હાયપરબોલિક કોસાઇનની ડિગ્રી ઘટાડવી. હાયપરબોલિક કાર્યોની વ્યાખ્યાઓ, તેમની વ્યાખ્યાઓ અને મૂલ્યોના ડોમેન્સ

જવાબ: હાયપરબોલિક કાર્યો - કુટુંબ પ્રાથમિક કાર્યો, ઘાતાંકીય દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે અને ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. 1757 માં વિન્સેન્ઝો રિકાટી દ્વારા હાઇપરબોલિક ફંક્શન્સ રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા (ઓપસ્ક્યુલોરમ, વોલ્યુમ I). તેમણે તેમને એકમ હાયપરબોલાના વિચારણામાંથી મેળવ્યા.

હાયપરબોલિક કાર્યોના ગુણધર્મોનો વધુ અભ્યાસ લેમ્બર્ટ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવ્યો હતો. વિવિધ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરતી વખતે હાયપરબોલિક ફંક્શનનો વારંવાર સામનો કરવામાં આવે છે. ના કેટલાક અભિન્ન તર્કસંગત કાર્યોઅને રેડિકલ ધરાવતાં ફંક્શનમાંથી હાયપરબોલિક ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને ચલોના ફેરફારોનો ઉપયોગ કરીને એકદમ સરળ રીતે કરવામાં આવે છે. હાયપરબોલિક ફંક્શન્સના ડેરિવેટિવ્સ શોધવામાં સરળ છે કારણ કે હાઇપરબોલિક ફંક્શન્સ સંયોજનો છે ઉદાહરણ તરીકે, હાઇપરબોલિક સાઇન અને કોસાઇન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે આ વિધેયોના ડેરિવેટિવ્ઝનું સ્વરૂપ છે હાયપરબોલિક કાર્યો આપવામાં આવે છે નીચેના સૂત્રો: 1)હાયપરબોલિક સાઈન: (વી વિદેશી સાહિત્યસૂચિત સિન્ક્સ); 2) હાઇપરબોલિક કોસાઇન: (વિદેશી સાહિત્યમાં તેને cosx તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે); 3) હાયપરબોલિક સ્પર્શક: (વિદેશી સાહિત્યમાં તેને tanx તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે); 4) હાયપરબોલિક કોટેન્જેન્ટ: ; 5) હાઇપરબોલિક સેકન્ટ અને કોસેકન્ટ: ભૌમિતિક વ્યાખ્યા: સંબંધને ધ્યાનમાં રાખીને, હાયપરબોલિક ફંક્શન્સ આ કિસ્સામાં, દલીલ t = 2S, જ્યાં S એ વક્રીય ત્રિકોણ OQR નો વિસ્તાર છે, જો સેક્ટર હોય તો "+" ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે. OX અક્ષની ઉપર આવેલું છે, અને વિપરીત કિસ્સામાં “−”. આ વ્યાખ્યા તેના જેવી જ છે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોદ્વારા એકમ વર્તુળ, જે સમાન રીતે બાંધી શકાય છે. ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સાથે જોડાણ: હાયપરબોલિક કાર્યો કાલ્પનિક દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત થાય છે. વિશ્લેષણાત્મક ગુણધર્મો: હાયપરબોલિક સાઈન અને હાઈપરબોલિક કોસાઈન સમગ્ર વિશ્લેષણાત્મક છે જટિલ વિમાન, અનંત પર અનિવાર્યપણે વિશિષ્ટ બિંદુના અપવાદ સાથે.

વ્યુત્પન્ન કોષ્ટક.

જવાબ: ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક (જેની આપણને મુખ્યત્વે જરૂર છે):

46) ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન – પરિમાણિક રીતે ઉલ્લેખિત.

જવાબ: પેરામીટર t પર બે ચલ x અને y ની અવલંબન, ચાલો ફંક્શનને વ્યસ્ત રાખો ની મર્યાદામાં બદલાય છે: પછી આપણે કાર્યોની રચના લઈ શકીએ છીએ x પર y ની અવલંબન મેળવો: મૂલ્ય x પર મૂલ્ય y ની અવલંબન, પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત, ત્યારથી ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે અને, વ્યસ્ત કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્ર અનુસાર, પરિમાણનું મૂલ્ય ક્યાં છે કે જેના પર વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરતી વખતે આપણને રસ હોય તે મૂલ્ય x મેળવવામાં આવે છે. નોંધ કરો કે સૂત્ર લાગુ કરવાથી અમને વચ્ચેના સંબંધ તરફ દોરી જાય છે, જે ફરીથી પેરામેટ્રિક સંબંધ તરીકે વ્યક્ત થાય છે: આ સંબંધોનો બીજો એ જ છે જેણે ભાગ લીધો હતો પેરામેટ્રિક કાર્યકાર્યો y(x) . હકીકત એ છે કે વ્યુત્પન્ન સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવ્યું નથી છતાં, આ અમને પરિમાણ t ના અનુરૂપ મૂલ્યને શોધીને વ્યુત્પન્ન શોધવા સંબંધિત સમસ્યાઓ હલ કરવાથી અટકાવતું નથી. ચાલો તેને બતાવીએ નીચેના ઉદાહરણ. ઉદાહરણ 4.22: x અને y વચ્ચેની અવલંબનને નીચેના સૂત્રો દ્વારા પેરામેટ્રિકલી આપવા દો: બિંદુ પર અવલંબન y(x) ના ગ્રાફ સાથે સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો જો આપણે t=1 લઈએ તો મૂલ્યો પ્રાપ્ત થાય છે. ચાલો t: તેથી પરિમાણના સંદર્ભમાં x અને y ના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ t=1 પર આપણને વ્યુત્પન્નની કિંમત મળે છે; આ મૂલ્ય સ્પષ્ટ કરે છે ઢાળઇચ્છિત સ્પર્શકનો k. કોઓર્ડિનેટ્સ ટચ પોઈન્ટ સમસ્યા નિવેદનમાં ઉલ્લેખિત છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે સ્પર્શક સમીકરણ નીચે મુજબ છે: નોંધ કરો કે પ્રાપ્ત પેરામેટ્રિક અવલંબન પર આધારિત, આપણે ચલ xના સંદર્ભમાં ફંક્શન y નું બીજું વ્યુત્પન્ન શોધી શકીએ છીએ:

હાઇપરબોલિક કાર્યો પર સંદર્ભ ડેટા. હાયપરબોલિક સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ, આલેખ અને ગુણધર્મો. સરવાળો, તફાવતો અને ઉત્પાદનો માટેના સૂત્રો. ડેરિવેટિવ્ઝ, ઇન્ટિગ્રલ, શ્રેણી વિસ્તરણ. ત્રિકોણમિતિ કાર્યો દ્વારા અભિવ્યક્તિઓ.

હાયપરબોલિક કાર્યોની વ્યાખ્યાઓ, તેમની વ્યાખ્યાઓ અને મૂલ્યોના ડોમેન્સ

sh x - હાયપરબોલિક સાઈન

, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .

ch x - હાઇપરબોલિક કોસાઇન

, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .

th x - અતિપરવલય સ્પર્શક

, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .

cth x - હાયપરબોલિક કોટેન્જેન્ટ

X ≠ 0; y< -1 или y > +1 .

હાઇપરબોલિક કાર્યોનો આલેખ

હાઇપરબોલિક સાઈન ગ્રાફ y = sh x

સમયપત્રક હાઇપરબોલિક કોસાઇન y = ch x

અતિપરવલય સ્પર્શક y = નો આલેખ મી x

સમયપત્રક હાયપરબોલિક કોટેન્જેન્ટ y = cth x

હાઇપરબોલિક કાર્યો સાથેના સૂત્રો

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સાથે સંબંધ

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i પાપ z; ch iz = cos z
tg iz = i મી z ; cot iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
અહીં હું - કાલ્પનિક એકમ, i 2 = - 1 .

આ સૂત્રોને ત્રિકોણમિતિ વિધેયોમાં લાગુ કરીને, અમે હાઇપરબોલિક કાર્યોને લગતા સૂત્રો મેળવીએ છીએ.

સમાનતા

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = - મી x; cth(-x) = - cth x.

કાર્ય ch(x)- પણ. કાર્યો sh(x), th(x), cth(x)- વિચિત્ર.

ચોરસનો તફાવત

ch 2 x - sh 2 x = 1.

દલીલોના સરવાળા અને તફાવત માટેના સૂત્રો

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ચ 2 x - 1 = 1 + 2 શ 2 x,
.

હાયપરબોલિક સાઈન અને કોસાઈનના ઉત્પાદનો માટેના સૂત્રો

,
,
,

,
,
.

હાઇપરબોલિક કાર્યોના સરવાળા અને તફાવત માટેના સૂત્રો

,
,
,
,
.

હાયપરબોલિક સાઈન અને કોસાઈનનો સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ સાથે સંબંધ

, ,
, .

વ્યુત્પન્ન

,

sh x, ch x, th x, cth x ના પૂર્ણાંકો

,
,
.

શ્રેણી વિસ્તરણ

sh x

ch x

મી x

cth x

વ્યસ્ત કાર્યો

એરિયાસીનસ

મુ - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

એરેકોસિન

મુ 1 ≤ x< ∞ અને 0 ≤ y< ∞ નીચેના સૂત્રો લાગુ પડે છે:
,
.

એરિયાકોસાઇનની બીજી શાખા ખાતે આવેલી છે 1 ≤ x< ∞ અને - ∞< y ≤ 0 :
.

એરિયાટેન્જન્ટ

ખાતે - 1 < x < 1 અને - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,
.

એરિયાકોટેંજન્ટ

મુ - ∞< x < - 1 અથવા 1 < x < ∞ અને y ≠ 0 નીચેના સૂત્રો લાગુ પડે છે:
,
.

વપરાયેલ સાહિત્ય:
આઈ.એન. બ્રોન્સ્ટીન, કે.એ. સેમેન્દ્યાયેવ, ઇજનેરો અને કોલેજના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતની હેન્ડબુક, "લેન", 2009.

હાઇપરબોલિક કાર્યો મિકેનિક્સ, ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ અને અન્ય તકનીકી શાખાઓમાં જોવા મળે છે. હાયપરબોલિક વિધેયો માટેના ઘણા સૂત્રો ત્રિકોણમિતિ વિધેયો માટેના સૂત્રો જેવા જ છે, સિવાય કે બાઉન્ડેડનેસની મિલકત.

№	કાર્ય	નામ	વ્યુત્પન્ન
1.		હાયપરબોલિક સાઈન
2.		હાઇપરબોલિક કોસાઇન
3.		હાયપરબોલિક સ્પર્શક
4.		હાયપરબોલિક કોટેન્જેન્ટ

હાયપરબોલિક કાર્યો માટેના સૂત્રો

1. .

પુરાવો. ચાલો જરૂરી તફાવતને ધ્યાનમાં લઈએ

. .

પુરાવો. ચાલો કામ જોઈએ

.

ચાલો કામ જોઈએ
.

ચાલો બે ઉત્પાદનો ઉમેરીએ અને સમાન આપીએ:

શરૂઆત અને અંતને જોડીને, આપણે સાબિત કરવા માટે સમાનતા મેળવીએ છીએ: .

ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના ગુણધર્મ સમાન હાયપરબોલિક વિધેયોના અન્ય ઘણા ગુણધર્મો છે, જે સમાન રીતે સાબિત થાય છે.

ચાલો હાયપરબોલિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના સૂત્રો સાબિત કરીએ.

1. હાયપરબોલિક સાઈનને ધ્યાનમાં લો .

વ્યુત્પન્ન શોધતી વખતે, આપણે વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી સ્થિરાંક લઈએ છીએ. આગળ, અમે બે કાર્યો અને વચ્ચેના તફાવતના વ્યુત્પન્નની મિલકત લાગુ કરીએ છીએ. ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો: . આપણે વ્યુત્પન્ન તરીકે કાર્યના વ્યુત્પન્નને જોઈએ છીએ જટિલ કાર્ય
.

તેથી, વ્યુત્પન્ન
.

શરૂઆત અને અંતને જોડીને, અમે સાબિત કરવા માટે સમાનતા મેળવીએ છીએ: .

2. હાઇપરબોલિક કોસાઇનનો વિચાર કરો .

અમે અગાઉના અલ્ગોરિધમને સંપૂર્ણપણે લાગુ કરીએ છીએ, ફક્ત બે કાર્યોના તફાવતના વ્યુત્પન્ન વિશેની મિલકતને બદલે, અમે આ બે કાર્યોના સરવાળાના વ્યુત્પન્ન વિશેની મિલકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
.

શરૂઆત અને અંતને જોડીને, અમે સાબિત કરવા માટે સમાનતા મેળવીએ છીએ: .

3. હાયપરબોલિક સ્પર્શકને ધ્યાનમાં લો
.

અપૂર્ણાંકનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને આપણે વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.

4. હાઇપરબોલિક કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન

જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન તરીકે શોધી શકાય છે
.

શરૂઆત અને અંતને જોડીને, અમે સાબિત કરવા માટે સમાનતા મેળવીએ છીએ: .

કાર્ય વિભેદક

કાર્ય કરવા દો - બિંદુ પર ભિન્ન છે, પછી બિંદુ પર આ કાર્યની તેની વૃદ્ધિ, દલીલના વધારાને અનુરૂપ, તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

જ્યાં ચોક્કસ સંખ્યા સ્વતંત્ર છે, અને દલીલનું કાર્ય છે, જે માટે અનંત છે .

આમ, કાર્યનો વધારો બે અનંત પદોનો સરવાળો છે અને . એવું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે બીજી ટર્મ અનંત છે નાનું કાર્યએટલે કે કરતાં ઉચ્ચ ક્રમ (જુઓ 8.1). તેથી પ્રથમ મુદત કાર્યના વધારાનો મુખ્ય રેખીય ભાગ છે . રીમાર્ક 8.1 માં. અન્ય ફોર્મ્યુલા (8.1.1) ફંક્શનના વધારા માટે મેળવવામાં આવ્યું હતું , એટલે કે: . (8.1.1)

વ્યાખ્યા 8.3.વિભેદકકાર્યો એક બિંદુએ તેની વૃદ્ધિનો મુખ્ય રેખીય ભાગ કહેવાય છે, ઉત્પાદન સમાનવ્યુત્પન્ન આ બિંદુએ દલીલના મનસ્વી વધારા દ્વારા , અને સૂચવવામાં આવે છે (અથવા ):

(8.4)

કાર્ય વિભેદક પણ કહેવાય છે પ્રથમ ઓર્ડર તફાવત.

સ્વતંત્ર ચલનો તફાવત એ કોઈપણ સંખ્યાથી સ્વતંત્ર છે. મોટેભાગે, આ સંખ્યાને ચલની વૃદ્ધિ તરીકે લેવામાં આવે છે, એટલે કે. . ફંક્શનના વિભેદકને શોધવા માટે આ નિયમ (8.4) સાથે સુસંગત છે

કાર્યને ધ્યાનમાં લો અને તેનો તફાવત શોધો.

કારણ કે વ્યુત્પન્ન . આમ, અમને મળ્યું: અને વિભેદક કાર્યો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે

. (8.4.1)

ટિપ્પણી 8.7.સૂત્ર (8.4.1) થી તે તેને અનુસરે છે.

આમ, નોટેશનને માત્ર વ્યુત્પન્ન માટેના સંકેત તરીકે જ સમજી શકાય છે , પણ આશ્રિત અને સ્વતંત્ર ચલોના તફાવતના ગુણોત્તર તરીકે પણ.

8.7. વિભેદક કાર્યનો ભૌમિતિક અર્થ

ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ કરીએ એક સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે (ફિગ. 8.1 જુઓ). ડોટ કાર્યના ગ્રાફ પર છે અને એક એબ્સીસા છે - અમે એક મનસ્વી વધારો આપીએ છીએ જેમ કે બિંદુ કાર્યનો અવકાશ છોડ્યો નથી .

આકૃતિ 8.1 ફંક્શનના ગ્રાફનું ચિત્ર

બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે . સેગમેન્ટ . બિંદુ ફંક્શનના ગ્રાફના સ્પર્શક પર આવેલું છે અને એબ્સિસા ધરાવે છે - . લંબચોરસ માંથી તે તેને અનુસરે છે, જ્યાં કોણ એ ધરીની સકારાત્મક દિશા અને કાર્યના ગ્રાફ તરફ દોરેલા સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો છે બિંદુ પર કાર્યના વિભેદકની વ્યાખ્યા દ્વારા અને વ્યુત્પન્ન કાર્યનો ભૌમિતિક અર્થ બિંદુએ, અમે તે નિષ્કર્ષ પર . આમ, ભૌમિતિક અર્થવિભેદક કાર્ય એ છે કે વિભેદક કાર્યના ગ્રાફમાં સ્પર્શકના ઓર્ડિનેટના વધારાને દર્શાવે છે બિંદુ પર

રિમાર્ક 8.8.મનસ્વી કાર્ય માટે વિભેદક અને વધારો , સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એકબીજાના સમાન નથી. બી સામાન્ય કેસ, કાર્યના વધારા અને વિભેદક વચ્ચેનો તફાવત અનંત છે ઉચ્ચ ઓર્ડરદલીલના વધારા કરતાં નાનું. વ્યાખ્યા 8.1 થી તે તેને અનુસરે છે
, એટલે કે .

આકૃતિ 8.1 માં, બિંદુ ફંક્શનના ગ્રાફ પર આવેલું છે અને કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે
. સેગમેન્ટ.

આકૃતિ 8.1 માં અસમાનતા સંતુષ્ટ છે , એટલે કે . પરંતુ એવા કિસ્સાઓ હોઈ શકે છે જ્યારે તે સાચું હોય વિરુદ્ધ અસમાનતા . આ માટે કરવામાં આવે છે રેખીય કાર્યઅને ઉપરથી બહિર્મુખ કાર્ય માટે.