અરજી. 1. ડોટ ઉત્પાદનકાર્યો

1. કાર્યોનું ડોટ ઉત્પાદન.

સેગમેન્ટ પર ચાલો [ a, b] વિધેયોની સિસ્ટમ આપેલ છે જે [ પર ચોરસ સંકલન કરી શકાય છે a, b]:

u 0 (x), u 1 (x), u 2 (x), …, u એન(x), …, (1)

તત્વો વચ્ચે કેવી રીતે સમાન વેક્ટર જગ્યાપરિચય આપ્યો ડોટ ઉત્પાદન કામગીરી વેક્ટર, જે વેક્ટરની જોડી સાથે મેળ ખાય છે જગ્યા આપી છેઅમુક સંખ્યા - સ્કેલર , અને કાર્યોની આ સિસ્ટમના ઘટકો વચ્ચે u i(x), u જે(x) ને ફંક્શનના સ્કેલર ઉત્પાદનની કામગીરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જે નીચે દર્શાવેલ છે ( u i(x), u જે(x)).

વ્યાખ્યા દ્વારા, તત્વો વચ્ચે સ્કેલર ઉત્પાદન કામગીરી x , y અને zઅમુક જગ્યા (ફંક્શન સિસ્ટમના તત્વો વચ્ચે સહિત) હોવી આવશ્યક છે નીચેના ગુણધર્મો:

ફંક્શન સ્પેસના તત્વો વચ્ચે ડોટ પ્રોડક્ટ u i(x), u જે(x) i, j= 0, 1, 2,..., પર સંકલિત [ a, b] ચોરસ સાથે, એકીકરણ કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને દાખલ કરવામાં આવે છે:

વ્યાખ્યા 1. સિસ્ટમ (1) છે કાર્યોની ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ સેગમેન્ટ પર [ a, b], જો કોઈ બે કાર્યો હોય તો u i(x), u જે(x), i, jઆપેલ સિસ્ટમના = 0, 1, 2, ...
ઓર્થોગોનલ (એકબીજા વચ્ચે) પર [ a, b].

વ્યાખ્યા 2. ચાલો બે કાર્યોને કૉલ કરીએ u i(x), u જે(x), i, j= 0, 1, 2, ... સિસ્ટમ્સ (1)
ઓર્થોગોનલ સેગમેન્ટ પર [ a, b], જો નીચેની સ્થિતિ તેમના સ્કેલર ઉત્પાદન માટે સંતુષ્ટ છે:

(4)

નંબર - કહેવાય છે કાર્ય ધોરણ u i(x).

જો બધા કાર્યો u i(x) ધરાવે છે એકલ દર , એટલે કે

l i = 1, i = 0, 1, 2, ... (5)

અને કાર્યોની સિસ્ટમ (1) ઓર્થોગોનલ છે [ a, b], પછી આવી સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે
ઓર્થોનોર્મલ અથવા સામાન્ય સેગમેન્ટ પર ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ [ a, b].

જો ફંક્શનની સામાન્યતા માટેની શરતો શરૂઆતમાં પૂરી ન થઈ હોય, તો સિસ્ટમ (1), જો જરૂરી હોય તો, તમે સિસ્ટમ (6) પર જઈ શકો છો, જે ચોક્કસપણે સામાન્ય હશે:

, i = 0, 1, 2, ... (6)

નોંધ કરો કે મિલકતમાંથી ઓર્થોગોનાલિટી અમુક સિસ્ટમના ઘટકો, તેઓ હોવા જોઈએ રેખીય સ્વતંત્રતા , એટલે કે નીચેનું નિવેદન સાચું છે: કોઈપણ ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમબિન-શૂન્ય વેક્ટર(તત્વો)રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે.

2 .આધાર કાર્યોનો ખ્યાલ.

કોર્સમાંથી રેખીય બીજગણિતતમે જાણો છો કે વેક્ટર સ્પેસમાં તમે પ્રવેશી શકો છો વેક્ટર આધાર- વેક્ટરનો સમૂહ જેમ કે આપેલ વેક્ટર સ્પેસનો કોઈપણ વેક્ટર હોઈ શકે એકમાત્ર રસ્તોઆધાર વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ થાય છે. તે જ સમયે કોઈપણ આધાર વેક્ટરને બાકીના આધાર વેક્ટરના મર્યાદિત રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય નહીં (આધારિત વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્રતા).

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ વેક્ટર ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશને આધાર વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે વિશિષ્ટ રીતે રજૂ કરી શકાય છે :

= .

જ્યાં a, b, અને c- કેટલાક નંબરો. અને કારણે રેખીય સ્વતંત્રતા(ઓર્થોગોનાલિટી) આધાર વેક્ટરની બાકીના આધાર વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે વ્યક્તિગત રીતે કોઈપણ વેક્ટરને રજૂ કરી શકાતું નથી.

ઉપરના જેવું જ, અવકાશમાં બહુપદી કાર્યો, એટલે કે કરતાં વધુ નહીં ડિગ્રીના બહુપદીની જગ્યામાં n:

પી.એન(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n. (7)

થી એક આધાર રજૂ કરી શકાય છે પ્રાથમિક બહુપદી (સૂચક) કાર્યો :

x 0 , x, x 2 , x 3 , …, x n(8)

વધુમાં, તે સ્પષ્ટ છે કે આધાર કાર્યો (8) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, એટલે કે. બેઝિસ ફંક્શન્સમાંથી કોઈ પણ (8) બાકીના બેઝિસ ફંક્શનના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાતું નથી. તદુપરાંત, તે સ્પષ્ટ છે કે ડિગ્રીની કોઈપણ બહુપદી કરતાં વધારે નથી nફોર્મ (7) માં વિશિષ્ટ રીતે રજૂ કરી શકાય છે, એટલે કે. આધાર કાર્યોના રેખીય સંયોજનના સ્વરૂપમાં (8).

j i(x) = જી i(x-a) i + (x-a)i+ 1 , i= 1, 2, …, n(9)

આ માટેનો ખુલાસો અંશતઃ જાણીતા દ્વારા આપવામાં આવે છે ગાણિતિક વિશ્લેષણવેયરસ્ટ્રાસનું પ્રમેય, જે મુજબ અંતરાલ પર કોઈપણ સતત રેખા [ a, b] કાર્ય f(xહોઈ શકે છે " દંડ» કેટલાક બહુપદી દ્વારા આ સેગમેન્ટ પર અંદાજિત છે પી.એન(x) ડિગ્રી n, એટલે કે ડિગ્રીમાં વધારો nબહુપદી પી.એન(x), તે હંમેશા તમને ગમે તેટલું નજીક હોઈ શકે છે માટે ફિટ સતત કાર્ય f(x).

કોઈપણ બહુપદીને પ્રકાર (8) અથવા (9) ના આધારભૂત બહુપદી કાર્યોના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, તો પછી, વેયરસ્ટ્રાસના પ્રમેય દ્વારા, એક સતત (એટલે ​​​​કે, બે વાર વિભેદક કાર્ય કે જે ઉકેલ છે. વિભેદક સમીકરણસેકન્ડ ઓર્ડર) ને બેઝિક ફંક્શન્સ (9) ના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જે બે વાર વિભેદક અને જોડી પ્રમાણે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે.

વિષય પર પ્રશ્નો

"સામાન્ય માટે સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના અંદાજિત ઉકેલ માટેની પદ્ધતિઓ
વિભેદક સમીકરણો".

(પ્રવચનો 25 - 26)

1. મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ: લીનિયર સેટિંગ સીમા મૂલ્યની સમસ્યાબીજા ઓર્ડર ODE માટે; સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના પ્રકારો અને વર્ગીકરણ.

2. સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓ ઘટાડવા માટેની પદ્ધતિઓ પ્રારંભિક કાર્યો : સમસ્યા નિવેદન; જોવાની પદ્ધતિ; ઘટાડો પદ્ધતિ; વિભેદક સ્વીપ પદ્ધતિ.

3. મર્યાદિત તફાવત પદ્ધતિ: સમસ્યા નિવેદન; સીમા મૂલ્યની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે મર્યાદિત તફાવત પદ્ધતિની સાર્વત્રિકતા; ત્રિકોણીય માળખું ધરાવતા મેટ્રિક્સ સાથે SALU માં સીમા મૂલ્યની સમસ્યાને ઘટાડવા માટે વ્યુત્પન્નના અંદાજોના પ્રકારોની પસંદગી.

4. ઇન્ટરપોલેશન પદ્ધતિ અથવા સંકલન પદ્ધતિ: બેઝિસ ફંક્શન્સના રેખીય સંયોજનના રૂપમાં અંદાજિત સોલ્યુશન માટે શોધો, સીમાની સ્થિતિને સંતોષવા માટે બેઝિક ફંક્શન્સની જરૂરિયાતો; કોલોકેશન નોડ્સ પર ચોક્કસ અને અંદાજિત ઉકેલોના સંયોગની સ્થિતિના આધારે રેખીય સંયોજનના ગુણાંકની શોધ કરો; આધાર કાર્યોની પસંદગી.

5. ગેલેર્કિન પદ્ધતિ- ગેલેર્કિન પદ્ધતિના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ. રેખીય સંયોજનના રૂપમાં અંદાજિત ઉકેલ શોધવો આધાર કાર્યો , મૂળભૂત કાર્યો માટેની આવશ્યકતાઓ. રેખીય સંયોજનના ગુણાંકની પસંદગી જે લઘુત્તમ સ્થિતિમાંથી અંદાજિત ઉકેલનો પ્રકાર નક્કી કરે છે અવશેષો , ચોક્કસ સોલ્યુશનના રિપ્લેસમેન્ટને કારણે વિભેદક સમસ્યાઇચ્છિત અંદાજિત ઉકેલ.

શિક્ષણ માટે ફેડરલ એજન્સી

ઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણની રાજ્ય શૈક્ષણિક સંસ્થા સેન્ટ પીટર્સબર્ગ સ્ટેટ માઇનિંગ ઇન્સ્ટિટ્યુટનું નામ આપવામાં આવ્યું છે. જી.વી. પ્લેખાનોવા

(તકનીકી યુનિવર્સિટી)

એ.પી. ગોસ્પોડારીકોવ, જી.એ. કોલ્ટન, S.A. ખાચત્ર્યન

ફોરિયર શ્રેણી. ફોરિયર અભિન્ન.

ઓપરેશનલ કેલ્ક્યુલસ

શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની માર્ગદર્શિકા

સેન્ટ પીટર્સબર્ગ

UDC 512 + 517.2 (075.80)

શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની માર્ગદર્શિકા ફ્યુરિયર શ્રેણીના વિસ્તરણ અથવા ફ્યુરિયર ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા રજૂઆતનો ઉપયોગ કરીને કાર્યોનું વિશ્લેષણ કરવામાં વ્યવહારુ કુશળતા મેળવવાની તક પૂરી પાડે છે અને તે વિશેષતાના પૂર્ણ-સમય અને અંશ-સમયના વિદ્યાર્થીઓના સ્વતંત્ર કાર્ય માટે બનાવાયેલ છે.

મેન્યુઅલ ઓપરેશનલ કેલ્ક્યુલસના મુખ્ય મુદ્દાઓ અને ઓપરેશનલ કેલ્ક્યુલસના ફંડામેન્ટલ્સનો ઉપયોગ કરીને તકનીકી સમસ્યાઓના વિશાળ વર્ગની તપાસ કરે છે.

સાયન્ટિફિક એડિટર પ્રો. . એ.પી. ગોસ્પોડારીકોવ

સમીક્ષકો: વિભાગ ઉચ્ચ ગણિતનંબર 1 સેન્ટ પીટર્સબર્ગ સ્ટેટ ઇલેક્ટ્રોટેક્નિકલ યુનિવર્સિટી; ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતના ડૉક્ટર વિજ્ઞાન વી.એમ. ચિસ્ત્યાકોવ(સેન્ટ પીટર્સબર્ગ સ્ટેટ પોલીટેકનિક યુનિવર્સિટી).

ગોસ્પોડારીકોવ એ.પી.

G723. ફોરિયર શ્રેણી. ફોરિયર અભિન્ન. ઓપરેશનલ કેલ્ક્યુલસ: શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની માર્ગદર્શિકા / એ.પી. ગોસ્પોડારીકોવ,જી.એ. કોલ્ટન,એસ.એ. ખાચત્ર્યન; સેન્ટ પીટર્સબર્ગ સ્ટેટ માઇનિંગ ઇન્સ્ટિટ્યુટ (ટેકનિકલ યુનિવર્સિટી). સેન્ટ પીટર્સબર્ગ, 2005. 102 પૃ.

ISBN 5-94211-104-9

યુડીસી 512 + 517.2 (075.80)

બીબીકે 22.161.5

પરિચય

ફૌરીયર થિયરીથી તે જાણીતું છે કે ભૌતિક, તકનીકી અને અન્ય સિસ્ટમો પર કેટલાક પ્રભાવ સાથે, તેનું પરિણામ પ્રારંભિક ઇનપુટ સિગ્નલના આકારને પુનરાવર્તિત કરે છે, માત્ર સ્કેલ પરિબળમાં અલગ પડે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે સિસ્ટમ આવા સંકેતો પર પ્રતિક્રિયા આપે છે (તેમને તેના પોતાના કહેવામાં આવે છે) સરળ રીતે. જો મનસ્વી ઇનપુટ સિગ્નલ તેના પોતાના સિગ્નલોનું રેખીય સંયોજન છે, અને સિસ્ટમ રેખીય છે, તો આ મનસ્વી સિગ્નલ માટે સિસ્ટમનો પ્રતિભાવ તેના પોતાના સંકેતો પરની પ્રતિક્રિયાઓનો સરવાળો છે. અને તેથી સંપૂર્ણ માહિતીસિસ્ટમ વિશેની માહિતી તેના "બિલ્ડીંગ બ્લોક્સ"માંથી મેળવી શકાય છે - તેના પોતાના ઇનપુટ સિગ્નલો માટે સિસ્ટમના પ્રતિભાવો. આ કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, વિદ્યુત ઇજનેરીમાં જ્યારે સિસ્ટમની ફ્રીક્વન્સી રિસ્પોન્સ (ટ્રાન્સફર ફંક્શન) રજૂ કરવામાં આવે છે. સરળ રેખીય, સમય-અપરિવર્તનશીલ પ્રણાલીઓ માટે (ઉદાહરણ તરીકે, જે સતત ગુણાંક સાથેના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે), કેટલાક કિસ્સાઓમાં એઇજેન ફંક્શન્સ ફોર્મના હાર્મોનિક્સ છે. આ રીતે, સિસ્ટમ પર મનસ્વી પ્રભાવનું પરિણામ પ્રાપ્ત કરવું શક્ય છે, જો બાદમાં હાર્મોનિક્સના રેખીય સંયોજનના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે (સામાન્ય કિસ્સામાં, ફૌરિયર શ્રેણી અથવા ફૌરિયર ઇન્ટિગ્રલના સ્વરૂપમાં) . આ એક કારણ છે કે થિયરી અને એપ્લીકેશનમાં ત્રિકોણમિતિ શ્રેણી (ફુરિયર શ્રેણી) અથવા ફ્યુરિયર ઇન્ટિગ્રલની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

પ્રકરણ 1. ફોરિયર શ્રેણી

§ 1. વેક્ટર જગ્યાઓ

અહીં છે સંક્ષિપ્ત માહિતીવેક્ટર બીજગણિતમાંથી, ફોરિયર શ્રેણીના સિદ્ધાંતના મૂળભૂત સિદ્ધાંતોની વધુ સારી સમજ માટે જરૂરી છે.

ચાલો આપણે ભૌમિતિક વેક્ટર (વેક્ટર સ્પેસ) ના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ, જેના માટે વેક્ટરની સમાનતાનો ખ્યાલ સામાન્ય રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે, રેખીય કામગીરી(વેક્ટર્સનો સરવાળો અને બાદબાકી, સંખ્યા વડે વેક્ટરનો ગુણાકાર) અને વેક્ટરના સ્કેલર ગુણાકારની કામગીરી.

ચાલો અવકાશમાં એક ઓર્થોગોનલ આધાર રજૂ કરીએ , જેમાં ત્રણ જોડી પ્રમાણે ઓર્થોગોનલ વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે. ,અને . મુક્ત વેક્ટર
આધાર વેક્ટરનું રેખીય સંયોજન છે:

. (1.1)

ગુણાંક  i (i= 1, 2, 3), વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવાય છે આધારને સંબંધિત
, નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. વેક્ટરનું ડોટ ઉત્પાદન અને એક આધાર વેક્ટર

.

આધારની ઓર્થોગોનાલિટીને કારણે, સ્કેલર પ્રોડક્ટ્સ
ખાતે
, તેથી, છેલ્લી સમાનતાની જમણી બાજુએ માત્ર એક શબ્દ શૂન્ય છે, અનુરૂપ
, એટલે જ
, ક્યાં

, (1.2)

જ્યાં
.

જો વેક્ટર્સ અને તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે
અને
, પછી તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન

.

ક્યારથી
ડોટ ઉત્પાદન
, તો પછી બમણા સરવાળામાં માત્ર સમાન સૂચકાંકો સાથેની શરતો બિનશૂન્ય છે, તેથી

ખાસ કરીને જ્યારે
માંથી (1.3) તે અનુસરે છે

. (1.4)

§ 2. આંતરિક ઉત્પાદન અને કાર્યોનો ધોરણ

ચાલો પ્રતીક દ્વારા સૂચિત કરીએ
વિધેયોનો સમૂહ જે અંતરાલ પર ભાગરૂપે સતત હોય છે [ a, b], એટલે કે. અંતરાલ પરના કાર્યો [ a, b] આ અંતરાલના અન્ય તમામ બિંદુઓ પર પ્રથમ પ્રકારના અને સતત વિરામના બિંદુઓની મર્યાદિત સંખ્યા.

કાર્યોનું ડોટ ઉત્પાદન
નંબર કહેવાય છે

.

વિધેયોના સ્કેલર ઉત્પાદનના ગુણધર્મો વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનના ગુણધર્મો સાથે સંપૂર્ણપણે સુસંગત છે:

1.
.

2.
.

3.
.

4.
;
.

આમ, ડોટ પ્રોડક્ટ તેના ઘટકો પર રેખીય રીતે આધાર રાખે છે. આ ગુણધર્મને સ્કેલર ઉત્પાદનની દ્વિરેખીયતા કહેવામાં આવે છે.

કાર્યો
ઓર્થોગોનલ કહેવાય છે
પર [ a, b], જો
.

કાર્ય ધોરણ
વચ્ચે [a, b] ને બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા કહેવામાં આવે છે , જેનો ચોરસ ફંક્શનના સ્કેલર ગુણાંક જેટલો છે તમારી જાતને:

.

કાર્યના ધોરણના ગુણધર્મો મોટે ભાગે વેક્ટર મોડ્યુલના ગુણધર્મો સાથે મેળ ખાય છે:

1.
.

2. જો કાર્ય
પર સતત છે [ a, b] અને
, તે
. કારણ કે
, પછી ક્યારે

,

જ્યાં
. આદર સાથે છેલ્લા સંબંધ તફાવત અને બેરોના પ્રમેયને લાગુ પાડવાથી, આપણને મળે છે
અને તેથી,
.

3. ટીકોસાઇન્સનું પ્રમેય .


.

પરિણામ. જો
, તે
(પાયથાગોરિયન પ્રમેય).

4. સામાન્યકૃત પાયથાગોરિયન પ્રમેય.જો કાર્યો (k = = 1, 2, …, n) અંતરાલ પર જોડી પ્રમાણે ઓર્થોગોનલ છે
, તે

.

સ્કેલર પ્રોડક્ટની દ્વિરેખીયતાની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ

કાર્યોની ઓર્થોગોનાલિટીને કારણે ડોટ ઉત્પાદનો
ખાતે
, એટલે જ

.

5. nકોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી સમાનતા
, અથવા, સમાન શું છે,

.

કોઈપણ વાસ્તવિક માટે

આમ, ચતુર્ભુજ ત્રિપદીછેલ્લી અસમાનતાની ડાબી બાજુએ સમગ્ર વાસ્તવિક ધરી પર ચિહ્ન સાચવે છે, તેથી, તેનો ભેદભાવ
.

વ્યાયામ 1. ફંક્શન 1-3 ના સ્કેલર પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો સાબિત કરો.

વ્યાયામ 2. નીચેના નિવેદનોની માન્યતા બતાવો:

એ) કાર્ય
કાર્યો માટે ઓર્થોગોનલ
અને
વચ્ચે
કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે kઅને m;

b) કોઈપણ પૂર્ણાંકો માટે kઅને mકાર્યો
અને
અંતરાલ પર ઓર્થોગોનલ
;

c) કાર્યો
અને
, અને પણ
અને
ખાતે
અંતરાલો પર ઓર્થોગોનલ
અને
;

ડી) કાર્યો
અને
અંતરાલ પર ઓર્થોગોનલ નથી
.

વ્યાયામ 3. સામાન્ય ગુણધર્મ 5 નો ઉપયોગ કરીને, ત્રિકોણની અસમાનતા સાબિત કરો

.

ચાલો હવે સ્કેલર ઉત્પાદન અને ધોરણના કેટલાક ગુણધર્મો નોંધીએ. અસમાનતા લાગુ કરવી અને ધ્યાનમાં લઈએ કે આપણે લખી શકીએ:

ચાલો હવે કહેવાતા ત્રિકોણ નિયમ સાબિત કરીએ

અમારી પાસે છે:

અથવા, ધ્યાનમાં લેતા (128), અમે મેળવીએ છીએ:

જ્યાંથી તે અનુસરે છે (129).

આ મુદ્દાના નિષ્કર્ષમાં, અમે ધ્યાનમાં લઈશું કે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની પસંદગી જગ્યાના મેટ્રિક પર, એટલે કે વેક્ટરની લંબાઈના ચોરસની અભિવ્યક્તિ પર શું અસર કરે છે. ચાલો ધારીએ કે મુખ્ય કાર્ટેશિયનને બદલે આપણે લઈએ છીએ નવી સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ, અને અમે કેટલાક સ્વતંત્ર વેક્ટરને મુખ્ય વેક્ટર તરીકે લઈએ છીએ

કોઈપણ વેક્ટર માટે અમારી પાસે હશે:

નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં તેના ઘટકો ક્યાં છે.

આ વેક્ટરની લંબાઈનો ચોરસ વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવશે અને પોતે, એટલે કે.

આને વિસ્તૃત કરવાથી, ઉપરોક્ત સૂત્રો અનુસાર, આપણી પાસે વેક્ટર લંબાઈના વર્ગ માટે નીચેની અભિવ્યક્તિ હશે:

જ્યાં ગુણાંક સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યારે ચિહ્નોને ફરીથી ગોઠવવામાં આવે છે, ત્યારે તે દેખીતી રીતે જ સંયોજક બની જાય છે, એટલે કે.

ગુણાંક સંતોષકારક સ્થિતિ (131) સાથે ફોર્મનો સરવાળો (130) સામાન્ય રીતે હર્માઇટ સ્વરૂપ કહેવાય છે. તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે શરત (131) હેઠળ ફોર્મ (130) ની કોઈપણ અભિવ્યક્તિમાં તમામ સંભવિત જટિલ સંકુલો માટે માત્ર વાસ્તવિક મૂલ્યો હશે, કારણ કે સરવાળાની બે શરતો પર (130) સંયોજિત હશે, અને તેની દ્રષ્ટિએ ફોર્મ, શરત (131) ને કારણે, ગુણાંક વાસ્તવિક હશે. વધુમાં, માં હર્માઇટ ફોર્મના ખૂબ જ બાંધકામ દ્વારા આ કિસ્સામાંઅમે દાવો કરી શકીએ છીએ કે સરવાળો (130) બિન-નકારાત્મક હશે અને જ્યારે દરેક શૂન્ય હશે ત્યારે જ અદૃશ્ય થઈ જશે. ફોર્મ્યુલા (130) નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સ્પેસ મેટ્રિક નક્કી કરે છે.

મેટ્રિક (130) અનુરૂપમાં મેટ્રિક (110) સાથે મેળ ખાશે કાર્ટેશિયન સિસ્ટમ, જો પર અથવા પર એટલે કે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આપણે વેક્ટર તરીકે લઈએ છીએ તે પરસ્પર ઓર્થોગોનલ એકમ લેક્ચરર્સ હશે (એક લંબાઈના).

નીચેનામાં, પરસ્પર ઓર્થોગોનલની કોઈપણ સિસ્ટમ અને એકમ વેક્ટરઅમે તેને ઓર્થોનોર્મલ સિસ્ટમ કહીશું.

એ પણ નોંધ કરો કે જો સૂત્ર (113) વેક્ટરના ઘટકો માટે એકાત્મક પરિવર્તનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, તો અગાઉના એકમ વેક્ટરમાંથી નવામાં સંક્રમણ માટે અનુરૂપ રૂપાંતરણ કોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવશે.

વિરોધાભાસી U. આ કિસ્સામાં, (123) ના કારણે, આ કોષ્ટક કોષ્ટક U સાથે સુસંગત રહેશે, અને વાસ્તવિક માટે ઓર્થોગોનલ પરિવર્તનોતે ફક્ત યુ સાથે સુસંગત રહેશે.