ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ચિહ્નો. ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂળભૂત ગુણધર્મો: સમાન, વિષમ, સામયિકતા

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઇમેઇલવગેરે

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમારા દ્વારા એકત્રિત વ્યક્તિગત માહિતીઅમને તમારો સંપર્ક કરવા અને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ વિશે તમને જાણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ આંતરિક હેતુઓ માટે પણ કરી શકીએ છીએ જેમ કે ઑડિટિંગ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ અભ્યાસોઅમે જે સેવાઓ પ્રદાન કરીએ છીએ તેમાં સુધારો કરવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી એજન્સીઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

જો તમે પહેલાથી જ પરિચિત છો ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ , અને માત્ર તમારી મેમરી તાજી કરવા માંગો છો વ્યક્તિગત ઘટકો, અથવા તમે સંપૂર્ણપણે અધીરા છો, તો તે અહીં છે:

અહીં આપણે દરેક વસ્તુનું વિગતવાર તબક્કાવાર વિશ્લેષણ કરીશું.

ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ એ વૈભવી નથી, પરંતુ આવશ્યકતા છે

ત્રિકોણમિતિ ઘણા લોકો તેને અભેદ્ય ઝાડ સાથે જોડે છે. અચાનક ઘણા અર્થ થાય છે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, ઘણા બધા સૂત્રો... પરંતુ તે શરૂઆતમાં કામ ન કર્યું, અને... બંધ અને ચાલુ... સંપૂર્ણ ગેરસમજ...

છોડવું નહીં તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યો, - તેઓ કહે છે, તમે હંમેશા મૂલ્યોના કોષ્ટક સાથે સ્પુરને જોઈ શકો છો.

જો તમે મૂલ્યો સાથેના ટેબલને સતત જોશો ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો, ચાલો આ આદતથી છૂટકારો મેળવીએ!

તે અમને મદદ કરશે! તમે તેની સાથે ઘણી વખત કામ કરશો, અને પછી તે તમારા માથામાં પોપ અપ થશે. તે શું છે વધુ સારા કોષ્ટકો? હા, કોષ્ટકમાં તમને મર્યાદિત સંખ્યામાં મૂલ્યો મળશે, પરંતુ વર્તુળ પર - બધું!

ઉદાહરણ તરીકે, જોતી વખતે કહો પ્રમાણભૂત ટેબલત્રિકોણમિતિ સૂત્રોના મૂલ્યો , શા માટે સાઈન સમાન, 300 ડિગ્રી, અથવા -45 કહો.

કોઈ રસ્તો નથી?... તમે, અલબત્ત, કનેક્ટ કરી શકો છો ઘટાડાનાં સૂત્રો... અને ત્રિકોણમિતિ વર્તુળને જોતા, તમે આવા પ્રશ્નોના જવાબ સરળતાથી આપી શકો છો. અને તમે જલ્દી જ જાણશો કે કેવી રીતે!

અને નક્કી કરતી વખતે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોઅને ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ વિના અસમાનતાઓ - ક્યાંય પણ નહીં.

ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો પરિચય

ચાલો ક્રમમાં જઈએ.

પ્રથમ, ચાલો આ સંખ્યાઓની શ્રેણી લખીએ:

અને હવે આ:

અને અંતે આ એક:

અલબત્ત, તે સ્પષ્ટ છે કે, હકીકતમાં, પ્રથમ સ્થાને છે, બીજા સ્થાને છે, અને છેલ્લા સ્થાને છે. એટલે કે, અમને સાંકળમાં વધુ રસ હશે.

પરંતુ તે કેટલું સુંદર બહાર આવ્યું! જો કંઈક થાય, તો અમે આ "ચમત્કાર સીડી" પુનઃસ્થાપિત કરીશું.

અને આપણને તેની શા માટે જરૂર છે?

આ સાંકળ એ પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં સાઈન અને કોસાઈનના મુખ્ય મૂલ્યો છે.

ચાલો અંદર દોરીએ લંબચોરસ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ એ એકમ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છે (એટલે ​​કે, આપણે લંબાઈ સાથે કોઈપણ ત્રિજ્યા લઈએ છીએ અને તેની લંબાઈને એકમ તરીકે જાહેર કરીએ છીએ).

“0-સ્ટાર્ટ” બીમમાંથી આપણે તીરની દિશામાં ખૂણાઓ નીચે મૂકીએ છીએ (આકૃતિ જુઓ).

આપણે વર્તુળ પર અનુરૂપ બિંદુઓ મેળવીએ છીએ. તેથી, જો આપણે દરેક અક્ષો પર બિંદુઓને પ્રક્ષેપિત કરીએ, તો આપણને ઉપરની સાંકળમાંથી બરાબર મૂલ્યો મળશે.

આ કેમ છે, તમે પૂછો છો?

ચાલો દરેક વસ્તુનું વિશ્લેષણ ન કરીએ. ચાલો વિચાર કરીએ સિદ્ધાંત, જે તમને અન્ય સમાન પરિસ્થિતિઓનો સામનો કરવા દેશે.

ત્રિકોણ AOB લંબચોરસ છે અને તેમાં સમાવે છે. અને આપણે જાણીએ છીએ કે કોણ b ની સામે એક પગ કર્ણોના કદના અડધો છે (આપણી પાસે કર્ણો = વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, એટલે કે 1).

આનો અર્થ છે AB= (અને તેથી OM=). અને પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર

હું આશા રાખું છું કે કંઈક પહેલેથી જ સ્પષ્ટ થઈ રહ્યું છે?

તેથી બિંદુ B મૂલ્યને અનુરૂપ હશે, અને બિંદુ M મૂલ્યને અનુરૂપ હશે

પ્રથમ ક્વાર્ટરના અન્ય મૂલ્યો સાથે સમાન.

જેમ તમે સમજો છો, પરિચિત અક્ષ (બળદ) હશે કોસાઇન અક્ષ, અને ધરી (oy) - સાઇન્સની અક્ષ . બાદમાં.

કોસાઇન અક્ષ સાથે શૂન્યની ડાબી બાજુએ (સાઇન અક્ષ સાથે શૂન્યની નીચે) ત્યાં, અલબત્ત, નકારાત્મક મૂલ્યો હશે.

તેથી, તે અહીં છે, સર્વશક્તિમાન, જેના વિના ત્રિકોણમિતિમાં ક્યાંય નથી.

પરંતુ આપણે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે વિશે વાત કરીશું.

ત્રિકોણમિતિ, વિજ્ઞાન તરીકે, પ્રાચીન પૂર્વમાં ઉદ્દભવ્યું હતું. પ્રથમ ત્રિકોણમિતિ ગુણોત્તરખગોળશાસ્ત્રીઓ દ્વારા ચોક્કસ કેલેન્ડર બનાવવા અને તારાઓ દ્વારા નેવિગેટ કરવા માટે વિકસાવવામાં આવ્યા હતા. ગોળાકાર ત્રિકોણમિતિ સાથે સંબંધિત આ ગણતરીઓ, જ્યારે માં શાળા અભ્યાસક્રમસમતલ ત્રિકોણની બાજુઓ અને ખૂણાઓના ગુણોત્તરનો અભ્યાસ કરો.

ત્રિકોણમિતિ એ ગણિતની એક શાખા છે જે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મો અને ત્રિકોણની બાજુઓ અને ખૂણાઓ વચ્ચેના સંબંધો સાથે વ્યવહાર કરે છે.

1લી સહસ્ત્રાબ્દી એડીમાં સંસ્કૃતિ અને વિજ્ઞાનના પરાકાષ્ઠા દરમિયાન, જ્ઞાનનો ફેલાવો થયો પ્રાચીન પૂર્વગ્રીસ માટે. પરંતુ ત્રિકોણમિતિની મુખ્ય શોધો પતિઓની યોગ્યતા છે આરબ ખિલાફત. ખાસ કરીને, તુર્કમેન વિજ્ઞાની અલ-મરાઝવીએ સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ જેવા કાર્યો રજૂ કર્યા અને સાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ માટેના મૂલ્યોના પ્રથમ કોષ્ટકોનું સંકલન કર્યું. સાઈન અને કોસાઈનની વિભાવનાઓ ભારતીય વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. યુક્લિડ, આર્કિમિડીઝ અને એરાટોસ્થેનિસ જેવા પ્રાચીનકાળના મહાન વ્યક્તિઓના કાર્યોમાં ત્રિકોણમિતિએ ઘણું ધ્યાન મેળવ્યું.

ત્રિકોણમિતિની મૂળભૂત માત્રા

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સંખ્યાત્મક દલીલ- આ સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ છે. તેમાંના દરેકનો પોતાનો ગ્રાફ છે: સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ.

આ જથ્થાઓના મૂલ્યોની ગણતરી માટેના સૂત્રો પાયથાગોરિયન પ્રમેય પર આધારિત છે. તે ફોર્મ્યુલેશનમાં શાળાના બાળકો માટે વધુ સારી રીતે જાણીતું છે: “ પાયથાગોરિયન પેન્ટ, બધી દિશામાં સમાન છે," કારણ કે સાબિતી સમદ્વિબાજુના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આપવામાં આવે છે જમણો ત્રિકોણ.

સાઈન, કોસાઈન અને અન્ય અવલંબન કોઈપણ કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણા અને બાજુઓ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરે છે. ચાલો કોણ A માટે આ જથ્થાઓની ગણતરી કરવા માટે સૂત્રો રજૂ કરીએ અને ત્રિકોણમિતિ કાર્યો વચ્ચેના સંબંધોને શોધીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, tg અને ctg એ વ્યસ્ત કાર્યો છે. જો આપણે લેગ a ને પાપ A અને કર્ણ c ના ઉત્પાદન તરીકે અને લેગ b ને cos A * c તરીકે કલ્પીએ તો આપણને મળે છે નીચેના સૂત્રોસ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ માટે:

ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ

ગ્રાફિકલી, ઉલ્લેખિત જથ્થાઓ વચ્ચેના સંબંધને નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

પરિઘ, માં આ કિસ્સામાં, બધું રજૂ કરે છે શક્ય મૂલ્યોકોણ α - 0° થી 360° સુધી. આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, દરેક કાર્ય નકારાત્મક અથવા લે છે હકારાત્મક મૂલ્યકોણ માપ પર આધાર રાખીને. ઉદાહરણ તરીકે, જો α વર્તુળના 1લા અને 2જા ક્વાર્ટરનો હોય, એટલે કે, તે 0° થી 180° ની રેન્જમાં હોય તો sin α પાસે “+” ચિહ્ન હશે. α માટે 180° થી 360° (III અને IV ક્વાર્ટર), sin α માત્ર નકારાત્મક મૂલ્ય હોઈ શકે છે.

ચાલો બિલ્ડ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકોચોક્કસ ખૂણાઓ માટે અને જથ્થાઓનું મૂલ્ય શોધો.

α સમાન 30°, 45°, 60°, 90°, 180° અને તેથી વધુના મૂલ્યોને વિશેષ કેસ કહેવામાં આવે છે. તેમના માટે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યોની ગણતરી કરવામાં આવે છે અને વિશિષ્ટ કોષ્ટકોના રૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે.

આ ખૂણાઓ રેન્ડમ પર પસંદ કરવામાં આવ્યા ન હતા. કોષ્ટકોમાં હોદ્દો π રેડિયન માટે છે. રેડ એ કોણ છે કે જેના પર વર્તુળની ચાપની લંબાઈ તેની ત્રિજ્યાને અનુરૂપ હોય છે. આ મૂલ્યસાર્વત્રિક અવલંબન સ્થાપિત કરવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું જ્યારે રેડિયનમાં ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે સેમીમાં ત્રિજ્યાની વાસ્તવિક લંબાઈ વાંધો નથી.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો માટે કોષ્ટકોમાંના ખૂણાઓ રેડિયન મૂલ્યોને અનુરૂપ છે:

તેથી, અનુમાન લગાવવું મુશ્કેલ નથી કે 2π છે સંપૂર્ણ વર્તુળઅથવા 360°.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મો: સાઈન અને કોસાઈન

સાઈન અને કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂળભૂત ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવા અને તેની તુલના કરવા માટે, તેમના કાર્યો દોરવા જરૂરી છે. આ દ્વિ-પરિમાણીય સંકલન પ્રણાલીમાં સ્થિત વળાંકના સ્વરૂપમાં કરી શકાય છે.

ધ્યાનમાં લો સરખામણી કોષ્ટકસાઈન અને કોસાઈન માટે ગુણધર્મો:

ફંક્શન સમ છે કે નહીં તે નક્કી કરવું ખૂબ જ સરળ છે. ત્રિકોણમિતિના જથ્થાના ચિહ્નો સાથે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળની કલ્પના કરવા અને OX અક્ષને સંબંધિત ગ્રાફને માનસિક રીતે "ફોલ્ડ" કરવા માટે તે પૂરતું છે. જો ચિહ્નો એકરૂપ થાય છે, તો કાર્ય સમ છે, અન્યથા તે વિચિત્ર છે.

રેડિયનનો પરિચય અને સાઈન અને કોસાઈન તરંગોના મૂળભૂત ગુણધર્મોની સૂચિ અમને નીચેની પેટર્ન પ્રસ્તુત કરવાની મંજૂરી આપે છે:

ફોર્મ્યુલા સાચો છે તે ચકાસવું ખૂબ જ સરળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, x = π/2 માટે, સાઈન 1 છે, જેમ કે x = 0 ની કોસાઈન છે. ચેક કન્સલ્ટિંગ કોષ્ટકો દ્વારા અથવા આપેલ મૂલ્યો માટે ફંક્શન કર્વ્સને ટ્રેસ કરીને કરી શકાય છે.

ટેન્જેન્ટોઇડ્સ અને કોટેન્જેન્ટોઇડ્સના ગુણધર્મો

ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ ફંક્શનના આલેખ સાઈન અને કોસાઈન ફંક્શનથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. tg અને ctg મૂલ્યો એકબીજાના પરસ્પર છે.

1. Y = tan x.
2. સ્પર્શક x = π/2 + πk પર y ના મૂલ્યો તરફ વલણ ધરાવે છે, પરંતુ ક્યારેય તેમના સુધી પહોંચતું નથી.
3. ઓછામાં ઓછું હકારાત્મક સમયગાળોસ્પર્શક π ની બરાબર છે.
4. Tg (- x) = - tg x, એટલે કે કાર્ય વિચિત્ર છે.
5. Tg x = 0, x = πk માટે.
6. કાર્ય વધી રહ્યું છે.
7. Tg x › 0, x ϵ માટે (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ માટે (— π/2 + πk, πk).
9. વ્યુત્પન્ન (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

ચાલો વિચાર કરીએ ગ્રાફિક છબીલખાણમાં નીચે cotangentoids.

કોટેન્જેન્ટોઇડ્સના મુખ્ય ગુણધર્મો:

1. Y = cot x.
2. સાઈન અને કોસાઈન ફંક્શનથી વિપરીત, ટેન્જેન્ટોઈડમાં Y તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહના મૂલ્યો લઈ શકે છે.
3. કોટેન્જેન્ટોઇડ x = πk પર y ના મૂલ્યો તરફ વલણ ધરાવે છે, પરંતુ તે ક્યારેય પહોંચતું નથી.
4. કોટેન્જેન્ટોઇડનો સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો π છે.
5. Ctg (- x) = - ctg x, એટલે કે કાર્ય વિચિત્ર છે.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk માટે.
7. કાર્ય ઘટતું જાય છે.
8. Ctg x › 0, x ϵ માટે (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ (π/2 + πk, πk) માટે.
10. વ્યુત્પન્ન (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x યોગ્ય

સાઇનસસંખ્યાઓ એઆ સંખ્યાને રજૂ કરતા બિંદુનું ઓર્ડિનેટ કહેવાય છે સંખ્યા વર્તુળ. માં કોણની સાઈન એરેડિયનને સંખ્યાની સાઈન કહેવાય છે એ.

સાઇનસ- સંખ્યા કાર્ય x. હર વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર

સાઈન શ્રેણી- માંથી સેગમેન્ટ -1 થી 1 , કારણ કે ઓર્ડિનેટ અક્ષ પરના આ સેગમેન્ટની કોઈપણ સંખ્યા એ વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુનું પ્રક્ષેપણ છે, પરંતુ આ સેગમેન્ટની બહારનો કોઈ બિંદુ આમાંથી કોઈપણ બિંદુનું પ્રક્ષેપણ નથી.

સાઈન પીરિયડ

સાઈન ચિહ્ન:

1. સાઈન શૂન્ય બરાબરપર, ક્યાં n- કોઈપણ પૂર્ણાંક;

2. સાઈન ધન છે, જ્યાં n- કોઈપણ પૂર્ણાંક;

3. જ્યારે સાઈન નકારાત્મક હોય છે

જ્યાં n- કોઈપણ પૂર્ણાંક.

સાઇનસ- કાર્ય વિચિત્ર xઅને -x, પછી તેમના ઓર્ડિનેટ્સ - સાઈન - પણ વિરુદ્ધ હશે. એટલે કે કોઈપણ માટે x.

1. સેગમેન્ટ્સ પર સાઈન વધે છે , ક્યાં n- કોઈપણ પૂર્ણાંક.

2. સેગમેન્ટ પર સાઈન ઘટે છે , ક્યાં n- કોઈપણ પૂર્ણાંક.

મુ ;

ખાતે .

કોસાઇન

કોસાઇનસંખ્યાઓ એસંખ્યાના વર્તુળ પર આ સંખ્યા દર્શાવતા બિંદુના અવકાશ કહેવામાં આવે છે. માં કોણનો કોસાઇન એરેડિયનને સંખ્યાનો કોસાઇન કહેવામાં આવે છે એ.

કોસાઇન- સંખ્યાનું કાર્ય. હર વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર- બધી સંખ્યાઓનો સમૂહ, કારણ કે કોઈપણ સંખ્યા માટે તમે તેને રજૂ કરતા બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધી શકો છો.

કોસાઇન રેન્જ- માંથી સેગમેન્ટ -1 થી 1 , કારણ કે x-અક્ષ પરના આ સેગમેન્ટની કોઈપણ સંખ્યા એ વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુનું પ્રક્ષેપણ છે, પરંતુ આ સેગમેન્ટની બહારનો કોઈ બિંદુ આમાંથી કોઈપણ બિંદુનું પ્રક્ષેપણ નથી.

કોસાઇન અવધિસમાન છેવટે, દર વખતે સંખ્યા દર્શાવતા બિંદુની સ્થિતિ બરાબર પુનરાવર્તિત થાય છે.

કોસાઇન ચિહ્ન:

1. કોસાઇન શૂન્ય બરાબર છે, જ્યાં n- કોઈપણ પૂર્ણાંક;

2. જ્યારે કોસાઇન ધન હોય છે , ક્યાં n- કોઈપણ પૂર્ણાંક;

3. જ્યારે કોસાઇન નકારાત્મક હોય છે , ક્યાં n- કોઈપણ પૂર્ણાંક.

કોસાઇન- કાર્ય સમ. સૌપ્રથમ, આ કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન એ બધી સંખ્યાઓનો સમૂહ છે, અને તેથી તે મૂળના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. અને બીજું, જો આપણે શરૂઆતથી બે મુલતવી રાખીએ વિરોધી સંખ્યાઓ: xઅને -x, પછી તેમના એબ્સિસાસ - કોસાઇન્સ - સમાન હશે. એટલે કે

કોઈપણ માટે x.

1. સેગમેન્ટ્સ પર કોસાઇન વધે છે , ક્યાં n- કોઈપણ પૂર્ણાંક.

2. સેગમેન્ટ્સ પર કોસાઇન ઘટે છે , ક્યાં n- કોઈપણ પૂર્ણાંક.

ખાતે;

ખાતે .

સ્પર્શક

સ્પર્શકસંખ્યાને આ સંખ્યાની સાઈન અને આ સંખ્યાના કોસાઈનનો ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે: .

સ્પર્શકમાં કોણ એરેડિયન એ સંખ્યાની સ્પર્શક છે એ.

સ્પર્શક- સંખ્યાનું કાર્ય. હર વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર- તમામ સંખ્યાઓનો સમૂહ જેની કોસાઇન શૂન્યની બરાબર નથી, કારણ કે સ્પર્શક નક્કી કરવા માટે અન્ય કોઈ પ્રતિબંધો નથી. અને ત્યારથી કોસાઇન શૂન્ય ની બરાબર છે, પછી , ક્યાં .

સ્પર્શક શ્રેણી

સ્પર્શક અવધિ x(સમાન નથી), એકબીજાથી ભિન્ન છે, અને તેમાંથી એક સીધી રેખા દોરે છે, પછી આ સીધી રેખા કોઓર્ડિનેટના મૂળમાંથી પસાર થશે અને અમુક બિંદુએ સ્પર્શકોની રેખાને છેદે છે. t. તેથી તે તારણ આપે છે કે , એટલે કે, સંખ્યા એ સ્પર્શકનો સમયગાળો છે.

સ્પર્શક ચિહ્ન:સ્પર્શક એ સાઈન અને કોસાઈનનો ગુણોત્તર છે. તેથી તેમણે

1. શૂન્ય બરાબર છે જ્યારે સાઈન શૂન્ય હોય છે, એટલે કે ક્યારે, ક્યાં n- કોઈપણ પૂર્ણાંક.

2. જ્યારે સાઈન અને કોસાઈન હોય ત્યારે હકારાત્મક સમાન ચિહ્નો. આ ફક્ત પ્રથમ અને ત્રીજા ક્વાર્ટરમાં થાય છે, એટલે કે, જ્યારે , ક્યાં એ- કોઈપણ પૂર્ણાંક.

3. જ્યારે સાઈન અને કોસાઈન હોય ત્યારે નકારાત્મક વિવિધ ચિહ્નો. આ માત્ર બીજા અને ચોથા ક્વાર્ટરમાં થાય છે, એટલે કે જ્યારે , ક્યાં એ- કોઈપણ પૂર્ણાંક.

સ્પર્શક- કાર્ય વિચિત્ર. સૌપ્રથમ, આ કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન મૂળની તુલનામાં સપ્રમાણ છે. અને બીજું, . સાઈનની વિષમતા અને કોસાઈનની સમાનતાને લીધે, પરિણામી અપૂર્ણાંકનો અંશ બરાબર છે, અને તેનો છેદ બરાબર છે, જેનો અર્થ છે કે આ અપૂર્ણાંક પોતે બરાબર છે.

તેથી તે બહાર આવ્યું છે.

અર્થ, તેની વ્યાખ્યાના ડોમેનના દરેક વિભાગમાં સ્પર્શક વધે છે, એટલે કે, ફોર્મના તમામ અંતરાલો પર , ક્યાં એ- કોઈપણ પૂર્ણાંક.

કોટેન્જેન્ટ

કોટેન્જેન્ટસંખ્યાને આ સંખ્યાના કોસાઇન અને આ સંખ્યાના સાઇનનો ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે: . કોટેન્જેન્ટમાં કોણ એરેડિયનને સંખ્યાનો કોટેન્જેન્ટ કહેવામાં આવે છે એ. કોટેન્જેન્ટ- સંખ્યાનું કાર્ય. હર વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર- તમામ સંખ્યાઓનો સમૂહ જેની સાઈન શૂન્યની બરાબર નથી, કારણ કે કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યામાં અન્ય કોઈ પ્રતિબંધો નથી. અને ત્યારથી સાઈન શૂન્ય પર બરાબર છે, તો પછી ક્યાં

કોટેન્જેન્ટ શ્રેણી- બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ.

કોટેન્જેન્ટ સમયગાળોસમાન છેવટે, જો તમે કોઈપણ બે લો માન્ય મૂલ્યો x(સમાન નથી), દ્વારા એકબીજાથી ભિન્ન છે, અને તેમના દ્વારા એક સીધી રેખા દોરો, પછી આ સીધી રેખા કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી પસાર થશે અને અમુક બિંદુએ કોટેન્જેન્ટ્સની રેખાને છેદે છે. t. તેથી તે તારણ આપે છે કે , એટલે કે, સંખ્યા એ કોટેન્જેન્ટનો સમયગાળો છે.

ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પરના ખૂણાઓની ગણતરી.

ધ્યાન આપો!
ત્યાં વધારાના છે
વિશેષ કલમ 555 માં સામગ્રી.
જેઓ ખૂબ "ખૂબ નથી..." છે તેમના માટે
અને જેઓ "ખૂબ જ...")

તે લગભગ અગાઉના પાઠની જેમ જ છે. ત્યાં અક્ષો, એક વર્તુળ, એક કોણ છે, બધું ક્રમમાં છે. ક્વાર્ટર નંબરો (મોટા ચોરસના ખૂણામાં) ઉમેર્યા - પ્રથમથી ચોથા સુધી. જો કોઈને ખબર ન હોય તો શું? જેમ તમે જોઈ શકો છો, ક્વાર્ટર્સ (તેમને પણ કહેવામાં આવે છે એક સુંદર શબ્દ"ચતુર્ભુજ") દિશા સામે ક્રમાંકિત છે ઘડિયાળની દિશામાં. અક્ષો પર કોણ મૂલ્યો ઉમેર્યા. બધું સ્પષ્ટ છે, કોઈ સમસ્યા નથી.

અને લીલો તીર ઉમેરવામાં આવે છે. વત્તા સાથે. તેનો અર્થ શું છે? ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે કોણની નિશ્ચિત બાજુ હંમેશા હકારાત્મક અર્ધ-અક્ષ OX પર ખીલી. તેથી, જો આપણે ખૂણાની જંગમ બાજુને ફેરવીએ વત્તા સાથે તીર સાથે, એટલે કે ક્વાર્ટર નંબરોના ચડતા ક્રમમાં, કોણ હકારાત્મક ગણવામાં આવશે.ઉદાહરણ તરીકે, ચિત્ર બતાવે છે હકારાત્મક કોણ+60°.

જો આપણે ખૂણાઓને બાજુએ મૂકીએ વી વિપરીત બાજુ, ઘડિયાળની દિશામાં, કોણ નકારાત્મક ગણવામાં આવશે.તમારા કર્સરને ચિત્ર પર હૉવર કરો (અથવા તમારા ટેબ્લેટ પરના ચિત્રને સ્પર્શ કરો), તમે ઓછા ચિહ્ન સાથે વાદળી તીર જોશો. આ નકારાત્મક કોણ વાંચનની દિશા છે. ઉદાહરણ તરીકે, નકારાત્મક કોણ (- 60°) બતાવવામાં આવે છે. અને તમે એ પણ જોશો કે અક્ષો પરની સંખ્યાઓ કેવી રીતે બદલાઈ છે... મેં તેમને નકારાત્મક ખૂણામાં પણ રૂપાંતરિત કર્યા છે. ચતુર્થાંશની સંખ્યા બદલાતી નથી.

આ તે છે જ્યાં સામાન્ય રીતે પ્રથમ ગેરસમજણો શરૂ થાય છે. કેવી રીતે!? જો વર્તુળ પરનો નકારાત્મક કોણ સકારાત્મક સાથે એકરુપ હોય તો શું!? અને સામાન્ય રીતે, તે તારણ આપે છે કે ગતિશીલ બાજુની સમાન સ્થિતિ (અથવા સંખ્યા વર્તુળ પરનો બિંદુ) ને નકારાત્મક કોણ અને હકારાત્મક બંને કહી શકાય!?

હા. તે સાચું છે. ચાલો કહીએ કે 90 ડિગ્રીનો સકારાત્મક કોણ વર્તુળ પર લે છે બરાબર એ જ માઈનસ 270 ડિગ્રીના ઋણ કોણ તરીકે સ્થિતિ. હકારાત્મક કોણ, ઉદાહરણ તરીકે, +110° ડિગ્રી લે છે બરાબર એ જ નકારાત્મક કોણ તરીકે સ્થિતિ -250°.

કોઈ પ્રશ્ન નથી. કંઈપણ સાચું છે.) હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક કોણ ગણતરીની પસંદગી કાર્યની શરતો પર આધારિત છે. જો શરત કંઈ કહે નહીં સ્પષ્ટ લખાણમાં કોણની નિશાની વિશે, (જેમ કે "સૌથી નાનું નક્કી કરો હકારાત્મકકોણ", વગેરે), પછી આપણે એવા મૂલ્યો સાથે કામ કરીએ છીએ જે આપણા માટે અનુકૂળ હોય.

એક અપવાદ (અને આપણે તેમના વિના કેવી રીતે જીવી શકીએ?!) છે ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા, પરંતુ ત્યાં આપણે આ યુક્તિમાં નિપુણતા મેળવીશું.

અને હવે તમારા માટે એક પ્રશ્ન. મને કેવી રીતે ખબર પડી કે 110° કોણની સ્થિતિ -250° કોણની સ્થિતિ સમાન છે?
ચાલો હું ઇશારો કરું કે આ એક સંપૂર્ણ ક્રાંતિ સાથે જોડાયેલું છે. 360° માં... સ્પષ્ટ નથી? પછી આપણે એક વર્તુળ દોરીએ છીએ. અમે તેને કાગળ પર જાતે દોરીએ છીએ. ખૂણાને ચિહ્નિત કરવું લગભગ 110°. અને અમે વિચારીએ છીએ, સંપૂર્ણ ક્રાંતિ સુધી કેટલો સમય બાકી છે. માત્ર 250° રહેશે...

સમજાયું? અને હવે - ધ્યાન! જો ખૂણા 110° અને -250° વર્તુળ ધરાવે છે સમાન વસ્તુ પરિસ્થિતિ, પછી શું? હા, ખૂણા 110° અને -250° છે બરાબર એ જ સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ!
તે. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) અને તેથી વધુ. હવે આ ખરેખર મહત્વનું છે! અને પોતે જ, ત્યાં ઘણા બધા કાર્યો છે જ્યાં તમારે અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવાની જરૂર છે, અને ઘટાડાના સૂત્રો અને ત્રિકોણમિતિની અન્ય જટિલતાઓની અનુગામી નિપુણતા માટેના આધાર તરીકે.

અલબત્ત, મેં 110° અને -250° રેન્ડમ લીધા, કેવળ ઉદાહરણ તરીકે. આ બધી સમાનતાઓ વર્તુળ પર સમાન સ્થાન ધરાવતા કોઈપણ ખૂણાઓ માટે કાર્ય કરે છે. 60° અને -300°, -75° અને 285°, વગેરે. મને તરત જ નોંધ લેવા દો કે આ જોડીમાં કોણ છે અલગપરંતુ તેમની પાસે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો છે - સમાન

મને લાગે છે કે તમે સમજો છો કે નકારાત્મક ખૂણા શું છે. તે એકદમ સરળ છે. કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ - હકારાત્મક ગણતરી. રસ્તામાં - નકારાત્મક. કોણ હકારાત્મક કે નકારાત્મક ધ્યાનમાં લો અમારા પર નિર્ભર છે. અમારી ઈચ્છા થી. ઠીક છે, અને કાર્યમાંથી પણ, અલબત્ત... હું આશા રાખું છું કે તમે સમજી ગયા હશો કે કેવી રીતે નકારાત્મક ખૂણામાંથી હકારાત્મક ખૂણા તરફ અને ત્રિકોણમિતિના કાર્યોમાં પાછા ફરવું. એક વર્તુળ દોરો, અંદાજિત કોણ, અને જુઓ કે સંપૂર્ણ ક્રાંતિ પૂર્ણ કરવા માટે કેટલું ખૂટે છે, એટલે કે. 360° સુધી.

360° થી વધુનો ખૂણો.

ચાલો એવા ખૂણાઓ સાથે વ્યવહાર કરીએ જે 360° કરતા વધારે હોય. શું આવી વસ્તુઓ છે? અલબત્ત છે. તેમને વર્તુળ પર કેવી રીતે દોરવા? કોઈ સમસ્યા નથી! ચાલો કહીએ કે આપણે એ સમજવાની જરૂર છે કે 1000°નો ખૂણો કયા ક્વાર્ટરમાં આવશે? સરળતાથી! અમે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં એક સંપૂર્ણ વળાંક કરીએ છીએ (અમને આપેલ કોણ હકારાત્મક છે!). અમે 360° રિવાઇન્ડ કર્યું. સારું, ચાલો આગળ વધીએ! વધુ એક વળાંક - તે પહેલેથી જ 720° છે. કેટલા બાકી છે? 280°. સંપૂર્ણ વળાંક માટે તે પૂરતું નથી... પરંતુ કોણ 270° કરતાં વધુ છે - અને આ ત્રીજા અને ચોથા ક્વાર્ટર વચ્ચેની સરહદ છે. તેથી, આપણો 1000° કોણ ચોથા ક્વાર્ટરમાં આવે છે. બધા.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, તે એકદમ સરળ છે. ચાલો હું તમને ફરી એક વાર યાદ અપાવી દઉં કે કોણ 1000° છે અને કોણ 280° છે, જે આપણે "વધારા" ને કાઢી નાખીને મેળવ્યું છે. સંપૂર્ણ ક્રાંતિ- આ, કડક રીતે કહીએ તો, અલગખૂણા પરંતુ આ ખૂણાઓના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો બરાબર એ જ! તે. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280°, વગેરે. જો હું સાઈન હોત, તો મને આ બે ખૂણા વચ્ચેનો તફાવત જોવા ન મળે...

આ બધું શા માટે જરૂરી છે? શા માટે આપણે ખૂણાઓને એકથી બીજામાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે? હા, બધા એક જ વસ્તુ માટે.) અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવા માટે. અભિવ્યક્તિનું સરળીકરણ, હકીકતમાં, મુખ્ય કાર્ય શાળા ગણિત. સારું, અને, રસ્તામાં, માથું પ્રશિક્ષિત છે.)

સારું, ચાલો પ્રેક્ટિસ કરીએ?)

અમે પ્રશ્નોના જવાબ આપીએ છીએ. પહેલા સરળ.

1. -325° કોણ કયા ક્વાર્ટરમાં આવે છે?

2. 3000° કોણ કયા ક્વાર્ટરમાં આવે છે?

3. કોણ -3000° કયા ક્વાર્ટરમાં આવે છે?

કોઈ સમસ્યા છે? અથવા અનિશ્ચિતતા? વિભાગ 555, ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પ્રેક્ટિસ પર જાઓ. ત્યાં, આના પ્રથમ પાઠમાં " વ્યવહારુ કામ..." બધું વિગતવાર... માં જેમ કેઅનિશ્ચિતતાના પ્રશ્નો ન જોઈએ!

4. sin555° નું શું ચિહ્ન છે?

5. tg555° નું શું ચિહ્ન છે?

તમે નક્કી કર્યું છે? સરસ! શું તમને કોઈ શંકા છે? તમારે સેક્શન 555 પર જવાની જરૂર છે... બાય ધ વે, ત્યાં તમે ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ દોરવાનું શીખી શકશો. ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ. એક ખૂબ જ ઉપયોગી વસ્તુ.

અને હવે પ્રશ્નો વધુ સુસંસ્કૃત છે.

6. અભિવ્યક્તિ sin777° ને સૌથી નાના સકારાત્મક કોણની સાઈન સુધી ઘટાડો.

7. અભિવ્યક્તિ cos777° ને સૌથી મોટા ઋણ કોણના કોસાઇનમાં ઘટાડો.

8. અભિવ્યક્તિ cos(-777°) ને સૌથી નાના ધન કોણના કોસાઇનમાં ઘટાડો.

9. અભિવ્યક્તિ sin777° ને સૌથી મોટા ઋણ કોણની સાઈન સુધી ઘટાડી દો.

શું, 6-9 પ્રશ્નો તમને મૂંઝવણમાં મૂકે છે? તેની આદત પાડો, યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામમાં તમને આવા ફોર્મ્યુલેશન જોવા નહીં મળે... તો તે બનો, હું તેનો અનુવાદ કરીશ. ફક્ત તમારા માટે!

"એક અભિવ્યક્તિ લાવવા..." શબ્દોનો અર્થ અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરવાનો છે જેથી તેનો અર્થ થાય બદલાયો નથીએ દેખાવસોંપણી અનુસાર બદલાઈ. તેથી, કાર્યો 6 અને 9 માં આપણે એક સાઈન મેળવવી જોઈએ, જેની અંદર છે સૌથી નાનો હકારાત્મક કોણ.બાકી બધું વાંધો નથી.

હું ક્રમમાં જવાબો આપીશ (અમારા નિયમોનું ઉલ્લંઘન કરીને). પરંતુ શું કરવું, ત્યાં ફક્ત બે ચિહ્નો છે, અને ત્યાં ફક્ત ચાર ક્વાર્ટર છે... તમે પસંદગી માટે બગડશો નહીં.

6. sin57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -sin(-57°)

હું માનું છું કે 6-9 પ્રશ્નોના જવાબો કેટલાક લોકોને મૂંઝવણમાં મૂકે છે. ખાસ કરીને -પાપ(-57°), ખરેખર?) ખરેખર, માં પ્રાથમિક નિયમોખૂણાઓની ગણતરી કરતી વખતે ભૂલો માટે જગ્યા હોય છે... તેથી જ મારે એક પાઠ કરવો પડ્યો: "ફંક્શનના ચિહ્નો કેવી રીતે નક્કી કરવા અને ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પર કોણ લાવવા?" વિભાગ 555 માં. કાર્યો 4 - 9 ત્યાં આવરી લેવામાં આવ્યા છે. સારી રીતે છટણી કરેલ, તમામ મુશ્કેલીઓ સાથે. અને તેઓ અહીં છે.)

આગળના પાઠમાં આપણે રહસ્યમય રેડિયન અને નંબર "Pi" સાથે વ્યવહાર કરીશું. ચાલો શીખીએ કે ડિગ્રીને રેડિયનમાં અને તેનાથી વિપરીત કેવી રીતે સરળતાથી અને યોગ્ય રીતે કન્વર્ટ કરવી. અને અમને એ જાણીને આશ્ચર્ય થશે કે સાઇટ પરની આ મૂળભૂત માહિતી પહેલેથી જ પૂરતું કેટલીક વૈવિધ્યપૂર્ણ ત્રિકોણમિતિ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે!

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.