સર્કિટનો ફ્રી મોડ ઉર્જા સ્ત્રોતો પર આધાર રાખતો નથી, તે માત્ર સર્કિટની રચના અને તેના તત્વોના પરિમાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે લાક્ષણિક સમીકરણ p1, p2, …, pn ના મૂળ બધા માટે સમાન હશે. ચલ કાર્યો(કરંટ અને વોલ્ટેજ).
લાક્ષણિક સમીકરણબનાવી શકાય છે વિવિધ પદ્ધતિઓ. પ્રથમ પદ્ધતિ શાસ્ત્રીય છે, જ્યારે લાક્ષણિકતા સમીકરણ વિભેદક સમીકરણ અનુસાર સખત રીતે સંકલિત કરવામાં આવે છે. ક્લાસિક યોજના. જટિલ સર્કિટમાં ક્ષણિક પ્રક્રિયાઓની ગણતરી કરતી વખતે, સ્વિચ કર્યા પછી સર્કિટ ડાયાગ્રામ માટે કિર્ચહોફના નિયમો અનુસાર "m" વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમનું સંકલન કરવામાં આવે છે. મૂળ થી લાક્ષણિક સમીકરણબધા ચલો માટે સામાન્ય છે, પછી સિસ્ટમ માટે ઉકેલ વિભેદક સમીકરણોકોઈપણ ચલ (વૈકલ્પિક) ની તુલનામાં કરવામાં આવે છે. સોલ્યુશનના પરિણામે, એક ચલ સાથે એક અસંગત વિભેદક સમીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે. પરિણામી વિભેદક સમીકરણ અનુસાર લાક્ષણિક સમીકરણ બનાવો અને તેના મૂળ નક્કી કરો.
ઉદાહરણ. એક લાક્ષણિક સમીકરણ દોરો અને ફિગમાં આકૃતિમાંના ચલો માટે તેના મૂળ નક્કી કરો. 59.1. તત્વોના પરિમાણો સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઉલ્લેખિત છે.
કિર્ચહોફના કાયદા અનુસાર વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ:
ચાલો આપણે ચલ i 3 માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ, પરિણામે આપણે બિન-સમાન વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ:
લાક્ષણિક સમીકરણનું સંકલન કરવાની બીજી રીત એ છે કે મુક્ત ઘટક ચલો માટે કિર્ચહોફ સિસ્ટમના મુખ્ય નિર્ણાયકને શૂન્યની સમાન કરવી.
મનસ્વી પ્રવાહના મુક્ત ઘટકને i ksw = A k e pt , પછી:
ચલોના વ્યુત્પન્નોને પરિબળ p દ્વારા અને પૂર્ણાંકોને 1/p વડે બદલીને વિભેદક સમીકરણોની કિર્ચહોફ સિસ્ટમમાંથી મુક્ત ઘટકો માટેના સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવવામાં આવે છે. વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણ માટે, મફત ઘટકો માટેના સમીકરણોની સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે:
લાક્ષણિક સમીકરણ અને તેના મૂળ:
લાક્ષણિક સમીકરણ (એન્જિનિયરિંગ) કમ્પાઇલ કરવાની ત્રીજી રીત એ છે કે સર્કિટના ઇનપુટ ઓપરેટર પ્રતિકારને તેની કોઈપણ શાખાની તુલનામાં શૂન્ય સાથે સરખાવવો.
તત્વનો ઓપરેટર પ્રતિકાર તેના જટિલ પ્રતિકારમાંથી માત્ર પરિબળ jω ને p સાથે બદલીને મેળવવામાં આવે છે, તેથી
પ્રશ્નમાંના ઉદાહરણ માટે:
ત્રીજી પદ્ધતિ એ સૌથી સરળ અને સૌથી વધુ આર્થિક છે, તેથી વિદ્યુત સર્કિટમાં ક્ષણિક પ્રક્રિયાઓની ગણતરી કરતી વખતે તેનો ઉપયોગ મોટેભાગે થાય છે.
લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ ઉર્જા સ્ત્રોતો વિનાના સર્કિટમાં મુક્ત ક્ષણિક પ્રક્રિયાને દર્શાવે છે. આ પ્રક્રિયા ઊર્જાના નુકસાન સાથે થાય છે અને તેથી સમય જતાં સડો થાય છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ નકારાત્મક હોવા જોઈએ અથવા નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ હોવા જોઈએ.
IN સામાન્ય કેસવિભેદક સમીકરણનો ક્રમ જે સર્કિટમાં ક્ષણિક પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરે છે, અને પરિણામે, લાક્ષણિક સમીકરણની ડિગ્રી અને તેના મૂળની સંખ્યા સ્વતંત્ર પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓની સંખ્યા અથવા સ્વતંત્ર ઊર્જા સંગ્રહ ઉપકરણોની સંખ્યા ( કોઇલ L અને કેપેસિટર્સ C). જો સર્કિટ ડાયાગ્રામમાં સમાંતર-જોડાયેલ કેપેસિટર્સ C1, C2,... અથવા શ્રેણી-જોડાયેલ કોઇલ L1, L2,... હોય, તો ક્ષણિક પ્રક્રિયાઓની ગણતરી કરતી વખતે તેઓને એક સમકક્ષ તત્વ C E = C1 + C2+... દ્વારા બદલવામાં આવે. અથવા L E = L1 + L2+…
આમ, સામાન્ય દૃશ્યક્ષણિક પ્રક્રિયાની ગણતરી કરતી વખતે કોઈપણ ચલ માટેના ઉકેલો, વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમને કમ્પાઈલ કર્યા અને ઉકેલ્યા વિના, માત્ર સર્કિટ ડાયાગ્રામના વિશ્લેષણથી જ સંકલિત કરી શકાય છે.
ઉપર ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણ માટે.
સાથે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો (SODE) ની સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ પ્રતિનિધિત્વ સતત ગુણાંક
સ્થિર ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય SODE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_ (n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(એરે)\right $,
જ્યાં $y_(1)\left(x\જમણે),\; y_(2)\ડાબે(x\જમણે),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- સ્વતંત્ર ચલના જરૂરી કાર્યો $x$, ગુણાંક $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- અમે મેટ્રિક્સ નોટેશનમાં આપેલ વાસ્તવિક સંખ્યાઓને રજૂ કરીએ છીએ:
- જરૂરી કાર્યોનું મેટ્રિક્સ $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
- ડેરિવેટિવ સોલ્યુશન્સનું મેટ્રિક્સ $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(એરે)\right)$;
- SODE ગુણાંક મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) અને (a_(12) ) અને (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) અને (\ldots ) અને (a_(nn) ) \end(એરે)\right)$.
હવે, મેટ્રિક્સ ગુણાકારના નિયમના આધારે, આ SODE ને મેટ્રિક્સ સમીકરણ $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$ના રૂપમાં લખી શકાય છે.
સતત ગુણાંક સાથે SODE ઉકેલવા માટેની સામાન્ય પદ્ધતિ
ચાલો અમુક સંખ્યાઓનું મેટ્રિક્સ હોઈએ $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) )\end(એરે)\right)$.
SODE નો ઉકેલ નીચેના સ્વરૂપમાં જોવા મળે છે: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. IN મેટ્રિક્સ ફોર્મ: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(એરે)\જમણે )=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _(n) ) \end(એરે)\right)$.
અહીંથી આપણને મળે છે:
હવે મેટ્રિક્સ સમીકરણઆ સોડાને ફોર્મ આપી શકાય છે:
પરિણામી સમીકરણ નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:
છેલ્લી સમાનતા બતાવે છે કે વેક્ટર $\alpha $ મેટ્રિક્સ $A$ નો ઉપયોગ કરીને સમાંતર વેક્ટર $k\cdot \alpha $માં પરિવર્તિત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર $\alpha $ છે eigenvectorમેટ્રિક્સ $A$, અનુરૂપ eigenvalue$k$.
$k$ આંકડો $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) અને (a_(12) ) અને (\ldots ) અને (a_(1n) ) થી નક્કી કરી શકાય છે. \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) અને (a_(n2) ) અને (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(એરે)\right|=0$.
આ સમીકરણને લાક્ષણિકતા કહેવામાં આવે છે.
લાક્ષણિક સમીકરણના બધા મૂળ $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ અલગ હોવા દો. સિસ્ટમમાંથી દરેક મૂલ્ય $k_(i) $ માટે $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) અને (a_(n2) ) અને (\ldots ) અને (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(એરે)\right)=0$ મૂલ્યોનું મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i) વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.
આ મેટ્રિક્સમાંના મૂલ્યોમાંથી એક અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.
છેલ્લે, મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં આ સિસ્ટમનો ઉકેલ નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:
$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(એરે)\જમણે)=\ ડાબે(\begin(એરે)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\જમણે)) ) અને (\alpha _(1)^(\left(2\જમણે))) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\જમણે)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\જમણે)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\જમણે)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\જમણે)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\જમણે))) & (\alpha _(2)^(\left(2\જમણે)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(એરે)\right)$,
જ્યાં $C_(i) $ એ મનસ્વી સ્થિરાંકો છે.
કાર્ય
DE સિસ્ટમ ઉકેલો $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(એરે)\right $.
અમે સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ લખીએ છીએ: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.
મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં, આ SODE નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (એરે)\જમણે)=\left(\begin(array)(cc) (5) અને (4) \\ (4) અને (5) \end(એરે)\જમણે)\cdot \left( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(એરે)\right)$.
અમે લાક્ષણિક સમીકરણ મેળવીએ છીએ:
$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(એરે)\right|=0$, એટલે કે, $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.
લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ છે: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.
ચાલો $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( ની ગણતરી માટે સિસ્ટમ બનાવીએ. $k_(1) =1$ માટે 1\ right)) ) \end(એરે)\right)$:
\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(એરે)\જમણે)\cdot \ ડાબે(\begin(એરે)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\જમણે)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\જમણે)) ) \end (એરે)\જમણે)=0,\]
એટલે કે, $\left(5-1\જમણે)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\જમણે) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\જમણે) ) ) =0$.
$\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$ મૂકીને, અમે $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$ મેળવીએ છીએ.
ચાલો $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ right)) ) \end(એરે)\right)$ $k_(2) =9$ માટે:
\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(એરે)\જમણે)\cdot \ ડાબે(\begin(એરે)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\જમણે)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\જમણે)) ) \end (એરે)\જમણે)=0, \]
એટલે કે, $\left(5-9\જમણે)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\જમણે) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\જમણે) ) ) =0$.
$\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$ મૂકીને, અમે $\alpha _(2)^(\left(2\જમણે)) =1$ મેળવીએ છીએ.
અમે મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં SODE નો ઉકેલ મેળવીએ છીએ:
\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(એરે)\જમણે)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) અને (1) \end(એરે)\જમણે)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]
સામાન્ય સ્વરૂપમાં, SODE ના ઉકેલનું સ્વરૂપ છે: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(એરે )\right.$.
સાંકેતિક સ્વરૂપમાં વિભેદક સમીકરણ
શાસ્ત્રીય સ્વરૂપમાં વિભેદક સમીકરણ
સજાતીય વિભેદક સમીકરણ
લાક્ષણિક સમીકરણ
લાક્ષણિકતા બહુપદી
ટ્રાન્સફર કાર્ય
લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ:
વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ
મૂળ જટિલ અને જોડી પ્રમાણે સંયોજિત હોવાથી, સંક્રમણ પ્રક્રિયાની પ્રકૃતિ બિન-મોનોટોનિક (ઓસીલેટરી) છે.
લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ ડાબા અડધા પ્લેનમાં છે. સિસ્ટમ સ્થિર છે.
ફ્રીક્વન્સી ટ્રાન્સફર ફંક્શન, અથવા જટિલ ગેઇન W(j), બે રીતે દાખલ કરી શકાય છે:
1. એક sinusoidal (હાર્મોનિક સિગ્નલ) નો પ્રતિભાવ શોધીને.
2. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને.
ચાલો પ્રથમ પદ્ધતિથી શરૂઆત કરીએ અને હાર્મોનિક સિગ્નલ માટે સિસ્ટમ (2.2.1) નો પ્રતિભાવ શોધીએ, જેને આપણે ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં રજૂ કરીશું.
જ્યાં Xm અને કંપનવિસ્તાર અને પરિપત્ર આવર્તન છે.
ત્યારથી રેખીય સિસ્ટમજો ત્યાં કોઈ બિનરેખીય વિકૃતિઓ નથી, તો પછી સ્થિર સ્થિતિમાં આઉટપુટમાં સમાન આવર્તનનું હાર્મોનિક સિગ્નલ પણ હશે, સામાન્ય કિસ્સામાં અલગ કંપનવિસ્તાર અને તબક્કા સાથે, એટલે કે.
કંપનવિસ્તાર અને તબક્કા નક્કી કરવા માટે, અમે સંકેતોના અભિવ્યક્તિઓ (2.4.11), (2.4.12) અને તેમના ડેરિવેટિવ્સને વિભેદક સમીકરણમાં બદલીએ છીએ અને ejt 0 દ્વારા ઘટાડા પછી અને પ્રાથમિક પરિવર્તનોઅમને ઓળખ મળે છે
આ સંબંધોને ફ્રીક્વન્સી ટ્રાન્સફર ફંક્શનની વ્યાખ્યા તરીકે ગણી શકાય. તેઓ સમાવે છે ભૌતિક અર્થફ્રિક્વન્સી ટ્રાન્સફર ફંક્શન અને તેમાંથી ઇનપુટ અને આઉટપુટ પર હાર્મોનિક સિગ્નલોના કંપનવિસ્તાર અને સમાન આવર્તન માટે તેમની વચ્ચેના તબક્કાની પાળીને માપીને તેના પ્રાયોગિક નિર્ધારણ માટેની પદ્ધતિને અનુસરે છે.
ફ્રીક્વન્સી ટ્રાન્સફર ફંક્શન નક્કી કરવાની બીજી પદ્ધતિના કિસ્સામાં, (2.4.13) અને (2.2.15) ની તુલના કરો. સરખામણી પરથી તે અનુસરે છે કે આવર્તન ટ્રાન્સફર કાર્ય p = j માટે લેપ્લેસ ટ્રાન્સફર ફંક્શનનો વિશેષ કેસ છે, એટલે કે.
લેપ્લેસ ટ્રાન્સફર ફંક્શન મનસ્વી (કોઈપણ) આકારના સંકેતોને લાગુ પડતું હોવાથી, સિગ્નલનો પ્રતિભાવ શોધવા માટે ફ્રીક્વન્સી ટ્રાન્સફર ફંક્શન પણ લાગુ પડે છે. મફત ફોર્મ, અને જરૂરી નથી હાર્મોનિક. અમારી પાસે પ્રતિક્રિયાની ફોરિયર ઈમેજ માટે (2.4.5) થી
પ્રતિક્રિયા પોતે, એટલે કે, મૂળ, વ્યુત્ક્રમ સૂત્ર અનુસાર જોવા મળે છે
આમ, આવર્તન સ્થાનાંતરણ કાર્યની બીજી વ્યાખ્યામાંથી, પ્રતિક્રિયા શોધવા માટેની આવર્તન પદ્ધતિ (ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પદ્ધતિ) નીચે મુજબ છે:
1. આપેલ ઇનપુટ સિગ્નલ માટે, ફોરિયરનો ઉપયોગ કરીને છબી શોધો
2. (2.4.16) નો ઉપયોગ કરીને પ્રતિક્રિયાની ફોરિયર છબી શોધો
Y(j) = X(j)W(j). (2.4.20)
3. વ્યુત્ક્રમ સૂત્ર મુજબ ( વ્યસ્ત રૂપાંતરફોરિયર) આપણે પ્રતિક્રિયા શોધીએ છીએ
લિંક અથવા સિસ્ટમ દ્વારા ઇનપુટ સિગ્નલના પરિવર્તનની પ્રકૃતિ ફ્રીક્વન્સી ટ્રાન્સફર ફંક્શન અથવા અનુરૂપ આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આવર્તન લાક્ષણિકતાઓના પ્રકારો રેકોર્ડિંગ સ્વરૂપો સાથે નજીકથી સંબંધિત છે જટિલ સંખ્યાઓ, કારણ કે ફ્રીક્વન્સી ટ્રાન્સફર ફંક્શન માટે જટિલ સંખ્યા છે.
મુખ્ય આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ (ફિગ. 2.4.3-2.4.6).
1. કંપનવિસ્તાર-તબક્કો લાક્ષણિકતા (APC) - W(j) પર અવલંબન જટિલ વિમાનજ્યારે - થી + માં બદલાય છે (ફિગ. 2.4.3). ત્યારથી Wх() = Wх(-) - સમ કાર્ય, અને Wу() = Wу(-) - વિચિત્ર કાર્ય, પછી AFC માટે< 0 симметрична относительно вещественной оси характеристике для >0 અને સામાન્ય રીતે દર્શાવવામાં આવતું નથી.
2. વાસ્તવિક Wх() અને કાલ્પનિક Wу() આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ (ફિગ. 2.4.4) - આવર્તન પર વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની અવલંબન. વાસ્તવિક લાક્ષણિકતાની સમાનતા અને કાલ્પનિકની વિચિત્રતાને ધ્યાનમાં રાખીને, તેમના માટે< 0 обычно не изображают. Четность Wх() и нечетность Wу() вытекают из правила (2.4.22) их выделения из W(j), так как в знаменателе четная функция, а в числителе j в четной степени - વાસ્તવિક સંખ્યા(Wx() પર જાય છે), અને વિચિત્રમાં - કાલ્પનિક (Wy() પર જાય છે).
3. કંપનવિસ્તાર (AFC) અને તબક્કા (PFC) આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ - આવર્તન પર A() અને () ની અવલંબન (ફિગ. 2.4.5). A() ની સમાનતા અને () ની વિચિત્રતાને કારણે, તેઓ માટે< 0 обычно не изображают. Амплитудная частотная характеристика определяет инерционность (пропускную способность) звена или системы. Фазовая частотная характеристика определяет величину фазового сдвига на соответствующей круговой частоте.
4. વ્યસ્ત આવર્તન પ્રતિભાવ W-1(j) = 1/ W(j). નિયમ (2.4.6) અનુસાર અપૂર્ણાંક માટે કંપનવિસ્તાર અને દલીલ (તબક્કો) નક્કી કરીને, આપણે શોધીએ છીએ
જટિલ સંખ્યાઓ લખવાના સ્વરૂપો વચ્ચેના જોડાણ પરથી તે અનુસરે છે કે AFC માંથી Wх(), Wу() અથવા А(), (), તેમજ W-1(j) અને ઊલટું બાંધવું શક્ય છે. આકૃતિ 2.4.6 આકૃતિ 2.4.3 માં લાક્ષણિકતા માટે વિપરીત લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે. આકૃતિ એકમ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ બતાવે છે. નિયમ (2.4.22) અનુસાર, A() > 1 ને અનુરૂપ બિંદુઓ એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળની અંદર આવેલા છે. બિંદુ A() = 1 વર્તુળ પર રહે છે, પરંતુ તબક્કો વિરુદ્ધમાં બદલાય છે (180 દ્વારા).
જો કે, તે લિંક્સ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે જેના માટે ભૌતિક શક્યતાની સ્થિતિ સંતુષ્ટ નથી. આ ચોક્કસ આવર્તન શ્રેણીમાં માન્ય છે. જો લિંકના ઇનપુટ પર સિગ્નલનું સ્પેક્ટ્રમ આ શ્રેણીની બહાર આવે છે, તો પ્રતિસાદમાં વિકૃતિઓ આવશે જે લિંકના સ્થાનાંતરણ કાર્ય દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવી નથી.
5. લઘુગણક આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ.
સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા લઘુગણક લક્ષણો છે. તેમને સમજાવવા માટે, ચાલો ફ્રિક્વન્સી ટ્રાન્સફર ફંક્શનને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ અને લઈએ કુદરતી લઘુગણકતરફથી:
તે સમાન છે જટિલ અભિવ્યક્તિ; તેનો વાસ્તવિક ભાગ મોડ્યુલનો લઘુગણક છે, અને તેનો કાલ્પનિક ભાગ તબક્કો છે.
વ્યવહારમાં તે લેવામાં આવે છે દશાંશ લઘુગણક, જેથી લઘુગણક કંપનવિસ્તાર (LAH) અને તબક્કા (LPH) લાક્ષણિકતાઓ અભિવ્યક્તિઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
આલેખમાં એબ્સીસા અક્ષ આવર્તન દર્શાવે છે લઘુગણક સ્કેલ, એટલે કે એલજી જો કે, ગોળાકાર આવર્તન મૂલ્યોમાં સીધા જ ડિજિટાઇઝેશન કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, અને માર્કિંગ માટે તમે કોષ્ટક 2.4.1 નો ઉપયોગ કરી શકો છો. મૂલ્યો
કોષ્ટક 2.4.1
કંપનવિસ્તાર ડેસિબલ્સમાં માપવામાં આવે છે, તબક્કામાં - ડિગ્રીમાં. x-અક્ષને સીધા મૂલ્યો (rad/s) માં ચિહ્નિત કરવા માટે, તમે ત્રણમાંથી કોઈપણ ભીંગડા (મૂળભૂત, ચતુર્ભુજ અને ઘન) નો ઉપયોગ કરી શકો છો. સ્લાઇડ નિયમ(ફિગ.2.4.7).
જો આપણે એક દાયકા તરીકે D mm લઈએ, તો, ઉદાહરણ તરીકે, 0.301 ડેકા (= 2 rad/s ને અનુરૂપ) 0.301D mm હશે, 1.301 deca (20 rad/s ને અનુરૂપ) D+0.301D mm હશે, વગેરે. . આમ, 1 થી 10 ની રેન્જમાં ડિજિટાઈઝેશન સાથેના પોઈન્ટને એક દાયકા સુધીમાં જમણી તરફ ખસેડવામાં આવે છે અને 10 થી 100 સુધી ડિજિટાઈઝ કરવામાં આવે છે, વગેરે. (ફિગ. 2.4.7), એક દાયકા સુધીમાં મૂળ સ્થાનેથી ડાબી તરફ શિફ્ટ કરો અને 0.1 થી 1 સુધી ડિજિટાઈઝ કરો, વગેરે.
જો 2/1 = 10, તો ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેનું અંતર એક દાયકા (log10 = 1) જેટલું છે, જો 2/1 = 2, તો અંતર એક અષ્ટક જેટલું છે.
લોગ(= 0) = - હોવાથી, પછી બિંદુ = 0 ડાબી બાજુએ અનંત છે. તેથી, ઑર્ડિનેટ અક્ષ ગમે ત્યાં દોરવામાં આવે છે જેથી રસની આવર્તન શ્રેણી ગ્રાફ પર આવે. 20lg1 = 0 થી, પછી L() > 0 જો A()>1 અને L()< 0, если А() < 1. Если А() 0, то L() -.
ચાલો ઇનર્શિયલ લિંકના LAC ને ધ્યાનમાં લઈએ. અમારી પાસે છે
A() = ; . (2.4.24)
કપ્લીંગ ફ્રીક્વન્સી 0 ની ડાબી બાજુએ, એટલે કે. 0 ના કિસ્સામાં, અમે 02 ની સરખામણીમાં 2 તીવ્રતાના રેડિકલના સંકેતની અવગણના કરીએ છીએ. પછી
L() 20lg(k). (2.4.25)
પરિણામે, 0 ની ડાબી બાજુએ એસિમ્પ્ટોટિક LAX એ 20lg(k) ની ઊંચાઈએ એક આડી સીધી રેખા છે. જો k = 1, તો આ સીધી રેખા આવર્તન અક્ષ સાથે એકરુપ છે.
સંયોજક આવર્તન 0 ની જમણી બાજુએ, જ્યાં 0, અમે એ જ રીતે -20 dB/dec ની ઢાળ સાથે સીધી રેખા મેળવીએ છીએ, કારણ કે લોગ એબ્સિસા અક્ષ સાથે રચાયેલ છે.
L() 20lg(k) - 20lg, (2.4.26)
બિંદુ 0 પર આપણને ચોક્કસ (વાસ્તવિક) લાક્ષણિકતાને એસિમ્પ્ટોટિક સાથે બદલવામાં ભૂલ છે, સમાન
Lacc(0)=Lac(0)+L(0),
તે વાસ્તવિક લાક્ષણિકતાબિંદુ 0 એ એસિમ્પ્ટોટિક એક બાય 3 ડીબીની નીચે સ્થિત છે. વ્યવહારમાં, 3 ડીબીની ભૂલ નાની ગણવામાં આવે છે અને તેને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી.
લિંક્સની લોગરીધમિક લાક્ષણિકતાઓ
કોષ્ટક 2.4.6
કોષ્ટક 2.4.6 માંથી તે નીચે મુજબ છે:
1. ઢોળાવ અને તદનુસાર, નીચી ફ્રીક્વન્સીઝ પર ફેઝ શિફ્ટ ફક્ત લિંક્સને એકીકૃત કરીને અથવા અલગ કરીને પ્રદાન કરી શકાય છે. જો, ઉદાહરણ તરીકે, ટ્રાન્સફર ફંક્શનમાં r સંકલિત લિંક્સ હોય, તો ઓછી ફ્રીક્વન્સીઝ પર LACનો ઢોળાવ સમાન હોય છે, અને તબક્કો શિફ્ટ અનુરૂપ સમાન હોય છે.
2. n છેદના મૂળ (ટ્રાન્સફર ફંક્શનના ધ્રુવો), એટલે કે. છેદ n ની ડિગ્રી, ઉચ્ચ ફ્રીક્વન્સીઝ પર LAC ના ઢોળાવને અનુલક્ષે છે, તેની સમાન છે, અને ન્યૂનતમ તબક્કા સિસ્ટમના કિસ્સામાં - તે મુજબ, એક તબક્કો શિફ્ટ ઉચ્ચ આવર્તનઆહ, બરાબર.
3. ઉચ્ચ ફ્રીક્વન્સીઝ પર અંશના મૂળ (ટ્રાન્સફર ફંક્શનના શૂન્ય) એ જ રીતે LAC ના ઢોળાવને અનુલક્ષે છે, સમાન છે અને તબક્કાની પાળી છે.
4. ટ્રાન્સફર ફંક્શનના કિસ્સામાં
n ધ્રુવો અને n1 શૂન્ય સાથે લઘુત્તમ-તબક્કો સિસ્ટમ, ઉચ્ચ ફ્રીક્વન્સીઝ પર LAC નો ઢોળાવ સમાન છે, અને તબક્કાની પાળી ડિગ્રી જેટલી છે.
સિસ્ટમોની લઘુગણક લાક્ષણિકતાઓનું નિર્માણ
અને LAX અનુસાર ટ્રાન્સફર ફંક્શનની પુનઃસ્થાપના
જો સિસ્ટમની લિંક્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલ હોય, તો પછી
અને ઓપન-લૂપ સિસ્ટમના જટિલ લાભના મોડ્યુલ અને દલીલ માટે, અનુક્રમે, અમારી પાસે છે:
દેખીતી રીતે,
પરિણામે, LAC અને LFC બનાવવા માટે, વ્યક્તિગત લિંક્સની અનુરૂપ લાક્ષણિકતાઓનો સરવાળો કરવો જરૂરી છે.
ઉદાહરણ 2.4.3. ટ્રાન્સફર ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને LAC અને LFC ની રચના કરો
ક્યાં; સાથે; સાથે. તદનુસાર, કપ્લીંગ ફ્રીક્વન્સી સમાન છે; ;.
ચાલો ટ્રાન્સફર ફંક્શનને એકીકૃત લિંકના ટ્રાન્સફર ફંક્શનના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરીએ
જડતી લિંક્સ
અને દબાણ
લઘુગણક કંપનવિસ્તાર અને તબક્કાની લાક્ષણિકતાઓવ્યક્તિગત લિંક્સ, તેમજ પરિણામી LAC અને LFC સિસ્ટમો આકૃતિ 2.4.13 અને 2.4.14 માં દર્શાવવામાં આવી છે.
ફિગ. 2.4.13 માં, જાડી રેખાઓ લિંક્સની એસિમ્પ્ટોટિક LAC દર્શાવે છે. ટ્રાન્સફર ફંક્શન્સ અને ગ્રાફ પરની બે જડતી લિંક્સની લાક્ષણિકતાઓ મર્જ થાય છે, પરંતુ તેને બે વાર ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે. આ એકમોના ભૌતિક સંચાલનને પણ લાગુ પડે છે. પરિણામી LAC બનાવવા માટે, બાકીની લિંક્સની લાક્ષણિકતાઓ અનુક્રમે એકીકૃત લિંકના LAC માં ઉમેરવામાં આવી હતી જ્યારે સંયોજક ફ્રીક્વન્સીઝ મળ્યા હોવાથી આવર્તન અક્ષ સાથે ડાબેથી જમણે ખસેડવામાં આવી હતી. આગામી જોડાણની આવર્તન પછી, LAC ની ઢાળ બદલાઈ ગઈ. સ્લોપ ઇન્ક્રીમેન્ટ એ લિંકને અનુરૂપ છે જેની સાથે સમાગમની આવર્તન હતી.
ઉદાહરણના પરિણામો અને લાક્ષણિક લિંક્સ (કોષ્ટક 2.4.6) ની લાક્ષણિકતાઓનું વિશ્લેષણ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે ઓપન-લૂપ સિસ્ટમનું LAC તરત જ બાંધી શકાય છે, લિંક્સના LAC અને તેમના સમીકરણના મધ્યવર્તી બાંધકામને બાયપાસ કરીને. નિયમ માટે:
1. સંયોજક ફ્રીક્વન્સીઝ શોધો અને તેમને ફ્રીક્વન્સી અક્ષ પર પ્લોટ કરો. સગવડ માટે, સૌથી ઓછી સંયોજિત આવર્તનની ડાબી બાજુએ y-અક્ષ દોરો.
2. u = 1 પર, 20 logk બાજુ પર રાખો અને આ બિંદુ દ્વારા -20 dB/dec ના ઢાળ સાથે સીધી રેખા દોરો, જો સિસ્ટમમાં એકીકૃત લિંક્સ હોય, અથવા +20 dB/dec ની ઢાળ સાથે, જો સિસ્ટમ વિભેદક કડીઓ ધરાવે છે (= 0 ઓછી-આવર્તન પર LAX એસિમ્પ્ટોટ x-અક્ષની સમાંતર છે).
3. દરેક કપ્લીંગ ફ્રીક્વન્સીઝમાંથી ડાબેથી જમણે પસાર થતી વખતે, લાક્ષણિકતા -20 dB/dec (જડતી કડી માટે), -40 dB/dec (ઓસીલેટીંગ લિંક માટે), +20 dB/ની ઢાળ વૃદ્ધિ અનુભવે છે. dec (ફોર્સિંગ લિંક માટે), +40 dB /dec (ઓસીલેટરી એકની વિરુદ્ધની લિંક માટે). જો અનેક લિંક્સની કપ્લીંગ ફ્રીક્વન્સી એકસરખી હોય, તો LAC ની ઢોળાવમાં વધારો એ તમામ લિંક્સમાંથી કુલ વૃદ્ધિ સમાન છે. જો એકતા કરતા ઓછામાં ઓછી એક જોડાણ આવર્તન ઓછી હોય, તો પછી u = 1 પર બિંદુ 20lgk પરિણામી LAC પર રહેશે નહીં.
4. ઓસીલેટરી અથવા ઇન્વર્સ લિંક્સની હાજરીમાં એસિમ્પ્ટોટિક LAC માં સુધારો રજૂ કરો.
એલએસી અને એલએફસીના બાંધકામની શુદ્ધતાને નિયંત્રિત કરવા માટે, તે યાદ રાખવું ઉપયોગી છે કે ઉચ્ચ આવર્તન પ્રદેશમાં એલએસીનો ઢોળાવ (n >?) 20 (m-n) dB/dec ની બરાબર છે, જ્યાં m એ ક્રમ છે. અંશનો, n એ સિસ્ટમ ટ્રાન્સફર ફંક્શનના છેદનો ક્રમ છે. ઉપરાંત
જ્યાં બાદબાકીનું ચિહ્ન એકીકૃત લિંક્સની હાજરીમાં લેવામાં આવે છે, અને વત્તાનું ચિહ્ન વિભિન્ન લિંક્સની હાજરીમાં લેવામાં આવે છે. ટ્રાન્સફર ફંક્શનમાંથી LAC બનાવવા માટેની પદ્ધતિના વિશ્લેષણથી, રિવર્સ ટ્રાન્ઝિશનની શક્યતા નીચે મુજબ છે, એટલે કે, LAC માંથી ન્યૂનતમ-તબક્કાની સિસ્ટમના સ્થાનાંતરણ કાર્યને પુનઃસ્થાપિત કરવું.
LAC અનુસાર લઘુત્તમ-તબક્કાની સિસ્ટમના ટ્રાન્સફર ફંક્શનને પુનઃસ્થાપિત કરતી વખતે, અમે એક અપૂર્ણાંક લખીએ છીએ, જેના અંશમાં આપણે મૂકીએ છીએ એકંદર ગુણાંકમજબૂત બનાવીએ છીએ અને પછી આપણે અપૂર્ણાંકને ભરીએ છીએ. ઓછી-આવર્તન વિભાગના ઢોળાવના આધારે, અમે સંકલિત અથવા વિભેદક લિંક્સની સંખ્યા નક્કી કરીએ છીએ (ઔપચારિક રીતે, નકારાત્મક ઢોળાવ એકીકૃત લિંક્સને અનુરૂપ છે અને તે મુજબ, છેદમાં ગુણક, હકારાત્મક ઢોળાવ અંશમાં ગુણકને અનુરૂપ છે. , અને ઢાળ પરિબળ 20 ડેસિબલ્સ છે). શૂન્ય ઢોળાવના કિસ્સામાં, કોઈ એકીકૃત અથવા વિભિન્ન લિંક્સ નથી. આગળ, સંયોજન ફ્રીક્વન્સીઝ મળે તેમ ડાબેથી જમણે ખસેડીએ છીએ, અમે ઢાળના વધારા (ફેરફાર)નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. જો ઇન્ક્રીમેન્ટ +20 dB/dec છે, તો આપણે પ્રકારની ફોર્સિંગ લિંક માટે અંશમાં લખીએ છીએ, જો ઇન્ક્રીમેન્ટ -20 dB/dec છે, તો આપણે પ્રકારની જડતી લિંક માટે છેદમાં લખીએ છીએ. +40 dB/dec ના સ્લોપ ઇન્ક્રીમેન્ટના કિસ્સામાં, અમે અંશમાં બે ફોર્સિંગ લિંક્સ લખીએ છીએ -20 dB/dec ના સ્લોપ ઇન્ક્રીમેન્ટના કિસ્સામાં, અમે છેદમાં ફોર્મની બે ઇનર્શિયલ લિંક્સ લખીએ છીએ. જો LAX એ ભીના ગુણાંક માટે કરેક્શન બતાવે છે, તો પછી બે ફોર્સિંગ અથવા જડતા લિંકને બદલે આપણે ઓસીલેટરી અથવા ઓસીલેટરી લિંક (અંશ અથવા છેદમાં ગુણક) નું વ્યસ્ત લખીએ છીએ. જો ઝુકાવનો ગુણોત્તર 3 અથવા વધુ હોય, તો સમાન જોડાણ ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે સંબંધિત લિંક્સની સંખ્યા લખો. ગેઇન નક્કી કરવા માટે, અમે એબ્સીસા સાથે ઊભી સીધી રેખા સાથે LAC ના નીચા-આવર્તન વિભાગના ચાલુ રાખવાના આંતરછેદના બિંદુને શોધીએ છીએ અને આ બિંદુના ઑર્ડિનેટનો ઉપયોગ કરીને તેને નિર્ધારિત કરીએ છીએ.
ઉપરોક્ત ઉલ્લેખિત દ્વિપદીઓ અને ત્રિપદીઓમાં લઘુત્તમ-તબક્કાની સિસ્ટમના કિસ્સામાં, અમે "+" ચિહ્નો લઈએ છીએ. જો ત્યાં બિન-ન્યૂનતમ-તબક્કાની લિંક્સ હોય, તો પછી "-" ચિહ્ન લેવું જરૂરી રહેશે. આ કિસ્સામાં, LAH સમાન રહેશે, અને LPH અલગ હશે. તેથી, ન્યૂનતમ-તબક્કાની સિસ્ટમના કિસ્સામાં, પુનઃપ્રાપ્તિ અસ્પષ્ટ છે અને AFC ને નિયંત્રિત કરવાની કોઈ જરૂર નથી.
ઉદાહરણ 2.4.4. LAC ફિગ 2.4.15 અનુસાર ન્યૂનતમ-તબક્કાની સિસ્ટમના સ્થાનાંતરણ કાર્યને પુનઃસ્થાપિત કરો.
ફિગ.2.4.15.
ઉપરોક્ત વિચારણાઓ અનુસાર, લઘુત્તમ-તબક્કાની સિસ્ટમનું સ્થાનાંતરણ કાર્ય સમાન હશે
કાર્ય 1 ના RLC સર્કિટનો ઉપયોગ કરીને, ફ્રીક્વન્સી ટ્રાન્સફર ફંક્શન લખો અને વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિઓઆવર્તન લાક્ષણિકતાઓ.
5. કંપનવિસ્તાર-તબક્કાની લાક્ષણિકતા (APC) બનાવો.
6. કંપનવિસ્તાર અને તબક્કાની આવર્તન લાક્ષણિકતાઓનું નિર્માણ કરો.
7. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક આવર્તન લાક્ષણિકતાઓનું નિર્માણ કરો.
8. લઘુગણક વિશેષતાઓ (LAH અને LFC) બનાવો. આ લિંક કયા પ્રકારની સુધારાત્મક લિંક્સ સાથે સંબંધિત છે તે નક્કી કરો (એકીકરણ, ભિન્નતા, એકીકૃત-વિભેદક). આ ફિલ્ટર કઈ ફ્રીક્વન્સીઝ છે?
9. AFC નો ઉપયોગ કરીને, વ્યસ્ત આવર્તન પ્રતિભાવ બનાવો.
પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં ફ્રીક્વન્સી ટ્રાન્સફર ફંક્શન
કંપનવિસ્તાર આવર્તન પ્રતિભાવ
તબક્કો આવર્તન પ્રતિભાવ
વાસ્તવિક આવર્તન પ્રતિભાવ
