ફંક્શન f x ની સીમા શોધો. બે ચલોના કાર્યની સીમા

કાર્ય $z=f(x,y)$ ને બિંદુ $(x_0,y_0)$ ના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થવા દો. તેઓ કહે છે કે $(x_0,y_0)$ એ (સ્થાનિક) મહત્તમ બિંદુ છે જો તમામ બિંદુઓ માટે $(x,y)$ બિંદુના અમુક પડોશમાં $(x_0,y_0)$ અસમાનતા $f(x,y) સંતુષ્ટ છે< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, પછી બિંદુ $(x_0,y_0)$ એ (સ્થાનિક) લઘુત્તમ બિંદુ કહેવાય છે.

મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટને વારંવાર કહેવામાં આવે છે સામાન્ય શબ્દ- એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ.

જો $(x_0,y_0)$ એ મહત્તમ બિંદુ છે, તો આ બિંદુએ ફંક્શન $f(x_0,y_0)$ ની કિંમત $z=f(x,y)$ ની મહત્તમ કહેવાય છે. તદનુસાર, ન્યૂનતમ બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમતને ફંકશનનું ન્યૂનતમ $z=f(x,y)$ કહેવાય છે. ફંક્શનના ન્યૂનતમ અને મહત્તમ એક સામાન્ય શબ્દ દ્વારા એક થાય છે - ફંક્શનની સીમા.

એક્સ્ટ્રીમમ માટે $z=f(x,y)$ ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવા માટે અલ્ગોરિધમ

1. આંશિક વ્યુત્પન્ન $\frac(\partial z)(\partial x)$ અને $\frac(\partial z)(\partial y)$ શોધો. $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 ની સિસ્ટમ કંપોઝ કરો અને હલ કરો \ end(સંરેખિત) \right.$ જે પોઈન્ટ્સ નિર્દિષ્ટ સિસ્ટમને સંતોષે છે તેને સ્થિર કહેવામાં આવે છે.
2. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial શોધો y^2)$ અને $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left( ની કિંમતની ગણતરી કરો \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ દરેક સ્થિર બિંદુ પર. તે પછી, નીચેની યોજનાનો ઉપયોગ કરો:
   1. જો $\Delta > 0$ અને $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (અથવા $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), પછી અભ્યાસ હેઠળનો મુદ્દો ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
   2. જો $\Delta > 0$ અને $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. જો $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. જો $\Delta = 0$, તો પછી એક્સ્ટ્રીમમની હાજરી વિશે ચોક્કસ કંઈ કહી શકાય નહીં; જરૂરી વધારાના સંશોધન.

નોંધ (ટેક્સ્ટની વધુ સંપૂર્ણ સમજ માટે ઇચ્છનીય): show\hide

જો $\Delta > 0$, તો $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2 > 0$. અને તે અનુસરે છે કે $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \partial x\partial y)\right)^2 ≥ 0$. તે. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. જો ચોક્કસ માત્રામાં ઉત્પાદન શૂન્ય કરતાં વધુ, તો પછી આ જથ્થાઓ સમાન ચિહ્નની છે. એટલે કે, ઉદાહરણ તરીકે, જો $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, તો $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. ટૂંકમાં, જો $\Delta > 0$ તો $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ અને $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ ના ચિહ્નો એકરૂપ થાય છે .

ઉદાહરણ નંબર 1

તેના અંતિમ ભાગ માટે $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ ફંક્શનની તપાસ કરો.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(સંરેખિત) \જમણે. $$

ચાલો આ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને $2$થી ઘટાડીએ અને સંખ્યાઓને સમીકરણોની જમણી બાજુએ ખસેડીએ:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(સંરેખિત) \જમણે. $$

અમે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવી છે. આ પરિસ્થિતિમાં, પરિણામી સિસ્ટમને હલ કરવા માટે ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો તે મને સૌથી અનુકૂળ લાગે છે.

$$ \begin(aligned) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(સંરેખિત) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

મૂલ્યો $x=2$, $y=-3$ એ સ્થિર બિંદુ $(2;-3)$ ના કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

ચાલો $\Delta$ ની કિંમતની ગણતરી કરીએ:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \આંશિક x\આંશિક y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

કારણ કે $\Delta > 0$ અને $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, પછી બિંદુ અનુસાર $(2;-3)$ એ ફંક્શન $ નો ન્યૂનતમ બિંદુ છે z$. આપેલ ફંક્શનમાં બિંદુ $(2;-3)$ના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીને અમે ફંક્શન $z$નું ન્યૂનતમ શોધીએ છીએ:

$$ z_(મિનિટ)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90. $$

જવાબ આપો: $(2;-3)$ - ન્યૂનતમ બિંદુ; $z_(મિનિટ)=-90$.

ઉદાહરણ નંબર 2

તેના અંતિમ ભાગ માટે $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ ફંક્શનની તપાસ કરો.

અમે ઉપરોક્તને અનુસરીશું. પ્રથમ, ચાલો પ્રથમ-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end( સંરેખિત) \right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(સંરેખિત) \જમણે. $$

ચાલો પ્રથમ સમીકરણને 3થી અને બીજાને 6થી ઘટાડીએ.

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(સંરેખિત) \જમણે. $$

જો $x=0$, તો બીજું સમીકરણ આપણને વિરોધાભાસ તરફ દોરી જશે: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. તેથી નિષ્કર્ષ: $x\neq 0$. પછી બીજા સમીકરણમાંથી આપણી પાસે છે: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. પ્રથમ સમીકરણમાં $y=\frac(2)(x)$ ને બદલીને, આપણી પાસે હશે:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

પ્રાપ્ત દ્વિપક્ષીય સમીકરણ. અમે બદલીએ છીએ $t=x^2$ (એટલે ​​કે $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(સંરેખિત) $$

જો $t=1$, તો $x^2=1$. તેથી અમારી પાસે $x$ ના બે મૂલ્યો છે: $x_1=1$, $x_2=-1$. જો $t=4$, તો $x^2=4$, એટલે કે. $x_3=2$, $x_4=-2$. તે $y=\frac(2)(x)$ યાદ રાખીને, અમને મળે છે:

\begin(સંરેખિત) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(સંરેખિત)

તો આપણી પાસે ચાર છે સ્થિર બિંદુઓ: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. આ અલ્ગોરિધમનું પ્રથમ પગલું પૂર્ણ કરે છે.

હવે ચાલો અલ્ગોરિધમ સાથે પ્રારંભ કરીએ. ચાલો બીજા ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

ચાલો $\Delta$ શોધીએ:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \આંશિક x\આંશિક y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

હવે આપણે અગાઉ મળેલા દરેક સ્થિર બિંદુઓ પર $\Delta$ ની કિંમતની ગણતરી કરીશું. ચાલો બિંદુ $M_1(1;2)$ થી શરૂ કરીએ. આ સમયે અમારી પાસે છે: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. $\Delta(M_1) થી< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

ચાલો બિંદુ $M_2(-1;-2)$ તપાસીએ. આ સમયે અમારી પાસે છે: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. $\Delta(M_2) થી< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

ચાલો બિંદુ $M_3(2;1)$ તપાસીએ. આ બિંદુએ અમને મળે છે:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

ત્યારથી $\Delta(M_3) > 0$ અને $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, પછી $M_3(2; 1)$ એ $z$ ફંક્શનનો ન્યૂનતમ બિંદુ છે. આપેલ ફંક્શનમાં બિંદુ $M_3$ ના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીને અમે ફંક્શન $z$ નો ન્યૂનતમ શોધીએ છીએ:

$$ z_(મિનિટ)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

તે બિંદુ $M_4(-2;-1)$નું અન્વેષણ કરવાનું બાકી છે. આ બિંદુએ અમને મળે છે:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

$\Delta(M_4) > 0$ અને $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4) થી< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(મહત્તમ)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

આત્યંતિક અભ્યાસ પૂર્ણ થયો. માત્ર જવાબ લખવાનું બાકી છે.

જવાબ આપો:

• $(2;1)$ - ન્યૂનતમ બિંદુ, $z_(મિનિટ)=-27$;
• $(-2;-1)$ - મહત્તમ બિંદુ, $z_(મહત્તમ)=29$.

નોંધ

માં $\Delta$ મૂલ્યની ગણતરી કરો સામાન્ય કેસત્યાં કોઈ જરૂર નથી, કારણ કે અમને ફક્ત ચિહ્નમાં જ રસ છે, અને નહીં ચોક્કસ અર્થઆ પરિમાણ. ઉદાહરણ તરીકે, ઉદાહરણ તરીકે નંબર 2 ઉપર ગણવામાં આવે છે, બિંદુ $M_3(2;1)$ પર અમારી પાસે $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$ છે. અહીં તે સ્પષ્ટ છે કે $\Delta > 0$ (કારણ કે $36$ અને $(2^2-1^2)$ બંને પરિબળો ધન છે) અને $\Delta$ નું ચોક્કસ મૂલ્ય ન મળવું શક્ય છે. સાચું છે, પ્રમાણભૂત ગણતરીઓ માટે આ ટિપ્પણી નકામું છે - તે જરૂરી છે કે તમારે ગણતરીઓ સંખ્યા પર લાવવી :)

ઉદાહરણ નંબર 3

ફંક્શન $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ તેની સીમા માટે તપાસો.

અમે અનુસરીશું. પ્રથમ, ચાલો પ્રથમ-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end( સંરેખિત) \right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(સંરેખિત) \જમણે. $$

ચાલો બંને સમીકરણોને $4$થી ઘટાડીએ:

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(સંરેખિત) \જમણે. $$

ચાલો પ્રથમ સમીકરણને બીજામાં ઉમેરીએ અને $y$ ને $x$ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં $y=-x$ ને બદલીને, આપણી પાસે હશે:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

પરિણામી સમીકરણમાંથી આપણી પાસે છે: $x=0$ અથવા $x^2-2=0$. $x^2-2=0$ સમીકરણ પરથી તે $x=-\sqrt(2)$ અથવા $x=\sqrt(2)$ને અનુસરે છે. તેથી, $x$ ના ત્રણ મૂલ્યો જોવા મળે છે, એટલે કે: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. $y=-x$ થી, પછી $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

ઉકેલનું પ્રથમ પગલું પૂર્ણ થયું છે. અમને ત્રણ સ્થિર બિંદુઓ મળ્યા: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

હવે ચાલો અલ્ગોરિધમ સાથે પ્રારંભ કરીએ. ચાલો બીજા ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

ચાલો $\Delta$ શોધીએ:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \આંશિક x\આંશિક y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

હવે આપણે અગાઉ મળેલા દરેક સ્થિર બિંદુઓ પર $\Delta$ ની કિંમતની ગણતરી કરીશું. ચાલો બિંદુ $M_1(0;0)$ થી શરૂ કરીએ. આ સમયે અમારી પાસે છે: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. કારણ કે $\Delta(M_1) = 0$, પછી વધારાના સંશોધનની જરૂર છે, કારણ કે વિચારણા હેઠળના બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમમની હાજરી વિશે ચોક્કસ કંઈ કહી શકાય નહીં. ચાલો આ મુદ્દાને હમણાં માટે એકલા છોડીએ અને અન્ય મુદ્દાઓ પર આગળ વધીએ.

ચાલો બિંદુ $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$ તપાસીએ. આ બિંદુએ અમને મળે છે:

\begin(સંરેખિત) અને \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(સંરેખિત)

ત્યારથી $\Delta(M_2) > 0$ અને $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, પછી $M_2(-\) અનુસાર sqrt(2),\sqrt(2))$ એ $z$ ફંક્શનનો ન્યૂનતમ બિંદુ છે. આપેલ ફંક્શનમાં બિંદુ $M_2$ ના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીને અમે ફંક્શન $z$ નો ન્યૂનતમ શોધીએ છીએ:

$$ z_(મિનિટ)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

એ જ રીતે પાછલા બિંદુની જેમ, અમે બિંદુ $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$નું પરીક્ષણ કરીએ છીએ. આ બિંદુએ અમને મળે છે:

\begin(સંરેખિત) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(સંરેખિત)

ત્યારથી $\Delta(M_3) > 0$ અને $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, પછી $M_3(\sqrt) અનુસાર (2),-\sqrt(2))$ એ $z$ ફંક્શનનો ન્યૂનતમ બિંદુ છે. આપેલ ફંક્શનમાં બિંદુ $M_3$ ના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીને અમે ફંક્શન $z$ નો ન્યૂનતમ શોધીએ છીએ:

$$ z_(મિનિટ)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

$M_1(0;0)$ બિંદુ પર પાછા ફરવાનો સમય છે, જેના પર $\Delta(M_1) = 0$ છે. આ મુજબ, વધારાના સંશોધનની જરૂર છે. આ અસ્પષ્ટ શબ્દસમૂહનો અર્થ થાય છે "તમે જે ઇચ્છો તે કરો" :). સામાન્ય પદ્ધતિઆવી પરિસ્થિતિઓનો કોઈ ઉકેલ નથી, અને આ સમજી શકાય તેવું છે. જો આવી પદ્ધતિ અસ્તિત્વમાં હોત તો ઘણા સમય પહેલા તમામ પાઠ્યપુસ્તકોમાં તેનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો હોત. આ દરમિયાન, આપણે જોવું પડશે ખાસ અભિગમદરેક બિંદુ કે જ્યાં $\Delta = 0$. સારું, ચાલો બિંદુ $M_1(0;0)$ ની નજીકમાં ફંક્શનના વર્તનનું પરીક્ષણ કરીએ. ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે $z(M_1)=z(0;0)=3$. ચાલો ધારીએ કે $M_1(0;0)$ એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે. પછી બિંદુ $M_1(0;0)$ ના અમુક પડોશમાંથી કોઈપણ બિંદુ $M$ માટે અમે $z(M) > z(M_1)$ મેળવીએ છીએ, એટલે કે. $z(M) > 3$. જો કોઈ પડોશમાં $z(M) પર પૉઇન્ટ હોય તો શું કરવું< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

ચાલો એવા મુદ્દાઓ પર વિચાર કરીએ કે જેના માટે $y=0$, એટલે કે. ફોર્મના બિંદુઓ $(x,0)$. આ બિંદુઓ પર ફંક્શન $z$ નીચેના મૂલ્યો લેશે:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

બધા પર્યાપ્ત નાના પડોશમાં $M_1(0;0)$ અમારી પાસે $x^2-2 છે< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

પરંતુ કદાચ બિંદુ $M_1(0;0)$ મહત્તમ બિંદુ છે? જો આવું હોય, તો બિંદુ $M_1(0;0)$ ના અમુક પડોશમાંથી કોઈપણ બિંદુ $M$ માટે અમે $z(M) મેળવીએ છીએ.< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? પછી બિંદુ $M_1$ પર ચોક્કસપણે મહત્તમ હશે નહીં.

ચાલો એવા મુદ્દાઓને ધ્યાનમાં લઈએ જેના માટે $y=x$, એટલે કે. ફોર્મના બિંદુઓ $(x,x)$. આ બિંદુઓ પર ફંક્શન $z$ નીચેના મૂલ્યો લેશે:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

બિંદુ $M_1(0;0)$ ના કોઈપણ પડોશમાં હોવાથી અમારી પાસે $2x^4 > 0$ છે, પછી $2x^4+3 > 3$ છે. નિષ્કર્ષ: બિંદુ $M_1(0;0)$ ના કોઈપણ પડોશમાં એવા બિંદુઓ છે કે જેના પર $z > 3$ છે, તેથી બિંદુ $M_1(0;0)$ એ મહત્તમ બિંદુ હોઈ શકતો નથી.

બિંદુ $M_1(0;0)$ ન તો મહત્તમ કે લઘુત્તમ બિંદુ છે. નિષ્કર્ષ: $M_1$ એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ બિલકુલ નથી.

જવાબ આપો: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ એ $z$ ફંક્શનના ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે. બંને બિંદુઓ પર $z_(મિનિટ)=-5$.

બિંદુ x 0 કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુ(ન્યૂનતમ) ફંક્શન f(x), જો બિંદુ x 0 ના અમુક પડોશમાં અસમાનતા f(x) ≤f(x 0) (f(x) ≥f(x 0)) સંતુષ્ટ છે.

આ બિંદુએ ફંક્શનની કિંમત તે મુજબ કહેવામાં આવે છે મહત્તમઅથવા ન્યૂનતમકાર્યો મહત્તમ અને લઘુત્તમ કાર્યો એક સામાન્ય નામ દ્વારા એક થાય છે આત્યંતિકકાર્યો

આ અર્થમાં કાર્યની સીમાને ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે સ્થાનિક અંતિમ, એ હકીકત પર ભાર મૂકે છે કે આ ખ્યાલ ફક્ત x 0 બિંદુના પૂરતા પ્રમાણમાં નાના પડોશી સાથે સંકળાયેલ છે. સમાન અંતરાલ પર, ફંક્શનમાં ઘણા સ્થાનિક મેક્સિમા અને મિનિમા હોઈ શકે છે, જે જરૂરી નથી વૈશ્વિક મહત્તમઅથવા ન્યૂનતમ(એટલે ​​​​કે સમગ્ર અંતરાલ પર કાર્યનું સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય).

એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ. ફંક્શનને એક બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમમ રાખવા માટે, તે જરૂરી છે કે આ બિંદુએ તેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય.

વિભેદક કાર્યો માટે, આ સ્થિતિ ફર્મેટના પ્રમેયને અનુસરે છે. વધુમાં, તે એવા કેસ માટે પણ પ્રદાન કરે છે જ્યારે ફંક્શન એક એવા બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમમ ધરાવે છે કે જ્યાં તે ભિન્ન નથી.

પોઈન્ટ જ્યાં થાય છે જરૂરી સ્થિતિ extremum કહેવાય છે જટિલ(અથવા સ્થિરએક અલગ કાર્ય માટે). આ બિંદુઓ ફંક્શનના ડોમેનની અંદર હોવા જોઈએ.

આમ, જો કોઈ બિંદુએ એક્સ્ટ્રીમમ હોય, તો આ બિંદુ જટિલ છે (જરૂરી સ્થિતિ). નોંધ કરો કે વાતચીત સાચી નથી. નિર્ણાયક બિંદુ એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ જરૂરી નથી, એટલે કે. જણાવેલ સ્થિતિ પર્યાપ્ત નથી.

એક્સ્ટ્રીમ માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત સ્થિતિ. જો, જ્યારે કોઈ ચોક્કસ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે વિભેદક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન તેના ચિહ્નને વત્તાથી ઓછામાં બદલે છે, તો આ કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ છે, અને જો બાદબાકીથી વત્તામાં, તો આ લઘુત્તમ બિંદુ છે.

આ સ્થિતિનો પુરાવો એકવિધતાની પર્યાપ્ત સ્થિતિ (જ્યારે વ્યુત્પન્નની નિશાની બદલાય છે, ત્યારે કાર્યમાં વધારો થવાથી ઘટાડા તરફ અથવા ઘટાડાથી વધારામાં સંક્રમણ થાય છે) પરથી મળે છે.

એક્સ્ટ્રીમ માટે બીજી પર્યાપ્ત સ્થિતિ. જો કોઈ બિંદુએ બે વાર ડિફરન્સિબલ ફંક્શનનું પ્રથમ ડેરિવેટિવ શૂન્ય હોય, અને આ બિંદુએ બીજું ડેરિવેટિવ ધન હોય, તો આ ફંક્શનનો ન્યૂનતમ બિંદુ છે; અને જો બીજું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે, તો આ મહત્તમ બિંદુ છે.

આ સ્થિતિનો પુરાવો પણ એકવિધતાની પૂરતી સ્થિતિ પર આધારિત છે. વાસ્તવમાં, જો બીજું ડેરિવેટિવ ધન છે, તો પ્રથમ ડેરિવેટિવ વધતું કાર્ય છે. કારણ કે વિચારણા હેઠળના બિંદુ પર તે શૂન્યની બરાબર છે, તેથી, જ્યારે તેમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે તે બાદબાકીથી વત્તામાં ચિહ્ન બદલાય છે, જે અમને સ્થાનિક લઘુત્તમ માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત સ્થિતિમાં પરત કરે છે. તેવી જ રીતે, જો બીજું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હોય, તો પ્રથમ ઘટે છે અને વત્તાથી માઈનસમાં ચિહ્ન બદલાય છે, જે સ્થાનિક મહત્તમ માટે પૂરતી સ્થિતિ છે.

એક્સ્ટ્રીમમ માટે કાર્યનો અભ્યાસ કરવોઘડવામાં આવેલા પ્રમેય અનુસાર, નીચેના તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે:

1. ફંકશન f`(x) નું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધો.

2. જરૂરી આત્યંતિક સ્થિતિની પરિપૂર્ણતા તપાસો, એટલે કે. ફંક્શન f(x) ના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો કે જેના પર વ્યુત્પન્ન f`(x) = 0 અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

3. એક્સ્ટ્રીમમ માટે પૂરતી સ્થિતિની પરિપૂર્ણતા તપાસો, એટલે કે. અથવા દરેકની ડાબી અને જમણી બાજુએ વ્યુત્પન્નની નિશાની તપાસો નિર્ણાયક બિંદુ, અથવા બીજું વ્યુત્પન્ન f``(x) શોધો અને દરેક નિર્ણાયક બિંદુ પર તેનું ચિહ્ન નક્કી કરો. કાર્યના અંતિમ ભાગની હાજરી વિશે નિષ્કર્ષ દોરો.

4. ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા (અતિશય મૂલ્યો) શોધો.

કાર્યનું વૈશ્વિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ શોધવુંચોક્કસ અંતરાલ પર પણ મોટી હોય છે લાગુ મૂલ્ય. સેગમેન્ટ પરની આ સમસ્યાનો ઉકેલ વેરસ્ટ્રાસ પ્રમેય પર આધારિત છે, જે મુજબ સતત કાર્યસેગમેન્ટ પર તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો લે છે. તેઓ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ અને સેગમેન્ટના છેડા બંને પર પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. તેથી, ઉકેલમાં નીચેના પગલાં શામેલ છે:

1. ફંકશન f`(x) નું વ્યુત્પન્ન શોધો.

2. ફંક્શન f(x) ના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો, જેના પર વ્યુત્પન્ન f`(x) = 0 અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

3. નિર્ણાયક બિંદુઓ પર અને સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યો શોધો અને તેમાંથી સૌથી મોટું અને નાનું પસંદ કરો.

ફંક્શનનો એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ એ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં તે બિંદુ છે કે જેના પર ફંક્શનનું મૂલ્ય ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમ મૂલ્ય. આ બિંદુઓ પરના ફંક્શનના મૂલ્યોને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા (લઘુત્તમ અને મહત્તમ) કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. ડોટ x1 કાર્ય ડોમેન f(x) કહેવાય છે કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ , જો આ બિંદુએ કાર્યનું મૂલ્ય વધુ મૂલ્યોતેની જમણી અને ડાબી બાજુએ સ્થિત, તેની નજીકના બિંદુઓ પર કાર્ય કરે છે (એટલે ​​​​કે, અસમાનતા f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 મહત્તમ

વ્યાખ્યા. ડોટ x2 કાર્ય ડોમેન f(x) કહેવાય છે કાર્યનો ન્યૂનતમ બિંદુ, જો આ બિંદુએ ફંક્શનનું મૂલ્ય તેની જમણી અને ડાબી બાજુએ સ્થિત બિંદુઓ પરના ફંક્શનના મૂલ્યો કરતાં ઓછું હોય તો તેની પર્યાપ્ત રીતે નજીક હોય (એટલે ​​​​કે, અસમાનતા ધરાવે છે f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). આ કિસ્સામાં અમે કહીએ છીએ કે કાર્ય બિંદુ પર છે x2 ન્યૂનતમ

ચાલો બિંદુ કહીએ x1 - કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ f(x). પછી સુધીના અંતરાલમાં x1 કાર્ય વધે છે, તેથી ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય કરતા વધારે છે ( f "(x) > 0 ), અને પછીના અંતરાલમાં x1 કાર્ય ઘટે છે, તેથી, કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય કરતાં ઓછું (f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

ચાલો આપણે પણ માની લઈએ કે બિંદુ x2 - કાર્યનો ન્યૂનતમ બિંદુ f(x). પછી સુધીના અંતરાલમાં x2 ફંક્શન ઘટી રહ્યું છે, અને ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય કરતા ઓછું છે ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 કાર્ય વધી રહ્યું છે, અને કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય કરતા વધારે છે ( f "(x) > 0 ) આ કિસ્સામાં પણ બિંદુ પર x2 કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

ફર્મેટનું પ્રમેય ( જરૂરી નિશાનીકાર્યના અંતિમ ભાગનું અસ્તિત્વ). જો બિંદુ x0 - કાર્યનો અંતિમ બિંદુ f(x) તો આ બિંદુએ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે ( f "(x) = 0 ) અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

વ્યાખ્યા. જે બિંદુઓ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી તેને કહેવામાં આવે છે નિર્ણાયક મુદ્દાઓ .

ઉદાહરણ 1.ચાલો કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ.

બિંદુએ x= 0 ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે, તેથી બિંદુ x= 0 એ નિર્ણાયક બિંદુ છે. જો કે, ફંક્શનના ગ્રાફમાં જોઈ શકાય છે તેમ, તે વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં વધે છે, તેથી બિંદુ x= 0 એ આ ફંક્શનનો અંતિમ બિંદુ નથી.

આમ, એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય તેવી શરતો એ એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી શરતો છે, પરંતુ પર્યાપ્ત નથી, કારણ કે ફંક્શનના અન્ય ઉદાહરણો આપી શકાય છે જેના માટે આ શરતો પૂરી થાય છે, પરંતુ ફંક્શન અનુરૂપ બિંદુ પર એક સીમા નથી. તેથી જ પૂરતા પુરાવા હોવા જોઈએ, કોઈ ચોક્કસ નિર્ણાયક બિંદુ પર કોઈ એક્સ્ટ્રીમમ છે કે કેમ અને તે કેવા પ્રકારનું છે - મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ છે તે નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

પ્રમેય (ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વની પ્રથમ પર્યાપ્ત નિશાની).જટિલ બિંદુ x0 f(x) જો, આ બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે, ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન બદલાય છે, અને જો ચિહ્ન “વત્તા” થી “માઈનસ” માં બદલાય છે, તો તે મહત્તમ બિંદુ છે, અને જો “માઈનસ” થી “પ્લસ”, તો પછી તે ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

જો બિંદુ નજીક x0 , તેની ડાબી અને જમણી બાજુએ, વ્યુત્પન્ન તેનું ચિહ્ન જાળવી રાખે છે, આનો અર્થ એ છે કે કાર્ય કાં તો બિંદુના ચોક્કસ પડોશમાં માત્ર ઘટે છે અથવા માત્ર વધે છે. x0 . આ કિસ્સામાં, બિંદુ પર x0 ત્યાં કોઈ આત્યંતિક નથી.

તેથી, ફંક્શનના અંતિમ બિંદુઓને નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે નીચેના કરવાની જરૂર છે :

1. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.
2. વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સમાન કરો અને નિર્ણાયક બિંદુઓ નક્કી કરો.
3. માનસિક રીતે અથવા કાગળ પર, નિર્ણાયક મુદ્દાઓને ચિહ્નિત કરો સંખ્યા અક્ષઅને પરિણામી અંતરાલોમાં કાર્યના વ્યુત્પન્નના સંકેતો નક્કી કરો. જો વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન "વત્તા" થી "માઈનસ" માં બદલાય છે, તો નિર્ણાયક બિંદુ મહત્તમ બિંદુ છે, અને જો "માઈનસ" થી "પ્લસ" માં, તો લઘુત્તમ બિંદુ છે.
4. અંતિમ બિંદુઓ પર કાર્યના મૂલ્યની ગણતરી કરો.

ઉદાહરણ 2.ફંક્શનની સીમા શોધો .

ઉકેલ. ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

ચાલો નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધવા માટે વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:

.

કારણ કે "x" ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે છેદ નથી શૂન્ય બરાબર, પછી આપણે અંશને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:

એક નિર્ણાયક મુદ્દો મળ્યો x= 3. ચાલો આ બિંદુ દ્વારા સીમાંકિત અંતરાલોમાં વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરીએ:

માઈનસ અનંતથી 3 સુધીની રેન્જમાં - બાદબાકીનું ચિહ્ન, એટલે કે કાર્ય ઘટે છે,

3 થી વત્તા અનંત સુધીના અંતરાલમાં વત્તાનું ચિહ્ન છે, એટલે કે કાર્ય વધે છે.

એટલે કે સમયગાળો x= 3 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

ચાલો લઘુત્તમ બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમત શોધીએ:

આમ, ફંક્શનનો આત્યંતિક બિંદુ જોવા મળે છે: (3; 0), અને તે ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

પ્રમેય (ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વની બીજી પર્યાપ્ત નિશાની).જટિલ બિંદુ x0 કાર્યનું અંતિમ બિંદુ છે f(x) જો આ બિંદુએ ફંક્શનનું બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર ન હોય તો ( f ""(x) ≠ 0 ), અને જો બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય કરતા વધારે હોય ( f ""(x) > 0 ), પછી મહત્તમ બિંદુ, અને જો બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય કરતાં ઓછું હોય ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

નોંધ 1. જો બિંદુ પર x0 જો પ્રથમ અને બીજા બંને ડેરિવેટિવ્સ અદૃશ્ય થઈ જાય, તો પછી આ બિંદુએ બીજા પૂરતા માપદંડના આધારે એક્સ્ટ્રીમમની હાજરીનો નિર્ણય કરવો અશક્ય છે. આ કિસ્સામાં, તમારે ફંક્શનના અંતિમ ભાગ માટે પ્રથમ પૂરતા માપદંડનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

રિમાર્ક 2. ફંક્શનની સીમા માટે બીજો પર્યાપ્ત માપદંડ લાગુ પડતો નથી ત્યારે પણ જ્યારે પ્રથમ વ્યુત્પન્ન સ્થિર બિંદુ પર અસ્તિત્વમાં ન હોય (પછી બીજું ડેરિવેટિવ પણ અસ્તિત્વમાં નથી). આ કિસ્સામાં, તમારે ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના પ્રથમ પર્યાપ્ત સંકેતનો પણ ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

કાર્યના અંતિમ ભાગની સ્થાનિક પ્રકૃતિ

ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓ પરથી તે અનુસરે છે કે કાર્યની સીમા છે સ્થાનિક પાત્ર- નજીકના મૂલ્યોની તુલનામાં આ કાર્યનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય છે.

ધારો કે તમે એક વર્ષના સમયગાળામાં તમારી કમાણી જોઈ રહ્યાં છો. જો મે મહિનામાં તમે 45,000 રુબેલ્સ અને એપ્રિલમાં 42,000 રુબેલ્સ અને જૂનમાં 39,000 રુબેલ્સની કમાણી કરી હોય, તો મેની કમાણી નજીકના મૂલ્યોની તુલનામાં કમાણી કાર્યની મહત્તમ છે. પરંતુ ઑક્ટોબરમાં તમે 71,000 રુબેલ્સ, સપ્ટેમ્બરમાં 75,000 રુબેલ્સ અને નવેમ્બરમાં 74,000 રુબેલ્સ કમાયા, તેથી ઑક્ટોબરની કમાણી એ નજીકના મૂલ્યોની તુલનામાં કમાણી કાર્યની ન્યૂનતમ છે. અને તમે સરળતાથી જોઈ શકો છો કે એપ્રિલ-મે-જૂનના મૂલ્યોમાં મહત્તમ સપ્ટેમ્બર-ઓક્ટોબર-નવેમ્બરના લઘુત્તમ કરતાં ઓછું છે.

સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એક અંતરાલ પર ફંક્શનમાં ઘણા એક્સ્ટ્રીમા હોઈ શકે છે, અને તે બહાર આવી શકે છે કે અમુક ન્યૂનતમ ફંક્શન કોઈપણ મહત્તમ કરતા વધારે છે. તેથી, ઉપરની આકૃતિમાં બતાવેલ કાર્ય માટે, .

એટલે કે, કોઈએ એવું ન વિચારવું જોઈએ કે કાર્યની મહત્તમ અને લઘુત્તમ અનુક્રમે, વિચારણા હેઠળના સમગ્ર સેગમેન્ટ પર તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો છે. મહત્તમ બિંદુએ, ફંક્શન માત્ર તે મૂલ્યોની તુલનામાં સૌથી વધુ મૂલ્ય ધરાવે છે જે તે તમામ બિંદુઓ પર મહત્તમ બિંદુની પૂરતા પ્રમાણમાં નજીક હોય છે, અને લઘુત્તમ બિંદુએ તે મૂલ્યોની સરખામણીમાં માત્ર સૌથી નાનું મૂલ્ય ધરાવે છે. કે તે તમામ બિંદુઓ પર ન્યૂનતમ બિંદુની પૂરતી નજીક છે.

તેથી, આપણે ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટની ઉપરની વિભાવનાને સ્પષ્ટ કરી શકીએ છીએ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટ પોઈન્ટ કહી શકીએ છીએ. સ્થાનિક લઘુત્તમ, અને મહત્તમ પોઈન્ટ એ સ્થાનિક મહત્તમ પોઈન્ટ છે.

અમે એકસાથે ફંક્શનની સીમા શોધીએ છીએ

ઉદાહરણ 3.

ઉકેલ: ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે. તેનું વ્યુત્પન્ન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી માં આ કિસ્સામાંનિર્ણાયક બિંદુઓ ફક્ત તે જ છે કે જેના પર, એટલે કે. , ક્યાંથી અને . નિર્ણાયક મુદ્દાઓ અને કાર્યની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનને એકવિધતાના ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજીત કરો: . ચાલો તેમાંથી દરેકમાં એક નિયંત્રણ બિંદુ પસંદ કરીએ અને આ બિંદુએ વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન શોધીએ.

અંતરાલ માટે, નિયંત્રણ બિંદુ હોઈ શકે છે: શોધો. ઈન્ટરવલમાં પોઈન્ટ લેવાથી આપણને મળે છે અને ઈન્ટરવલમાં પોઈન્ટ લેવાથી આપણી પાસે છે. તેથી, અંતરાલોમાં અને , અને અંતરાલમાં. પ્રથમ મુજબ પર્યાપ્ત નિશાનીત્યાં કોઈ આત્યંતિક નથી, બિંદુ પર કોઈ આત્યંતિક નથી (કારણ કે વ્યુત્પન્ન અંતરાલમાં તેની નિશાની જાળવી રાખે છે), અને બિંદુ પર કાર્ય ન્યૂનતમ હોય છે (કારણ કે જ્યારે આ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન માઈનસથી પ્લસમાં બદલાય છે). ચાલો ફંક્શનના અનુરૂપ મૂલ્યો શોધીએ: , a. અંતરાલમાં કાર્ય ઘટે છે, કારણ કે આ અંતરાલમાં, અને અંતરાલમાં તે વધે છે, કારણ કે આ અંતરાલમાં.

આલેખના બાંધકામને સ્પષ્ટ કરવા માટે, આપણે સંકલન અક્ષો સાથે તેના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ. જ્યારે આપણે એક સમીકરણ મેળવીએ છીએ જેના મૂળ છે અને , એટલે કે, ફંક્શનના ગ્રાફના બે બિંદુઓ (0; 0) અને (4; 0) જોવા મળે છે. પ્રાપ્ત કરેલી બધી માહિતીનો ઉપયોગ કરીને, અમે ગ્રાફ બનાવીએ છીએ (ઉદાહરણની શરૂઆત જુઓ).

ઉદાહરણ 4.ફંક્શનની સીમા શોધો અને તેનો ગ્રાફ બનાવો.

ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન એ બિંદુ સિવાયની સંપૂર્ણ સંખ્યા રેખા છે, એટલે કે. .

અભ્યાસને ટૂંકો કરવા માટે, તમે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરી શકો છો કે આ કાર્ય સમ છે, ત્યારથી . તેથી, તેનો ગ્રાફ અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે ઓયઅને અભ્યાસ માત્ર અંતરાલ માટે જ કરી શકાય છે.

વ્યુત્પન્ન શોધવી અને કાર્યના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ:

1) ;

2) ,

પરંતુ ફંક્શન આ બિંદુએ અવ્યવસ્થિતતાનો ભોગ બને છે, તેથી તે એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ ન હોઈ શકે.

આમ, આપેલ ફંક્શનમાં બે નિર્ણાયક મુદ્દાઓ છે: અને . ફંક્શનની સમાનતાને ધ્યાનમાં લેતા, અમે એક્સ્ટ્રીમમ માટે બીજા પૂરતા માપદંડનો ઉપયોગ કરીને માત્ર બિંદુને તપાસીશું. આ કરવા માટે, આપણે બીજું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ અને તેની નિશાની અહીં નક્કી કરો: આપણને મળે છે. ત્યારથી અને , તે કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ છે, અને .

ફંક્શનના ગ્રાફનું વધુ સંપૂર્ણ ચિત્ર મેળવવા માટે, ચાલો વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમાઓ પર તેની વર્તણૂક શોધીએ:

(અહીં પ્રતીક ઇચ્છા દર્શાવે છે xજમણી બાજુથી શૂન્ય સુધી, અને xહકારાત્મક રહે છે; એ જ રીતે આકાંક્ષાનો અર્થ થાય છે xડાબેથી શૂન્ય સુધી, અને xનકારાત્મક રહે છે). આમ, જો, તો પછી. આગળ, અમે શોધીએ છીએ

,

તે જો , તો પછી .

ફંક્શનના ગ્રાફમાં અક્ષો સાથે કોઈ આંતરછેદ બિંદુઓ નથી. ચિત્ર ઉદાહરણની શરૂઆતમાં છે.

અમે સાથે મળીને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા શોધવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ

ઉદાહરણ 8.ફંક્શનની સીમા શોધો.

ઉકેલ. ચાલો ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ. અસમાનતા સંતોષવી આવશ્યક હોવાથી, અમે માંથી મેળવીએ છીએ.

ચાલો ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

ચાલો ફંક્શનના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધીએ.

આ સેવા સાથે તમે કરી શકો છો ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શોધોવર્ડમાં ફોર્મેટ કરેલ સોલ્યુશન સાથેનું એક ચલ f(x). જો ફંક્શન f(x,y) આપવામાં આવ્યું હોય, તો બે ચલોના ફંક્શનની સીમા શોધવાનું જરૂરી છે. તમે વધતા અને ઘટતા કાર્યોના અંતરાલો પણ શોધી શકો છો.

કાર્યો દાખલ કરવા માટેના નિયમો:

એક ચલના કાર્યની સીમા માટે જરૂરી સ્થિતિ

એક ચલના કાર્યની સીમા માટે પૂરતી સ્થિતિ

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

પછી બિંદુ x * એ કાર્યના લઘુત્તમ સ્થાનિક (વૈશ્વિક) બિંદુ છે.

જો બિંદુ x * પર શરત પૂરી થાય છે:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

પછી બિંદુ x * એ સ્થાનિક (વૈશ્વિક) મહત્તમ છે.

ઉદાહરણ નંબર 1. કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધો: સેગમેન્ટ પર.
ઉકેલ.

નિર્ણાયક બિંદુ એક x 1 = 2 (f’(x)=0) છે. આ બિંદુ સેગમેન્ટનો છે. (બિંદુ x=0 મહત્વપૂર્ણ નથી, કારણ કે 0∉).
અમે સેગમેન્ટના છેડે અને નિર્ણાયક બિંદુએ ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
જવાબ: f મિનિટ = 5/2 x=2 પર; f મહત્તમ =9 પર x=1

ઉદાહરણ નંબર 2. ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને, ફંક્શન y=x-2sin(x) ની સીમા શોધો.
ઉકેલ.
ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો: y’=1-2cos(x) . ચાલો નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધીએ: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. આપણે શોધીએ છીએ y’=2sin(x), ગણતરી , જેનો અર્થ છે x= π / 3 +2πk, k∈Z એ ફંક્શનના ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે; , જેનો અર્થ થાય છે x=- π / 3 +2πk, k∈Z એ કાર્યના મહત્તમ બિંદુઓ છે.

ઉદાહરણ નંબર 3. બિંદુ x=0 ની નજીકમાં એક્સ્ટ્રીમમ ફંક્શનની તપાસ કરો.
ઉકેલ. અહીં ફંક્શનની સીમા શોધવાનું જરૂરી છે. જો એક્સટ્રીમમ x=0, તો તેનો પ્રકાર (ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમ) શોધો. જો મળેલા બિંદુઓ વચ્ચે કોઈ x = 0 ન હોય, તો ફંક્શન f(x=0) ની કિંમતની ગણતરી કરો.
એ નોંધવું જોઈએ કે જ્યારે આપેલ બિંદુની દરેક બાજુ પરનું વ્યુત્પન્ન તેના ચિહ્નને બદલતું નથી, ત્યારે શક્ય પરિસ્થિતિઓવિભેદક કાર્યો માટે પણ: એવું થઈ શકે છે કે બિંદુ x 0 ની એક બાજુએ અથવા બંને બાજુએ મનસ્વી રીતે નાના પડોશી માટે, વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન. આ બિંદુઓ પર એક્સ્ટ્રીમ પર કાર્યોનો અભ્યાસ કરવા માટે અન્ય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

આ લેખમાંથી વાચક કાર્યાત્મક મૂલ્યની સીમા શું છે તે વિશે તેમજ તેના ઉપયોગની સુવિધાઓ વિશે શીખશે. વ્યવહારુ પ્રવૃત્તિઓ. મૂળભૂત બાબતોને સમજવા માટે આવી વિભાવના શીખવી જરૂરી છે ઉચ્ચ ગણિત. અભ્યાસક્રમના ઊંડા અભ્યાસ માટે આ વિષય મૂળભૂત છે.

એક્સ્ટ્રીમમ શું છે?

IN શાળા અભ્યાસક્રમવિભાવના "એક્સ્ટ્રીમમ" ની ઘણી વ્યાખ્યાઓ આપવામાં આવી છે. આ લેખનો ઉદ્દેશ્ય જેઓ આ મુદ્દાથી અજાણ છે તેમને આ શબ્દની સૌથી ઊંડી અને સ્પષ્ટ સમજ આપવાનો છે. તેથી, શબ્દ સમજાય છે કે કાર્યાત્મક અંતરાલ ચોક્કસ સમૂહ પર લઘુત્તમ અથવા મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.

આત્યંતિક છે ન્યૂનતમ મૂલ્યકાર્યો, અને તે જ સમયે મહત્તમ. ત્યાં ન્યૂનતમ બિંદુ અને મહત્તમ બિંદુ છે, એટલે કે, આત્યંતિક મૂલ્યોગ્રાફ પર દલીલ. આ ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા મુખ્ય વિજ્ઞાન છે:

• આંકડા
• મશીન નિયંત્રણ;
• અર્થશાસ્ત્ર

એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ રમે છે મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકાક્રમ નક્કી કરવામાં આપેલ કાર્ય. માં ગ્રાફ પર સંકલન સિસ્ટમ તેના શ્રેષ્ઠમાંકાર્યક્ષમતામાં ફેરફારના આધારે આત્યંતિક સ્થિતિમાં ફેરફાર દર્શાવે છે.

વ્યુત્પન્ન કાર્યની એક્સ્ટ્રીમા

"વ્યુત્પન્ન" જેવી ઘટના પણ છે. તે અંતિમ બિંદુ નક્કી કરવા માટે જરૂરી છે. સૌથી વધુ અને સૌથી નીચા મૂલ્યો સાથે લઘુત્તમ અથવા મહત્તમ બિંદુઓને ગૂંચવવું નહીં તે મહત્વનું છે. આ વિવિધ ખ્યાલો, જો કે તેઓ સમાન લાગે છે.

મહત્તમ બિંદુ કેવી રીતે શોધવું તે નક્કી કરવા માટે કાર્યનું મૂલ્ય મુખ્ય પરિબળ છે. વ્યુત્પન્ન મૂલ્યોમાંથી નથી, પરંતુ ફક્ત એક અથવા બીજા ક્રમમાં તેની આત્યંતિક સ્થિતિથી રચાય છે.

વ્યુત્પન્ન પોતે આ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે, અને સૌથી મોટા અથવા નહીં સૌથી નીચું મૂલ્ય. IN રશિયન શાળાઓઆ બે ખ્યાલો વચ્ચેની રેખા સ્પષ્ટ રીતે દોરવામાં આવી નથી, જે સામાન્ય રીતે આ વિષયની સમજને અસર કરે છે.

ચાલો હવે આવા ખ્યાલને "તીવ્ર આત્યંતિક" તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ. આજે, એક તીવ્ર લઘુત્તમ મૂલ્ય અને તીવ્ર મહત્તમ મૂલ્ય છે. વ્યાખ્યા ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓના રશિયન વર્ગીકરણ અનુસાર આપવામાં આવે છે. એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટની વિભાવના એ ગ્રાફ પર નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધવાનો આધાર છે.

આવા ખ્યાલને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તેઓ ફર્મેટના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે. અભ્યાસ દરમિયાન તે સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે આત્યંતિક બિંદુઓઅને એક અથવા બીજા સ્વરૂપે તેમના અસ્તિત્વનો સ્પષ્ટ ખ્યાલ આપે છે. આત્યંતિકતાને સુનિશ્ચિત કરવા માટે, ગ્રાફ પર ઘટાડો અથવા વધારો કરવા માટે ચોક્કસ શરતો બનાવવી મહત્વપૂર્ણ છે.

"મહત્તમ બિંદુ કેવી રીતે શોધવું" પ્રશ્નનો સચોટ જવાબ આપવા માટે, તમારે આ દિશાનિર્દેશોનું પાલન કરવું આવશ્યક છે:

1. ગ્રાફ પર વ્યાખ્યાનું ચોક્કસ ડોમેન શોધવું.
2. ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન અને અંતિમ બિંદુ માટે શોધો.
3. જ્યાં દલીલ મળે છે તે ડોમેન માટે પ્રમાણભૂત અસમાનતાઓ ઉકેલો.
4. ગ્રાફ પરનો બિંદુ કયા કાર્યોમાં નિર્ધારિત અને સતત છે તે સાબિત કરવામાં સમર્થ થાઓ.

ધ્યાન આપો!ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુની શોધ ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જો ત્યાં ઓછામાં ઓછા બીજા ક્રમનું વ્યુત્પન્ન હોય, જે એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટની હાજરીના ઉચ્ચ પ્રમાણ દ્વારા સુનિશ્ચિત કરવામાં આવે છે.

કાર્યના અંતિમ ભાગ માટે જરૂરી સ્થિતિ

એક્સ્ટ્રીમમ અસ્તિત્વમાં રહે તે માટે, તે મહત્વનું છે કે ત્યાં લઘુત્તમ અને મહત્તમ બંને બિંદુઓ હોય. જો આ નિયમ ફક્ત આંશિક રીતે અવલોકન કરવામાં આવે છે, તો પછી એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટેની સ્થિતિનું ઉલ્લંઘન થાય છે.

કોઈપણ સ્થિતિમાં દરેક કાર્ય તેના નવા અર્થોને ઓળખવા માટે અલગ હોવું આવશ્યક છે. તે સમજવું અગત્યનું છે કે શૂન્ય પર જતા બિંદુનો કેસ એ વિભેદક બિંદુ શોધવાનો મુખ્ય સિદ્ધાંત નથી.

તીક્ષ્ણ એક્સ્ટ્રીમમ, તેમજ કાર્યનું ન્યૂનતમ, એ ઉકેલનું અત્યંત મહત્વનું પાસું છે. ગાણિતિક સમસ્યાઆત્યંતિક મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને. આ ઘટકને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, તેનો સંદર્ભ લેવો મહત્વપૂર્ણ છે કોષ્ટક મૂલ્યોકાર્યક્ષમતા અનુસાર.