દ્વિ-પરિમાણીય પ્રસરણ સમીકરણ. ટ્રાન્સમિશન લાઇન સમીકરણો

માં સી.એચ. XIII, § 2, 6, અમે થર્મલ વાહકતા અને પ્રસાર માટે અભિન્ન સમીકરણ (56) નો અભ્યાસ કર્યો. તેની વ્યુત્પત્તિની પદ્ધતિ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે આ સમીકરણ વધુમાં લાગુ પડે છે સામાન્ય કેસઆ ફકરામાં ચર્ચા કરી. આપણે જોઈશું કે વાસ્તવમાં તેની પાસે હજી પણ વધુ છે સામાન્ય અર્થ. હકીકતમાં, પ્રકરણમાં નિર્ધારિત સિદ્ધાંત મુજબ. XIII, § 2, 3, આ સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ કાર્યોને કેટલીક સંભાવનાઓ તરીકે ગણી શકાય. તેથી, જો કેટલાક રાજ્ય ભૌતિક સિસ્ટમસમય-આશ્રિત ચલ દ્વારા આંકડાકીય રીતે નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, અમુક પ્રકારની બ્રાઉનિયન ગતિમાંથી પસાર થાય છે, પછી આ ગતિ ફરીથી અભિન્ન સમીકરણ (51) દ્વારા વર્ણવવામાં આવશે.

જો એવી સંભાવના હોય કે એક સમયે સિસ્ટમ એ સંભાવના વચ્ચે હોય કે જે સિસ્ટમમાંથી ખસે છે પ્રારંભિક સ્થિતિ, અંતિમ સ્થિતિ વચ્ચે બોલવું, પછી વચ્ચે બોલવું તે રેખીય અભિન્ન સમીકરણને સંતોષે છે:

જેનો મુખ્ય ભાગ સામાન્ય રીતે અસમપ્રમાણ બોલે છે.

સામાન્ય બ્રાઉનિયન ગતિના કિસ્સામાં, બાહ્ય દળોની ગેરહાજરીમાં, ન્યુક્લિયસ પ્રમાણમાં સપ્રમાણ છે અને તેનું સ્વરૂપ ચેપમાં વ્યાખ્યાયિત છે. XIII, §2, (56a). આ કિસ્સામાં સમીકરણ (8) નો ઉકેલ પણ ત્યાં સૂચવવામાં આવ્યો છે.

ચાલો પહેલા સમીકરણ (8) માં પરિચય આપીએ તેના બદલે સમય જતાં સિસ્ટમના વિસ્થાપનને રજૂ કરે છે પછી સમીકરણ (8) ફોર્મ લેશે:

જ્યાં અભિવ્યક્તિ સ્પષ્ટ છે, તે સંભવિતતા સમાન છે કે સિસ્ટમ પ્રારંભિક સ્થિતિ x થી વચ્ચેના અંતર સુધી સમય જતાં આગળ વધશે અને ચાલો હવે માની લઈએ કે તે ખૂબ જ નાનું છે અને વિસ્તૃત છે ડાબી બાજુ(9) ડિગ્રી દ્વારા

પ્રથમ ઓર્ડરની શરતો સુધી, અને જમણી બાજુડિગ્રી દ્વારા પછી આપણને મળશે

જ્યાં જથ્થાનો અર્થ છે:

સંભવિતતા તરીકે કાર્યની વ્યાખ્યાથી તે તરત જ અનુસરે છે કે ધારો કે હવે ત્યાં મર્યાદિત મૂલ્યો છે:

પછી (10) માંથી આપણે કાર્ય માટે વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ

ઓપરેટર ક્યાં છે

આ સમીકરણ કહેવાય છે આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રફોકર-પ્લાન્ક વિભેદક સમીકરણ તેમાં વિવિધ પ્રકારના કાર્યક્રમો છે.

જો યાંત્રિક સિસ્ટમએક તરફ, બાહ્ય દળોની ક્રિયાને કારણે આયોડિનના અવ્યવસ્થિત વધઘટનો અનુભવ કરે છે, અને બીજી તરફ, સામાન્યની જેમ, પરમાણુઓની થર્મલ હિલચાલને કારણે. બ્રાઉનિયન ગતિ, તો (11) અને (12) મુજબનું કાર્ય છે સરેરાશ ઝડપબાહ્ય દળોના પ્રભાવ હેઠળ કણો દ્વારા હસ્તગત. આગળ, આ કિસ્સામાં, બધા એ શૂન્ય સમાન છે. આમ, (13) સામાન્યકૃત પ્રસરણ સમીકરણ (6) માં જાય છે, જ્યાં પ્રસરણ ગુણાંક હોય છે. (11) અને (12) મુજબ:

એટલે કે, વિસ્થાપનના સરેરાશ ચોરસને ગુણોત્તર દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે જે આપણે પહેલાથી પ્રકરણમાં મળ્યા છીએ. XIII, § 2, (23) આઈન્સ્ટાઈનના સૂત્રના નામ હેઠળ.

જો બાહ્ય દળોગેરહાજર છે, એટલે કે, જો (8) માં ફંક્શન સપ્રમાણ છે, તો પછી ફંક્શન, (12) અનુસાર, શૂન્ય સમાન છે, અને (13) સામાન્ય વિભેદક પ્રસરણ સમીકરણ Ch માં જાય છે. XIII, § 1 (22). તેથી, અભિન્ન સમીકરણ (50) Ch દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ કાર્ય. § 2, એક સાથે સમીકરણ (22) Ch.

જો બાહ્ય દળો શૂન્ય સમાન ન હોય, તો આપણે શોધી શકીએ છીએ સ્થિર ઉકેલઅને ફોકર-પ્લાન્ક સમીકરણ, પૂરતા પ્રમાણમાં પછી સ્થાપિત રાજ્યને અનુરૂપ મોટું અંતરપ્રારંભિક સ્થિતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમય. આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમ વચ્ચે અથવા સંબંધિત સંખ્યા વચ્ચેના અંતરાલમાં હોવાની સંભાવના છે સમાન સિસ્ટમો, આ અંતરાલમાં સ્થિત છે, જો માં પ્રારંભિક ક્ષણતેઓનું વિતરણ કરવામાં આવ્યું હતું

પ્રસરણ સમીકરણ અમુક પદાર્થના વિસ્તૃત શરીર પર સમયાંતરે ફેલાવા (ફેલાતા)નું વર્ણન કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગરમી અથવા સાંદ્રતા. એક-પરિમાણીય કિસ્સામાં, શરીર ધરી સાથે વિસ્તૃત દેખાય છે x.

ચાલુ ચોખા 19.2ધરી સાથે વિતરણનું ઉદાહરણ બતાવે છે xતાપમાન જેવા પરિમાણ ટી. તે સામાન્ય અનુભવ પરથી જાણીતું છે કે સમયની દરેક ક્ષણે tતાપમાન ટીશરીરના જુદા જુદા ભાગો પર xવિવિધ અર્થો છે, એટલે કે, તે વિસ્તાર અને સમયના આધારે બદલાય છે. એટલે કે, ત્યાં એક કાયદો હોવો જોઈએ જે મુજબ આ પરિમાણની કિંમત બદલાય છે ટીના કાર્યો તરીકે ( x, t). તાપમાન માટે, આ નિયમ મોટાભાગે પ્રસરણ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

જો ચલ પરિમાણ (સામાન્ય કિસ્સામાં) તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે y, જે સમય દરમિયાન પરિમાણમાં ફેરફારોનું નિરીક્ષણ કરવામાં આવે છે તે સમય તરીકે સૂચવવામાં આવે છે t, અને અક્ષ કે જેની સાથે પરિમાણમાં ફેરફાર થાય છે, જેમ કે x, પછી પ્રસરણ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

અને સામાન્ય રીતે શરતો - ચલ મૂલ્યો સાથે પૂરક છે yકિનારીઓ અને કિનારીઓ પર: ડાબી ધાર પર x= 0, જમણી ધાર પર x = એલ, સરહદ પર - પ્રારંભિક શરતો (t = 0):

y(x, 0) = f 1 (x),
y(0, t) = f 2 (t),
y(એલ, t) = f 3 (t),
જ્યાં f 1 (x), f 2 (t) અને f 3 (t) - ઉલ્લેખિત કાર્યો.

ચાલુ ચોખા 19.3વિસ્તાર કે જેના માટે સીમા અને પ્રારંભિક શરતો નક્કી કરવામાં આવે છે તેનું એક યોજનાકીય દૃશ્ય રજૂ કરવામાં આવે છે. કાર્યો f 1 (x), f 2 (t), f 3 (t) અને પ્રસરણ સમીકરણ પોતે જ કાર્યની વર્તણૂક પૂર્વનિર્ધારિત કરે છે y(x, t) આ વિસ્તારની અંદર, જેની સંપૂર્ણ દૃશ્યસામાન્ય રીતે નક્કી કરવાની જરૂર છે. જો તમે વધુમાં ડાયાગ્રામ પર એક ધરી બાંધો છો y(સે.મી. ચોખા 19.4), પછી ફંક્શનનો પ્રકાર આકૃતિમાં દૃષ્ટિની રીતે પ્રદર્શિત કરી શકાય છે. આકૃતિ સ્પષ્ટપણે બતાવે છે કે રેખાકૃતિના ખૂણામાં ઉલ્લેખિત કાર્યોના મૂલ્યો એકરૂપ હોવા જોઈએ.

ગુણાંક α થર્મલ વાહકતા ગુણાંકનો અર્થ છે; f(x, t) એ ફંક્શનનો અર્થ છે જે ગરમીના સ્ત્રોતો અને સિંકની કામગીરીનું વર્ણન કરે છે.

તીવ્રતા y, જે તાપમાનના વિતરણનું વર્ણન કરે છે, તે બે ચલોનું કાર્ય છે - શરીરની હદ xઅને સમય t: y(x, t). ગ્રાફિકલી, ફંક્શનને સપાટી દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે (જુઓ ચોખા 19.5) અથવા આઇસોલિનનો સમૂહ (જુઓ. ચોખા 19.6), જેનો પ્રકાર સામાન્ય રીતે નક્કી કરવાની જરૂર છે.

જો આપણે વ્યુત્પન્ન અભિવ્યક્તિઓને તેમના અલગ એનાલોગ સાથે બદલીએ, તો તફાવત સ્વરૂપે સમીકરણ આના જેવું દેખાશે:

અથવા, જાણીતા જથ્થાના સંદર્ભમાં અજાણ્યાને વ્યક્ત કરવું:

પરિણામે, ગણતરી સૂત્ર પ્રાપ્ત થાય છે, ડિજિટલ પર અમલમાં આવે છે કમ્પ્યુટર. આ સૂત્રનો આભાર, તમે પરિમાણના મૂલ્યની ગણતરી કરી શકો છો yકોઈપણ સમયે ( x, t).

ચાલો મૂલ્ય કહીએ y(x, t) ગણતરી નોડ. પછી, યોજનાકીય રીતે, ગણતરી શરીરના ભાગો અને સમય અંતરાલથી બનેલા ક્ષેત્ર પર ગાંઠોના ગ્રીડ જેવી લાગે છે (ફિગ જુઓ. ચોખા 19.7). એક નોડની ગણતરી માટેનું સૂત્ર ત્રણ ગાંઠોની સ્થિતિ પર આધારિત છે (ડાબે y(x – Δ x, t – Δ t), અધિકાર y(x + Δ x, t – Δ t), પોતાના y(x, t – Δ t)) થી પાછલા ( t – Δ t) સમયનો નિર્દેશ કરે છે અને ત્રિકોણાકાર પેટર્ન જેવું લાગે છે. ગણતરી શરૂ થાય તે પહેલાં, માટે તમામ નોડ્સની સ્થિતિ t( t + Δ t). ડાબેરી અને જમણી બાજુના ગાંઠો સિવાય, તેમની સ્થિતિની ગણતરી કરી શકાતી નથી, પરંતુ તે સીમાની સ્થિતિ દ્વારા નિર્દિષ્ટ છે.

જો પ્રક્રિયા પુનરાવર્તિત થાય છે, તો શરીરના એક બિંદુથી ખસેડવું xબીજામાં, અને પછી એક સમય સ્તરથી બીજા સ્તર સુધી, પછી આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તમે કોઈપણ સમયે શરીરના કોઈપણ ભાગમાં તાપમાન મૂલ્યની ગણતરી કરી શકો છો. આમ, ગણતરી સમગ્ર ક્ષેત્રને આવરી લે છે (L x T)(સે.મી. ચોખા 19.7). માં અજાણ્યા મૂલ્યોનું ક્રમિક નિર્ધારણ આ કિસ્સામાંકદાચ કારણ કે નમૂનામાં સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિનું સ્વરૂપ છે - ફોર્મ્યુલામાં એકમાત્ર અજ્ઞાત અગાઉ ગણતરી કરેલ મૂલ્યોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે જ્યારે મોટા મૂલ્યોડેરિવેટિવ્ઝ અને પગલાઓના મોટા મૂલ્યો, ગણતરી ખોટા ઉકેલો આપી શકે છે. ઉકેલો અચોક્કસ અથવા અસ્થિર (ગુણાત્મક રીતે ખોટા) પણ હોઈ શકે છે (લેક્ચર 10 જુઓ. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓએકીકરણ વિભેદક સમીકરણો. યુલરની પદ્ધતિ").

પ્રસરણ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે ત્રિકોણાકાર નમૂના માટે સ્થિરતાની સ્થિતિ: Δ x/Δ t > α (વિગતો જુઓ ચોખા 19.12).

મોડેલિંગ કરતી વખતે, અન્ય તફાવત સૂત્રો (ટેમ્પ્લેટ્સ) નો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે (જુઓ. ચોખા 19.8). નમૂનો પસંદ કરતી વખતે, તે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે કે નમૂનો સ્પષ્ટ છે કે નહીં, તે શું ચોકસાઈ પ્રદાન કરે છે અને તે કયા પગલાના મૂલ્યો પર ગણતરીની સ્થિરતાને સુનિશ્ચિત કરે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, લંબચોરસના સ્વરૂપમાં એક નમૂનો ગર્ભિત છે: એકમાં ગણતરી સૂત્રએક સાથે બે અજાણ્યા જથ્થા સમાવે છે. તેથી, આવી પેટર્નનો ઉપયોગ કરતી વખતે, તે સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે જરૂરી છે બીજગણિતીય સમીકરણોકદ (એલ ટી).

વ્યવહારમાં, સ્થિરતા અને પછી સચોટતા, વિવિધ નમૂનાઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલો મેળવીને પ્રાપ્ત થાય છે અને વિવિધ અર્થોપગલું જો ઇચ્છિત ચલના મૂલ્યો, પગલાઓમાં ગણતરી કરવામાં આવે છે hઅને પગલાંઓ સાથે h/2, સમાન સૂચકાંકો સાથે ગાંઠો પર 1-5% થી વધુ નહીં, પછી ગણતરી કરેલ મૂલ્ય સમસ્યાના અંદાજિત ઉકેલ તરીકે લેવામાં આવે છે. નહિંતર, પગલું બેના બીજા પરિબળ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે, અને મૂલ્યાંકન પ્રક્રિયા પુનરાવર્તિત થાય છે. (વધુ માહિતી માટે, “શું આપણે કમ્પ્યુટર પર ગણતરી કરી શકીએ?” વ્યાખ્યાન જુઓ.)

પ્રસરણ સમીકરણના ગુણધર્મોમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે ચોખા 19.9અને તે હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે જ્યારે શરીરના કોઈપણ ભાગમાં અસંગતતા જોવા મળે છે, સમય જતાં, ગરમીના વિનિમય પ્રક્રિયાઓને કારણે ગરમી પડોશી વિસ્તારોમાં વહે છે. પડોશી વિસ્તારોનું તાપમાન સમાન અને સરેરાશ છે. પ્રક્રિયાની ગતિ થર્મલ વાહકતા ગુણાંકના મૂલ્ય પર આધારિત છે.

જો આપણે એ શરત સ્વીકારીએ કે સમસ્યા સ્થિર છે, એટલે કે, પ્રક્રિયાઓ એટલો લાંબો સમય લે છે કે બધી ક્ષણિક પ્રક્રિયાઓને સમાપ્ત થવામાં સમય મળે છે (સમય વ્યુત્પન્ન 0 ની બરાબર છે), તો પ્રસરણ સમીકરણ નીચેનું સ્વરૂપ લે છે (કેસ માટે દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યા - ધરી xઅને z) સ્ત્રોતો અને સિંક વિના:

∂ 2 y/∂x 2 + ∂ 2 y/∂z 2 = 0.

તફાવત સ્વરૂપમાં, સમીકરણ આના જેવું દેખાય છે:

(Y i + 1, j– 2 · Y i , j + Y i – 1, j)/Δ x 2 + (Y i , j– 1 – 2 · Y i , j + Y i , j+ 1)/Δ z 2 = 0.

જો આપણે Δ લઈએ x = Δ z, પછી સમીકરણ ફોર્મ લેશે:

4 · Y i , j – Y i + 1, j – Y i – 1, j – Y i , j – 1 – Y i , j + 1 = 0.

તે સમજવું સરળ છે કે સમીકરણની ગણતરી કરવા માટેનો નમૂનો ગર્ભિત છે અને તેમાં ક્રોસનું સ્વરૂપ છે (ગ્રીડ નોડ પર તાપમાન મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે, તમારે ડાબી, જમણી, ઉપર અને નીચે તેના પડોશીઓનું તાપમાન જાણવાની જરૂર છે. ). જો ઘરની દિવાલ 2 મીટર બાય 2 મીટર માપે છે, અને પગલું Δ છે x = Δ z= 20 મીમી, પછી ગણતરી માટે કુલ તાપમાન શાસન 10,000 ની સિસ્ટમ દ્વારા દિવાલો ઉકેલવી પડશે રેખીય સમીકરણો 10,000 અજાણ્યાઓ સાથે Y i , j :

4 · Y i , j – Y i + 1, j – Y i – 1, j – Y i , j – 1 – Y i , j+ 1 = 0, માટે i= 1÷100 અને j= 1÷100,

જેની સાથે સીમાની શરતોના 400 ટુકડાઓ જોડાયેલા હોવા જોઈએ:
વાય 0, j = f 1 (j);
વાય 101, j = f 2 (j);
Y i , 0 = f 3 (i);
Y i , 101 = f 4 (i).

સમીકરણનો ઉકેલ આમાં દર્શાવેલ છે ચોખા 19.6.

નિષ્ક્રિય પરિવહનનું વર્ણન કરવા માટે - બાયોફિઝિક્સમાં આયનોના પ્રસાર માટે, ઇલેક્ટ્રોડિફ્યુઝન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે મુજબ નિષ્ક્રિય પરિવહન દરમિયાન પટલ દ્વારા આયનોનો કુલ પ્રવાહ 2 પરિબળો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: તેમના વિતરણની અસમાનતા (એકાગ્રતા ઢાળ) અને તેની અસર. ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર (ઇલેક્ટ્રિક ગ્રેડિયન્ટ). મંદ ઉકેલો માટે આયન પ્રવાહની ઘનતા નેર્ન્સ્ટ-પ્લાન્ક સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

જ્યાં: F - પદાર્થનો પ્રવાહ, u - આયનની ગતિશીલતા, પરમાણુ, R - યુનિવર્સલ ગેસ કોન્સ્ટન્ટ (8.314 J/mol*K), T - K 0 સ્કેલ પર તાપમાન, dC/dx - સાંદ્રતા ઢાળ, C - સાંદ્રતા મોલ્સ માં, ઝેડ- આયન ચાર્જ મૂલ્ય, F - ફેરાડે નંબર (96500 C/mol), ડી φ /dx - સંભવિત ઢાળ.

ગ્રેડિએન્ટ્સની સામેના ઓછા ચિહ્નો સૂચવે છે કે એકાગ્રતા ઢાળ વધુ સાંદ્રતાવાળા સ્થાનોમાંથી ઓછી સાંદ્રતાવાળા સ્થાનો પર પદાર્થના સ્થાનાંતરણનું કારણ બને છે; અને સંભવિત ઢાળ વધુ સંભાવના ધરાવતા સ્થાનોથી ઓછા સ્થાનો પર હકારાત્મક શુલ્કના સ્થાનાંતરણનું કારણ બને છે.

ચાર્જ વગરના કણોના પ્રસારનું વર્ણન કરવા માટે, ફિક સમીકરણનો ઉપયોગ થાય છે:

આ સ્વરૂપમાં, ફિક સમીકરણ એકમ વિસ્તારમાંથી અનચાર્જ કણોના પ્રવાહને નિર્ધારિત કરે છે જ્યાં કોઈ પાર્ટીશન (મેમ્બ્રેન) ન હોય જે પરિવહનને અવરોધી શકે, જ્યાં:

D D - પ્રસરણ ગુણાંક, - એકાગ્રતા ઢાળ

કોષ પટલ માટે: dx = L - પટલની જાડાઈ, dC = C i - C e, જ્યાં C i અને C e એ કોષની અંદર અને બહારના કણોની સાંદ્રતા છે. ગુણાંક K (પાર્ટીશન ગુણાંક) કોષ માટે ફિક સમીકરણમાં ઉમેરવામાં આવે છે, જે માધ્યમ અને પટલ વચ્ચેના કણોની સાંદ્રતાનો ગુણોત્તર અને છેવટે, ટ્રાન્સફર રેટ નક્કી કરે છે. આને ધ્યાનમાં લેતા, કોષ પટલ માટે ફિક સમીકરણ આ રીતે રજૂ થાય છે:

DK / L = P - અસરકારક અભેદ્યતા ગુણાંક કહેવાય છે, પછી Ф = - P (સાથે ઇ - સી)

6. મિકેનિઝમ સક્રિય પરિવહન K+ આયનો અનેના+ પટલ દ્વારા. કામના મુખ્ય તબક્કાઓકે, ના- ATPases. કાઉન્ટર-ગ્રેડિયન્ટ ટ્રાન્સફર (સૂત્ર) નો ઊર્જા વપરાશ.

Na અને K આયનો શરીરના પાણી-ઇલેક્ટ્રોલાઇટ ચયાપચયને નિર્ધારિત કરે છે. સામાન્ય રીતે, જીવંત પ્રાણી કોષોમાં કોષની અંદર (i) અને બહાર (e) આયનોની સાંદ્રતામાં અસમપ્રમાણતા હોય છે. K ની સાંદ્રતા કોષની અંદર વધારે છે, Na ની સાંદ્રતા બહાર વધારે છે. કોષ પટલ બંને આયનો માટે સમાન રીતે અભેદ્ય છે. તેથી, અસમપ્રમાણતા જાળવવા માટે, કાઉન્ટર-ગ્રેડિયન્ટ ટ્રાન્સફર Na, K - ATPase અથવા Na-K પંપનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે, ATP હાઇડ્રોલિસિસ દરમિયાન મુક્ત થતી ઊર્જાને કારણે.

ATP + H2O = ADP + Ph n + ∆G, જ્યાં Ph n એ અકાર્બનિક ફોસ્ફેટ છે.

ATPase કાર્યના મુખ્ય તબક્કાઓ:

1) 3 Na આયનોનું જોડાણ અને કોષની અંદર એન્ઝાઇમનું ફોસ્ફોરાયલેશન.

2) સ્થાનાંતરણ નંબર 1 - Na ion બંધનકર્તા કેન્દ્રને બહારથી સ્થાનાંતરિત કરવું.

3) 3 Na આયનોને ડિસ્કનેક્ટ કરવું અને તેમને 2 K આયનો સાથે બદલવું.

4) ફોસ્ફોરિક એસિડ અવશેષો નાબૂદી.

5) ટ્રાન્સલોકેશન નંબર 2 - કોષમાં K આયન બંધનકર્તા કેન્દ્રનું સ્થાનાંતરણ.

6) 2 K આયનોની ટુકડી અને 3 Na આયનોનો ઉમેરો, પછી એન્ઝાઇમનું ફોસ્ફોરાયલેશન.

કોષમાં 2 K આયનોનું સ્થાનાંતરણ અને બહાર 3 Na આયનોનું પ્રકાશન આખરે સાયટોપ્લાઝમમાંથી પટલની સપાટી પર એક વધારાના હકારાત્મક ચાર્જના સ્થાનાંતરણ તરફ દોરી જાય છે. તેથી, અંતઃકોશિક સમાવિષ્ટોમાં એક ચિહ્ન (-), અને બાહ્યકોષીય સામગ્રીઓ (+) હોય છે. સામાન્ય રીતે, Na + અને K + ના સક્રિય પરિવહન માટે ATP ના હાઇડ્રોલિસિસ દરમિયાન મુક્ત થતી ઊર્જા સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

જ્યાં પ્રથમ ટર્મ બે K આયનોના કાઉન્ટર-ગ્રેડિયન્ટ ટ્રાન્સફર માટે ઉર્જા નક્કી કરે છે, બીજી - ત્રણ Na આયનોના કાઉન્ટર-ગ્રેડિયન્ટ ટ્રાન્સફર માટેની ઉર્જા, ત્રીજી - પર ઉદ્ભવતા વિદ્યુત ક્ષેત્રના દળોને દૂર કરવા માટેની ઊર્જા સક્રિય પરિવહનને કારણે પટલ.

પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવા માટે, ચાલો તેને કેવી રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે તેનું ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો આપણે ફરીથી ગરમીના વિતરણ તરફ વળીએ, ધાતુમાં કહો. ચાલો એક ખૂબ જ સરળ કેસ ધ્યાનમાં લઈએ: શરીરને બધી ગરમી અગાઉથી પૂરી પાડવામાં આવી હતી, અને હવે શરીર ઠંડુ થઈ રહ્યું છે. ત્યાં કોઈ ગરમીના સ્ત્રોત નથી, તેથી ગરમીની માત્રા સાચવવામાં આવે છે. અમુક સમયે અમુક ચોક્કસ વોલ્યુમની અંદર કેટલી ગરમી હોવી જોઈએ? તે બરાબર તે જથ્થાથી ઘટવું જોઈએ જે વોલ્યુમની સપાટીને છોડી દે છે. જો આ વોલ્યુમ એક નાનું ક્યુબ છે, તો પછી, ફોર્મ્યુલા (3.17) ને અનુસરીને, આપણે લખી શકીએ છીએ

પરંતુ આ ક્યુબની અંદરથી ગરમીના નુકશાનના દર જેટલું હોવું જોઈએ. જો એકમ વોલ્યુમ દીઠ ગરમીનું પ્રમાણ છે, તો સમગ્ર ગરમીનો પુરવઠો ક્યુબમાં છે, અને નુકસાનનો દર બરાબર છે

(3.20)

(3.20) સાથે (3.19) ની સરખામણી કરીને, આપણે તે જોઈએ છીએ

(3.21)

આ સમીકરણના આકાર પર નજીકથી નજર નાખો; આ સ્વરૂપ ઘણીવાર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં જોવા મળે છે. તે સંરક્ષણનો કાયદો વ્યક્ત કરે છે, આ કિસ્સામાં ગરમીના સંરક્ષણનો કાયદો. સમીકરણમાં (3.13) સમાન ભૌતિક હકીકતઅલગ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવી હતી. સંરક્ષણ સમીકરણનું એક અભિન્ન સ્વરૂપ હતું, અને અહીં આપણી પાસે વિભેદક સ્વરૂપ છે.

અમે એક અનંત સમઘન પર સૂત્ર (3.13) લાગુ કરીને સમીકરણ (3.21) મેળવ્યું. તમે બીજી રીતે જઈ શકો છો. સપાટીથી બંધાયેલા મોટા જથ્થા માટે, ગૌસનો કાયદો જણાવે છે કે

(3.22)

(3.21) નો ઉપયોગ કરીને, જમણી બાજુના ઇન્ટિગ્રલને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, અને પછી આપણને ફોર્મ્યુલા (3.13) મળે છે.

હવે બીજો કિસ્સો જોઈએ. ચાલો કલ્પના કરીએ કે પદાર્થના બ્લોકમાં એક નાનું છિદ્ર છે, અને તેમાં છે રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા, ગરમી પેદા કરે છે. તેની કલ્પના પણ કરી શકાય છે ઓછી પ્રતિકારબ્લોકની અંદર વાયર છે જે તેને ગરમ કરે છે ઇલેક્ટ્રિક આંચકો. ચાલો ધારીએ કે ગરમી લગભગ એક બિંદુએ ઉત્પન્ન થાય છે, અને a એ તે બિંદુએ પ્રતિ સેકન્ડે ઉત્પન્ન થતી ઊર્જાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. બાકીના જથ્થામાં, ગરમીને જાળવી રાખવા દો અને વધુમાં, ગરમીનું ઉત્પાદન એટલા લાંબા સમય પહેલા શરૂ થવા દો કે હવે તાપમાન ક્યાંય બદલાતું નથી. પ્રશ્ન એ છે કે: ગરમીનો પ્રવાહ વેક્ટર કેવો દેખાય છે વિવિધ બિંદુઓમેટલ? દરેક બિંદુમાંથી કેટલી ગરમી વહે છે?

આપણે જાણીએ છીએ કે જો આપણે સામાન્ય ઘટકને બંધ સપાટી પર એકીકૃત કરીએ, આસપાસના સ્ત્રોત, તે હંમેશા કામ કરશે. બિંદુ સ્ત્રોત પર પેદા થતી તમામ ગરમી સપાટીમાંથી વહેવી જોઈએ કારણ કે પ્રવાહ સ્થિર હોવાનું માનવામાં આવે છે. અમારા પહેલાં મુશ્કેલ કાર્યએક વેક્ટર ક્ષેત્ર શોધવું જે, મનસ્વી સપાટી પર એકીકરણ કર્યા પછી, હંમેશા આપશે. પરંતુ આપણે સપાટી પસંદ કરીને આ ક્ષેત્ર પ્રમાણમાં સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ ખાસ પ્રકાર. ચાલો સ્ત્રોત પર કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યાનો એક ગોળો લઈએ અને ધારીએ કે ગરમીનો પ્રવાહ રેડિયલ છે (ફિગ. 3.6). અંતઃપ્રેરણા આપણને કહે છે કે જો પદાર્થનો બ્લોક મોટો હોય અને આપણે તેની સીમાઓની ખૂબ નજીક ન જઈએ તો તેને ત્રિજ્યા સાથે નિર્દેશિત કરવું જોઈએ; વધુમાં, ગોળાના તમામ બિંદુઓ પરનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ. તમે જુઓ છો કે અમારી ગણતરીઓનો જવાબ મેળવવા માટે અમને ચોક્કસ માત્રામાં અનુમાન ઉમેરવાની ફરજ પાડવામાં આવે છે (સામાન્ય રીતે આને "શારીરિક અંતર્જ્ઞાન" કહેવામાં આવે છે).

આકૃતિ 3.6. બિંદુ સ્ત્રોતની નજીકના પ્રદેશમાં, ગરમીનો પ્રવાહ રેડિયલી બહારની તરફ નિર્દેશિત થાય છે.

જ્યારે રેડિયલી અને ગોળાકાર સપ્રમાણ હોય, ત્યારે સપાટીના વિસ્તાર પર સામાન્ય ઘટકના અભિન્ન ભાગની ગણતરી ખૂબ જ સરળ રીતે કરવામાં આવે છે કારણ કે સામાન્ય ઘટક બરાબર સમાન અને સ્થિર હોય છે. વિસ્તાર કે જેના પર તે સંકલિત છે તે બરાબર છે. પછી આપણને મળે છે

, (3.23)

સંપૂર્ણ મૂલ્ય ક્યાં છે. આ ઇન્ટિગ્રલ તે દર જેટલો હોવો જોઈએ કે જેના પર સ્ત્રોત ગરમી ઉત્પન્ન કરે છે. તે બહાર વળે છે

જ્યાં, હંમેશની જેમ, રેડિયલ દિશામાં એકમ વેક્ટર સૂચવે છે. આ પરિણામ અમને જણાવે છે કે તે પ્રમાણસર છે અને સ્ત્રોતથી અંતરના વર્ગમાં વિપરીત રીતે બદલાય છે.

હમણાં જ મેળવેલ પરિણામ બિંદુ ઉષ્મા સ્ત્રોતની નજીકના ઉષ્મા પ્રવાહને લાગુ પડે છે. હવે આપણે એવા સમીકરણો શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ જે ગરમીના પ્રવાહ માટે જ માન્ય છે સામાન્ય દૃશ્ય(એક જ શરતનું પાલન કરવું કે ગરમીનું પ્રમાણ સાચવવું આવશ્યક છે). કોઈપણ સ્ત્રોતો અથવા હીટ સિંકની બહારના સ્થળોએ શું થાય છે તેમાં જ અમને રસ હશે.

ઉષ્માના પ્રસાર માટેનું વિભેદક સમીકરણ ચેપમાં પ્રાપ્ત થયું હતું. 2. સમીકરણ અનુસાર (2.44),

(યાદ રાખો કે આ ગુણોત્તર અંદાજિત છે, પરંતુ ધાતુઓ જેવા કેટલાક પદાર્થો માટે તે સારી રીતે પકડી રાખે છે.) તે, અલબત્ત, શરીરના તે ભાગોમાં જ લાગુ પડે છે જ્યાં ન તો ઉત્પન થાય છે કે ન તો ગરમીનું શોષણ થાય છે. ઉપર આપણે બીજો સંબંધ (3.21) મેળવ્યો, જે સંતુષ્ટ થાય છે જ્યારે ગરમીનું પ્રમાણ સાચવવામાં આવે છે. જો આપણે આ સમીકરણને (3.25) સાથે જોડીએ, તો આપણને મળે છે

જો - જથ્થો સ્થિર છે. ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે એકમના જથ્થામાં ગરમીનું પ્રમાણ છે, એ લેપ્લાસિયન છે, એટલે કે ઓપરેટર

જો આપણે હવે વધુ એક ધારણા કરીએ, તો તરત જ એક ખૂબ જ રસપ્રદ સમીકરણ ઊભું થાય છે. ચાલો માની લઈએ કે સામગ્રીનું તાપમાન એકમ વોલ્યુમ દીઠ ગરમીની સામગ્રીના પ્રમાણસર છે, એટલે કે, સામગ્રીની ચોક્કસ ચોક્કસ ગરમી ક્ષમતા છે. જ્યારે આ ધારણા સાચી હોય છે (અને આ ઘણીવાર કેસ હોય છે), ત્યારે આપણે લખી શકીએ છીએ અને - તાપમાન માટે.

વિભેદક સમીકરણ (3.28) ને ઉષ્મા પ્રસરણ સમીકરણ અથવા ઉષ્મા વહન સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. તે ઘણી વખત ફોર્મમાં લખવામાં આવે છે

જ્યાં સ્થિર છે. તે સમાન છે.

પ્રસરણ સમીકરણ ઘણામાં દેખાય છે શારીરિક સમસ્યાઓ: ગેસ પ્રસરણ, ન્યુટ્રોન પ્રસરણ અને અન્ય વિશે. અમે આમાંની કેટલીક ઘટનાઓના ભૌતિકશાસ્ત્રની ચર્ચા પહેલા જ વોલ્યુમમાં કરી ચૂક્યા છીએ. 4, સીએચ. 43. હવે તમારી સામે સંપૂર્ણ સમીકરણ, જે તેના સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપમાં પ્રસરણનું વર્ણન કરે છે. થોડી વાર પછી અમે કેટલાક કિસ્સાઓમાં તાપમાન કેવી રીતે વિતરિત થાય છે તે જોવા માટે પ્રસરણ સમીકરણને ઉકેલવા પર કામ કરીશું. હવે ચાલો વેક્ટર ક્ષેત્રો વિશેના અન્ય પ્રમેયની વિચારણા પર પાછા ફરીએ.

ચાલો આપણે સતત નાના ક્રોસ-સેક્શનની એક હોલો ટ્યુબને ધ્યાનમાં લઈએ, જેના દરેક વિભાગમાં વિસર્જિત પદાર્થની સાંદ્રતાને સ્થિર ગણી શકાય. ચાલો ઓક્સ અક્ષને ટ્યુબ સાથે દિશામાન કરીએ, પછી ટ્યુબમાં પદાર્થની સાંદ્રતા ફંક્શન Q(x,t) દ્વારા વ્યક્ત થાય છે અને તેને સમીકરણ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે:

જ્યાં Q(x,t) એ વિસર્જિત પદાર્થની વોલ્યુમેટ્રિક સાંદ્રતા (અથવા ઘનતા) છે, kg/m3;

f(x,t) - અશુદ્ધિ સ્ત્રોતની વોલ્યુમેટ્રિક ઘનતા, kg m -3 s -1.

જો પ્રસરણ ગુણાંક D સ્થિર હોય, તો ગુણાંક a અભિવ્યક્તિ પરથી નક્કી થાય છે:

, (2.58)

જ્યાં D એ પ્રસરણ ગુણાંક છે, m 2 /s;

સી - છિદ્રાળુતા ગુણાંક.

, (2.59)

જ્યાં V એ છિદ્રોનું પ્રમાણ છે જેની અંદર પ્રસરણ થઈ શકે છે, m3;

V 0 - કુલ વોલ્યુમ, m 3.

જો માધ્યમ છિદ્રાળુ ન હોય, તો ગુણાંક C = 1, અને ગુણાંક a 2 = D.

પ્રારંભિક શરતો તરીકે, સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે માનવામાં આવતી હોલો ટ્યુબ સાથે વિખરાયેલા પદાર્થની ઘનતાનું વિતરણ સ્પષ્ટ થયેલ છે:

સીમાની શરતો નીચેના સ્વરૂપમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છે:

1) હોલો ટ્યુબની સીમાઓ પર, વિસર્જિત પદાર્થની સાંદ્રતા સતત જાળવવામાં આવે છે (ખાસ કરીને શૂન્ય બરાબર) (1લી પ્રકારની સીમાની શરતો):

2) ટ્યુબના બાઉન્ડ્રી પ્લેન્સ અભેદ્ય છે (બીજા પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ):

; (2.63)

. (2.64)

3) બાઉન્ડ્રી પ્લેન્સ અર્ધ-પારગમ્ય છે, અને આ વિમાનો દ્વારા પ્રસરણ ન્યુટનના સંવહનીય હીટ ટ્રાન્સફર (3જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ) માટેના કાયદા અનુસાર થાય છે:

, (2.65)

, (2.66)

જ્યાં φ 1 (t), φ 2 (t) એ વિસર્જિત પદાર્થની ઘનતા છે પર્યાવરણટ્યુબના બંને છેડે;

α એ છેડે અભેદ્યતા ગુણાંક છે.

નિલંબિત કણોના પ્રસરણની પ્રક્રિયા માટે સેડિમેન્ટેશનને ધ્યાનમાં રાખીને સીમા મૂલ્યની સમસ્યા સેટ કરો, એમ ધારીને કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે કણોની ગતિ સ્થિર છે, અને કણોની ઘનતા માત્ર ઊંચાઈ z અને સમય t પર આધારિત છે. લખો સીમાની સ્થિતિ, એક અભેદ્ય પાર્ટીશનને અનુરૂપ.

ટ્યુબમાં સસ્પેન્ડેડ કણોની ઘનતાનું વર્ણન કરતું કાર્ય Q(x,t) સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

D – પ્રસરણ ગુણાંક, m 2 /s;

ν - કણો સ્થાયી થવાની ગતિ, m/s.

ફોર્મ્યુલેટેડ શરત માટે સીમા શરત આ રીતે લખાયેલ છે:

2.7 ટ્રાન્સમિશન લાઇન સમીકરણો

કેબલ લંબાઈ ધ્યાનમાં લો lવર્તમાન હેઠળ. કેબલમાં વાયરની એકમ લંબાઈ દીઠ નીચેના પરિમાણો છે:

- સક્રિય પ્રતિકાર આર, ઓહ્મ/એમ;

- ઇન્ડક્ટન્સ L, H/m;

- કેપેસીટન્સ C, F/m;

– ઇન્સ્યુલેશન વાહકતા જી, (ઓહ્મ એમ) -1.

વોલ્ટેજ U અને વર્તમાન I દરેક સમયે t કોઈપણ બિંદુ x પર નીચેના સમીકરણોમાંથી શોધી શકાય છે:

1) ફોન સમીકરણ:

જ્યાં Q(x,t)=U(x,t) અથવા Q(x,t)=I(x,t).

2) ટેલિગ્રાફ સમીકરણ (ટેલિગ્રાફ સમીકરણ) ઇન્ડક્ટન્સ અને વાહકતાના નગણ્ય મૂલ્યોને આધીન L=G=0:

. (2.68)

3) રેડિયો સમીકરણ (સક્રિય પ્રતિકાર અને વાહકતા R=G=0 ના નીચા મૂલ્યો પર):

, (2.69)

જ્યાં k 2 =1/(LC).

તમામ સમીકરણોમાં, બંને વોલ્ટેજ U(x,t) અને વર્તમાન I(x,t) ને આઉટપુટ વિતરિત જથ્થા તરીકે ગણી શકાય.

ટેલિફોન અને રેડિયો સમીકરણો માટે, જેમાં ટાઈમ ટીના સંદર્ભમાં બીજું વ્યુત્પન્ન હોય છે, તે પ્રારંભિક શરતોને સમગ્ર રેખા સાથે સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે સૌથી વધુ વિતરિત જથ્થાના સ્વરૂપમાં અને આદર સાથે તેના વ્યુત્પન્નનો ઉલ્લેખ કરવો જરૂરી છે. સમય માટે ટી. ચાલો તેમની ગણતરી ધ્યાનમાં લઈએ.

વોલ્ટેજ અને વર્તમાનનું વિતરણ રેખા સાથે સ્પષ્ટ થવા દો:

સીમાની સ્થિતિને વિવિધ રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. ચાલો કેબલના એક છેડા (લાઇન) માટે, ઉદાહરણ તરીકે x= માટે, સૌથી સામાન્ય મુદ્દાઓને ધ્યાનમાં લઈએ l.

1) અંતે સતત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ બળ E, B સાથે બેટરી છે:

2) રેખાનો અંત આવર્તન ω સાથે સિનુસોઇડલ વોલ્ટેજ હેઠળ છે:

3) લાઇનનો અંત ગ્રાઉન્ડ છે:

. (2.76)

4) વાયરનો અંત ઇન્સ્યુલેટેડ છે:

. (2.77)

5) લાઇનની શરૂઆતમાં અને અંતે, ઓહ્મિક પ્રતિકાર R 0 અને R સાથે રીસીવરો ચાલુ છે l અને સ્વ-ઇન્ડક્શન L 0 અને L l :

; (2.78)

, (2.79)

જ્યાં E એ બેટરીનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ બળ છે, V;

I 0, I l- લાઇનની શરૂઆતમાં અને અંતમાં વર્તમાન તાકાત, એ.

6) લાઇનની શરૂઆતમાં અને અંતમાં, કેપેસિટેન્સ C 0 અને C સાથે અલગ કરતા કેપેસિટર્સનો સમાવેશ થાય છે. l :

; (2.80)

, (2.81)

જ્યાં યુ l- લાઇનના અંતે વોલ્ટેજ.

1000 કિમી લાંબી ટ્રાન્સમિશન લાઇન શરૂઆતમાં સ્થિર સ્થિતિમાં હોય છે જેમાં ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ડ (x=0) પર 1200 V અને રિસિવિંગ છેડે 1100 V ની સંભાવના હોય છે (x= l=1000). લાઇનનો મેળવનાર છેડો અચાનક ગ્રાઉન્ડ થઈ જાય છે, અને 1200 V ની સંભવિતતા સ્ત્રોત પર રહે છે.

L=G=0 થી, અમે ફોર્મના ટેલિગ્રાફ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

જ્યાં 0≤х≤ 1000.

પ્રારંભિક સ્થિતિઓ (પ્રારંભિક સ્થિર-સ્થિતિ વોલ્ટેજ) ફોર્મના સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

,
.

લંબાઈના વાયરમાં વર્તમાન I(x,t) શોધો l, જેની સાથે તે વહે છે એસી, જો ત્યાં કોઈ વર્તમાન લિકેજ નથી, અને ઓહ્મિક પ્રતિકાર અને વાહકતાને અવગણી શકાય છે. એવું માનવામાં આવે છે કે વાયરમાં પ્રારંભિક પ્રવાહ (t=0 પર) શૂન્ય છે, અને પ્રારંભિક વોલ્ટેજ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: