વ્યાખ્યા.ફંક્શન \(y = f(x)\) ને તેની અંદર બિંદુ \(x_0\) ધરાવતા ચોક્કસ અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. ચાલો દલીલને એક ઇન્ક્રીમેન્ટ \(\Delta x \) આપીએ જેથી તે આ અંતરાલ છોડે નહીં. ચાલો ફંક્શનનો અનુરૂપ વધારો શોધીએ \(\Delta y \) (જ્યારે બિંદુ \(x_0 \) થી બિંદુ \(x_0 + \Delta x \)) પર જઈએ અને સંબંધ \(\frac(\Delta) કંપોઝ કરીએ y)(\Delta x) \). જો આ ગુણોત્તરની મર્યાદા \(\Delta x \rightarrow 0\) હોય, તો ઉલ્લેખિત મર્યાદા કહેવામાં આવે છે. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન\(y=f(x) \) બિંદુ પર \(x_0 \) અને સૂચવો \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
સંજ્ઞા y નો ઉપયોગ ઘણીવાર વ્યુત્પન્ન દર્શાવવા માટે થાય છે." નોંધ લો કે y" = f(x) છે નવી સુવિધા, પરંતુ કુદરતી રીતે ફંક્શન y = f(x) સાથે સંકળાયેલ છે, જે તમામ બિંદુઓ x પર વ્યાખ્યાયિત છે કે જેના પર ઉપરની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે. આ કાર્યને આના જેવું કહેવામાં આવે છે: કાર્ય y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન.
વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થનીચે મુજબ છે. જો એબ્સીસા x=a સાથે બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, જે y-અક્ષની સમાંતર નથી, તો f(a) સ્પર્શકનો ઢોળાવ વ્યક્ત કરે છે :
\(k = f"(a)\)
ત્યારથી \(k = tg(a) \), તો પછી સમાનતા \(f"(a) = tan(a) \) સાચી છે.
હવે ચાલો અંદાજિત સમાનતાના દૃષ્ટિકોણથી વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનું અર્થઘટન કરીએ. ફંક્શન \(y = f(x)\) ને વ્યુત્પન્ન ઇન થવા દો ચોક્કસ બિંદુ\(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ x ની નજીક અંદાજિત સમાનતા \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), એટલે કે \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ડેલ્ટા x\). પરિણામી અંદાજિત સમાનતાનો અર્થપૂર્ણ અર્થ નીચે મુજબ છે: ફંક્શનનો વધારો એ દલીલના વધારા માટે "લગભગ પ્રમાણસર" છે, અને પ્રમાણસરતાનો ગુણાંક એ વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે આપેલ બિંદુએક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન \(y = x^2\) માટે અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) માન્ય છે. જો આપણે ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરીએ, તો આપણે શોધીશું કે તેમાં તેને શોધવા માટે એક અલ્ગોરિધમ છે.
ચાલો તેને ઘડીએ.
ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું?
1. \(x\) ની કિંમત ઠીક કરો, \(f(x)\) શોધો
2. દલીલ \(x\) વધારો આપો \(\Delta x\), પર જાઓ નવો મુદ્દો\(x+ \Delta x \), શોધો \(f(x+ \Delta x) \)
3. ફંક્શનનો ઇન્ક્રીમેન્ટ શોધો: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. સંબંધ બનાવો \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. ગણતરી કરો $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
આ મર્યાદા બિંદુ x પરના કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે.
જો ફંક્શન y = f(x) બિંદુ x પર વ્યુત્પન્ન હોય, તો તે બિંદુ x પર વિભેદક કહેવાય છે. ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે તફાવતકાર્યો y = f(x).
ચાલો નીચેના પ્રશ્નની ચર્ચા કરીએ: એકબીજા સાથે સંબંધિત બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય અને ભિન્નતા કેવી રીતે છે?
બિંદુ x પર ફંક્શન y = f(x) ને અલગ કરવા દો. પછી બિંદુ M(x; f(x)) પરના કાર્યના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરી શકાય છે, અને યાદ કરો, સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક f "(x) ની બરાબર છે. આવો આલેખ "તોડી" શકતો નથી. બિંદુ M પર, એટલે કે કાર્ય બિંદુ x પર સતત હોવું જોઈએ.
આ "હેન્ડ-ઓન" દલીલો હતી. ચાલો વધુ સખત તર્ક આપીએ. જો x બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ભિન્ન હોય, તો અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ધરાવે છે. જો આ સમાનતામાં \(\Delta x) \) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પછી \(\Delta y \) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને આ એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય માટેની સ્થિતિ છે.
તેથી, જો કોઈ ફંક્શન x બિંદુ પર વિભેદક હોય, તો તે તે બિંદુ પર સતત છે.
વિપરીત નિવેદન સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે: ફંક્શન y = |x| દરેક જગ્યાએ સતત છે, ખાસ કરીને બિંદુ x = 0 પર, પરંતુ "જંકશન બિંદુ" (0; 0) પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં નથી. જો કોઈ બિંદુએ સ્પર્શકને ફંક્શનના ગ્રાફ પર ખેંચી શકાતું નથી, તો તે બિંદુએ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.
બીજું ઉદાહરણ. ફંક્શન \(y=\sqrt(x)\) બિંદુ x = 0 સહિત સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે. અને કાર્યના ગ્રાફની સ્પર્શક કોઈપણ બિંદુએ અસ્તિત્વમાં છે, બિંદુ x = 0 સહિત પરંતુ આ બિંદુએ સ્પર્શક y-અક્ષ સાથે એકરુપ છે, એટલે કે, તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ છે, તેનું સમીકરણ x = 0 છે. ઢોળાવ ગુણાંકઆવી લાઇન પાસે નથી, જેનો અર્થ છે કે \(f"(0) \) પણ અસ્તિત્વમાં નથી
તેથી, અમે ફંક્શનની નવી મિલકતથી પરિચિત થયા - ભિન્નતા. ફંક્શનના ગ્રાફ પરથી કોઈ કેવી રીતે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે કે તે અલગ છે?
જવાબ ખરેખર ઉપર આપેલ છે. જો કોઈ બિંદુએ એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ ન હોય તેવા ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન અલગ કરી શકાય તેવું છે. જો કોઈ સમયે ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં ન હોય અથવા તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન ભિન્નતાપાત્ર નથી.
ભિન્નતાના નિયમો
વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે તફાવત. આ ઑપરેશન કરતી વખતે, તમારે ઘણીવાર ભાગ, સરવાળો, ફંક્શન્સના ઉત્પાદનો, તેમજ "ફંક્શન્સ ઑફ ફંક્શન્સ" એટલે કે જટિલ ફંક્શન્સ સાથે કામ કરવું પડે છે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાના આધારે, અમે ભેદભાવના નિયમો મેળવી શકીએ છીએ જે આ કાર્યને સરળ બનાવે છે. જો સી - સતત સંખ્યાઅને f=f(x), g=g(x) કેટલાક વિભેદક કાર્યો છે, પછી નીચેના સાચા છે તફાવત નિયમો:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
કેટલાક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $આ પાઠમાં આપણે ભિન્નતાના સૂત્રો અને નિયમો લાગુ કરવાનું શીખીશું.
ઉદાહરણો. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. નિયમ લાગુ કરવો આઈ, સૂત્રો 4, 2 અને 1. અમને મળે છે:
y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x 6 -2x+5. અમે સમાન સૂત્રો અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમાન રીતે હલ કરીએ છીએ 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
નિયમ લાગુ કરવો આઈ, સૂત્રો 3, 5
અને 6
અને 1.
નિયમ લાગુ કરવો IV, સૂત્રો 5
અને 1
.
પાંચમા ઉદાહરણમાં, નિયમ મુજબ આઈસરવાળોનું વ્યુત્પન્ન એ ડેરિવેટિવ્સના સરવાળા જેટલું છે, અને અમને હમણાં જ 1 લી શબ્દનું વ્યુત્પન્ન મળ્યું છે (ઉદાહરણ 4 ), તેથી, આપણે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીશું 2જીઅને 3જીશરતો, અને 1 લી માટે summand અમે તરત જ પરિણામ લખી શકીએ છીએ.
ચાલો તફાવત કરીએ 2જીઅને 3જીસૂત્ર અનુસાર શરતો 4
. આ કરવા માટે, આપણે છેદમાં ત્રીજી અને ચોથી શક્તિઓના મૂળને c ની શક્તિઓમાં પરિવર્તિત કરીએ છીએ. નકારાત્મક સૂચકાંકો, અને પછી, દ્વારા 4
સૂત્ર, આપણે શક્તિઓના વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.
જુઓ આ ઉદાહરણઅને પરિણામ પ્રાપ્ત થયું. શું તમે પેટર્ન પકડી? દંડ. આનો અર્થ એ કે અમને મળ્યું નવું સૂત્રઅને અમે તેને અમારા ડેરિવેટિવ્સ ટેબલમાં ઉમેરી શકીએ છીએ.
ચાલો છઠ્ઠું ઉદાહરણ ઉકેલીએ અને બીજું સૂત્ર મેળવીએ.
ચાલો નિયમનો ઉપયોગ કરીએ IVઅને સૂત્ર 4
. ચાલો પરિણામી અપૂર્ણાંકોને ઘટાડીએ.
ચાલો જોઈએ આ કાર્યઅને તેનું વ્યુત્પન્ન. તમે, અલબત્ત, પેટર્નને સમજો છો અને સૂત્રને નામ આપવા માટે તૈયાર છો:
નવા સૂત્રો શીખવા!
ઉદાહરણો.
1. દલીલનો વધારો અને કાર્ય y= ની વૃદ્ધિ શોધો x 2, જો પ્રારંભિક મૂલ્યદલીલ સમાન હતી 4 , અને નવું - 4,01 .
ઉકેલ.
નવી દલીલ મૂલ્ય x=x 0 +Δx. ચાલો ડેટાને બદલીએ: 4.01=4+Δx, તેથી દલીલનો વધારો Δх=4.01-4=0.01. ફંક્શનનો વધારો, વ્યાખ્યા દ્વારા, ફંક્શનના નવા અને અગાઉના મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવત જેટલો છે, એટલે કે. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). કારણ કે અમારી પાસે એક કાર્ય છે y=x2, તે Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
જવાબ: દલીલમાં વધારો Δх=0.01; કાર્ય વધારો Δу=0,0801.
ફંક્શન ઇન્ક્રીમેન્ટ અલગ રીતે શોધી શકાય છે: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.
2. ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ શોધો y=f(x)બિંદુ પર x 0, જો f "(x 0) = 1.
ઉકેલ.
સ્પર્શના બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય x 0અને સ્પર્શકોણના સ્પર્શકનું મૂલ્ય છે ( ભૌમિતિક અર્થવ્યુત્પન્ન). અમારી પાસે છે: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,કારણ કે tg45°=1.
જવાબ: આ ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક એક ખૂણો બનાવે છે જેની બરાબર ઓક્સ અક્ષની હકારાત્મક દિશા હોય છે. 45°.
3. ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન માટે સૂત્ર મેળવો y=xn.
ભિન્નતાફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની ક્રિયા છે.
ડેરિવેટિવ્ઝ શોધતી વખતે, વ્યુત્પન્નતાની વ્યાખ્યાના આધારે વ્યુત્પન્ન થયેલા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો, જેમ આપણે વ્યુત્પન્ન ડિગ્રી માટે સૂત્ર મેળવ્યું છે તે રીતે: (x n)" = nx n-1.
આ સૂત્રો છે.
ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટકમૌખિક ફોર્મ્યુલેશનનો ઉચ્ચારણ કરીને યાદ રાખવું સરળ બનશે:
1. વ્યુત્પન્ન સતત મૂલ્યશૂન્ય બરાબર.
2. X પ્રાઇમ એક બરાબર છે.
3. સતત ગુણકવ્યુત્પન્ન ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.
4. ડિગ્રીનું વ્યુત્પન્ન સમાન આધાર સાથે ડિગ્રી દ્વારા આ ડિગ્રીના ઘાતાંકના ગુણાંક જેટલું છે, પરંતુ ઘાત એક ઓછું છે.
5. મૂળનું વ્યુત્પન્ન બે સમાન મૂળ વડે એક ભાગ્યા બરાબર છે.
6. એક ભાગ્યા xનું વ્યુત્પન્ન એટલે માઈનસ વન ભાગ્યા x વર્ગના બરાબર.
7. સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન જેટલું છે.
8. કોસાઈનનું વ્યુત્પન્ન માઈનસ સાઈન બરાબર છે.
9. સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન કોસાઇનના વર્ગ દ્વારા વિભાજિત એક સમાન છે.
10. કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન સાઈનના વર્ગ દ્વારા ભાગ્યા ઓછા એકના બરાબર છે.
અમે શીખવીએ છીએ તફાવત નિયમો.
1.
બીજગણિત રકમનું વ્યુત્પન્ન સમાન છે બીજગણિતીય સરવાળોશરતોના વ્યુત્પન્ન.
2. ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન એ પ્રથમ પરિબળના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદન અને બીજા વત્તા પ્રથમ પરિબળના ઉત્પાદન અને બીજાના વ્યુત્પન્નના ગુણાંક જેટલું છે.
3. “y” નું વ્યુત્પન્ન “ve” વડે વિભાજિત એ અપૂર્ણાંક સમાન છે જેમાં અંશ “y અવિભાજ્ય ગુણ્યા “ve” ઓછા “y અવિભાજ્ય ગુણ્યા ve પ્રાઇમ” છે, અને છેદ “ve વર્ગ” છે.
4. ખાસ કેસસૂત્રો 3.
ચાલો સાથે શીખીએ!
પૃષ્ઠ 1 માંથી 1 1
ટેન્જેન્ટ ડેરિવેટિવ - tg(x) માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ પ્રસ્તુત છે. tan 2x, tan 3x અને tan nx ના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરવાના ઉદાહરણો. tg(x) ની સત્તામાં બહુપદી તરીકે nth ક્રમ સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન.
સ્પર્શક x ના ચલ xના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન x ના કોસાઇન વર્ગ દ્વારા ભાગ્યા એક સમાન છે:
(tg x)′ =.
સ્પર્શક વ્યુત્પન્ન સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ
સ્પર્શકના વ્યુત્પન્ન માટેનું સૂત્ર મેળવવા માટે, અમે નીચેના ગાણિતિક તથ્યોનો ઉપયોગ કરીશું:
1)
સાઈન અને કોસાઈન દ્વારા સ્પર્શકને વ્યક્ત કરવું :
(1)
;
2)
અર્થ સાઈનનું વ્યુત્પન્ન :
(2)
;
3)
અર્થ કોસાઇનનું વ્યુત્પન્ન :
(3)
;
4)
અપૂર્ણાંક વ્યુત્પન્ન સૂત્ર :
(4)
;
5)
ત્રિકોણમિતિ સૂત્ર :
(5)
.
અમે આ સૂત્રો અને નિયમોને સ્પર્શકના વ્યુત્પન્ન પર લાગુ કરીએ છીએ.
.
સ્પર્શકના વ્યુત્પન્ન માટેનું સૂત્ર સાબિત થયું છે.
સાઈન અને કોસાઈનના ડેરિવેટિવ્ઝ x ચલના તમામ મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
.
વ્યુત્પન્ન અપૂર્ણાંક સૂત્ર (4) ચલ x ના તે મૂલ્યો માટે માન્ય છે જેમાં ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ છે અને અને જેના માટે અપૂર્ણાંકનો છેદ અદૃશ્ય થતો નથી: .
આમ, સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન તમામ x માટે માન્ય છે, સિવાય કે જે બિંદુઓ પર હોય
,
એટલે કે, બિંદુઓ સિવાય
પૂર્ણાંક ક્યાં છે. બીજી બાજુ, ફંક્શન પોતે y = tg x
.
પોઈન્ટ સિવાય તમામ x માટે વ્યાખ્યાયિત તેથી જ.
સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન એ સ્પર્શકની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે
ઉદાહરણ ના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો, ટીજી 2xઅને ટીજી 3 એક્સ.
tg nx
ઉકેલ ટીજી 3 એક્સ.
ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ
1)
ચાલો આ કાર્યને એક જટિલ તરીકે કલ્પના કરીએ, જેમાં બે કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે:
2)
ચલ પર આધાર રાખીને કાર્યો: ;
ચલ પર આધાર રાખીને કાર્યો: .
.
પછી મૂળ ફંક્શન એ ફંક્શન્સથી બનેલું જટિલ ફંક્શન છે અને :
.
ચાલો x ચલના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:
.
ચાલો ચલના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: અમે અરજી કરીએ છીએ :
.
જટિલ કાર્યને અલગ પાડવા માટેનો નિયમ
.
ચાલો બદલો: ના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધોઅને ટીજી 2x:
;
.
મૂલ્યોને બદલીને અને n ને બદલે, આપણે ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્સ મેળવીએ છીએ
;
;
.
જવાબ આપો
ઉચ્ચ ઓર્ડર ડેરિવેટિવ્ઝ બીજી બાજુ, ફંક્શન પોતે y =કમનસીબે, ફંક્શન y = ના nમા ક્રમના વ્યુત્પન્ન માટેનું સરળ સૂત્ર , ના. જો કે, જો તમારે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાની જરૂર હોયઉચ્ચ ઓર્ડર , પછી ભિન્નતા પ્રક્રિયાને સરળ બનાવી શકાય છે અને ઘટાડી શકાય છે.
બહુપદીનો તફાવત
.
આ કરવા માટે, નોંધ કરો કે સ્પર્શકના વ્યુત્પન્નને સ્પર્શક દ્વારા જ વ્યક્ત કરી શકાય છે (ફંક્શન દ્વારા જ): આમ અમે શોધી કાઢ્યું
વિભેદક સમીકરણ
(6)
.
, જેને સ્પર્શક સંતોષે છે:ચાલો બીજો ક્રમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ
.
, સમીકરણને અલગ પાડવું (6) અને જટિલ કાર્યને અલગ કરવા માટેનો નિયમ લાગુ કરવો:
(7)
.
ચાલો અવેજી કરીએ (6):ચાલો ત્રીજો ક્રમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ
.
એ જ રીતે આપણે શોધીએ છીએ ચોથા અને પાંચમા ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ:
;
.
IN સામાન્ય દૃશ્ય, nth ઓર્ડર વ્યુત્પન્ન, સ્પર્શક કાર્યના ચલ xમાં, , ને સ્પર્શકની શક્તિઓમાં બહુપદી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:
.
ગુણાંક પુનરાવૃત્તિ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે:
,
જ્યાં
;
;
.
સામાન્ય સૂત્ર
ભિન્નતા પ્રક્રિયાને એક સૂત્ર દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, તે નોંધો
.
પછી nth વ્યુત્પન્નસ્પર્શક નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે:
,
ક્યાં.
