સ્પર્શ બિંદુની ઢાળ કેવી રીતે શોધવી. સમીકરણનો ઢોળાવ કેવી રીતે શોધવો

સીધી રેખા y = f(x) બિંદુ x0 પર આકૃતિમાં બતાવેલ ગ્રાફની સ્પર્શક હશે જો તે પસાર થાય. આ બિંદુકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે (x0; f(x0)) અને ધરાવે છે ઢાળ f"(x0). સ્પર્શકની વિશેષતાઓને ધ્યાનમાં લેતા, આ ગુણાંક શોધવો મુશ્કેલ નથી.

તમને જરૂર પડશે

• - ગાણિતિક સંદર્ભ પુસ્તક;
• - નોટબુક;
• - એક સરળ પેંસિલ;
• - પેન;
• - પ્રોટ્રેક્ટર;
• - હોકાયંત્ર.

સૂચનાઓ

• મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બિંદુ x0 પરના વિભેદક કાર્ય f(x) નો ગ્રાફ સ્પર્શક સેગમેન્ટથી અલગ નથી. તેથી, તે બિંદુઓ (x0; f(x0)) અને (x0+Δx; f(x0 + Δx))માંથી પસાર થતા ખંડ l ની તદ્દન નજીક છે. ગુણાંક (x0; f(x0)) સાથે બિંદુ Aમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનો ઉલ્લેખ કરવા માટે, તેનો ઢોળાવ સ્પષ્ટ કરો. વધુમાં, તે Δy/Δx સેકન્ટ ટેન્જેન્ટ (Δх→0) ની બરાબર છે, અને તે સંખ્યા f‘(x0) તરફ પણ વલણ ધરાવે છે.
• જો ત્યાં f‘(x0) માટે કોઈ મૂલ્યો નથી, તો કદાચ ત્યાં કોઈ સ્પર્શક નથી, અથવા કદાચ તે ઊભી રીતે ચાલે છે. તેના આધારે, બિંદુ x0 પર કાર્યના વ્યુત્પન્નની હાજરી બિન-ઊભી સ્પર્શકના અસ્તિત્વ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે, જે બિંદુ (x0, f(x0)) પરના કાર્યના ગ્રાફના સંપર્કમાં છે. IN આ કિસ્સામાંસ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક f"(x0) ની બરાબર છે. તે સ્પષ્ટ થાય છે ભૌમિતિક અર્થવ્યુત્પન્ન, એટલે કે, સ્પર્શકની ઢાળની ગણતરી.
• એટલે કે, સ્પર્શકનો ઢોળાવ શોધવા માટે, તમારે સ્પર્શકના બિંદુ પર કાર્યના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ: abscissa X0 = 1 સાથે બિંદુ પર ફંક્શન y = x³ ના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક શોધો. ઉકેલ: આ ફંક્શન y΄(x) = 3x² નું વ્યુત્પન્ન શોધો; બિંદુ X0 = 1 પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધો. у΄(1) = 3 × 1² = 3. બિંદુ X0 = 1 પર સ્પર્શકનો કોણ ગુણાંક 3 છે.
• આકૃતિમાં વધારાના સ્પર્શક દોરો જેથી તેઓ નીચેના બિંદુઓ પર કાર્યના ગ્રાફને સ્પર્શે: x1, x2 અને x3. આ સ્પર્શકો દ્વારા રચાયેલા ખૂણાઓને એબ્સીસા અક્ષ સાથે ચિહ્નિત કરો (કોણ હકારાત્મક દિશામાં ગણવામાં આવે છે - અક્ષથી સ્પર્શરેખા સુધી). ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ કોણ α1 તીવ્ર હશે, બીજો (α2) સ્થૂળ હશે અને ત્રીજો (α3) શૂન્યની બરાબર હશે, કારણ કે દોરેલી સ્પર્શરેખા OX અક્ષની સમાંતર છે. આ કિસ્સામાં, સ્પર્શક અસ્પષ્ટ કોણછે નકારાત્મક મૂલ્ય, અને સ્પર્શક તીવ્ર કોણ- હકારાત્મક, tg0 પર અને પરિણામ શૂન્ય છે.

તમે ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શકની વિભાવનાથી પહેલેથી જ પરિચિત છો. x 0 ની નજીકના બિંદુ x 0 પર તફાવત કરી શકાય તેવા ફંક્શન f નો ગ્રાફ વ્યવહારીક રીતે સ્પર્શક સેગમેન્ટથી અલગ નથી, જેનો અર્થ છે કે તે બિંદુઓ (x 0 ; f (x 0)) અને (x 0 ; f (x 0))માંથી પસાર થતા સેકન્ટ સેગમેન્ટની નજીક છે. x 0 +Δx; f ( x 0 + Δx)). આમાંથી કોઈપણ સેકન્ટ આલેખના બિંદુ A (x 0 ; f (x 0))માંથી પસાર થાય છે (ફિગ. 1). આપેલ બિંદુ Aમાંથી પસાર થતી રેખાને વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તે તેના ઢોળાવને દર્શાવવા માટે પૂરતું છે. Δх→0 તરીકે સેકન્ટનો કોણીય ગુણાંક Δy/Δx એ સંખ્યા f ‘(x 0) તરફ વલણ ધરાવે છે (આપણે તેને સ્પર્શકના કોણીય ગુણાંક તરીકે લઈશું) તેઓ કહે છે કે સ્પર્શક એ Δх→0 પર સેકન્ટની મર્યાદિત સ્થિતિ છે.

જો f'(x 0) અસ્તિત્વમાં નથી, તો સ્પર્શક ક્યાં તો અસ્તિત્વમાં નથી (જેમ કે ફંક્શન y = |x| બિંદુ પર (0; 0), આકૃતિ જુઓ) અથવા ઊભી છે (જેમ કે ફંક્શનના ગ્રાફ પર બિંદુ (0 ; 0), ફિગ. 2).

તેથી, xo બિંદુ પર ફંક્શન f ના વ્યુત્પન્નનું અસ્તિત્વ ગ્રાફના બિંદુ (x 0, f (x 0)) પર એક (બિન-ઊભી) સ્પર્શકના અસ્તિત્વની સમકક્ષ છે, જ્યારે સ્પર્શક ઢાળ f" (x 0) ની બરાબર છે. આ છે વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ

xo બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવા ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક એ બિંદુ (x 0 ; f (x 0))માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે અને f ‘ (x 0) કોણીય ગુણાંક ધરાવે છે.

ચાલો x 1, x 2, x 3 (ફિગ. 3) બિંદુઓ પર ફંક્શન f ના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરીએ અને એબ્સીસા અક્ષ સાથે તેઓ જે ખૂણા બનાવે છે તેની નોંધ કરીએ. (આ અક્ષની સકારાત્મક દિશાથી સીધી રેખા સુધીની સકારાત્મક દિશામાં માપવામાં આવેલ કોણ છે.) આપણે જોઈએ છીએ કે કોણ α 1 તીવ્ર છે, કોણ α 3 સ્થૂળ છે, અને કોણ α 2 શૂન્ય છે, કારણ કે સીધી રેખા l છે. ઓક્સ અક્ષની સમાંતર. તીવ્ર કોણની સ્પર્શક હકારાત્મક છે, સ્થૂળ કોણની સ્પર્શક નકારાત્મક છે, ટેન 0 = 0. તેથી

F"(x 1)>0, f’(x 2)=0, f’(x 3)
વ્યક્તિગત બિંદુઓ પર સ્પર્શક બનાવવાથી તમે આલેખને વધુ સચોટ રીતે સ્કેચ કરી શકો છો. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, સાઈન ફંક્શનના ગ્રાફનું સ્કેચ બનાવવા માટે, આપણે સૌ પ્રથમ તે પોઈન્ટ 0 પર શોધીએ છીએ; સાઈનનું π/2 અને π વ્યુત્પન્ન 1 બરાબર છે; અનુક્રમે 0 અને -1. ચાલો બિંદુઓ (π/2,1) અને (π, 0)માંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓ અનુક્રમે 1, 0 અને -1 ના કોણીય ગુણાંક સાથે બનાવીએ (ફિગ. 4) આ સીધી રેખાઓ અને રેખા Ox દ્વારા બનેલ પરિણામી ટ્રેપેઝોઈડ, સાઈનનો આલેખ જેથી x માટે 0, π/2 અને π, તે અનુરૂપ રેખાઓને સ્પર્શે.

નોંધ કરો કે શૂન્યની નજીકમાં સાઈનનો ગ્રાફ સીધી રેખા y = xથી વ્યવહારીક રીતે અસ્પષ્ટ છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, અક્ષો સાથેના ભીંગડા પસંદ કરીએ જેથી એકમ 1 સે.મી.ના સેગમેન્ટને અનુરૂપ હોય. આપણી પાસે sin 0.5 ≈ 0.479425 છે, એટલે કે |sin 0.5 - 0.5| ≈ 0.02, અને પસંદ કરેલ સ્કેલ પર આ 0.2 મીમી લાંબા સેગમેન્ટને અનુરૂપ છે. તેથી, અંતરાલ (-0.5; 0.5) માં ફંક્શન y = sin x નો ગ્રાફ સીધી રેખા y = x માંથી 0.2 મીમીથી વધુ નહીં (ઊભી દિશામાં) વિચલિત થશે, જે લગભગ તેની જાડાઈને અનુરૂપ છે. દોરેલી રેખા.

સ્પર્શક એ સીધી રેખા છે , જે એક બિંદુ પર ફંક્શનના ગ્રાફને સ્પર્શે છે અને જેનાં તમામ બિંદુઓ ફંક્શનના ગ્રાફથી સૌથી ઓછા અંતરે છે. તેથી, સ્પર્શક ચોક્કસ ખૂણા પર ફંક્શનના આલેખ પર સ્પર્શકને પસાર કરે છે અને કેટલાંક સ્પર્શક સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુમાંથી પસાર થઈ શકતા નથી. વિવિધ ખૂણા. સ્પર્શક સમીકરણો અને ફંક્શનના ગ્રાફના સામાન્ય સમીકરણો વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે.

સ્પર્શક સમીકરણ રેખા સમીકરણ પરથી ઉતરી આવ્યું છે .

ચાલો સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવીએ અને પછી ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સામાન્યનું સમીકરણ મેળવીએ.

y = kx + b .

તેમાં k- કોણીય ગુણાંક.

અહીંથી અમને નીચેની એન્ટ્રી મળે છે:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

વ્યુત્પન્ન મૂલ્ય f "(x 0 ) કાર્યો y = f(x) બિંદુ પર x0 ઢાળ સમાન k= tg φ બિંદુ દ્વારા દોરવામાં આવેલ ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક એમ0 (x 0 , y 0 ) , ક્યાં y0 = f(x 0 ) . આ છે વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ .

આમ, અમે બદલી શકીએ છીએ kચાલુ f "(x 0 ) અને નીચેના મેળવો ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

ફંક્શનના આલેખમાં સ્પર્શકના સમીકરણને કંપોઝ કરતી સમસ્યાઓમાં (અને અમે ટૂંક સમયમાં તેના પર આગળ વધીશું), ઉપરોક્ત સૂત્રમાંથી મેળવેલા સમીકરણને ઘટાડવું જરૂરી છે. સામાન્ય સ્વરૂપમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ. આ કરવા માટે, તમારે બધા અક્ષરો અને સંખ્યાઓ સ્થાનાંતરિત કરવાની જરૂર છે ડાબી બાજુસમીકરણ, અને જમણી બાજુ શૂન્ય છોડો.

હવે સામાન્ય સમીકરણ વિશે. સામાન્ય - આ એક સીધી રેખા છે જે સ્પર્શેન્દ્રિયના બિંદુથી સ્પર્શકને લંબરૂપ કાર્યના ગ્રાફ સુધી પસાર કરે છે. સામાન્ય સમીકરણ :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

ગરમ કરવા માટે, તમને પ્રથમ ઉદાહરણ જાતે ઉકેલવા માટે કહેવામાં આવે છે, અને પછી ઉકેલ જુઓ. આશા રાખવાનું દરેક કારણ છે કે આ કાર્ય અમારા વાચકો માટે "ઠંડુ ફુવારો" બનશે નહીં.

ઉદાહરણ 0.એક બિંદુ પર કાર્યના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક સમીકરણ અને સામાન્ય સમીકરણ બનાવો એમ (1, 1) .

ઉદાહરણ 1.ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક સમીકરણ અને સામાન્ય સમીકરણ લખો , જો abscissa સ્પર્શક છે.

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

હવે આપણી પાસે તે બધું છે જેને સ્પર્શક સમીકરણ મેળવવા માટે સૈદ્ધાંતિક મદદમાં આપેલી એન્ટ્રીમાં બદલવાની જરૂર છે. અમને મળે છે

આ ઉદાહરણમાં, અમે નસીબદાર હતા: ઢાળ બહાર આવ્યું શૂન્ય બરાબરતેથી, સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપમાં અલગથી લાવવાની જરૂર નથી. હવે આપણે સામાન્ય સમીકરણ બનાવી શકીએ છીએ:

નીચેની આકૃતિમાં: બર્ગન્ડી રંગ, સ્પર્શકમાં ફંક્શનનો ગ્રાફ લીલો, નારંગી સામાન્ય.

આગળનું ઉદાહરણ પણ જટિલ નથી: ફંક્શન, પાછલા એકની જેમ, બહુપદી પણ છે, પરંતુ ઢાળ શૂન્યની બરાબર નહીં હોય, તેથી વધુ એક પગલું ઉમેરવામાં આવશે - સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવવું.

ઉદાહરણ 2.

ઉકેલ. ચાલો સ્પર્શ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધીએ:

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

.

ચાલો સ્પર્શના બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધીએ, એટલે કે, સ્પર્શકનો ઢોળાવ:

અમે તમામ મેળવેલા ડેટાને "ખાલી ફોર્મ્યુલા" માં બદલીએ છીએ અને સ્પર્શક સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

અમે સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ (અમે ડાબી બાજુએ શૂન્ય સિવાયના બધા અક્ષરો અને સંખ્યાઓ એકત્રિત કરીએ છીએ, અને જમણી બાજુએ શૂન્ય છોડીએ છીએ):

અમે સામાન્ય સમીકરણ બનાવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 3.સ્પર્શકનું સમીકરણ અને કાર્યના ગ્રાફમાં સામાન્યનું સમીકરણ લખો જો abscissa એ સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ હોય.

ઉકેલ. ચાલો સ્પર્શ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધીએ:

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

.

ચાલો સ્પર્શના બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધીએ, એટલે કે, સ્પર્શકનો ઢોળાવ:

.

અમે સ્પર્શક સમીકરણ શોધીએ છીએ:

સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવતા પહેલા, તમારે તેને થોડું "કાંસકો" કરવાની જરૂર છે: પદ દ્વારા પદને 4 વડે ગુણાકાર કરો. અમે આ કરીએ છીએ અને સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ:

અમે સામાન્ય સમીકરણ બનાવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 4.સ્પર્શકનું સમીકરણ અને કાર્યના ગ્રાફમાં સામાન્યનું સમીકરણ લખો જો abscissa એ સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ હોય.

ઉકેલ. ચાલો સ્પર્શ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધીએ:

.

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

ચાલો સ્પર્શના બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધીએ, એટલે કે, સ્પર્શકનો ઢોળાવ:

.

અમને સ્પર્શક સમીકરણ મળે છે:

અમે સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ:

અમે સામાન્ય સમીકરણ બનાવીએ છીએ:

સ્પર્શક અને સામાન્ય સમીકરણો લખતી વખતે એક સામાન્ય ભૂલ એ નોંધવું નથી કે ઉદાહરણમાં આપેલ કાર્ય જટિલ છે અને તેના વ્યુત્પન્નને સાદા ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન તરીકે ગણવામાં આવે છે. નીચેના ઉદાહરણો- પહેલાથી જ જટિલ કાર્યો(સંબંધિત પાઠ નવી વિંડોમાં ખુલશે).

ઉદાહરણ 5.સ્પર્શકનું સમીકરણ અને કાર્યના ગ્રાફમાં સામાન્યનું સમીકરણ લખો જો abscissa એ સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ હોય.

ઉકેલ. ચાલો સ્પર્શ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધીએ:

ધ્યાન આપો! આ કાર્ય- જટિલ, સ્પર્શક દલીલથી (2 x) પોતે એક કાર્ય છે. તેથી, આપણે જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન તરીકે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.

ગણિતમાં, પરની રેખાની સ્થિતિનું વર્ણન કરતા પરિમાણોમાંથી એક કાર્ટેશિયન પ્લેનકોઓર્ડિનેટ્સ આ રેખાનો ઢોળાવ છે. આ પરિમાણ એબ્સીસા અક્ષની સીધી રેખાના ઢોળાવને દર્શાવે છે. ઢાળ કેવી રીતે શોધવી તે સમજવા માટે, પ્રથમ XY સંકલન પ્રણાલીમાં સીધી રેખાના સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ યાદ કરો.

IN સામાન્ય દૃશ્યકોઈપણ સીધી રેખા અભિવ્યક્તિ ax+by=c દ્વારા દર્શાવી શકાય છે, જ્યાં a, b અને c મનસ્વી છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, પરંતુ આવશ્યકપણે a 2 + b 2 ≠ 0.

સરળ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, આવા સમીકરણને y=kx+d સ્વરૂપમાં લાવી શકાય છે, જેમાં k અને d વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. સંખ્યા k એ ઢાળ છે, અને આ પ્રકારની રેખાના સમીકરણને ઢાળ સાથેનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. તે તારણ આપે છે કે ઢાળ શોધવા માટે, તમારે ફક્ત લાવવાની જરૂર છે મૂળ સમીકરણઉપરના પ્રકાર માટે. વધુ સંપૂર્ણ સમજણ માટે, ચોક્કસ ઉદાહરણનો વિચાર કરો:

સમસ્યા: 36x - 18y = 108 સમીકરણ દ્વારા આપેલ રેખાનો ઢોળાવ શોધો

ઉકેલ: ચાલો મૂળ સમીકરણને બદલીએ.

જવાબ: આ રેખાનો જરૂરી ઢાળ 2 છે.

જો, સમીકરણના રૂપાંતર દરમિયાન, આપણને x = const જેવી અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થઈ અને પરિણામે આપણે y ને xના કાર્ય તરીકે રજૂ કરી શકતા નથી, તો આપણે X અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા સાથે કામ કરીએ છીએ એક સીધી રેખા અનંત સમાન છે.

y = const જેવા સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત થતી રેખાઓ માટે, ઢાળ શૂન્ય છે. આ એબ્સીસા અક્ષની સમાંતર સીધી રેખાઓ માટે લાક્ષણિક છે. ઉદાહરણ તરીકે:

સમસ્યા: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 સમીકરણ દ્વારા આપેલ રેખાનો ઢોળાવ શોધો

ઉકેલ: ચાલો મૂળ સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવીએ

24x + 12y - 12y + 28 = 4

પરિણામી અભિવ્યક્તિમાંથી y વ્યક્ત કરવું અશક્ય છે, તેથી આ રેખાનો કોણીય ગુણાંક અનંત સમાન છે, અને રેખા પોતે Y અક્ષની સમાંતર હશે.

ભૌમિતિક અર્થ

વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો ચિત્ર જોઈએ:

આકૃતિમાં આપણે y = kx જેવા ફંક્શનનો ગ્રાફ જોઈએ છીએ. સરળ બનાવવા માટે, ચાલો ગુણાંક c = 0 લઈએ. ત્રિકોણ OAB માં, બાજુ BA અને AO નો ગુણોત્તર કોણીય ગુણાંક k બરાબર હશે. તે જ સમયે, ગુણોત્તર VA/AO એ તીવ્ર કોણ α ની સ્પર્શક છે જમણો ત્રિકોણ OAV. તે તારણ આપે છે કે સીધી રેખાનો કોણીય ગુણાંક એ કોણની સ્પર્શક જેટલો છે જે આ સીધી રેખા કોઓર્ડિનેટ ગ્રીડના એબ્સીસા અક્ષ સાથે બનાવે છે.

સીધી રેખાના કોણીય ગુણાંકને કેવી રીતે શોધી શકાય તેની સમસ્યાને ઉકેલતા, આપણે તેની અને સંકલન ગ્રીડના X અક્ષ વચ્ચેના કોણની સ્પર્શક શોધીએ છીએ. સીમાના કિસ્સાઓ, જ્યારે પ્રશ્નમાંની રેખા સંકલન અક્ષની સમાંતર હોય, ત્યારે ઉપરની પુષ્ટિ કરો. ખરેખર, y=const સમીકરણ દ્વારા વર્ણવેલ સીધી રેખા માટે, તેની અને એબ્સીસા અક્ષ વચ્ચેનો કોણ શૂન્ય છે. શૂન્ય ખૂણાની સ્પર્શક પણ શૂન્ય છે અને ઢાળ પણ શૂન્ય છે.

x-અક્ષને લંબરૂપ સીધી રેખાઓ માટે અને સમીકરણ x=const દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, તેમની અને X-અક્ષ વચ્ચેનો કોણ 90 ડિગ્રી છે. સ્પર્શક જમણો ખૂણોઅનંતની બરાબર છે, અને સમાન સીધી રેખાઓનો કોણીય ગુણાંક પણ અનંત સમાન છે, જે ઉપર લખેલી વાતની પુષ્ટિ કરે છે.

સ્પર્શક ઢાળ

પ્રેક્ટિસમાં વારંવાર સામનો કરવામાં આવતો એક સામાન્ય કાર્ય એ ચોક્કસ બિંદુ પર ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શકનો ઢોળાવ શોધવાનું છે. સ્પર્શક એ સીધી રેખા છે, તેથી ઢોળાવનો ખ્યાલ પણ તેને લાગુ પડે છે.

સ્પર્શકનો ઢોળાવ કેવી રીતે શોધવો તે સમજવા માટે, આપણે વ્યુત્પન્નની વિભાવનાને યાદ કરવાની જરૂર પડશે. અમુક બિંદુએ કોઈપણ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ સંખ્યાત્મક રીતે સ્થિર છે સ્પર્શક સમાનઆ ફંક્શનના ગ્રાફ અને એબ્સીસા અક્ષના નિર્દિષ્ટ બિંદુ પર સ્પર્શક વચ્ચે રચાયેલ કોણ. તે તારણ આપે છે કે બિંદુ x 0 પર સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક નક્કી કરવા માટે, આપણે આ બિંદુ k = f"(x 0) પર મૂળ કાર્યના વ્યુત્પન્નની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

સમસ્યા: કાર્ય y = 12x 2 + 2xe x પર x = 0.1 પર રેખા સ્પર્શકનો ઢોળાવ શોધો.

ઉકેલ: સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂળ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

જવાબ: બિંદુ x = 0.1 પર જરૂરી ઢાળ 4.831 છે

ફંકશન f આપવા દો, જે અમુક બિંદુએ x 0 પાસે મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન f (x 0) છે. પછી બિંદુ (x 0 ; f (x 0))માંથી પસાર થતી સીધી રેખા, કોણીય ગુણાંક f’ (x 0) ધરાવે છે, તેને સ્પર્શક કહેવાય છે.

જો વ્યુત્પન્ન બિંદુ x 0 પર અસ્તિત્વમાં ન હોય તો શું થશે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. ગ્રાફમાં પણ કોઈ સ્પર્શક નથી. ઉત્તમ ઉદાહરણ- કાર્ય y = |x | બિંદુ પર (0; 0).
2. સ્પર્શક ઊભી બને છે. આ સાચું છે, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ (1; π /2) પર કાર્ય y = arcsin x માટે.

સ્પર્શક સમીકરણ

કોઈપણ બિન-ઊભી સીધી રેખા ફોર્મ y = kx + b ના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં k એ ઢોળાવ છે. સ્પર્શક કોઈ અપવાદ નથી, અને અમુક બિંદુ x 0 પર તેનું સમીકરણ બનાવવા માટે, આ બિંદુએ ફંક્શન અને ડેરિવેટિવનું મૂલ્ય જાણવું પૂરતું છે.

તેથી, એક ફંક્શન y = f (x) આપવા દો, જે સેગમેન્ટ પર વ્યુત્પન્ન y = f’ (x) ધરાવે છે. પછી કોઈપણ બિંદુએ x 0 ∈ (a ; b) એક સ્પર્શકને આ ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરી શકાય છે, જે સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:

y = f’ (x 0) (x − x 0) + f (x 0)

અહીં f’ (x 0) એ બિંદુ x 0 પર વ્યુત્પન્નની કિંમત છે, અને f (x 0) એ ફંક્શનની જ કિંમત છે.

કાર્ય. ફંક્શન y = x 3 આપેલ છે. બિંદુ x 0 = 2 પર આ ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક માટે સમીકરણ લખો.

સ્પર્શક સમીકરણ: y = f’ (x 0) · (x − x 0) + f (x 0). બિંદુ x 0 = 2 આપણને આપવામાં આવ્યો છે, પરંતુ મૂલ્યો f (x 0) અને f’ (x 0) ની ગણતરી કરવી પડશે.

પ્રથમ, ચાલો ફંક્શનની કિંમત શોધીએ. અહીં બધું સરળ છે: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
હવે ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
અમે ડેરિવેટિવમાં x 0 = 2 ને બદલીએ છીએ: f’(x 0) = f’ (2) = 3 2 2 = 12;
કુલ મળીને આપણને મળે છે: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
આ સ્પર્શક સમીકરણ છે.

કાર્ય. બિંદુ x 0 = π /2 પર ફંક્શન f (x) = 2sin x + 5 ના ગ્રાફના સ્પર્શક માટે સમીકરણ લખો.

આ વખતે અમે દરેક ક્રિયાનું વિગતવાર વર્ણન કરીશું નહીં - અમે ફક્ત મુખ્ય પગલાં સૂચવીશું. અમારી પાસે છે:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f’ (x 0) = f’ (π /2) = 2cos (π /2) = 0;

સ્પર્શક સમીકરણ:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

IN બાદમાં કેસસીધી રેખા આડી હોવાનું બહાર આવ્યું છે, કારણ કે તેના કોણીય ગુણાંક k = 0. આમાં કંઈ ખોટું નથી - અમે માત્ર એક અંતિમ બિંદુ પર ઠોકર ખાધી છે.