સિસ્ટમ રેખીય સમીકરણોબે અજાણ્યા સાથે - આ બે અથવા વધુ રેખીય સમીકરણો છે જેના માટે તે બધાને શોધવા જરૂરી છે સામાન્ય ઉકેલો. અમે બે અજ્ઞાતમાં બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ધ્યાનમાં લઈશું. સામાન્ય દૃશ્યબે અજાણ્યા સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચેની આકૃતિમાં રજૂ કરવામાં આવી છે:

(a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

અહીં x અને y અજાણ્યા ચલ છે, a1,a2,b1,b2,c1,c2 કેટલાક છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. બે અજ્ઞાતમાં બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓની જોડી (x,y) છે જેમ કે જો આપણે આ સંખ્યાઓને સિસ્ટમના સમીકરણોમાં બદલીએ, તો સિસ્ટમના દરેક સમીકરણો સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવાની ઘણી રીતો છે. ચાલો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવાની એક રીતને ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે ઉમેરણ પદ્ધતિ.

વધારાની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ

વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બે અજાણ્યા સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ.

1. જો જરૂરી હોય તો, દ્વારા સમકક્ષ પરિવર્તનોબંને સમીકરણોમાં અજાણ્યા ચલોમાંના એકના ગુણાંકને સમાન બનાવો.

2. પરિણામી સમીકરણો ઉમેરીને અથવા બાદબાકી કરીને, એક અજ્ઞાત સાથે રેખીય સમીકરણ મેળવો

3. પરિણામી સમીકરણને એક અજાણ્યા સાથે ઉકેલો અને ચલોમાંથી એક શોધો.

4. પરિણામી અભિવ્યક્તિને સિસ્ટમના કોઈપણ બે સમીકરણોમાં બદલો અને આ સમીકરણને હલ કરો, આમ બીજું ચલ મેળવો.

5. ઉકેલ તપાસો.

ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલનું ઉદાહરણ

વધુ સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ નીચેની સિસ્ટમબે અજાણ્યા સાથે રેખીય સમીકરણો:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

કોઈપણ ચલોમાં સમાન ગુણાંક ન હોવાથી, અમે ચલ y ના ગુણાંકને સમાન બનાવીએ છીએ. આ કરવા માટે, પ્રથમ સમીકરણને ત્રણ વડે અને બીજા સમીકરણને બે વડે ગુણાકાર કરો.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

અમને મળે છે સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

હવે આપણે બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરીએ છીએ. અમે રજૂ કરીએ છીએ સમાન શરતોઅને પરિણામી રેખીય સમીકરણ ઉકેલો.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

અમે પરિણામી મૂલ્યને અમારી મૂળ સિસ્ટમમાંથી પ્રથમ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ અને પરિણામી સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

પરિણામ x=6 અને y=14 નંબરોની જોડી છે. અમે તપાસ કરી રહ્યા છીએ. ચાલો એક અવેજી બનાવીએ.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમને બે સાચી સમાનતા મળી છે, તેથી, અમને મળી યોગ્ય નિર્ણય.

આનો ઉપયોગ કરીને ગણિત કાર્યક્રમતમે અવેજી પદ્ધતિ અને ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બે ચલોમાં બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલી શકો છો.

પ્રોગ્રામ ફક્ત સમસ્યાનો જવાબ જ નહીં, પણ આપે છે વિગતવાર ઉકેલઉકેલના પગલાંની બે રીતે સમજૂતી સાથે: અવેજી પદ્ધતિ અને ઉમેરણ પદ્ધતિ.

આ કાર્યક્રમહાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે માધ્યમિક શાળાઓની તૈયારીમાં પરીક્ષણોઅને પરીક્ષાઓ, જ્યારે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં જ્ઞાનની ચકાસણી કરતી વખતે, માતાપિતા માટે ગણિત અને બીજગણિતની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલને નિયંત્રિત કરવા માટે. અથવા કદાચ તમારા માટે શિક્ષકને ભાડે રાખવું અથવા નવા પાઠયપુસ્તકો ખરીદવા માટે તે ખૂબ ખર્ચાળ છે? અથવા તમે તેને શક્ય તેટલી ઝડપથી પૂર્ણ કરવા માંગો છો?હોમવર્ક

ગણિતમાં કે બીજગણિતમાં? આ કિસ્સામાં, તમે વિગતવાર ઉકેલો સાથે અમારા પ્રોગ્રામ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો. આ રીતે તમે તમારી પોતાની તાલીમ અને/અથવા તમારી તાલીમ લઈ શકો છો.નાના ભાઈઓ

અથવા બહેનો, જ્યારે સમસ્યાઓના ઉકેલના ક્ષેત્રમાં શિક્ષણનું સ્તર વધે છે.

સમીકરણો દાખલ કરવાના નિયમો
કોઈપણ લેટિન અક્ષર ચલ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

ઉદાહરણ તરીકે: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), વગેરે. સમીકરણો દાખલ કરતી વખતેતમે કૌંસનો ઉપયોગ કરી શકો છો
. આ કિસ્સામાં, સમીકરણો પ્રથમ સરળ કરવામાં આવે છે.

સરળીકરણ પછીના સમીકરણો રેખીય હોવા જોઈએ, એટલે કે. તત્વોના ક્રમની ચોકસાઈ સાથે ax+by+c=0 ફોર્મનું. ઉદાહરણ તરીકે: 6x+1 = 5(x+y)+2તમે સમીકરણોમાં માત્ર પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરી શકો છો, પણ

અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ
દશાંશ અને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના રૂપમાં. દશાંશ અપૂર્ણાંક દાખલ કરવાના નિયમો.સમગ્ર અને અપૂર્ણાંક ભાગવી
દશાંશ

ડોટ અથવા અલ્પવિરામ દ્વારા અલગ કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે: 2.1n + 3.5m = 55
સામાન્ય અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો.
માત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યા જ અપૂર્ણાંકના અંશ, છેદ અને પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે. છેદ નકારાત્મક ન હોઈ શકે.દાખલ કરતી વખતે /
સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંકઅંશને વિભાજન ચિહ્ન દ્વારા છેદથી અલગ કરવામાં આવે છે: &

આખો ભાગ
એમ્પરસેન્ડ દ્વારા અપૂર્ણાંકથી અલગ:
ઉદાહરણો.

ઉદાહરણ: 6x+1 = 5(x+y)+2
સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો
તે જાણવા મળ્યું હતું કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી કેટલીક સ્ક્રિપ્ટો લોડ કરવામાં આવી ન હતી, અને પ્રોગ્રામ કામ કરી શકશે નહીં.

કારણ કે સમસ્યા હલ કરવા માટે ઘણા બધા લોકો તૈયાર છે, તમારી વિનંતી કતારમાં છે.
થોડીવારમાં ઉકેલ નીચે દેખાશે.
કૃપા કરીને રાહ જુઓ સેકન્ડ...

જો તમે ઉકેલમાં ભૂલ નોંધાઈ, પછી તમે આ વિશે ફીડબેક ફોર્મમાં લખી શકો છો.
ભૂલશો નહીં કયું કાર્ય સૂચવે છેતમે શું નક્કી કરો ક્ષેત્રોમાં દાખલ કરો.

અમારી રમતો, કોયડાઓ, અનુકરણકર્તાઓ:

થોડો સિદ્ધાંત.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી. અવેજી પદ્ધતિ

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરતી વખતે ક્રિયાઓનો ક્રમ:
1) સિસ્ટમના કેટલાક સમીકરણમાંથી એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો;
2) પરિણામી અભિવ્યક્તિને આ ચલને બદલે સિસ્ટમના અન્ય સમીકરણમાં બદલો;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(એરે) \જમણે. $$

ચાલો પ્રથમ સમીકરણમાંથી x ની દ્રષ્ટિએ y વ્યક્ત કરીએ: y = 7-3x. અભિવ્યક્તિ 7-3x ને બીજા સમીકરણમાં y ને બદલે બદલીને, અમે સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(એરે) \right. $$

તે બતાવવાનું સરળ છે કે પ્રથમ અને બીજી સિસ્ટમમાં સમાન ઉકેલો છે. બીજી સિસ્ટમમાં, બીજા સમીકરણમાં માત્ર એક ચલ છે. ચાલો આ સમીકરણ હલ કરીએ:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

સમાનતા y=7-3x માં x ને બદલે નંબર 1 ને બદલીને, આપણે y નું અનુરૂપ મૂલ્ય શોધીએ છીએ:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

જોડી (1;4) - સિસ્ટમનો ઉકેલ

સમાન ઉકેલો ધરાવતા બે ચલોમાં સમીકરણોની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સમકક્ષ. સિસ્ટમો કે જેમાં ઉકેલો નથી તે પણ સમકક્ષ ગણવામાં આવે છે.

ઉમેરા દ્વારા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી

ચાલો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને હલ કરવાની બીજી રીત ધ્યાનમાં લઈએ - ઉમેરણ પદ્ધતિ. જ્યારે આ રીતે સિસ્ટમોને ઉકેલતી વખતે, તેમજ જ્યારે અવેજી દ્વારા ઉકેલવામાં આવે ત્યારે, અમે આ સિસ્ટમમાંથી બીજી, સમકક્ષ સિસ્ટમમાં જઈએ છીએ, જેમાં એક સમીકરણમાં ફક્ત એક જ ચલ હોય છે.

વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરતી વખતે ક્રિયાઓનો ક્રમ:
1) સિસ્ટમ ટર્મના સમીકરણોને ટર્મ દ્વારા ગુણાકાર કરો, પરિબળો પસંદ કરો જેથી કરીને ચલોમાંના એકના ગુણાંક વિરુદ્ધ સંખ્યાઓ બની જાય;
2) ટર્મ દ્વારા સિસ્ટમ સમીકરણો શબ્દની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ઉમેરો;
3) પરિણામી સમીકરણને એક ચલ સાથે હલ કરો;
4) બીજા ચલનું અનુરૂપ મૂલ્ય શોધો.

ઉદાહરણ. ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(એરે) \right. $$

આ સિસ્ટમના સમીકરણોમાં, y ના ગુણાંક વિરોધી સંખ્યાઓ છે. ટર્મ દ્વારા સમીકરણો શબ્દની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ઉમેરીને, આપણે એક ચલ 3x=33 સાથે સમીકરણ મેળવીએ છીએ. ચાલો સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને બદલીએ, ઉદાહરણ તરીકે પ્રથમ એક, સમીકરણ 3x=33 સાથે. ચાલો સિસ્ટમ મેળવીએ
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(એરે) \right. $$

3x=33 સમીકરણ પરથી આપણે શોધીએ છીએ કે x=11. આ x મૂલ્યને સમીકરણ \(x-3y=38\) માં બદલવાથી આપણને ચલ y: \(11-3y=38\) સાથે સમીકરણ મળે છે. ચાલો આ સમીકરણ હલ કરીએ:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

આમ, અમે સરવાળો દ્વારા સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધી કાઢ્યો: \(x=11; y=-9\) અથવા \((11;-9)\)

એ હકીકતનો લાભ લઈને કે સિસ્ટમના સમીકરણોમાં y ના ગુણાંક વિરોધી સંખ્યાઓ છે, અમે તેના ઉકેલને સમકક્ષ સિસ્ટમના ઉકેલમાં ઘટાડી દીધું છે (મૂળ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણોની બંને બાજુઓનો સરવાળો કરીને), જેમાં એક સમીકરણોમાં માત્ર એક ચલ છે.

1. અવેજી પદ્ધતિ: સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણમાંથી આપણે એક અજાણ્યાને બીજા દ્વારા વ્યક્ત કરીએ છીએ અને તેને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ.

કાર્ય.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ઉકેલ.સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ ખાતેદ્વારા એક્સઅને તેને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં બદલો. ચાલો સિસ્ટમ મેળવીએ મૂળની સમકક્ષ.

લાવ્યા પછી સમાન સભ્યોસિસ્ટમ ફોર્મ લેશે:

બીજા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ: . આ મૂલ્યને સમીકરણમાં બદલીને ખાતે = 2 - 2એક્સ, અમને મળે છે ખાતે= 3. તેથી, આ સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓની જોડી છે.

2. પદ્ધતિ બીજગણિત ઉમેરો : બે સમીકરણો ઉમેરીને, તમે એક ચલ સાથે સમીકરણ મેળવો છો.

કાર્ય.સિસ્ટમ સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ.બીજા સમીકરણની બંને બાજુઓને 2 વડે ગુણાકાર કરવાથી આપણને સિસ્ટમ મળે છે મૂળની સમકક્ષ. આ સિસ્ટમના બે સમીકરણો ઉમેરીને, અમે સિસ્ટમ પર પહોંચીએ છીએ

સમાન શરતો લાવ્યા પછી, આ સિસ્ટમ ફોર્મ લેશે: બીજા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ. આ મૂલ્યને સમીકરણ 3 માં બદલીને એક્સ + 4ખાતે= 5, આપણને મળે છે , ક્યાં . તેથી, આ સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓની જોડી છે.

3. નવા ચલો રજૂ કરવાની પદ્ધતિ: અમે સિસ્ટમમાં કેટલાક પુનરાવર્તિત અભિવ્યક્તિઓ શોધી રહ્યા છીએ, જેને અમે નવા ચલો દ્વારા દર્શાવીશું, જેનાથી સિસ્ટમના દેખાવને સરળ બનાવીશું.

કાર્ય.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ઉકેલ.ચાલો તેને લખીએ આ સિસ્ટમઅન્યથા:

દો x + y = u, xy = વિ.પછી અમે સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

ચાલો તેને અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ. સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ uદ્વારા વિઅને તેને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં બદલો. ચાલો સિસ્ટમ મેળવીએ તે

સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ વિ 1 = 2, વિ 2 = 3.

આ મૂલ્યોને સમીકરણમાં બદલીને u = 5 - વિ, અમને મળે છે u 1 = 3,
u 2 = 2. પછી આપણી પાસે બે સિસ્ટમ છે

પ્રથમ સિસ્ટમ ઉકેલવાથી, આપણને સંખ્યાઓની બે જોડી (1; 2), (2; 1) મળે છે. બીજી સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કસરતો

1. અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલો.

અગાઉના ફકરામાં ચર્ચા કરેલ ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ કરતાં વધુ વિશ્વસનીય.

અવેજી પદ્ધતિ

અમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે 7મા ધોરણમાં આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો હતો. 7મા ધોરણમાં વિકસાવવામાં આવેલ અલ્ગોરિધમ બે ચલ x અને y (અલબત્ત, ચલોને અન્ય અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરી શકાય છે, જેમાં કોઈ ફરક પડતો નથી) સાથે કોઈપણ બે સમીકરણો (જરૂરી નથી કે રેખીય) ઉકેલવા માટે તદ્દન યોગ્ય છે. હકીકતમાં, અમે અગાઉના ફકરામાં આ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જ્યારે સમસ્યા ડબલ ડિજિટ નંબરતરફ દોરી ગયું ગાણિતિક મોડેલ, જે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે. અમે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉપરોક્ત સમીકરણોની આ સિસ્ટમ ઉકેલી છે (§ 4 માંથી ઉદાહરણ 1 જુઓ).

બે ચલ x, y સાથે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ.

1. સિસ્ટમના એક સમીકરણમાંથી x ના સંદર્ભમાં y વ્યક્ત કરો.
2. સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં y ને બદલે પરિણામી અભિવ્યક્તિને બદલો.
3. x માટે પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો.
4. પ્રથમ ચરણમાં મેળવેલ x દ્વારા y અભિવ્યક્તિમાં x ને બદલે ત્રીજા પગલામાં મળેલ સમીકરણના દરેક મૂળને બદલામાં બદલો.
5. અનુક્રમે ત્રીજા અને ચોથા પગલામાં જોવા મળતા મૂલ્યોની જોડી (x; y) ના રૂપમાં જવાબ લખો.

4) સૂત્ર x = 5 - 3 માં y ના મળેલા દરેક મૂલ્યોને એક પછી એક બદલો. જો પછી
5) સમીકરણોની આપેલ સિસ્ટમ માટે જોડી (2; 1) અને ઉકેલો.

જવાબ: (2; 1);

બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિ, અવેજી પદ્ધતિની જેમ, તમને 7મા ધોરણના બીજગણિત કોર્સથી પરિચિત છે, જ્યાં તેનો ઉપયોગ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે થતો હતો. ચાલો નીચેના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પદ્ધતિનો સાર યાદ કરીએ.

ઉદાહરણ 2.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણની તમામ શરતોને 3 વડે ગુણાકાર કરીએ અને બીજા સમીકરણને યથાવત છોડીએ:
સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને તેના પ્રથમ સમીકરણમાંથી બાદ કરો:

મૂળ સિસ્ટમના બે સમીકરણોના બીજગણિતીય ઉમેરણના પરિણામે, એક સમીકરણ પ્રાપ્ત થયું જે આપેલ સિસ્ટમના પ્રથમ અને બીજા સમીકરણો કરતાં સરળ હતું. આ સરળ સમીકરણ સાથે અમને આપેલ સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણને બદલવાનો અધિકાર છે, ઉદાહરણ તરીકે બીજું. પછી આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ એક સરળ સિસ્ટમ દ્વારા બદલવામાં આવશે:

આ સિસ્ટમને અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. બીજા સમીકરણમાંથી આપણે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં y ને બદલે આ અભિવ્યક્તિ શોધીએ છીએ

તે x ના મળેલા મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલવાનું બાકી છે

જો x = 2 તો

આમ, અમને સિસ્ટમના બે ઉકેલો મળ્યા:

નવા ચલો રજૂ કરવાની પદ્ધતિ

8મા ધોરણના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં એક ચલ સાથે તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલતી વખતે તમને નવા ચલનો પરિચય કરાવવાની પદ્ધતિનો પરિચય થયો હતો. સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની આ પદ્ધતિનો સાર એ જ છે, પરંતુ તકનીકી દૃષ્ટિકોણથી ત્યાં કેટલીક સુવિધાઓ છે જેની આપણે નીચેના ઉદાહરણોમાં ચર્ચા કરીશું.

ઉદાહરણ 3.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ પછી સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને વધુમાં ફરીથી લખી શકાય સરળ સ્વરૂપમાં: ચાલો ચલ t માટે આ સમીકરણ ઉકેલીએ:

આ બંને મૂલ્યો સ્થિતિને સંતોષે છે અને તેથી મૂળ છે તર્કસંગત સમીકરણચલ ટી સાથે. પરંતુ તેનો અર્થ એ છે કે ક્યાં તો આપણે શોધીએ છીએ કે x = 2y, અથવા
આમ, નવા ચલને રજૂ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને "સ્તરીકરણ" કરવામાં વ્યવસ્થાપિત કર્યું, જે દેખાવમાં એકદમ જટિલ હતું, બે સરળ સમીકરણોમાં:

x = 2 y; y - 2x.

આગળ શું છે? અને પછી બેમાંથી દરેક પ્રાપ્ત થયા સરળ સમીકરણોસમીકરણ x 2 - y 2 = 3 સાથેની સિસ્ટમમાં એક પછી એક ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે, જે આપણે હજી સુધી યાદ નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમીકરણોની બે સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે સમસ્યા નીચે આવે છે:

આપણે પ્રથમ સિસ્ટમ, બીજી સિસ્ટમના ઉકેલો શોધવાની જરૂર છે અને જવાબમાં મૂલ્યોની તમામ પરિણામી જોડીનો સમાવેશ કરવાની જરૂર છે. ચાલો સમીકરણોની પ્રથમ સિસ્ટમ હલ કરીએ:

ચાલો અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ, ખાસ કરીને કારણ કે અહીં બધું તેના માટે તૈયાર છે: ચાલો સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં x ને બદલે 2y અભિવ્યક્તિને બદલીએ. અમને મળે છે

x = 2y થી, આપણે અનુક્રમે, x 1 = 2, x 2 = 2 શોધીએ છીએ. આમ, આપેલ સિસ્ટમના બે ઉકેલો પ્રાપ્ત થાય છે: (2; 1) અને (-2; -1). ચાલો સમીકરણોની બીજી સિસ્ટમ હલ કરીએ:

ચાલો ફરીથી અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ: સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં y ને બદલે 2x અભિવ્યક્તિને બદલીએ. અમને મળે છે

આ સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, જેનો અર્થ છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલ નથી. આમ, જવાબમાં ફક્ત પ્રથમ સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમાવેશ કરવાની જરૂર છે.

જવાબ: (2; 1); (-2;-1).

બે ચલ સાથે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે નવા ચલો રજૂ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ બે સંસ્કરણોમાં થાય છે. પ્રથમ વિકલ્પ: સિસ્ટમના માત્ર એક સમીકરણમાં એક નવું ચલ રજૂ કરવામાં આવે છે અને તેનો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ 3 માં આ બરાબર થયું છે. બીજો વિકલ્પ: સિસ્ટમના બંને સમીકરણોમાં બે નવા ચલો રજૂ કરવામાં આવ્યા છે અને એકસાથે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ઉદાહરણ 4 માં આ કેસ હશે.

ઉદાહરણ 4.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો બે નવા ચલો રજૂ કરીએ:

ચાલો તે પછી ધ્યાનમાં લઈએ

આ તમને ફરીથી લખવાની મંજૂરી આપશે આપેલ સિસ્ટમખૂબ સરળ સ્વરૂપમાં, પરંતુ પ્રમાણમાં નવા ચલ a અને b:

a = 1 થી, પછી સમીકરણ a + 6 = 2 માંથી આપણે શોધીએ છીએ: 1 + 6 = 2; 6=1. આમ, a અને b ચલોના સંદર્ભમાં, અમને એક ઉકેલ મળ્યો:

x અને y ચલો પર પાછા ફરીને, આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

ચાલો આ સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે બીજગણિતીય ઉમેરણની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ:

ત્યારથી 2x + y = 3 સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ:
આમ, x અને y ચલોના સંદર્ભમાં, અમને એક ઉકેલ મળ્યો:

ચાલો આ ફકરાને સંક્ષિપ્ત પરંતુ તેના બદલે ગંભીર સૈદ્ધાંતિક વાતચીત સાથે સમાપ્ત કરીએ. તમે પહેલાથી જ ઉકેલમાં થોડો અનુભવ મેળવ્યો છે વિવિધ સમીકરણો: રેખીય, ચોરસ, તર્કસંગત, અતાર્કિક. તમે જાણો છો કે સમીકરણ ઉકેલવાનો મુખ્ય વિચાર ધીમે ધીમે એક સમીકરણમાંથી બીજા સમીકરણમાં જવાનું છે, સરળ, પરંતુ આપેલ સમકક્ષ. અગાઉના ફકરામાં અમે બે ચલ સાથેના સમીકરણો માટે સમાનતાનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો હતો. આ ખ્યાલનો ઉપયોગ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે પણ થાય છે.

વ્યાખ્યા.

ચલ x અને y સાથેના સમીકરણોની બે સિસ્ટમોને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે જો તેમની પાસે સમાન ઉકેલો હોય અથવા જો બંને સિસ્ટમોમાં કોઈ ઉકેલો ન હોય.

અમે આ વિભાગમાં ચર્ચા કરી છે તે ત્રણેય પદ્ધતિઓ (અવેજી, બીજગણિત ઉમેરો અને નવા ચલોનો પરિચય) સમાનતાના દૃષ્ટિકોણથી એકદમ સાચી છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમીકરણોની એક સિસ્ટમને બીજી, સરળ, પરંતુ મૂળ સિસ્ટમની સમકક્ષ સાથે બદલીએ છીએ.

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ

અમે પહેલાથી જ શીખ્યા છીએ કે કેવી રીતે સમીકરણોની પ્રણાલીઓને અવેજી પદ્ધતિ, બીજગણિતીય ઉમેરણ અને નવા ચલોની રજૂઆત જેવી સામાન્ય અને વિશ્વસનીય રીતે હલ કરવી. હવે ચાલો તે પદ્ધતિને યાદ કરીએ જેનો તમે પહેલાના પાઠમાં અભ્યાસ કર્યો છે. એટલે કે, ચાલો તમે જે જાણો છો તેનું પુનરાવર્તન કરીએ ગ્રાફિકલ પદ્ધતિઉકેલો

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ ગ્રાફિકલીદરેક માટે આલેખનું નિર્માણ રજૂ કરે છે ચોક્કસ સમીકરણો, જે આ સિસ્ટમમાં શામેલ છે અને એકમાં છે સંકલન વિમાન, અને તે પણ જ્યાં આ આલેખના બિંદુઓના આંતરછેદ શોધવા જરૂરી છે. સમીકરણોની આ સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે આ બિંદુ (x; y) ના કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

તે માટે તે યાદ રાખવું જોઈએ ગ્રાફિક્સ સિસ્ટમસમીકરણોમાં ક્યાં તો એક અનન્ય સાચો ઉકેલ હોય છે, અથવા અનંત સમૂહઉકેલો, અથવા કોઈ ઉકેલ નથી.

હવે ચાલો આ દરેક ઉકેલોને વધુ વિગતવાર જોઈએ. અને તેથી, સમીકરણોની સિસ્ટમ હોઈ શકે છે એકમાત્ર ઉકેલજો સીધી રેખાઓ, જે સિસ્ટમના સમીકરણોના આલેખ છે, છેદે છે. જો આ રેખાઓ સમાંતર હોય, તો સમીકરણોની આવી સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલો નથી. જો સિસ્ટમના સમીકરણોના સીધા આલેખ એકસરખા હોય, તો આવી સિસ્ટમ તમને ઘણા ઉકેલો શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

સારું, ચાલો હવે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને 2 અજાણ્યાઓ સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમને જોઈએ:

પ્રથમ, પ્રથમ આપણે 1લા સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ;
બીજું પગલું બીજા સમીકરણ સાથે સંબંધિત ગ્રાફ બનાવવાનું હશે;
ત્રીજે સ્થાને, આપણે આલેખના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધવાની જરૂર છે.
અને પરિણામે, આપણને દરેક આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે, જે સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ હશે.

ચાલો એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ પદ્ધતિને વધુ વિગતવાર જોઈએ. અમને સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે જેને હલ કરવાની જરૂર છે:

સમીકરણો ઉકેલવા

1. પ્રથમ, આપણે આ સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવીશું: x2+y2=9.

પરંતુ એ નોંધવું જોઈએ કે સમીકરણોનો આ આલેખ મૂળમાં કેન્દ્ર સાથેનું વર્તુળ હશે, અને તેની ત્રિજ્યા ત્રણ જેટલી હશે.

2. આપણું આગલું પગલું સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવવાનું હશે જેમ કે: y = x – 3.

આ કિસ્સામાં, આપણે એક સીધી રેખા બનાવવી જોઈએ અને બિંદુઓ (0;−3) અને (3;0) શોધવા જોઈએ.

3. ચાલો જોઈએ કે આપણને શું મળ્યું. આપણે જોઈએ છીએ કે સીધી રેખા વર્તુળને તેના બે બિંદુઓ A અને B પર છેદે છે.

હવે આપણે આ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યા છીએ. આપણે જોઈએ છીએ કે કોઓર્ડિનેટ્સ (3;0) બિંદુ A ને અનુરૂપ છે, અને કોઓર્ડિનેટ્સ (0;−3) બિંદુ B ને અનુરૂપ છે.

અને પરિણામે આપણને શું મળે છે?

જ્યારે રેખા વર્તુળને છેદે છે ત્યારે મેળવેલી સંખ્યાઓ (3;0) અને (0;−3) સિસ્ટમના બંને સમીકરણોના ચોક્કસ ઉકેલો છે. અને તેમાંથી તે અનુસરે છે કે આ સંખ્યાઓ પણ આ સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો છે.

એટલે કે, આ ઉકેલનો જવાબ નંબરો છે: (3;0) અને (0;−3).

આ વિડિઓ સાથે હું સમીકરણોની સિસ્ટમોને સમર્પિત પાઠોની શ્રેણી શરૂ કરું છું. આજે આપણે રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલી ઉકેલવા વિશે વાત કરીશું વધારાની પદ્ધતિ- આ એક સૌથી વધુ છે સરળ રીતો, પરંતુ તે જ સમયે એક સૌથી અસરકારક.

ઉમેરણ પદ્ધતિ સમાવે છે ત્રણ સરળપગલાં:

1. સિસ્ટમ જુઓ અને દરેક સમીકરણમાં સમાન (અથવા વિરુદ્ધ) ગુણાંક ધરાવતા ચલ પસંદ કરો;
2. ચલાવો બીજગણિત બાદબાકી(માટે વિરોધી સંખ્યાઓ- વધુમાં) એકબીજાના સમીકરણો, અને પછી સમાન શરતો લાવો;
3. બીજા પગલા પછી મેળવેલ નવા સમીકરણને ઉકેલો.

જો બધું યોગ્ય રીતે કરવામાં આવે, તો આઉટપુટ પર આપણને એક સમીકરણ મળશે એક ચલ સાથે- તેને હલ કરવું મુશ્કેલ નહીં હોય. પછી જે બાકી રહે છે તે મૂળ સિસ્ટમમાં મળેલા રુટને બદલવા અને અંતિમ જવાબ મેળવવાનું છે.

જો કે, વ્યવહારમાં બધું એટલું સરળ નથી. આના માટે ઘણા કારણો છે:

• ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવાથી સૂચિત થાય છે કે બધી રેખાઓમાં સમાન/વિરોધી ગુણાંક સાથેના ચલ હોવા જોઈએ. જો આ જરૂરિયાત પૂરી ન થાય તો શું કરવું?
• હંમેશા નહીં, દર્શાવેલ રીતે સમીકરણો ઉમેરી/બાદબાકી કર્યા પછી, આપણને એક સુંદર બાંધકામ મળે છે જે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. શું કોઈક રીતે ગણતરીઓને સરળ બનાવવી અને ગણતરીઓને ઝડપી બનાવવી શક્ય છે?

આ પ્રશ્નોના જવાબ મેળવવા માટે, અને તે જ સમયે કેટલીક વધારાની સૂક્ષ્મતાને સમજવા માટે, જેમાં ઘણા વિદ્યાર્થીઓ નિષ્ફળ જાય છે, મારો વિડિઓ પાઠ જુઓ:

આ પાઠ સાથે આપણે સમીકરણોની પ્રણાલીઓને સમર્પિત વ્યાખ્યાનોની શ્રેણી શરૂ કરીએ છીએ. અને આપણે તેમાંથી સૌથી સરળથી શરૂ કરીશું, એટલે કે જેમાં બે સમીકરણો અને બે ચલો છે. તેમાંથી દરેક રેખીય હશે.

સિસ્ટમ્સ 7મા ધોરણની સામગ્રી છે, પરંતુ આ પાઠ ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પણ ઉપયોગી થશે કે જેઓ આ વિષયના તેમના જ્ઞાનને આગળ વધારવા માંગે છે.

સામાન્ય રીતે, આવી સિસ્ટમોને હલ કરવા માટે બે પદ્ધતિઓ છે:

1. ઉમેરણ પદ્ધતિ;
2. એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવાની પદ્ધતિ.

આજે આપણે પ્રથમ પદ્ધતિ સાથે વ્યવહાર કરીશું - આપણે બાદબાકી અને સરવાળાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું. પરંતુ આ કરવા માટે, તમારે નીચેની હકીકત સમજવાની જરૂર છે: એકવાર તમારી પાસે બે અથવા વધુ સમીકરણો હોય, તો તમે તેમાંથી કોઈપણ બે લઈ શકો છો અને તેમને એકબીજામાં ઉમેરી શકો છો. તેઓ સભ્ય દ્વારા સભ્ય ઉમેરવામાં આવે છે, એટલે કે. "X's" ને "X's" માં ઉમેરવામાં આવે છે અને સમાન આપવામાં આવે છે, "Y's" સાથે "Y's" ફરીથી સમાન હોય છે, અને સમાન ચિહ્નની જમણી બાજુએ જે છે તે પણ એકબીજા સાથે ઉમેરવામાં આવે છે, અને સમાન ચિહ્નો પણ ત્યાં આપવામાં આવે છે. .

આવા ષડયંત્રના પરિણામો એક નવું સમીકરણ હશે, જે, જો તેના મૂળ હશે, તો તે ચોક્કસપણે મૂળમાં હશે. મૂળ સમીકરણ. તેથી, અમારું કાર્ય બાદબાકી અથવા સરવાળો એવી રીતે કરવાનું છે કે $x$ અથવા $y$ અદૃશ્ય થઈ જાય.

આ કેવી રીતે પ્રાપ્ત કરવું અને આ માટે કયા સાધનનો ઉપયોગ કરવો - અમે હવે આ વિશે વાત કરીશું.

ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

તેથી, આપણે બે સરળ સમીકરણોના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનું શીખીએ છીએ.

કાર્ય નંબર 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

નોંધ કરો કે $y$ નો પ્રથમ સમીકરણમાં $-4$ અને બીજામાં $+4$ નો ગુણાંક છે. તેઓ પરસ્પર વિરોધી છે, તેથી એવું માનવું તાર્કિક છે કે જો આપણે તેમને ઉમેરીએ, તો પરિણામી રકમમાં "રમતો" પરસ્પર નાશ પામશે. તેને ઉમેરો અને મેળવો:

ચાલો સૌથી સરળ બાંધકામ હલ કરીએ:

સરસ, અમને "x" મળ્યો. હવે આપણે તેની સાથે શું કરવું જોઈએ? અમને તેને કોઈપણ સમીકરણોમાં બદલવાનો અધિકાર છે. ચાલો પહેલા અવેજી કરીએ:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \જમણે) \જમણે.\]

જવાબ: $\left(2;-3 \જમણે)$.

સમસ્યા નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

અહીં પરિસ્થિતિ સંપૂર્ણપણે સમાન છે, ફક્ત "X's" સાથે. ચાલો તેમને ઉમેરીએ:

અમારી પાસે સૌથી સરળ રેખીય સમીકરણ છે, ચાલો તેને હલ કરીએ:

હવે ચાલો $x$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(-3;3 \right)$.

મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાઓ

તેથી, અમે ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની બે સરળ સિસ્ટમો ઉકેલી છે. મુખ્ય મુદ્દાઓ ફરીથી:

1. જો કોઈ એક ચલ માટે વિરોધી ગુણાંક હોય, તો સમીકરણમાં તમામ ચલો ઉમેરવા જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, તેમાંથી એક નાશ પામશે.
2. અમે બીજા સમીકરણો શોધવા માટે કોઈપણ સિસ્ટમ સમીકરણોમાં મળેલા ચલને બદલીએ છીએ.
3. અંતિમ પ્રતિભાવ રેકોર્ડ વિવિધ રીતે રજૂ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ - $x=...,y=...$, અથવા બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સના સ્વરૂપમાં - $\left(...;... \right)$. બીજો વિકલ્પ પ્રાધાન્યક્ષમ છે. યાદ રાખવાની મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે પ્રથમ સંકલન $x$ છે, અને બીજું $y$ છે.
4. પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સના રૂપમાં જવાબ લખવાનો નિયમ હંમેશા લાગુ પડતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ચલો $x$ અને $y$ ન હોય ત્યારે તેનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી, પરંતુ, ઉદાહરણ તરીકે, $a$ અને $b$.

નીચેની સમસ્યાઓમાં આપણે બાદબાકીની તકનીકને ધ્યાનમાં લઈશું જ્યારે ગુણાંક વિરુદ્ધ ન હોય.

બાદબાકી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

કાર્ય નંબર 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

નોંધ કરો કે અહીં કોઈ વિરોધી ગુણાંક નથી, પરંતુ સમાન ગુણાંક છે. તેથી, અમે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ છીએ:

હવે આપણે $x$ ને કોઈપણ સિસ્ટમ સમીકરણોમાં બદલીએ છીએ. ચાલો પહેલા જઈએ:

જવાબ: $\left(2;5\જમણે)$.

સમસ્યા નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

અમે ફરીથી પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોમાં $x$ માટે $5$ નો સમાન ગુણાંક જોયો. તેથી, તે ધારવું તાર્કિક છે કે તમારે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરવાની જરૂર છે:

અમે એક ચલની ગણતરી કરી છે. હવે ચાલો બીજું શોધીએ, ઉદાહરણ તરીકે, મૂલ્ય $y$ ને બીજા બાંધકામમાં બદલીને:

જવાબ: $\left(-3;-2 \right)$.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

તો આપણે શું જોઈએ છીએ? અનિવાર્યપણે, યોજના અગાઉની સિસ્ટમોના ઉકેલથી અલગ નથી. ફરક એટલો જ છે કે આપણે સમીકરણો ઉમેરતા નથી, પણ બાદબાકી કરીએ છીએ. અમે બીજગણિત બાદબાકી કરી રહ્યા છીએ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જલદી તમે બે અજ્ઞાતમાં બે સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમ જોશો, તમારે પ્રથમ વસ્તુ જોવાની જરૂર છે તે ગુણાંક છે. જો તેઓ ગમે ત્યાં સમાન હોય, તો સમીકરણો બાદબાકી કરવામાં આવે છે, અને જો તેઓ વિરુદ્ધ હોય, તો ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. આ હંમેશા કરવામાં આવે છે જેથી તેમાંથી એક અદૃશ્ય થઈ જાય, અને અંતિમ સમીકરણમાં, જે બાદબાકી પછી રહે છે, માત્ર એક ચલ રહે છે.

અલબત્ત, તે બધુ જ નથી. હવે આપણે એવી સિસ્ટમો પર વિચાર કરીશું કે જેમાં સમીકરણો સામાન્ય રીતે અસંગત હોય છે. તે. તેમાં એવા કોઈ ચલ નથી કે જે કાં તો સમાન હોય અથવા વિરુદ્ધ હોય. આ કિસ્સામાં, આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે, અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ વધારાની માત્રા, એટલે કે, દરેક સમીકરણોને વિશિષ્ટ ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવો. તેને કેવી રીતે શોધવું અને સામાન્ય રીતે આવી સિસ્ટમોને કેવી રીતે હલ કરવી, અમે હવે આ વિશે વાત કરીશું.

ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

ઉદાહરણ #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

આપણે જોઈએ છીએ કે ન તો $x$ માટે અને ન તો $y$ માટે ગુણાંક માત્ર પરસ્પર વિરોધી જ નથી, પણ અન્ય સમીકરણ સાથે કોઈપણ રીતે સહસંબંધ ધરાવતા નથી. આ ગુણાંકો કોઈપણ રીતે અદૃશ્ય થઈ જશે નહીં, ભલે આપણે એકબીજામાંથી સમીકરણો ઉમેરીએ અથવા બાદ કરીએ. તેથી, ગુણાકાર લાગુ કરવો જરૂરી છે. ચાલો $y$ ચલથી છુટકારો મેળવવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, અમે પ્રથમ સમીકરણને બીજા સમીકરણમાંથી $y$ ના ગુણાંક દ્વારા અને બીજા સમીકરણને પ્રથમ સમીકરણના $y$ ના ગુણાંક વડે ગુણાંક કરીએ છીએ, ચિહ્નને સ્પર્શ કર્યા વિના. અમે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને નવી સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

ચાલો તેને જોઈએ: $y$ પર ગુણાંક વિરુદ્ધ છે. આવી સ્થિતિમાં, ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. ચાલો ઉમેરીએ:

હવે આપણે $y$ શોધવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, પ્રથમ અભિવ્યક્તિમાં $x$ બદલો:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \જમણે) \જમણે.\]

જવાબ: $\left(4;-2 \જમણે)$.

ઉદાહરણ નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

ફરીથી, કોઈપણ ચલો માટેના ગુણાંક સુસંગત નથી. ચાલો $y$ ના ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરીએ:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \જમણે. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

અમારી નવી સિસ્ટમ પાછલી સિસ્ટમની સમકક્ષ છે, પરંતુ $y$ ના ગુણાંક પરસ્પર વિરુદ્ધ છે, અને તેથી અહીં વધારાની પદ્ધતિ લાગુ કરવી સરળ છે:

હવે ચાલો પહેલા સમીકરણમાં $x$ ને બદલીને $y$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(-2;1 \જમણે)$.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

અહીં મુખ્ય નિયમ નીચે મુજબ છે: આપણે હંમેશા માત્ર દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ હકારાત્મક સંખ્યાઓ- આ તમને બદલાતા ચિહ્નો સાથે સંકળાયેલ મૂર્ખ અને અપમાનજનક ભૂલોથી બચાવશે. સામાન્ય રીતે, ઉકેલ યોજના એકદમ સરળ છે:

1. અમે સિસ્ટમ જોઈએ છીએ અને દરેક સમીકરણનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
2. જો આપણે જોઈએ કે ન તો $y$ કે $x$ ગુણાંક સુસંગત છે, એટલે કે. તેઓ ન તો સમાન છે કે ન તો વિરુદ્ધ, પછી આપણે નીચે મુજબ કરીએ છીએ: આપણે ચલ પસંદ કરીએ છીએ જેમાંથી આપણે છૂટકારો મેળવવાની જરૂર છે, અને પછી આપણે આ સમીકરણોના ગુણાંકને જોઈએ છીએ. જો આપણે પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરીએ, અને બીજાને અનુરૂપ રીતે, પ્રથમમાંથી ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરીએ, તો અંતે આપણને એક સિસ્ટમ મળશે જે અગાઉના સમકક્ષ છે, અને $ ના ગુણાંક y$ સુસંગત રહેશે. અમારી બધી ક્રિયાઓ અથવા રૂપાંતરણનો હેતુ માત્ર એક સમીકરણમાં એક ચલ મેળવવાનો છે.
3. આપણે એક ચલ શોધીએ છીએ.
4. અમે સિસ્ટમના બે સમીકરણોમાંથી એકમાં મળેલા ચલને બદલીએ છીએ અને બીજું શોધીએ છીએ.
5. જો આપણી પાસે $x$ અને $y$ હોય તો અમે પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ સ્વરૂપે જવાબ લખીએ છીએ.

પરંતુ આવા સરળ અલ્ગોરિધમમાં પણ તેની પોતાની સૂક્ષ્મતા છે, ઉદાહરણ તરીકે, $x$ અથવા $y$ ના ગુણાંક અપૂર્ણાંક અને અન્ય "નીચ" સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે. હવે અમે આ કેસોને અલગથી ધ્યાનમાં લઈશું, કારણ કે તેમાં તમે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમ મુજબ કંઈક અલગ રીતે કાર્ય કરી શકો છો.

અપૂર્ણાંક સાથે સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

ઉદાહરણ #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

પ્રથમ, નોંધ લો કે બીજા સમીકરણમાં અપૂર્ણાંકો છે. પરંતુ નોંધ લો કે તમે $4$ ને $0.8$ વડે ભાગી શકો છો. અમે $5$ પ્રાપ્ત કરીશું. ચાલો બીજા સમીકરણને $5$ વડે ગુણાકાર કરીએ:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

અમે એકબીજામાંથી સમીકરણો બાદ કરીએ છીએ:

અમને $n$ મળ્યું, હવે ચાલો $m$ ગણીએ:

જવાબ: $n=-4;m=5$

ઉદાહરણ નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \જમણે. \\\end(align )\ અધિકાર.\]

અહીં, અગાઉની સિસ્ટમની જેમ, ત્યાં છે અપૂર્ણાંક મતભેદજો કે, આમાંથી કોઈ માટે નહીં ચલ ગુણાંકપૂર્ણાંક સંખ્યા દ્વારા એકબીજામાં ફિટ ન થાઓ. તેથી, અમે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. $p$ થી છુટકારો મેળવો:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

અમે બાદબાકી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ચાલો બીજા બાંધકામમાં $k$ ને બદલીને $p$ શોધીએ:

જવાબ: $p=-4;k=-2$.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

તે બધા ઓપ્ટિમાઇઝેશન છે. પ્રથમ સમીકરણમાં, આપણે કોઈ પણ વસ્તુથી ગુણાકાર કર્યો નથી, પરંતુ બીજા સમીકરણને $5$ વડે ગુણાકાર કર્યો છે. પરિણામે, અમે પ્રથમ ચલ માટે સુસંગત અને સમાન સમીકરણ પ્રાપ્ત કર્યું. બીજી સિસ્ટમમાં, અમે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનું અનુસરણ કર્યું.

પરંતુ તમે તે સંખ્યાઓ કેવી રીતે શોધી શકશો જેના દ્વારા સમીકરણોનો ગુણાકાર કરવો? છેવટે, જો આપણે અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને નવા અપૂર્ણાંક મળે છે. તેથી, અપૂર્ણાંકનો એક એવી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર થવો જોઈએ જે નવી પૂર્ણાંક આપશે, અને તે પછી ચલોનો પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમને અનુસરીને ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે.

નિષ્કર્ષમાં, હું તમારું ધ્યાન પ્રતિભાવ રેકોર્ડ કરવા માટેના ફોર્મેટ તરફ દોરવા માંગુ છું. મેં પહેલેથી જ કહ્યું તેમ, અહીં અમારી પાસે $x$ અને $y$ નથી, પરંતુ અન્ય મૂલ્યો હોવાથી, અમે ફોર્મના બિન-માનક સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

સમીકરણોની જટિલ સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

આજના વિડીયો ટ્યુટોરીયલની અંતિમ નોંધ તરીકે, ચાલો ખરેખર કેટલાકને જોઈએ જટિલ સિસ્ટમો. તેમની જટિલતા એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ હશે કે તેમની પાસે ડાબે અને જમણે બંને પર ચલ હશે. તેથી, તેમને ઉકેલવા માટે આપણે પ્રીપ્રોસેસિંગ લાગુ કરવું પડશે.

સિસ્ટમ નંબર 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \જમણે)-1=5\લેફ્ટ(2x-1 \જમણે)+8 \\\અંત(સંરેખિત) \જમણે.\]

દરેક સમીકરણ ચોક્કસ જટિલતા ધરાવે છે. તેથી, ચાલો દરેક અભિવ્યક્તિને નિયમિત રેખીય બાંધકામની જેમ ગણીએ.

કુલમાં, અમને અંતિમ સિસ્ટમ મળે છે, જે મૂળની સમકક્ષ છે:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ચાલો $y$ ના ગુણાંક જોઈએ: $3$ બે વાર $6$ માં બંધબેસે છે, તો ચાલો પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણાકાર કરીએ:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

$y$ ના ગુણાંક હવે સમાન છે, તેથી આપણે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ: $$

હવે ચાલો $y$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

સિસ્ટમ નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \જમણે -12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

ચાલો પ્રથમ અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરીએ:

ચાલો બીજા સાથે વ્યવહાર કરીએ:

\[-3\left(b-2a \જમણે)-12=2\left(a-5 \જમણે)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

કુલમાં, અમારી પ્રારંભિક સિસ્ટમ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

$a$ ના ગુણાંકને જોતા, આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

પ્રથમ બાંધકામમાંથી બીજાને બાદ કરો:

હવે ચાલો $a$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

બસ. હું આશા રાખું છું કે આ વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ તમને આ મુશ્કેલ વિષયને સમજવામાં મદદ કરશે, એટલે કે સરળ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ્સ ઉકેલવામાં. આ વિષય પર ઘણા વધુ પાઠ હશે: અમે વધુ જોઈશું જટિલ ઉદાહરણો, જ્યાં વધુ ચલો હશે, અને સમીકરણો પોતે પહેલેથી જ બિનરેખીય હશે. ફરી મળીશું!