Konsep fungsi autokorelasi sinyal . Fungsi autokorelasi (CF - fungsi korelasi) dari sinyal s(t), energinya terbatas, adalah karakteristik integral kuantitatif dari bentuk sinyal, yang mengidentifikasi dalam sinyal sifat dan parameter hubungan temporal timbal balik sampel, yang selalu terjadi untuk sinyal periodik, serta interval dan derajat ketergantungan nilai pembacaan momen saat ini waktu dari prasejarah saat ini. ACF ditentukan oleh integral hasil kali dua salinan sinyal s(t), yang digeser relatif satu sama lain dengan waktu :

B s () =s(t) s(t+) dt = ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)|| ||s(t+)|| karena ().

(6.1.1)

Sebagai berikut dari ekspresi ini, ACF adalah produk skalar dari sinyal dan salinannya dalam ketergantungan fungsional pada nilai variabel dari nilai pergeseran . Dengan demikian, ACF memiliki dimensi fisik energi, dan pada  = 0 nilai ACF secara langsung sama dengan energi sinyal dan merupakan maksimum yang mungkin (kosinus sudut interaksi sinyal dengan dirinya sendiri adalah 1 ): B s (0) =

s(t) 2 dt = E s .

ACF mengacu pada fungsi genap, yang mudah diverifikasi dengan mengganti variabel t = t- dalam ekspresi (6.1.1): B s () =

s(t-) s(t) dt = B s (-). ACF maksimum, sama dengan energi

sinyal pada =0 selalu positif, dan modul ACF pada nilai pergeseran waktu berapa pun tidak melebihi energi sinyal. Yang terakhir ini mengikuti langsung sifat-sifat produk skalar (seperti halnya pertidaksamaan Cauchy-Bunyakovsky):

ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+||cos (),

cos () = 1 pada  = 0, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t)|| = E s ,< 1 при   0, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+)||cos () < E s .

karena ()
amplitudo pulsa persegi panjang, sedangkan energi sinyal juga akan sama, yang dikonfirmasi oleh nilai yang sama dari maksimum pusat ACF. Untuk durasi pulsa berhingga, durasi ACF juga berhingga, dan sama dengan dua kali durasi pulsa (ketika salinan pulsa berhingga digeser dengan interval durasinya ke kiri dan ke kanan, hasil kali pulsa dengan salinannya menjadi sama dengan nol). Frekuensi osilasi ACF pulsa radio sama dengan frekuensi osilasi pengisian pulsa radio (minima dan maxima lateral ACF terjadi setiap kali salinan pulsa radio digeser secara berurutan sebanyak setengah periode osilasi pengisiannya).

Mengingat paritas, representasi grafis ACF biasanya dilakukan hanya untuk nilai positif . Dalam praktiknya, sinyal biasanya ditentukan dalam interval nilai argumen positif dari 0-T. Tanda + pada ekspresi (6.1.1) berarti bahwa ketika nilai  meningkat, salinan sinyal s(t+) bergeser ke kiri sepanjang sumbu t dan melampaui 0. Untuk sinyal digital, ini memerlukan perluasan data yang sesuai ke wilayah tersebut nilai-nilai negatif argumen. Dan karena selama perhitungan, interval tugas  biasanya besar kurang dari interval menentukan sinyal, maka lebih praktis untuk menggeser salinan sinyal ke kiri sepanjang sumbu argumen, yaitu. menggunakan fungsi s(t-) sebagai pengganti s(t+) pada ekspresi (6.1.1).

B s () = s(t) s(t-)dt. (6.1.1")

Untuk sinyal berhingga, seiring dengan meningkatnya nilai pergeseran , tumpang tindih sementara sinyal dengan salinannya berkurang, dan karenanya, kosinus sudut interaksi dan produk skalar secara keseluruhan cenderung nol:

= 0.

ACF yang dihitung dari nilai sinyal terpusat s(t) adalah autokovarians fungsi sinyal:

C s () = dt, (6.1.2)

dimana  s adalah nilai sinyal rata-rata. Fungsi kovarians berhubungan dengan fungsi korelasi melalui hubungan yang cukup sederhana:

C s () = B s () -  s 2 .

ACF sinyal terbatas waktu. Dalam praktiknya, sinyal yang diberikan pada interval tertentu biasanya dipelajari dan dianalisis. Untuk membandingkan ACF sinyal yang ditentukan pada interval waktu yang berbeda, modifikasi ACF dengan normalisasi panjang interval dapat diterapkan secara praktis. Jadi, misalnya, saat menentukan sinyal pada suatu interval:

ACF mengacu pada fungsi genap, yang mudah diverifikasi dengan mengganti variabel t = t- dalam ekspresi (6.1.1):
s(t) s(t+)dt. (6.1.3)

ACF juga dapat dihitung untuk sinyal teredam lemah dengan energi tak terbatas, sebagai nilai rata-rata produk skalar sinyal dan salinannya ketika interval pengaturan sinyal cenderung tak terhingga:

B s () 
. (6.1.4)

ACF menurut ekspresi ini memiliki dimensi kekuatan fisik, dan sama dengan kekuatan timbal balik rata-rata dari sinyal dan salinannya, bergantung secara fungsional pada pergeseran salinan.

ACF sinyal periodik. Energi sinyal periodik tidak terbatas, oleh karena itu ACF sinyal periodik dihitung selama satu periode T, rata-rata produk skalar sinyal dan salinannya yang bergeser dalam periode tersebut:

B s () = (1/T) s(t) s(t-)dt. (6.1.5)

Ekspresi matematis yang lebih teliti:

B s () 
.

Pada =0, nilai ACF yang dinormalisasi ke periode sama dengan daya rata-rata sinyal dalam periode tersebut. Dalam hal ini, ACF sinyal periodik adalah fungsi periodik dengan periode T yang sama. Jadi, untuk sinyal s(t) = A cos( 0 t+ 0) pada T=2/ 0 kita mempunyai:

ACF mengacu pada fungsi genap, yang mudah diverifikasi dengan mengganti variabel t = t- dalam ekspresi (6.1.1):
A cos( 0 t+ 0) A cos( 0 (t-)+ 0) = (A 2 /2) cos( 0 ).

sinyal harmonik, yang khas untuk setiap sinyal periodik dan merupakan salah satu sifat ACF. Dengan menggunakan fungsi autokorelasi, Anda dapat memeriksa properti periodik dalam sinyal arbitrer apa pun. Contoh fungsi autokorelasi sinyal periodik ditunjukkan pada Gambar. 6.1.2. Fungsi autokovarians (ACF)

dihitung dengan cara yang sama, menggunakan nilai sinyal terpusat. Fitur luar biasa dari fungsi-fungsi ini adalah hubungannya yang sederhana dengan dispersi  s 2 sinyal (kuadrat standar adalah deviasi standar nilai sinyal dari nilai rata-rata). Seperti diketahui, nilai dispersi sama dengan rata-rata daya sinyal, yaitu sebagai berikut:

|C s ()| ≤  s 2 , C s (0) =  s 2  ||s(t)|| 2.

(6.1.7)

Nilai FAC yang dinormalisasi ke nilai varians merupakan fungsi dari koefisien autokorelasi:

 s () = C s ()/C s (0) = C s ()/ s 2  cos ). (6.1.8) dalam sinyal. Kebisingan pada sinyal s1(k) mengurangi amplitudo osilasi periodik tanpa mengubah periode. Hal ini dibuktikan dengan grafik kurva C s / s 1 yaitu. FAC dari sinyal s(k) dengan normalisasi (untuk perbandingan) dengan nilai dispersi sinyal s1(k), di mana terlihat jelas bahwa pulsa kebisingan, dengan independensi statistik lengkap dari pembacaannya, menyebabkan peningkatan nilai C s1 (0) relatif terhadap nilai C s ( 0) dan agak “mengaburkan” fungsi koefisien autokovarians. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa nilai  s () sinyal noise cenderung 1 pada   0 dan berfluktuasi sekitar nol pada  ≠ 0, sedangkan amplitudo fluktuasi tidak bergantung pada statistik dan bergantung pada jumlah sampel sinyal ( mereka cenderung nol seiring bertambahnya jumlah sampel).

ACF sinyal diskrit. Dengan interval pengambilan sampel data t = const, perhitungan ACF dilakukan pada interval  = t dan biasanya ditulis sebagai fungsi diskrit dari bilangan n dari pergeseran sampel n:

B s (nt) = t s k s k-n .

(6.1.9)

Sinyal diskrit biasanya ditentukan dalam bentuk array numerik dengan panjang tertentu dengan penomoran sampel k = 0,1,...K pada t=1, dan perhitungan ACF diskrit dalam satuan energi dilakukan dalam versi satu sisi , dengan mempertimbangkan panjang array. Jika seluruh array sinyal digunakan dan jumlah sampel ACF sama dengan jumlah sampel array, maka perhitungan dilakukan sesuai rumus:
B s (n) =

s k s k-n .

(6.1.10)

Sinyal diskrit biasanya ditentukan dalam bentuk array numerik dengan panjang tertentu dengan penomoran sampel k = 0,1,...K pada t=1, dan perhitungan ACF diskrit dalam satuan energi dilakukan dalam versi satu sisi , dengan mempertimbangkan panjang array. Jika seluruh array sinyal digunakan dan jumlah sampel ACF sama dengan jumlah sampel array, maka perhitungan dilakukan sesuai rumus: Pengganda K/(K-n) dalam fungsi ini merupakan faktor koreksi penurunan bertahap jumlah nilai yang dikalikan dan dijumlahkan seiring bertambahnya pergeseran n. Tanpa koreksi untuk sinyal yang tidak terpusat ini, tren penjumlahan nilai rata-rata akan muncul pada nilai ACF. Saat mengukur dalam satuan daya sinyal, pengali K/(K-n) diganti dengan pengali 1/(K-n).< 0, (6.1.11)

Rumus (6.1.10) jarang digunakan, terutama untuk sinyal deterministik dengan jumlah sampel yang sedikit. Untuk sinyal acak dan berisik, penurunan penyebut (Kn) dan jumlah sampel yang dikalikan seiring dengan peningkatan pergeseran menyebabkan peningkatan fluktuasi statistik dalam perhitungan ACF. Keandalan yang lebih besar dalam kondisi ini diperoleh dengan menghitung ACF dalam satuan daya sinyal menggunakan rumus: s k s k-n , s k-n = 0 di k-n itu. dengan normalisasi ke faktor konstan 1/K dan dengan ekstensi sinyal dengan nilai nol (in sisi kiri saat menggunakan shift k+n). Perkiraan ini bias dan memiliki dispersi yang sedikit lebih kecil dibandingkan menurut rumus (6.1.10). Perbedaan normalisasi menurut rumus (6.1.10) dan (6.1.11) terlihat jelas pada Gambar. 6.1.4.

Rumus (6.1.11) dapat dianggap sebagai rata-rata jumlah produk, yaitu. sebagai perkiraan ekspektasi matematis:

B s (n) = M(s k s k - n ) 
. (6.1.12)

Dalam prakteknya, ACF diskrit memiliki sifat yang sama dengan ACF kontinu. Ia juga genap, dan nilainya pada n = 0 sama dengan energi atau daya sinyal diskrit, bergantung pada normalisasinya.

ACF dari sinyal bising . Sinyal bising ditulis sebagai jumlah v(k) = s(k)+q(k). DI DALAM kasus umum, kebisingan tidak harus memiliki mean nol, dan fungsi autokorelasi yang dinormalisasi daya sinyal digital, yang berisi N – sampel, ditulis dalam bentuk berikut:

B v (n) = (1/N) s(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n) =

= (1/N) [s(k), s(k-n) + s(k), q(k-n) + q(k), s(k-n) + q(k), q (k-n)] =

B s (n) + M(s k q k-n ) + M(q k s k-n ) + M(q k q k-n ).

B v (n) = B s (n) +
+
+
. (6.1.13)

Dengan independensi statistik dari sinyal yang berguna s(k) dan noise q(k) dengan mempertimbangkan perluasan ekspektasi matematis

M(s k q k-n ) = M(s k ) M(q k-n ) =

rumus berikut dapat digunakan:

B v (n) = B s (n) + 2 + . (6.1.13")

Dari rumus (6.1.13) dapat disimpulkan bahwa ACF sinyal bising terdiri dari ACF komponen sinyal sinyal berguna dengan komponen redaman yang ditumpangkan hingga nilai 2 +fungsi kebisingan. Pada nilai-nilai besar K kapan → 0, B v (n)  B s (n) berlaku. Hal ini memungkinkan tidak hanya untuk mengidentifikasi sinyal periodik dari ACF, yang hampir seluruhnya tersembunyi dalam kebisingan (kekuatan kebisingan jauh lebih besar daripada kekuatan sinyal), tetapi juga untuk menentukan periode dan bentuknya dalam periode tersebut dengan akurasi tinggi, dan untuk sinyal harmonik frekuensi tunggal, amplitudonya menggunakan ekspresi (6.1.6).

Tabel 6.1.

Masalah analisis korelasi muncul di radar ketika diperlukan untuk membandingkan sinyal identik yang bergeser dalam waktu.

Untuk mengukur tingkat perbedaan antara sinyal dan salinannya yang mengalami pergeseran waktu
Merupakan kebiasaan untuk memperkenalkan fungsi autokorelasi (ACF) dari sinyal yang sama dengan produk skalar sinyal dan salinannya yang bergeser.

(4.1)

properti ACF

1) Kapan
fungsi autokorelasi menjadi sama dengan energi sinyal:

(4.2)

2) ACF – fungsi genap

(4.3)

3) Sifat penting dari fungsi autokorelasi adalah sebagai berikut: untuk setiap nilai pergeseran waktu modul ACF tidak melebihi energi sinyal:

4) Biasanya ACF diwakili oleh garis simetris dengan maksimum pusat yang selalu positif. Selain itu, bergantung pada jenis sinyalnya, fungsi autokorelasi dapat bersifat menurun atau berosilasi secara monoton.

Ada hubungan erat antara ACF dan spektrum energi sinyal.

Sesuai dengan rumus (4.1), ACF adalah hasil kali skalar
. Ini simbolnya menunjukkan salinan sinyal yang bergeser waktu
.

Beralih ke teorema Plancherel, kita dapat menulis persamaannya:

(4.4) Jadi, kita sampai pada hasilnya

(4.5)

Modul persegi kepadatan spektral mewakili spektrum energi sinyal. Jadi spektrum energi dan fungsi autokorelasi dihubungkan oleh sepasang transformasi Fourier.

Jelas bahwa ada juga hubungan terbalik

(4.6)

Hasil ini pada dasarnya penting karena dua alasan: pertama, dimungkinkan untuk mengevaluasi sifat korelasi sinyal berdasarkan distribusi energinya pada spektrum. Kedua, rumus (4.5), (4.6) menunjukkan cara menentukan spektrum energi secara eksperimental. Seringkali lebih mudah untuk memperoleh ACF terlebih dahulu, dan kemudian, dengan menggunakan transformasi Fourier, mencari spektrum energi sinyal. Teknik ini banyak digunakan ketika mempelajari sifat-sifat sinyal menggunakan komputer berkecepatan tinggi secara real time.

Parameter numerik yang mudah digunakan sering diperkenalkan - interval korelasi, yang merupakan perkiraan lebar lobus utama ACF.

9.. Fungsi korelasi silang dan sifat-sifatnya. Hubungan antara fungsi korelasi silang dan spektrum energi timbal balik.

Fungsi korelasi silang dari dua sinyal

Fungsi korelasi silang (ICF) dari dua sinyal nyata adalah produk skalar dalam bentuk:

(4.8)

TCF berfungsi sebagai ukuran “stabilitas” keadaan ortogonal ketika sinyal bergeser seiring waktu.

Saat sinyal-sinyal ini melewati berbagai perangkat, ada kemungkinan bahwa sinyal tersebut akan bergeser relatif terhadap sinyal untuk beberapa waktu .

Properti VKF.

1) Berbeda dengan ACF dari sinyal tunggal, CCF, yang menggambarkan sifat-sifat sistem dua sinyal independen, bukanlah fungsi genap dari argumennya. :

(4.9)

2) Jika sinyal yang dipertimbangkan mempunyai energi yang terbatas, maka CCFnya terbatas.

3) Pada
nilai VCF tidak harus mencapai maksimal.

Contoh CCF adalah fungsi korelasi silang pulsa video persegi panjang dan segitiga.

Berdasarkan teorema Plancherel

kita dapatkan

(4.11)

Dengan demikian, fungsi korelasi silang dan spektrum energi timbal balik dihubungkan satu sama lain melalui sepasang transformasi Fourier.

Fungsi autokorelasi. Korelogram.

Jika terdapat tren dan perubahan siklus dalam suatu deret waktu, maka nilai level deret selanjutnya bergantung pada deret sebelumnya. Ketergantungan antara tingkat-tingkat yang berurutan dalam suatu deret waktu disebut autokorelasi tingkat-tingkat deret.

Hal ini dapat diukur secara kuantitatif dengan menggunakan indeks korelasi antara tingkat deret waktu asli dan tingkat deret waktu yang digeser beberapa langkah dalam waktu.

Biarkan deret waktu diberikan: kamu, kamu,…kamu dan biarkan itu terjadi korelasi linier di antara kamu t Dan kamu t -1.

Mari kita tentukan koefisien korelasi antar deret tersebut kamu t Dan kamu t -1.

Untuk ini kami akan menggunakan rumus berikut:

Datar x j = kamu t -1 , kamu j = kamu t -1 , kita dapatkan

(5.1)

Koefisien autokorelasi orde kedua dan lebih tinggi ditentukan dengan cara yang sama. Dengan demikian, koefisien autokorelasi orde 2 mencirikan kedekatan hubungan antar level pada Dan pada dan ditentukan oleh rumus:

(5.2)

Urutan tingkat deret autokorelasi disebut lag.

Untuk rumus (5.1) lag sama dengan satu, untuk (5.3) – dua.

Urutan koefisien autokorelasi tingkat pertama, kedua, dst. pesanan disebut fungsi autokorelasi deret waktu (ACF).

Grafik ketergantungan nilainya terhadap nilai lag disebut korelogram.

ACF dan korelogram memungkinkan untuk menentukan lag di mana autokorelasi paling tinggi, dan akibatnya, lag di mana hubungan antara level saat ini dan sebelumnya dari rangkaian tersebut paling dekat, yaitu. dengan bantuan mereka Anda dapat mengungkapkan struktur rangkaian.

Disarankan untuk menggunakan koefisien autokorelasi dan ACF untuk mengidentifikasi ada tidaknya komponen tren dan komponen siklis dalam suatu deret waktu:

jika koefisien autokorelasi orde 1 ternyata paling tinggi, maka deret yang diteliti hanya memuat tren;

jika koefisien autokorelasi orde ke-k ternyata paling tinggi, maka deret tersebut mengandung fluktuasi siklik dengan periodisitas waktu k;

jika tidak ada koefisien yang signifikan, maka salah satu dari dua asumsi dapat dibuat mengenai struktur deret ini: deret tersebut tidak mengandung tren dan perubahan siklus dan memiliki struktur yang mirip dengan struktur deret yang ditunjukkan pada Gambar. 5.1c , atau rangkaian tersebut berisi tren nonlinier kuat yang memerlukan analisis tambahan untuk mengidentifikasinya.

49. Model regresi umum. Metode umum kuadrat terkecil. teorema Aitken

Saat membangun model, misalnya model linier

Y = a + b 1 * x 1 + b 2 * x 2 +… + b p * x p + ε (59.1)

variabel acak mewakili kuantitas yang tidak dapat diamati. Untuk spesifikasi model yang berbeda, perbedaan antara nilai teoretis dan aktual mungkin berbeda. Untuk tugas analisis regresi tidak hanya mencakup konstruksi model itu sendiri, tetapi juga penelitian penyimpangan acak saya yaitu. nilai sisa. Setelah membuat persamaan regresi, kami memeriksa apakah estimasi  saya memiliki sifat tertentu. Properti estimasi yang diperoleh OLS ini sangat penting. signifikansi praktis dalam menggunakan hasil regresi dan korelasi.

Koefisien regresi b saya ditemukan berdasarkan sistem persamaan biasa dan mewakili perkiraan selektif mengenai karakteristik kekuatan sambungan, harus mempunyai sifat tidak bias. Estimasi yang tidak bias berarti demikian harapan matematis sisanya adalah nol.

Artinya parameter regresi yang ditemukan b i dapat dianggap sebagai nilai rata-rata nilai yang mungkin koefisien regresi dengan estimasi sisa yang tidak bias.

Untuk tujuan praktis, tidak hanya estimasi yang tidak bias saja yang penting, namun juga efisiensi estimasi. Estimasi dianggap efektif jika memiliki variansi yang paling kecil.

Untuk interval kepercayaan parameter regresinya nyata, maka estimasinya harus konsisten. Konsistensi estimasi ditandai dengan peningkatan akurasi seiring bertambahnya ukuran sampel.

Studi residu  i melibatkan pengujian keberadaan lima prasyarat OLS berikut:

sifat acak dari sisa-sisa;

nilai rata-rata nol dari residu, tidak bergantung pada x i;

homoskedastisitas—dispersi setiap deviasi  i adalah sama untuk semua nilai x;

tidak adanya autokorelasi residu. Nilai residu  i didistribusikan secara independen satu sama lain;

residunya mengikuti distribusi normal.

Jika distribusi residu acak  i tidak memenuhi beberapa asumsi OLS, maka model harus disesuaikan.

Pertama-tama, sifat acak dari residu  i diperiksa.

Jika garis horizontal dari distribusi residu diperoleh pada grafik, maka residu adalah variabel acak dan metode kuadrat terkecil dapat dibenarkan; nilai teoritis y x mendekati nilai sebenarnya dari y.

Kasus-kasus berikut mungkin terjadi: jika  saya . tergantung pada y x maka:

sisa  saya . tidak acak

sisa  saya . tidak memiliki dispersi yang konstan

sisa  saya . bersifat sistematis

Dalam kasus ini, Anda harus menggunakan fungsi lain atau masuk informasi tambahan dan membangun kembali persamaan regresi hingga residu  i adalah variabel acak.

Premis kedua berarti persamaan dengan nol ukuran rata-rata saldo:

. (59.2)

Premis ketiga OLS mengharuskan varians dari residu bersifat homoskedastis. Artinya untuk setiap nilai faktor x j residu  i mempunyai varians yang sama. Jika syarat penggunaan OLS ini tidak terpenuhi maka terjadi heteroskedastisitas.

50. Kuadrat Terkecil Umum yang Dapat Diakses

Metode kuadrat terkecil. Beberapa tipe model regresi yang lebih umum dibahas di bagian Tipe dasar model nonlinier. Setelah suatu model dipilih, pertanyaan yang muncul adalah: bagaimana model tersebut dapat dievaluasi? Jika Anda sudah familiar dengan metodenya regresi linier(dijelaskan di bagian Regresi berganda) atau analisis varians (dijelaskan di bagian Analisis varians), maka Anda tahu bahwa semua metode ini menggunakan estimasi kuadrat terkecil. Ide utama dari metode ini adalah untuk meminimalkan jumlah deviasi kuadrat dari nilai observasi variabel dependen dari nilai yang diprediksi oleh model. (Istilah kuadrat terkecil pertama kali digunakan dalam karya Legendre, 1805.)
Metode kuadrat terkecil tertimbang. Metode ketiga yang paling umum, selain metode kuadrat terkecil dan penggunaan modul jumlah deviasi untuk memperkirakan (lihat di atas), adalah metode kuadrat terkecil tertimbang. Metode reguler kuadrat terkecil mengasumsikan bahwa penyebaran residu adalah sama untuk semua nilai variabel independen. Dengan kata lain, diasumsikan bahwa varians kesalahan untuk semua pengukuran adalah sama. Seringkali asumsi ini tidak realistis. Secara khusus, penyimpangan darinya ditemukan dalam bisnis, ekonomi, dan aplikasi dalam biologi (perhatikan bahwa estimasi parameter menggunakan metode kuadrat terkecil tertimbang juga dapat diperoleh dengan menggunakan modul Regresi Berganda).

Misalnya, Anda ingin mempelajari hubungan antara perkiraan biaya pembangunan sebuah gedung dan jumlah uang yang sebenarnya dikeluarkan. Hal ini mungkin berguna dalam memperoleh perkiraan perkiraan pembengkakan biaya. Dalam hal ini, masuk akal untuk berasumsi demikian nilai mutlak pembengkakan biaya (dinyatakan dalam dolar) sebanding dengan biaya proyek. Oleh karena itu, untuk memilih linier model regresi metode kuadrat terkecil tertimbang harus digunakan. Fungsi kerugian dapat berupa, misalnya, seperti ini (lihat Neter, Wasserman, dan Kutner, 1985, hal. 168):

Kerugian = (diamati-diprediksi) 2 * (1/x 2)

Dalam persamaan ini, bagian pertama dari fungsi kerugian berarti fungsi standar kerugian untuk metode kuadrat terkecil (diamati dikurangi kuadrat prediksi; yaitu kuadrat residu), dan yang kedua sama dengan “bobot” kerugian ini dalam setiap kasus - satu dibagi kuadrat variabel independen (x ) untuk setiap pengamatan. Dalam situasi estimasi nyata, program akan menjumlahkan nilai fungsi kerugian pada semua observasi (misalnya, proyek desain), seperti dijelaskan di atas, dan memilih parameter yang meminimalkan jumlah tersebut. Kembali ke contoh yang dipertimbangkan, apa lebih banyak proyek(x), semakin kecil arti kesalahan yang sama dalam memperkirakan nilainya bagi kita. Metode ini menghasilkan estimasi yang lebih kuat untuk parameter regresi (untuk lebih rinci, lihat Neter, Wasserman, dan Kutner. 1985).

51. Tes makanan

Uji statistik formal untuk mengevaluasi model tren deret waktu yang diberikan perubahan struktural disarankan oleh Gregory Chow*. Penerapan tes ini melibatkan penghitungan parameter persamaan tren. Mari kita perkenalkan sistem notasi yang diberikan pada Tabel.

Tabel 3 – Legenda untuk algoritma uji Chow

Misalkan hipotesis H0 menegaskan stabilitas struktural tren deret waktu yang sedang dipelajari. Jumlah sisa kuadrat menurut model linier sepotong-sepotong (C cl ost) dapat dicari sebagai jumlah dari C 1 ost dan C 2 ost

C cl ost = C 1 ost + C 2 ost (62.1)

Jumlah derajat kebebasan yang sesuai adalah:

(n 1 - k 1) + (n 2 – k 2) = n – k 1 - k 2 (62.2)

Lalu pengurangannya varians sisa saat mentransisikan persamaan tren tunggal ke model linier sepotong-sepotong, tentukan sebagai berikut:

DC ost = C 3 ost - C ost (62,3)

Banyaknya derajat kebebasan yang sesuai dengan DC dengan memperhatikan hubungan (23) adalah:

n – k 3 - (n – n 1 – k 2) = k 1 + k 2 - k 3 (62.4)

Kemudian sesuai dengan teknik G. Chow ditemukan G. Chow nilai sebenarnya Uji-F untuk varians berikut per derajat kebebasan variasi:

(62.5)

Nilai fakta F yang ditemukan dibandingkan dengan tabel satu (tabel distribusi Fisher untuk tingkat signifikansi α ‚ dan banyaknya derajat kebebasan (k 1 + k 2 – k 3) dan (n - k 1 - k 2)

Jika F fakta > F tabel, maka hipotesis tentang stabilitas struktural tren ditolak, dan pengaruh perubahan struktural terhadap dinamika indikator yang diteliti dianggap signifikan. Dalam hal ini, pemodelan tren deret waktu sebaiknya dilakukan dengan menggunakan model linier sepotong-sepotong. Jika

F fakta< F табл то нулевая гипотеза структурной стабильности тенденции не отвергается. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

Fitur tes Chow.

1. Jika banyaknya parameter pada semua persamaan pada Tabel 3 (1), (2), (3) sama dan sama dengan k, maka rumus (56) disederhanakan:

(62.6)

2. Uji Chow memungkinkan seseorang untuk menarik kesimpulan tentang ada tidaknya stabilitas struktur pada deret waktu yang diteliti. Jika F adalah fakta< F табл, то это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их пара метров а 1 и а 2 , а также b 1 и b 2 соответственно статистически не значимы. Если же F факт >F tabel maka hipotesis stabilitas struktural ditolak yang berarti perbedaan estimasi parameter persamaan (1) dan (2) signifikan secara statistik.

H. Penerapan uji Chow mengasumsikan bahwa prasyarat untuk distribusi normal residu dalam persamaan (1) dan (2) dan independensi distribusinya.

Jika hipotesis tentang stabilitas struktural tren dalam seri y ditolak, analisis lebih lanjut dapat dilakukan dengan menyelidiki pertanyaan tentang alasan mengapa hal ini terjadi. perbedaan struktural dan lebih banyak lagi yang mempelajari sifat perubahan tren. DI DALAM notasi yang diterima Alasan-alasan inilah yang menentukan perbedaan estimasi parameter persamaan (1) dan (2).

Kombinasi perubahan estimasi numerik berikut dari parameter persamaan ini dimungkinkan:

Perubahan perkiraan numerik anggota bebas Persamaan tren sebuah 2 dibandingkan dengan a 1 asalkan perbedaannya b 1 Dan b 2 secara statistik tidak signifikan. Secara geometris berarti garis (1) (2) sejajar. Ada perubahan mendadak pada level seri T, pada saat itu T‚ dan pertumbuhan absolut rata-rata yang konstan untuk periode tersebut;

Mengubah estimasi numerik suatu parameter b 2 dibandingkan dengan b 1 asalkan perbedaan antara angka 1 dan angka 2 tidak signifikan secara statistik. Secara geometris berarti garis (1) dan (2) memotong sumbu koordinat di satu titik. Perubahan tren terjadi melalui perubahan rata-rata kenaikan absolut dalam deret waktu, dimulai dari momen waktu T‚ dengan tingkat awal rangkaian yang konstan pada saat itu T=0

Perubahan estimasi numerik parameter a 1 dan a 2, serta b 1 Dan b 2. Hal ini tercermin pada grafik dengan perubahannya tingkat masuk dan rata-rata untuk periode pertumbuhan absolut

Ketergantungan periodik adalah tipe umum komponen deret waktu. Dapat dengan mudah dilihat bahwa setiap observasi sangat mirip dengan observasi tetangganya; Selain itu, terdapat komponen periodik berulang, artinya setiap observasi juga serupa dengan observasi yang terjadi pada waktu yang sama pada periode yang lalu. Secara keseluruhan, ketergantungan periodik secara formal dapat didefinisikan sebagai ketergantungan korelasi pesan k di antara masing-masing elemen ke-i deret dan elemen ke (i-k). Hal ini dapat diukur dengan menggunakan autokorelasi (yaitu korelasi antara suku-suku deret itu sendiri); k biasanya disebut lag (terkadang digunakan istilah yang setara: shift, delay). Jika kesalahan pengukuran tidak terlalu besar, maka periodisitas dapat ditentukan secara visual dengan memeriksa perilaku anggota deret setiap k satuan waktu.

Komponen periodik suatu deret waktu dapat ditemukan dengan menggunakan korelogram. Korelogram (autokorelogram) menunjukkan fungsi autokorelasi (ACF) secara numerik dan grafis, dengan kata lain, koefisien autokorelasi untuk rangkaian lag dari rentang tertentu. Korelogram biasanya menunjukkan kisaran dua kesalahan standar pada setiap lag, namun biasanya besaran autokorelasi lebih menarik daripada keandalannya karena sebagian besar autokorelasi sangat kuat yang menjadi perhatian.

Saat mempelajari korelogram, harus diingat bahwa autokorelasi dari lag yang berurutan secara formal bergantung satu sama lain. Mari kita pertimbangkan contoh selanjutnya. Jika anggota pertama suatu deret berkerabat dekat dengan anggota kedua, dan anggota kedua dengan anggota ketiga, maka elemen pertama juga harus bergantung pada anggota ketiga, dan seterusnya. Hal ini mengarah pada fakta bahwa ketergantungan periodik dapat berubah secara signifikan setelah autokorelasi orde pertama dihilangkan (yaitu setelah mengambil selisih dengan lag 1).

Tujuan pekerjaan:

1. Memberikan informasi teoritis dasar

2. Berikan contoh penghitungan ACF

Bab 1. Informasi teoritis

Koefisien autokorelasi dan penilaiannya

Untuk karakteristik penuh proses acak ekspektasi matematis dan variansnya saja tidak cukup. Pada tahun 1927, E.E. Slutsky memperkenalkan konsep “deret terkait” untuk observasi dependen: probabilitas terjadinya hal-hal tertentu nilai-nilai tertentu tergantung pada nilai apa yang telah diterima variabel acak sebelumnya atau akan diterima nanti. Dengan kata lain, terdapat bidang hamburan pasangan nilai x(t), x(t+k) dari deret waktu, di mana k adalah interval atau penundaan konstan, yang mencirikan saling ketergantungan implementasi proses selanjutnya dari yang sebelumnya. Kedekatan hubungan ini dinilai dengan koefisien autokovarians –

g (k) = E[(x(t) - m)(x(t + k) - m)] –

dan autokorelasi

r (k) = E[(x(t) - m)(x(t + k) - m)] / D ,

dimana m dan D adalah ekspektasi matematis dan varians dari proses acak. Untuk menghitung autokovarians dan autokorelasi proses nyata, informasi tentang distribusi bersama probabilitas level-level deret p(x(t 1),x(t 2)). Namun, untuk proses stasioner yang berada dalam kesetimbangan statistik tertentu, distribusi probabilitas ini sama untuk semua waktu t 1, t 2 dipisahkan oleh interval yang sama. Sejak varians proses stasioner setiap saat (baik pada t maupun t + k) sama dengan D = g(0), maka autokorelasi dengan penundaan k dapat dinyatakan sebagai

r(k) = g(k)/g(0),

maka r (0) = 1. Pada kondisi stasioneritas yang sama, koefisien korelasi r (k) antara dua nilai suatu deret waktu hanya bergantung pada nilai selang waktu k dan tidak bergantung pada nilai interval waktu k. momen pengamatan itu sendiri.

Ada beberapa perkiraan sampel dalam statistik nilai-nilai teoritis autokorelasi r(k) suatu proses selama serangkaian waktu terbatas yang terdiri dari n observasi. Estimasi yang paling populer adalah koefisien autokorelasi non-siklik dengan lag k (Anderson, 1976; Vainu, 1977):

Yang paling penting dari berbagai koefisien autokorelasi adalah yang pertama - r 1, yang mengukur kedekatan hubungan antara level x(1), x(2),..., x(n -1) dan x(2) , x(3), .. ., x(n).

Distribusi koefisien autokorelasi tidak diketahui, sehingga terkadang digunakan untuk menilai keandalannya. teori nonparametrik Anderson (1976), yang mengusulkan statistik

t = r 1 (n -1) 0,5 ,

yang dengan cukup sampel besar terdistribusi normal, mempunyai mean dan varians nol, sama dengan satu(Tintner, 1965).

Fungsi autokorelasi

Barisan koefisien korelasi r k, dimana k = 1, 2, ..., n, sebagai fungsi interval k antar pengamatan disebut fungsi autokorelasi (ACF).

Jenis fungsi autokorelasi sampel berkaitan erat dengan struktur deretnya.

· Fungsi autokorelasi rk untuk “white noise”, untuk k >0, juga membentuk deret waktu stasioner dengan nilai rata-rata 0.

· Untuk baris stasioner ACF menurun dengan cepat dengan meningkatnya k. Jika terdapat trend yang jelas maka fungsi autokorelasi menjadi penampilan yang khas kurva turun sangat lambat.

· Dalam kasus musiman yang jelas, grafik ACF juga berisi outlier untuk lag yang merupakan kelipatan dari periode musiman, namun outlier ini dapat terselubung oleh adanya tren atau sebaran besar komponen acak.

Mari kita lihat contoh fungsi autokorelasi:

· pada Gambar. Gambar 1 menunjukkan grafik ACF yang ditandai dengan tren sedang dan musim yang tidak jelas;

· beras. Gambar 2 menunjukkan ACF suatu deret yang dicirikan oleh determinan musiman yang fenomenal;

· Grafik rangkaian ACF yang praktis tidak teredam (Gbr. 3) menunjukkan adanya tren yang jelas.

Secara umum dapat diasumsikan bahwa tidak terdapat autokorelasi pada deret yang terdiri dari penyimpangan terhadap trend. Misalnya, pada Gambar. Gambar 4 menunjukkan plot ACF untuk residu yang diperoleh dari pemulusan rangkaian, sangat mengingatkan pada proses “white noise”. Namun, sering kali terdapat kasus di mana residu (komponen acak h) dapat menjadi autokorelasi, misalnya karena alasan berikut:

dalam deterministik atau model stokastik dinamika tidak diperhitungkan sebagai faktor penting

· model tidak memperhitungkan beberapa faktor yang tidak penting, saling mempengaruhi yang ternyata signifikan karena kebetulan fase dan arah perubahannya;

· jenis model yang dipilih salah (prinsip berlawanan dengan intuisi dilanggar);

· komponen acak memiliki struktur tertentu.

Tes Durbin-Watson

Uji Durbin-Watson (Durbin, 1969) adalah statistik umum yang dirancang untuk menguji adanya autokorelasi orde pertama dalam residu setelah pemulusan seri atau dalam model regresi.

Nilai numerik dari koefisien adalah

d = [(e(2)-e(1)) 2 + ... + (e(n)-e(n -1)) 2 ]/,

dimana e(t) adalah sisanya.

Nilai kriteria yang mungkin berada dalam kisaran 0 hingga 4, dan nilai tabelnya ditabulasikan nilai ambang batas Untuk tingkat yang berbeda signifikansi (Leeser, 1971).

Nilai d mendekati nilai 2*(1 - r 1), dimana r - faktor pengambilan sampel autokorelasi untuk residu. Dengan demikian, nilai statistik yang ideal adalah 2 (tidak ada autokorelasi). Nilai yang lebih kecil sesuai dengan autokorelasi positif dari residu, yang besar – hingga yang negatif.

Misalnya, setelah deret tersebut dihaluskan, deret residu tersebut mempunyai kriteria d = 1,912. Statistik serupa setelah pemulusan rangkaian - d = 1,638 - menunjukkan beberapa autokorelasi dari residu.

Bab 2. Contoh perhitungan praktis menggunakan makro Excel “Fungsi Autokorelasi”

Semua data diambil dari situs http://e3.prime-tass.ru/macro/

Contoh 1. PDB Rusia

Berikut adalah data PDB Federasi Rusia