સાઈન કોસાઈનની મર્યાદા પર લેમ્મા અને પ્રમેય. કોસાઇન્સ, સાઇન્સનું પ્રમેય: રચના, પરિણામો અને ઉદાહરણો

આ લેખ સમાવે છે સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના કોષ્ટકો. પ્રથમ આપણે મૂળભૂત મૂલ્યોનું કોષ્ટક પ્રદાન કરીશું ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, એટલે કે, 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 ડિગ્રી ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πરેડિયન). આ પછી, અમે સાઇન્સ અને કોસાઇન્સનું કોષ્ટક આપીશું, તેમજ વી.એમ. બ્રાડિસ દ્વારા સ્પર્શકો અને કોટિન્જન્ટ્સનું કોષ્ટક આપીશું, અને ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યો શોધતી વખતે આ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે બતાવીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

0, 30, 45, 60, 90, ... ડિગ્રીના ખૂણાઓ માટે સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટનું કોષ્ટક

સંદર્ભો.

• બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 9મા ધોરણ માટે. સરેરાશ શાળા/યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; એડ. એસ. એ. ટેલિયાકોવસ્કી - એમ.: એજ્યુકેશન, 1990. - 272 પીપી. - ISBN 5-09-002727-7
• બશ્માકોવ એમ. આઇ.બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પાઠ્યપુસ્તક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સરેરાશ શાળા - 3જી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 1993. - 351 પૃષ્ઠ: બીમાર. - ISBN 5-09-004617-4.
• બીજગણિતઅને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પ્રોક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn અને અન્ય; એડ. એ. એન. કોલમોગોરોવ - 14મી આવૃત્તિ - એમ.: એજ્યુકેશન, 2004. - 384 પીપી.
• ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.
• બ્રાડીસ વી. એમ.ચાર-અંકના ગણિત કોષ્ટકો: સામાન્ય શિક્ષણ માટે. પાઠ્યપુસ્તક સંસ્થાઓ - 2જી આવૃત્તિ. - એમ.: બસ્ટાર્ડ, 1999.- 96 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 5-7107-2667-2

ચાલો વર્તુળમાં અંકિત એક મનસ્વી ત્રિકોણ બનાવીએ. ચાલો તેને ABC તરીકે દર્શાવીએ.
સમગ્ર પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, કારણ કે ત્રિકોણના પરિમાણો મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યા છે, તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે તેની સામેના ખૂણા સાથે એક મનસ્વી બાજુનો ગુણોત્તર 2R બરાબર છે. ચાલો તેને 2R = a / sin α, એટલે કે, જો આપણે ડ્રોઇંગમાંથી 2R = BC / sin A લઈએ.

ચાલો આપણે ઘેરાયેલા વર્તુળ માટે વ્યાસ BD ની ગણતરી કરીએ. પરિણામી ત્રિકોણ BCD એ કાટકોણીય છે કારણ કે તેનું કર્ણાકાર પરિઘવાળા વર્તુળના વ્યાસ પર રહેલું છે (વર્તુળમાં અંકિત ખૂણાઓની મિલકત).

સમાન ચાપ પર આધારિત વર્તુળમાં અંકિત ખૂણાઓ સમાન હોવાથી, તો કોણ CDB કાં તો છે કોણ સમાન CAB (જો બિંદુ A અને D રેખા BC ની સમાન બાજુએ આવેલા હોય), અથવા π - CAB (અન્યથા).

ચાલો ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના ગુણધર્મો તરફ વળીએ. sin(π − α) = sin α હોવાથી, ત્રિકોણ બનાવવા માટે દર્શાવેલ વિકલ્પો હજુ પણ સમાન પરિણામ તરફ દોરી જશે.

ચાલો 2R = a / sin α, ડ્રોઇંગ 2R = BC / sin A ની કિંમતની ગણતરી કરીએ. આ કરવા માટે, sin A ને અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર સાથે બદલો જમણો ત્રિકોણ.

2R = BC/sin A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB

અને, DB વર્તુળના વ્યાસ તરીકે બાંધવામાં આવ્યું હોવાથી, પછી સમાનતા સંતુષ્ટ છે.
ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓ માટે સમાન તર્કનું પુનરાવર્તન કરવાથી, આપણને મળે છે:

સાઈન પ્રમેય સાબિત થયું છે.

સાઇન્સનું પ્રમેય

નોંધ. આ ભૂમિતિની સમસ્યાઓ સાથેના પાઠનો ભાગ છે (સાઇન્સનો વિભાગ પ્રમેય). જો તમારે ભૂમિતિની સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર હોય જે અહીં નથી, તો ફોરમમાં તેના વિશે લખો. કાર્યોમાં, "ચોરસમૂળ" પ્રતીકને બદલે, sqrt() ફંક્શનનો ઉપયોગ થાય છે, જેમાં sqrt એ પ્રતીક છે વર્ગમૂળ, અને આમૂલ અભિવ્યક્તિ કૌંસમાં દર્શાવેલ છે.

સાઇન્સનું પ્રમેય:
ત્રિકોણની બાજુઓ વિપરિત ખૂણાઓની સાઈન્સના પ્રમાણસર હોય છે, અથવા, વિસ્તૃત ફોર્મ્યુલેશનમાં:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
જ્યાં R એ ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે

સિદ્ધાંત માટે - પ્રમેયની રચના અને પુરાવા માટે, "સાઇન્સનું પ્રમેય" પ્રકરણમાં વિગતવાર જુઓ .

કાર્ય

ત્રિકોણ XYZ માં, કોણ X=30, કોણ Z=15. લંબરૂપ YQ થી ZY બાજુ XZ ને XQ અને QZ માં વિભાજિત કરે છે જો QZ = 1.5 મી

ઉકેલ.
ઊંચાઈએ બે કાટકોણ XYQ અને ZYQ બનાવેલ છે.
સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, આપણે સાઈન્સના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું.
QZ / sin(QYZ) = QY / sin(QZY)

QZY = 15 ડિગ્રી, તે મુજબ, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

ત્રિકોણની ઊંચાઈની લંબાઈ હવે જાણીતી હોવાથી, ચાલો સાઈન્સના સમાન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને XY શોધીએ.

QY/sin(30) = XY/sin(90)

ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કોષ્ટક મૂલ્યોકેટલાક ત્રિકોણમિતિ કાર્યો:

• 30 ડિગ્રીની સાઈન એ sin(30) = 1/2 બરાબર છે
• 90 ડિગ્રીની સાઈન એ sin(90) = 1 બરાબર છે

QY = XY પાપ (30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2 XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0.8 મીટર

જવાબ આપો: 0.8 મીટર અથવા 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

સાઇન્સનું પ્રમેય (ભાગ 2)

નોંધ. આ ભૂમિતિની સમસ્યાઓ સાથેના પાઠનો એક ભાગ છે (સાઇન્સનો વિભાગ પ્રમેય). જો તમારે ભૂમિતિની સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર હોય જે અહીં નથી, તો ફોરમમાં તેના વિશે લખો .

"સાઇન્સનું પ્રમેય" પ્રકરણમાં વિગતવાર સિદ્ધાંત જુઓ .

કાર્ય

ત્રિકોણ ABC ની બાજુ AB 16 cm છે. કોણ A 30 ડિગ્રી છે. કોણ B 105 ડિગ્રી છે. બાજુ BC ની લંબાઈની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.
સાઈન્સના નિયમ મુજબ, ત્રિકોણની બાજુઓ વિરોધી ખૂણાઓની સાઈન્સના પ્રમાણસર હોય છે:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ

આમ
BC/sin α = AB/sin γ

ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 અંશ જેટલો છે તેના આધારે આપણે કોણ Cનું કદ શોધીએ છીએ.
C = 180 - 30 -105 = 45 ડિગ્રી.

ક્યાં:
BC/sin 30° = 16/sin 45°

BC = 16 sin 30° / sin 45°

ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના કોષ્ટકનો સંદર્ભ આપતા, આપણે શોધીએ છીએ:

BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11.3 સે.મી.

જવાબ આપો: 16 / √2

કાર્ય.
IN ત્રિકોણ ABCકોણ A = α, કોણ C = β, ВС = 7cm, ВН - ત્રિકોણની ઊંચાઈ.
AN શોધો

મહત્વપૂર્ણ નોંધો!
1. જો તમને સૂત્રોને બદલે ગોબ્લેડીગુક દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. તમારા બ્રાઉઝરમાં આ કેવી રીતે કરવું તે અહીં લખ્યું છે:
2. તમે લેખ વાંચવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, સૌથી વધુ માટે અમારા નેવિગેટર પર ધ્યાન આપો ઉપયોગી સંસાધનમાટે

કોસાઇન પ્રમેય શું છે? આની કલ્પના કરો... મનસ્વી ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય.

કોસાઇન પ્રમેય: રચના.

કોસાઇન પ્રમેય જણાવે છે:ત્રિકોણની કોઈપણ બાજુનો ચોરસ કરો સરવાળો સમાનત્રિકોણની બીજી બે બાજુઓના ચોરસ આ બાજુઓના ગુણાંક અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇનથી બમણા ઓછા.

અને હવે હું સમજાવીશ કે આવું શા માટે છે અને પાયથાગોરિયન પ્રમેયને તેની સાથે શું કરવું છે.

છેવટે, પાયથાગોરિયન પ્રમેય શું કહે છે?

જો, કહો, તે મસાલેદાર હોય તો શું થાય?

જો હું મૂર્ખ હોઉં તો?

હવે આપણે શોધીશું, અથવા તેના બદલે, અમે પહેલા તેને ઘડીશું અને પછી તેને સાબિત કરીશું.

તેથી, દરેક (તીવ્ર, સ્થૂળ, અને લંબચોરસ પણ!) ત્રિકોણ માટે, નીચેનું સાચું છે: કોસાઇન પ્રમેય.

કોસાઇન પ્રમેય:

શું છે અને?

ત્રિકોણ (લંબચોરસ!) થી વ્યક્ત કરી શકાય છે.

અને તે અહીં છે (ફરીથી).

ચાલો અવેજી કરીએ:

અમે જાહેર કરીએ છીએ:

અમારી પાસે જે છે તેનો અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ અને... બસ!

2 કેસ: દો.

તેથી, એટલે કે, મૂર્ખ.

અને હવે, ધ્યાન, તફાવત!

આ માંથી છે, જે હવે બહાર દેખાય છે, અને

અમને તે યાદ છે

(વિષય વાંચો જો તમે સંપૂર્ણપણે ભૂલી ગયા હોવ કે આવું કેમ છે).

તેથી, તે છે! તફાવત પૂરો થયો!

જેમ તે હતું, તે છે:

બસ, એક છેલ્લો કેસ બાકી છે.

3 કેસ: દો.

તેથી, . પરંતુ પછી કોસાઇન પ્રમેય ફક્ત પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાં ફેરવાય છે:

કોસાઇન પ્રમેય કઈ સમસ્યાઓમાં ઉપયોગી છે?

સારું, ઉદાહરણ તરીકે, જો તમારી પાસે હોય ત્રિકોણની બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ આપેલ છે, પછી તમે તરત જ શું તમે તૃતીય પક્ષ શોધી શકો છો.

અથવા જો તમે તમામ ત્રણ બાજુઓ આપવામાં આવે છે, પછી તમે તેને તરત જ શોધી શકશો કોસાઇનસૂત્ર અનુસાર કોઈપણ ખૂણો

અને જો તમે બે બાજુઓ આપેલ છે અને એક કોણ તેમની વચ્ચે નથી, તો ત્રીજી બાજુ પણ ઉકેલીને શોધી શકાય છે ચતુર્ભુજ સમીકરણ. સાચું છે, આ કિસ્સામાં, કેટલીકવાર તમને બે જવાબો મળે છે અને તમારે તે શોધવાની જરૂર છે કે કયો એક પસંદ કરવો, અથવા બંનેને છોડી દો.

તેનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરો અને ડરશો નહીં - કોસાઇન પ્રમેય પાયથાગોરિયન પ્રમેયની જેમ વાપરવા માટે લગભગ સરળ છે.

કોસાઇન્સનો પ્રમેય. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

કોસાઇન પ્રમેય:ત્રિકોણની એક બાજુનો ચોરસ અન્ય બે બાજુઓના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે અને આ બાજુઓના ગુણાંક અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇનથી બમણા ઓછા થાય છે:

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ પંક્તિઓ વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાના પર કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે?

માટે સફળ સમાપ્તિયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા, બજેટમાં કૉલેજમાં પ્રવેશ માટે અને, સૌથી મહત્વપૂર્ણ, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ...

જે લોકો પ્રાપ્ત થયા હતા સારું શિક્ષણ, જેમણે તે પ્રાપ્ત કર્યું નથી તેના કરતા ઘણું વધારે કમાઓ. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી.

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ કારણ કે તેમની સામે ઘણું બધું ખુલ્લું છે વધુ શક્યતાઓઅને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવાની ખાતરી કરવા અને આખરે... ખુશ રહેવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં.

તમને જરૂર પડશે સમય સામે સમસ્યાઓ ઉકેલો.

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો સાથે, વિગતવાર વિશ્લેષણ અને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

તમે અમારા કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો (વૈકલ્પિક) અને અમે, અલબત્ત, તેમની ભલામણ કરીએ છીએ.

અમારા કાર્યોનો વધુ સારી રીતે ઉપયોગ કરવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકનું આયુષ્ય વધારવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો -
2. પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - પાઠ્યપુસ્તક ખરીદો - 499 RUR

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

સાઇટના સમગ્ર જીવન માટે તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

અને નિષ્કર્ષમાં ...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ નથી, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!

સ્નાતકો કે જેઓ ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા આપવાની તૈયારી કરી રહ્યા છે અને પૂરતા પ્રમાણમાં મેળવવા માંગે છે ઉચ્ચ સ્કોર, સાઇન્સ અને કોસાઇન્સના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ ઉકેલવાના સિદ્ધાંતમાં ચોક્કસપણે માસ્ટર હોવું આવશ્યક છે. ઘણા વર્ષોની પ્રેક્ટિસ દર્શાવે છે કે "પ્લેન ભૂમિતિ" વિભાગમાંથી સમાન કાર્યો છે ફરજિયાત ભાગપ્રમાણપત્ર પરીક્ષણ કાર્યક્રમો. તેથી, જો તમારામાંથી એક નબળા બિંદુઓકોસાઇન્સ અને સાઇન્સ ના પ્રમેય પર સમસ્યાઓ છે, અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે ચોક્કસપણે આ વિષય પર મૂળભૂત સિદ્ધાંતનું પુનરાવર્તન કરો.

શ્કોલ્કોવો શૈક્ષણિક પોર્ટલ સાથે પરીક્ષાની તૈયારી કરો

પહેલાં વ્યાયામ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવી, ઘણા સ્નાતકો શોધવાની સમસ્યાનો સામનો કરે છે મૂળભૂત સિદ્ધાંત, ઉકેલવા માટે જરૂરી છે વ્યવહારુ સમસ્યાઓસાઈન અને કોસાઈન્સના પ્રમેયની અરજી પર.

પાઠ્યપુસ્તક હંમેશા હાથમાં હોતું નથી યોગ્ય ક્ષણ. અને શોધો જરૂરી સૂત્રોકેટલીકવાર તે ઇન્ટરનેટ પર પણ તદ્દન સમસ્યારૂપ બની શકે છે.

સાથે પ્રમાણપત્ર કસોટી માટે તૈયારી કરી રહ્યા છે શૈક્ષણિક પોર્ટલ"શ્કોલ્કોવો" ઉચ્ચતમ ગુણવત્તા અને કાર્યક્ષમતા હશે. સાઈન અને કોસાઈન્સના પ્રમેય પરની સમસ્યાઓને સરળ બનાવવા માટે, અમે આ વિષય પરના સમગ્ર સિદ્ધાંતને બ્રશ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ. અમારા નિષ્ણાતોએ વ્યાપક અનુભવના આધારે આ સામગ્રી તૈયાર કરી અને તેને રજૂ કરી સમજી શકાય તેવા સ્વરૂપમાં. તમે તેને "સૈદ્ધાંતિક માહિતી" વિભાગમાં શોધી શકો છો.

પ્રમાણપત્રની પરીક્ષા પાસ કરતી વખતે મૂળભૂત પ્રમેય અને વ્યાખ્યાઓનું જ્ઞાન અડધી સફળતા છે. યોગ્ય કસરતો તમને ઉદાહરણો હલ કરવામાં તમારી કુશળતાને વધુ સારી બનાવવા દે છે. તેમને શોધવા માટે, ફક્ત શ્કોલ્કોવો શૈક્ષણિક વેબસાઇટ પર "કેટલોગ" વિભાગ પર જાઓ. કાર્યોની મોટી યાદી છે વિવિધ સ્તરોજટિલતા, જે સતત પૂરક અને અપડેટ થાય છે.

વિદ્યાર્થીઓ સાઇન્સ અને કોસાઇન્સના પ્રમેય પર સમસ્યાઓ પૂર્ણ કરી શકે છે, જે ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં જોવા મળે છે, ઓનલાઇન, જ્યારે મોસ્કો અથવા અન્ય કોઈપણ રશિયન શહેરમાં હોય છે.

જો જરૂરી હોય તો, કોઈપણ કસરત, ઉદાહરણ તરીકે, "મનપસંદ" વિભાગમાં સાચવી શકાય છે. આ તમને ભવિષ્યમાં સાચો જવાબ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમનું ફરીથી વિશ્લેષણ કરવા અને શાળાના શિક્ષક અથવા શિક્ષક સાથે તેની ચર્ચા કરવા માટે તેના પર પાછા ફરવાની મંજૂરી આપશે.

ત્રિકોણનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તેમની બાજુઓ અને ખૂણાઓ વચ્ચેના સંબંધની ગણતરી કરવાનો પ્રશ્ન અનૈચ્છિક રીતે ઉદ્ભવે છે. ભૂમિતિ અને સાઇન્સ આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે સૌથી સંપૂર્ણ જવાબ આપે છે. વિવિધ ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ અને સૂત્રો, કાયદા, પ્રમેય અને નિયમોની વિપુલતામાં, એવા છે જે તેમની અસાધારણ સંવાદિતા, સંક્ષિપ્તતા અને તેમાં સમાયેલ અર્થની રજૂઆતની સરળતા દ્વારા અલગ પડે છે. સાઈન પ્રમેય છે એક તેજસ્વી ઉદાહરણસમાન ગાણિતિક રચના. જો મૌખિક અર્થઘટનમાં પણ આને સમજવામાં ચોક્કસ અવરોધ છે ગાણિતિક નિયમ, પછી જ્યારે જોઈ રહ્યા ગાણિતિક સૂત્રબધું તરત જ જગ્યાએ આવે છે.

આ પ્રમેય વિશેની પ્રથમ માહિતી તેરમી સદીના નાસિર અદ-દિન અત-તુસીના ગાણિતિક કાર્યના માળખામાં પુરાવાના રૂપમાં મળી આવી હતી.

કોઈપણ ત્રિકોણમાં બાજુઓ અને ખૂણાઓના ગુણોત્તરને ધ્યાનમાં લેવાની નજીક જઈને, એ નોંધવું યોગ્ય છે કે સાઈન્સનું પ્રમેય આપણને સમૂહને હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ગાણિતિક સમસ્યાઓ, જ્યારે આ કાયદોભૂમિતિ એપ્લિકેશન શોધે છે વિવિધ પ્રકારો વ્યવહારુ પ્રવૃત્તિઓવ્યક્તિ

સાઈન પ્રમેય પોતે જ જણાવે છે કે કોઈપણ ત્રિકોણ તેની બાજુઓના વિપરિત ખૂણાઓની સાઈન્સની પ્રમાણસરતા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આ પ્રમેયનો બીજો ભાગ પણ છે, જે મુજબ ત્રિકોણની કોઈપણ બાજુનો સાઈનનો ગુણોત્તર વિરુદ્ધ ખૂણોપ્રશ્નમાં ત્રિકોણની આસપાસ વર્ણવેલ સમાન.

ફોર્મ્યુલા સ્વરૂપમાં, આ અભિવ્યક્તિ જેવો દેખાય છે

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

સાઈન પ્રમેયનો પુરાવો છે, જે વિવિધ પાઠ્યપુસ્તકોમાં વિવિધ આવૃત્તિઓમાં આપવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમેયના પ્રથમ ભાગને સમજાવતા પુરાવાઓમાંથી એકને ધ્યાનમાં લો. આ કરવા માટે, અમે અભિવ્યક્તિની શુદ્ધતા સાબિત કરવાનો ધ્યેય નક્કી કરીએ છીએ asinC= csinA

IN મનસ્વી ત્રિકોણ ABC ઊંચાઈ BH બાંધશે. બાંધકામ વિકલ્પોમાંથી એકમાં, ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પરના ખૂણાઓના કદના આધારે, H એ સેગમેન્ટ AC પર અને બીજા ભાગમાં તેની બહાર રહેશે. પ્રથમ કિસ્સામાં, ઊંચાઈને ત્રિકોણના ખૂણા અને બાજુઓના સંદર્ભમાં દર્શાવી શકાય છે, BH = a sinC અને BH = c sinA, જે જરૂરી સાબિતી છે.

એવા કિસ્સામાં જ્યારે બિંદુ H એ સેગમેન્ટ AC ની બહાર હોય, ત્યારે અમે નીચેના ઉકેલો મેળવી શકીએ છીએ:

VN = a sinC અને VN = c sin(180-A)= c sinA;

અથવા VN = a sin(180-C) = a sinC અને VN = c sinA.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બાંધકામ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લીધા વિના, અમે ઇચ્છિત પરિણામ પર પહોંચીએ છીએ.

પ્રમેયના બીજા ભાગના પુરાવા માટે આપણને ત્રિકોણની આસપાસ વર્તુળ દોરવાની જરૂર પડશે. ત્રિકોણની એક ઊંચાઈનો ઉપયોગ કરીને, ઉદાહરણ તરીકે B, આપણે વર્તુળનો વ્યાસ બનાવીએ છીએ. આપણે વર્તુળ D પરના પરિણામી બિંદુને ત્રિકોણની ઊંચાઈઓમાંથી એક સાથે જોડીએ છીએ, તેને ત્રિકોણનો બિંદુ A થવા દો.

જો આપણે પરિણામી ત્રિકોણ ABD અને ABC ને ધ્યાનમાં લઈશું, તો આપણે જોશું કે ખૂણા C અને D સમાન છે (તેઓ સમાન ચાપ પર આરામ કરે છે). અને આપેલ છે કે કોણ A નેવું ડિગ્રી બરાબર છે, તો sin D = c/2R, અથવા sin C = c/2R, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ની વિશાળ શ્રેણીને ઉકેલવા માટે સાઈન પ્રમેય એ પ્રારંભિક બિંદુ છે વિવિધ કાર્યો. પ્રમેયના પરિણામે, તેની વિશેષ આકર્ષણ તેના વ્યવહારિક એપ્લિકેશનમાં રહેલી છે, અમને ત્રિકોણની બાજુઓના મૂલ્યો, વિરુદ્ધ ખૂણાઓ અને વર્તુળની ત્રિજ્યા (વ્યાસ) સાથે જોડવાની તક મળે છે. ત્રિકોણ આનું વર્ણન કરતી સૂત્રની સરળતા અને સુલભતા ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ, વિવિધ યાંત્રિક ગણતરી ઉપકરણો, કોષ્ટકો, વગેરેનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે આ પ્રમેયનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ કરવાનું શક્ય બનાવ્યું), પરંતુ માનવ સેવામાં શક્તિશાળી કમ્પ્યુટિંગ ઉપકરણોના આગમનથી પણ આ પ્રમેયની સુસંગતતા ઓછી થઈ નથી.

આ પ્રમેય માત્ર ફરજિયાત ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં સામેલ નથી ઉચ્ચ શાળા, પરંતુ તેનો ઉપયોગ વ્યવહારિક પ્રવૃત્તિના કેટલાક ક્ષેત્રોમાં પણ થાય છે.