ભૌતિક અર્થવ્યુત્પન્ન IN યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની રચનાગણિતમાં ઉકેલ માટે સમસ્યાઓના જૂથનો સમાવેશ થાય છે જેને વ્યુત્પન્નના ભૌતિક અર્થની જાણકારી અને સમજની જરૂર હોય છે. ખાસ કરીને, એવી સમસ્યાઓ છે જ્યાં ચોક્કસ બિંદુ (ઓબ્જેક્ટ) ની ગતિનો નિયમ આપવામાં આવે છે, સમીકરણ દ્વારા વ્યક્તઅને તમારે ચળવળના સમયે ચોક્કસ ક્ષણે તેની ગતિ શોધવાની જરૂર છે, અથવા તે સમય કે જેના પછી ઑબ્જેક્ટ ચોક્કસ આપેલ ગતિ પ્રાપ્ત કરશે.કાર્યો ખૂબ જ સરળ છે, તેઓ એક ક્રિયામાં ઉકેલી શકાય છે. તેથી:

ગતિનો નિયમ આપવા દો સામગ્રી બિંદુ x(t) સાથે સંકલન અક્ષ, જ્યાં x એ ગતિશીલ બિંદુનું સંકલન છે, t એ સમય છે.

સમયની ચોક્કસ ક્ષણે વેગ એ સમયના સંદર્ભમાં સંકલનનું વ્યુત્પન્ન છે. આ શું છે યાંત્રિક અર્થમાંવ્યુત્પન્ન

તેવી જ રીતે, પ્રવેગ એ સમયના સંદર્ભમાં ઝડપનું વ્યુત્પન્ન છે:

આમ, વ્યુત્પન્નનો ભૌતિક અર્થ ઝડપ છે. આ ચળવળની ઝડપ, પ્રક્રિયાના પરિવર્તનનો દર (ઉદાહરણ તરીકે, બેક્ટેરિયાનો વિકાસ), કાર્યનો દર (અને તેથી વધુ) હોઈ શકે છે. લાગુ સમસ્યાઓએક ટોળું).

વધુમાં, તમારે વ્યુત્પન્ન કોષ્ટક (તમને ગુણાકાર કોષ્ટકની જેમ જ તે જાણવાની જરૂર છે) અને તફાવતના નિયમો જાણવાની જરૂર છે. ખાસ કરીને, ઉલ્લેખિત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, પ્રથમ છ ડેરિવેટિવ્ઝનું જ્ઞાન જરૂરી છે (કોષ્ટક જુઓ):

ચાલો કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈએ:

x (t) = t 2 – 7t – 20

જ્યાં x t એ ચળવળની શરૂઆતથી માપવામાં આવેલ સેકન્ડોમાંનો સમય છે. t = 5 s સમયે તેની ઝડપ (મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં) શોધો.

વ્યુત્પન્નનો ભૌતિક અર્થ ઝડપ છે (ચળવળની ગતિ, પ્રક્રિયામાં ફેરફારનો દર, કામની ઝડપ વગેરે)

ચાલો ઝડપ પરિવર્તનનો નિયમ શોધીએ: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

t = 5 પર અમારી પાસે છે:

જવાબ: 3

તમારા માટે નક્કી કરો:

ભૌતિક બિંદુ x (t) = 6t 2 – 48t + 17, જ્યાં x- સંદર્ભ બિંદુથી મીટરમાં અંતર, t- હિલચાલની શરૂઆતથી માપવામાં આવેલ સેકંડમાં સમય. t = 9 s સમયે તેની ઝડપ (મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં) શોધો.

મટીરીયલ પોઈન્ટ નિયમ x (t) = 0.5t અનુસાર સરેક્ટલીનરી રીતે આગળ વધે છે 3 – 3t 2 + 2t, ક્યાં xt- હિલચાલની શરૂઆતથી માપવામાં આવેલ સેકંડમાં સમય. t = 6 s સમયે તેની ઝડપ (મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં) શોધો.

મટીરીયલ પોઈન્ટ કાયદા અનુસાર રેક્ટીલીનરી રીતે આગળ વધે છે

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

જ્યાં x- સંદર્ભ બિંદુથી મીટરમાં અંતર,t- હિલચાલની શરૂઆતથી માપવામાં આવેલ સેકંડમાં સમય. t = 3 s સમયે તેની ઝડપ (મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં) શોધો.

મટીરીયલ પોઈન્ટ કાયદા અનુસાર રેક્ટીલીનરી રીતે આગળ વધે છે

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

જ્યાં x એ સંદર્ભ બિંદુથી મીટરમાં અંતર છે, t એ સેકન્ડમાં સમય છે, જે ચળવળની શરૂઆતથી માપવામાં આવે છે. કયા સમયે (સેકન્ડમાં) તેની ઝડપ 6 m/s જેટલી હતી?

ચાલો ઝડપ પરિવર્તનનો નિયમ શોધીએ:

સમય કયા બિંદુએ શોધવા માટેtઝડપ 3 m/s હતી, તે સમીકરણ ઉકેલવા માટે જરૂરી છે:

જવાબ: 3

તમારા માટે નક્કી કરો:

ભૌતિક બિંદુ x (t) = t 2 – 13t + 23, જ્યાં x- સંદર્ભ બિંદુથી મીટરમાં અંતર, t- હિલચાલની શરૂઆતથી માપવામાં આવેલ સેકંડમાં સમય. કયા સમયે (સેકન્ડમાં) તેની ઝડપ 3 m/s જેટલી હતી?

મટીરીયલ પોઈન્ટ કાયદા અનુસાર રેક્ટીલીનરી રીતે આગળ વધે છે

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

જ્યાં x- સંદર્ભ બિંદુથી મીટરમાં અંતર, t- હિલચાલની શરૂઆતથી માપવામાં આવેલ સેકંડમાં સમય. કયા સમયે (સેકંડમાં) તેની ઝડપ 2 m/s જેટલી હતી?

હું એ નોંધવા માંગુ છું કે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર તમારે ફક્ત આ પ્રકારના કાર્યો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું જોઈએ નહીં. તેઓ સંપૂર્ણપણે અણધારી રીતે સમસ્યાઓ રજૂ કરી શકે છે જે રજૂ કરેલા લોકોથી વિપરીત છે. જ્યારે ગતિ પરિવર્તનનો નિયમ આપવામાં આવે છે અને પ્રશ્ન ગતિનો નિયમ શોધવાનો હશે.

સંકેત: આ કિસ્સામાં, તમારે સ્પીડ ફંક્શનનો અભિન્ન ભાગ શોધવાની જરૂર છે (આ પણ એક-પગલાંનું કાર્ય છે). જો તમારે સમયના ચોક્કસ બિંદુએ મુસાફરી કરેલ અંતર શોધવાની જરૂર હોય, તો તમારે પરિણામી સમીકરણમાં સમય બદલવાની અને અંતરની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. જો કે, અમે આવી સમસ્યાઓનું પણ વિશ્લેષણ કરીશું, તેને ચૂકશો નહીં!હું તમને સફળતાની ઇચ્છા કરું છું!

આપની, એલેક્ઝાન્ડર ક્રુતિત્સ્કીખ.

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.

પોઈન્ટ કાયદા અનુસાર સરખી રીતે આગળ વધે છે S = t 4 +2t (S -મીટરમાં, ટી-સેકન્ડમાં). ક્ષણો વચ્ચેના અંતરાલમાં તેની સરેરાશ પ્રવેગક શોધો t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, તેમજ આ ક્ષણે તેનું સાચું પ્રવેગક t 3 = 6 સે.

ઉકેલ.

1. સમયના સંદર્ભમાં પાથ S ના વ્યુત્પન્ન તરીકે બિંદુની ગતિ શોધો ટી,તે

2. t ને બદલે તેના મૂલ્યો t 1 = 5 s અને t 2 = 7 s, આપણે ઝડપ શોધીએ છીએ:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. સમય Δt = 7 - 5 =2 s માટે ઝડપ વધારો ΔV નક્કી કરો:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. આમ, બિંદુની સરેરાશ પ્રવેગક બરાબર હશે

5. નક્કી કરવા માટે સાચો અર્થબિંદુના પ્રવેગક, આપણે સમયના સંદર્ભમાં ઝડપનું વ્યુત્પન્ન કરીએ છીએ:

6. તેના બદલે અવેજી tમૂલ્ય t 3 = 6 s, આ સમયે આપણને પ્રવેગ મળે છે

a av = 12-6 3 = 432 m/s 2 .

વક્રીય ચળવળ.મુ વક્રીય ચળવળબિંદુની ગતિ તીવ્રતા અને દિશામાં બદલાય છે.

ચાલો એક બિંદુની કલ્પના કરીએ એમ,જે સમય Δt દરમિયાન, કેટલાક સાથે આગળ વધે છે વક્રીય માર્ગ, સ્થિતિ પર ખસેડવામાં આવી છે એમ 1(ફિગ. 6).

વેગ વધારો (ફેરફાર) વેક્ટર ΔV કરશે

માટે વેક્ટર ΔV શોધવા માટે, વેક્ટર V 1 ને બિંદુ પર ખસેડો એમઅને વેગ ત્રિકોણ બનાવો. ચાલો સરેરાશ પ્રવેગકનું વેક્ટર નક્કી કરીએ:

વેક્ટર એક બુધવેક્ટર ΔV ની સમાંતર છે, કારણ કે વેક્ટરને વડે વિભાજિત કરે છે સ્કેલર જથ્થોવેક્ટરની દિશા બદલાતી નથી. સાચું પ્રવેગક વેક્ટર એ મર્યાદા છે કે જેના પર વેગ વેક્ટરનો અનુરૂપ સમય અંતરાલ Δt નો ગુણોત્તર શૂન્ય તરફ વળે છે, એટલે કે.

આ મર્યાદાને વેક્ટર ડેરિવેટિવ કહેવામાં આવે છે.

આમ, વક્રીય ગતિ દરમિયાન બિંદુની સાચી પ્રવેગ ગતિના સંદર્ભમાં વેક્ટર વ્યુત્પન્ન સમાન છે.

ફિગમાંથી. 6 તે સ્પષ્ટ છે કે વક્રીય ગતિ દરમિયાન પ્રવેગક વેક્ટર હંમેશા બોલના અંતર્મુખ તરફ નિર્દેશિત થાય છે.

ગણતરીની સગવડ માટે, ગતિના માર્ગમાં પ્રવેગકને બે ઘટકોમાં વિઘટિત કરવામાં આવે છે: સ્પર્શક સાથે, જેને સ્પર્શક (સ્પર્શક) પ્રવેગક કહેવાય છે. એ, અને સામાન્ય સાથે, સામાન્ય પ્રવેગક a n (ફિગ. 7) કહેવાય છે.

આ કિસ્સામાં, કુલ પ્રવેગક સમાન હશે

સ્પર્શેન્દ્રિય પ્રવેગ બિંદુની ગતિ સાથે દિશામાં એકરુપ છે અથવા તેની વિરુદ્ધ છે. તે ગતિમાં ફેરફારને દર્શાવે છે અને તે મુજબ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

સામાન્ય પ્રવેગ બિંદુના વેગની દિશામાં લંબ છે, અને સંખ્યાત્મક મૂલ્યતે સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે

જ્યાં આર - વિચારણા હેઠળના બિંદુ પર બોલની વક્રતાની ત્રિજ્યા.

સ્પર્શક અને સામાન્ય પ્રવેગક પરસ્પર લંબ હોવાથી, તેથી મૂલ્ય સંપૂર્ણ પ્રવેગકસૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

અને તેની દિશા

જો , પછી સ્પર્શક પ્રવેગક અને વેગ વેક્ટરને એક દિશામાં નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે અને ચળવળને વેગ આપવામાં આવશે.

જો , પછી સ્પર્શક પ્રવેગક વેક્ટર વેગ વેક્ટરની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે, અને હલનચલન ધીમી હશે.

સામાન્ય પ્રવેગક વેક્ટર હંમેશા વક્રતાના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત થાય છે, તેથી જ તેને કેન્દ્રબિંદુ કહેવામાં આવે છે.

- શિક્ષક ડુમ્બાડ્ઝ વી.એ.
સેન્ટ પીટર્સબર્ગના કિરોવ જિલ્લાની શાળા 162માંથી.

અમારું VKontakte જૂથ
મોબાઇલ એપ્લિકેશન્સ:

(જ્યાં x t- હિલચાલની શરૂઆતથી માપવામાં આવેલ સેકંડમાં સમય). સમયની ક્ષણે તેની ઝડપ (m/s માં) શોધો t= 9 સે.

મુ t= 9 અમારી પાસે છે:

શા માટે આપણે મૂળ સમીકરણમાંથી નંબર 17 છોડી રહ્યા છીએ?

મૂળ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો.

ડેરિવેટિવમાં કોઈ નંબર 17 નથી

શા માટે વ્યુત્પન્ન શોધો?

વેગ એ સમયના સંદર્ભમાં સંકલનનું વ્યુત્પન્ન છે.

સમસ્યા તમને ઝડપ શોધવાનું કહે છે

x- સંદર્ભ બિંદુથી મીટરમાં અંતર, t- હિલચાલની શરૂઆતથી માપવામાં આવેલ સેકંડમાં સમય). સમયની ક્ષણે તેની ઝડપ (m/s) માં શોધો t= 6 સે.

ચાલો ઝડપ પરિવર્તનનો નિયમ શોધીએ:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, 20 નહીં

પ્રક્રિયા યાદ રાખો

બાદબાકી કરતાં સરવાળા ક્યારે પ્રાધાન્યક્ષમ છે?

સરવાળો અને બાદબાકી કરતાં ગુણાકાર અગ્રતા લે છે. બાળકોની યાદ રાખો શાળા ઉદાહરણ: 2 + 2 · 2. હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે અહીં તે 8 નહીં, જેમ કે કેટલાક લોકો વિચારે છે, પરંતુ 6 છે.

તમે મહેમાનનો જવાબ સમજી શક્યા નહીં.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

તેથી બધું બરાબર છે, તમારા માટે ગણિત કરો.

2) ગુણાકાર/ભાગાકાર (સમીકરણના ક્રમ પર આધાર રાખે છે; જે પહેલા આવે છે તે પહેલા ઉકેલાય છે);

3) સરવાળો/બાદબાકી (તે જ રીતે ઉદાહરણમાંના ક્રમ પર આધાર રાખે છે).

ગુણાકાર = ભાગાકાર, સરવાળો = બાદબાકી =>

54 નહીં - (36+2), પરંતુ 54-36+2 = 54+2-36 = 20

પ્રથમ, તમારા માટે - સેરગેઈ બટકોવિચ. બીજું, તમે સમજી ગયા કે તમે શું કહેવા માગો છો અને કોને કહેવા માગો છો? હું તમને સમજ્યો નહિ.

મટીરીયલ પોઈન્ટ કાયદા અનુસાર સરેક્ટલીનરી રીતે ફરે છે (જ્યાં x એ સંદર્ભ બિંદુથી મીટરમાં અંતર છે, t એ ચળવળની શરૂઆતથી માપવામાં આવેલ સેકન્ડોમાંનો સમય છે). s સમયે તેની ઝડપ (m/s) માં શોધો.

ચાલો ઝડપ પરિવર્તનનો નિયમ શોધીએ: m/s. જ્યારે અમારી પાસે હોય:

વિષય પરનો પાઠ: "ભેદના નિયમો", 11 મા ધોરણ

વિભાગો:ગણિત

પાઠનો પ્રકાર: જ્ઞાનનું સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણ.

પાઠ હેતુઓ:

શૈક્ષણિક:
- વ્યુત્પન્ન શોધવાના વિષય પર સામગ્રીનું સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણ;
- ભિન્નતાના નિયમોને એકીકૃત કરો;
- વિદ્યાર્થીઓ માટે પોલિટેકનિક ખોલો, લાગુ મૂલ્યવિષયો;
વિકાસશીલ:
- જ્ઞાન અને કૌશલ્યોના સંપાદન પર વ્યાયામ નિયંત્રણ;
- બદલાયેલી પરિસ્થિતિમાં જ્ઞાન લાગુ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવા અને સુધારવા;
- ભાષણની સંસ્કૃતિ અને તારણો કાઢવાની અને સામાન્યીકરણ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો;
શૈક્ષણિક:
- જ્ઞાનાત્મક પ્રક્રિયાનો વિકાસ કરો;
- વિદ્યાર્થીઓમાં ડિઝાઇન અને નિશ્ચયમાં ચોકસાઈ કેળવવી.

સાધન:

ઓવરહેડ પ્રોજેક્ટર, સ્ક્રીન;
કાર્ડ્સ;
કમ્પ્યુટર્સ;
ટેબલ
મલ્ટીમીડિયા પ્રસ્તુતિઓના રૂપમાં અલગ-અલગ કાર્યો.

I. હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે.

1. ડેરિવેટિવ્ઝના ઉપયોગના ઉદાહરણો પર વિદ્યાર્થી અહેવાલો સાંભળો.

2. વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા પ્રસ્તાવિત ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, એન્જિનિયરિંગ અને અન્ય ક્ષેત્રોમાં ડેરિવેટિવ્ઝના ઉપયોગના ઉદાહરણોનો વિચાર કરો.

II. જ્ઞાન અપડેટ કરવું.

શિક્ષક:

ફંક્શનના વ્યુત્પન્નને વ્યાખ્યાયિત કરો.
કયા ઓપરેશનને ડિફરન્સિએશન કહેવામાં આવે છે?
વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરતી વખતે કયા ભિન્નતા નિયમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે? (વોન્ટેડ વિદ્યાર્થીઓને બોર્ડમાં આવવા આમંત્રણ છે).
- રકમનું વ્યુત્પન્ન;
- કાર્યનું વ્યુત્પન્ન;
- સતત પરિબળ ધરાવતું વ્યુત્પન્ન;
- અવશેષનું વ્યુત્પન્ન;
- જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન;
લાગુ પડતી સમસ્યાઓના ઉદાહરણો આપો જે વ્યુત્પન્નની વિભાવના તરફ દોરી જાય છે.

થી ચોક્કસ સમસ્યાઓ સંખ્યાબંધ વિવિધ વિસ્તારોવિજ્ઞાન

કાર્ય નંબર 1.શરીર કાયદા x(t) અનુસાર સીધી રેખામાં ફરે છે. t સમયે શરીરની ગતિ અને પ્રવેગક શોધવા માટેનું સૂત્ર લખો.

કાર્ય નંબર 2.વર્તુળ R ની ત્રિજ્યા R = 4 + 2t 2 ના કાયદા અનુસાર બદલાય છે. તેનો વિસ્તાર જે દરે બદલાય છે તે નક્કી કરો વીક્ષણ t = 2 સે. વર્તુળની ત્રિજ્યા સેન્ટીમીટરમાં માપવામાં આવે છે. જવાબ: 603 cm 2 /s.

કાર્ય નંબર 3. 5 કિગ્રા વજન ધરાવતો મટીરીયલ પોઈન્ટ કાયદા અનુસાર સરેક્ટલીનરી રીતે આગળ વધે છે

S(t) = 2t+ , ક્યાં એસ- મીટરમાં અંતર, t- સેકંડમાં સમય. આ ક્ષણે બિંદુ પર કાર્ય કરતું બળ શોધો t = 4 સે.

જવાબ:એન.

કાર્ય નંબર 4.બ્રેક દ્વારા પકડાયેલ ફ્લાયવ્હીલ પાછળ વળે છે ટી એસ 3t - 0.1t 2 (રેડ) ના ખૂણા પર. શોધો:

a) ક્ષણ t પર ફ્લાયવ્હીલના પરિભ્રમણની કોણીય ગતિ = 7 સાથે;
b) ફ્લાયવ્હીલ કયા સમયે બંધ થશે.

જવાબ:એ) 2.86; b) 150 સે.

ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણોમાં શોધવાની સમસ્યાઓનો પણ સમાવેશ થઈ શકે છે: ચોક્કસ ગરમી ક્ષમતાઆપેલ શરીરનો પદાર્થ, રેખીય ઘનતા અને શરીરની ગતિ ઊર્જા, વગેરે.

III. અલગ-અલગ કાર્યો કરવા.

જેઓ લેવલ “A” કાર્યો પૂર્ણ કરવા માગે છે તેઓ કોમ્પ્યુટર પર બેસીને પ્રોગ્રામ કરેલા જવાબ સાથે ટેસ્ટ પૂર્ણ કરે છે. ( અરજી. )

1. બિંદુ x 0 = 3 પર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.

2. x 0 = 1 બિંદુ પર ફંક્શન y = xe xના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.

1) 2e;
2) ઇ;
3) 1 + e;
4) 2 + ઇ.

3. સમીકરણ f / (x) = 0 જો f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1) ઉકેલો.

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. ગણતરી કરો f/(1) જો f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. t0 = 1 બિંદુ પર f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.

6. બિંદુ નિયમ પ્રમાણે સરેક્ટલીનરી રીતે આગળ વધે છે: S(t) = t 3 – 3t 2. એક સૂત્ર પસંદ કરો જે t સમયે આ બિંદુની ગતિની ગતિને સ્પષ્ટ કરે છે.

1) t 2 - 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 - 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

ભૌતિકશાસ્ત્ર, ટેકનોલોજી, જીવવિજ્ઞાન, જીવનમાં ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ

પાઠ માટે પ્રસ્તુતિ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો માત્ર માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ વિશેષતાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકશે નહીં. જો તને દિલચસ્પી હોય તો આ કામ, કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

પાઠનો પ્રકાર:સંકલિત.

પાઠનો હેતુ:ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં ડેરિવેટિવ્ઝના ઉપયોગના કેટલાક પાસાઓનો અભ્યાસ કરો.

કાર્યો:વ્યક્તિની ક્ષિતિજને વિસ્તૃત કરવી અને જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિવિદ્યાર્થીઓ, વિકાસ તાર્કિક વિચારસરણીઅને તેમના જ્ઞાનને લાગુ કરવાની ક્ષમતા.

ટેકનિકલ સપોર્ટ: ઇન્ટરેક્ટિવ બોર્ડ; કમ્પ્યુટર અને ડિસ્ક.

I. સંસ્થાકીય ક્ષણ

II. પાઠનો ધ્યેય સેટ કરવો

- હું એલેક્સી નિકોલાવિચ ક્રાયલોવના સૂત્ર હેઠળ પાઠ ચલાવવા માંગુ છું સોવિયત ગણિતશાસ્ત્રીઅને શિપબિલ્ડર: "અભ્યાસ વિના સિદ્ધાંત મૃત અથવા નકામું છે, સિદ્ધાંત વિના અભ્યાસ અશક્ય અથવા વિનાશક છે."

- ચાલો મૂળભૂત ખ્યાલોની સમીક્ષા કરીએ અને પ્રશ્નોના જવાબ આપીએ:

– મને વ્યુત્પન્નની મૂળભૂત વ્યાખ્યા જણાવો?
– તમે વ્યુત્પન્ન (ગુણધર્મો, પ્રમેય) વિશે શું જાણો છો?
– શું તમે ભૌતિકશાસ્ત્ર, ગણિત અને જીવવિજ્ઞાનમાં ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓના કોઈ ઉદાહરણો જાણો છો?

વ્યુત્પન્નની મૂળભૂત વ્યાખ્યા અને તેના તર્કની વિચારણા (પ્રથમ પ્રશ્નનો જવાબ):

વ્યુત્પન્ન - માનૂ એક મૂળભૂત ખ્યાલોગણિત. ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરવાની ક્ષમતા જરૂરી છે સારું જ્ઞાન સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી, વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં સંશોધન કરવાની ક્ષમતા.

તેથી, આજે પાઠમાં આપણે મેળવેલા જ્ઞાનને એકીકૃત અને વ્યવસ્થિત બનાવીશું, દરેક જૂથના કાર્યને ધ્યાનમાં લઈશું અને તેનું મૂલ્યાંકન કરીશું અને કેટલીક સમસ્યાઓના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, અમે ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને અન્ય સમસ્યાઓ કેવી રીતે હલ કરવી તે બતાવીશું. બિન-માનક કાર્યોડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને.

III. નવી સામગ્રીની સમજૂતી

1. ત્વરિત શક્તિ એ સમયના સંદર્ભમાં કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે:

W = lim ΔA/Δt ΔA –નોકરીમાં ફેરફાર.

2. જો કોઈ શરીર ધરીની આસપાસ ફરે છે, તો પરિભ્રમણનો કોણ એ સમયનું કાર્ય છે t
પછી કોણીય વેગસમાન છે:

W = લિમ Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. વર્તમાન તાકાત વ્યુત્પન્ન છે Ι = લિમ Δg/Δt = g′,જ્યાં g- સમય દરમિયાન કંડક્ટરના ક્રોસ-સેક્શન દ્વારા સકારાત્મક ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ ટ્રાન્સફર થાય છે Δt.

4. ચાલો ΔQ- તાપમાનમાં ફેરફાર કરવા માટે જરૂરી ગરમીની માત્રા Δtસમય, પછી લિમ ΔQ/Δt = Q′ = C –ચોક્કસ ગરમી.

5. રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાના દર વિશે સમસ્યા

m(t) - m(t0) -પદાર્થની માત્રા જે સમય જતાં પ્રતિક્રિયા આપે છે t0પહેલાં t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. ચાલો હું સમૂહ બનીએ કિરણોત્સર્ગી પદાર્થ. ઝડપ કિરણોત્સર્ગી સડો: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

IN વિભિન્ન સ્વરૂપકિરણોત્સર્ગી સડોના નિયમનું સ્વરૂપ છે: dN/dt = – λN,જ્યાં એન- ન્યુક્લીની સંખ્યા કે જેનો સમય ક્ષીણ થયો નથી t.

આ અભિવ્યક્તિને એકીકૃત કરીને, અમને મળે છે: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = constખાતે t = 0સંખ્યા કિરણોત્સર્ગી મધ્યવર્તી કેન્દ્ર N = N0, અહીંથી અમારી પાસે છે: ln N0 = const,તેથી

n N = – λt + ln N0.

આ અભિવ્યક્તિને સંભવિત કરવાથી આપણને મળે છે:

– કિરણોત્સર્ગી સડોનો કાયદો, જ્યાં N0- એક સમયે કોરોની સંખ્યા t0 = 0, એન- ન્યુક્લીની સંખ્યા જે સમય દરમિયાન ક્ષીણ થઈ નથી t.

7. ન્યૂટનના હીટ ટ્રાન્સફર સમીકરણ અનુસાર, ગરમીનો પ્રવાહ દર dQ/dtવિન્ડો વિસ્તાર S અને આંતરિક અને બાહ્ય કાચ વચ્ચે તાપમાન તફાવત ΔT અને તેની જાડાઈ d માટે વિપરીત પ્રમાણસર છે:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. પ્રસરણની ઘટના એ સંતુલન વિતરણ સ્થાપિત કરવાની પ્રક્રિયા છે.

એકાગ્રતાના તબક્કામાં. પ્રસરણ બાજુ પર જાય છે, સાંદ્રતાને સમતળ કરે છે.

m = D Δc/Δx c -એકાગ્રતા
m = D c׳x x -સંકલન, ડી -પ્રસરણ ગુણાંક

9. તે જાણીતું હતું કે ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર ક્યાં તો ઉત્તેજિત કરે છે ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ, અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર કે જેમાં એક જ સ્ત્રોત છે - ઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ. જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલે તેમની પહેલાં શોધાયેલ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમના નિયમોમાં એક સુધારો રજૂ કર્યો: જ્યારે ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર બદલાય ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ ઉદ્ભવે છે. દેખીતી રીતે નાના સુધારાના પ્રચંડ પરિણામો હતા: સંપૂર્ણપણે નવું ભૌતિક પદાર્થ – ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગ. મેક્સવેલ કુશળતાપૂર્વક, ફેરાડેથી વિપરીત, જેમણે વિચાર્યું કે તેનું અસ્તિત્વ શક્ય છે, તેણે ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર માટે સમીકરણ મેળવ્યું:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડમાં ફેરફાર દેખાવનું કારણ બને છે ચુંબકીય ક્ષેત્રઅવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રના પરિવર્તનનો દર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા નક્કી કરે છે. મોટા હેઠળ ઇલેક્ટ્રિક આંચકો- વધુ ચુંબકીય ક્ષેત્ર.

IV. જે શીખ્યા છે તેનું એકીકરણ

- તમે અને મેં વ્યુત્પન્ન અને તેના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો. હું વાંચવા માંગુ છું ફિલોસોફિકલ નિવેદનગિલ્બર્ટ: “દરેક વ્યક્તિનો ચોક્કસ દૃષ્ટિકોણ હોય છે. જ્યારે આ ક્ષિતિજ અનંત સુધી સાંકડી થાય છે, ત્યારે તે બિંદુમાં ફેરવાય છે. પછી તે વ્યક્તિ કહે છે કે આ તેનો દૃષ્ટિકોણ છે.
ચાલો ડેરિવેટિવની અરજી પર દૃષ્ટિકોણને માપવાનો પ્રયાસ કરીએ!

"પાંદડા" નો પ્લોટ(જીવવિજ્ઞાન, ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવનમાં વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ)

તરીકે પતન ધ્યાનમાં અસમાન ચળવળસમય આધારિત.

તેથી: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(સૈદ્ધાંતિક સર્વેક્ષણ: વ્યુત્પન્નનો યાંત્રિક અર્થ).

1. સમસ્યા ઉકેલવાની

સમસ્યાઓ જાતે ઉકેલો.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

ચાલો પોર્ટનનો II કાયદો લખીએ, અને વ્યુત્પન્નના યાંત્રિક અર્થને ધ્યાનમાં લેતા, અમે તેને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ: F = mV′ F = mS″

"વરુ, ગોફર્સ" નું કાવતરું

ચાલો સમીકરણો પર પાછા જઈએ: ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ અને ઘટાડાના વિભેદક સમીકરણોને ધ્યાનમાં લો: F = ma F = mV’ F = mS"
ભૌતિકશાસ્ત્ર, તકનીકી જીવવિજ્ઞાન અને ઘણી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ સામાજિક વિજ્ઞાનકાર્યો શોધવાની સમસ્યામાં ઘટાડો થાય છે f"(x) = kf(x),વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે, જ્યાં k = const .

માનવ ફોર્મ્યુલા

માણસ ઘણી વખત અણુ કરતાં વધુ, તે તારા કરતા કેટલી વાર નાનો છે:

તે તેને અનુસરે છે
આ એક સૂત્ર છે જે બ્રહ્માંડમાં માણસનું સ્થાન નક્કી કરે છે. તેના અનુસાર, વ્યક્તિનું કદ તારા અને અણુની સરેરાશ પ્રમાણને દર્શાવે છે.

હું લોબાચેવ્સ્કીના શબ્દો સાથે પાઠ સમાપ્ત કરવા માંગુ છું: "ગણિતનું એક પણ ક્ષેત્ર નથી, પછી ભલે તે ગમે તેટલું અમૂર્ત હોય, તે કોઈ દિવસ વાસ્તવિક વિશ્વની ઘટનાઓને લાગુ ન પડે."

વી. સંગ્રહમાંથી સંખ્યાઓનો ઉકેલ:

બોર્ડ પર સ્વતંત્ર સમસ્યાનું નિરાકરણ, સમસ્યાના ઉકેલોનું સામૂહિક વિશ્લેષણ:

№ 1 જો બિંદુની હિલચાલ s = t^2 –11t + 30 સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવી હોય, તો 3જી સેકન્ડના અંતે ભૌતિક બિંદુની હિલચાલની ગતિ શોધો.

№ 2 બિંદુ s = 6t – t^2 ના નિયમ અનુસાર સચોટ રીતે આગળ વધે છે. તેની ઝડપ કઈ ક્ષણે હશે શૂન્ય બરાબર?

№ 3 બે શરીર સરખા રીતે આગળ વધે છે: એક નિયમ s = t^3 – t^2 – 27t અનુસાર, બીજો નિયમ s = t^2 + 1 અનુસાર. આ શરીરનો વેગ સમાન હોય ત્યારે તે ક્ષણ નક્કી કરો .

№ 4 30 m/s ની ઝડપે આગળ વધતી કાર માટે, બ્રેકિંગ અંતર સૂત્ર s(t) = 30t-16t^2 દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જ્યાં s(t) મીટરમાં અંતર છે, t એ સેકન્ડમાં બ્રેકિંગ સમય છે . કાર સંપૂર્ણ સ્ટોપ પર આવે ત્યાં સુધી બ્રેક લગાવવામાં કેટલો સમય લાગે છે? જે અંતર જશેબ્રેક મારવાની શરૂઆતથી કાર સંપૂર્ણ સ્ટોપ પર આવે ત્યાં સુધી?

№5 8 કિલો વજન ધરાવતું શરીર કાયદા s = 2t^2+ 3t – 1 અનુસાર સીધી રીતે આગળ વધે છે. શોધો ગતિ ઊર્જાશરીર (mv^2/2) ચળવળની શરૂઆત પછી 3 સેકન્ડ.

ઉકેલ: ચાલો સમયની કોઈપણ ક્ષણે શરીરની હિલચાલની ગતિ શોધીએ:
V = ds / dt = 4t + 3
ચાલો t = 3 સમયે શરીરની ગતિની ગણતરી કરીએ:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
ચાલો t = 3 સમયે શરીરની ગતિ ઊર્જા નક્કી કરીએ:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 ચળવળની શરૂઆત પછી 4 સેકન્ડ પછી શરીરની ગતિ ઊર્જા શોધો, જો તેનું દળ 25 કિલો છે, અને ગતિના નિયમનું સ્વરૂપ s = 3t^2- 1 છે.

№7 શરીર કે જેનું દળ 30 કિલો છે તે નિયમ s = 4t^2 + t અનુસાર સીધી રીતે આગળ વધે છે. સાબિત કરો કે શરીરની હિલચાલ ની ક્રિયા હેઠળ થાય છે સતત બળ.
ઉકેલ: આપણી પાસે s’ = 8t + 1, s” = 8 છે. તેથી, a(t) = 8 (m/s^2), એટલે કે, આપેલ ગતિના નિયમ સાથે, શરીર તેની સાથે આગળ વધે છે. સતત પ્રવેગક 8 m/s^2. આગળ, શરીરનું દળ સ્થિર (30 કિગ્રા) હોવાથી, ન્યુટનના બીજા નિયમ મુજબ, તેના પર કાર્ય કરતું બળ F = ma = 30 * 8 = 240 (H) પણ એક સ્થિર મૂલ્ય છે.

№8 3 કિગ્રા વજન ધરાવતું શરીર s(t) = t^3 – 3t^2 + 2 ના કાયદા અનુસાર સરેક્ટીલીલી રીતે ફરે છે. t = 4s સમયે શરીર પર કામ કરતું બળ શોધો.

№9 એક ભૌતિક બિંદુ નિયમ s = 2t^3 – 6t^2 + 4t અનુસાર ફરે છે. 3જી સેકન્ડના અંતે તેનું પ્રવેગક શોધો.

VI. ગણિતમાં વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ:

ગણિતમાં વ્યુત્પન્ન બતાવે છે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિવિવિધ પરિસ્થિતિઓના પ્રભાવ હેઠળ સમાન બિંદુ પર સ્થિત જથ્થાના ફેરફારની ડિગ્રી.

ડેરિવેટિવ ફોર્મ્યુલા 15મી સદીની છે. મહાન ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી ટાર્ટાગ્લી, અસ્ત્રની ફ્લાઇટ રેન્જ બંદૂકના ઝોક પર કેટલી આધાર રાખે છે તે પ્રશ્નને ધ્યાનમાં લેતા અને વિકસાવતા, તેને તેમના કાર્યોમાં લાગુ કરે છે.

વ્યુત્પન્ન સૂત્ર ઘણીવાર કાર્યોમાં જોવા મળે છે પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રીઓ 17મી સદી. તેનો ઉપયોગ ન્યુટન અને લીબનીઝ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો.

વિખ્યાત વૈજ્ઞાનિક ગેલિલિયો ગેલિલીએ ગણિતમાં ડેરિવેટિવ્ઝની ભૂમિકા પર એક સંપૂર્ણ ગ્રંથ સમર્પિત કર્યો છે. પછી ડેકાર્ટેસની કૃતિઓમાં ડેરિવેટિવ અને તેની એપ્લિકેશન સાથેની વિવિધ પ્રસ્તુતિઓ શોધવાનું શરૂ થયું, ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીરોબરવલ અને અંગ્રેજ ગ્રેગરી. ડેરિવેટિવના અભ્યાસમાં મહાન યોગદાન L'Hopital, Bernoulli, Langrange અને અન્ય લોકો દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું.

1. આલેખ બનાવો અને કાર્યનું પરીક્ષણ કરો:

આ સમસ્યાનો ઉકેલ:

આરામની ક્ષણ

VII. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ:

અમુક પ્રક્રિયાઓ અને ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, આ પ્રક્રિયાઓની ગતિ નક્કી કરવાનું કાર્ય ઘણીવાર ઉદ્ભવે છે. તેનો ઉકેલ વ્યુત્પન્નની વિભાવના તરફ દોરી જાય છે, જે મુખ્ય ખ્યાલ છે વિભેદક કલન.

વિભેદક કેલ્ક્યુલસની પદ્ધતિ 17મી અને 18મી સદીમાં બનાવવામાં આવી હતી. બે મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓના નામ - I. ન્યૂટન અને G.V - આ પદ્ધતિના ઉદભવ સાથે સંકળાયેલા છે. લીબનીઝ.

ન્યૂટન જ્યારે સામગ્રીના બિંદુની ગતિની ગતિ વિશેની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે વિભેદક કેલ્ક્યુલસની શોધમાં આવ્યા હતા. આ ક્ષણસમય (ત્વરિત ગતિ).

ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે સૌથી મોટી અથવા ગણતરી કરવા માટે થાય છે સૌથી નીચા મૂલ્યોકોઈપણ માત્રામાં.

№1 સંભવિત ઊર્જા યુકણનું ક્ષેત્ર જેમાં બીજું છે, બરાબર એ જ કણનું સ્વરૂપ છે: U = a/r 2 - b/r, ક્યાં aઅને b- હકારાત્મક સ્થિરાંકો, આર- કણો વચ્ચેનું અંતર. શોધો: a) મૂલ્ય r0યોગ્ય સંતુલન સ્થિતિકણો b) આ પરિસ્થિતિ સ્થિર છે કે કેમ તે શોધો; વી) Fmaxઆકર્ષણના બળનું મૂલ્ય; ડી) અંદાજિત અવલંબન આલેખ દોરો U(r)અને F(r).

આ સમસ્યાનો ઉકેલ: નક્કી કરવા r0અમે અભ્યાસ કરીએ છીએ તે કણની સંતુલન સ્થિતિને અનુરૂપ f = U(r)આત્યંતિક

વચ્ચેના જોડાણનો ઉપયોગ કરીને સંભવિત ઊર્જાક્ષેત્રો

યુઅને એફ, પછી F = – dU/dr, અમને મળે છે F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; જેમાં r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; ટકાઉ અથવા અસ્થિર સંતુલનઅમે બીજા ડેરિવેટિવની નિશાની દ્વારા નક્કી કરીએ છીએ:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

જ્યારે ભરેલા પ્લેટફોર્મમાંથી રેતી છલકાય ત્યારે કેસને ધ્યાનમાં લો.
ટૂંકા ગાળામાં વેગમાં ફેરફાર:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
ટર્મ Δ µtuરેતીના જથ્થાનો આવેગ છે જે સમય દરમિયાન પ્લેટફોર્મમાંથી રેડવામાં આવે છે Δ t.પછી:
Δ p = MΔ u – µtΔ તમે - Δ µtΔ u = FΔ t
Δ વડે ભાગાકાર કરો tઅને મર્યાદા Δ પર આગળ વધો t → 0
(M – µt)du/dt = F
અથવા a1= du/dt= F/(M – µt)

જવાબ: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. સ્વતંત્ર કાર્ય:

કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો:

રેખા y = 2x એ વિધેયની સ્પર્શક છે: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુનો એબ્સીસા શોધો.

IX. પાઠનો સારાંશ:

- પાઠ કયા પ્રશ્નોને સમર્પિત હતો?
- તમે પાઠમાં શું શીખ્યા?
- જે સૈદ્ધાંતિક તથ્યોવર્ગમાં સારાંશ?
- કયા કાર્યો સૌથી મુશ્કેલ હોવાનું માનવામાં આવે છે? શા માટે?

ગ્રંથસૂચિ:

એમેલકિન વી.વી., સડોવ્સ્કી એ.પી. ગાણિતિક મોડેલોઅને વિભેદક સમીકરણો. - મિન્સ્ક: સ્નાતક શાળા, 1982. - 272 પૃષ્ઠ.
એમેલકીન વી.વી.એપ્લિકેશન્સમાં વિભેદક સમીકરણો. એમ.: વિજ્ઞાન. ભૌતિક અને ગાણિતિક સાહિત્યનું મુખ્ય સંપાદકીય કાર્યાલય, 1987. – 160 પૃષ્ઠ.
એરુગિન એન.પી.વાંચવા માટે પુસ્તક સામાન્ય અભ્યાસક્રમ વિભેદક સમીકરણો. – મિન્સ્ક: સાયન્સ એન્ડ ટેકનોલોજી, 1979. – 744 પૃષ્ઠ.
.મેગેઝિન "સંભવિત" નવેમ્બર 2007 નંબર 11
"બીજગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો" 11મા ધોરણના એસ.એમ. નિકોલ્સ્કી, એમ.કે. પોટાપોવ અને અન્ય.
"બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણ" N.Ya. વિલેન્કિન એટ અલ.
"ગણિત" વી.ટી. લિસિચકીન, આઈ.એલ. સોલોવેચિક, 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

વ્યુત્પન્નનો ભૌતિક અર્થ. કાર્યો!

વ્યુત્પન્નનો ભૌતિક અર્થ. ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં ઉકેલ માટે સમસ્યાઓના જૂથનો સમાવેશ થાય છે જેને ડેરિવેટિવના ભૌતિક અર્થની જાણકારી અને સમજની જરૂર હોય છે. ખાસ કરીને, એવી સમસ્યાઓ છે કે જ્યાં ચોક્કસ બિંદુ (ઑબ્જેક્ટ) ની ગતિનો નિયમ આપવામાં આવે છે, જે સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, અને ચળવળના સમયે ચોક્કસ ક્ષણે અથવા તે સમય પછી પદાર્થની ગતિ શોધવાની જરૂર છે. ચોક્કસ આપેલ ઝડપ પ્રાપ્ત કરશે. કાર્યો ખૂબ જ સરળ છે, તેઓ એક ક્રિયામાં ઉકેલી શકાય છે. તેથી:

સંકલન ધરી સાથે ભૌતિક બિંદુ x (t) ના ગતિનો નિયમ આપવા દો, જ્યાં x એ ગતિશીલ બિંદુનું સંકલન છે, t એ સમય છે.

સમયની ચોક્કસ ક્ષણે વેગ એ સમયના સંદર્ભમાં સંકલનનું વ્યુત્પન્ન છે. આ વ્યુત્પન્નનો યાંત્રિક અર્થ છે.

તેવી જ રીતે, પ્રવેગ એ સમયના સંદર્ભમાં ઝડપનું વ્યુત્પન્ન છે:

આમ, વ્યુત્પન્નનો ભૌતિક અર્થ ઝડપ છે. આ ચળવળની ઝડપ, પ્રક્રિયાના પરિવર્તનનો દર (ઉદાહરણ તરીકે, બેક્ટેરિયાની વૃદ્ધિ), કામની ઝડપ (અને તેથી, ઘણી લાગુ સમસ્યાઓ છે) હોઈ શકે છે.

x (t) = t 2 – 7t – 20

જ્યાં x એ સંદર્ભ બિંદુથી મીટરમાં અંતર છે, t એ સેકન્ડમાં સમય છે, જે ચળવળની શરૂઆતથી માપવામાં આવે છે. t = 5 s સમયે તેની ઝડપ (મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં) શોધો.

ચાલો ઝડપ પરિવર્તનનો નિયમ શોધીએ: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

ભૌતિક બિંદુ નિયમ x (t) = 0.5t 3 – 3t 2 + 2t, જ્યાં x- સંદર્ભ બિંદુથી મીટરમાં અંતર, t- હિલચાલની શરૂઆતથી માપવામાં આવેલ સેકંડમાં સમય. t = 6 s સમયે તેની ઝડપ (મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં) શોધો.

મટીરીયલ પોઈન્ટ કાયદા અનુસાર રેક્ટીલીનરી રીતે આગળ વધે છે

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

જ્યાં x- સંદર્ભ બિંદુથી મીટરમાં અંતર, t- હિલચાલની શરૂઆતથી માપવામાં આવેલ સેકંડમાં સમય. t = 3 s સમયે તેની ઝડપ (મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં) શોધો.

મટીરીયલ પોઈન્ટ કાયદા અનુસાર રેક્ટીલીનરી રીતે આગળ વધે છે

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

ચાલો ઝડપ પરિવર્તનનો નિયમ શોધીએ:

સમય કયા બિંદુએ શોધવા માટે tઝડપ 3 m/s હતી, તે સમીકરણ ઉકેલવા માટે જરૂરી છે:

મટીરીયલ પોઈન્ટ કાયદા અનુસાર રેક્ટીલીનરી રીતે આગળ વધે છે

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

સંકેત: આ કિસ્સામાં, તમારે સ્પીડ ફંક્શનનો અભિન્ન ભાગ શોધવાની જરૂર છે (આ પણ એક-પગલાંનું કાર્ય છે). જો તમારે સમયના ચોક્કસ બિંદુએ મુસાફરી કરેલ અંતર શોધવાની જરૂર હોય, તો તમારે પરિણામી સમીકરણમાં સમય બદલવાની અને અંતરની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. જો કે, અમે આવી સમસ્યાઓનું પણ વિશ્લેષણ કરીશું, તેને ચૂકશો નહીં! હું તમને સફળતાની ઇચ્છા કરું છું!

matematikalegko.ru

બીજગણિત અને શરૂઆત ગાણિતિક વિશ્લેષણ, 11મો ગ્રેડ (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

પૃષ્ઠ નં. 094.

પાઠ્યપુસ્તક:

પાઠ્યપુસ્તકમાંથી પૃષ્ઠનું OCR સંસ્કરણ (ઉપર સ્થિત પૃષ્ઠનું ટેક્સ્ટ):

આ ફકરાની શરૂઆતમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી સમસ્યાઓમાંથી નીચે મુજબ, નીચેના નિવેદનો સાચા છે:

1. જો ખાતે સીધી ગતિબિંદુ દ્વારા પસાર કરાયેલો માર્ગ એ સમય t, એટલે કે s = f(t) નું કાર્ય છે, તો બિંદુની ગતિ એ સમયના સંદર્ભમાં પાથનું વ્યુત્પન્ન છે, એટલે કે v(t) =

આ હકીકત વ્યુત્પન્નનો યાંત્રિક અર્થ વ્યક્ત કરે છે.

2. જો બિંદુ x 0 પર એક સ્પર્શક ફંક્શન y = f (jc) ના ગ્રાફ પર દોરવામાં આવે છે, તો સંખ્યા f"(xo) એ આ સ્પર્શક અને Ox અક્ષની હકારાત્મક દિશા વચ્ચેના ખૂણા a ની સ્પર્શક છે. , એટલે કે /"(x 0) =

તગા. આ ખૂણાને સ્પર્શકોણ કહેવામાં આવે છે.

આ હકીકત વ્યક્ત કરે છે ભૌમિતિક અર્થવ્યુત્પન્ન

ઉદાહરણ 3. ચાલો abscissa x = 0 સાથે બિંદુ પર ફંક્શન y = 0.5jc 2 - 2x + 4 ના આલેખ તરફ સ્પર્શકના ઝોકના ખૂણાની સ્પર્શકને શોધીએ.

ચાલો સમાનતા (2) નો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ બિંદુ x પર f(x) = 0.5jc 2 - 2x + 4 ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

0.5 2 x - 2 = jc - 2.

ચાલો બિંદુ x = 0 પર આ વ્યુત્પન્નની કિંમતની ગણતરી કરીએ:

તેથી tga = -2. ફંક્શન y = /(jc) નો x ગ્રાફ અને abscissa jc = 0 સાથેના બિંદુ પર તેના ગ્રાફનો સ્પર્શક આકૃતિ 95 માં બતાવવામાં આવ્યો છે.

4.1 s = t 2 ના નિયમ અનુસાર બિંદુને સીધીરેખીય રીતે ખસેડવા દો. શોધો:

a) t x = 1 થી £ 2 - 2 સુધીના સમય અંતરાલ પર સમયનો વધારો D£;

b) t x = 1 થી t 2 = 2 સુધીના સમયગાળામાં પાથનો વધારો;

વી) સામન્ય ગતિ t x = 1 થી t 2 = 2 સુધીના સમય અંતરાલ પર.

4.2 કાર્ય 4.1 માં શોધો:

b) t થી t + At સમય અંતરાલ પર સરેરાશ ઝડપ;

વી) ત્વરિત ગતિસમયે t;

d) t = 1 સમયે તાત્કાલિક ઝડપ.

4.3 કાયદા અનુસાર બિંદુને સચોટ રીતે ખસેડવા દો:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) t થી t + At સુધીના સમયગાળા દરમિયાન પાથમાં વધારો;

પાઠ્યપુસ્તક:બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત. 11 મા ધોરણ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ: મૂળભૂત અને પ્રોફાઇલ. સ્તરો / [એસ. એમ. નિકોલ્સ્કી, એમ. કે. પોટાપોવ, એન. એન. રેશેટનિકોવ, એ. વી. શેવકીન]. - 8મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2009. - 464 પૃષ્ઠ: બીમાર.