શાળાના અભ્યાસક્રમમાં હોર્નર યોજના ક્યારે આવી? "હોર્નર સર્કિટ" વિષય પર પ્રસ્તુતિ

બેક ફોરવર્ડ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓને રજૂ કરી શકશે નહીં. જો તમને રસ હોય તો આ કામ, કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

પાઠનો પ્રકાર: પ્રાથમિક જ્ઞાનમાં નિપુણતા અને એકીકૃત કરવાનો પાઠ.

પાઠનો ઉદ્દેશ્ય:

• વિદ્યાર્થીઓને બહુપદીના મૂળના ખ્યાલનો પરિચય આપો અને તેમને કેવી રીતે શોધવી તે શીખવો.
• સત્તાઓ દ્વારા બહુપદીને વિસ્તૃત કરવા અને બહુપદીને દ્વિપદી દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે હોર્નરની યોજના લાગુ કરવામાં કુશળતા સુધારો.
• હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ શોધવાનું શીખો.
• અમૂર્ત વિચારસરણીનો વિકાસ કરો.
• કમ્પ્યુટિંગ સંસ્કૃતિને પ્રોત્સાહન આપો.

આંતરશાખાકીય જોડાણોનો વિકાસ.

પાઠ પ્રગતિ

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

પાઠના વિષયને જાણ કરો, લક્ષ્યો ઘડો.

2. હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે.

3. નવી સામગ્રીનો અભ્યાસ. = ચાલો Fn(x) - a n x n +a n-1 x n-1 +... a 1 x +a 0 ડિગ્રી n ના x માટે બહુપદી, જ્યાં a 0 , a 1 ,...,a n ને સંખ્યાઓ આપવામાં આવે છે, અને a 0 0 ની બરાબર નથી. જો બહુપદી F n (x) ને બાકીના વડે વિભાજિત કરવામાં આવે તોદ્વિપદી x-a , તો અવશેષ (અપૂર્ણ ભાગ) એ ડિગ્રી n-1 નો બહુપદી Q n-1 (x) છે, બાકીનો R એક સંખ્યા છે, અને સમાનતા સાચી છે F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.

બહુપદી F n (x) માત્ર R=0 ના કિસ્સામાં દ્વિપદી (x-a) વડે વિભાજ્ય છે. બેઝાઉટનું પ્રમેય: બહુપદી F n (x) ને દ્વિપદી (x-a) વડે વિભાજિત કરતી વખતે શેષ Rમૂલ્યની સમાન

x=a માટે બહુપદી F n (x), એટલે કે. R=Pn(a).

થોડો ઇતિહાસ. બેઝાઉટનું પ્રમેય, તેની સ્પષ્ટ સરળતા અને સ્પષ્ટતા હોવા છતાં, બહુપદીના સિદ્ધાંતના મૂળભૂત પ્રમેયમાંનું એક છે. આ પ્રમેય બહુપદીના બીજગણિત ગુણધર્મો (જે બહુપદીને પૂર્ણાંક તરીકે ગણવામાં આવે છે) તેમના કાર્યાત્મક ગુણધર્મો સાથે સંબંધિત છે (જે બહુપદીને કાર્યો તરીકે ગણવામાં આવે છે). ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવાની એક રીત એ છે કે સમીકરણની ડાબી બાજુએ બહુપદીનું પરિબળ બનાવવું. બહુપદી અને શેષના ગુણાંકની ગણતરી હોર્નર સ્કીમ તરીકે ઓળખાતા કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે. હોર્નરની સ્કીમ એ બહુપદીને વિભાજિત કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ છે, જ્યારે ભાગ દ્વિપદી સમાન હોય ત્યારે વિશિષ્ટ કેસ માટે લખવામાં આવે છે..

હોર્નર વિલિયમ જ્યોર્જ (1786 - 1837), અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી. મૂળભૂત સંશોધન સિદ્ધાંત સાથે સંબંધિત છે બીજગણિતીય સમીકરણો. કોઈપણ ડિગ્રીના સમીકરણોના અંદાજિત ઉકેલ માટે પદ્ધતિ વિકસાવી. 1819 માં, તેમણે બહુપદીને દ્વિપદી x - a (હોર્નર્સ સ્કીમ) વડે વિભાજીત કરવાની બીજગણિત માટે એક મહત્વપૂર્ણ પદ્ધતિ રજૂ કરી.

નિષ્કર્ષ સામાન્ય સૂત્રહોર્નરની યોજના માટે.

બહુપદી f(x) ને દ્વિપદી (x-c) વડે શેષ સાથે વિભાજીત કરવાનો અર્થ એ છે કે બહુપદી q(x) અને સંખ્યા r શોધવી જેમ કે f(x)=(x-c)q(x)+r

ચાલો આ સમાનતાને વિગતવાર લખીએ:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ... f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +... q n-2 x + q n-1)+r

ચાલો સમાન ડિગ્રી પર ગુણાંકને સમાન કરીએ:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને હોર્નરના સર્કિટનું પ્રદર્શન.

કાર્ય 1.હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બહુપદી f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 ને દ્વિપદી x-2 વડે શેષ સાથે વિભાજીત કરીએ છીએ.

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, જ્યાં g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 શેષ.

દ્વિપદીની શક્તિઓમાં બહુપદીનું વિસ્તરણ.

હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બહુપદી f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 ને દ્વિપદી (x+2) ની શક્તિઓમાં વિસ્તૃત કરીએ છીએ.

પરિણામે, આપણે વિસ્તરણ f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) મેળવવું જોઈએ )(x+2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

જ્યારે બહુપદીને દ્વિપદી x-a માં વિસ્તૃત કરવાનું અનુકૂળ હોય ત્યારે હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ ત્રીજા, ચોથા અને ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલતી વખતે થાય છે. નંબર aકહેવાય છે બહુપદીનું મૂળ F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ... f n-1 x + f n, જો ખાતે x=aબહુપદી F n (x) ની કિંમત શૂન્યની બરાબર છે: F n (a)=0, એટલે કે. જો બહુપદી દ્વિપદી x-a વડે વિભાજ્ય હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 2 એ બહુપદી F 3 (x)=3x 3 -2x-20 નું મૂળ છે, કારણ કે F 3 (2)=0. તેનો અર્થ છે. કે આ બહુપદીના અવયવીકરણમાં એક પરિબળ x-2 છે.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

ડિગ્રીનો કોઈપણ બહુપદી F n(x) n 1 પાસે વધુ ન હોઈ શકે nવાસ્તવિક મૂળ.

કોઈપણ સંપૂર્ણ મૂળપૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેનું સમીકરણ તેનો વિભાજક છે મફત સભ્ય.

જો સમીકરણનો અગ્રણી ગુણાંક 1 છે, તો પછી બધા તર્કસંગત મૂળસમીકરણો, જો તેઓ અસ્તિત્વમાં છે, તો પૂર્ણાંક છે.

અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનું એકીકરણ.

નવી સામગ્રીને એકીકૃત કરવા માટે, વિદ્યાર્થીઓને પાઠ્યપુસ્તક 2.41 અને 2.42 (પૃ. 65)માંથી નંબરો પૂર્ણ કરવા આમંત્રિત કરવામાં આવે છે.

(2 વિદ્યાર્થીઓ બોર્ડમાં ઉકેલે છે, અને બાકીના, નિર્ણય લીધા પછી, બોર્ડ પરના જવાબો સાથે નોટબુકમાં સોંપણીઓ તપાસો).

સારાંશ.

હોર્નર યોજનાની રચના અને સંચાલનના સિદ્ધાંતને સમજ્યા પછી, તેનો ઉપયોગ કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનના પાઠોમાં પણ થઈ શકે છે, જ્યારે દશાંશ નંબર સિસ્ટમમાંથી પૂર્ણાંકોને દ્વિસંગી સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત કરવાનો મુદ્દો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે અને તેનાથી વિપરીત. એક નંબર સિસ્ટમમાંથી બીજી નંબર સિસ્ટમમાં સ્થાનાંતરિત કરવા માટેનો આધાર નીચેનો સામાન્ય પ્રમેય છે

પ્રમેય.પૂર્ણ સંખ્યાને કન્વર્ટ કરવા માટે એપીથી પી-એરી નંબર સિસ્ટમથી બેઝ નંબર સિસ્ટમ ડીજરૂરી એપીક્રમશઃ સંખ્યા દ્વારા શેષ સાથે વિભાજીત કરો ડી, એ જ લખેલું પી-રી સિસ્ટમ જ્યાં સુધી પરિણામી ભાગ શૂન્યની બરાબર ન થાય ત્યાં સુધી. વિભાગમાંથી બાકી રહેશે ડી- સંખ્યાત્મક અંકો એડ, સૌથી નાની કેટેગરીથી લઈને સૌથી વરિષ્ઠ સુધી. બધી ક્રિયાઓ અંદર હાથ ધરવામાં આવશ્યક છે પી-એરી નંબર સિસ્ટમ. માણસ માટે આ નિયમત્યારે જ અનુકૂળ પી= 10, એટલે કે. અનુવાદ કરતી વખતે થીદશાંશ સિસ્ટમ. કમ્પ્યુટરની વાત કરીએ તો, તેનાથી વિપરીત, તે દ્વિસંગી સિસ્ટમમાં ગણતરીઓ કરવા માટે "વધુ અનુકૂળ" છે. તેથી, "2 થી 10" ને કન્વર્ટ કરવા માટે, દ્વિસંગી સિસ્ટમમાં દસ દ્વારા ક્રમિક વિભાજનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, અને "10 થી 2" એ દસની શક્તિઓનો ઉમેરો છે. "10 માં 2" પ્રક્રિયાની ગણતરીઓને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવા માટે, કમ્પ્યુટર હોર્નરની આર્થિક કમ્પ્યુટિંગ યોજનાનો ઉપયોગ કરે છે.

હોમવર્ક. તે બે કાર્યો પૂર્ણ કરવાની દરખાસ્ત છે.

1લી. હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, બહુપદી f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 ને દ્વિપદી (x-3) વડે વિભાજીત કરો.

2જી. બહુપદી f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 ના પૂર્ણાંક મૂળ શોધો (એ ધ્યાનમાં લેવું કે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેના સમીકરણનું કોઈપણ પૂર્ણાંક મૂળ તેના મુક્ત પદનો વિભાજક છે)

સાહિત્ય.

1. કુરોશ એ.જી. "ઉચ્ચ બીજગણિતનો અભ્યાસક્રમ."
2. નિકોલ્સ્કી એસ.એમ., પોટાપોવ એમ.કે. અને અન્ય ગ્રેડ 10 "બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત."
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

હોર્નરની યોજના - બહુપદીને વિભાજીત કરવાની પદ્ધતિ

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1) )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

દ્વિપદી $x-a$ પર. તમારે કોષ્ટક સાથે કામ કરવું પડશે, જેની પ્રથમ પંક્તિ આપેલ બહુપદીના ગુણાંક ધરાવે છે. બીજી પંક્તિનું પ્રથમ તત્વ $a$ નંબર હશે, જે દ્વિપદી $x-a$માંથી લેવામાં આવશે:

nth ડિગ્રીના બહુપદીને દ્વિપદી $x-a$ વડે વિભાજિત કર્યા પછી, આપણે બહુપદી મેળવીએ છીએ જેની ડિગ્રી મૂળ કરતાં એક ઓછી હોય, એટલે કે. $n-1$ બરાબર છે. હોર્નરની યોજનાનો સીધો ઉપયોગ ઉદાહરણો સાથે દર્શાવવા માટે સૌથી સરળ છે.

ઉદાહરણ નંબર 1

હોર્નરની સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને $5x^4+5x^3+x^2-11$ ને $x-1$ વડે વિભાજીત કરો.

ચાલો બે લીટીઓનું કોષ્ટક બનાવીએ: પ્રથમ લીટીમાં આપણે બહુપદી $5x^4+5x^3+x^2-11$ના ગુણાંક લખીએ છીએ, જે $x$ ચલની શક્તિઓના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલા છે. નોંધ કરો કે આ બહુપદીમાં પ્રથમ ડિગ્રી સુધી $x$ શામેલ નથી, એટલે કે. પ્રથમ ઘાત માટે $x$ નો ગુણાંક 0 છે. કારણ કે આપણે $x-1$ વડે ભાગતા હોઈએ છીએ, આપણે બીજી લીટીમાં એક લખીએ છીએ:

ચાલો બીજી લીટીમાં ખાલી કોષો ભરવાનું શરૂ કરીએ. બીજી લીટીના બીજા કોષમાં આપણે $5$ નંબર લખીએ છીએ, તેને પ્રથમ લીટીના અનુરૂપ કોષમાંથી ખાલી ખસેડીએ છીએ:

ચાલો આ સિદ્ધાંત મુજબ આગળનો કોષ ભરીએ: $1\cdot 5+5=10$:

ચાલો બીજી લીટીના ચોથા સેલને એ જ રીતે ભરીએ: $1\cdot 10+1=11$:

પાંચમા સેલ માટે આપણને મળે છે: $1\cdot 11+0=11$:

અને છેલ્લે, છેલ્લા, છઠ્ઠા સેલ માટે, અમારી પાસે છે: $1\cdot 11+(-11)=0$:

સમસ્યા હલ થઈ ગઈ છે, જે બાકી છે તે જવાબ લખવાનું છે:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બીજી લીટીમાં સ્થિત સંખ્યાઓ (એક અને શૂન્ય વચ્ચે) એ $5x^4+5x^3+x^2-11$ ને $x-1$ વડે ભાગ્યા પછી મેળવેલ બહુપદીના ગુણાંક છે. સ્વાભાવિક રીતે, મૂળ બહુપદીની ડિગ્રી $5x^4+5x^3+x^2-11$ ચાર જેટલી હતી, તો પરિણામી બહુપદીની ડિગ્રી $5x^3+10x^2+11x+11$ છે એક ઓછું, એટલે કે. ત્રણ બરાબર. બહુપદી $5x^4+5x^3+x^2-11$ ને $x-1$ વડે વિભાજિત કરતી વખતે બીજી લીટીમાં છેલ્લી સંખ્યા (શૂન્ય) નો અર્થ શેષ થાય છે. અમારા કિસ્સામાં, બાકીના શૂન્ય બરાબર, એટલે કે બહુપદી સમાનરૂપે વિભાજ્ય છે. આ પરિણામને નીચે પ્રમાણે પણ દર્શાવી શકાય છે: બહુપદી $5x^4+5x^3+x^2-11$ ની કિંમત $x=1$ પર શૂન્યની બરાબર છે.

નિષ્કર્ષ આ સ્વરૂપમાં પણ ઘડી શકાય છે: કારણ કે બહુપદીનું મૂલ્ય $5x^4+5x^3+x^2-11$ પર $x=1$ છે, તો એકતા એ બહુપદીનું મૂળ છે $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

ઉદાહરણ નંબર 2

હોર્નરની સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને બહુપદી $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ને $x+3$ વડે વિભાજીત કરો.

ચાલો આપણે તરત જ નિર્ધારિત કરીએ કે $x+3$ ને $x-(-3)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવું જોઈએ. હોર્નરની યોજનામાં બરાબર $-3$ સામેલ હશે. મૂળ બહુપદીની ડિગ્રી $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ચાર જેટલી છે, તો પછી વિભાજનના પરિણામે આપણે ત્રીજી ડિગ્રીની બહુપદી મેળવીએ છીએ:

પરિણામ એટલે કે

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

આ પરિસ્થિતિમાં, જ્યારે $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ને $x+3$ વડે વિભાજીત કરવામાં આવે ત્યારે બાકીની રકમ $4$ છે. અથવા, સમાન શું છે, $x=-3$ માટે બહુપદી $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$નું મૂલ્ય $4$ બરાબર છે. માર્ગ દ્વારા, આપેલ બહુપદીમાં $x=-3$ ને સીધું બદલીને આ બે વાર તપાસવું સરળ છે:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

તે. પર બહુપદીનું મૂલ્ય શોધવા માટે જરૂરી હોય તો હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરી શકાય છે મૂલ્ય સેટ કરોચલ જો અમારો ધ્યેય બહુપદીના તમામ મૂળ શોધવાનો છે, તો હોર્નરની યોજનાને સળંગ ઘણી વખત લાગુ કરી શકાય છે જ્યાં સુધી આપણે બધા મૂળ ખતમ ન કરીએ, ઉદાહરણ નંબર 3 માં ચર્ચા કર્યા મુજબ.

ઉદાહરણ નંબર 3

હોર્નરની સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને બહુપદી $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ના તમામ પૂર્ણાંક મૂળ શોધો.

પ્રશ્નમાં બહુપદીના ગુણાંક પૂર્ણાંકો છે, અને ગુણાંક ચલની સર્વોચ્ચ શક્તિ (એટલે ​​કે $x^6$ પહેલાં) છે. એક સમાન. આ કિસ્સામાં, બહુપદીના પૂર્ણાંક મૂળને મુક્ત પદના વિભાજકો વચ્ચે શોધવું આવશ્યક છે, એટલે કે. સંખ્યા 45 ના વિભાજકોમાં. આપેલ બહુપદી માટે, આવા મૂળ $45 નંબરો હોઈ શકે છે; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ અને $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર $1$ તપાસીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બહુપદી $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ની કિંમત $x=1$ ની બરાબર છે $192$ ( છેલ્લો નંબરબીજી લીટીમાં), અને $0$ નહીં, તેથી એકતા આ બહુપદીનું મૂળ નથી. એક માટેનો ચેક નિષ્ફળ ગયો હોવાથી, ચાલો મૂલ્ય $x=-1$ તપાસીએ. નવું ટેબલઆ હેતુ માટે અમે કમ્પાઈલ નહીં કરીએ, પરંતુ ટેબલનો ઉપયોગ કરવાનું ચાલુ રાખીશું. નંબર 1, તેમાં નવી (ત્રીજી) લાઇન ઉમેરી રહ્યા છીએ. બીજી લાઇન, જેમાં $1$ નું મૂલ્ય ચકાસવામાં આવ્યું હતું, તે લાલ રંગમાં પ્રકાશિત કરવામાં આવશે અને આગળની ચર્ચાઓમાં તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે નહીં.

તમે, અલબત્ત, ફક્ત ટેબલને ફરીથી લખી શકો છો, પરંતુ તેને જાતે ભરવામાં ઘણો સમય લાગશે. તદુપરાંત, ત્યાં ઘણા નંબરો હોઈ શકે છે જેની ચકાસણી નિષ્ફળ જશે, અને દરેક વખતે નવું ટેબલ લખવું મુશ્કેલ છે. "કાગળ પર" ની ગણતરી કરતી વખતે, લાલ રેખાઓ સરળતાથી પાર કરી શકાય છે.

તેથી, $x=-1$ પર બહુપદી $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ની કિંમત શૂન્યની બરાબર છે, એટલે કે. સંખ્યા $-1$ આ બહુપદીનું મૂળ છે. બહુપદી $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ને દ્વિપદી $x-(-1)=x+1$ વડે ભાગ્યા પછી આપણે બહુપદી $x મેળવીએ છીએ. ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, જેનાં ગુણાંક કોષ્ટકની ત્રીજી પંક્તિમાંથી લેવામાં આવે છે. નંબર 2 (ઉદાહરણ નંબર 1 જુઓ). ગણતરીઓનું પરિણામ આ ફોર્મમાં પણ રજૂ કરી શકાય છે:

\begin(સમીકરણ)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\અંત(સમીકરણ)

ચાલો પૂર્ણાંક મૂળની શોધ ચાલુ રાખીએ. હવે આપણે બહુપદી $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ના મૂળ શોધવાની જરૂર છે. ફરીથી, આ બહુપદીના પૂર્ણાંક મૂળ તેના મફત શબ્દના વિભાજકોમાં માંગવામાં આવે છે, સંખ્યાઓ $45$. ચાલો ફરીથી $-1$ નંબરને તપાસવાનો પ્રયાસ કરીએ. અમે નવું કોષ્ટક બનાવીશું નહીં, પરંતુ અગાઉના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવાનું ચાલુ રાખીશું. નંબર 2, એટલે કે. ચાલો તેમાં વધુ એક લીટી ઉમેરીએ:

તેથી, સંખ્યા $-1$ એ બહુપદી $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$નું મૂળ છે. આ પરિણામ આ રીતે લખી શકાય છે:

\begin(સમીકરણ)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \અંત(સમીકરણ)

સમાનતાને ધ્યાનમાં લેતા (2), સમાનતા (1) નીચેના સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે:

\begin(સમીકરણ)\begin(સંરેખિત) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(સંરેખિત)\end(સમીકરણ)

હવે આપણે બહુપદી $x^4-22x^2+24x+45$ના મૂળ શોધવાની જરૂર છે - સ્વાભાવિક રીતે, તેના મુક્ત શબ્દના વિભાજકોમાં ($45$ નંબરો). ચાલો ફરીથી $-1$ નંબર તપાસીએ:

$-1$ એ બહુપદી $x^4-22x^2+24x+45$નું મૂળ છે. આ પરિણામ આ રીતે લખી શકાય છે:

\begin(સમીકરણ)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \અંત(સમીકરણ)

સમાનતાને ધ્યાનમાં રાખીને (4), અમે સમાનતા (3) ને નીચેના સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

\begin(સમીકરણ)\begin(સંરેખિત) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3) +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\અંત(સંરેખિત)\અંત(સમીકરણ)

હવે આપણે બહુપદી $x^3-x^2-21x+45$ના મૂળ શોધી રહ્યા છીએ. ચાલો ફરીથી $-1$ નંબર તપાસીએ:

ચેક નિષ્ફળતામાં સમાપ્ત થયો. ચાલો છઠ્ઠી લાઇનને લાલ રંગમાં હાઇલાઇટ કરીએ અને બીજો નંબર ચેક કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર $3$:

શેષ શૂન્ય છે, તેથી સંખ્યા $3$ એ પ્રશ્નમાં બહુપદીનું મૂળ છે. તેથી $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. હવે સમાનતા (5) ને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે.

1.1 અલ્ગોરિધમનું સામાન્ય વર્ણન

1.1.1 સમસ્યા હલ કરવાની છે

પ્રથમ અંદાજ daps લાક્ષણિકતા પર આધારિત છે, જે પ્રતિ સેકન્ડમાં કરવામાં આવતી મેમરી એક્સેસ (વાંચવા અને લખવા)ની સંખ્યાનો અંદાજ લગાવે છે. આ લાક્ષણિકતામેમરી સાથે કામ કરવાના સંબંધમાં ફ્લોપ અંદાજનું એનાલોગ છે અને છે વધુ હદ સુધીસ્થાનિકતાના મૂલ્યાંકનને બદલે મેમરી ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કામગીરીનું મૂલ્યાંકન. જો કે, તે સેવા આપે છે સારો સ્ત્રોતના પરિણામો સાથે સરખામણી કરવા સહિતની માહિતી નીચેની લાક્ષણિકતા cvg

આકૃતિ 4 સામાન્ય અલ્ગોરિધમ્સના અમલીકરણ માટેના ડેપ્સ મૂલ્યો બતાવે છે, ચડતા ક્રમમાં સૉર્ટ કરેલ છે (ડૅપ્સ જેટલા ઊંચા, તેટલા વધુ સામાન્ય કેસઉચ્ચ ઉત્પાદકતા). આ આંકડા મુજબ, હોર્નર સર્કિટનું અમલીકરણ ઓછી મેમરી કામગીરી દર્શાવે છે. તે વિચિત્ર લાગે છે કે આ કિસ્સામાં ડૅપ્સ મૂલ્ય સ્ટ્રીમ પરીક્ષણો કરતાં નોંધપાત્ર રીતે ઓછું છે, તે હકીકત હોવા છતાં કે તમામ કેસોમાં કૉલ્સની પ્રોફાઇલ ખૂબ સમાન છે - એરેની ઘણી વખત એકસાથે ક્રમિક શોધ કરવામાં આવી હતી.

આ વર્તણૂકનું કારણ મેમરી સબસિસ્ટમના માળખાકીય લક્ષણો સાથે સંબંધિત છે. હોર્નરની યોજનાના અમલીકરણમાં, ઉપર નોંધ્યા પ્રમાણે, એરેમાંથી એકના તત્વોને સતત બે વાર એક્સેસ કરવામાં આવે છે. જો કે, જો તમે અમલીકરણના સ્ત્રોત કોડને જોશો, તો તમે જોઈ શકો છો કે હકીકતમાં બીજો કૉલ આગામી પુનરાવર્તનમાં કરવામાં આવે છે - આ પાછલા ઘટકને કૉલ છે:

માટે (int i = 1; i< size ; i ++ ) { c [ i ] = a [ i ] + c [ i - 1 ] * x ; }

પરિણામે, પુનરાવૃત્તિઓની અવલંબનને લીધે, હાર્ડવેર પ્રીફેચર જરૂરી કેશ લાઇન્સ ખેંચીને વધુ ખરાબ રીતે સામનો કરે છે, જે અનુક્રમિક શોધ (ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટ્રીમ પરીક્ષણો) પર આધારિત અન્ય અમલીકરણોની તુલનામાં પ્રોગ્રામના અમલીકરણમાં નોંધપાત્ર મંદી તરફ દોરી જાય છે.

આ ઉદાહરણ ફરી એકવાર બતાવે છે કે મેમરી સબસિસ્ટમ કેટલી જટિલ છે - સંપૂર્ણપણે નાનો ફેરફારલૂપ બોડીનું માળખું પ્રોગ્રામની જગ્યાએ અણધારી ગંભીર મંદી તરફ દોરી જાય છે.

આકૃતિ 4. ડેપ્સ સ્કોર મૂલ્યોની સરખામણી

બીજી લાક્ષણિકતા, cvg, વધુ મશીન-સ્વતંત્ર સ્થાનિક અંદાજ પ્રદાન કરવાનો છે. તે નક્કી કરે છે કે પ્રોગ્રામને કેટલી વાર કેશ મેમરીમાં ડેટા ખેંચવાની જરૂર છે. તદનુસાર, કરતાં ઓછું મૂલ્ય cvg, જેટલી ઓછી વાર આ કરવાની જરૂર છે, તેટલી સારી સ્થાનિકતા.

આકૃતિ 5 અમલીકરણના સમાન સમૂહ માટે cvg મૂલ્યો બતાવે છે, જે ઉતરતા ક્રમમાં સૉર્ટ કરેલ છે (cvg જેટલું નાનું છે, સામાન્ય રીતે સ્થાન વધારે છે). તે જોઈ શકાય છે કે હોર્નર યોજનાના અમલીકરણમાં સીવીજી અંદાજ મુજબ ખૂબ જ ઊંચી સ્થાનિકતા છે.

આકૃતિ 5. સીવીજી સ્કોર મૂલ્યોની સરખામણી

જેમ આપણે પહેલા જોયું તેમ, મેમરી ડિઝાઇનની પ્રકૃતિને કારણે આ વાસ્તવિક મેમરી પ્રદર્શન સાથે સારી રીતે સંબંધિત નથી. જો કે, અહીં બે મુદ્દાઓ બનાવવાની જરૂર છે. પ્રથમ, સમાન કેસો, જ્યારે મેમરી સાથે કામ કરવાનું પ્રદર્શન મેમરી સબસિસ્ટમના માળખાના વિશિષ્ટ હાર્ડવેર લક્ષણો પર ખૂબ જ આધાર રાખે છે, ત્યારે વ્યવહારમાં તે એટલું સામાન્ય નથી. બીજું, cvg એ મશીન-સ્વતંત્ર સ્થાનિક અંદાજ પ્રદાન કરવા માટે રચાયેલ છે; ચાલુ આ સ્તરઆવા હાર્ડવેર લક્ષણોને ધ્યાનમાં લેવું ભાગ્યે જ શક્ય છે, ઓછામાં ઓછું મશીન-સ્વતંત્ર ગુણધર્મોનો હિસ્સો ગુમાવ્યા વિના.

2.3 એલ્ગોરિધમના સમાંતર અમલીકરણની સંભવિત પદ્ધતિઓ અને સુવિધાઓ

વર્ણવેલ અલ્ગોરિધમ સમાંતર અમલીકરણને સૂચિત કરતું નથી.

2.4 અલ્ગોરિધમ અને તેના અમલીકરણની માપનીયતા

માપનીયતાનો ખ્યાલ લાગુ પડતો નથી, કારણ કે વર્ણવેલ અલ્ગોરિધમ સમાંતર અમલીકરણને સૂચિત કરતું નથી. ચાલો પદ્ધતિ અનુસાર અલ્ગોરિધમના અમલીકરણની માપનીયતાનો અભ્યાસ કરીએ. આ સંશોધન મોસ્કો યુનિવર્સિટીના સુપર કોમ્પ્યુટર કોમ્પ્લેક્સના લોમોનોસોવ સુપર કોમ્પ્યુટર પર કરવામાં આવ્યું હતું. અલ્ગોરિધમનો અમલ શરૂ કરવા માટે પરિવર્તનશીલ પરિમાણોના મૂલ્યોના સેટ અને સીમાઓ:

• પ્રોસેસરોની સંખ્યા 1;
• 10240 ના વધારામાં વિસ્તારનું કદ.

પ્રયોગોના પરિણામે, અલ્ગોરિધમ અમલીકરણની કાર્યક્ષમતાની નીચેની શ્રેણી પ્રાપ્ત થઈ હતી:

• ન્યૂનતમ અમલીકરણ કાર્યક્ષમતા 0.0324%;
• મહત્તમ અમલીકરણ કાર્યક્ષમતા 0.0331%.

નીચેના આંકડાઓ વેરિયેબલ લોન્ચ પેરામીટરના આધારે અલ્ગોરિધમના પસંદ કરેલ અમલીકરણની કામગીરી અને કાર્યક્ષમતાનો આલેખ દર્શાવે છે.

આકૃતિ 6. અલ્ગોરિધમ અમલીકરણ. વેક્ટરના કદના આધારે પ્રદર્શનમાં ફેરફાર થાય છે.

આકૃતિ 7. અલ્ગોરિધમ અમલીકરણ. વેક્ટરના કદના આધારે કાર્યક્ષમતામાં ફેરફાર થાય છે.

પરના વિભાગમાં વર્ણવેલ અતિશય સ્થાનને કારણે ઓછી કાર્યક્ષમતા જણાય છે.

2.5 એલ્ગોરિધમ અમલીકરણની ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓ અને કાર્યક્ષમતા

અલ્ગોરિધમની સુસંગતતા અને તેની અતિશય સ્થાનિકતાને લીધે, તેની ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓનો અભ્યાસ ઓછો મૂલ્યવાન નથી.

પ્રયોગો હાથ ધરવા માટે, ઉપલબ્ધ અમલીકરણમાં હોર્નર સ્કીમ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. બધા પરિણામો ગ્રાફઆઈટી પર મેળવવામાં આવ્યા હતા. 94 Gflops ના પીક પરફોર્મન્સ સાથે Intel Xeon X5570 પ્રોસેસર્સ તેમજ Gnu 4.4.7 કમ્પાઈલરનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. આંકડા કાઉન્ટર-સ્વીપ અલ્ગોરિધમના અમલીકરણની અસરકારકતા દર્શાવે છે.

સ્લાઇડ 3

હોર્નર વિલિયમ્સ જ્યોર્જ (1786-22.9.1837) - અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી. બ્રિસ્ટોલમાં જન્મ. તેણે ત્યાં અભ્યાસ કર્યો અને કામ કર્યું, પછી બાથની શાળાઓમાં. બીજગણિત પર મૂળભૂત કામ કરે છે. 1819 માં બહુપદીના વાસ્તવિક મૂળની અંદાજિત ગણતરી માટે એક પદ્ધતિ પ્રકાશિત કરી, જેને હવે રફિની-હોર્નર પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે (આ પદ્ધતિ 13મી સદીમાં ચીનમાં જાણીતી હતી). હોર્નર પછી.

સ્લાઇડ 4

હોર્નર સ્કીમ

વિભાજન પદ્ધતિ nth બહુપદીરેખીય દ્વિપદી પર ડિગ્રી - a, એ હકીકત પર આધારિત છે કે અપૂર્ણ ભાગના ગુણાંક અને શેષ ભાગ વિભાજ્ય બહુપદીના ગુણાંક સાથે અને સૂત્રો સાથે સંબંધિત છે:

સ્લાઇડ 5

હોર્નરની યોજના અનુસાર ગણતરીઓ કોષ્ટકમાં મૂકવામાં આવી છે:

ઉદાહરણ 1. ભાગાકાર કરો આંશિક ભાગ x3-x2+3x - 13 છે અને બાકીનો ભાગ 42=f(-3) છે.

સ્લાઇડ 6

આ પદ્ધતિનો મુખ્ય ફાયદો એ રેકોર્ડિંગની કોમ્પેક્ટનેસ અને ક્ષમતા છે ઝડપી વિભાજનબહુપદી થી દ્વિપદી. વાસ્તવમાં, હોર્નરની સ્કીમ એ ગ્રૂપિંગ પદ્ધતિને રેકોર્ડ કરવાનું બીજું સ્વરૂપ છે, જોકે, બાદમાંની જેમ, તે સંપૂર્ણપણે બિન-દૃશ્ય છે. જવાબ (ફેક્ટરાઇઝેશન) અહીં જાતે જ પ્રાપ્ત થાય છે, અને આપણે તેને મેળવવાની પ્રક્રિયા જોતા નથી. અમે હોર્નરની યોજનાના સખત પુરાવામાં જોડાઈશું નહીં, પરંતુ તે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે જ બતાવીશું.

સ્લાઇડ 7

ઉદાહરણ 2.

ચાલો સાબિત કરીએ કે બહુપદી P(x)=x4-6x3+7x-392 x-7 વડે વિભાજ્ય છે, અને ભાગાકારનો ભાગ શોધીએ. ઉકેલ. હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે P(7) શોધીએ છીએ: અહીંથી આપણે P(7)=0 મેળવીએ છીએ, એટલે કે. બહુપદીને x-7 વડે વિભાજિત કરતી વખતે બાકીનો ભાગ શૂન્યની બરાબર હોય છે અને તેથી, બહુપદી P(x) એ (x-7) નો ગુણાંક છે વધુમાં, કોષ્ટકની બીજી હરોળમાંની સંખ્યાઓ ગુણાંક છે P(x) નો ભાગાકાર (x-7), તેથી P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

સ્લાઇડ 8

બહુપદી x3 – 5x2 – 2x + 16 અવયવ કરો.

આ બહુપદીમાં પૂર્ણાંક ગુણાંક છે. જો પૂર્ણાંક આ બહુપદીનું મૂળ છે, તો તે સંખ્યા 16નો વિભાજક છે. આમ, જો આપેલ બહુપદીમાં પૂર્ણાંક મૂળ હોય, તો તે માત્ર ±1 સંખ્યાઓ જ હોઈ શકે છે; ±2; ±4; ±8; ±16. સીધી ચકાસણી દ્વારા અમને ખાતરી છે કે નંબર 2 એ આ બહુપદીનું મૂળ છે, એટલે કે, x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), જ્યાં Q(x) એ બીજી ડિગ્રીનો બહુપદી છે.

સ્લાઇડ 9

પરિણામી સંખ્યાઓ 1, −3, −8 એ બહુપદીના ગુણાંક છે, જે મૂળ બહુપદીને x – 2 વડે વિભાજિત કરીને મેળવવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે ભાગાકારનું પરિણામ છે: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. ભાગાકારના પરિણામે બહુપદીની ડિગ્રી મૂળની ડિગ્રી કરતા હંમેશા 1 ઓછી હોય છે. તેથી: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

હોર્નર વિલિયમ જ્યોર્જ () અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી. મુખ્ય સંશોધન બીજગણિત સમીકરણોના સિદ્ધાંતની ચિંતા કરે છે. કોઈપણ ડિગ્રીના સમીકરણોના અંદાજિત ઉકેલ માટે પદ્ધતિ વિકસાવી. 1819 માં, તેમણે બહુપદીને દ્વિપદી (x – a) (હોર્નરની યોજના) માં વિભાજીત કરવા માટે બીજગણિત માટે એક મહત્વપૂર્ણ પદ્ધતિ રજૂ કરી.

હોર્નર સ્કીમ માટેના સૂત્રોની વ્યુત્પત્તિ બહુપદી f(x) ને દ્વિપદી (x-c) વડે શેષ સાથે વિભાજીત કરવાનો અર્થ એ છે કે બહુપદી q(x) અને સંખ્યા r શોધવા જેવી કે f(x)=(x-c)q(x)+ r આ સમાનતાને વિગતવાર લખો : f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + …+f n-1 x + f n = (x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +…+ q n-2 x + q n-1)+r ચાલો આપણે ગુણાંકની સમાનતા કરીએ સમાન ડિગ્રી: x n: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 x n-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 x n-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 … X 0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1 q 0 = f 0 x n-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 x n-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 … X 0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1">

હોર્નર સ્કીમની કામગીરીનું નિદર્શન હોર્નર સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બહુપદી f(x) = x 3 - 5x ને દ્વિપદી x-2 દ્વારા શેષ સાથે વિભાજીત કરીએ છીએ અમે મૂળ બહુપદી f 0, f 1, ના ગુણાંક લખીએ છીએ. f 2, f 3. f0f0 f1f1 f2f2 f3f c 2 જો આપણે (x-c) પર ભાગીએ, તો ડાબી બાજુની બીજી લીટીમાં c લખીએ છીએ બાકીના r માટે ખાલી કોષો અને અપૂર્ણ ભાગ q 0, q 1 ના ગુણાંક તૈયાર કરીએ છીએ. ,q 2 q0q0 q1q1 q2q2 r g 0:=f 0 =1 1 g 1:= c *g 0 + f 1 * + =2 * 1 + (-5)=-3 g 2:= s *g 1 + f 2 =2 * (-3) + 0=-6 * + r:= s *g 2 + f 3 =2 * (-6) + 8= * + -4 જવાબ: g(x)=x 2 -3x -6; આર = -4. f(x)= (x-2)(x 2 -3x-6)-4

દ્વિપદીની શક્તિઓમાં બહુપદીનું વિસ્તરણ હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બહુપદી f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 ને દ્વિપદી (x+2) f(x)=x 3 +3xની શક્તિઓમાં વિસ્તૃત કરીએ છીએ. 2 -2x+4 =(x +2)(x 2 +x-4) f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4= (x+2)((x-1)(x+2) -2) f(x)= x 3 +3x 2 -2x+4= (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2)) f(x) = x 3 +3x 2 -2x+ 4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1)(x+2)-2)+12 = = ( (1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3(x+2) 2 -2(x+2)+ 12

હોમવર્ક a 1. ભાગાકાર f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 x-3 દ્વારા; 2. હોર્નરની સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને, બહુપદીના પૂર્ણાંક મૂળ શોધો f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (*નોંધ: પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદીના પૂર્ણાંક મૂળને વિભાજકો વચ્ચે જોવું આવશ્યક છે. મફત શબ્દ ±1;±2;±3;±6)