3. આ રીતે blondes સમીકરણો ઉકેલે છે!

આ શિલાલેખ, જે મેં થોડા વર્ષો પહેલા બનાવ્યો હતો, તે કદાચ સૌથી ટૂંકો પુરાવો છે કે... 2 = 3. તેની ટોચ પર એક અરીસો મૂકો (અથવા તેને પ્રકાશ દ્વારા જુઓ), અને તમે જોશો કે "બે" કેવી રીતે વળે છે. "ત્રણ" માં

અન્ય અસામાન્ય સૂત્ર:

અગિયાર + બે = બાર + એક.

તે તારણ આપે છે કે અંગ્રેજીમાં સમાનતા 11 + 2 = 12 + 1 સાચી છે, જો શબ્દોમાં લખવામાં આવે તો પણ - ડાબી અને જમણી બાજુના અક્ષરોનો "સરવાળા" સમાન છે! આનો અર્થ એ છે કે જમણી બાજુઆ સમાનતા એ ડાબી બાજુનું એનાગ્રામ છે, એટલે કે, તે અક્ષરોને ફરીથી ગોઠવીને તેમાંથી મેળવવામાં આવે છે.

સમાન, ઓછી રસપ્રદ હોવા છતાં, શાબ્દિક સમાનતા રશિયનમાં મેળવી શકાય છે:

પંદર + છ = સોળ + પાંચ.

1960 થી 1970 સુધી, મુખ્ય રાષ્ટ્રીય પીણું, જેને "મોસ્કો સ્પેશિયલ વોડકા" કહેવાય છે, કિંમત: અડધો લિટર 2.87, અને એક ક્વાર્ટર લિટર 1.49. આ આંકડાઓ કદાચ યુએસએસઆરની લગભગ સમગ્ર પુખ્ત વસ્તી માટે જાણીતા હતા. સોવિયેત ગણિતશાસ્ત્રીઓએ નોંધ્યું છે કે જો અડધા લિટરની કિંમત એક ક્વાર્ટરની કિંમતની બરાબર પાવર સુધી વધારવામાં આવે છે, તો "પાઇ" નંબર પ્રાપ્ત થાય છે:

1,49 2,87 ??

(બી. એસ. ગોરોબેટ્સ દ્વારા અહેવાલ).

પુસ્તકની પ્રથમ આવૃત્તિના પ્રકાશન પછી, મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટીના રસાયણશાસ્ત્રના ફેકલ્ટીના એસોસિયેટ પ્રોફેસર લીનઝોન આઈ. એ. એ મને આ સૂત્ર પર નીચેની રસપ્રદ ટિપ્પણી મોકલી: “...ઘણા વર્ષો પહેલા, જ્યારે કેલ્ક્યુલેટર નહોતા, અને ભૌતિકશાસ્ત્ર વિભાગમાં અમે સ્લાઇડના નિયમ (!) પર એક મુશ્કેલ પરીક્ષા લીધી ( તમારે કેટલી વાર મૂવેબલ રુલરને ડાબે અને જમણે ખસેડવાની જરૂર છે?), મેં, મારા પિતાના સૌથી સચોટ કોષ્ટકોની મદદથી (તે સર્વેયર હતા, તેણે આખી જીંદગી ઉચ્ચ જીઓડીસીમાં પરીક્ષાનું સ્વપ્ન જોયું), તેને જાણવા મળ્યું કે રૂપિયા-ઓગણચાલીસથી બે-એંસી-સાતની શક્તિ બરાબર 3, 1408. આનાથી મને સંતોષ ન થયો. અમારી સોવિયેત રાજ્ય આયોજન સમિતિ આટલું અસંસ્કારી વર્તન કરી શકી ન હતી. કિરોવસ્કાયા પર વેપાર મંત્રાલય સાથેની પરામર્શ દર્શાવે છે કે તમામ કિંમતોની ગણતરીઓ રાષ્ટ્રીય સ્કેલએક પૈસોના સોમા ભાગ માટે સચોટ બનાવવામાં આવ્યા હતા. પણ કૉલ કરો ચોક્કસ સંખ્યાઓગુપ્તતાને ટાંકીને મને ના પાડી દેવામાં આવી હતી (ત્યારે મને આશ્ચર્ય થયું - એક પૈસોના દસમા અને સોમા ભાગમાં કેવા પ્રકારની ગુપ્તતા હોઈ શકે છે). 1990 ના દાયકાની શરૂઆતમાં, મેં આર્કાઇવ્સમાંથી વોડકાની કિંમતના ચોક્કસ આંકડાઓ મેળવવામાં વ્યવસ્થાપિત કર્યું, જે તે સમય સુધીમાં વિશેષ હુકમનામું દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યું હતું. અને આ તે બહાર આવ્યું છે: ક્વાર્ટર: 1 રૂબલ 49.09 કોપેક્સ. વેચાણ પર - 1.49 રુબેલ્સ. અડધો લિટર: 2 રુબેલ્સ 86.63 કોપેક્સ. વેચાણ પર - 2.87 રુબેલ્સ. કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, મેં સરળતાથી શોધી કાઢ્યું કે આ કિસ્સામાં, અડધા લિટરની શક્તિનો એક ક્વાર્ટર આપે છે (5 થી રાઉન્ડ કર્યા પછી નોંધપાત્ર આંકડા) માત્ર 3.1416! સોવિયેત સ્ટેટ પ્લાનિંગ કમિટીના કામદારોની ગાણિતિક ક્ષમતાઓ જોઈને જ કોઈ આશ્ચર્યચકિત થઈ શકે છે, જેમણે (મને એક સેકન્ડ માટે પણ આ અંગે શંકા નથી) ખાસ કરીને સૌથી લોકપ્રિય પીણાની અંદાજિત કિંમતને વ્યવસ્થિત કરી હતી. જાણીતું પરિણામ».

કયા ગણિતશાસ્ત્રી, જે શાળામાંથી પ્રખ્યાત છે, આ રીબસમાં એન્ક્રિપ્ટેડ છે?

એક ગણિતશાસ્ત્રી, ભૌતિકશાસ્ત્રી અને એન્જિનિયરને નીચેની સમસ્યા આપવામાં આવી હતી: “એક છોકરો અને એક છોકરી હોલની વિરુદ્ધ દિવાલો પર ઉભા છે. અમુક સમયે, તેઓ એકબીજા તરફ ચાલવાનું શરૂ કરે છે અને દર દસ સેકન્ડે તેમની વચ્ચેનું અડધું અંતર કાપે છે. પ્રશ્ન એ છે કે તેમને એકબીજા સુધી પહોંચવામાં કેટલો સમય લાગશે?

ગણિતશાસ્ત્રીએ ખચકાટ વિના જવાબ આપ્યો:

ક્યારેય નહીં.

ભૌતિકશાસ્ત્રીએ થોડો વિચાર કર્યા પછી કહ્યું:

અનંત સમય દ્વારા.

ઈજનેરે, લાંબી ગણતરીઓ પછી, જારી કર્યું:

લગભગ બે મિનિટ પછી તેઓ તમામ વ્યવહારિક હેતુઓ માટે પૂરતા પ્રમાણમાં બંધ થઈ જશે.

લેન્ડાઉને આભારી નીચેનું પ્રચંડ સૂત્ર, જે સુંદર જાતિના મહાન પ્રેમી છે, તે પ્રખ્યાત લેન્ડૌવેડ પ્રોફેસર ગોરોબેટ્સ દ્વારા મારા ધ્યાન પર લાવવામાં આવ્યું હતું.

MSUIE ના સહયોગી પ્રોફેસર A.I. Zyulkovએ અમને કહ્યું, તેમણે સાંભળ્યું કે લેન્ડૌ લાવ્યા નીચેનું સૂત્રસૂચક સ્ત્રીની આકર્ષણ:

જ્યાં કે- બસ્ટ પરિઘ; એમ- હિપ્સ પર; એન- કમરની આસપાસ, ટી- ઊંચાઈ, બધા સેમીમાં; પી- કિલોમાં વજન.

તેથી, જો આપણે મોડેલ (1960) માટે આશરે પરિમાણો લઈએ: 80-80-60-170-60 (મૂલ્યોના ઉપરના ક્રમમાં), તો સૂત્ર મુજબ આપણને 5 મળે છે. જો આપણે “ના પરિમાણો લઈએ. વિરોધી મોડલ”, ઉદાહરણ તરીકે: 120 -120-120-170-60, પછી આપણને 2 મળે છે. આ અંતરાલમાં શાળાના ગ્રેડઅને, આશરે કહીએ તો, "Landau ફોર્મ્યુલા" કામ કરે છે.

(પુસ્તકમાંથી અવતરિત: ગોરોબેટ્સ બી. લેન્ડૌ વર્તુળ. એક પ્રતિભાશાળી જીવન. એમ.: પબ્લિશિંગ હાઉસ LKI/URSS, 2008.)

સ્ત્રી આકર્ષણ વિશેની બીજી વૈજ્ઞાનિક દલીલ ડાઉને આભારી છે.

ચાલો સ્ત્રીના આકર્ષણને તેના માટેના અંતરના કાર્ય તરીકે નક્કી કરીએ. જ્યારે દલીલ અનંત હોય છે, ત્યારે આ કાર્ય શૂન્ય બની જાય છે. બીજી બાજુ, શૂન્ય બિંદુ પર તે શૂન્ય પણ છે ( અમે વાત કરી રહ્યા છીએબાહ્ય આકર્ષણ વિશે, સ્પર્શેન્દ્રિય નહીં). લેગ્રેન્જના પ્રમેય મુજબ, બિન-નકારાત્મક સતત કાર્ય, સેગમેન્ટના છેડે શૂન્ય મૂલ્યો લેતા, આ સેગમેન્ટ પર મહત્તમ છે. આથી:

1. એક અંતર છે જ્યાંથી સ્ત્રી સૌથી વધુ આકર્ષક હોય છે.

2. દરેક સ્ત્રી માટે આ અંતર અલગ છે.

3. તમારે મહિલાઓથી તમારું અંતર રાખવાની જરૂર છે.

પ્રમેય: બધા ઘોડા સમાન રંગના છે.

પુરાવો. ચાલો પ્રમેયના નિવેદનને ઇન્ડક્શન દ્વારા સાબિત કરીએ.

મુ n= 1, એટલે કે, એક ઘોડાના સમૂહ માટે, નિવેદન દેખીતી રીતે સાચું છે.

માટે પ્રમેય સાચું રહેવા દો n = k. ચાલો સાબિત કરીએ કે તે માટે પણ સાચું છે n = k+ 1. આ કરવા માટે, મનસ્વી સમૂહને ધ્યાનમાં લો k+ 1 ઘોડા. જો તમે તેમાંથી એક ઘોડો દૂર કરો છો, તો ત્યાં જ હશે k. ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા દ્વારા તેઓ બધા સમાન રંગના છે. હવે આપણે દૂર કરેલા ઘોડાને તેના સ્થાને પરત કરીએ અને બીજો કોઈ ઘોડો લઈએ. ફરીથી, પ્રેરક પૂર્વધારણા દ્વારા, આ kબાકીના ઘોડા સમાન રંગના છે. પરંતુ પછી તે બધુ જ છે k+ 1 ઘોડા સમાન રંગના હશે.

તેથી, સિદ્ધાંત અનુસાર ગાણિતિક ઇન્ડક્શન, બધા ઘોડા સમાન રંગના હોય છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

એપ્લિકેશનનું બીજું મહાન ઉદાહરણ ગાણિતિક પદ્ધતિઓપ્રાણીશાસ્ત્ર માટે.

પ્રમેય: મગર પહોળા કરતાં લાંબો છે.

પુરાવો. ચાલો એક મનસ્વી મગર લઈએ અને બે સહાયક લેમ્મા સાબિત કરીએ.

લેમ્મા 1: મગર લીલા કરતા લાંબો છે.

પુરાવો. ચાલો ઉપરથી મગરને જોઈએ - તે લાંબો અને લીલો છે. ચાલો નીચેથી મગરને જોઈએ - તે લાંબો છે, પરંતુ તે લીલો નથી (તે ખરેખર ઘેરો રાખોડી છે).

તેથી, લેમ્મા 1 સાબિત થાય છે.

લેમ્મા 2: મગર પહોળા કરતા લીલો હોય છે.

પુરાવો.ચાલો ઉપરથી ફરી મગરને જોઈએ. તે લીલો અને પહોળો છે. ચાલો બાજુથી મગરને જોઈએ: તે લીલો છે, પરંતુ પહોળો નથી. આ લેમ્મા 2 સાબિત કરે છે.

પ્રમેયનું નિવેદન દેખીતી રીતે સાબિત થયેલા લેમ્માનું અનુસરણ કરે છે.

કન્વર્ઝ પ્રમેય ("એક મગર લાંબા કરતા પહોળો હોય છે") એ જ રીતે સાબિત કરી શકાય છે.

પ્રથમ નજરમાં, તે બંને પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે કે મગર ચોરસ છે. જો કે, તેમના ફોર્મ્યુલેશનમાં અસમાનતાઓ કડક હોવાથી, એક વાસ્તવિક ગણિતશાસ્ત્રી એકમાત્ર સાચો નિષ્કર્ષ કાઢશે: મગર અસ્તિત્વમાં નથી!

પ્રમેય: બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ એકબીજાની સમાન છે.

પુરાવો. કોઈપણ બે કુદરતી સંખ્યાઓ માટે તે સાબિત કરવું જરૂરી છે એઅને બીસમાનતા સંતુષ્ટ છે એ = બી. ચાલો તેને આ રીતે સુધારીએ: કોઈપણ માટે એન> 0 અને કોઈપણ એઅને બી, મહત્તમ સમાનતા સંતોષે છે( એ, બી) = એન, સમાનતા પણ સંતુષ્ટ હોવી જોઈએ એ = બી.

ચાલો આને ઇન્ડક્શન દ્વારા સાબિત કરીએ. જો એન= 1, પછી એઅને બી, કુદરતી હોવાને કારણે, બંને સમાન 1. તેથી એ = બી.

ચાલો હવે ધારીએ કે નિવેદન કેટલાક મૂલ્ય માટે સાબિત થયું છે k. ચાલો લઈએ એઅને બીજેમ કે મહત્તમ( એ, બી) = k+ 1. પછી મહત્તમ( એ–1, બી–1) = k. ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા દ્વારા તે અનુસરે છે કે ( એ–1) = (બી-1). અર્થ, એ = બી.

ભાષાકીય અને ગાણિતિક કોયડાઓના ચાહકો કદાચ રીફ્લેક્સિવ અથવા સ્વ-વર્ણન (કંઈપણ ખરાબ ન વિચારતા), સ્વ-સંદર્ભિત શબ્દો, શબ્દસમૂહો અને સંખ્યાઓ વિશે જાણે છે. બાદમાં, ઉદાહરણ તરીકે, 2100010006 નંબરનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં પ્રથમ અંક આ નંબરના રેકોર્ડિંગમાંની સંખ્યાની બરાબર છે, બીજો - બેની સંખ્યા, ત્રીજો - ત્રણની સંખ્યા, ..., દસમો - શૂન્યની સંખ્યા.

સ્વ-વર્ણન કરતા શબ્દોમાં કહો, શબ્દનો સમાવેશ થાય છે એકવીસ અક્ષર, ઘણા વર્ષો પહેલા મારા દ્વારા શોધાયેલ. તેમાં ખરેખર 21 અક્ષરો છે!

ઘણા સ્વ-વર્ણનકારી શબ્દસમૂહો જાણીતા છે. રશિયન ભાષાના પ્રથમ ઉદાહરણોમાંના એકની શોધ ઘણા વર્ષો પહેલા પ્રખ્યાત કાર્ટૂનિસ્ટ અને મૌખિક સમજશક્તિ વાગ્રિચ બખ્ચાન્યાન દ્વારા કરવામાં આવી હતી: આ વાક્યમાં બત્રીસ અક્ષરો છે. અહીં થોડા અન્ય છે, જેની શોધ ખૂબ પાછળથી થઈ છે: 1. સત્તર અક્ષરો. 2. આ વાક્યના અંતે ભૂલ છે. 3. આ વાક્ય સાત શબ્દોનું હશે જો તે સાત શબ્દો ટૂંકા હોય. 4. તમે મારા નિયંત્રણ હેઠળ છો કારણ કે જ્યાં સુધી તમે વાંચવાનું સમાપ્ત કરો ત્યાં સુધી તમે મને વાંચશો. 5. ...આ વાક્ય ત્રણ બિંદુઓથી શરૂ થાય છે અને સમાપ્ત થાય છે..

ત્યાં વધુ જટિલ ડિઝાઇન પણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ રાક્ષસની પ્રશંસા કરો (જુઓ S. Tabachnikov ની નોંધ “Kvant”, No. 6, 1989 મેગેઝિનમાં “The priest has a dog”): આ વાક્યમાં, શબ્દ "માં" બે વાર આવે છે, "આ" શબ્દ બે વાર આવે છે, શબ્દ "શબ્દ" બે વાર આવે છે, શબ્દ "ઘટતો" ચૌદ વખત આવે છે, શબ્દ "શબ્દ" ચૌદ વખત આવે છે, અને "શબ્દ" શબ્દ રાઝ છ વખત આવે છે, શબ્દ "રઝા" નવ વખત આવે છે, "બે" શબ્દ સાત વખત આવે છે, "ચૌદ" શબ્દ ત્રણ વખત આવે છે, "ત્રણ" શબ્દ બે વખત આવે છે. , શબ્દ "સાત" બે વાર આવે છે, બે શબ્દ "છ" ઘણી વખત દેખાય છે.

ક્વાન્ટમાં પ્રકાશન પછી એક વર્ષ પછી, આઇ. અકુલિચ એક સ્વ-વર્ણનકારી શબ્દસમૂહ સાથે આવ્યા જે ફક્ત તેમાં સમાવિષ્ટ શબ્દો જ નહીં, પણ વિરામચિહ્નોનું પણ વર્ણન કરે છે: તમે જે વાક્ય વાંચી રહ્યા છો તેમાં: બે શબ્દો “શબ્દ”, બે શબ્દો “જે”, બે શબ્દો “તમે”, બે શબ્દો “વાંચો”, બે શબ્દો “સમાવેશ”, પચીસ શબ્દો “શબ્દો”, બે શબ્દો “શબ્દો” , બે શબ્દો “કોલોન”, બે શબ્દો “અલ્પવિરામ”, બે શબ્દો “દ્વારા”, બે શબ્દો “ડાબે”, બે શબ્દો “અને”, બે શબ્દો “જમણે”, બે શબ્દો “અવતરણ”, બે શબ્દો “એ”, બે શબ્દો “પણ”, બે શબ્દો “બિંદુ”, બે શબ્દો “એક”, બે શબ્દો “એક”, બાવીસ શબ્દો “બે”, ત્રણ શબ્દો “ત્રણ”, બે શબ્દો “ચાર”, ત્રણ શબ્દો “પાંચ”, ચાર શબ્દો “વીસ”, બે શબ્દો “ત્રીસ”, એક કોલોન, ત્રીસ અલ્પવિરામ, પચીસ ડાબા અને જમણા અવતરણ ચિહ્નો અને એક પીરિયડ.

છેવટે, થોડા વર્ષો પછી, એ જ “ક્વાન્ટ” માં એ. ખાન્યાનની એક નોંધ દેખાઈ, જેમાં એક વાક્ય આપવામાં આવ્યું હતું જેમાં તેના તમામ અક્ષરોનું વિવેકપૂર્વક વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું: આ વાક્યમાં બાર વી, બે ઇ, સત્તર ટી, ત્રણ ઓ, બે વાય, બે એફ, સાત આર, ચૌદ એ, બે 3, બાર ઇ, સોળ ડી, સાત એચ, સાત સી, તેર બી, આઠ સી, છ M, પાંચ I, બે H, બે S, ત્રણ I, ત્રણ Sh, બે P.

"એ સ્પષ્ટપણે અનુભવાય છે કે વધુ એક વાક્ય ખૂટે છે - એક જે તેના તમામ અક્ષરો અને વિરામચિહ્નો વિશે જણાવે છે," I. અકુલિચે લખ્યું, જેમણે અગાઉ ટાંકેલા રાક્ષસોમાંથી એકને જન્મ આપ્યો, મને એક ખાનગી પત્રમાં. કદાચ અમારા વાચકોમાંથી એક આ ખૂબ જ મુશ્કેલ સમસ્યાને હલ કરશે.

પાછલા વિષયની સાતત્યમાં, તે રીફ્લેક્સિવ વિરોધાભાસનો ઉલ્લેખ કરવા યોગ્ય છે.

જે. લિટલવુડ દ્વારા અગાઉ ઉલ્લેખિત પુસ્તક, "એ મેથેમેટિકલ મિક્ષ્ચર" માં, તે યોગ્ય રીતે કહેવામાં આવ્યું છે કે "બધા રીફ્લેક્સિવ વિરોધાભાસ, અલબત્ત, ઉત્તમ જોક્સ છે." તેમાંના બે પણ છે, જે હું મારી જાતને અવતરણ કરવાની મંજૂરી આપીશ:

1. ત્યાં (ધન) પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ જે સોળથી ઓછા શબ્દોના શબ્દસમૂહોમાં વ્યક્ત ન થઈ શકે. ધન પૂર્ણાંકોનો કોઈપણ સમૂહ સમાવે છે સૌથી નાની સંખ્યા, અને તેથી ત્યાં એક સંખ્યા છે એન, "સૌથી નાનો પૂર્ણાંક જે સોળથી ઓછા શબ્દોના શબ્દસમૂહમાં વ્યક્ત કરી શકાતો નથી." પરંતુ આ શબ્દસમૂહ 15 શબ્દો ધરાવે છે અને વ્યાખ્યાયિત કરે છે એન.

2. એક સામયિકમાં દર્શક"જ્યારે તમે તમારું સવારનું અખબાર ખોલશો ત્યારે તમને શું વાંચવામાં સૌથી વધુ આનંદ આવશે?" વિષય પર એક સ્પર્ધાની જાહેરાત કરવામાં આવી હતી. પ્રથમ ઇનામનો જવાબ મળ્યો:

આ વર્ષની બીજી સ્પર્ધામાં પ્રથમ ઇનામ શ્રી આર્થર રોબિન્સનને એનાયત કરવામાં આવ્યું હતું, જેનો વિનોદી જવાબ સરળતાથી શ્રેષ્ઠ ગણવો જોઈએ. પ્રશ્નનો તેમનો જવાબ: "જ્યારે તમે તમારું સવારનું અખબાર ખોલો છો ત્યારે તમને શું વાંચવામાં સૌથી વધુ આનંદ થશે?" "અમારી બીજી સ્પર્ધા" નું શીર્ષક હતું, પરંતુ કાગળની મર્યાદાઓને લીધે અમે તેને સંપૂર્ણ છાપી શકતા નથી.

એવા અદ્ભુત શબ્દસમૂહો છે જે ડાબેથી જમણે અને જમણેથી ડાબે એકસરખા વાંચવામાં આવે છે. દરેક વ્યક્તિ ખાતરી માટે એક વસ્તુ જાણે છે: અને ગુલાબ અઝોરના પંજા પર પડ્યું. તેણીને જ તરંગી માલવિના દ્વારા અજ્ઞાન પિનોચિઓના શ્રુતલેખનમાં લખવાનું કહેવામાં આવ્યું હતું. આવા પારસ્પરિક શબ્દસમૂહોને પેલિન્ડ્રોમ્સ કહેવામાં આવે છે, જેનો ગ્રીક ભાષાંતર થાય છે જેનો અર્થ થાય છે "પાછળ દોડવું, પરત આવવું." અહીં કેટલાક વધુ ઉદાહરણો છે: 1. પુલ પર લિલિપ્યુટિયન કેટફિશ કરવત. 2. હું બાથરૂમ પર ચઢી ગયો. 3. તે મંદિર પર સૂઈ ગયો, અને મુખ્ય દેવદૂત અદ્ભુત અને અદ્રશ્ય છે. 4. રીંગણ પર દબાવવામાં આવેલ ભૂંડ. 5. મ્યુઝ, અનુભવના ઘોંઘાટથી ઘાયલ, તમે કારણ માટે પ્રાર્થના કરશો. (ડી. અવલિયાની). 6. હું ભાગ્યે જ મારા હાથથી સિગારેટની બટ પકડી રાખું છું... (બી. ગોલ્ડસ્ટેઇન) 7. જ્યારે મને દૂધની ગંધ આવે છે, ત્યારે હું આસપાસ મ્યાઉં કરું છું. (જી. લુકોમનિકોવ). 8. તે વિલો છે, પરંતુ તે લોગ છે. (S.F.)

મને આશ્ચર્ય થાય છે કે શું ગણિતમાં પેલિન્ડ્રોમ્સ છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો પારસ્પરિક, સપ્રમાણ વાંચનના વિચારને સંખ્યાઓ અને સૂત્રોમાં સ્થાનાંતરિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. તે તારણ આપે છે કે તે એટલું મુશ્કેલ નથી. ચાલો થોડા જ મળીએ લાક્ષણિક ઉદાહરણોઆ પેલિન્ડ્રોમિક ગણિતમાંથી, પેલિન્ડ્રોમેટિક્સ. પેલિન્ડ્રોમિક નંબરોને બાજુ પર રાખીને - ઉદાહરણ તરીકે, 1991 , 666 વગેરે - ચાલો તરત જ સપ્રમાણ સૂત્રો તરફ વળીએ.

ચાલો પહેલા નીચેની સમસ્યા હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ: આવી બે-અંકની સંખ્યાઓની તમામ જોડી શોધો

(x 1 - પ્રથમ અંક, y 1 - બીજો અંક) અને

જેથી જમણેથી ડાબે સરવાળા વાંચવાના પરિણામે તેમના ઉમેરણનું પરિણામ બદલાતું નથી, એટલે કે.

ઉદાહરણ તરીકે, 42 + 35 = 53 + 24.

સમસ્યાને તુચ્છ રીતે હલ કરી શકાય છે: સંખ્યાઓની આવી તમામ જોડીના પ્રથમ અંકોનો સરવાળો તેમના બીજા અંકોના સરવાળા જેટલો છે. હવે તમે સરળતાથી બનાવી શકો છો સમાન ઉદાહરણો: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 અને તેથી વધુ.

સમાન રીતે તર્ક, તમે સરળતાથી બાકીના માટે સમાન સમસ્યા હલ કરી શકો છો અંકગણિત કામગીરી.

તફાવતના કિસ્સામાં, એટલે કે.

બહાર વળવું નીચેના ઉદાહરણો: 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... - આવી સંખ્યાઓના અંકોના સરવાળો સમાન છે ( x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ).

ગુણાકારના કિસ્સામાં આપણી પાસે છે: 63 48 = 84 36, 82 14 = 41 28, ... - આ કિસ્સામાં સંખ્યાઓના પ્રથમ અંકોનું ઉત્પાદન એન 1 અને એન 2 તેમના બીજા અંકોના ગુણાંક સમાન ( x 1 x 2 = y 1 y 2 ).

અંતે, વિભાજન માટે આપણને નીચેના ઉદાહરણો મળે છે:

આ કિસ્સામાં, સંખ્યાના પ્રથમ અંકનું ઉત્પાદન એન 1 નંબરના બીજા અંક સુધી એન 2 તેમના અન્ય બે અંકોના ઉત્પાદનની સમાન, એટલે કે. x 1 y 2 = x 2 y 1 .

નીચેના "પ્રમેય" નો પુરાવો, જે "અવિકસિત સમાજવાદ" ના યુગમાં દેખાયો હતો, તે સામ્યવાદી પક્ષની ભૂમિકા અંગેના તે વર્ષોના લોકપ્રિય થીસીસ પર આધારિત છે.

પ્રમેય. પક્ષની ભૂમિકા નકારાત્મક છે.

પુરાવો. તે જાણીતું છે કે:

1. પાર્ટીની ભૂમિકા સતત વધી રહી છે.

2. સામ્યવાદ હેઠળ, માં વર્ગવિહીન સમાજ, પક્ષની ભૂમિકા શૂન્ય હશે.

આમ, આપણી પાસે સતત વધી રહેલું કાર્ય 0 તરફ વલણ ધરાવે છે. તેથી, તે નકારાત્મક છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

નીચેની સમસ્યાની દેખીતી વાહિયાતતા હોવા છતાં, તેમ છતાં તેનો સંપૂર્ણ સખત ઉકેલ છે.

કાર્ય.માતા મારા પુત્ર કરતા મોટો 21 વર્ષ માટે. છ વર્ષમાં તે તેની ઉંમરથી પાંચ ગણી થઈ જશે. પ્રશ્ન એ છે: પપ્પા ક્યાં છે?!

ઉકેલ. દો એક્સ- પુત્રની ઉંમર, અને વાય- માતાની ઉંમર. પછી સમસ્યાની સ્થિતિ બે સરળ સમીકરણોની સિસ્ટમ તરીકે લખવામાં આવે છે:

અવેજીમાં વાય = એક્સબીજા સમીકરણમાં + 21, આપણને 5 મળે છે એક્સ + 30 = એક્સ+ 21 + 6, ક્યાંથી એક્સ= –3/4. આમ, હવે પુત્ર માઈનસ 3/4 વર્ષનો છે, એટલે કે. માઈનસ 9 મહિના. અને આનો અર્થ એ છે કે પિતા છે આ ક્ષણેમમ્મી પર છે!

માર્મિક અભિવ્યક્તિ "જો તમે આટલા સ્માર્ટ છો, તો પછી તમે આટલા ગરીબ કેમ છો?" તે જાણીતું છે અને, અરે, ઘણા લોકોને લાગુ પડે છે. તે તારણ આપે છે કે આ ઉદાસી ઘટના સમાન નિર્વિવાદ સત્યો પર આધારિત સખત ગાણિતિક સમર્થન ધરાવે છે.

એટલે કે, ચાલો બે જાણીતા ધારણાઓથી પ્રારંભ કરીએ:

અનુમાન 1: જ્ઞાન = શક્તિ.

અનુમાન 2: સમય = પૈસા.

વધુમાં, કોઈપણ શાળાના બાળક તે જાણે છે

પાથ s = ઝડપ x સમય = કાર્ય: બળ,

કાર્ય: સમય = બળ x ઝડપ (*)

"સમય" અને "બળ" માટેના મૂલ્યોને (*) બંને ધારણામાંથી બદલીને, આપણને મળે છે:

કાર્ય: (જ્ઞાન x ગતિ) = પૈસા (**)

પરિણામી સમાનતા (**) પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે "જ્ઞાન" અથવા "ગતિ" ને શૂન્ય પર નિર્દેશિત કરીને, આપણે કોઈપણ "કાર્ય" માટે ગમે તેટલા પૈસા મેળવી શકીએ છીએ.

તેથી નિષ્કર્ષ: વધુ મૂર્ખ અને આળસુ વ્યક્તિ, તે વધુ પૈસાતે પૈસા કમાઈ શકે છે.

થોડા વર્ષો પહેલા, મેગેઝિન “સાયન્સ એન્ડ લાઈફ” (નં. 1, 2000) એ પ્રોફેસર બી. ગોરોબેટ્સની એક નોંધ પ્રકાશિત કરી, જેણે વાચકોમાં ભારે રસ જગાવ્યો, જે અદ્ભુત પઝલ ગેમને સમર્પિત છે જેની શોધ વિદ્વાન લેન્ડૌએ મુસાફરી દરમિયાન કંટાળાને ટાળવા માટે કરી હતી. કારમાં આ રમત રમો જેમાં સેન્સર રેન્ડમ નંબરોભૂતકાળમાં દોડતી કારના લાયસન્સ પ્લેટ નંબર તરીકે સેવા આપી હતી (તે સમયે આ નંબરોમાં બે અક્ષરો અને નંબરોની બે જોડીનો સમાવેશ થતો હતો), તે ઘણીવાર તે તેના સાથીઓને ઓફર કરતો હતો. રમતનો સાર એક અને સમાન અર્થ તરફ દોરી જવા માટે અંકગણિત કામગીરીના સંકેતો અને પ્રાથમિક કાર્યો (એટલે ​​​​કે +, –, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg, વગેરે) ના ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરવાનો હતો. આ બે ડબલ ડિજિટ નંબરોપસાર થતી કારની નંબર પ્લેટ પરથી. આ કિસ્સામાં, તેને ફેક્ટોરિયલનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી છે ( n! = 1 x 2 x ... x n), પરંતુ સેકન્ટ, કોસેકન્ટ અને ડિફરન્સિએશનનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, જોડી 75-33 માટે, ઇચ્છિત સમાનતા નીચે પ્રમાણે પ્રાપ્ત થાય છે:

અને જોડી માટે 00-38 - આના જેવું:

જો કે, બધી સમસ્યાઓ એટલી સરળ રીતે હલ થતી નથી. તેમાંના કેટલાક (ઉદાહરણ તરીકે, 75-65) રમતના લેખક, લેન્ડૌની ક્ષમતાની બહાર હતા. તેથી, કેટલાક સાર્વત્રિક અભિગમ વિશે પ્રશ્ન ઊભો થાય છે, કેટલાક એક સૂત્ર કે જે તમને સંખ્યાઓની કોઈપણ જોડીને "ઉકેલ" કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ જ પ્રશ્ન લેન્ડૌ અને તેમના વિદ્યાર્થી પ્રો. કાગનોવ. અહીં તે જે લખે છે તે છે, ખાસ કરીને: “શું તેમાંથી સમાનતા બનાવવી હંમેશા શક્ય છે લાઇસન્સ પ્લેટ નંબર? - મેં લેન્ડાઉને પૂછ્યું. "ના," તેણે ખૂબ જ નિશ્ચિતપણે જવાબ આપ્યો. - "શું તમે ઉકેલના બિન-અસ્તિત્વ વિશે પ્રમેય સાબિત કર્યો છે?" - મને આશ્ચર્ય થયું. "ના," લેવ ડેવિડોવિચે વિશ્વાસ સાથે કહ્યું, "પણ હું બધી સંખ્યામાં સફળ થયો નથી."

જો કે, આવા ઉકેલો મળી આવ્યા હતા, તેમાંથી એક પોતે લેન્ડૌના જીવનકાળ દરમિયાન.

ખાર્કોવ ગણિતશાસ્ત્રી યુ પલાન્ટે સંખ્યાઓની જોડી સમાન કરવા માટે એક સૂત્ર પ્રસ્તાવિત કર્યું

પુનરાવર્તિત ઉપયોગના પરિણામે, કોઈપણ નાની સંખ્યા દ્વારા કોઈપણ સંખ્યાને વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે. કાગનોવ આ નિર્ણય વિશે લખે છે, "હું લેન્ડૌનો પુરાવો લાવ્યો છું." - "તેને ખરેખર તે ગમ્યું ..., અને અમે અડધા-મજાકમાં, અડધા-ગંભીરતાથી ચર્ચા કરી કે તેને કોઈ વૈજ્ઞાનિક જર્નલમાં પ્રકાશિત કરવું કે નહીં."

જો કે, પૅલન્ટનું સૂત્ર હવે "પ્રતિબંધિત" સેકન્ટનો ઉપયોગ કરે છે (20 વર્ષથી વધુ સમયથી તેનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો નથી. શાળા અભ્યાસક્રમ), અને તેથી સંતોષકારક ગણી શકાય નહીં. જો કે, હું સુધારેલા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને આને સરળતાથી ઠીક કરવામાં સક્ષમ હતો

પરિણામી સૂત્ર (ફરીથી, જો જરૂરી હોય તો, તે ઘણી વખત લાગુ કરવું આવશ્યક છે) તમને અન્ય સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કર્યા વિના કોઈપણ મોટી સંખ્યાના સંદર્ભમાં કોઈપણ સંખ્યાને વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે દેખીતી રીતે લેન્ડૌની સમસ્યાને સમાપ્ત કરે છે.

1. સંખ્યાઓ વચ્ચે કોઈ શૂન્ય ન હોવા દો. ચાલો તેમાંથી બે સંખ્યાઓ બનાવીએ abઅને સીડી, (આ, અલબત્ત, કામ નથી). ચાલો બતાવીએ કે ક્યારે n ? 6:

પાપ[( ab)!]° = પાપ[( સીડી)!]° = 0.

ખરેખર, પાપ( n!)° = 0 જો n? 6, ત્યારથી sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. પછી 6નો ગુણાકાર કરીને કોઈપણ અવયવ પ્રાપ્ત થાય છે! અનુગામી પૂર્ણાંકો માટે: 7! = 6! x 7, 8! = 6! x 7 x 8, વગેરે, સાઈનની દલીલમાં 360°નો ગુણાંક આપીને, તેને (અને સ્પર્શક પણ) શૂન્યની બરાબર બનાવે છે.

2. સંખ્યાઓની કેટલીક જોડીમાં શૂન્ય હોવા દો. આપણે તેને અડીને આવેલા અંકથી ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તેને સંખ્યાના બીજા ભાગમાં સંખ્યામાંથી લીધેલ ડિગ્રીમાં ફેક્ટોરિયલની સાઈન સાથે સરખાવીએ છીએ.

3. સંખ્યાની બંને બાજુએ શૂન્ય થવા દો. જ્યારે અડીને અંકો દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ તુચ્છ સમાનતા 0 = 0 આપે છે.

પોઈન્ટ 2 અને 3 માં શૂન્ય દ્વારા ગુણાકાર સાથે ત્રણ બિંદુઓમાં સામાન્ય ઉકેલનું વિભાજન એ હકીકતને કારણે છે કે પાપ( n!)° ? 0 જો n < 6».

અલબત્ત, સમાન સામાન્ય ઉકેલોલેન્ડાઉના નાટકને તેના મૂળ વશીકરણથી વંચિત કરો, માત્ર અમૂર્ત રસ રજૂ કરો. તેથી ઉપયોગ કર્યા વિના વ્યક્તિગત મુશ્કેલ નંબરો સાથે રમવાનો પ્રયાસ કરો સાર્વત્રિક સૂત્રો. અહીં તેમાંથી કેટલાક છે: 59-58; 47-73; 47-97; 27-37; 00-26.

નિર્ધારકો વિશે વધુ.

મને કહેવામાં આવ્યું હતું કે એક સમયે મિકેનિક્સ અને ગણિતની ફેકલ્ટીના પ્રથમ વર્ષના વિદ્યાર્થીઓમાં પૈસા માટે "નિર્ધારક" ની રમત લોકપ્રિય હતી. બે ખેલાડીઓ ખાલી કોષો સાથે કાગળ પર 3 x 3 ઓળખકર્તા દોરે છે. પછી, એક પછી એક, 1 થી 9 સુધીની સંખ્યાઓ ખાલી કોષોમાં દાખલ કરવામાં આવે છે, જ્યારે બધા કોષો ભરાઈ જાય છે, ત્યારે નિર્ણાયકની ગણતરી કરવામાં આવે છે - જવાબ, ચિહ્નને ધ્યાનમાં લેતા, પ્રથમ ખેલાડીની જીત (અથવા હાર) છે. , રુબેલ્સમાં વ્યક્ત. એટલે કે, જો, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર -23 હોવાનું બહાર આવ્યું છે, તો પછી પ્રથમ ખેલાડી બીજા 23 રુબેલ્સ ચૂકવે છે, અને જો, કહો, 34, તો, તેનાથી વિપરીત, બીજો ખેલાડી પ્રથમ 34 રુબેલ્સ ચૂકવે છે.

રમતના નિયમો સલગમ જેવા સરળ હોવા છતાં, યોગ્ય વિજેતા વ્યૂહરચના સાથે આવવું ખૂબ મુશ્કેલ છે.

આ નોંધ મને ગણિતશાસ્ત્રી અને લેખક એ. ઝુકોવ દ્વારા મોકલવામાં આવી હતી, જે અદ્ભુત પુસ્તક “ધ યુબિક્વિટસ નંબર પી” ના લેખક છે.

મોસ્કોની બે યુનિવર્સિટીઓમાં ગણિત ભણાવતા પ્રોફેસર બોરિસ સોલોમોનોવિચ ગોરોબેટ્સે મહાન ભૌતિકશાસ્ત્રી લેવ ડેવિડોવિચ લેન્ડૌ (1908-1968) વિશે એક પુસ્તક લખ્યું - "લેન્ડૌનું વર્તુળ". અહીં શું છે રસપ્રદ વાર્તા, એક ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તકનીકી પરિચયાત્મક કાર્ય સાથે સંબંધિત, તેમણે અમને કહ્યું.

એવું બન્યું કે લેન્ડૌના સાથીદાર અને સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રના દસ-વોલ્યુમ કોર્સના સહ-લેખક, એકેડેમિશિયન એવજેની મિખાઈલોવિચ લિફશિટ્ઝ (1915-1985), 1959 માં, શાળાના સ્નાતક બોરા ગોરોબેટ્સને મોઓવ યુનિવર્સિટીમાં એક અગ્રણી ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પ્રવેશ માટે તૈયાર કરવામાં મદદ કરી.

મોસ્કો ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઑફ ફિઝિક્સ એન્ડ મેથેમેટિક્સમાં ગણિતની લેખિત પરીક્ષામાં, નીચેની સમસ્યાની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી: “SABC પિરામિડના પાયામાં એક લંબચોરસ છે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC, કોણ C = 90° સાથે, બાજુ AB = l. બાજુના ચહેરાઆધાર ના પ્લેન સાથે ફોર્મ ડાયહેડ્રલ એંગલ?, ?, ?. પિરામિડમાં અંકિત બોલની ત્રિજ્યા શોધો.”

ભાવિ પ્રોફેસરે તે સમયે કાર્યનો સામનો કર્યો ન હતો, પરંતુ તેની સ્થિતિને યાદ કરી અને પછીથી એવજેની મિખાયલોવિચને જાણ કરી. તેણે એક વિદ્યાર્થીની હાજરીમાં આ સમસ્યાનો ઉકેલ ન લાવી શક્યો હોવાથી તે તેને પોતાની સાથે ઘરે લઈ ગયો હતો અને સાંજે તેણે ફોન કરીને કહ્યું હતું કે, એક કલાકમાં તેનો ઉકેલ ન આવતાં તેણે આ સમસ્યાની ઓફર કરી હતી. લેવ ડેવિડોવિચને.

લેન્ડાઉને એવી સમસ્યાઓ હલ કરવાનું પસંદ હતું જે અન્ય લોકો માટે મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે. તરત જ તેણે લિફશિટ્સને પાછો બોલાવ્યો અને સંતુષ્ટ થઈને કહ્યું: “મેં સમસ્યા હલ કરી દીધી. નક્કી કરવામાં બરાબર એક કલાક લાગ્યો. મેં ઝેલ્ડોવિચને ફોન કર્યો, હવે તે નક્કી કરે છે. ચાલો સમજાવીએ: યાકોવ બોરીસોવિચ ઝેલ્ડોવિચ (1914-1987) - એક પ્રખ્યાત વૈજ્ઞાનિક કે જેઓ પોતાને લેન્ડૌના વિદ્યાર્થી માનતા હતા, તે વર્ષોમાં ટોચના ગુપ્ત સોવિયેતમાં મુખ્ય સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રી હતા. અણુ પ્રોજેક્ટ(જે, અલબત્ત, તે સમયે થોડા લોકો જાણતા હતા). લગભગ એક કલાક પછી, E.M. લિફશિટ્સે ફરીથી ફોન કર્યો અને કહ્યું: ઝેલ્ડોવિચે હમણાં જ તેને બોલાવ્યો હતો અને ગર્વ કર્યા વિના કહ્યું: “મેં તમારી સમસ્યા હલ કરી છે. મેં ચાલીસ મિનિટમાં નક્કી કર્યું!”

આ કાર્ય પૂર્ણ કરવામાં તમને કેટલો સમય લાગશે?

ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તકનીકી રમૂજ "ઝેની સાયન્ટિફિક હ્યુમર" (મોસ્કો, 2000) ના વિનોદી સંગ્રહમાં ઘણા ગાણિતિક જોક્સ છે. અહીં તેમાંથી માત્ર એક છે.

એક ઉત્પાદનના પરીક્ષણ દરમિયાન એક નિષ્ફળતા આવી. ઉત્પાદનની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના કેટલી છે?

પ્રમેય. બધી કુદરતી સંખ્યાઓ રસપ્રદ છે.

પુરાવો. ચાલો વિપરીત ધારીએ. પછી ઓછામાં ઓછું રસહીન હોવું જોઈએ કુદરતી સંખ્યા. હા, આ ખૂબ જ રસપ્રદ છે!

1 + 1 = 3 જ્યારે 1 ની કિંમત પૂરતી મોટી હોય.

E = m c 2 = m(a 2 + b 2).

આ રમુજી વાર્તામારા વિદ્યાર્થી જીવનથી તેને સંભાવના સિદ્ધાંત પરના સેમિનારોમાં સમસ્યા તરીકે રજૂ કરવું શક્ય છે.

ઉનાળામાં, હું અને મારા મિત્રો પર્વતોમાં હાઇકિંગ કરવા ગયા. અમે ચાર હતા: વોલોડ્યા, બે ઓલેગ્સ અને હું. અમારી પાસે એક તંબુ અને ત્રણ સ્લીપિંગ બેગ હતી, જેમાંથી એક વોલોડ્યા અને મારા માટે ડબલ હતી. આ ખૂબ જ સ્લીપિંગ બેગમાં સમસ્યા હતી, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે તંબુમાં તેમના સ્થાન સાથે. હકીકત એ છે કે વરસાદ પડી રહ્યો હતો, તંબુ ખેંચાઈ ગયો હતો, તે બાજુઓમાંથી લીક થઈ રહ્યો હતો, અને તે ધાર પર પડેલા લોકો માટે ખૂબ આરામદાયક ન હતું. તેથી, મેં ઘણાં બધાંનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યાને "પ્રમાણિકપણે" હલ ​​કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો.

જુઓ, મેં ઓલેગ્સને કહ્યું, વોલોડ્યા અને મારી પાસે કાં તો ધાર પર અથવા મધ્યમાં ડબલ બેડ હોઈ શકે છે. તેથી, અમે એક સિક્કો ફેંકીશું: જો તે "હેડ" ઉપર આવે છે, તો આપણો ડબલ બેડ ધાર પર હશે, જો "પૂંછડીઓ" - મધ્યમાં.

ઓલેગ્સ સંમત થયા, પરંતુ ધાર પર ઘણી રાતો પછી (કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવી સરળ છે કે વોલોડ્યા અને મારા દરેક માટે તંબુની ધાર પર ન સૂવાની સંભાવના 0.75 છે), ઓલેગ્સને શંકા છે કે કંઈક ખોટું છે અને કરાર પર પુનર્વિચાર કરવાની દરખાસ્ત કરી.

ખરેખર, મેં કહ્યું, શક્યતાઓ અસમાન હતી. હકીકતમાં, અમારા ડબલ બેડ માટે ત્રણ શક્યતાઓ છે: ડાબી ધાર પર, જમણી બાજુએ અને મધ્યમાં. તેથી, દરરોજ સાંજે આપણે ત્રણમાંથી એક લાકડી ખેંચીશું - જો આપણે ટૂંકી લાકડી ખેંચીશું, તો આપણું ડબલ કેન્દ્રમાં હશે.

ઓલેગ્સ ફરીથી સંમત થયા, જોકે આ વખતે અમારી રાત ધારની નજીક ન વિતાવવાની તકો (હવે સંભાવના 0.66 છે, વધુ ચોક્કસપણે, બે તૃતીયાંશ) તેમાંથી દરેક કરતાં વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ હતા. ધાર પર બે રાત પછી (અમારી બાજુમાં અમારી પાસે શ્રેષ્ઠ તકો અને નસીબ હતા), ઓલેગ્સને ફરીથી સમજાયું કે તેઓ છેતરાયા હતા. પરંતુ તે પછી, સદનસીબે, વરસાદ બંધ થઈ ગયો, અને સમસ્યા પોતે જ અદૃશ્ય થઈ ગઈ.

પરંતુ હકીકતમાં, અમારો ડબલ બેડ હંમેશા ધાર પર હોવો જોઈએ, અને વોલોડ્યા અને હું દરેક વખતે નસીબદાર કોણ છે તે નક્કી કરવા માટે સિક્કાનો ઉપયોગ કરીશું. ઓલેગ્સે પણ એવું જ કર્યું હશે. આ કિસ્સામાં, ધાર પર સૂવાની શક્યતા દરેક માટે સમાન અને 0.5 જેટલી હશે.

નોંધો:

કેટલીકવાર જીન ચાર્લ્સ ફ્રાન્કોઇસ સ્ટર્મ વિશે સમાન વાર્તા કહેવામાં આવે છે.

મૂળભૂત પ્રકારના (સંખ્યાત્મક) સૂત્રો

એક નિયમ તરીકે, સૂત્રમાં ચલ (એક અથવા વધુ) નો સમાવેશ થાય છે, અને સૂત્ર પોતે માત્ર અભિવ્યક્તિ નથી, પરંતુ એક પ્રકારનો ચુકાદો છે. આવો ચુકાદો ચલો વિશે અથવા કદાચ સામેલ કામગીરી વિશે કંઈક ભારપૂર્વક કહી શકે છે. સૂત્રનો ચોક્કસ અર્થ ઘણીવાર સંદર્ભમાંથી ગર્ભિત થાય છે અને તેના દેખાવ પરથી સીધો સમજી શકાતો નથી. ત્યાં ત્રણ સામાન્ય કિસ્સાઓ છે:

સમીકરણો

સમીકરણ એ એક સૂત્ર છે જેનું બાહ્ય (ઉપલા) જોડાણ એ દ્વિસંગી સમાનતા સંબંધ છે. જો કે, મહત્વપૂર્ણ લક્ષણસમીકરણ એ પણ છે કે તેમાં સમાવિષ્ટ પ્રતીકોને ચલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને પરિમાણો(બાદની હાજરી, જોકે, જરૂરી નથી). ઉદાહરણ તરીકે, એક સમીકરણ છે જ્યાં x એ ચલ છે. ચલના મૂલ્યો જેના માટે સમાનતા સાચી છે તેને સમીકરણના મૂળ કહેવામાં આવે છે: માં આ કિસ્સામાંઆ બે સંખ્યાઓ અને −1 છે. નિયમ પ્રમાણે, જો એક ચલ માટેનું સમીકરણ ઓળખ ન હોય (નીચે જુઓ), તો સમીકરણના મૂળ એક અલગ, મોટાભાગે મર્યાદિત (સંભવતઃ ખાલી) સમૂહનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

જો સમીકરણમાં પરિમાણો શામેલ હોય, તો તેનો અર્થ આપેલ પરિમાણો માટે મૂળ શોધવાનો છે (એટલે ​​​​કે, ચલનું મૂલ્ય કે જેના પર સમાનતા સાચી છે). કેટલીકવાર આને પરિમાણ(ઓ) પર ચલની ગર્ભિત અવલંબન શોધવા તરીકે ઘડી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે x માં સમીકરણ તરીકે સમજવામાં આવે છે (વાય, z અને t સાથે ચલ દર્શાવવા માટે આ એક સામાન્ય અક્ષર છે). સમીકરણના મૂળ એ a નું વર્ગમૂળ છે (એવું માનવામાં આવે છે કે તેમાંના બે છે, વિવિધ ચિહ્નોના). એ નોંધવું જોઇએ કે આવા સૂત્ર, પોતે જ, ફક્ત સ્પષ્ટ કરે છે દ્વિસંગી સંબંધ x અને a વચ્ચે અને તેને માં સમજી શકાય છે વિપરીત બાજુ, x ના સંદર્ભમાં a માટે સમીકરણ તરીકે. આ પ્રાથમિક કિસ્સામાં, આપણે x દ્વારા a ને વ્યાખ્યાયિત કરવા વિશે વધુ વાત કરી શકીએ છીએ:

ઓળખાણ

ઓળખ એ એક દરખાસ્ત છે જે જ્યારે સાચી હોય છે કોઈપણચલોના મૂલ્યો. સામાન્ય રીતે, ઓળખ દ્વારા અમારો અર્થ સમાનરૂપે સાચી સમાનતા થાય છે, જો કે બહારની ઓળખમાં અસમાનતા અથવા અન્ય કોઈ સંબંધ પણ હોઈ શકે છે. ઘણા કિસ્સાઓમાં, ઓળખને તેમાં ઉપયોગમાં લેવાતી કામગીરીની ચોક્કસ મિલકત તરીકે સમજી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઓળખ ઉમેરાની કોમ્યુટેટીવીટી જણાવે છે.

ગાણિતિક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તે તદ્દન છે જટિલ વાક્યોકોમ્પેક્ટ અને અનુકૂળ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. જ્યારે પણ ચોક્કસ ડોમેનમાંથી ચોક્કસ ઓબ્જેક્ટો દ્વારા ચલોને બદલવામાં આવે ત્યારે ફોર્મ્યુલા સાચા બને છે તે ડોમેનમાં સમાન રીતે સાચું કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે: "કોઈપણ a અને b માટે, સમાનતા ધરાવે છે." આ ઓળખ વિનિમયાત્મક રિંગમાં ઉમેરા અને ગુણાકારના સ્વયંસિદ્ધોમાંથી મેળવી શકાય છે, જે પોતે પણ ઓળખનું સ્વરૂપ ધરાવે છે.

ઓળખમાં ચલોનો સમાવેશ થતો નથી અને તે અંકગણિત (અથવા અન્ય કેટલીક) સમાનતા હોઈ શકે છે, જેમ કે.

અંદાજિત સમાનતાઓ

7-8 ગ્રેડમાં તેઓ સમીકરણો ઉકેલવાનો અભ્યાસ કરે છે ગ્રાફિકલી. આ સમયે, સરળ સમીકરણો ("સારા મૂળ સાથે") ઉકેલવા માટે આપવામાં આવે છે, જે આલેખનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી મળી આવે છે, ખાસ કરીને ચેકર્ડ કાગળ. પરંતુ એવા ઉદાહરણો છે જ્યાં મૂળ થોડો અલગ છે. બે સમીકરણો ધ્યાનમાં લો: √x=2-x અને √x=4-x. પ્રથમ સમીકરણમાં એક જ મૂળ x=1 છે, કારણ કે ફંક્શન y =√x અને y =2-х ના ગ્રાફ એક બિંદુ A(1,1) પર છેદે છે. બીજા કિસ્સામાં, વિધેયોના આલેખ y =√x-fc y =4-x પણ એક બિંદુ A(1,1) પર છેદે છે, પરંતુ "ખરાબ" કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે. ડ્રોઇંગનો ઉપયોગ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે બિંદુ B નું એબ્સીસા લગભગ 2.5 જેટલું છે. આવા કિસ્સાઓમાં, તેઓ કોઈ ચોક્કસ વિશે નહીં, પરંતુ સમીકરણના અંદાજિત ઉકેલ વિશે બોલે છે અને તેને આ રીતે લખે છે: x≈2.5.

અસમાનતાઓ

વિભાગની શરૂઆતમાં વર્ણવેલ બંને સંવેદનાઓમાં અસમાનતાના સૂત્રને સમજી શકાય છે: એક ઓળખ તરીકે (ઉદાહરણ તરીકે, કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતા) અથવા, સમીકરણની જેમ, સમૂહ શોધવાની સમસ્યા તરીકે (અથવા તેના બદલે, ઉપગણ વ્યાખ્યાનું ડોમેન) કે જેમાં ચલ અથવા ચલો સંબંધિત હોઈ શકે છે.

ઓપરેશન્સ વપરાય છે

IN આ વિભાગબીજગણિતમાં વપરાતી કામગીરીની યાદી આપવામાં આવશે, તેમજ કેલ્ક્યુલસમાંથી કેટલાક સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા કાર્યો.

સરવાળો અને બાદબાકી

ઘાત

પ્રાથમિક કાર્યો

સંપૂર્ણ મૂલ્ય, ચિહ્ન, વગેરે.

ઓપરેશન અગ્રતા અને કૌંસ

ઑપરેશન અથવા ઑપરેટરની અગ્રતા, રેન્ક અથવા વરિષ્ઠતા એ ઑપરેટર/ઑપરેશનની ઔપચારિક મિલકત છે જે ઑર્ડરના સ્પષ્ટ (કૌંસનો ઉપયોગ કરીને) સંકેતની ગેરહાજરીમાં વિવિધ ઑપરેટરો સાથે અભિવ્યક્તિમાં તેના અમલના ક્રમને અસર કરે છે. તેમનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગુણાકારની ક્રિયાને સામાન્ય રીતે ઉમેરણની ક્રિયા કરતાં વધુ અગ્રતા આપવામાં આવે છે, તેથી અભિવ્યક્તિ પ્રથમ y અને z નું ઉત્પાદન મેળવશે અને પછી સરવાળો મેળવશે.

ઉદાહરણો

ઉદાહરણ તરીકે:

એક વાસ્તવિક દલીલ અથવા સિંગલ-વેલ્યુડ ફંક્શનનું કાર્ય;

અનેક દલીલોનું કાર્ય અથવા બહુ-મૂલ્યવાળું કાર્ય (સૌથી નોંધપાત્ર વળાંકોમાંથી એકનો ગ્રાફ - એગ્નેસી વર્સિઅર);

એક બિંદુ પર બિન-વિભેદક કાર્ય (સતત તૂટેલી લાઇનકોઈ સ્પર્શક નથી);

- પૂર્ણાંક કાર્ય;

- સમાન કાર્ય;

- વિચિત્ર કાર્ય;

બિંદુ કાર્ય, બિંદુથી (કાર્ટેશિયન) કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ સુધીનું અંતર;

બિંદુ પર અવ્યવસ્થિત કાર્ય;

પેરામેટ્રિકલી આપેલ કાર્ય(સાયકલોઇડ ગ્રાફ);

પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત કાર્યો;

અભિન્ન સમીકરણ;

લિંક્સ

• એન.કે. વેરેશચાગિન, એ. શેન. ગાણિતિક તર્ક અને અલ્ગોરિધમ્સના સિદ્ધાંત પર પ્રવચનો. ભાગ 1. સેટ થિયરીની શરૂઆત.

પણ જુઓ

• બીજગણિત અભિવ્યક્તિ - ગાણિતિક સંકેત, જે સંપૂર્ણ વિચાર વ્યક્ત કરતું નથી.

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "ગાણિતિક સૂત્ર" શું છે તે જુઓ: - (લેટિન ફોર્મ્યુલા ફોર્મ, નિયમ, પ્રિસ્ક્રિપ્શનમાંથી): મેથેમેટિકલ ફોર્મ્યુલા ફોર્મ્યુલા ઇનમાઈક્રોસોફ્ટ એક્સેલ કેમિકલ ફોર્મ્યુલા એપિક ફોર્મ્યુલાભૌતિક સૂત્ર ડેન્ટલ ફોર્મ્યુલા ફ્લાવર ફોર્મ્યુલા મેજિક ફોર્મ્યુલા ફોર્મ્યુલાતકનીકી પ્રકારો

... ... વિકિપીડિયા

ગ્રાસમેનનું સૂત્ર એ ગાણિતિક સૂત્ર છે જે મર્યાદિત-પરિમાણીય અવકાશના સબસ્પેસના પરિમાણનું વર્ણન કરે છે. જર્મન વૈજ્ઞાનિક જી.જી. ગ્રાસમેન દ્વારા વિકસિત. શબ્દરચના: જો રેખીય જગ્યા V એ મર્યાદિત-પરિમાણીય છે, પછી મર્યાદિત-પરિમાણીય... ... વિકિપીડિયા

ઓસ્ટ્રોગ્રેડસ્કી ફોર્મ્યુલા એ ગાણિતિક સૂત્ર છે જે પ્રવાહને વ્યક્ત કરે છે વેક્ટર ક્ષેત્રઆ સપાટી દ્વારા મર્યાદિત વોલ્યુમ પર આ ક્ષેત્રના ડાયવર્જન્સના અભિન્ન અંગ દ્વારા બંધ સપાટી દ્વારા: એટલે કે, વેક્ટરના વિચલનનું અભિન્ન અંગ... ... વિકિપીડિયા

આધુનિક તર્કશાસ્ત્રનું એક નામ જે બીજામાં આવ્યું. માળ 19 શરૂઆત 20મી સદી પરંપરાગત તર્કને બદલવા માટે. બીજા નામ તરીકે આધુનિક તબક્કોતર્કશાસ્ત્રના વિજ્ઞાનના વિકાસમાં, સાંકેતિક તર્ક શબ્દનો પણ ઉપયોગ થાય છે. વ્યાખ્યા…… ફિલોસોફિકલ જ્ઞાનકોશ

વધુ અડચણ વિના, તે અહીં છે:

તેને સામાન્ય રીતે મહાન સ્વિસ ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનહાર્ડ યુલર (1707 - 1783) ના માનમાં યુલરની ઓળખ કહેવામાં આવે છે. તે ટી-શર્ટ અને કોફી મગ પર જોઈ શકાય છે, અને ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓના કેટલાક સર્વેક્ષણોએ તેને "સૌથી મહાન સમીકરણ" (ક્રીઝ, રોબર્ટ પી., "સર્વતના મહાન સમીકરણો") નામ આપ્યું છે.

ઓળખની સુંદરતા અને લાવણ્યની ભાવના એ હકીકત પરથી આવે છે કે તે ગાણિતિક સ્થિરાંકોની પાંચ સૌથી મહત્વપૂર્ણ સંખ્યાઓને સરળ સ્વરૂપમાં જોડે છે: - આધાર કુદરતી લઘુગણક, અને નું વર્ગમૂળ છે. તેને ધ્યાનથી જોતાં, મોટાભાગના લોકો ઘાતાંક વિશે વિચારે છે: સંખ્યાને કાલ્પનિક શક્તિમાં વધારવાનો અર્થ શું છે? ધીરજ રાખો, ધીરજ રાખો, આપણે ત્યાં પહોંચી જઈશું.

આ સૂત્ર ક્યાંથી આવે છે તે સમજાવવા માટે, આપણે સૌપ્રથમ યુલર દ્વારા મળેલ વધુ સામાન્ય સૂત્ર મેળવવું જોઈએ, અને પછી બતાવવું જોઈએ કે આપણી સમાનતા આ સૂત્રનો માત્ર એક વિશિષ્ટ કેસ છે. સામાન્ય સૂત્રપોતે જ અદ્ભુત છે અને ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ટેકનોલોજીમાં ઘણી અદ્ભુત એપ્લિકેશનો ધરાવે છે.

આપણી સફરનું પહેલું પગલું એ સમજવાનું છે કે ગણિતમાં મોટાભાગના કાર્યોને દલીલની શક્તિઓના અનંત સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ એક ઉદાહરણ છે:

અહીં તે રેડિયનમાં માપવામાં આવે છે, ડિગ્રીમાં નહીં. અમે શ્રેણીના પ્રથમ થોડા શબ્દોનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ મૂલ્ય માટે સારો અંદાજ મેળવી શકીએ છીએ. આ ટેલર શ્રેણીનું ઉદાહરણ છે, અને ગાણિતિક વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને આ સૂત્ર મેળવવાનું એકદમ સરળ છે. અહીં હું જ્ઞાન ધારણ કરતો નથી ગાણિતિક વિશ્લેષણ, તેથી હું વાચકને તેને વિશ્વાસ પર લેવા કહું છું.

કોસાઇન માટે અનુરૂપ સૂત્ર છે:

સંખ્યા ની બરાબર છે, અને યુલર ગણિતમાં તેના મૂળભૂત મહત્વને ઓળખનાર અને છેલ્લું સૂત્ર મેળવનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા (અગાઉના બે આઇઝેક ન્યૂટન દ્વારા મળી આવ્યા હતા). સંખ્યા વિશે પુસ્તકો લખવામાં આવ્યા છે (દા.ત. માઓર, ઇ. (1994). વાર્તાસંખ્યાનું. પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટીદબાવો), તમે તેના વિશે પણ વાંચી શકો છો.

1740 ની આસપાસ, યુલરે આ ત્રણ સૂત્રોને જોયા, જે આપણે અહીં જોઈએ છીએ તે રીતે ગોઠવાયેલા છે. તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે ત્રીજા સૂત્રમાં દરેક શબ્દ અગાઉના કોઈપણમાં પણ દેખાય છે. જો કે, પ્રથમ સમાનતાઓમાં અડધા શબ્દો નકારાત્મક છે, જ્યારે છેલ્લી દરેક પદ સકારાત્મક છે. મોટાભાગના લોકોએ તેને તે રીતે છોડી દીધું હશે, પરંતુ યુલરે આ બધામાં એક પેટર્ન જોયું. પ્રથમ બે સૂત્રો એકસાથે મૂકનાર તે પ્રથમ હતા:

આ શ્રેણીમાં સંકેતોના ક્રમ પર ધ્યાન આપો: , તે 4 ના જૂથોમાં પુનરાવર્તિત થાય છે. યુલરે નોંધ્યું છે કે જ્યારે આપણે કાલ્પનિક એકમને પૂર્ણાંક શક્તિઓ સુધી વધારીએ ત્યારે સંકેતોનો સમાન ક્રમ પ્રાપ્ત થાય છે:

આનો અર્થ એ થયો કે આપણે છેલ્લા સૂત્રને આની સાથે બદલી શકીએ અને મેળવી શકીએ:

હવે ચિહ્નો અગાઉના સૂત્રમાંના ચિહ્નોને અનુરૂપ છે, અને નવી શ્રેણી અગાઉના એક સાથે એકરુપ છે, સિવાય કે વિસ્તરણની શરતોનો ગુણાકાર . એટલે કે, આપણે બરાબર મેળવીએ છીએ

આ એક આશ્ચર્યજનક અને રહસ્યમય પરિણામ છે, તે અસ્તિત્વ સૂચવે છે બંધ જોડાણત્રિકોણમિતિમાં સંખ્યા અને સાઈન અને કોસાઈન્સ વચ્ચે, જો કે તે માત્ર ભૂમિતિ અથવા ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલી ન હોય તેવી સમસ્યાઓથી જાણીતું હતું. તેની લાવણ્ય અને વિચિત્રતા ઉપરાંત, જો કે, ગણિતમાં આ સૂત્રના મહત્વને વધુ પડતો અંદાજ કાઢવો મુશ્કેલ હશે, જે તેની શોધ પછી વધ્યું છે. તે દરેક જગ્યાએ દેખાય છે, અને લગભગ 400 પાનાનું પુસ્તક (નાહીન પી. ડૉ. યુલરનું ફેબ્યુલસ ફોર્મ્યુલા, 2006) તાજેતરમાં આ ફોર્મ્યુલાના કેટલાક ઉપયોગોનું વર્ણન કરતું પ્રકાશિત થયું હતું.

નોંધ કરો કે કાલ્પનિક ઘાતાંક વિશેનો જૂનો પ્રશ્ન હવે ઉકેલાઈ ગયો છે: કાલ્પનિક શક્તિમાં વધારો કરવા માટે, સરળ રીતે કહીએ તો કાલ્પનિક સંખ્યાયુલરના સૂત્રમાં. જો આધાર એ સિવાયની સંખ્યા છે, તો માત્ર એક નાનો ફેરફાર જરૂરી છે.

શાળામાં જે શીખવવામાં આવ્યું હતું તે બધું ભૂલી ગયા પછી જે બચે છે તે શિક્ષણ છે.

હવે પોર્ટુગલમાં કાર્યરત નોવોસિબિર્સ્ક વિજ્ઞાની ઇગોર ખ્મેલિન્સ્કી સાબિત કરે છે કે ગ્રંથો અને સૂત્રોને સીધા યાદ રાખ્યા વિના, વિકાસ અમૂર્ત મેમરીબાળકો માટે મુશ્કેલ. હું તેના લેખમાંથી અવતરણો આપીશ "પાઠ શૈક્ષણિક સુધારાઓયુરોપ અને ભૂતપૂર્વ યુએસએસઆરના દેશોમાં"

રોટ લર્નિંગ અને લાંબા ગાળાની યાદશક્તિ

કેલ્ક્યુલેટર પરની ગણતરીઓમાં ભૂલો શોધવામાં અસમર્થતા કરતાં ગુણાકાર કોષ્ટકોની અજ્ઞાનતા વધુ ગંભીર પરિણામો ધરાવે છે. અમારા લાંબા ગાળાની મેમરીએસોસિએટીવ ડેટાબેઝના સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે, એટલે કે, માહિતીના કેટલાક ઘટકો, જ્યારે યાદ રાખવામાં આવે છે, ત્યારે તેમની સાથેના પરિચય સમયે સ્થપાયેલા સંગઠનોના આધારે અન્ય લોકો સાથે સંકળાયેલા હોય છે. તેથી, કોઈપણ તમારા માથામાં જ્ઞાન આધાર બનાવવા માટે વિષય વિસ્તાર, ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિતમાં, તમારે પ્રથમ હૃદયથી ઓછામાં ઓછું કંઈક શીખવાની જરૂર છે. આગળ, નવી આવનારી માહિતી આવશે ટૂંકા ગાળાની મેમરીલાંબા ગાળાના એકમાં, જો ટૂંકા ગાળામાં (કેટલાક દિવસો) આપણે તેનો ઘણી વખત સામનો કરીએ છીએ, અને પ્રાધાન્યમાં, વિવિધ સંજોગોમાં (જે ઉપયોગી સંગઠનોની રચનામાં ફાળો આપે છે). જો કે, ની ગેરહાજરીમાં કાયમી મેમરીઅંકગણિતમાંથી જ્ઞાન, માહિતીના નવા પ્રાપ્ત તત્વો એવા તત્વો સાથે સંકળાયેલા છે જેનો અંકગણિત સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી - ઉદાહરણ તરીકે, શિક્ષકનું વ્યક્તિત્વ, બહારનું હવામાન વગેરે. દેખીતી રીતે, આવા યાદ રાખવાથી વિદ્યાર્થીને કોઈ વાસ્તવિક લાભ થશે નહીં - કારણ કે સંગઠનો આપેલ વિષયના ક્ષેત્રથી દૂર જાય છે, વિદ્યાર્થી અંકગણિત સંબંધિત કોઈપણ જ્ઞાનને યાદ રાખી શકશે નહીં, સિવાય કે અસ્પષ્ટ વિચારો સિવાય કે તે એકવાર તેના વિશે કંઈક જાણતો હતો. સાંભળ્યું છે. આવા વિદ્યાર્થીઓ માટે, ગુમ થયેલ સંગઠનોની ભૂમિકા સામાન્ય રીતે વિવિધ પ્રકારના સંકેતો દ્વારા ભજવવામાં આવે છે - સાથીદાર પાસેથી નકલ, પરીક્ષામાં જ અગ્રણી પ્રશ્નોનો ઉપયોગ કરો, ફોર્મ્યુલાની સૂચિમાંથી સૂત્રો કે જેનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી છે, વગેરે. IN વાસ્તવિક જીવન, સંકેત આપ્યા વિના, આવી વ્યક્તિ સંપૂર્ણપણે નિઃસહાય છે અને તેના માથામાં જે જ્ઞાન છે તેને લાગુ કરવામાં અસમર્થ છે.

ગાણિતિક ઉપકરણની રચના, જેમાં સૂત્રો યાદ નથી, અન્ય કરતાં વધુ ધીમેથી થાય છે. શા માટે? પ્રથમ, નવા ગુણધર્મો, પ્રમેય, ગાણિતિક પદાર્થો વચ્ચેના સંબંધો લગભગ હંમેશા અગાઉ અભ્યાસ કરેલા સૂત્રો અને વિભાવનાઓની કેટલીક સુવિધાઓનો ઉપયોગ કરે છે. નવી સામગ્રી પર વિદ્યાર્થીનું ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું વધુ મુશ્કેલ બનશે જો આ લક્ષણો ટૂંકા ગાળામાં મેમરીમાંથી પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાતા નથી. બીજું, હૃદય દ્વારા સૂત્રો ન જાણવું એ અર્થપૂર્ણ સમસ્યાઓના ઉકેલની શોધને અટકાવે છે મોટી સંખ્યામાંનાના ઓપરેશન્સ કે જેમાં માત્ર અમુક રૂપાંતરણો હાથ ધરવા માટે જ જરૂરી નથી, પણ આ ચાલના ક્રમને ઓળખવા માટે, બે કે ત્રણ પગલાં આગળના ઘણા સૂત્રોના ઉપયોગનું વિશ્લેષણ કરીને.

પ્રેક્ટિસ બતાવે છે કે બાળકનો બૌદ્ધિક અને ગાણિતિક વિકાસ, તેના જ્ઞાનના આધાર અને કૌશલ્યોની રચના, જો ખૂબ ઝડપથી થાય છે. સૌથી વધુવપરાયેલી માહિતી (ગુણધર્મો અને સૂત્રો) માથામાં છે. અને મજબૂત અને લાંબા સમય સુધી તે ત્યાં રહે છે, વધુ સારું.

ગણિતશાસ્ત્રી હેનરી પોઈનકેરે તેમના પુસ્તક વિજ્ઞાન અને પદ્ધતિમાં લખ્યું: “જો પ્રકૃતિ સુંદર ન હોત, તો તે જાણવા યોગ્ય ન હોત, જીવન અનુભવવા યોગ્ય ન હોત. હું અહીં વાત કરી રહ્યો છું, અલબત્ત, તે સુંદરતા વિશે નહીં જે તમારી આંખને આકર્ષિત કરે છે... મારો મતલબ તે વધુ છે ઊંડી સુંદરતા, જે ભાગોની સુમેળમાં પ્રગટ થાય છે, જે ફક્ત મન દ્વારા જ સમજાય છે. તે તે છે જે જમીન બનાવે છે, દૃશ્યમાન રંગોના રમત માટે માળખું બનાવે છે જે આપણી સંવેદનાઓને આકર્ષે છે, અને આ સમર્થન વિના ક્ષણિક છાપની સુંદરતા અપૂર્ણ હશે, જેમ કે દરેક વસ્તુ અસ્પષ્ટ અને ક્ષણિક. તેનાથી વિપરિત, બૌદ્ધિક સુંદરતા પોતાનામાં સંતોષ આપે છે.

P.A.M. ડીરાકે લખ્યું: "યુ સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રવિકાસનો બીજો સાચો માર્ગ છે. કુદરત પાસે આ છે મૂળભૂત લક્ષણસૌથી મૂળભૂત શું છે ભૌતિક કાયદાગાણિતિક સિદ્ધાંત દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જેનું ઉપકરણ છે અસાધારણ શક્તિઅને સુંદરતા. આ સિદ્ધાંતને સમજવા માટે, તમારી પાસે અસામાન્ય રીતે ઉચ્ચ સ્તરનું ગાણિતિક કૌશલ્ય હોવું જરૂરી છે. તમે પૂછી શકો છો: કુદરત આ રીતે કેમ કામ કરે છે? આનો એક જ જવાબ છે: અમારા અનુસાર આધુનિક જ્ઞાન, કુદરત આ રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવી છે અને અન્યથા નહીં."

સાત વર્ષ પહેલાં, યુક્રેનિયન ભૌતિકશાસ્ત્રી (અને કલાકાર) નતાલિયા કોન્ડ્રેટીએવાએ વિશ્વના અગ્રણી ગણિતશાસ્ત્રીઓને આ પ્રશ્ન સાથે સંબોધિત કર્યા: “શું ત્રણ ગાણિતિક સૂત્રો, તમારા મતે, સૌથી સુંદર?"
ગાણિતિક સૂત્રોની સુંદરતા વિશેની વાતચીતમાં બ્રિટનના સર માઈકલ અટિયાહ અને ડેવિડ એલ્વારસી, યુએસએના યાકોવ સિનાઈ અને એલેક્ઝાંડર કિરીલોવ, જર્મનીથી ફ્રેડરિક હર્ઝેબ્રુચ અને યુરી મનિન, ફ્રાંસના ડેવિડ રુએલ, રશિયાના એનાટોલી વર્શિક અને રોબર્ટ મિન્લોસે ભાગ લીધો હતો. ના અન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓ વિવિધ દેશો. યુક્રેનિયનોમાં, NASU વ્લાદિમીર કોરોલ્યુક અને એનાટોલી સ્કોરોખોડના શિક્ષણવિદોએ ચર્ચામાં ભાગ લીધો હતો. આ રીતે મેળવેલી કેટલીક સામગ્રીએ નતાલ્યા કોન્દ્રાટ્યેવા દ્વારા પ્રકાશિત પુસ્તકનો આધાર બનાવ્યો. વૈજ્ઞાનિક કાર્ય"ત્રણ સૌથી સુંદર ગાણિતિક સૂત્રો."
- જ્યારે તમે ગણિતશાસ્ત્રીઓને સુંદર સૂત્રો વિશે પૂછ્યું ત્યારે તમારું લક્ષ્ય શું હતું?
- દરેક નવી સદી નવીકરણ લાવે છે વૈજ્ઞાનિક દૃષ્ટાંત. સદીની શરૂઆતમાં જ એવી લાગણી સાથે કે આપણે થ્રેશોલ્ડ પર ઊભા છીએ નવું વિજ્ઞાન, તેણીના નવી ભૂમિકાજીવનમાં માનવ સમાજ, હું ગાણિતિક પ્રતીકો પાછળના વિચારોની સુંદરતા વિશેના પ્રશ્ન સાથે ગણિતશાસ્ત્રીઓ તરફ વળ્યો, એટલે કે. ગાણિતિક સૂત્રોની સુંદરતા વિશે.
પહેલેથી જ હવે આપણે નવા વિજ્ઞાનની કેટલીક વિશેષતાઓ નોંધી શકીએ છીએ. જો વીસમી સદીના વિજ્ઞાનમાં ખૂબ જ છે મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકાભૌતિકશાસ્ત્ર સાથે ગણિતની "મિત્રતા" દ્વારા ભજવવામાં આવે છે, હવે ગણિત જીવવિજ્ઞાન, જીનેટિક્સ, સમાજશાસ્ત્ર, અર્થશાસ્ત્ર સાથે અસરકારક રીતે સહકાર આપે છે... પરિણામે, વિજ્ઞાન પત્રવ્યવહારની શોધ કરશે. ગાણિતિક રચના તત્વોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ વચ્ચેના પત્રવ્યવહારની શોધ કરશે વિવિધ વિસ્તારોઅને યોજનાઓ. અને જે આપણે અગાઉ દાર્શનિક નિવેદનો તરીકે વિશ્વાસ પર લીધો હતો તેની પુષ્ટિ વિજ્ઞાન દ્વારા નક્કર જ્ઞાન તરીકે કરવામાં આવશે.
આ પ્રક્રિયા વીસમી સદીમાં શરૂ થઈ હતી. આમ, કોલમોગોરોવે ગાણિતિક રીતે બતાવ્યું કે ત્યાં કોઈ તક નથી, પરંતુ ત્યાં ખૂબ જ મોટી જટિલતા છે. ખંડિત ભૂમિતિએ વિવિધતા વગેરેમાં એકતાના સિદ્ધાંતની પુષ્ટિ કરી.
- કયા સૂત્રો સૌથી સુંદર કહેવાતા હતા?
- હું તરત જ કહીશ કે સૂત્રો માટે સ્પર્ધાનું આયોજન કરવાનો કોઈ ધ્યેય નહોતો. ગણિતશાસ્ત્રીઓને લખેલા મારા પત્રમાં, મેં લખ્યું: “જે લોકો એ સમજવા માંગે છે કે વિશ્વમાં કયા કાયદાઓ ચાલે છે તેઓ વિશ્વની સંવાદિતા શોધવાનો માર્ગ અપનાવે છે. આ માર્ગ અનંત સુધી જાય છે (કારણ કે ચળવળ શાશ્વત છે), પરંતુ લોકો હજી પણ તેને અનુસરે છે, કારણ કે ... બીજા વિચાર કે વિચારને મળવાનો વિશેષ આનંદ છે. સુંદર સૂત્રો વિશેના પ્રશ્નના જવાબોમાંથી, વિશ્વની સુંદરતાના નવા પાસાને સંશ્લેષણ કરવાનું શક્ય છે. વધુમાં, આ કાર્ય ભવિષ્યના વૈજ્ઞાનિકો માટે વિશ્વની મહાન સંવાદિતા અને આ સુંદરતાને શોધવાના માર્ગ તરીકે ગણિત વિશેના વિચાર તરીકે ઉપયોગી થઈ શકે છે."
તેમ છતાં, સૂત્રોમાં સ્પષ્ટ મનપસંદ હતા: પાયથાગોરિયન સૂત્ર અને યુલર સૂત્ર.
તેમને અનુસરતા ગાણિતિક સૂત્રોના બદલે ભૌતિક સૂત્રો હતા જેણે વીસમી સદીમાં વિશ્વ વિશેની આપણી સમજ બદલી નાખી - મેક્સવેલ, શ્રોડિંગર, આઈન્સ્ટાઈન.
સૌથી સુંદર એવા સૂત્રો પણ હતા જે હજુ પણ ચર્ચાના તબક્કે છે, જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણો ભૌતિક શૂન્યાવકાશ. અન્ય સુંદર ગાણિતિક સૂત્રોનો પણ ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો હતો.
- તમે શા માટે વિચારો છો, બીજા અને ત્રીજા સહસ્ત્રાબ્દીના વળાંક પર, પાયથાગોરિયન સૂત્રને સૌથી સુંદર નામ આપવામાં આવ્યું હતું?
- પાયથાગોરસના સમયમાં, આ સૂત્રને સિદ્ધાંતની અભિવ્યક્તિ તરીકે માનવામાં આવતું હતું કોસ્મિક ઉત્ક્રાંતિ: બે વિરોધી સિદ્ધાંતો (ઓર્થોગોનલી સ્પર્શતા બે ચોરસ) તેમના સરવાળાની બરાબર ત્રીજો જનરેટ કરે છે. ભૌમિતિક રીતે ખૂબ જ સુંદર અર્થઘટન આપી શકાય છે.
કદાચ કોઈ પ્રકારનું અર્ધજાગ્રત છે આનુવંશિક મેમરીતે સમય વિશે જ્યારે "ગણિત" ની વિભાવનાનો અર્થ "વિજ્ઞાન" હતો, અને અંકગણિત, પેઇન્ટિંગ, સંગીત અને ફિલસૂફીનો સંશ્લેષણમાં અભ્યાસ કરવામાં આવતો હતો.
રાફેલ ખસ્મિન્સ્કીએ તેના પત્રમાં લખ્યું હતું કે શાળામાં તે પાયથાગોરિયન સૂત્રની સુંદરતાથી આશ્ચર્યચકિત થઈ ગયો હતો, અને આનાથી ગણિતશાસ્ત્રી તરીકે તેનું ભાગ્ય મોટે ભાગે નક્કી થયું હતું.
- યુલરના સૂત્ર વિશે તમે શું કહી શકો?
- કેટલાક ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એ હકીકત તરફ ધ્યાન દોર્યું કે તેમાં "દરેક જણ એકઠા થયા", એટલે કે. બધા સૌથી અદ્ભુત ગાણિતિક સંખ્યાઓ, અને એક અનંતથી ભરપૂર છે! - આનો ઊંડો ફિલોસોફિકલ અર્થ છે.
કોઈ આશ્ચર્ય નથી કે યુલરે આ સૂત્ર શોધ્યું. મહાન ગણિતશાસ્ત્રીવિજ્ઞાનમાં સૌંદર્યનો પરિચય કરાવવા માટે ઘણું કર્યું, તેણે ગણિતમાં "સૌંદર્યની ડિગ્રી" નો ખ્યાલ પણ રજૂ કર્યો. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તેમણે આ ખ્યાલને સંગીત સિદ્ધાંતમાં રજૂ કર્યો, જેને તેઓ ગણિતનો ભાગ માનતા હતા.
યુલર માનતા હતા કે સૌંદર્યલક્ષી સંવેદના વિકસાવી શકાય છે અને આ લાગણી વૈજ્ઞાનિક માટે જરૂરી છે.
હું સત્તાવાળાઓનો સંદર્ભ લઈશ... ગ્રોથેન્ડિક: "ગણિતમાં કોઈ ચોક્કસ વસ્તુને સમજવી એ તેની સુંદરતા અનુભવવી શક્ય તેટલી સંપૂર્ણ છે."
પોઈનકેરે: "ગણિતમાં લાગણી છે." તેણે ગણિતમાં સૌંદર્યલક્ષી અનુભૂતિની તુલના ફિલ્ટર સાથે કરી, જે, ઘણા સંભવિત ઉકેલોમાંથી, સૌથી સુમેળભર્યા એકને પસંદ કરે છે, જે, નિયમ તરીકે, સાચો છે. સૌંદર્ય અને સંવાદિતા સમાનાર્થી છે, અને સંવાદિતાનું સર્વોચ્ચ અભિવ્યક્તિ એ સંતુલનનો વિશ્વ કાયદો છે. ગણિત આ કાયદાનો અભ્યાસ કરે છે વિવિધ યોજનાઓહોવા અને માં વિવિધ પાસાઓ. એવું નથી કે દરેક ગાણિતિક સૂત્રમાં સમાન ચિહ્ન હોય છે.
મને લાગે છે કે સર્વોચ્ચ માનવ સંવાદિતા એ વિચાર અને લાગણીની સુમેળ છે. કદાચ તેથી જ આઈન્સ્ટાઈને કહ્યું કે લેખક દોસ્તોવસ્કીએ તેમને ગણિતશાસ્ત્રી ગૌસ કરતાં વધુ આપ્યું છે.
મેં ગણિતમાં સૌંદર્ય પરના મારા કાર્ય માટે એપિગ્રાફ તરીકે દોસ્તોવ્સ્કીનું સૂત્ર “બ્યુટી વીલ સેવ ધ વર્લ્ડ” લીધું. અને તેની ચર્ચા પણ ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા કરવામાં આવી હતી.
- અને તેઓ આ નિવેદન સાથે સંમત થયા?
- ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ન તો આ નિવેદનની પુષ્ટિ કરી કે ન તો રદિયો આપ્યો. તેઓએ તેને સ્પષ્ટ કર્યું: "સૌંદર્યની જાગૃતિ વિશ્વને બચાવશે." અહીં મને તરત જ ક્વોન્ટમ માપનમાં ચેતનાની ભૂમિકા પર યુજેન વિગ્નરનું કાર્ય યાદ આવ્યું, જે લગભગ પચાસ વર્ષ પહેલાં તેમના દ્વારા લખાયેલું હતું. આ કાર્યમાં, વિગ્નરે તે બતાવ્યું માનવ ચેતનાપર્યાવરણને પ્રભાવિત કરે છે, એટલે કે, આપણે માત્ર બહારથી જ માહિતી મેળવતા નથી, પરંતુ પ્રતિભાવમાં આપણા વિચારો અને લાગણીઓ પણ મોકલીએ છીએ. આ કાર્ય હજી પણ સુસંગત છે અને તેના સમર્થકો અને વિરોધીઓ બંને છે. હું ખરેખર આશા રાખું છું કે 21મી સદીમાં વિજ્ઞાન સાબિત કરશે: સૌંદર્ય પ્રત્યેની જાગૃતિ આપણા વિશ્વના સુમેળમાં ફાળો આપે છે.

1. યુલરનું સૂત્ર. ઘણા લોકોએ આ સૂત્રમાં તમામ ગણિતની એકતાનું પ્રતીક જોયું, કારણ કે તેમાં "-1 અંકગણિત, i - બીજગણિત, π - ભૂમિતિ અને e - વિશ્લેષણ રજૂ કરે છે."

2. આ સરળ સમાનતા દર્શાવે છે કે મૂલ્ય 0.999 (અને તેથી જાહેરાત અનંત) એકની સમકક્ષ છે. ઘણા લોકો માનતા નથી કે આ સાચું હોઈ શકે છે, જો કે મર્યાદા સિદ્ધાંત પર આધારિત કેટલાક પુરાવા છે. જો કે, સમાનતા અનંતતાનો સિદ્ધાંત દર્શાવે છે.


3. આ સમીકરણ એક નવીનતાના ભાગરૂપે આઈન્સ્ટાઈન દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું સામાન્ય સિદ્ધાંત 1915 માં સાપેક્ષતા. આ સમીકરણની જમણી બાજુ આપણા બ્રહ્માંડમાં રહેલી ઊર્જાનું વર્ણન કરે છે ("શ્યામ ઊર્જા" સહિત). ડાબી બાજુઅવકાશ-સમયની ભૂમિતિનું વર્ણન કરે છે. સમાનતા એ હકીકતને પ્રતિબિંબિત કરે છે કે આઈન્સ્ટાઈનના સાપેક્ષતાના સામાન્ય સિદ્ધાંતમાં, સમૂહ અને ઊર્જા ભૂમિતિ નક્કી કરે છે, અને તે જ સમયે વક્રતા, જે ગુરુત્વાકર્ષણનું અભિવ્યક્તિ છે. આઈન્સ્ટાઈને કહ્યું ડાબી બાજુસાપેક્ષતાના સામાન્ય સિદ્ધાંતમાં ગુરુત્વાકર્ષણના સમીકરણો, જેમાં ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શામેલ છે, સુંદર અને જાણે આરસમાંથી કોતરવામાં આવે છે, જ્યારે સમીકરણોની જમણી બાજુ, જે પદાર્થનું વર્ણન કરે છે, તે હજી પણ કદરૂપું છે, જાણે કે સામાન્ય લાકડામાંથી બનેલું હોય.


4. ભૌતિકશાસ્ત્રનો બીજો પ્રભાવશાળી સિદ્ધાંત, સ્ટાન્ડર્ડ મોડલ, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક, નબળા અને મજબૂત ક્રિયાપ્રતિક્રિયાદરેક વ્યક્તિ પ્રાથમિક કણો. કેટલાક ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ માને છે કે તે બ્રહ્માંડમાં થતી તમામ પ્રક્રિયાઓને પ્રતિબિંબિત કરે છે, સિવાય કે શ્યામ પદાર્થ, શ્યામ ઊર્જાઅને તેમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો સમાવેશ થતો નથી. IN માનક મોડલહિગ્સ બોસોન, ગયા વર્ષ સુધી પ્રપંચી, પણ તેમાં બંધબેસે છે, જો કે તમામ નિષ્ણાતો તેના અસ્તિત્વની ખાતરી નથી.


5. પાયથાગોરિયન પ્રમેય એ યુક્લિડિયન ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રમેયમાંનું એક છે, જે બાજુઓ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરે છે. જમણો ત્રિકોણ. અમે તેને શાળામાંથી યાદ કરીએ છીએ અને માનીએ છીએ કે પ્રમેયના લેખક પાયથાગોરસ છે. વાસ્તવમાં, આ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ પાછલા સમયમાં કરવામાં આવ્યો હતો પ્રાચીન ઇજિપ્તપિરામિડના નિર્માણ દરમિયાન.


6. યુલરનું પ્રમેય. આ પ્રમેય ગણિતની નવી શાખા - ટોપોલોજીનો પાયો નાખ્યો. સમીકરણ પોલીહેડ્રા માટે શિરોબિંદુઓ, કિનારીઓ અને ચહેરાઓની સંખ્યા વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરે છે જે ટોપોલોજીકલ રીતે ગોળાની સમકક્ષ હોય છે.


7. વિશેષ સિદ્ધાંતસાપેક્ષતા ગતિનું વર્ણન કરે છે, મિકેનિક્સના નિયમો અને અવકાશ-સમય સંબંધો શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ગતિ કરતાં ઓછી ગતિની મનસ્વી ગતિએ છે, જેમાં પ્રકાશની ગતિની નજીકનો સમાવેશ થાય છે. આઈન્સ્ટાઈને એક સૂત્ર બનાવ્યું જે વર્ણવે છે કે સમય અને અવકાશ નથી સંપૂર્ણ ખ્યાલો, પરંતુ નિરીક્ષકની ગતિના આધારે સંબંધિત છે. સમીકરણ બતાવે છે કે વ્યક્તિ કેવી રીતે અને ક્યાં આગળ વધે છે તેના આધારે સમય કેવી રીતે વિસ્તરે છે અથવા ધીમો પડે છે.


8. સમીકરણ 1750 ના દાયકામાં યુલર અને લેગ્રેન્જ દ્વારા આઇસોક્રોન સમસ્યા હલ કરતી વખતે બનાવવામાં આવ્યું હતું. આ વળાંક નક્કી કરવાની સમસ્યા છે જે ભારે કણને નિશ્ચિત સમયે નિશ્ચિત બિંદુ સુધી લઈ જાય છે, પછી ભલેને પ્રારંભિક બિંદુ. IN સામાન્ય શબ્દોમાં, જો તમારી સિસ્ટમમાં સમપ્રમાણતા હોય, તો સપ્રમાણતાના સંરક્ષણનો અનુરૂપ કાયદો છે.


9. કેલાન-સિમેન્ઝિક સમીકરણ. તે રજૂ કરે છે વિભેદક સમીકરણ, ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરે છે n-સંબંધ કાર્યજ્યારે ઉર્જા સ્કેલ બદલાય છે કે જેના પર સિદ્ધાંત વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તેમાં સિદ્ધાંતના બીટા કાર્યો અને વિસંગત પરિમાણોનો સમાવેશ થાય છે. આ સમીકરણ ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્રને વધુ સારી રીતે સમજવામાં મદદ કરે છે.


10. લઘુત્તમ સપાટી સમીકરણ. આ સમાનતા સાબુના પરપોટાની રચનાને સમજાવે છે.


11. યુલરની સીધી રેખા. યુલરનું પ્રમેય 1765માં સાબિત થયું હતું. તેણે શોધ્યું કે ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ અને તેની ઊંચાઈના પાયા સમાન વર્તુળ પર આવેલા છે.


12. 1928માં P.A.M. ડીરાકે શ્રોડિન્જર સમીકરણનું પોતાનું સંસ્કરણ પ્રસ્તાવિત કર્યું - જે એ. આઈન્સ્ટાઈનના સિદ્ધાંતને અનુરૂપ હતું. વૈજ્ઞાનિક વિશ્વ આઘાત પામ્યું - ડિરાકે સ્પિનર્સ તરીકે ઓળખાતા ઉચ્ચ ગાણિતિક પદાર્થોના શુદ્ધ ગાણિતિક મેનિપ્યુલેશન્સ દ્વારા ઇલેક્ટ્રોન માટેના તેમના સમીકરણની શોધ કરી. અને તે એક સનસનાટીભર્યું હતું - અત્યાર સુધી, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં તમામ મહાન શોધો પ્રાયોગિક ડેટાના નક્કર આધાર પર ઊભી હોવી જોઈએ. પરંતુ ડીરાક માનતા હતા કે શુદ્ધ ગણિત, જો તે પર્યાપ્ત સુંદર હોય, તો નિષ્કર્ષની શુદ્ધતા માટે એક વિશ્વસનીય માપદંડ છે. "સમીકરણોની સુંદરતા પ્રાયોગિક ડેટા સાથેના તેમના કરાર કરતાં વધુ મહત્વપૂર્ણ છે. ... એવું લાગે છે કે જો તમે સમીકરણોમાં સુંદરતા હાંસલ કરવા માટે પ્રયત્ન કરો છો અને તંદુરસ્ત અંતર્જ્ઞાન ધરાવો છો, તો તમે કરશો સાચા માર્ગ પર" તે તેમની ગણતરીઓને આભારી હતો કે પોઝિટ્રોન, એક એન્ટિ-ઇલેક્ટ્રોન, શોધાયું હતું, અને તેણે ઇલેક્ટ્રોનમાં "સ્પિન" ની હાજરીની આગાહી કરી હતી - પ્રાથમિક કણનું પરિભ્રમણ.


13. જે. મેક્સવેલે અદ્ભુત સમીકરણો મેળવ્યા જે વીજળી, મેગ્નેટિઝમ અને ઓપ્ટિક્સની તમામ ઘટનાઓને એક કરે છે. નોંધપાત્ર જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી, સર્જકોમાંના એક આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્ર, લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેને, મેક્સવેલના સમીકરણો વિશે કહ્યું: "શું ભગવાને આ પત્રો લખ્યા નથી?"


14. શ્રોડિન્જર સમીકરણ જે આપેલ શુદ્ધ અવકાશ અને સમયના ફેરફારનું વર્ણન કરે છે તરંગ કાર્ય, હેમિલ્ટોનિયનમાં ક્વોન્ટમ સિસ્ટમ્સ. માં રમે છે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સશાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં ન્યૂટનના બીજા કાયદાના સમીકરણ તરીકે મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા.