ટકાવારી સંડોવતા શબ્દોની સમસ્યાઓને યોગ્ય રીતે અને ઝડપથી ઉકેલવાની ક્ષમતા માત્ર વિદ્યાર્થીઓ માટે જ જરૂરી નથી યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવીમૂળભૂત ગણિતમાં અથવા પ્રોફાઇલ સ્તર, પણ તમામ પુખ્ત વયના લોકો માટે, કારણ કે આવા કાર્યોનો સતત સામનો કરવો પડે છે રોજિંદા જીવન. કિંમતો વધારવી, કૌટુંબિક બજેટનું આયોજન, ભંડોળનું નફાકારક રોકાણ અને અન્ય ઘણી સમસ્યાઓ આ કુશળતા વિના ઉકેલી શકાતી નથી. સર્ટિફિકેશન ટેસ્ટ આપવાની તૈયારી કરતી વખતે, તમારે ટકાવારીઓ સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓને કેવી રીતે હલ કરવી તેનું પુનરાવર્તન કરવું આવશ્યક છે: ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં, તે મૂળભૂત અને વિશિષ્ટ બંને સ્તરે જોવા મળે છે.
યાદ રાખવાની જરૂર છે
ટકાવારી એ સંખ્યાનો \(\frac(1)(100)\) ભાગ છે. સમગ્ર સંબંધમાં કોઈ વસ્તુનો હિસ્સો સૂચવે છે. લેખિત પ્રતીક \(\%\) છે. "ટકા" વિષય પર યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી કરતી વખતે, મોસ્કોમાં અને રશિયન ફેડરેશનના અન્ય ભાગોમાંના શાળાના બાળકોએ નીચેના સૂત્રને યાદ રાખવાની જરૂર છે:
\તે કેવી રીતે લાગુ કરવું?
ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં ટકાવારી સાથેનું સરળ કાર્ય હલ કરવા માટે, તમારે આની જરૂર પડશે:
- આપેલ સંખ્યાને \(100\) વડે વિભાજીત કરો.
- પરિણામી મૂલ્યને \(\%\) ની માત્રાથી ગુણાકાર કરો જે શોધવાની જરૂર છે.
ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા \(300\) ની \(10\%\) ગણતરી કરવા માટે, તમારે \(300:100=3\) ભાગાકાર કરીને \(1\) ટકાવારી શોધવાની જરૂર છે. અને અગાઉની ક્રિયામાંથી મેળવેલ નંબર \(3\cdot10=30\) છે. જવાબ: \(30\).
આ સૌથી સરળ કાર્યો છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં 11મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ ટકાવારી સાથે સંકળાયેલી જટિલ સમસ્યાઓ ઉકેલવાની જરૂરિયાતનો સામનો કરે છે. એક નિયમ તરીકે, તેઓ બેંક ડિપોઝિટ અથવા ચૂકવણીનો સંદર્ભ આપે છે. તમે "સૈદ્ધાંતિક માહિતી" વિભાગમાં જઈને તેમની અરજી માટેના સૂત્રો અને નિયમોથી પોતાને પરિચિત કરી શકો છો. અહીં તમે માત્ર મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓનું પુનરાવર્તન કરી શકતા નથી, પરંતુ બેંક લોન પર વ્યાજ સાથે સંકળાયેલી જટિલ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટેના વિકલ્પો તેમજ બીજગણિતના અન્ય વિભાગોની કસરતોથી પણ પરિચિત થઈ શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે,
"ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર ટેક્સ્ટ સમસ્યાઓ" વિડિઓ પણ જુઓ.
શબ્દ સમસ્યા એ માત્ર ચળવળ અને કાર્ય કાર્ય નથી. ટકાવારીઓ પર, ઉકેલો, એલોય અને મિશ્રણ પર, વર્તુળમાં ફરવા અને સરેરાશ ઝડપ શોધવાના કાર્યો પણ છે. અમે તમને તેમના વિશે જણાવીશું.
ચાલો ટકાવારી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓથી શરૂઆત કરીએ. અમે પહેલાથી જ કાર્ય 1 માં આ વિષયને મળ્યા છીએ. ખાસ કરીને, તેઓ ઘડવામાં મહત્વપૂર્ણ નિયમ: અમે જેની સાથે સરખામણી કરીએ છીએ તે મૂલ્ય તરીકે લઈએ છીએ.
અમે ઉપયોગી સૂત્રો પણ મેળવ્યા છે:
જો આપણે મૂલ્ય ટકાથી વધારીએ, તો આપણને મળે છે.
જો મૂલ્ય ટકાથી ઘટાડવામાં આવે, તો આપણને મળે છે.
જો મૂલ્ય ટકાથી વધે છે અને પછી ઘટે છે, તો આપણને મળે છે.
જો આપણે મૂલ્યને ટકાથી બે વાર વધારીએ, તો આપણને મળે છે
જો મૂલ્ય ટકાથી બે વાર ઘટાડવામાં આવે, તો આપણને મળે છે
ચાલો સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તેનો ઉપયોગ કરીએ.
સિટી બ્લોકમાં દર વર્ષે લોકો રહેતા હતા. વર્ષમાં, નવા મકાનોના નિર્માણના પરિણામે, રહેવાસીઓની સંખ્યામાં વધારો થયો છે, અને વર્ષમાં - વર્ષની સરખામણીમાં. દર વર્ષે ક્વાર્ટરમાં કેટલા લોકો રહેવા લાગ્યા?
શરત મુજબ, એક વર્ષમાં રહેવાસીઓની સંખ્યામાં વધારો થયો, એટલે કે, તે લોકો સમાન બની ગયો.
અને વર્ષમાં રહેવાસીઓની સંખ્યામાં વધારો થયો છે, જે હવે વર્ષની સરખામણીમાં છે. અમને મળે છે કે એક વર્ષમાં બ્લોકમાં વધુ રહેવાસીઓ રહેતા હતા.
પર નીચેની સમસ્યાની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી અજમાયશ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાડિસેમ્બરમાં ગણિતમાં. તે સરળ છે, પરંતુ થોડા લોકોએ તેમાં નિપુણતા મેળવી છે.
સોમવારે, કંપનીના શેરની કિંમતમાં ચોક્કસ ટકાનો વધારો થયો હતો, અને મંગળવારે તે ટકાના સમાન પ્રમાણમાં ભાવમાં ઘટાડો થયો હતો. પરિણામે, તેઓ સોમવારના રોજ ટ્રેડિંગ શરૂ થયાની સરખામણીએ સસ્તા બન્યા હતા. સોમવારે કંપનીના શેરના ભાવમાં કેટલા ટકાનો વધારો થયો?
પ્રથમ નજરે એવું લાગે છે કે શરતમાં કોઈ ભૂલ છે અને શેરના ભાવમાં જરાય ફેરફાર ન થવો જોઈએ. છેવટે, તેઓ ભાવમાં વધ્યા છે અને સમાન ટકાવારીથી ભાવમાં ઘટાડો થયો છે! પરંતુ ચાલો ઉતાવળ ન કરીએ. ધારો કે સોમવારે ટ્રેડિંગની શરૂઆત વખતે શેરની કિંમત રૂબલ હતી. સોમવાર સાંજ સુધીમાં તેઓના ભાવમાં વધારો થયો હતો અને ખર્ચ થવા લાગ્યો હતો. હવે આ મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે, અને મંગળવાર સાંજ સુધીમાં શેરની કિંમત આ મૂલ્યથી ઘટી હતી. ચાલો કોષ્ટકમાં ડેટા એકત્રિત કરીએ:
| સોમવારે સવારે | સોમવારે સાંજે | મંગળવારે સાંજે | |
| શેરની કિંમત |
શરત મુજબ, આખરે શેરની કિંમતમાં ઘટાડો થયો છે.
અમે તે મેળવીએ છીએ
ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને વિભાજીત કરીએ (છેવટે, તે નથી શૂન્ય બરાબર) અને ડાબી બાજુએ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્ર લાગુ કરો.
સમસ્યાના અર્થ અનુસાર, મૂલ્ય હકારાત્મક છે.
અમને તે મળે છે.
સ્ટોરમાં રેફ્રિજરેટરની કિંમત અગાઉની કિંમત કરતાં સમાન ટકાવારી દ્વારા વાર્ષિક ધોરણે ઘટે છે. દર વર્ષે રેફ્રિજરેટરની કિંમત કેટલી ટકાવારીમાં ઘટે છે તે નક્કી કરો જો, રુબેલ્સ માટે વેચાણ માટે મૂકવામાં આવે, બે વર્ષ પછી તે રુબેલ્સમાં વેચવામાં આવે.
લેખની શરૂઆતમાં આપેલા ફોર્મ્યુલામાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને પણ આ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરવામાં આવે છે. રેફ્રિજરેટરની કિંમત રુબેલ્સ છે. તેની કિંમતમાં બમણો ઘટાડો થયો છે અને હવે તે બરાબર છે
ચાર શર્ટ એક જેકેટ કરતાં સસ્તી છે. જેકેટ કરતાં પાંચ શર્ટ કેટલા ટકા વધુ મોંઘા છે?
શર્ટની કિંમત જેકેટની કિંમત જેટલી થવા દો. હંમેશની જેમ, અમે જેની સાથે સરખામણી કરીએ છીએ તે મૂલ્ય સો ટકા લઈએ છીએ, એટલે કે જેકેટની કિંમત. પછી ચાર શર્ટની કિંમત જેકેટની કિંમત જેટલી થાય છે, એટલે કે
.
એક શર્ટની કિંમત અનેક ગણી ઓછી છે:
,
અને પાંચ શર્ટની કિંમત:
અમને પાંચ શર્ટ મળ્યા જે જેકેટ કરતાં મોંઘા હતા.
જવાબ:.
પરિવારમાં પતિ, પત્ની અને તેમની વિદ્યાર્થી પુત્રીનો સમાવેશ થાય છે. જો પતિનો પગાર બમણો થાય, તો કુટુંબની કુલ આવકમાં વધારો થશે. જો પુત્રીની શિષ્યવૃત્તિ અડધી કરવામાં આવશે, તો પરિવારની કુલ આવકમાં ઘટાડો થશે. કુટુંબની કુલ આવકના કેટલા ટકા પત્નીનો પગાર છે?
ચાલો એક ટેબલ દોરીએ. અમે સમસ્યામાં ઉલ્લેખિત પરિસ્થિતિઓને કહીશું ("જો પતિનો પગાર વધ્યો, જો પુત્રીની શિષ્યવૃત્તિ ઘટી તો...") "પરિસ્થિતિ" અને "પરિસ્થિતિ".
| પતિ | પત્ની | પુત્રી | કુલ આવક | |
| વાસ્તવમાં | ||||
| સિચ્યુએશન | ||||
| સિચ્યુએશન |
તે સમીકરણોની સિસ્ટમ લખવાનું બાકી છે.
પણ આપણે શું જોઈએ છીએ? બે સમીકરણો અને ત્રણ અજાણ્યા! અમે તેમને અલગથી શોધી શકીશું નહીં. સાચું, અમને આની જરૂર નથી. પ્રથમ સમીકરણ લેવું અને તેની બંને બાજુઓમાંથી સરવાળો બાદ કરવો વધુ સારું છે. અમને મળે છે:
આનો અર્થ એ થયો કે પતિનો પગાર કુટુંબની કુલ આવકનો એક ભાગ છે.
બીજા સમીકરણમાં, આપણે બંને બાજુથી અભિવ્યક્તિને બાદ કરીએ, સરળ બનાવીએ અને તે મેળવીએ
મતલબ કે દીકરીની શિષ્યવૃત્તિ કુટુંબની કુલ આવક પર આધારિત છે. પછી પત્નીનો પગાર કુલ આવક બનાવે છે.
જવાબ:.
આગામી પ્રકારસમસ્યાઓ - ઉકેલો, મિશ્રણો અને એલોય પર સમસ્યાઓ. તેઓ માત્ર ગણિતમાં જ નહીં, પણ રસાયણશાસ્ત્રમાં પણ જોવા મળે છે. અમે તમને વિશે જણાવીશું સરળ રીતેતેમના નિર્ણયો.
- ટકાવારીનું લિટર ધરાવતા વાસણમાં જલીય દ્રાવણકેટલાક પદાર્થ, પાણીનું લિટર ઉમેર્યું. પરિણામી ઉકેલની સાંદ્રતા કેટલી ટકાવારી છે?
નિર્ણયમાં સમાન કાર્યોચિત્ર મદદ કરે છે. ચાલો સોલ્યુશન સાથેના વાસણને યોજનાકીય રીતે ચિત્રિત કરીએ - જાણે કે તેમાં રહેલા પદાર્થ અને પાણી એકબીજા સાથે ભળેલા ન હોય, પરંતુ કોકટેલની જેમ એકબીજાથી અલગ પડે. અને ચાલો લખીએ કે વાસણોમાં કેટલા લિટર છે અને તેમાં કેટલા ટકા પદાર્થ છે. ચાલો પરિણામી ઉકેલની સાંદ્રતા દર્શાવીએ.
પ્રથમ વાસણમાં લિટર પદાર્થ હતો. બીજા વાસણમાં માત્ર પાણી હતું. આનો અર્થ એ છે કે ત્રીજા જહાજમાં પ્રથમ જેટલા જ લિટર પદાર્થનો સમાવેશ થાય છે:
.
અમે ચોક્કસ પદાર્થના - ટકાવારી દ્રાવણની ચોક્કસ માત્રાને આ પદાર્થના - ટકાવારી દ્રાવણની સમાન રકમ સાથે મિશ્રિત કરી છે. પરિણામી ઉકેલની સાંદ્રતા કેટલી ટકાવારી છે?
પ્રથમ સોલ્યુશનના સમૂહને સમાન થવા દો. બીજાનું દળ સમાન છે. પરિણામે, અમે સમૂહ સાથે ઉકેલ મેળવ્યો. ચાલો એક ચિત્ર દોરીએ.
અમને મળે છે:
જવાબ:.
દ્રાક્ષમાં ભેજ હોય છે, અને કિસમિસમાં ભેજ હોય છે. કિલોગ્રામ કિસમિસ બનાવવા માટે કેટલા કિલોગ્રામ દ્રાક્ષની જરૂર પડે છે?
ધ્યાન આપો! જો તમે "ઉત્પાદનો વિશે" સમસ્યાનો સામનો કરો છો, એટલે કે, જ્યાં દ્રાક્ષમાંથી કિસમિસ, જરદાળુમાંથી જરદાળુ, બ્રેડમાંથી ફટાકડા અથવા દૂધમાંથી કુટીર ચીઝ બનાવવામાં આવે છે - તો જાણો કે આ ખરેખર ઉકેલોની સમસ્યા છે. આપણે ઉકેલ તરીકે દ્રાક્ષનું નિરૂપણ પણ કરી શકીએ છીએ. તેમાં પાણી અને "ડ્રાય મેટર" છે. "ડ્રાય મેટર" એક જટિલ ધરાવે છે રાસાયણિક રચના, અને તેના સ્વાદ, રંગ અને ગંધથી આપણે સમજી શકીએ છીએ કે આ દ્રાક્ષ છે બટેટા નથી. જ્યારે દ્રાક્ષમાંથી પાણીનું બાષ્પીભવન થાય છે ત્યારે કિસમિસ ઉત્પન્ન થાય છે. તે જ સમયે, "ડ્રાય મેટર" ની માત્રા સ્થિર રહે છે. દ્રાક્ષમાં પાણી હતું, જેનો અર્થ થાય છે કે ત્યાં “ડ્રાય મેટર” હતું. કિસમિસમાં પાણી અને "ડ્રાય મેટર" હોય છે. એક કિલો દ્રાક્ષમાંથી એક કિલો કિસમિસ થવા દો. પછી
થી
ચાલો એક સમીકરણ બનાવીએ:
અને અમે તેને શોધીશું.
જવાબ:.
ત્યાં બે એલોય છે. પ્રથમ એલોયમાં નિકલ હોય છે, બીજો - નિકલ. આ બે એલોયમાંથી, નિકલ ધરાવતું કિલો વજનનું ત્રીજું એલોય મેળવ્યું. પ્રથમ એલોયનું દળ બીજાના દળ કરતાં કેટલા કિલોગ્રામ ઓછું છે?
પ્રથમ એલોયનું દળ x હોવા દો, અને બીજા મિશ્રધાતુનું દળ y. પરિણામ સમૂહ સાથે એલોય હતું.
ચાલો તેને લખીએ સરળ સિસ્ટમસમીકરણો
પ્રથમ સમીકરણ પરિણામી એલોયનું દળ છે, બીજું નિકલનું સમૂહ છે.
ઉકેલો, અમે તે મેળવીએ છીએ.
જવાબ:.
એસિડના - ટકાવારી અને - ટકાવારી ઉકેલો ભેળવીને અને કિલો ઉમેરીને સ્વચ્છ પાણી, અમે એસિડનું ટકાવારી દ્રાવણ મેળવ્યું. જો કિલો પાણીને બદલે એ જ એસિડનું કિલો-ટકા દ્રાવણ ઉમેરવામાં આવે, તો આપણને એસિડનું -ટકા દ્રાવણ મળશે. મિશ્રણ મેળવવા માટે કેટલા કિલોગ્રામ - ટકાવારી દ્રાવણનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો?
પ્રથમ સોલ્યુશનના દળને દો, બીજાનું દળ બરાબર છે. પરિણામી સોલ્યુશનનો સમૂહ બરાબર છે. ચાલો એસિડની માત્રા માટે બે સમીકરણો લખીએ.
અમે પરિણામી સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ. ચાલો તરત જ સમીકરણોની બંને બાજુઓનો ગુણાકાર કરીએ, કારણ કે અપૂર્ણાંક ગુણાંક કરતાં પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે કામ કરવું વધુ અનુકૂળ છે. ચાલો કૌંસ ખોલીએ.
જવાબ:.
પરિપત્ર ગતિની સમસ્યાઓ પણ ઘણા વિદ્યાર્થીઓ માટે મુશ્કેલ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તેઓ લગભગ એ જ રીતે હલ કરવામાં આવે છે સામાન્ય કાર્યોચળવળ માટે. તેઓ સૂત્રનો પણ ઉપયોગ કરે છે. પરંતુ એક ટ્રીક છે જેના વિશે અમે તમને જણાવીશું.
બિંદુ પરથી ગોળાકાર ટ્રેકએક સાઇકલ સવાર બહાર નીકળ્યો, અને થોડી મિનિટો પછી એક મોટરસાઇકલ સવાર તેની પાછળ ગયો. ઉપડ્યાની મિનિટો પછી, તેણે પ્રથમ વખત સાયકલ ચલાવનારને પકડ્યો, અને તેની મિનિટો પછી તેણે બીજી વખત તેની સાથે પકડ્યો. જો રૂટની લંબાઈ કિમી હોય તો મોટરસાયકલ ચાલકની ઝડપ શોધો. તમારો જવાબ કિમી/કલાકમાં આપો.
પ્રથમ, ચાલો મિનિટને કલાકમાં રૂપાંતરિત કરીએ, કારણ કે ઝડપ કિમી/કલાકમાં હોવી જોઈએ. અમે સહભાગીઓની ઝડપને અને તરીકે દર્શાવીએ છીએ. પ્રથમ વખત, એક મોટરસાઇકલ સવાર સાઇકલ સવારને થોડી મિનિટો પછી એટલે કે સ્ટાર્ટ થયાના એક કલાક પછી આગળ નીકળી ગયો. આ બિંદુ સુધી, સાયકલ સવાર મિનિટો માટે, એટલે કે, એક કલાક માટે રસ્તા પર હતો.
ચાલો આ ડેટાને કોષ્ટકમાં લખીએ:
| સાયકલ ચલાવનાર | |||
| મોટરસાયકલ ચલાવનાર |
બંનેએ સમાન અંતરની મુસાફરી કરી, એટલે કે.
ત્યારબાદ મોટરસાયકલ ચાલકે બીજી વખત સાયકલ સવારને પસાર કર્યો. આ પ્રથમ ઓવરટેકિંગના એક કલાક પછી એટલે કે મિનિટોમાં થયું હતું.
ચાલો બીજું કોષ્ટક દોરીએ.
| સાયકલ ચલાવનાર | |||
| મોટરસાયકલ ચલાવનાર |
તેઓએ કયા અંતરની મુસાફરી કરી? એક મોટરસાઇકલ ચાલકે સાઇકલ સવારને ઓવરટેક કર્યો. આનો અર્થ એ કે તેણે વધુ એક લેપ ચલાવ્યો. આ કાર્યનું રહસ્ય છે. એક લેપ એ ટ્રેકની લંબાઈ છે, તે કિમી બરાબર છે. અમને બીજું સમીકરણ મળે છે:
ચાલો પરિણામી સિસ્ટમ હલ કરીએ.
અમને તે મળે છે. જવાબમાં, અમે મોટરસાયકલ ચાલકની ઝડપ લખીએ છીએ.
જવાબ:.
હાથવાળી ઘડિયાળ કલાકોની મિનિટો દર્શાવે છે. કેટલી મિનિટમાં મિનિટ હાથશું તે ચોથી વખત ઘડિયાળ સાથે સંરેખિત થશે?
આ કદાચ સૌથી વધુ છે મુશ્કેલ કાર્યથી યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા વિકલ્પો. અલબત્ત, ત્યાં એક સરળ ઉપાય છે - હાથ વડે ઘડિયાળ લો અને ખાતરી કરો કે હાથ એક કલાકમાં ચોથી વાર ગોઠવે છે, બરાબર ..
જો તમારી પાસે હોય તો ઇલેક્ટ્રોનિક ઘડિયાળઅને તમે પ્રાયોગિક રીતે સમસ્યા હલ કરી શકતા નથી?
એક કલાકમાં, મિનિટનો હાથ એક વર્તુળની મુસાફરી કરે છે, અને કલાકનો હાથ એક વર્તુળની મુસાફરી કરે છે. તેમની ગતિ (વર્તુળો પ્રતિ કલાક) અને (વર્તુળો પ્રતિ કલાક) રહેવા દો. પ્રારંભ કરો - at.. ચાલો તે સમય શોધીએ જે દરમિયાન મિનિટનો હાથ કલાકના હાથ સાથે પ્રથમ વખત પકડશે.
મિનિટ હાથ વધુ એક વર્તુળની મુસાફરી કરશે, તેથી સમીકરણ હશે:
તેને હલ કર્યા પછી, અમને તે કલાક મળે છે. તેથી, પ્રથમ વખત હાથ એક કલાકમાં સંરેખિત થશે. થોડી વાર પછી બીજી વાર સમાન થવા દો. મિનિટ હાથ અંતર સુધી જશે, અને કલાક હાથ, અને મિનિટ હાથ એક વર્તુળ વધુ મુસાફરી કરશે. ચાલો સમીકરણ લખીએ:
તેને હલ કર્યા પછી, અમને તે કલાક મળે છે. તેથી, એક કલાકમાં હાથ બીજી વાર, બીજા કલાક પછી ત્રીજી વખત અને બીજા કલાક પછી ચોથી વાર ગોઠવાઈ જશે.
આનો અર્થ એ છે કે જો શરૂઆત .. પર હતી, તો ચોથી વખત તીરો સંરેખિત થશે
કલાક
જવાબ "પ્રાયોગિક" ઉકેલ સાથે સંપૂર્ણપણે સુસંગત છે! :-)
તમારી ગણિતની પરીક્ષામાં, તમને સરેરાશ ઝડપ શોધવા માટે પણ કહેવામાં આવી શકે છે. યાદ રાખો કે સરેરાશ ઝડપ ઝડપના અંકગણિત સરેરાશની બરાબર નથી. તે વિશિષ્ટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે:
,
સરેરાશ ઝડપ ક્યાં છે, - સામાન્ય માર્ગ, - કુલ સમય.
જો ત્યાં પાથના બે વિભાગો હતા, તો પછી
પ્રવાસીએ કિમી/કલાકની સરેરાશ ઝડપે યાટ પર સમુદ્ર પાર કર્યો. તેણે સ્પોર્ટ્સ પ્લેનમાં કિમી/કલાકની ઝડપે ફરી ઉડાન ભરી. સમગ્ર પ્રવાસ દરમિયાન પ્રવાસીની સરેરાશ ઝડપ શોધો. તમારો જવાબ કિમી/કલાકમાં આપો.
અમને ખબર નથી કે પ્રવાસીએ કેટલું અંતર કાપ્યું હતું. અમે માત્ર એટલું જ જાણીએ છીએ કે આ અંતર ત્યાં અને પાછળના માર્ગમાં સમાન હતું. સરળતા માટે, ચાલો આ અંતરને (એક સમુદ્ર) તરીકે લઈએ. પછી પ્રવાસીએ યાટ પર સફર કરેલો સમય બરાબર છે અને ફ્લાઇટમાં વિતાવેલો સમય બરાબર છે. કુલ સમયબરાબર
સરેરાશ ઝડપકિમી/કલાકની બરાબર.
જવાબ:.
ચાલો બીજી અસરકારક તકનીક બતાવીએ જે તમને સમસ્યા 13 માં સમીકરણોની સિસ્ટમને ઝડપથી ઉકેલવામાં મદદ કરે છે.
આન્દ્રે અને પાશા એક કલાકમાં વાડને રંગ કરે છે. પાશા અને વોલોડ્યા એક કલાકમાં સમાન વાડને રંગ કરે છે, અને વોલોડ્યા અને આન્દ્રે - એક કલાકમાં. છોકરાઓને વાડને રંગવામાં, સાથે કામ કરતાં કેટલા કલાક લાગશે?
અમે પહેલેથી જ કામ અને ઉત્પાદકતા સમસ્યાઓ હલ કરી છે. નિયમો સમાન છે. ફરક માત્ર એટલો જ છે કે અહીં ત્રણ લોકો કામ કરે છે, અને ત્રણ ચલ પણ હશે. આન્દ્રેની ઉત્પાદકતા બનો, પાશાની ઉત્પાદકતા બનો અને વોલોડ્યાની ઉત્પાદકતા બનો. અમે વાડ લઈશું, એટલે કે, કામની માત્રા, કારણ કે - છેવટે, અમે તેના કદ વિશે કંઈપણ કહી શકતા નથી.
| કામગીરી | જોબ | |
| એન્ડ્રે | ||
| પાશા | ||
| વોલોડ્યા | ||
| એકસાથે |
આન્દ્રે અને પાશાએ કલાકોમાં વાડને પેઇન્ટ કરી. અમને યાદ છે કે જ્યારે સાથે મળીને કામ કરવુંપ્રદર્શન ઉમેરે છે. ચાલો સમીકરણ લખીએ:
તેવી જ રીતે,
પછી
.
તમે , અને અલગથી શોધી શકો છો, પરંતુ ફક્ત ત્રણેય સમીકરણો ઉમેરવા વધુ સારું છે. અમે તે મેળવીએ છીએ
આનો અર્થ એ છે કે, સાથે કામ કરીને, આન્દ્રે, પાશા અને વોલોડ્યા એક કલાકમાં વાડનો આઠમો ભાગ રંગ કરે છે. તેઓ કલાકોમાં સમગ્ર વાડને રંગ કરશે.
"સરળ અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ »
વિષયની સુસંગતતા.
ટકાવારી સમજવી અને ટકાવારીની ગણતરી કરવાની ક્ષમતા હાલમાં દરેક વ્યક્તિ માટે જરૂરી છે: લાગુ મૂલ્યઆ વિષય ઘણો મોટો છે અને નાણાકીય, વસ્તી વિષયક, પર્યાવરણીય, સમાજશાસ્ત્રીય અને આપણા જીવનના અન્ય પાસાઓને અસર કરે છે.
આ વર્ષે ગ્રેડ 11 માં છે તે દરેક માટે સામગ્રી સંબંધિત છે.
જ્યારે યશચેન્કો, જેઓ ગણિતમાં સીઆઈએમના સંકલન સાથે સીધા સંકળાયેલા છે, ઓક્ટોબરમાં અમારા સેમિનારમાં આવ્યા, ત્યારે તેમણે કહ્યું કે ટાસ્ક 19 ના તમામ પ્રોટોટાઈપ આમાં પોસ્ટ કરવામાં આવશે. ખુલ્લો જાર, કારણ કે કાર્ય નવું છે.
મારા ખૂબ જ મજબૂત વર્ગ માટે કાર્ય હલ કરવામાં આવી રહ્યું છે, અને તેના માટે તાલીમ આપવી શક્ય બનશે.
થોડો સિદ્ધાંત...
"રસ".
કાર્ય1
a) વ્યાજ શું કહેવાય છે? (ટકાવારી એ સંખ્યાનો સોમો ભાગ છે.)
b) 1% શું દર્શાવેલ છે? ( 1%? = 0,01 )
c) સો વજનના 1%ને શું કહે છે? (કિલો ) મીટર? (જુઓ) હેક્ટર? (ar અથવા સોમો)
d) 1% વ્યાજ શું કહેવાય છે આપેલ નંબરએ? (આપેલ સંખ્યા a ની ટકાવારી એ સંખ્યા 0.01 a છે, એટલે કે. 1% (a) = 0.01*a)
e) આપેલ સંખ્યા a નું p% કેવી રીતે નક્કી કરવું? (નંબર 0.01 p a શોધો, એટલે કે.р% = 0.01*р*а)
f) દશાંશ અપૂર્ણાંકને ટકામાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવું? ( 100 વડે ગુણાકાર કરો ). દશાંશ માટે ટકાવારી વિશે શું? (સો વડે ભાગાકાર કરો, એટલે કે. 0.01 વડે ગુણાકાર કરો)
g) સંખ્યાની ટકાવારી કેવી રીતે શોધવી? (ભાગ શોધવા માટેનંબર x માંથી માં ટકાવારી તરીકે, તમારે આ ભાગને સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાની અને 100 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, એટલે કે. a(%)=(w/x)*100)
e) સંખ્યા તેની ટકાવારી દ્વારા કેવી રીતે મળે છે?(જો તે જાણીતું હોય કે x નું a% b બરાબર છે, તો x સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે x = (v/a)*100)
કાર્ય 2
આ દશાંશ અપૂર્ણાંકને ટકાવારી તરીકે રજૂ કરો:
એ)1; 0.5; 0.763; 1.7; 256.
b) ટકાવારી દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં વ્યક્ત કરો: 2%; 12%; 12.5%; 0.1%; 200%.
કાર્ય 3
સંખ્યાનો % શોધો:
c) સંખ્યા 1200 ના 0.1%?(1,2)
ડી) સંખ્યા 2 ના 15%? (0.30)
કાર્ય 4
તેની ટકાવારી દ્વારા સંખ્યા શોધો:
e) બેગનું વજન કેટલા સેન્ટર છે? દાણાદાર ખાંડ, જો 13% 6.5 કિગ્રા છે.?(50 કિગ્રા. = 0.5 સી.)
c) 10 ની કેટલી ટકાવારી 9 છે?
જવાબો: a) 9%, b) 0.09%, c) 90%;
ડી) 900%?.
સરળ અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ
આ શરતો મોટાભાગે બેંકિંગમાં, નાણાકીય કાર્યોમાં જોવા મળે છે.
બેંકો ચોક્કસ વ્યાજ દરો પર ભંડોળ (થાપણો) આકર્ષે છે. વ્યાજ દરના આધારે આવકની ગણતરી કરવામાં આવે છે.
વ્યવહારમાં, વ્યાજની આવકનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે બે અભિગમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે - સરળ અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ.
સરળ વ્યાજ લાગુ કરતી વખતે, રોકાણના સમયગાળાને ધ્યાનમાં લીધા વિના, રોકાણ કરેલ ભંડોળની પ્રારંભિક રકમમાંથી આવકની ગણતરી કરવામાં આવે છે. નાણાકીય વ્યવહારોમાં, સાદા વ્યાજનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે ટૂંકા ગાળાના નાણાકીય વ્યવહારો માટે થાય છે. અમુક જથ્થાને ધીમે ધીમે ફેરફારને આધીન રહેવા દો. તદુપરાંત, દરેક વખતે તેનું પરિવર્તન છેચોક્કસ સંખ્યાઆ મૂલ્ય ધરાવતા મૂલ્યના ટકા ચાલુ પ્રારંભિક તબક્કો. આ રીતે તેમની ગણતરી કરવામાં આવે છે
સરળ વ્યાજ.ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ લાગુ કરતી વખતે, વ્યાજની સંચિત રકમ આગામી ઉપાર્જિત સમયગાળાના અંતે ડિપોઝિટમાં ઉમેરવામાં આવે છે. તદુપરાંત, દરેક વખતે તેનો ફેરફાર આ મૂલ્યના ટકાની ચોક્કસ સંખ્યા છેઅગાઉના તબક્કે. આ કિસ્સામાં અમે સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ "ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ
" (એટલે કે, "વ્યાજ પર વ્યાજ" ગણતરીઓનો ઉપયોગ થાય છે)
પ્રારંભિક રકમ અને પ્રાપ્ત વ્યાજને સામૂહિક રીતે સંચિત (સંચિત) રકમ કહેવામાં આવે છે.
કોષ્ટક 1. સરળ અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનો ઉપયોગ કરીને સંચિત રકમ.
શરૂઆત માટે | 1 લી વર્ષ | 2 જી વર્ષ | 3 જી વર્ષ | 4થું વર્ષ | 5મું વર્ષ |
|
સરળ રસ | ||||||
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ |
સરળ અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટેના સૂત્રો.
I. ચોક્કસ મૂલ્ય A ને n ગણો (n વર્ષ) અને દરેક વખતે p% થી વધારવા દો.
અમે નોટેશન રજૂ કરીએ છીએ: એ 0 - જથ્થા A નું પ્રારંભિક મૂલ્ય;
આર – સતત જથ્થોટકા
a વ્યાજ દર; a=р/100 = 0.01*р
એ એન - n વખત માટે સંચિત રકમ (નંમા વર્ષના અંત સુધીમાં) - સરળ વ્યાજ સૂત્ર અનુસાર;
એસ એન - n વખત માટે સંચિત રકમ (નંમા વર્ષના અંત સુધીમાં) - ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ સૂત્ર અનુસાર.
પછી તેનું મૂલ્ય A 1 પ્રથમ વધારા પછી સાદા વ્યાજ માટે (પ્રથમ વર્ષના અંત સુધીમાં) સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે: A 1 = A 0 + A 0 * (0.01p) = A 0 (1 + (0.01p) = A 0 (1 + p)
બીજા તબક્કાના અંતે એ 2 = A 1 + A 0 * (0.01r) = A 0 (1 + a) + A 0 * a = A 0 (1 + 2 a).
ત્રીજા તબક્કાના અંતે એ 3 = A 2 + A 0 * (0.01r) = A 0 (1 + 2 a) + A 0 * a = A 0 (1 + 3 a).
પછી સાદા વ્યાજ માટે વર્ષોની રકમ સમાન છે:
A n = A 0 (1 + 0.01р*n) અથવા A n = A 0 (1 + ?* n) (1)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટે તે અલગ દેખાય છે:
ચાલો અમુક માત્રા એસ 0 n વખત (n વર્ષ) અને દરેક વખતે p% વધે છે.
પછી તેનો અર્થએસ 1 પ્રથમ વધારા પછી ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટે (પ્રથમ વર્ષના અંત સુધીમાં) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે:
S1 = S0 + S0 (0.01r) = S0 * (1 + 0.01r) = S0 * (1 + ?).
બીજા તબક્કાના અંતે એસ 2 = S 1 + S 1 (0.01р) = S 1 * (1 + 0.01р) = S 0 (1 + ????р) 2 = S 0 (1 + ?) 2.
ત્રીજા તબક્કાના અંતે એસ 3 = S 2 + S 2 (0.01r) = S 2 * (1 +0.01r) = S 0 (1 +0.01r) 2 *(1 +0.01r)=S 0 (1 +0, 01р) 3 = S 0 (1 + a) 3.
પછી ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટે વર્ષોની રકમ સમાન છે:
S n = S 0 (1 + 0.01р) n અથવા S n = S 0 (1 + a ) n (2)
ઉદાહરણ 1.
બેંકે 50 હજાર રુબેલ્સની રકમમાં સમયની થાપણ ખોલી છે. 3 વર્ષ માટે 12%. જો વ્યાજ હોય તો સંચિત રકમની ગણતરી કરો:
એ) સરળ; b) જટિલ.
ઉકેલ 1.
સરળ વ્યાજ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને
Sn=(1+3*0.12)*50,000 = 68,000 ઘસવું. (res. 68,000 ઘસવું.)
સરળ વ્યાજ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને
Sn=(1+0.12) 3 *50,000 = 70,246 રુબેલ્સ. (res. 70246 ઘસવું.)
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ સૂત્ર ચાર જથ્થાઓને જોડે છે: પ્રારંભિક થાપણ, સંચિત રકમ ( ભાવિ મૂલ્યડિપોઝિટ), વાર્ષિક વ્યાજ દર અને વર્ષોમાં સમય. તેથી, ત્રણ જથ્થાને જાણીને, તમે હંમેશા ચોથો શોધી શકો છો:
S n = S 0 * (1+0.01р) n
ટકા p ની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે તે જરૂરી છે:
р = 100 * (S n / S 0 ) 1/n – 1) (2.1)
પ્રારંભિક ડિપોઝિટ શોધવાની કામગીરીએસ 0 , જો તે જાણીતું હોય કે n વર્ષમાં તે રકમ જેટલી હોવી જોઈએએસ એન , ડિસ્કાઉન્ટીંગ કહેવાય છે:
S 0 = S n * (1 + 0.01р) –n (2.2)
કેટલા વર્ષનો ફાળો એસ 0 મૂલ્ય S હાંસલ કરવા માટે દર વર્ષે p% ના દરે બેંકમાં રહેવું જોઈએ n
n = (lnS n – lnS 0 ) / (ln(1 + 0.01р) (2.3)
બેંકિંગ પ્રેક્ટિસમાં, વ્યાજ વર્ષમાં એક કરતા વધુ વખત ઉપાર્જિત થઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, બેંક દર સામાન્ય રીતે વાર્ષિક શરતોમાં સેટ કરવામાં આવે છે. સંયોજન વ્યાજ સૂત્ર આના જેવું દેખાશે:
S n = (1 + ?/t) n t S 0 (3)
જ્યાં t એ દર વર્ષે વ્યાજ પુનઃરોકાણની સંખ્યા છે.
ઉદાહરણ 2.
બેંકે 50 હજાર રુબેલ્સની રકમમાં સમયની થાપણ ખોલી છે. 3 વર્ષ માટે 12%. જો વ્યાજની ત્રિમાસિક ગણતરી કરવામાં આવે તો ઉપાર્જિત રકમની ગણતરી કરો.
ઉકેલ 2.
n=3
t = 4 (દર વર્ષે - 4 ક્વાર્ટર)
સંયોજન વ્યાજ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને
S 3 = (1+0.12/4) 3*4 *50000 = 1.03 12 *50000 = 71288 ઘસવું. પ્રતિનિધિ રૂ. 71,288
ઉદાહરણ 1 અને 2 માંથી નીચે મુજબ, સંચિત રકમ ઝડપથી વધશે, વધુ વખત વ્યાજ ઉપાર્જિત થશે.
ચાલો સૂત્ર (2) નું સામાન્યીકરણ રજૂ કરીએ, જ્યારે દરેક તબક્કે S ના મૂલ્યમાં વધારો અલગ હોય. ચાલો એસઓ , S નું પ્રારંભિક મૂલ્ય, પ્રથમ તબક્કાના અંતે p દ્વારા ફેરફાર અનુભવે છે 1 %, p પર બીજાના અંતે 2 %, અને પી પર ત્રીજા તબક્કાના અંતે 3 %, વગેરે. nમા તબક્કાના અંતે, S નું મૂલ્ય સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે
S n = S 0 (1 + 0.01р 1 )(1 + 0.01р 2 )...(1 + 0.01р n ) (4)
ઉદાહરણ 3.
વેપારી આધારે ઉત્પાદક પાસેથી માલસામાનની બેચ ખરીદી અને તેને જથ્થાબંધ ભાવે સ્ટોર પર પહોંચાડી, જે 30% વધારે છે વધુ કિંમતઉત્પાદક સ્ટોરે જથ્થાબંધ કિંમત કરતાં 20% વધુ ઉત્પાદન માટે છૂટક કિંમત સેટ કરી છે. વેચાણ દરમિયાન, સ્ટોરે આ કિંમતમાં 10% ઘટાડો કર્યો. જો તેણે 140 રુબેલ્સમાં વેચાણ પર કોઈ વસ્તુ ખરીદી હોય તો ખરીદદારે ઉત્પાદકની કિંમતની તુલનામાં કેટલા રુબેલ્સ વધુ ચૂકવ્યા? 40 કોપેક્સ
ઉકેલ 3.
શરૂઆતની કિંમતને S રબ કરીએ., પછી ફોર્મ્યુલા (4) મુજબ આપણી પાસે છે:
એસ 0 (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)***(1 – 0,01*10) = 140,4
S 0 *1.3*1.2*0.9 = S 0 *1.404 = 140.4
એસ 0 = 140.4: 1.404 = 100 (ઘસવું.)
છેલ્લા અને પ્રારંભિક ભાવ વચ્ચેનો તફાવત શોધો
140.4 – 100 = 40.4 જવાબ. 40.4 ઘસવું.
ઉકેલો સાથે સમસ્યાઓના ઉદાહરણો
વિકલ્પ 1
કાર્ય 1. ગેસ સ્ટેશનના માલિકે ગેસોલિનના ભાવમાં 10% વધારો કર્યો. ગ્રાહકોની સંખ્યામાં તીવ્ર ઘટાડો થયો હોવાનું ધ્યાનમાં લેતા, તેણે કિંમતમાં 10% ઘટાડો કર્યો. આ પછી ગેસોલિનની પ્રારંભિક કિંમત કેવી રીતે બદલાઈ? (વધારો કે ઘટાડો અને કેટલા%?)
ઉકેલ: ચાલો S 0 - પ્રારંભિક કિંમત,એસ 2 – અંતિમ કિંમત, x – ટકા ફેરફારની ઇચ્છિત સંખ્યા, જ્યાં x = (1 - S 2 /S 0 )*100% (*)
પછી સૂત્ર મુજબ એસ n = S 0 (1 + 0.01р 1 )(1 + 0.01р 2 )***(1 + 0.01р n ) (4), આપણને મળે છે
S 2 = S 0 (1 + 0.01*10 )(1 - 0.01*10) = S 0 *1.1*0.9 = 0.99*S 0.
S 2 = 0.99*S 0; 0.99 = 99%, S મૂલ્ય 2 મૂળ કિંમતના 99% છે, જેનો અર્થ 100% ઓછો છે - 99% = 1%.
અથવા સૂત્ર (*) નો ઉપયોગ કરીને આપણને મળે છે: x = (1 – 0.99)*100% = 1%.
જવાબ: 1% ઘટાડો થયો.
કાર્ય 2. વર્ષ દરમિયાન, એન્ટરપ્રાઇઝે તેના ઉત્પાદન ઉત્પાદનમાં સમાન ટકાવારીથી બે વાર વધારો કર્યો. આ નંબર શોધો જો તે જાણીતું હોય કે વર્ષની શરૂઆતમાં કંપનીએ માસિક 600 ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કર્યું હતું, અને વર્ષના અંતે તેણે માસિક 726 ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કરવાનું શરૂ કર્યું હતું.
ઉકેલ: ચાલો S 0 - પ્રારંભિક કિંમત,એસ 2 - અંતિમ કિંમત, p - વ્યાજની સતત રકમ.
સૂત્ર (2.1) અનુસાર આપણે મેળવીએ છીએ: р = 100 * ((726/ 600 ) 1/2 – 1) = 10%.
જવાબ: 10%
કાર્ય 3. કમ્પ્યુટર સાધનોની કિંમતમાં 44%નો વધારો કરવામાં આવ્યો હતો. આ પછી, બે ક્રમિક સમાન ટકાવારીના ઘટાડાનાં પરિણામે, કમ્પ્યુટરની કિંમત મૂળ કિંમત કરતાં 19% ઓછી હતી. તેઓએ દર વખતે કેટલા ટકા ભાવ ઘટાડ્યા?
ઉકેલ: સૂત્ર (4) નો ઉપયોગ કરીને, અમે સમીકરણ બનાવીએ છીએ
S 3 = S 0 (1 + 0.01*44)(1 - 0.01r)(1 - 0.01r) = S0 *1.44*(1 - 0.01r) 2 = S0 * (1-0.01*19). સમીકરણ ઉકેલવાથી, આપણને 2 મૂળ મળે છે: 175 અને 25, જ્યાં 175 સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓને અનુરૂપ નથી. તેથી p = 25%.
જવાબ: 25%
કાર્ય 4. શ્રેષ્ઠ ભાવ વધારાના શાસનને નિર્ધારિત કરવા માટે, કંપનીએ 1 જાન્યુઆરીથી બે સ્ટોર્સમાં એક જ પ્રોડક્ટની કિંમતમાં બે રીતે વધારો કરવાનો નિર્ણય લીધો. એક સ્ટોરમાં - દરેક મહિનાની શરૂઆતમાં (ફેબ્રુઆરીમાં શરૂ કરીને) 2% દ્વારા, બીજામાં - દર બે મહિને, ત્રીજાની શરૂઆતમાં (માર્ચમાં શરૂ થતા) સમાન સંખ્યામાં ટકાથી, અને છ મહિના પછી (જુલાઈ 1) ભાવ ફરી એકસરખા થઈ ગયા. બીજા સ્ટોરમાં દર બે મહિને ઉત્પાદનની કિંમત કેટલા ટકા વધારવી જોઈએ?
ઉકેલ: ચાલો S 0 - પ્રારંભિક કિંમત,p - સતત ટકાવારી.
પછી 6 મહિના પછી (છ 2% વધ્યા પછી) પ્રથમ સ્ટોરમાં ઉત્પાદનની કિંમત S ની બરાબર થશે. 0 (1 + 0,01*2) 6 , અને બીજા સ્ટોરમાં (p% દ્વારા ત્રણના વધારા પછી), ઉત્પાદનની કિંમત S ની બરાબર હશે 0 (1 + 0.01r) 3 . અમને S સમીકરણ મળે છે 0 (1 + 0.01*2) 6 = S 0 (1 + 0.01р) 3 . તેને હલ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ
(1 + 0.01*2) 2 = (1 + 0.01r); 1.02 2 = (1 + 0.01r); p = 4.04
જવાબ: 4.04%
વિકલ્પ 2.
કાર્ય 1. હાઇવે પર એક કાર ચોક્કસ ઝડપે હંકારી રહી હતી. માટે બહાર જવું દેશનો રસ્તો, તેણે સ્પીડમાં 20% ઘટાડો કર્યો, અને પછી સીધા ચઢાણ વિભાગ પર, તેણે સ્પીડમાં 30% ઘટાડો કર્યો. આ નવી ઝડપ મૂળ કરતાં કેટલા ટકા ઓછી છે?
ઉકેલ: ચાલો V 0 - પ્રારંભિક ગતિ,વી - નવી ઝડપ, જે બે પછી પ્રાપ્ત થાય છે વિવિધ ફેરફારો, p – વ્યાજની જરૂરી રકમ.
પછી, સૂત્ર (4) નો ઉપયોગ કરીને, અમે સમીકરણ V કંપોઝ કરીએ છીએ 0 (1 - 0.01*20)(1 - 0.01*30) = V 0 (1 - 0.01r). તેને ઉકેલવાથી આપણે વી 0 *0.8*0.7 = V 0 (1 - 0.01r); p = 44
જવાબ: 44%
કાર્ય 2. ચાલો ધારીએ કે ઓરડાના તાપમાને પાણી દરરોજ 3% દ્વારા બાષ્પીભવન થાય છે. 100 લિટરમાંથી 2 દિવસ પછી કેટલા લિટર પાણી બચશે? કેટલું પાણી બાષ્પીભવન થશે?
ઉકેલ: n=2; p=3%; એસ 0 = 100 લિ. પછી, સૂત્ર (2) મુજબ, આપણને મળે છે
S 2 = S 0 (1 - 0.01p) 2 = 100*(1-0.01*3) 2 = 100*0.97 2 = 94.09; S 0 – S 2 = 100 - 94.09 = 5.91
જવાબ: 94.09l.; 5.91 લિ.
કાર્ય 3. 2 વર્ષ પહેલાં બેંકમાં મૂકેલી ડિપોઝિટ 11,449 રુબેલ્સ પર પહોંચી હતી. વાર્ષિક 7%ના દરે પ્રારંભિક યોગદાન શું હતું? નફો શું છે?
ઉકેલ: n=2; p=7%; S2 = 11449; S0 = ?
ફોર્મ્યુલામાં (2.2) S 0 = S n * (1 + 0.01р) –n અમે આ મૂલ્યોને બદલીએ છીએ, અમને મળે છે:
S 0 = 11449* (1 + 0.01*7) –2 = 11449/ (1.07) 2 = 11449/ 1.1449 = 10000.
11449 – 10000 = 1449
જવાબ: 10,000 રુબેલ્સ; 1449 ઘસવું.
કાર્ય 4. Sberkassa વાર્ષિક 3% જમા રકમ જમા કરે છે. કેટલા વર્ષમાં રકમ બમણી થશે?
ઉકેલ: p=3%; એસ 0 - પ્રારંભિક રકમ; n =?
ચાલો એક સમીકરણ બનાવીએ: 2*S 0 = S 0 (1 + 0.01р) n ; 2*S 0 = S 0 (1 + 0.03) n ; 2 = 1.03 n n = લોગ 1.03 2; n ?23.
સ્વતંત્ર કાર્ય
1 લી સ્તર. પુનઃનિર્માણ પછી, પ્લાન્ટે ઉત્પાદન આઉટપુટમાં 10% વધારો કર્યો, અને સાધનોને બદલ્યા પછી બીજા 30%. પ્રારંભિક આઉટપુટ કેટલા ટકાથી વધ્યું?
(જવાબ: 43%)
2 જી સ્તર. સંખ્યા 50 ટકાની સમાન સંખ્યા દ્વારા ત્રણ ગણી વધી હતી, અને પછી ટકાની સમાન સંખ્યામાં ઘટાડો થયો હતો. પરિણામ 69.12 આવ્યું હતું. તમે કેટલા ટકા વધાર્યા અને પછી આ સંખ્યામાં ઘટાડો કર્યો?
(જવાબ: 20%)
3 જી સ્તર. બેંક થાપણની રકમના વાર્ષિક 7% ચાર્જ કરે છે. શોધો સૌથી નાની સંખ્યાવર્ષો, જે દરમિયાન યોગદાન 20% થી વધુ વધે છે.
(જવાબ: 3 વર્ષ)
નંબર 1. બચત બેંક વાર્ષિક થાપણો પર વાર્ષિક 5.5% મેળવે છે. થાપણદારે બેંકમાં 150 હજાર રુબેલ્સ જમા કરાવ્યા. 2 વર્ષ પછી જમા રકમ કેટલી હશે?
(જવાબ: 166,953.75 RUB)
નંબર 3. બેંક બે થાપણ વિકલ્પો ઓફર કરે છે
1) વર્ષના અંતે ઉપાર્જિત વ્યાજ સાથે 120% પર;
2) દરેક ક્વાર્ટરના અંતે ઉપાર્જિત વ્યાજ સાથે 100% પર.
એક વર્ષ માટે થાપણો મૂકવા માટે વધુ નફાકારક વિકલ્પ નક્કી કરો.
ઉકેલ.
વધુ નફાકારક વિકલ્પ એ એક માનવામાં આવે છે જેમાં વર્ષ દરમિયાન વધેલી રકમ વધુ હશે. વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, અમે 100 રુબેલ્સની સમાન પ્રારંભિક રકમ લઈશું.
પ્રથમ વિકલ્પ મુજબ, સંચિત રકમ (1+1.2)*100 રુબેલ્સ જેટલી હશે. = 220 ઘસવું.
બીજા વિકલ્પ હેઠળ, વ્યાજ ત્રિમાસિક રીતે ઉપાર્જિત થાય છે. પ્રથમ ક્વાર્ટરના અંતે, સંચિત રકમ (1+1.0/4)*100 રુબેલ્સ છે. = 125 ઘસવું.
બીજા ક્વાર્ટરના અંતે (1+1.0/4) 2 *100 ઘસવું. = 156 ઘસવું.
વર્ષ માટે સંચિત રકમ છે (1+1.0/4) 4 *100 ઘસવું. = 244 ઘસવું.
ગણતરીઓમાંથી નીચે મુજબ, બીજો વિકલ્પ વધુ નફાકારક છે (244 > 220). સાચું, જો ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો જ.
પ્રોફાઇલ સ્તરે ગણિત 2015 માં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના કાર્ય નંબર 19 માટે પ્રોટોટાઇપ્સની પસંદગી.
19. 31 ડિસેમ્બર, 2012 ના રોજ, એકટેરીનાએ બેંકમાંથી વાર્ષિક 15% ના દરે ક્રેડિટ પર 850,000 રુબેલ્સ લીધા. લોનની ચુકવણીનું શેડ્યૂલ નીચે મુજબ છે: દરેકની 31 ડિસેમ્બર આવતા વર્ષેબેંક દેવાની બાકીની રકમ પર વ્યાજ વસૂલ કરે છે (એટલે કે, દેવું 15% વધે છે), પછી એકટેરીના તેને બેંકમાં ટ્રાન્સફર કરે છે ચોક્કસ રકમવાર્ષિક ચુકવણી. કેથરિનને ત્રણ સમાન વાર્ષિક ચૂકવણીમાં દેવું ચૂકવવા માટે વાર્ષિક ચૂકવણીની રકમ કેટલી હોવી જોઈએ?
19. એક એપાર્ટમેન્ટ ખરીદવા માટે બેંક એક યુવાન પરિવારને વાર્ષિક 20%ના દરે લોન આપે છે.
લોનની ચુકવણી યોજના નીચે મુજબ છે: બેંક દ્વારા લોન જારી કર્યાના બરાબર એક વર્ષ પછી
દેવાની બાકીની રકમ પર વ્યાજ વસૂલ કરે છે (એટલે કે, દેવું 20% વધે છે),
પછી આ પરિવાર આગામી વર્ષમાં બેંકમાં ચોક્કસ રકમ ટ્રાન્સફર કરે છે
(નિશ્ચિત) વાર્ષિક ચૂકવણીની રકમ. ઇવાનોવ પરિવાર ચૂકવણી કરવાની યોજના ધરાવે છે
4 વર્ષમાં સમાન ચુકવણી સાથે લોન. તે તેમને કેટલા પૈસા આપી શકે?
બેંક, જો ઇવાનોવ વાર્ષિક 810,000 લોન ચૂકવવામાં સક્ષમ હોય
રુબેલ્સ?
19. 8-લિટર ફ્લાસ્કમાં નાઇટ્રોજન અને ઓક્સિજનનું મિશ્રણ હોય છે જેમાં 32% ઓક્સિજન હોય છે. મિશ્રણની ચોક્કસ રકમ ફ્લાસ્કમાંથી મુક્ત કરવામાં આવી હતી અને નાઇટ્રોજનની સમાન રકમ ઉમેરવામાં આવી હતી; પછી તેઓએ ફરીથી પ્રથમ વખત જેટલું જ નવું મિશ્રણ છોડ્યું અને તેટલી જ માત્રામાં નાઇટ્રોજન ઉમેર્યું. પરિણામે, મિશ્રણમાં ઓક્સિજનની ટકાવારી 12.5% હતી. દરેક વખતે કેટલા લિટર મિશ્રણ છોડવામાં આવ્યું હતું?
19. 10% ના બેંક વ્યાજ પર બેંકમાં જમા કરવામાં આવી હતી. એક વર્ષ પછી, ડિપોઝિટના માલિકે ખાતામાંથી 2,000 રુબેલ્સ પાછા ખેંચ્યા, અને એક વર્ષ પછી ફરીથી 2,000 રુબેલ્સ જમા કરાવ્યા. જો કે, આ ક્રિયાઓના પરિણામે, ડિપોઝિટના પ્રારંભિક રોકાણના ત્રણ વર્ષ પછી, તેને આયોજિત કરતાં ઓછી રકમ પ્રાપ્ત થઈ (જો ડિપોઝિટ સાથે કોઈ મધ્યવર્તી વ્યવહારો ન હોય). અંતે રોકાણકારને આયોજિત રકમ કરતાં કેટલા રુબેલ્સ ઓછા મળ્યા?
19. મહિનાના પ્રથમ કામકાજના દિવસે, સંખ્યાબંધ ટ્રેક્ટર ફેક્ટરી એસેમ્બલી લાઇનમાંથી બહાર નીકળી ગયા. દરેક અનુગામી કામકાજના દિવસે, તેમના ઉત્પાદનમાં દરરોજ 3 ટ્રેક્ટરનો વધારો થયો, અને 55 ટ્રેક્ટરની માસિક યોજના નિર્ધારિત કરતા પહેલા અને સંપૂર્ણ દિવસોમાં પૂર્ણ થઈ. ત્યાર બાદ રોજના 11 ટ્રેક્ટરનું ઉત્પાદન થતું હતું. નક્કી કરો કે પ્રથમ કામકાજના દિવસે કેટલા ટ્રેક્ટરનું ઉત્પાદન થયું હતું, અને માસિક યોજના કેટલી ટકાવારીથી વધી ગઈ હતી, જો તે જાણીતું હોય કે મહિનામાં 26 કામકાજના દિવસો હતા, અને આયોજિત કાર્ય 3 કરતા ઓછા અને 10 કરતા વધુ ચાલ્યું ન હતું. દિવસો
19. 8 માર્ચના રોજ, લેન્યા ગોલુબકોવે તેની પત્ની રીટાને નવો ફર કોટ ખરીદવા માટે 4 વર્ષ માટે 20% દરે બેંકમાંથી ક્રેડિટ પર 53,680 રુબેલ્સ લીધા. લોનની ચુકવણી યોજના નીચે મુજબ છે: આગામી વર્ષની 8 માર્ચની સવારે, બેંક બાકીની રકમ પર વ્યાજ વસૂલે છે (એટલે કે, તે દેવું 20% વધારે છે), અને તે જ દિવસે સાંજે દિવસ લેન્યા વાર્ષિક ચુકવણીની ચોક્કસ રકમ બેંકમાં ટ્રાન્સફર કરે છે (આ રકમ તમામ ચાર વર્ષ માટે સમાન છે). લીધેલા 53,680 રુબેલ્સ કરતાં વધુ રકમ લેન્યા ગોલુબકોવને આ ચાર વર્ષમાં બેંકને ચૂકવવી પડશે?
19. સેમિઓન કુઝનેત્સોવ એક વર્ષમાં A રુબેલ્સ લેવાની અપેક્ષા રાખીને, નવરોડા બેંકમાં બચત ખાતામાં 500% ના દરે તેની તમામ બચતનું રોકાણ કરવાની યોજના બનાવી હતી. જો કે, નવરોડ બેંકના પતનથી તેમની યોજનાઓ બદલાઈ ગઈ, જે ઉતાવળભર્યા કૃત્યને અટકાવી. પરિણામે, શ્રી કુઝનેત્સોવે નાણાંનો એક ભાગ ફર્સ્ટ મ્યુનિસિપલ બેંકમાં અને બાકીનો ભાગ પાસ્તાના બરણીમાં મૂક્યો. એક વર્ષ પછી, ફર્સ્ટ મ્યુનિસિપલએ ચૂકવણીની ટકાવારીમાં અઢી ગણો વધારો કર્યો, અને શ્રી કુઝનેત્સોવે બીજા વર્ષ માટે ડિપોઝિટ છોડવાનું નક્કી કર્યું. પરિણામે ફર્સ્ટ મ્યુનિસિપલ ખાતે મળેલી રકમ હતીઅને રુબેલ્સ. જો સેમિઓન પાસ્તાના ડબ્બામાં "રોકાણ" કરે તો પ્રથમ વર્ષ માટે પ્રથમ મ્યુનિસિપલ બેંકે શું વ્યાજ મેળવ્યું તે નક્કી કરોઅને રુબેલ્સ.
19. બેંક તેના ક્લાયન્ટ ફંડનો 30% 1 વર્ષ માટે ગોલ્ડ માઇનિંગ પ્લાન્ટના શેરમાં અને બાકીના 70% શોપિંગ કોમ્પ્લેક્સના બાંધકામમાં રોકાણ કરવાની યોજના ધરાવે છે. સંજોગોના આધારે, પ્રથમ પ્રોજેક્ટ બેંકને વાર્ષિક 32% થી 37% નો નફો લાવી શકે છે, અને બીજો પ્રોજેક્ટ - વાર્ષિક 22% થી 27% સુધી. વર્ષના અંતે, બેંક ગ્રાહકોને નાણાં પરત કરવા અને તેમને પૂર્વનિર્ધારિત દરે વ્યાજ ચૂકવવા માટે બંધાયેલા છે, જેનું સ્તર વાર્ષિક 10% થી 20% સુધીનું હોવું જોઈએ. શેરની ખરીદી અને બેંક પ્રાપ્ત કરી શકે તેવા શોપિંગ કોમ્પ્લેક્સના નિર્માણમાં કુલ રોકાણમાંથી વાર્ષિક ટકાવારી તરીકે સૌથી નાનો અને સૌથી મોટો ચોખ્ખો નફો શું છે તે નક્કી કરો.
ટકાવારી એ સંખ્યાનો સોમો ભાગ છે.
ટકાવારી પ્રતીક $%$ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.
ફોર્મમાં ટકાવારી દર્શાવવા માટે દશાંશ, તમારે મૂલ્યને $100$ વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.
$35%={35}/{100}=0.35$.
સંખ્યાની ટકાવારી શોધવા માટે, તમારે જરૂર છે આપેલ નંબર$100$ વડે ભાગાકાર કરો અને ટકાવારી વડે ગુણાકાર કરો.
$а=(а⋅n)/(100)$ માંથી $n%$
જો કોઈ ખૂણા સીધા ખૂણાના $5%$ હોય તો તેમાં કેટલી ડિગ્રી હોય છે?
સીધો કોણ $180°$ છે.
ચાલો આ $(180°⋅5)/(100)=9°$ માટે $180°$ માંથી $5%$ શોધીએ.
જવાબ: $9°$.
તેના દ્વારા સંખ્યા શોધવા માટે ઉલ્લેખિત ટકાવારી, તમારે આપેલ સંખ્યાને વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે ઉલ્લેખિત મૂલ્યટકા, અને પરિણામને $100$ વડે ગુણાકાર કરો.
એવી સંખ્યા શોધો કે જેની $20%$ $80$ છે.
અમે એક નંબર શોધીએ છીએ જેની $20%$ છે $80$ નીચે પ્રમાણે:
${80⋅100}/{20}=400$.
જવાબ: $400$.
ડિસ્કાઉન્ટ કાર્યો
ડિસ્કાઉન્ટ એ ઉત્પાદન અથવા સેવાની કિંમતમાં ઘટાડો છે. મોટેભાગે, ડિસ્કાઉન્ટ ટકાવારી તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.
તમારે જે ડિસ્કાઉન્ટની જરૂર છે તે ધ્યાનમાં લેતા ઉત્પાદનની કિંમત શોધવા માટે:
- $100%$માંથી ડિસ્કાઉન્ટ ટકાવારીને બાદ કરો.
- ઉત્પાદનની કુલ કિંમતની પરિણામી ટકાવારી શોધો.
શિયાળાના જેકેટની કિંમત $4,500 રુબેલ્સ છે. મોસમી ડિસ્કાઉન્ટ$20%$ છે. ડિસ્કાઉન્ટને ધ્યાનમાં લેતા મારે જેકેટ માટે કેટલું ચૂકવવું જોઈએ?
ચાલો જોઈએ કે ડિસ્કાઉન્ટેડ જેકેટની કિંમતની પ્રારંભિક કિંમતની કેટલી ટકાવારી હશે:
ચાલો ગણતરી કરીએ કે $4500$ રુબેલ્સમાંથી કેટલા $80%$ છે. સંખ્યાની ટકાવારી શોધવા માટે, તમારે આપેલ સંખ્યાને $100$ વડે ભાગવાની અને ટકાવારી મૂલ્ય વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
$(4500·80)/(100)=$3600 - ડિસ્કાઉન્ટને ધ્યાનમાં લેતા જેકેટની કિંમત.
થાપણો, લોન, માર્કઅપ માટેના કાર્યો
વાર્ષિક દરને ધ્યાનમાં લેતા નાણાંની રકમ શોધવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:
- થાપણની વાર્ષિક ટકાવારી $100%$ માં ઉમેરો.
- નાણાંની મૂળ રકમની પરિણામી ટકાવારી શોધો.
ક્લાયન્ટે વાર્ષિક $12% ના દરે બેંકમાં 150,000 રુબેલ્સ જમા કરાવ્યા. એક વર્ષ પછી તે કેટલી રકમ ઉપાડી શકશે?
$100%+12%=112%$ એ મૂળ રકમની તુલનામાં એક વર્ષ પછી ક્લાયન્ટના નાણાંની ટકાવારી છે.
ચાલો $150,000$ રુબેલ્સમાંથી $112%$ શોધીએ:
$(112⋅150000)/(100)=$168000 રુબેલ્સ.
જવાબ: $168,000$.
કેટલીક ટકાવારીની સમસ્યાઓમાં પ્રમાણનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે, ઉદાહરણ તરીકે:
બટાકાની થેલીની કિંમત $200 રુબેલ્સ છે. કિંમતમાં વધારો થયા પછી, તેની કિંમત $250$ રુબેલ્સ થવા લાગી. બટાકાની થેલીના ભાવમાં કેટલા ટકાનો વધારો થયો?
ચાલો ઉત્પાદનની પ્રારંભિક કિંમતને $100%$ તરીકે લઈએ (કારણ કે આની સાથે અમે કિંમતમાં વધારો કર્યા પછી કિંમતની તુલના કરીશું):
$x%$ એ જૂની કિંમતની તુલનામાં નવી કિંમતની ટકાવારી થવા દો.
આ ડેટા સાથે અમે પ્રમાણ કંપોઝ અને હલ કરીશું:
$(100%)/(x%)=(200)/(250)$.
પ્રમાણની આત્યંતિક શરતોનું ઉત્પાદન પ્રમાણની મધ્યમ શરતોના ઉત્પાદન જેટલું છે:
$200⋅х=100⋅250$.
$х=(100⋅250)/(200)=125%$.
બટાકાની થેલીની નવી કિંમત મૂળ કિંમતની તુલનામાં $125%$ છે.
કિંમત $125%-100%=25%$ વધી છે.
જવાબ: $25$.
ગણિતની વર્કબુકની કિંમત $65$ રુબેલ્સ છે. જો $8%$ ડિસ્કાઉન્ટ હોય તો વિદ્યાર્થી $450 રુબેલ્સમાં કેટલી નોટબુક ખરીદી શકે છે?
ચાલો ડિસ્કાઉન્ટને ધ્યાનમાં લઈને નોટબુકની કિંમતની ટકાવારી શોધીએ:
ચાલો $65$ રુબેલ્સમાંથી $92%$ શોધીએ અને $1$ નોટબુકની કિંમત ડિસ્કાઉન્ટ પર મેળવીએ:
${450}/{59.8}={4500}/{598}≈7.5$
અમે આંશિક સંખ્યામાં નોટબુક ખરીદી શકતા નથી; આઠ નોટબુક માટે પૂરતા પૈસા નથી, તેથી વિદ્યાર્થી માત્ર $7 $ નોટબુક ખરીદી શકશે.
જવાબ: $7$.
કેટલીક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તમારે આ શબ્દથી પરિચિત થવાની જરૂર છે "ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ", જે થાપણો, લોન વગેરે અંગેની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વારંવાર જરૂરી હોય છે. સાદા શબ્દોમાં, "ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ" ત્યારે થાય છે જ્યારે આપણે વ્યાજ પર ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ કરીએ છીએ. ચાલો તેને ઉદાહરણ સાથે જોઈએ.
ચાલો કહીએ કે અમે $N%$ વાર્ષિક દરે બેંકમાં $X$ રુબેલ્સ જમા કર્યા છે. અને તેઓએ એક નહીં, પરંતુ બે વર્ષ માટે બેંકમાં પૈસા છોડી દીધા. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ વર્ષના અંતે અમે $X + X*(N/100) = X(1+(N/100))$ રુબેલ્સ લઈ શકીએ છીએ, પરંતુ અમે તેમને લેતા નથી, પરંતુ તેમને છોડી દઈએ છીએ બીજા વર્ષ. અને હવે, પહેલાની જેમ, $N%$ પર બીજા વર્ષ માટે અમારા "નવા" યોગદાનની રકમ હવે $X$ નથી, પરંતુ $X(1+(N/100))$ રુબેલ્સ છે. એટલે કે, બીજા વર્ષ દરમિયાન, પ્રથમ વર્ષ દરમિયાન સંચિત વ્યાજ સહિત, વ્યાજ ઉપાર્જિત કરવામાં આવશે. બીજા વર્ષના અંતે કુલ અમે $X(1+(N/100)) + X(1+(N/100))*(N/100) = X(1+(N/) લઈ શકીશું 100))(1+ (N/100)) = X(1+(N/100))^2$.
જો અમે બે માટે નહીં, પરંતુ $Y$ વર્ષ માટે ડિપોઝિટ કરી હોય, તો અંતે અમને $X(1+(N/100))^Y$ રુબેલ્સ પ્રાપ્ત થશે.
"એક સારા શિક્ષકે સમજવું જોઈએ કે કોઈ પણ કાર્ય અંત સુધી થાકી શકાતું નથી. તેણે તેના વિદ્યાર્થીઓમાં આ દૃષ્ટિકોણ કેળવવો જોઈએ.
ડી.પોલ્યા.
પરિચય.
હું ખાસ ધ્યાન આપું છું શબ્દ સમસ્યાઓટકાવારીઓ પર જે ઘણીવાર વ્યવહારમાં જોવા મળે છે પ્રવેશ પરીક્ષાઓવી આર્થિક યુનિવર્સિટીઓ, પરંતુ શાળામાં સંપૂર્ણ રીતે સંબોધવામાં આવતા નથી. ટકાવારીની ગણતરી કરવાની ક્ષમતા ચોક્કસપણે સૌથી જરૂરી ગાણિતિક ક્ષમતાઓમાંની એક છે. જો કે, તે માત્ર તે જ નથી જેઓ લાંબા સમયથી શાળામાંથી સ્નાતક થયા છે જેઓ રસની દૃષ્ટિએ ડરપોક છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર પણ, ટકાવારી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓની ઉકેલવાની ક્ષમતા 20% થી વધુ હોતી નથી. આ સૂચવે છે કે આ પ્રકારની સમસ્યા માત્ર માં જ નહીં ઉકેલવી જોઈએ જુનિયર વર્ગોજ્યાં આ વિષયનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, પણ શાળાના તમામ વર્ષો દરમિયાન.
1. ટકાવારી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, નીચેના મૂળભૂત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
a નો 1% a બરાબર છે.
સંખ્યા a નો p% a બરાબર છે.
જો તે જાણીતું હોય કે ચોક્કસ સંખ્યા a એ x ના p% છે, તો x પ્રમાણથી શોધી શકાય છે
એ− р%
એક્સ − 100%,
જ્યાંથી x=a.
A, b, અને a સંખ્યાઓ હોવા દો સંખ્યા b એ સંખ્યા a કરતા 100% મોટી છે. સંખ્યા a એ સંખ્યા b કરતા 100% ઓછી છે. જો થાપણમાં નાણાકીય એકમોની રકમ હોય, તો બેંક વાર્ષિક p% ચાર્જ કરે છે, પછી n વર્ષ પછી થાપણ પરની રકમ થશે aનાણાકીય એકમો કાર્ય 1. સુંદર લોકો કરતા 45% ઓછા સ્માર્ટ લોકો હોય છે; 36% સ્માર્ટ લોકોનો દેખાવ સુંદર હોય છે. સુંદર લોકોમાં સ્માર્ટ લોકોની ટકાવારી કેટલી છે? ઉકેલ:ચાલો x સુંદર લોકોની સંખ્યા, પછી સ્માર્ટ લોકોની સંખ્યા: x − 0.45x = 0.55x. સ્માર્ટ લોકોમાં, 36% સુંદર લોકો છે, તેથી, સ્માર્ટ અને તે જ સમયે સુંદર લોકોની સંખ્યા છે: 0.36 · 0.55x = 0.198x. ચાલો પ્રમાણ બનાવીએ: અહીંથી આપણને મળે છે: જવાબ: 19,8% વિદ્યાર્થીઓ વાસ્તવિક જીવનની નજીક હોય તેવા ટકાવારી સાથે સંકળાયેલા શબ્દોની સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં રસ ધરાવે છે. એક ખાસ "મજા" એ સમસ્યાઓની રજૂઆત છે જે કોઈ સમસ્યા પુસ્તકમાંથી નહીં, પરંતુ સીધા અખબારના પૃષ્ઠથી છે. અહીં ગણિતની નકામીતા વિશે કોઈ વિચારો નથી. અને આર્થિક કટોકટી ફાટી નીકળવાના સંબંધમાં અખબારોના પાના પર "રુચિનું પત્રકારત્વ" શાબ્દિક રીતે ખીલી રહ્યું છે. કાર્ય 2. પ્રવાસ માટેની કિંમતો પહેલેથી જ વધી ગઈ છે: ઉદાહરણ તરીકે, ફ્રાંસની ટુર - 20% દ્વારા. શું તે કહેવું શક્ય છે કે ફ્રાન્સનો પ્રવાસ અગાઉ કેટલા ટકા સસ્તો હતો? ઉકેલ: x ને જૂનો ભાવ અને n ને નવો ભાવ રહેવા દો. 1)
ચાલો પ્રથમ પ્રમાણ બનાવીએ: આપણને n=1.2x મળે છે. 2)
ચાલો બીજો પ્રમાણ બનાવીએ: x − (100-a%) (100-a) 1.2x = 100x સમીકરણ ઉકેલ્યા પછી, આપણને મળે છે: a ≈17%. જવાબ: 17%. કાર્ય 3. 10 હજાર રુબેલ્સ બેંક ખાતામાં જમા કરવામાં આવ્યા હતા. પૈસા એક વર્ષ સુધી પડ્યા રહ્યા પછી, ખાતામાંથી 1 હજાર રુબેલ્સ ઉપાડી લેવામાં આવ્યા. એક વર્ષ પછી, ખાતામાં 11 હજાર રુબેલ્સ હતા. બેંક દર વર્ષે કેટલા ટકા ચાર્જ લે છે તે નક્કી કરો. ઉકેલ:બેંકને વાર્ષિક p% ચાર્જ કરવા દો. 1)
વાર્ષિક p% ના દરે બેંક ખાતામાં જમા કરવામાં આવતી 10,000 રુબેલ્સની રકમ એક વર્ષમાં તે રકમમાં વધી જશે 2)
જ્યારે ખાતામાંથી 1000 રુબેલ્સ ઉપાડવામાં આવે છે, ત્યારે તે ત્યાં જ રહેશે 9000+100rubઘસવું 3)
બીજા વર્ષમાં, પછીનું મૂલ્ય, વ્યાજની ઉપાર્જનને કારણે, મૂલ્યમાં વધારો થશે શરત દ્વારા, આ મૂલ્ય 11000 ની બરાબર છે: આ સમીકરણ ઉકેલવાથી આપણને મળે છે: =10, =−200 - નકારાત્મક મૂળ યોગ્ય નથી. જવાબ: 10% કાર્ય 4. (યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2015) બેંકે ચોક્કસ ટકાવારીમાં ચોક્કસ રકમ સ્વીકારી. એક વર્ષ પછી, ખાતામાંથી સંચિત રકમનો એક ક્વાર્ટર ઉપાડવામાં આવ્યો. પરંતુ બેંકે વાર્ષિક વ્યાજદરમાં વધારો કર્યો હતો 40% દ્વારા. આવતા વર્ષના અંત સુધીમાં, રકમ એકઠી થઈ 1.44 વખતપ્રારંભિક રોકાણ કરતાં વધી ગયું. નવી APR ટકાવારી શું છે? ઉકેલ:જમા રકમના આધારે પરિસ્થિતિ બદલાશે નહીં. ચાલો તેને બેંકમાં મૂકીએ 4
રૂબલ (વિભાજિત 4
). એક વર્ષમાં ખાતામાં રકમ બરાબર વધી જશે p વખતઅને સમાન બની જશે (4p)રૂબલ ચાલો તેને વિભાજીત કરીએ 4
ભાગો, અમે તેમને ઘરે લઈ જઈશું (p)રુબેલ્સ, અમે તેને બેંકમાં મૂકીશું (3p)રૂબલ તે જાણીતું છે કે આગામી વર્ષના અંત સુધીમાં બેંક સમાયેલ છે 4 1.44 = 5.76રૂબલ તેથી નંબર (3p)સંખ્યા માં ફેરવાઈ (5,76)
. તે કેટલી વખત વધ્યો? આમ, બીજો વધતો ગુણાંક મળી આવ્યો છે kજાર રસપ્રદ રીતે, બંને ગુણાંકનું ઉત્પાદન સમાન છે 1,92
: તે શરત પરથી અનુસરે છે કે બીજા ગુણાંક પર 0,4
પ્રથમ કરતાં વધુ. અલ્પવિરામથી છૂટકારો મેળવ્યા પછી, ચાલો બદલીએ t = 10r: આવા સમીકરણમાંથી 12 મેળવવું એકદમ સરળ છે. તેથી p = 1.2, k = 1.6. ડિપોઝિટની રકમ પ્રથમ વખત 1.2 ગણી વધી છે, બીજી વખત 1.6 ગણી વધી છે. તે 100% હતું, તે 160% બન્યું. વાર્ષિક નવી ટકાવારી 160%-100% = 60% છે. જવાબ: 60%. કાર્ય 5. (USE-2015) બેંકમાં જમા થયેલ રકમ 3900
હજાર રુબેલ્સ હેઠળ 50%
વાર્ષિક સ્ટોરેજના પ્રથમ ચાર વર્ષના દરેકના અંતે, વ્યાજની ગણતરી કર્યા પછી, થાપણકર્તાએ ખાતામાં સમાન નિયત રકમની વધારાની ડિપોઝિટ કરી. પાંચમા વર્ષના અંત સુધીમાં, વ્યાજની ગણતરી કર્યા પછી, તે બહાર આવ્યું કે ડિપોઝિટનું કદ પ્રારંભિક એકની સરખામણીએ વધ્યું 725%
. રોકાણકારે વાર્ષિક થાપણમાં કેટલી રકમ ઉમેરવી? ઉકેલ:રોકાણકાર દ્વારા ડિપોઝિટમાં વાર્ષિક x રુબેલ્સ ઉમેરવા દો. 50%
વાર્ષિક એટલે કે દર વર્ષે જમાકર્તાના ખાતામાં રકમ 1.5 ગણી વધી જાય છે. જો રોકાણકારે પ્રારંભિક રકમમાં કંઈ ઉમેર્યું ન હોય, તો એક વર્ષ પછી ત્યાં હશે 3900·1.5, બે વર્ષ પછી - 3900·1.52અને તેથી વધુ. ચાલો ગણતરી કરીએ કે ચારેય સપ્લિમેન્ટ્સ કેટલી આવક લાવ્યા. x∙1.5 4 + x∙1.5 3 + x∙1.5 2 +x∙1.5 આ કરવા માટે, ચાલો બહાર લઈએ એક્સકૌંસની બહાર અને તેમાં ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળાની ગણતરી કરો b = 1.5અને q = 1.5. તે જાણીતું છે કે ડિપોઝિટના કદમાં પ્રારંભિક એકની સરખામણીમાં વધારો થયો છે 725%
.2. ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ સૂત્ર.
3. ટકાવારી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ.
4. ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો.
