ઉકેલ વર્ડ ફોર્મેટમાં દોરવામાં આવે છે.:
કાર્યો દાખલ કરવા માટેના નિયમોઉદાહરણ તરીકે, x 1 2 + x 1 x 2, x1^2+x1*x2 તરીકે લખો માં શોધ દિશાઓ જનરેટ કરે છેવધુ હદ સુધી
વિધેયની ભૂમિતિને અનુરૂપ જે ન્યૂનતમ કરવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા . બે n-પરિમાણીય વેક્ટર x અને y કહેવાય છેસંયોજિત મેટ્રિક્સ A (અથવા A-conjugate), જોડોટ ઉત્પાદન
(x, Aу) = 0 . અહીં A એ n x n કદનું સપ્રમાણ હકારાત્મક નિશ્ચિત મેટ્રિક્સ છે.
કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ મેથડ એલ્ગોરિધમની સ્કીમk=0 સેટ કરો.
Ш 1 x 0 ને શરુઆતનું બિંદુ ગણો; ,
d 0 =-g 0 ; k=0.
.Sh 2 નક્કી કરો x k +1 =x k +λ k d k, ક્યાં
,પછી d k+1 =-g k+1 +β k d k ,
β k એ સ્થિતિ d k +1 Ad k =0 (મેટ્રિક્સ A ના સંદર્ભમાં સંયોજિત) માંથી જોવા મળે છે.
Sh 3 મૂકો k=k+1 → Sh.
.દરેક દિશા d k સાથે એક-પરિમાણીય શોધને રોકવા માટેનો માપદંડ આ રીતે લખાયેલ છે:
મૂલ્યો એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે દિશા d k એ અગાઉ બનાવેલ તમામ દિશાઓ સાથે A-સંયુક્ત છે.
ફ્લેચર-રીવ્ઝ પદ્ધતિફ્લેચર-રીવ્ઝ મેથડ સ્ટ્રેટેજી< f(x k), k=0, 1, 2, ...બિંદુઓ (x k), k=0, 1, 2, ... જેમ કે f(x k +1) નો ક્રમ રચવામાં આવે છે.
ક્રમના બિંદુઓ (x k) નિયમ અનુસાર ગણવામાં આવે છે:
x k +1 =x k -t k d k , k = 0, 1, 2,…
d k = ▽f(x k) + b k -1 ▽f(x k -1)
ચળવળની દિશામાં t ઉપર ફંક્શન f(x) ના ન્યૂનતમ શરતમાંથી સ્ટેપનું કદ પસંદ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, એક-પરિમાણીય લઘુત્તમીકરણ સમસ્યાને ઉકેલવાના પરિણામે:
f(x k -t k d k) → મિનિટ (t k >0) કિસ્સામાં f(x)= (x, Hx) + (b, x) + અને દિશાઓ d k, d k -1 H- સંયોજક હશે, એટલે કે. (d k , Hd k -1)=0
વધુમાં, ક્રમના બિંદુઓ પર (x k) કાર્ય ઢાળ f(x) પરસ્પર લંબ છે, એટલે કે. (▽f(x k +1), ▽f(x k))=0, k =0, 1, 2…
જ્યારે બિન-ચતુર્ભુજ કાર્યોને ઘટાડી રહ્યા હોય, ત્યારે ફ્લેચર-રીવ્ઝ પદ્ધતિ મર્યાદિત નથી. બિન-ચતુર્ભુજ કાર્યો માટે, ફ્લેચર-રીવ્ઝ પદ્ધતિ (પોલક-રિબિયર પદ્ધતિ) ના નીચેના ફેરફારનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જ્યારે મૂલ્ય b k -1 ની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે:
અહીં I સૂચકાંકોનો સમૂહ છે: I = (0, n, 2n, 3n, ...), એટલે કે પોલાક-રિબિઅર પદ્ધતિમાં સૌથી ઝડપી પુનરાવર્તનનો ઉપયોગ શામેલ છે ઢાળ વંશદરેક n પગલાં, x n +1 સાથે x 0 ને બદલીને.
ક્રમ(x k) નું નિર્માણ બિંદુ પર સમાપ્ત થાય છે જેના માટે |▽f(x k)|<ε.
કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિનો ભૌમિતિક અર્થ નીચે મુજબ છે. આપેલ તરફથી પ્રારંભિક બિંદુ x 0 વંશ d 0 = ▽f(x 0) દિશામાં હાથ ધરવામાં આવે છે x 1 પર ઢાળ વેક્ટર ▽f(x 1) નિર્ધારિત થાય છે કારણ કે x 1 એ દિશામાં d નું લઘુત્તમ બિંદુ છે 0, પછી ▽f(x 1) વેક્ટર d 0 માટે ઓર્થોગોનલ. પછી વેક્ટર d 1 જોવા મળે છે, d 0 માટે H-સંયુક્ત. આગળ, ફંક્શનનું ન્યૂનતમ દિશા d 1, વગેરે સાથે જોવા મળે છે.
ફ્લેચર-રીવ્ઝ પદ્ધતિ અલ્ગોરિધમ
પ્રારંભિક તબક્કો.x 0 , ε > 0 સેટ કરો.
માં ફંક્શનનો ઢાળ શોધો મનસ્વી બિંદુ
k=0.
મુખ્ય તબક્કો
પગલું 1. ▽f(x k) ની ગણતરી કરો
પગલું 2. રોકવાના માપદંડની પરિપૂર્ણતા તપાસો |▽f(x k)|< ε
a) જો માપદંડ પૂર્ણ થાય, તો ગણતરી પૂર્ણ થાય છે, x * =x k
b) જો માપદંડ પૂરો થતો નથી, તો k=0 હોય તો પગલું 3 પર જાઓ, અન્યથા પગલું 4 પર જાઓ.
પગલું 3. d 0 = ▽f(x 0) નક્કી કરો
પગલું 4. નક્કી કરો અથવા બિન-ચતુર્ભુજ કાર્યના કિસ્સામાં
પગલું 5. d k = ▽f(x k) + b k -1 ▽f(x k -1) નક્કી કરો
પગલું 6. શરત f(x k - t k d k) → min (t k >0) માંથી સ્ટેપ સાઇઝ t k ની ગણતરી કરો
પગલું 7. x k+1 =x k -t k d k ની ગણતરી કરો
પગલું 8. k= k +1 સેટ કરો અને પગલું 1 પર જાઓ.
પદ્ધતિનું કન્વર્જન્સ
પ્રમેય 1. જો ચતુર્ભુજ કાર્ય f(x) = (x, Hx) + (b, x) + a બિન-નકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ H સાથે પહોંચે છે ન્યૂનતમ મૂલ્ય R n પર, પછી ફ્લેચર-રીવ્સ પદ્ધતિ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે લઘુત્તમ બિંદુ n કરતાં વધુ પગલાંમાં જોવા મળે છે.પ્રમેય 2. ફંક્શન f(x) ને R m પર નીચેથી અલગ અને બાઉન્ડ કરવા દો, અને તેના ઢાળલિપ્સિટ્ઝની સ્થિતિને સંતોષે છે. પછી, એક મનસ્વી પ્રારંભિક બિંદુ માટે, પોલાક-રિબિઅર પદ્ધતિ માટે અમારી પાસે છે
પ્રમેય 2 ક્રમ (x k ) થી કન્વર્જન્સની ખાતરી આપે છે સ્થિર બિંદુ x * , જ્યાં ▽f(x *)=0. તેથી, મળેલ બિંદુ x * ની જરૂર છે વધારાના સંશોધનતેના વર્ગીકરણ માટે. પોલાક-રિબિઅર પદ્ધતિ માત્ર અત્યંત બહિર્મુખ કાર્યો માટે ક્રમ (x k ) ના લઘુત્તમ બિંદુ સુધીના કન્વર્જન્સની ખાતરી આપે છે.
કન્વર્જન્સ રેટ અંદાજ માત્ર માટે જ મેળવવામાં આવ્યો હતો મજબૂત રીતે બહિર્મુખ કાર્યો, આ કિસ્સામાં ક્રમ (x k) ઝડપ સાથે ફંક્શન f(x) ના ન્યૂનતમ બિંદુ પર કન્વર્જ થાય છે: |x k+n – x*| ≤ C|x k – x*|, k = (0, n, 2, …)
ઉદાહરણ. સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને લઘુત્તમ કાર્ય શોધો: f(X) = 2x 1 2 +2x 2 2 +2x 1 x 2 +20x 1 +10x 2 +10.
ઉકેલ. શોધ દિશા તરીકે, વર્તમાન બિંદુ પર ઢાળ વેક્ટર પસંદ કરો:
|
ન્યૂટનની પદ્ધતિ અને અર્ધ-ન્યૂટન પદ્ધતિઓ અગાઉના ફકરામાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે તે અનિયંત્રિત લઘુત્તમીકરણ સમસ્યાઓના ઉકેલના માધ્યમ તરીકે ખૂબ અસરકારક છે. જો કે, તેઓ તદ્દન પ્રસ્તુત કરે છે ઉચ્ચ માંગવપરાયેલ કમ્પ્યુટર મેમરીની માત્રા સુધી. આ એ હકીકતને કારણે છે કે શોધ દિશા પસંદ કરવા માટે સિસ્ટમોને હલ કરવાની જરૂર છે રેખીય સમીકરણો, તેમજ આ પ્રકારની મેટ્રિસિસ સંગ્રહિત કરવાની ઉભરતી જરૂરિયાત સાથે, તેથી, મોટા લોકો માટે, આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ અશક્ય હોઈ શકે છે. નોંધપાત્ર હદ સુધી, સંયુક્ત દિશા પદ્ધતિઓ આ ખામીમાંથી મુક્ત થાય છે.
1. સંયુક્ત દિશા પદ્ધતિઓનો ખ્યાલ.
ચતુર્ભુજ કાર્યને ઘટાડવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લો
સપ્રમાણ હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ સાથે A યાદ કરો કે તેના ઉકેલ માટે ન્યૂટન પદ્ધતિના એક પગલાની જરૂર છે અને અર્ધ-ન્યૂટન પદ્ધતિના પગલાંથી વધુ નહીં, સંયોજિત દિશા પદ્ધતિઓ પણ તમને ફંક્શનનો ન્યૂનતમ બિંદુ (10.33) શોધવાની મંજૂરી આપે છે. પગલાંઓ કરતાં. આ શોધ દિશાઓની વિશેષ પસંદગી દ્વારા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે.
અમે કહીશું કે બિનશૂન્ય વેક્ટર્સ પરસ્પર જોડાણ છે (મેટ્રિક્સ A ના સંદર્ભમાં) જો બધા માટે
ચતુર્ભુજ કાર્ય (10.33) ને ઘટાડવા માટે સંયુક્ત દિશાઓની પદ્ધતિ દ્વારા અમારો અર્થ પદ્ધતિ
જેમાં દિશાઓ પરસ્પર સંયોજિત છે, અને પગલાં
એક-પરિમાણીય લઘુત્તમ સમસ્યાઓના ઉકેલ તરીકે મેળવવામાં આવે છે:
પ્રમેય 10.4. સંયોજક દિશા-નિર્દેશો પદ્ધતિ તમને ચતુર્ભુજ ફંક્શન (10 33) ના ન્યૂનતમ બિંદુને કોઈ વધુ પગલાંમાં શોધવાની મંજૂરી આપે છે.
સંયોજિત દિશાઓ જે રીતે બાંધવામાં આવે છે તે રીતે સંયોજક દિશાઓ પદ્ધતિઓ એકબીજાથી અલગ પડે છે. તેમાંથી સૌથી પ્રસિદ્ધ છે સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિ.
2. સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિ.
આ પદ્ધતિમાં, દિશાઓ એક નિયમ બનાવે છે
કારણ કે આ પદ્ધતિનું પ્રથમ પગલું સૌથી ઊંચુંનીચું થતું વંશ પદ્ધતિના પગલા સાથે એકરુપ છે. તે બતાવી શકાય છે (અમે આ નહીં કરીશું) કે દિશાઓ (10.34) ખરેખર છે
મેટ્રિક્સ A ના સંદર્ભમાં જોડાણ. વધુમાં, ગ્રેડિએન્ટ્સ પરસ્પર ઓર્થોગોનલ હોવાનું બહાર આવ્યું છે.
ઉદાહરણ 10.5. ચતુર્ભુજ કાર્યને ઓછું કરવા માટે સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ - ઉદાહરણ 10.1 માંથી. ચાલો તેને ફોર્મમાં લખીએ જ્યાં
ચાલો પ્રારંભિક અંદાજ લઈએ
પદ્ધતિનું 1મું પગલું સૌથી ઊભો વંશ પદ્ધતિના પ્રથમ પગલા સાથે એકરુપ છે. તેથી (ઉદાહરણ 10.1 જુઓ)
2જું પગલું. ચાલો ગણતરી કરીએ
કારણ કે ઉકેલ બે પગલામાં મળી આવ્યો છે.
3. બિન-ચતુર્ભુજ કાર્યોને ઘટાડવા માટે સંયોજિત ઢાળ પદ્ધતિ.
ક્રમમાં આ પદ્ધતિ એક મનસ્વી ઘટાડવા માટે લાગુ કરવા માટે સરળ કાર્યગુણાંકની ગણતરી માટે સૂત્ર (10.35) ફોર્મમાં રૂપાંતરિત થાય છે
અથવા દૃશ્ય માટે
સૂત્રો (10 36), (10.37) નો ફાયદો એ છે કે તેઓ સ્પષ્ટપણે મેટ્રિક્સ A ધરાવતા નથી.
ફંક્શનને સૂત્રો અનુસાર સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે
એક સૂત્ર (10.36), (10.37) નો ઉપયોગ કરીને ગુણાંકની ગણતરી કરવામાં આવે છે.
અહીં પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા હવે પછી સમાપ્ત થતી નથી મર્યાદિત સંખ્યાપગલાંઓ, અને દિશાઓ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, અમુક મેટ્રિક્સના સંદર્ભમાં સંયોજિત નથી.
એક-પરિમાણીય લઘુત્તમીકરણ સમસ્યાઓ (10.40) સંખ્યાત્મક રીતે હલ કરવી પડશે. અમે એ પણ નોંધીએ છીએ કે ઘણીવાર સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિમાં ગુણાંકની ગણતરી સૂત્રો (10.36), (10.37) નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવતી નથી, પરંતુ ધારવામાં આવે છે. શૂન્ય બરાબર. આ કિસ્સામાં, આગળનું પગલું વાસ્તવમાં સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. પદ્ધતિનું આ "અપડેટ" અમને કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂલના પ્રભાવને ઘટાડવા માટે પરવાનગી આપે છે.
કેટલાક માટે મજબૂત રીતે બહિર્મુખ સરળ કાર્ય માટે વધારાની શરતોકન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિમાં ઉચ્ચ સુપરલાઇનર કન્વર્જન્સ રેટ છે. તે જ સમયે, તેની શ્રમ તીવ્રતા ઓછી છે અને તે સૌથી ઊંચુંનીચું થતું વંશ પદ્ધતિની જટિલતા સાથે તુલનાત્મક છે. કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રેક્ટિસ બતાવે છે તેમ, તે અર્ધ-ન્યૂટન પદ્ધતિઓની કાર્યક્ષમતામાં થોડી હલકી ગુણવત્તાવાળી છે, પરંતુ ઉપયોગમાં લેવાતી કમ્પ્યુટર મેમરી પર નોંધપાત્ર રીતે ઓછી માંગ મૂકે છે. એવા કિસ્સામાં જ્યાં ખૂબ સાથે ફંક્શનને ઘટાડવાની સમસ્યા છે મોટી સંખ્યામાંચલો, સંયુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિ એકમાત્ર યોગ્ય સાર્વત્રિક પદ્ધતિ હોવાનું જણાય છે.
ઉપલા છૂટછાટ પદ્ધતિના સમાંતર સંસ્કરણની અસરકારકતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેના કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગો પરિચયમાં ઉલ્લેખિત શરતો હેઠળ હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા. સપ્રમાણ હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ બનાવવા માટે, સબમેટ્રિક્સના તત્વો 0 થી 1 ની રેન્જમાં બનાવવામાં આવ્યા હતા, સબમેટ્રિક્સના ઘટકોના મૂલ્યો મેટ્રિસિસની સમપ્રમાણતામાંથી મેળવવામાં આવ્યા હતા અને , અને તેના પરના તત્વો મુખ્ય કર્ણ (સબમેટ્રિક્સ) થી ની શ્રેણીમાં જનરેટ કરવામાં આવ્યા હતા, જ્યાં મેટ્રિક્સનું કદ છે.
રોકવાના માપદંડ તરીકે, અમે ચોકસાઈ (7.51) માટે સ્ટોપિંગ માપદંડનો ઉપયોગ પુનરાવર્તન પરિમાણ સાથે કર્યો છે. તમામ પ્રયોગોમાં, પદ્ધતિએ 11 પુનરાવર્તનોમાં જરૂરી ચોકસાઈ સાથે ઉકેલ શોધી કાઢ્યો. અગાઉના પ્રયોગો માટે, અમે તેની સરખામણીમાં પ્રવેગકને ઠીક કરીશું સમાંતર કાર્યક્રમ, એક થ્રેડમાં ચાલી રહ્યું છે.
| પ્રાયોગિક પરિણામો (ઉપલા છૂટછાટ પદ્ધતિ) | n | 1 પ્રવાહ | |||||||
| સમાંતર અલ્ગોરિધમ | 2 સ્ટ્રીમ્સ | 4 સ્ટ્રીમ્સ | 6 સ્ટ્રીમ્સ | ||||||
| 8 સ્ટ્રીમ્સ | ટી | 8 સ્ટ્રીમ્સ | ટી | 8 સ્ટ્રીમ્સ | ટી | 8 સ્ટ્રીમ્સ | ટી | ||
| 2500 | 0,73 | 0,47 | 1,57 | 0,30 | 2,48 | 0,25 | 2,93 | 0,22 | 3,35 |
| 5000 | 3,25 | 2,11 | 1,54 | 1,22 | 2,67 | 0,98 | 3,30 | 0,80 | 4,08 |
| 7500 | 7,72 | 5,05 | 1,53 | 3,18 | 2,43 | 2,36 | 3,28 | 1,84 | 4,19 |
| 10000 | 14,60 | 9,77 | 1,50 | 5,94 | 2,46 | 4,52 | 3,23 | 3,56 | 4,10 |
| 12500 | 25,54 | 17,63 | 1,45 | 10,44 | 2,45 | 7,35 | 3,48 | 5,79 | 4,41 |
| 15000 | 38,64 | 26,36 | 1,47 | 15,32 | 2,52 | 10,84 | 3,56 | 8,50 | 4,54 |
એસ
ચોખા. 7.50.
પ્રયોગો સારી પ્રવેગકતા દર્શાવે છે (8 થ્રેડો પર લગભગ 4).
કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિ કદના સપ્રમાણ, હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ સાથે રેખીય સમીકરણો (7.49) ની સિસ્ટમનો વિચાર કરો. આધારસંયોજિત ઢાળ પદ્ધતિ છેઆગામી મિલકત
: સપ્રમાણ હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ સાથે રેખીય સમીકરણો (7.49) ની સિસ્ટમને હલ કરવી એ કાર્યને ઘટાડવાની સમસ્યાને હલ કરવા સમાન છે
શૂન્ય પર જાય છે. આમ, બિનશરતી લઘુત્તમ સમસ્યા (7.56) ના ઉકેલ તરીકે સિસ્ટમ (7.49) નો ઉકેલ શોધી શકાય છે.
ક્રમિક અલ્ગોરિધમનો
લઘુત્તમ સમસ્યા (7.56) ઉકેલવા માટે, નીચેની પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા ગોઠવવામાં આવી છે.
પ્રારંભિક પગલું () સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે
મૂળભૂત પગલાં
) સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે
અહીં મી અંદાજની વિસંગતતા છે, ગુણાંક સંયોજક સ્થિતિમાંથી જોવા મળે છે
દિશાઓ અને ; દિશામાં કાર્યને ઘટાડવાની સમસ્યાનો ઉકેલ છે પદ્ધતિના ગણતરીના સૂત્રોનું વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે તેમાં વેક્ટર દ્વારા મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરવાની બે ક્રિયાઓ, સ્કેલર પ્રોડક્ટની ચાર ઑપરેશન અને વેક્ટર પરની પાંચ ઑપરેશનનો સમાવેશ થાય છે. જો કે, દરેક પુનરાવર્તન પર, તે એકવાર ઉત્પાદનની ગણતરી કરવા અને પછી સંગ્રહિત પરિણામનો ઉપયોગ કરવા માટે પૂરતું છે.કુલ જથ્થો
એક પુનરાવર્તનમાં કરવામાં આવતી કામગીરીની સંખ્યા છે
| (7.58) |
કામગીરી. તે બતાવી શકાય છે કે સકારાત્મક ચોક્કસ સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધવા માટે, n પુનરાવર્તનો કરતાં વધુ કરવું જરૂરી નથી, આમ ચોક્કસ ઉકેલ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમની જટિલતા ક્રમની છે. . જો કે, રાઉન્ડિંગ ભૂલોને કારણે આ પ્રક્રિયાસામાન્ય રીતે પુનરાવર્તિત તરીકે ગણવામાં આવે છે, પ્રક્રિયા સમાપ્ત થાય છે જ્યારે સામાન્ય બંધ કરવાની સ્થિતિ (7.51) સંતુષ્ટ થાય છે, અથવા જ્યારે શેષના સંબંધિત ધોરણની નાનકડી સ્થિતિ સંતુષ્ટ થાય છે
સમાંતર કમ્પ્યુટિંગનું સંગઠન
રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિનું સમાંતર સંસ્કરણ વિકસાવતી વખતે, સૌ પ્રથમ, તે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે પદ્ધતિના પુનરાવર્તનો ક્રમિક રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે અને આમ, ગણતરીઓને સમાંતર બનાવવાનો સૌથી યોગ્ય અભિગમ છે. પુનરાવર્તનો દરમિયાન અમલમાં મૂકાયેલ છે.
અનુક્રમિક અલ્ગોરિધમનું વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે મી પુનરાવૃત્તિ પર મુખ્ય ખર્ચ વેક્ટર દ્વારા મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર અને . પરિણામે, સમાંતર ગણતરીઓ ગોઠવતી વખતે, જાણીતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે સમાંતર ગુણાકારવેક્ટર દીઠ મેટ્રિસિસ.
જટિલતાના નીચા ક્રમની વધારાની ગણતરીઓ વિવિધ વેક્ટર પ્રોસેસિંગ કામગીરી છે (સ્કેલર ઉત્પાદન, સરવાળો અને બાદબાકી, સ્કેલર દ્વારા ગુણાકાર). આવી ગણતરીઓનું સંગઠન, અલબત્ત, પસંદ કરેલ સાથે સુસંગત હોવું જોઈએ સમાંતર રીતેવેક્ટર દ્વારા મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરવાની કામગીરી.
પરિણામી સમાંતર ગણતરીઓની કાર્યક્ષમતાના વધુ પૃથ્થકરણ માટે, અમે મેટ્રિક્સના સ્ટ્રીપ હોરિઝોન્ટલ ડિવિઝન સાથે મેટ્રિક્સ-વેક્ટર ગુણાકારનું સમાંતર અલ્ગોરિધમ પસંદ કરીશું. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર પરની કામગીરીઓ, જે ઓછા ગણતરીત્મક રીતે સઘન છે, તે પણ મલ્ટી-થ્રેડેડ મોડમાં કરવામાં આવશે.
કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયાસ ક્રમિક પદ્ધતિકન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ્સ સંબંધ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (7.58). ચાલો એક્ઝેક્યુશનનો સમય નક્કી કરીએ સમાંતર અમલીકરણસંયોજિત ઢાળ પદ્ધતિ. સ્ટ્રીપ હોરીઝોન્ટલ મેટ્રિક્સ પાર્ટીશનીંગ સ્કીમનો ઉપયોગ કરતી વખતે વેક્ટર દ્વારા મેટ્રિક્સને ગુણાકાર કરવાની સમાંતર કામગીરીની કોમ્પ્યુટેશનલ જટિલતા છે.
વેક્ટરની લંબાઈ ક્યાં છે, થ્રેડોની સંખ્યા છે, અને સમાંતર વિભાગ બનાવવા અને બંધ કરવા માટે ઓવરહેડ છે.
વેક્ટર પરના અન્ય તમામ ઓપરેશન્સ (ડોટ પ્રોડક્ટ, સરવાળો, અચળ દ્વારા ગુણાકાર) સિંગલ-થ્રેડેડ મોડમાં કરી શકાય છે, કારણ કે પદ્ધતિની એકંદર જટિલતામાં નિર્ણાયક નથી. તેથી, સંયુક્ત ઢાળ પદ્ધતિના સમાંતર સંસ્કરણની એકંદર કોમ્પ્યુટેશનલ જટિલતાનો અંદાજ આ રીતે કરી શકાય છે
પદ્ધતિના પુનરાવર્તનોની સંખ્યા ક્યાં છે.
કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગોના પરિણામો
પરિચયમાં ઉલ્લેખિત શરતો હેઠળ સપ્રમાણ હકારાત્મક નિશ્ચિત મેટ્રિક્સ સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિના સમાંતર સંસ્કરણની અસરકારકતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા. મેટ્રિક્સના મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વો ) થી ની રેન્જમાં જનરેટ કરવામાં આવ્યા હતા, જ્યાં મેટ્રિક્સનું કદ છે, બાકીના તત્વો 0 થી 1 ની રેન્જમાં સમપ્રમાણરીતે જનરેટ થયા હતા. પરિમાણ સાથે ચોકસાઈ (7.51) માટે બંધ માપદંડ રોકવાના માપદંડ તરીકે ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો
કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગોના પરિણામો કોષ્ટક 7.21 માં આપવામાં આવ્યા છે (એલ્ગોરિધમનો ઓપરેટિંગ સમય સેકંડમાં સૂચવવામાં આવે છે).
સૌથી ઊંચું ઉતરવાની પદ્ધતિ
દરેક પુનરાવૃત્તિ પર સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, પગલાનું કદ એ k
ફંક્શનની ન્યૂનતમ સ્થિતિમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે f(x)વંશની દિશામાં, એટલે કે.
f(x[k]-એ k f"(x[k]))
= f(x[કે] -af"(x[k]))
.
આ સ્થિતિનો અર્થ એ છે કે એન્ટિગ્રેડિયન્ટ સાથેની હિલચાલ ફંક્શનના મૂલ્ય સુધી થાય છે f(x)ઘટે છે. સાથે ગાણિતિક બિંદુદરેક પુનરાવૃત્તિ પર જુઓ તે અનુસાર એક-પરિમાણીય લઘુત્તમીકરણની સમસ્યાને હલ કરવી જરૂરી છે એકાર્યો
j (a) = f(x[k]-af"(x[k])) .
સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિનો અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે.
1. પ્રારંભિક બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સેટ કરો એક્સ.
2. બિંદુ પર એક્સ[k], k = 0, 1, 2, ... ગ્રેડિયન્ટ મૂલ્યની ગણતરી કરે છે f"(x[k]) .
3. પગલાનું કદ નક્કી કરવામાં આવે છે a k, એક-પરિમાણીય લઘુત્તમીકરણ દ્વારા એકાર્યો જે (a) = f(x[k]-af"(x[k])).
4. બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવામાં આવે છે એક્સ[k+ 1]:
એક્સ i [k+ 1]= x i [k]- એ k f" i (એક્સ[k]), i = 1,..., p.
5. સ્ટીરેશન પ્રક્રિયાને રોકવા માટેની શરતો તપાસવામાં આવે છે. જો તેઓ પૂરા થાય, તો ગણતરીઓ અટકી જાય છે. નહિંતર, પગલું 1 પર જાઓ.
વિચારણા હેઠળની પદ્ધતિમાં, બિંદુથી ચળવળની દિશા એક્સ[k] બિંદુ પર સ્તર રેખાને સ્પર્શે છે x[k+ 1] (ફિગ. 2.9). વંશનો માર્ગ વાંકોચૂંકો છે, અડીને ઝિગઝેગ એકબીજા સાથે ઓર્થોગોનલ લિંક્સ સાથે. ખરેખર, એક પગલું a k ને નાનું કરીને પસંદ કરવામાં આવે છે એકાર્યો q (a) = f(x[કે] -af"(x[k])) . પૂર્વશરતન્યૂનતમ કાર્ય ડી j (a)/da = 0.વ્યુત્પન્નની ગણતરી કર્યા પછી જટિલ કાર્ય, અમે પડોશી બિંદુઓ પર વંશ દિશાઓના વેક્ટરની ઓર્થોગોનાલિટી માટેની સ્થિતિ મેળવીએ છીએ:
ડી j (a)/da = -f"(x[k+ 1]f"(x[k]) = 0.
ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિઓ ન્યૂનતમ સાથે કન્વર્જ થાય છે ઊંચી ઝડપ(ગતિએ ભૌમિતિક પ્રગતિ) સરળ બહિર્મુખ કાર્યો માટે. આવા કાર્યો સૌથી મહાન છે એમઅને ઓછામાં ઓછું mબીજા ડેરિવેટિવ્ઝના મેટ્રિક્સના ઇજેન મૂલ્યો (હેસિયન મેટ્રિક્સ)
એકબીજાથી થોડું અલગ છે, એટલે કે મેટ્રિક્સ N(x)સારી રીતે કન્ડિશન્ડ. ચાલો તમને તે યાદ અપાવીએ eigenvaluesહું i =1, …, પ્રાયોગિક પરિણામો (ઉપલા છૂટછાટ પદ્ધતિ), મેટ્રિસીસ એ લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ છે
જો કે, વ્યવહારમાં, એક નિયમ તરીકે, વિધેયોને ઘટાડી દેવામાં આવે છે તેમાં બીજા ડેરિવેટિવ્ઝના અયોગ્ય મેટ્રિસિસ હોય છે. (t/m<< 1). કેટલીક દિશાઓ સાથેના આવા કાર્યોના મૂલ્યો અન્ય દિશાઓની તુલનામાં ખૂબ ઝડપથી (ક્યારેક તીવ્રતાના કેટલાક ઓર્ડર દ્વારા) બદલાય છે. સૌથી સરળ કેસમાં તેમની સપાટીની સપાટી મજબૂત રીતે વિસ્તરેલી હોય છે, અને વધુ જટિલ કિસ્સાઓમાં તેઓ વાંકા અને કોતરો તરીકે દેખાય છે. આવા ગુણધર્મો સાથેના કાર્યો કહેવામાં આવે છે ખાડીઆ કાર્યોના એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશા (જુઓ. ફિગ. 2.10) દિશાથી લઘુત્તમ બિંદુ સુધી નોંધપાત્ર રીતે વિચલિત થાય છે, જે સંપાતની ગતિમાં મંદી તરફ દોરી જાય છે.
પ્રયોગો સારી પ્રવેગકતા દર્શાવે છે (8 થ્રેડો પર લગભગ 4).
ઉપર ચર્ચા કરાયેલી ઢાળ પદ્ધતિઓ સામાન્ય કિસ્સામાં ફંકશનનો ન્યૂનતમ બિંદુ ફક્ત અનંત સંખ્યામાં પુનરાવર્તનોમાં જ શોધે છે. સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિ શોધ દિશાઓ જનરેટ કરે છે જે કાર્યની ભૂમિતિને ઘટાડવામાં આવે છે તેની સાથે વધુ સુસંગત છે. આ તેમના કન્વર્જન્સની ઝડપમાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે અને ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ કાર્યને ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે.
f(x) = (x, Hx) + (b, x) + a
સપ્રમાણ હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ સાથે એનપગલાંઓની મર્યાદિત સંખ્યામાં p,ફંક્શન ચલોની સંખ્યા જેટલી. ન્યૂનતમ બિંદુની નજીકમાં કોઈપણ સરળ કાર્યને ચતુર્ભુજ કાર્ય દ્વારા સારી રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે, તેથી બિન-ક્વાડ્રેટિક કાર્યોને ઘટાડવા માટે સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિઓનો સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ થાય છે. આ કિસ્સામાં, તેઓ મર્યાદિત થવાનું બંધ કરે છે અને પુનરાવર્તિત બને છે.
વ્યાખ્યા દ્વારા, બે પ્રાયોગિક પરિણામો (ઉપલા છૂટછાટ પદ્ધતિ)-પરિમાણીય વેક્ટર એક્સઅને ખાતેકહેવાય છે વ્યાખ્યા . બે n-પરિમાણીય વેક્ટર x અને y કહેવાય છેમેટ્રિક્સ સંબંધિત એચ(અથવા એચ-સંયુક્ત), જો સ્કેલર ઉત્પાદન (x, સારું) = 0.અહીં એન -કદનું સપ્રમાણ હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ nએક્સ પી.
સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિઓમાં સૌથી નોંધપાત્ર સમસ્યાઓ પૈકી એક કાર્યક્ષમ રીતે દિશાઓ બાંધવાની સમસ્યા છે. ફ્લેચર-રીવ્સ પદ્ધતિ દરેક પગલા પર એન્ટિગ્રેડિયન્ટને રૂપાંતરિત કરીને આ સમસ્યાને હલ કરે છે -f(x[k]) દિશામાં પી[k], એચ-અગાઉ મળેલ દિશાઓ સાથે જોડાણ આર, આર, ..., આર[k-1]. ચતુર્ભુજ કાર્યને ઘટાડવાની સમસ્યાના સંબંધમાં આપણે સૌ પ્રથમ આ પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈએ.
દિશાઓ આર[k] ની ગણતરી સૂત્રો દ્વારા કરવામાં આવે છે:
પી[k] = -f"(x[k]) +b k-1 પી[k-l], k>= 1;
પી = -f"(x) .
b મૂલ્યો k-1 પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી દિશાઓ પી[k], આર[k-1] હતા એચ-સંયુક્ત:
(પી[k], એચપી[k- 1])= 0.
પરિણામે, ચતુર્ભુજ કાર્ય માટે
પુનરાવર્તિત લઘુત્તમ પ્રક્રિયાનું સ્વરૂપ છે
x[k+l] =x[k]+a k પી[k],
જ્યાં આર[k] - માટે વંશની દિશા k- m પગલું; એ k - પગલું કદ. બાદમાં ફંક્શનની ન્યૂનતમ સ્થિતિમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે f(x)દ્વારા એચળવળની દિશામાં, એટલે કે એક-પરિમાણીય લઘુત્તમ સમસ્યાને હલ કરવાના પરિણામે:
f(x[k] + એ k આર[k]) = f(x[k] + ar [k]) .
ચતુર્ભુજ કાર્ય માટે
ફ્લેચર-રીવ્સ કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે.
1. બિંદુ પર એક્સગણતરી કરેલ પી = -f"(x) .
2. ચાલુ k- m પગલું, ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, પગલું નક્કી કરવામાં આવે છે એ k . અને સમયગાળો એક્સ[k+ 1].
3. મૂલ્યોની ગણતરી કરવામાં આવે છે f(x[k+1]) અને f"(x[k+1]) .
4. જો f"(x) = 0, પછી બિંદુ એક્સ[k+1] એ ફંક્શનનો ન્યૂનતમ બિંદુ છે f(x).નહિંતર, નવી દિશા નક્કી થાય છે પી[k+l] સંબંધમાંથી
અને આગામી પુનરાવર્તન માટે સંક્રમણ હાથ ધરવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા લઘુત્તમ ક્વાડ્રેટિક ફંક્શનને વધુમાં શોધી શકશે નહીં nપગલાં જ્યારે બિન-ચતુર્ભુજ કાર્યોને ઘટાડી રહ્યા હોય, ત્યારે ફ્લેચર-રીવ્ઝ પદ્ધતિ મર્યાદિતમાંથી પુનરાવર્તિત બને છે. આ કિસ્સામાં, પછી (p+ 1) પ્રક્રિયા 1-4 ની પુનરાવૃત્તિ ચક્રીય રીતે રિપ્લેસમેન્ટ સાથે પુનરાવર્તિત થાય છે એક્સપર એક્સ[n+1] , અને ગણતરીઓ અહીં સમાપ્ત થાય છે, જ્યાં આપેલ સંખ્યા છે. આ કિસ્સામાં, પદ્ધતિમાં નીચેના ફેરફારનો ઉપયોગ થાય છે:
x[k+l] = x[k]+a k પી[k],
પી[k] = -f"(x[k])+ b k- 1 પી[k-l], k>= 1;
પી= -f"( x);
f(x[k] + a k પી[k]) = f(x[k] +ap[k];
અહીં આઈ- ઘણા સૂચકાંકો: આઈ= (0, n, 2 p, પગાર, ...), એટલે કે પદ્ધતિ દર વખતે અપડેટ થાય છે nપગલાં
કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિનો ભૌમિતિક અર્થ નીચે મુજબ છે (ફિગ. 2.11). આપેલ પ્રારંભિક બિંદુથી એક્સવંશ દિશામાં હાથ ધરવામાં આવે છે આર = -f"(x). બિંદુએ એક્સઢાળ વેક્ટર નક્કી થાય છે f"(x). કારણ કે એક્સદિશામાં કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ છે આર, તે f"(x) ઓર્થોગોનલ થી વેક્ટર આર. પછી વેક્ટર મળે છે આર , એચ- સાથે જોડવું આર. આગળ, આપણે દિશા સાથે લઘુત્તમ કાર્ય શોધીએ છીએ આરવગેરે
ચોખા. 2.11 .
લઘુત્તમ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સંયુક્ત દિશા પદ્ધતિઓ સૌથી અસરકારક છે. જો કે, એ નોંધવું જોઇએ કે તેઓ ગણતરી પ્રક્રિયા દરમિયાન થતી ભૂલો પ્રત્યે સંવેદનશીલ હોય છે. મુ મોટી સંખ્યામાંચલોમાં, ભૂલ એટલી વધી શકે છે કે પ્રક્રિયાને ચતુર્ભુજ કાર્ય માટે પણ પુનરાવર્તિત કરવી પડશે, એટલે કે તેની પ્રક્રિયા હંમેશા તેમાં બંધબેસતી નથી. nપગલાં
માત્ર ઢાળની ગણતરી પર આધારિત ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિઓ આર(x), ફર્સ્ટ ઓર્ડર મેથડ છે, કારણ કે સ્ટેપ ઈન્ટરવલ પર તેઓ નોનલાઈનિયર ફંક્શનને બદલે છે આર(x) રેખીય
સેકન્ડ-ઓર્ડર પદ્ધતિઓ કે જે ફક્ત પ્રથમ જ નહીં, પણ બીજા ડેરિવેટિવ્ઝનો પણ ઉપયોગ કરે છે આર(x) વર્તમાન બિંદુએ. જો કે, આ પદ્ધતિઓમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તેમની પોતાની મુશ્કેલ છે - એક બિંદુ પર બીજા ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી, અને વધુમાં, શ્રેષ્ઠતાથી દૂર, બીજા ડેરિવેટિવ્ઝનું મેટ્રિક્સ નબળી કન્ડિશન્ડ હોઈ શકે છે.
કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિ એ પ્રથમ અને દ્વિતીય ક્રમની પદ્ધતિઓના ફાયદાઓને જોડવાનો પ્રયાસ છે જ્યારે તેમના ગેરફાયદાને દૂર કરે છે. ચાલુ પ્રારંભિક તબક્કા(શ્રેષ્ઠતાથી દૂર) પદ્ધતિ પ્રથમ-ક્રમની પદ્ધતિની જેમ વર્તે છે, અને શ્રેષ્ઠની નજીકમાં તે બીજા-ક્રમની પદ્ધતિઓનો સંપર્ક કરે છે.
પ્રથમ પગલું સૌથી ઊંચું ઉતરવાની પદ્ધતિના પ્રથમ પગલા જેવું જ છે, બીજા અને પછીના પગલાં દરેક વખતે આપેલ બિંદુ અને અગાઉની દિશા પરના ઢાળ વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે રચાયેલી દિશામાં પસંદ કરવામાં આવે છે.
પદ્ધતિ અલ્ગોરિધમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે (વેક્ટર સ્વરૂપમાં):
x 1 = x 0 – h ગ્રેડ R(x 0),
x i+1 = x i – h .
મૂલ્ય α લગભગ અભિવ્યક્તિમાંથી શોધી શકાય છે
અલ્ગોરિધમ નીચે પ્રમાણે કાર્ય કરે છે. શરૂઆતના બિંદુથી એક્સ 0 મિનિટ શોધી રહ્યા છીએ આર(x) ઢાળની દિશામાં (બેહદ ઉતરાણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને), પછી, મળેલા બિંદુથી શરૂ કરીને અને આગળ, શોધ દિશા મીન બીજા અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. દિશામાં લઘુત્તમ માટે શોધ કોઈપણ રીતે હાથ ધરવામાં આવી શકે છે: તમે લઘુત્તમ પાસ કરતી વખતે સ્કેનીંગ પગલાને સમાયોજિત કર્યા વિના ક્રમિક સ્કેનીંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો, તેથી દિશામાં લઘુત્તમ પ્રાપ્ત કરવાની ચોકસાઈ પગલાના કદ પર આધારિત છે. h.
ચતુર્ભુજ કાર્ય માટે આર(x) માં ઉકેલ મળી શકે છે nપગલાં (પૃ- સમસ્યાનું પરિમાણ). અન્ય કાર્યો માટે, શોધ ધીમી હશે, અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં આના કારણે શ્રેષ્ઠતા સુધી પહોંચી શકશે નહીં. મજબૂત પ્રભાવકોમ્પ્યુટેશનલ ભૂલો.
કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને લઘુત્તમ દ્વિ-પરિમાણીય કાર્ય શોધવા માટે સંભવિત માર્ગોમાંથી એક ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 1.
ન્યૂનતમ શોધવા માટે સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિનું અલ્ગોરિધમ.
પ્રારંભિક તબક્કો.ઢાળ પદ્ધતિનો અમલ.
પ્રારંભિક અંદાજ સેટ કરો x 1 0 ,એક્સ 2 0 માપદંડનું મૂલ્ય નક્કી કરવું આર(x 1 0 ,એક્સ 2 0). k = 0 સેટ કરો અને પ્રારંભિક તબક્કાના સ્ટેપ 1 પર જાઓ.
પગલું 1. 
અને 
.
પગલું 2.જો ઢાળ મોડ્યુલ 
પગલું 3.
x k+1 = x k – h સ્નાતક આર(x k)).
પગલું 4. આર(x 1 k +1 , એક્સ 2 k +1). જો આર(x 1 k +1 , એક્સ 2 k +1)< આર(x 1k, એક્સ 2 k), પછી k = k+1 સેટ કરો અને સ્ટેપ 3 પર જાઓ. જો આર(x 1 k +1 , એક્સ 2 k +1) ≥ આર(x 1k, એક્સ 2 k), પછી મુખ્ય સ્ટેજ પર જાઓ.
મુખ્ય તબક્કો.
પગલું 1.ગણતરી કરો R(x 1 k + g, x 2 k), R(x 1 k – g, x 2 k), R(x 1 k , x 2 k + g), R(x 1 k , x 2 k) . અલ્ગોરિધમ અનુસાર, કેન્દ્રીય અથવા જોડી નમૂનામાંથી, આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યની ગણતરી કરો 
અને 
. ગ્રેડિયન્ટ મોડ્યુલસ મૂલ્યની ગણતરી કરો 
.
પગલું 2.જો ઢાળ મોડ્યુલ 
, પછી ગણતરી બંધ કરો અને બિંદુ (x 1 k, x 2 k) ને શ્રેષ્ઠ બિંદુ ગણો. નહિંતર, પગલું 3 પર જાઓ.
પગલું 3.સૂત્ર અનુસાર ગુણાંક α ની ગણતરી કરો:
પગલું 4.સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીને કાર્યનું પગલું કરો
x k+1 = x k – h .
પગલું 5.માપદંડ મૂલ્ય નક્કી કરો આર(x 1 k +1 , એક્સ 2 k +1). k = k+1 સેટ કરો અને સ્ટેપ 1 પર જાઓ.
ઉદાહરણ.
સરખામણી માટે, અગાઉના ઉદાહરણના ઉકેલને ધ્યાનમાં લો. અમે સૌથી ઊભો વંશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ પગલું લઈએ છીએ (કોષ્ટક 5).
કોષ્ટક 5
શ્રેષ્ઠ મુદ્દો મળી આવ્યો છે. અમે આ બિંદુએ ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરીએ છીએ: ડીઆર/ ડીએક્સ 1 = –2.908; ડીઆર/ ડીએક્સ 2 =1.600; અમે ગુણાંક α ની ગણતરી કરીએ છીએ, જે અગાઉના બિંદુ પર ઢાળના પ્રભાવને ધ્યાનમાં લે છે: α = 3.31920 ∙ 3.3192/8.3104 2 =0.160. અમે પદ્ધતિના અલ્ગોરિધમનો અનુસાર કાર્યકારી પગલું લઈએ છીએ, અમને મળે છે એક્સ 1 = 0,502, એક્સ 2 = 1.368. પછી બધું એ જ રીતે પુનરાવર્તિત થાય છે. નીચે, કોષ્ટકમાં. 6 આગળના પગલાઓ માટે વર્તમાન શોધ કોઓર્ડિનેટ્સ બતાવે છે.
કોષ્ટક 6
