર્તુળ સાથે એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવતી સીધી રેખાને કૉલ કરવાનો રિવાજ છે.

જો સીધી રેખામાં બે હોય સામાન્ય બિંદુઓ, તેઓ તેણીને બોલાવે છે સેકન્ટ.

જો તમે ત્રિજ્યાને સ્પર્શક બિંદુ તરફ દોરો છો, તો તે વર્તુળના સ્પર્શકને લંબરૂપ હશે.

ચાલો આ બિંદુથી આપણા વર્તુળ તરફ બે સ્પર્શક દોરીએ. તે તારણ આપે છે કે સ્પર્શક વિભાગો એકબીજાના સમાન હશે, અને વર્તુળનું કેન્દ્ર આ બિંદુએ શિરોબિંદુ સાથે કોણના દ્વિભાજક પર સ્થિત હશે.

AC = CB

હવે આપણે આપણા બિંદુ પરથી વર્તુળમાં સ્પર્શક અને ભેદ રેખા દોરીએ. અમે શોધીએ છીએ કે સ્પર્શક ખંડની લંબાઈનો ચોરસ હશે ઉત્પાદન સમાનસમગ્ર સેગમેન્ટ તેના બહારના ભાગ સુધી સેકન્ટ.

AC^(2) = CD \cdot BC

અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ: પ્રથમ સેકન્ટના સમગ્ર સેગમેન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગનું ઉત્પાદન બીજા સેકન્ટના સમગ્ર સેગમેન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગના ઉત્પાદન જેટલું છે.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

વર્તુળમાં ખૂણા

ડિગ્રી માપદંડ કેન્દ્રિય કોણઅને ચાપ જેના પર તે આરામ કરે છે તે સમાન છે.

\કોણ COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

અંકિત કોણએક ખૂણો છે જેની શિરોબિંદુ વર્તુળ પર છે અને જેની બાજુઓમાં તાર હોય છે.

ચાપનું કદ જાણીને તેની ગણતરી કરી શકાય છે અડધા સમાનઆ ચાપ.

\કોણ AOB = 2 \કોણ ADB

વ્યાસના આધારે, અંકિત કોણ, જમણો ખૂણો.

\કોણ CBD = \કોણ CED = \કોણ CAD = 90^ (\circ)

અંકિત ખૂણાઓ જે સમાન ચાપને સબટેન્ડ કરે છે તે સમાન છે.

એક તાર પર રહેલ અંકિત ખૂણાઓ સમાન હોય છે અથવા તેમનો સરવાળો 180^ (\circ) જેટલો હોય છે.

\કોણ ADB + \કોણ AKB = 180^ (\circ)

\કોણ ADB = \કોણ AEB = \કોણ AFB

સમાન વર્તુળ પર સમાન ખૂણા અને આપેલ આધાર સાથે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

વર્તુળની અંદર શિરોબિંદુ ધરાવતો અને બે તારની વચ્ચે આવેલો ખૂણો અડધા સરવાળો જેવો હોય છે. કોણીય મૂલ્યોઆપેલ અને વર્ટિકલ એંગલમાં સમાયેલ હોય તેવા વર્તુળના ચાપ.

\કોણ DMC = \કોણ ADM + \કોણ DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \જમણે)

વર્તુળની બહાર શિરોબિંદુ ધરાવતો ખૂણો અને બે સેકન્ટ્સ વચ્ચે સ્થિત હોય છે, જે ખૂણાની અંદર રહેલા વર્તુળના ચાપના કોણીય મૂલ્યોમાં અડધા તફાવત જેટલો હોય છે.

\કોણ M = \કોણ CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \જમણે)

અંકિત વર્તુળ

અંકિત વર્તુળબહુકોણની બાજુઓનું વર્તુળ સ્પર્શક છે.

બહુકોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે તે બિંદુએ, તેનું કેન્દ્ર સ્થિત છે.

દરેક બહુકોણમાં વર્તુળ અંકિત ન હોઈ શકે.

અંકિત વર્તુળ સાથે બહુકોણનો વિસ્તાર સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

S = pr,

p એ બહુકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે,

r એ અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

તે નીચે મુજબ છે કે અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા સમાન છે:

r = \frac(S)(p)

જો વર્તુળ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાં લખેલું હોય તો વિરુદ્ધ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો સમાન હશે. અને ઊલટું: એક વર્તુળ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાં બંધબેસે છે જો વિરુદ્ધ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો સમાન હોય.

AB + DC = AD + BC

કોઈપણ ત્રિકોણમાં વર્તુળ લખવું શક્ય છે. માત્ર એક જ. બિંદુ જ્યાં દ્વિભાજકો છેદે છે આંતરિક ખૂણાઆકૃતિ, આ અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર આવેલું હશે.

અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

r = \frac(S)(p) ,

જ્યાં p = \frac(a + b + c)(2)

વર્તુળાકાર

જો કોઈ વર્તુળ બહુકોણના દરેક શિરોબિંદુમાંથી પસાર થાય છે, તો આવા વર્તુળને સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે બહુકોણ વિશે વર્ણવેલ.

આ આકૃતિની બાજુઓના લંબ દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુએ પરિઘનું કેન્દ્ર હશે.

ત્રિજ્યાને બહુકોણના કોઈપણ 3 શિરોબિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ત્રિકોણ વિશે પરિક્રમિત વર્તુળની ત્રિજ્યા તરીકે ગણતરી કરીને શોધી શકાય છે.

ખાય છે આગામી શરત: ચતુર્ભુજની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન ત્યારે જ કરી શકાય જો તેનો સરવાળો હોય વિરુદ્ધ ખૂણા 180^( \circ) ની બરાબર છે.

\કોણ A + \કોણ C = \કોણ B + \કોણ D = 180^ (\circ)

કોઈપણ ત્રિકોણની આસપાસ તમે વર્તુળનું વર્ણન કરી શકો છો, અને માત્ર એક. આવા વર્તુળનું કેન્દ્ર તે બિંદુ પર સ્થિત હશે જ્યાં તેઓ છેદે છે લંબ દ્વિભાજકોત્રિકોણની બાજુઓ.

વર્તુળની ત્રિજ્યાની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c એ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ છે,

S એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.

ટોલેમીનું પ્રમેય

છેલ્લે, ટોલેમીના પ્રમેયને ધ્યાનમાં લો.

ટોલેમીનું પ્રમેય જણાવે છે કે કર્ણનું ઉત્પાદન ચક્રીય ચતુષ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓના ઉત્પાદનોના સરવાળા સમાન છે.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

નક્કી કરતી વખતે ઘણી વાર શાળા સોંપણીઓભૌતિકશાસ્ત્રમાં, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે - વ્યાસ જાણીને વર્તુળનો પરિઘ કેવી રીતે શોધવો? હકીકતમાં, આ સમસ્યાને હલ કરવામાં કોઈ મુશ્કેલીઓ નથી, તમારે ફક્ત સ્પષ્ટપણે કલ્પના કરવાની જરૂર છે સૂત્રોઆ માટે વિભાવનાઓ અને વ્યાખ્યાઓ જરૂરી છે.

મૂળભૂત ખ્યાલો અને વ્યાખ્યાઓ

1. ત્રિજ્યા એ જોડતી રેખા છે વર્તુળનું કેન્દ્ર અને તેનું મનસ્વી બિંદુ. તે નિયુક્ત થયેલ છે લેટિન અક્ષરઆર.
2. તાર એ બે મનસ્વી રીતે જોડતી રેખા છે વર્તુળ પર પડેલા બિંદુઓ.
3. વ્યાસ એ જોડતી રેખા છે વર્તુળના બે બિંદુઓ અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થવું. તે લેટિન અક્ષર ડી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.
4. એક પસંદ કરેલ બિંદુથી સમાન અંતરે સ્થિત તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ કરતી રેખા છે, જેને તેનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે. અમે તેની લંબાઈ લેટિન અક્ષર l દ્વારા દર્શાવીશું.

વર્તુળનો વિસ્તાર સમગ્ર પ્રદેશ છે વર્તુળમાં બંધ. તે માપવામાં આવે છે વી ચોરસ એકમો અને લેટિન અક્ષર s દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

અમારી વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે વર્તુળનો વ્યાસ તેના સૌથી મોટા તાર જેટલો છે.

ધ્યાન આપો!વર્તુળની ત્રિજ્યા શું છે તેની વ્યાખ્યા પરથી તમે જાણી શકો છો કે વર્તુળનો વ્યાસ કેટલો છે. આ બે ત્રિજ્યા છે જે વિરુદ્ધ દિશાઓમાં નાખેલી છે!

વર્તુળનો વ્યાસ.

વર્તુળનો પરિઘ અને વિસ્તાર શોધવો

જો આપણને વર્તુળની ત્રિજ્યા આપવામાં આવે, તો વર્તુળનો વ્યાસ સૂત્ર દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે d = 2*r. આમ, વર્તુળનો વ્યાસ કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, તેની ત્રિજ્યા જાણીને, છેલ્લો એક પૂરતો છે. બે વડે ગુણાકાર કરો.

વર્તુળના પરિઘ માટેનું સૂત્ર, તેની ત્રિજ્યાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત થાય છે, તેનું સ્વરૂપ છે l = 2*P*r.

ધ્યાન આપો!લેટિન અક્ષર P (Pi) વર્તુળના પરિઘ અને તેના વ્યાસનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે, અને આ બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક છે. IN શાળા ગણિતતે અગાઉથી જાણીતું માનવામાં આવે છે કોષ્ટક મૂલ્ય, 3.14 ની બરાબર!

હવે ત્રિજ્યાના સંબંધમાં તેનો તફાવત શું છે તે યાદ રાખીને, તેના વ્યાસ દ્વારા વર્તુળનો પરિઘ શોધવા માટે અગાઉના સૂત્રને ફરીથી લખીએ. તે બહાર આવશે: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.

ગણિતના અભ્યાસક્રમમાંથી આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું વર્ણન કરતા સૂત્રનું સ્વરૂપ છે: s = П*r^2.

હવે વર્તુળનો વિસ્તાર તેના વ્યાસ દ્વારા શોધવા માટે અગાઉના સૂત્રને ફરીથી લખીએ. આપણને મળે છે,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

સૌથી વધુ એક મુશ્કેલ કાર્યોઆ વિષયમાં પરિઘ દ્વારા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવામાં આવે છે અને તેનાથી વિપરિત. ચાલો એ હકીકતનો લાભ લઈએ કે s = П*r^2 અને l = 2*П*r. અહીંથી આપણને r = l/(2*П) મળે છે. ચાલો ત્રિજ્યા માટે પરિણામી અભિવ્યક્તિને વિસ્તારના સૂત્રમાં બદલીએ, આપણને મળે છે: s = l^2/(4P). બરાબર એ જ રીતે, પરિઘ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

ત્રિજ્યા લંબાઈ અને વ્યાસ નક્કી કરી રહ્યા છીએ

મહત્વપૂર્ણ!સૌ પ્રથમ, ચાલો વ્યાસ કેવી રીતે માપવા તે શીખીએ. તે ખૂબ જ સરળ છે - કોઈપણ ત્રિજ્યા દોરો, તેને વિસ્તૃત કરો વિરુદ્ધ બાજુજ્યાં સુધી તે ચાપ સાથે છેદે નહીં. અમે પરિણામી અંતરને હોકાયંત્ર વડે માપીએ છીએ અને અમે શું શોધી રહ્યા છીએ તે શોધવા માટે કોઈપણ મેટ્રિક સાધનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ!

ચાલો વર્તુળનો વ્યાસ કેવી રીતે શોધી શકાય, તેની લંબાઈ જાણીને તેના પ્રશ્નનો જવાબ આપીએ. આ કરવા માટે, અમે તેને સૂત્ર l = П*d થી વ્યક્ત કરીએ છીએ. આપણને d = l/P મળે છે.

આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે વર્તુળના પરિઘમાંથી તેનો વ્યાસ કેવી રીતે શોધવો, અને આપણે તેની ત્રિજ્યા પણ તે જ રીતે શોધી શકીએ છીએ.

l = 2*P*r, તેથી r = l/2*P. સામાન્ય રીતે, ત્રિજ્યા શોધવા માટે, તે વ્યાસની દ્રષ્ટિએ અને ઊલટું વ્યક્ત કરવું આવશ્યક છે.

ધારો કે હવે તમારે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ જાણીને વ્યાસ નક્કી કરવાની જરૂર છે. અમે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કે s = П*d^2/4. ચાલો અહીંથી d વ્યક્ત કરીએ. તે કામ કરશે d^2 = 4*s/P. વ્યાસ પોતે નક્કી કરવા માટે, તમારે બહાર કાઢવાની જરૂર પડશે જમણી બાજુનું વર્ગમૂળ. તે d = 2*sqrt(s/P) બહાર આવ્યું છે.

લાક્ષણિક કાર્યોનું નિરાકરણ

1. જો પરિઘ આપવામાં આવે તો વ્યાસ કેવી રીતે શોધી શકાય તે શોધીએ. ચાલો તેને 778.72 કિલોમીટર બરાબર કરીએ. ડી શોધવા માટે જરૂરી છે. d = 778.72/3.14 = 248 કિલોમીટર. ચાલો યાદ કરીએ કે વ્યાસ શું છે અને તરત જ ત્રિજ્યા નક્કી કરીએ આ કરવા માટે, અમે ઉપર નિર્ધારિત મૂલ્ય d ને અડધા ભાગમાં વહેંચીએ છીએ. તે કામ કરશે r = 248/2 = 124કિલોમીટર
2. ચાલો જોઈએ કે આપેલ વર્તુળની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી, તેની ત્રિજ્યા જાણીએ. ચાલો r ની કિંમત 8 dm 7 cm છે ચાલો આ બધાને સેન્ટીમીટરમાં રૂપાંતરિત કરીએ, તો r 87 સેન્ટિમીટરની બરાબર થશે. ચાલો વર્તુળની અજાણી લંબાઈ શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ. પછી આપણું ઇચ્છિત મૂલ્ય બરાબર હશે l = 2*3.14*87 = 546.36 સેમી. ચાલો આપણા મેળવેલ મૂલ્યને મેટ્રિક જથ્થાની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરીએ l = 546.36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3.6 mm.
3. ચાલો આપણે આપેલ વર્તુળનો વિસ્તાર તેના જાણીતા વ્યાસ દ્વારા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવાની જરૂર છે. ચાલો d = 815 મીટર. ચાલો વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર યાદ રાખીએ. ચાલો આપણે અહીં આપેલા મૂલ્યોને બદલીએ, આપણને મળે છે s = 3.14*815^2/4 = 521416.625 ચો. m
4. હવે આપણે શીખીશું કે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું, તેની ત્રિજ્યાની લંબાઈ જાણીને. ત્રિજ્યા 38 સેમી થવા દો અમે અમને જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ચાલો આપણે અહીં શરત દ્વારા આપેલ મૂલ્યને બદલીએ. તમને નીચે મુજબ મળશે: s = 3.14*38^2 = 4534.16 sq. સેમી
5. છેલ્લું કાર્ય જાણીતા પરિઘના આધારે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવાનું છે. ચાલો l = 47 મીટર. s = 47^2/(4P) = 2209/12.56 = 175.87 ચો. m

પરિઘ

આસપાસના વિશ્વમાં ઘણી વસ્તુઓ છે ગોળાકાર આકાર. આ વ્હીલ્સ, રાઉન્ડ વિન્ડો ઓપનિંગ્સ, પાઈપો, વિવિધ વાનગીઓ અને ઘણું બધું છે. તમે વર્તુળનો વ્યાસ અથવા ત્રિજ્યા જાણીને તેની લંબાઈની ગણતરી કરી શકો છો.

આ ભૌમિતિક આકૃતિની ઘણી વ્યાખ્યાઓ છે.

• આ એક બંધ વળાંક છે જેમાં બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે જે આપેલ બિંદુથી સમાન અંતરે સ્થિત છે.
• આ એક વળાંક છે જેમાં બિંદુઓ A અને B હોય છે, જે સેગમેન્ટના છેડા છે અને તે બધા બિંદુઓ કે જેમાંથી A અને B જમણા ખૂણા પર દેખાય છે. આ કિસ્સામાં, સેગમેન્ટ AB એ વ્યાસ છે.
• સમાન સેગમેન્ટ AB માટે, આ વળાંકમાં તમામ બિંદુઓ Cનો સમાવેશ થાય છે જેમ કે ગુણોત્તર AC/BC સ્થિર છે અને 1 ની બરાબર નથી.
• આ એક વળાંક છે જેમાં પોઈન્ટનો સમાવેશ થાય છે જેના માટે નીચેનું સાચું છે: જો તમે એક બિંદુથી બે અન્ય બિંદુઓ A અને Bમાં અંતરના ચોરસ ઉમેરો છો, તો તમને મળશે સતત સંખ્યા, A અને B ને જોડતા સેગમેન્ટના 1/2 કરતા વધારે. આ વ્યાખ્યા પાયથાગોરિયન પ્રમેય પરથી લેવામાં આવી છે.

ધ્યાન આપો!અન્ય વ્યાખ્યાઓ છે. વર્તુળ એ વર્તુળની અંદરનો વિસ્તાર છે. વર્તુળની પરિમિતિ તેની લંબાઈ છે. દ્વારા વિવિધ વ્યાખ્યાઓવર્તુળમાં વળાંકનો સમાવેશ થઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે, જે તેની સીમા છે.

વર્તુળની વ્યાખ્યા

સૂત્રો

ત્રિજ્યાનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના પરિઘની ગણતરી કેવી રીતે કરવી? આ એક સરળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

જ્યાં L એ ઇચ્છિત મૂલ્ય છે,

π એ સંખ્યા pi છે, લગભગ 3.1413926 ની બરાબર છે.

સામાન્ય રીતે, જરૂરી મૂલ્ય શોધવા માટે, બીજા અંકમાં π નો ઉપયોગ કરવા માટે તે પૂરતું છે, એટલે કે, 3.14, આ જરૂરી ચોકસાઈ પ્રદાન કરશે. કેલ્ક્યુલેટર પર, ખાસ એન્જિનિયરિંગમાં, ત્યાં એક બટન હોઈ શકે છે જે આપમેળે નંબર π ની કિંમત દાખલ કરે છે.

હોદ્દો

વ્યાસ દ્વારા શોધવા માટે નીચેનું સૂત્ર છે:

જો L પહેલેથી જ જાણીતું હોય, તો ત્રિજ્યા અથવા વ્યાસ સરળતાથી શોધી શકાય છે. આ કરવા માટે, L ને અનુક્રમે 2π અથવા π વડે ભાગવું આવશ્યક છે.

જો વર્તુળ પહેલેથી જ આપવામાં આવ્યું હોય, તો તમારે આ ડેટામાંથી પરિઘ કેવી રીતે શોધવો તે સમજવાની જરૂર છે. વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ S = πR2 છે. અહીંથી આપણે ત્રિજ્યા શોધીએ છીએ: R = √(S/π). પછી

L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).

L ના સંદર્ભમાં વિસ્તારની ગણતરી કરવી પણ સરળ છે: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)

સારાંશ માટે, આપણે કહી શકીએ કે ત્રણ મૂળભૂત સૂત્રો છે:

• ત્રિજ્યા દ્વારા – L = 2πR;
• વ્યાસ દ્વારા – L = πD;
• વર્તુળના ક્ષેત્રફળ દ્વારા – L = 2√(Sπ).

પી

π નંબર વિના વિચારણા હેઠળની સમસ્યાને હલ કરવી શક્ય બનશે નહીં. વર્તુળના પરિઘ અને તેના વ્યાસના ગુણોત્તર તરીકે પ્રથમ નંબર π મળી આવ્યો હતો. આ પ્રાચીન બેબીલોનીયન, ઇજિપ્તવાસીઓ અને ભારતીયો દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. તેઓને તે એકદમ સચોટ રીતે મળ્યું - તેમના પરિણામો π ના હાલના જાણીતા મૂલ્યથી 1% કરતા વધુ અલગ નથી. સ્થિરાંક 25/8, 256/81, 339/108 જેવા અપૂર્ણાંકો દ્વારા અંદાજવામાં આવ્યો હતો.

આગળ, આ સ્થિરાંકનું મૂલ્ય માત્ર ભૂમિતિના દૃષ્ટિકોણથી જ નહીં, પણ દૃષ્ટિકોણથી પણ ગણવામાં આવ્યું હતું. ગાણિતિક વિશ્લેષણશ્રેણીના સરવાળા દ્વારા. ગ્રીક અક્ષર π દ્વારા આ સ્થિરાંકનો હોદ્દો સૌપ્રથમ વિલિયમ જોન્સ દ્વારા 1706 માં ઉપયોગમાં લેવાયો હતો, અને તે યુલરના કાર્ય પછી લોકપ્રિય બન્યો હતો.

તે હવે જાણીતું છે કે આ સ્થિરાંક અનંત બિન-સામયિક છે દશાંશ, તે અતાર્કિક છે, એટલે કે, તેને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે રજૂ કરી શકાતું નથી. સુપર કોમ્પ્યુટર ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરીને, 2011 માં અચળનું 10-ટ્રિલીયનમું ચિહ્ન શોધાયું હતું.

આ રસપ્રદ છે!π નંબરના પ્રથમ થોડા અંકોને યાદ રાખવા માટે વિવિધ સ્મૃતિશાસ્ત્રના નિયમોની શોધ કરવામાં આવી છે. કેટલાક તમને મેમરીમાં સ્ટોર કરવાની મંજૂરી આપે છે મોટી સંખ્યામાંસંખ્યાઓ, ઉદાહરણ તરીકે, એક ફ્રેન્ચ કવિતાતમને 126મા અંક સુધી pi યાદ રાખવામાં મદદ કરશે.

જો તમને પરિઘની જરૂર હોય, તો ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર તમને આમાં મદદ કરશે. આવા ઘણા કેલ્ક્યુલેટર છે તમારે ફક્ત ત્રિજ્યા અથવા વ્યાસ દાખલ કરવાની જરૂર છે. તેમાંના કેટલાક પાસે આ બંને વિકલ્પો છે, અન્ય ફક્ત R દ્વારા પરિણામની ગણતરી કરે છે. કેટલાક કેલ્ક્યુલેટર વિવિધ ચોકસાઇ સાથે ઇચ્છિત મૂલ્યની ગણતરી કરી શકે છે, તમારે દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યાનો ઉલ્લેખ કરવાની જરૂર છે. તમે ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના ક્ષેત્રફળની પણ ગણતરી કરી શકો છો.

આવા કેલ્ક્યુલેટર કોઈપણ સર્ચ એન્જિન સાથે શોધવામાં સરળ છે. પણ છે મોબાઇલ એપ્લિકેશન્સ, જે વર્તુળનો પરિઘ કેવી રીતે શોધવો તેની સમસ્યાને ઉકેલવામાં મદદ કરશે.

ઉપયોગી વિડિઓ: પરિઘ

પ્રાયોગિક એપ્લિકેશન

આવી સમસ્યાનું નિરાકરણ મોટાભાગે ઇજનેરો અને આર્કિટેક્ટ્સ માટે જરૂરી છે, પરંતુ રોજિંદા જીવનના જ્ઞાનમાં જરૂરી સૂત્રોપણ કામમાં આવી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે 20 સે.મી.ના વ્યાસવાળા ઘાટમાં શેકેલી કેકની આસપાસ કાગળની પટ્ટી લપેટી લેવાની જરૂર છે, પછી આ સ્ટ્રીપની લંબાઈ શોધવાનું મુશ્કેલ રહેશે નહીં:

L = πD = 3.14 * 20 = 62.8 સે.મી.

બીજું ઉદાહરણ: તમારે ચોક્કસ અંતરે રાઉન્ડ પૂલની આસપાસ વાડ બનાવવાની જરૂર છે. જો પૂલની ત્રિજ્યા 10 મીટર છે, અને વાડને 3 મીટરના અંતરે મૂકવાની જરૂર છે, તો પરિણામી વર્તુળ માટે આર 13 મીટર હશે:

એલ = 2πR = 2 * 3.14 * 13 = 81.68 મી.

ઉપયોગી વિડિઓ: વર્તુળ - ત્રિજ્યા, વ્યાસ, પરિઘ

બોટમ લાઇન

વર્તુળની પરિમિતિ દ્વારા સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય છે સરળ સૂત્રોવ્યાસ અથવા ત્રિજ્યા સહિત. તમે વર્તુળના ક્ષેત્રફળ દ્વારા પણ ઇચ્છિત જથ્થો શોધી શકો છો. ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટર અથવા મોબાઇલ એપ્લિકેશન જેમાં તમારે દાખલ કરવાની જરૂર છે એકવચન- વ્યાસ અથવા ત્રિજ્યા.