Definisi. Peubah acak X 1, X 2, ..., X n disebut bebas jika untuk sembarang x 1, x 2, ..., x n kejadian-kejadiannya bebas
(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.
Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa untuk variabel acak independen X 1, X 2, …, X n fungsi distribusi N-dimensi variabel acak X = X 1, X 2, …, X n sama dengan produk fungsi distribusi variabel acak X 1, X 2, …, X n
F(x 1 , x 2, …, xn) = F(x 1)F(x 2)…F(xn). (1)
Mari kita bedakan kesetaraan (1) N kali demi x 1 , x 2, …, xn, kita dapatkan
P(x 1 , x 2, …, xn) = P(x 1)P(x 2)…P(xn). (2)
Definisi lain tentang independensi variabel acak dapat diberikan.
Jika hukum distribusi suatu variabel acak tidak bergantung pada kemungkinan nilai yang diambil oleh variabel acak lainnya, maka variabel acak tersebut disebut independen kolektif.
Misalnya, dua tiket lotere dengan edisi berbeda telah dibeli. Membiarkan X– jumlah kemenangan pada tiket pertama, Y– jumlah kemenangan pada tiket kedua. Variabel acak X Dan Y– independen, karena memenangkan satu tiket tidak akan mempengaruhi hukum distribusi tiket lainnya. Namun jika tiketnya memiliki masalah yang sama, maka X Dan Y- bergantung.
Dua variabel acak disebut independen jika hukum distribusi salah satunya tidak berubah tergantung pada kemungkinan nilai yang diambil variabel lainnya.
Teorema 1(konvolusi) atau “teorema kepadatan jumlah 2 variabel acak.”
Membiarkan X = (X 1;X 2) – variabel acak dua dimensi kontinu independen, Y = X 1+ X 2. Kemudian kepadatan distribusi
Bukti. Dapat ditunjukkan bahwa jika , maka
Di mana X = (X 1 , X 2 , …, X n). Lalu jika X = (X 1 , X 2), maka fungsi distribusi Y = X 1 + X 2 dapat didefinisikan sebagai berikut (Gbr. 1) –
=
.
Menurut definisinya, fungsinya 
adalah kepadatan distribusi variabel acak Y = X 1 + X 2, yaitu
hal y (T) = 
Q.E.D.
Mari kita turunkan rumus untuk mencari distribusi probabilitas dari jumlah dua variabel acak diskrit independen.
Teorema 2. Membiarkan X 1 , X 2 – variabel acak diskrit independen,
, 
, Kemudian
Bukti. Mari kita bayangkan sebuah peristiwa Sebuah x = {X 1 +X 2 = X) sebagai jumlah kejadian yang tidak kompatibel
Sebuah x = å( X 1 = X Saya ; X 2 = X– X Saya).
Karena X 1 , X 2 – mandiri P(X 1 = X Saya ; X 2 = X– X saya) = P(X 1 = X Saya) P(X 2 = x – x saya), lalu
P(Sebuah x) = P(å( X 1 = X Saya ; X 2 = x – x saya)) = å( P(X 1 = x saya) P(X 2 = x – x Saya)),
Q.E.D.
Contoh 1. Membiarkan X 1 , X 2 – memiliki variabel acak independen distribusi normal dengan parameter N(0;1); X 1 , X 2 ~ N(0;1).
Mari kita cari kepadatan distribusi dari jumlah mereka (notasikan X 1 = X, Y = X 1 +X 2)
Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi integran adalah kepadatan distribusi variabel acak normal dengan parameter A= , , yaitu integralnya sama dengan 1.
.
Fungsi hal y(T) adalah kepadatan distribusi normal dengan parameter a = 0, s = . Dengan demikian, jumlah variabel acak normal independen dengan parameter (0,1) berdistribusi normal dengan parameter (0,), yaitu. Y = X 1 + X 2 ~ N(0;).
Contoh 2. Misalkan diberikan dua variabel acak independen diskrit yang berdistribusi Poisson 
, Kemudian
, (5)
Di mana k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.
Berdasarkan Teorema 2 kita mempunyai:
Contoh 3. Membiarkan X 1, X 2 – variabel acak independen dengan distribusi eksponensial 
. Mari kita cari kepadatannya Y= X 1 +X 2 .
Mari kita tunjukkan X = X 1. Sejak X 1, X 2 adalah variabel acak independen, maka kita akan menggunakan “teorema konvolusi”
Dapat ditunjukkan bahwa jika jumlah ( Xi mempunyai distribusi eksponensial dengan parameter l), maka Y=memiliki distribusi 
, yang disebut distribusi Erlang ( N– 1) ketertiban. Hukum ini diperoleh dengan melakukan simulasi kerja pertukaran telepon dalam karya pertama tentang teori tersebut mengantri.
Dalam statistik matematika, hukum distribusi variabel acak, yang merupakan fungsi dari variabel acak normal independen, sering digunakan. Mari kita perhatikan tiga hukum yang paling sering ditemui saat memodelkan fenomena acak.
Teorema 3. Jika variabel acaknya bebas X 1, ..., X n, maka fungsi dari variabel acak tersebut juga bebas Y 1 = F 1 (X 1), ...,Yn = fn(X n).
Distribusi Pearson(dari 2 -distribusi). Membiarkan X 1, ..., X n– variabel acak normal independen dengan parameter A= 0, s = 1. Mari kita buat variabel acak
Mari kita pertimbangkan sistem dua variabel kontinu acak. Hukum distribusi sistem ini adalah hukum distribusi normal jika fungsi kepadatan probabilitas sistem ini berbentuk
. (1.18.35)
Dapat ditunjukkan bahwa di sini - ekspektasi matematis variabel acak, – simpangan bakunya, – koefisien korelasi variabel. Perhitungan menggunakan rumus (1.18.31) dan (1.18.35) memberikan
. (1.18.36)
Sangat mudah untuk melihat bahwa jika variabel acak yang terdistribusi menurut hukum normal tidak berkorelasi, maka variabel tersebut juga independen
.
Jadi, untuk hukum distribusi normal, nonkorelasi dan independensi merupakan konsep yang setara.
Jika , maka variabel acak tersebut bergantung. Hukum distribusi bersyarat dihitung menggunakan rumus (1.18.20)
. (1.18.37)
Kedua hukum (1.18.37) mewakili distribusi normal. Faktanya, mari kita ubah, misalnya, relasi kedua (1.18.37) menjadi bentuk
.
Ini benar-benar hukum distribusi normal yang dimilikinya harapan bersyarat sama
, (1.18.38)
A deviasi standar bersyarat dinyatakan dengan rumus
. (1.18.39)
Perhatikan bahwa dalam hukum bersyarat distribusi suatu besaran pada nilai tetap, hanya ekspektasi matematis bersyarat yang bergantung pada nilai ini, tetapi tidak varians bersyarat – .
Pada bidang koordinat ketergantungan (1.18.38) adalah garis lurus
, (1.18.40)
yang disebut garis regresi pada .
Dengan cara yang persis sama ditetapkan bahwa distribusi bersyarat kuantitas dengan nilai tetap
, (1.18.41)
ada distribusi normal dengan ekspektasi matematis bersyarat
, (1.18.42)
bersyarat deviasi standar
. (1.18.43)
Dalam hal ini, garis regresinya terlihat seperti ini
. (1.18.44)
Garis regresi (1.18.40) dan (1.18.44) bertepatan hanya jika hubungan antara besaran dan bersifat linier. Jika besaran dan saling bebas maka garis regresi sejajar dengan sumbu koordinat.
Akhir pekerjaan -
Topik ini termasuk dalam bagian:
Catatan kuliah matematika teori probabilitas statistik matematika
Departemen matematika yang lebih tinggi dan ilmu komputer.. catatan kuliah.. matematika..
Jika Anda membutuhkannya materi tambahan tentang topik ini, atau Anda tidak menemukan apa yang Anda cari, kami sarankan menggunakan pencarian di database karya kami:
Apa yang akan kami lakukan dengan materi yang diterima:
Jika materi ini bermanfaat bagi Anda, Anda dapat menyimpannya ke halaman Anda di jejaring sosial:
| Menciak |
Semua topik di bagian ini:
Teori probabilitas
Teori probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari pola fenomena massa acak.
Suatu fenomena yang acak disebut
Definisi statistik probabilitas
Peristiwa adalah fenomena acak yang mungkin muncul atau tidak sebagai akibat dari pengalaman (fenomena ambigu). Tunjukkan peristiwa dengan huruf latin kapital
Ruang acara dasar
Misalkan ada banyak peristiwa yang berhubungan dengan suatu pengalaman, dan: 1) sebagai akibat dari pengalaman itu, hanya satu hal yang muncul
Tindakan pada acara
Jumlah dua kejadian dan
Penataan ulang
Banyaknya permutasi unsur yang berbeda dilambangkan dengan
Penempatan
Dengan menempatkan elemen sesuai
Kombinasi
Kombinasi elemen
Rumus untuk menambahkan probabilitas kejadian yang tidak kompatibel Dalil. Kemungkinan jumlah dua kejadian yang tidak kompatibel
sama dengan jumlah probabilitas kejadian-kejadian ini.
(1
Rumus untuk menjumlahkan probabilitas kejadian arbitrer
Dalil. Peluang penjumlahan dua kejadian sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut tanpa peluang hasil kali keduanya.
Rumus perkalian probabilitas
Biarlah ada sekelompok peristiwa yang tidak sesuai; mereka disebut hipotesis. Pertimbangkan beberapa peristiwa
Rumus Probabilitas Hipotesis (Bayes)
Mari kita lihat lagi - kelompok penuh hipotesis dan peristiwa yang tidak sesuai
Rumus Poisson asimtotik
Dalam kasus di mana jumlah tesnya besar dan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa
Besaran diskrit acak
Besaran acak adalah besaran yang bila percobaan diulangi, dapat mempunyai nilai yang tidak sama. nilai numerik. Variabel acak disebut diskrit,
Variabel kontinu acak
Jika, sebagai hasil percobaan, suatu variabel acak dapat mengambil nilai apa pun dari segmen tertentu atau keseluruhannya sumbu nyata, maka disebut kontinu. Hukum
Fungsi kepadatan probabilitas dari variabel kontinu acak
Biarkan saja. Mari kita pertimbangkan suatu hal dan berikan penambahannya
Karakteristik numerik dari variabel acak
Variabel acak, diskrit, atau kontinu dianggap terspesialisasi sepenuhnya jika hukum distribusinya diketahui. Faktanya, dengan mengetahui hukum distribusi, Anda selalu dapat menghitung kemungkinan terjadinya pukulan
Kuantil variabel acak
Kuantil orde variabel kontinu acak
Ekspektasi matematis dari variabel acak
Ekspektasi matematis dari variabel acak mencirikan nilai rata-ratanya. Semua nilai variabel acak dikelompokkan di sekitar nilai ini. Mari kita perhatikan dulu variabel diskrit acak
Standar deviasi dan dispersi variabel acak
Pertama-tama mari kita pertimbangkan variabel diskrit acak. Modus karakteristik numerik, median, kuantil, dan ekspektasi matematis
Momen variabel acak
Selain ekspektasi dan dispersi matematis, teori probabilitas juga digunakan karakteristik numerik orde yang lebih tinggi, yang disebut momen variabel acak.
Teorema karakteristik numerik variabel acak
Teorema 1. Ekspektasi matematis dari nilai non-acak sama dengan nilai itu sendiri.
Bukti: Biarkan
Hukum distribusi binomial
hukum distribusi Poisson
Biarkan variabel diskrit acak mengambil nilainya
Hukum distribusi seragam
Hukum seragam distribusi variabel kontinu acak adalah hukum fungsi kepadatan probabilitas, yang mana
Hukum distribusi normal
Hukum distribusi normal suatu variabel kontinu acak adalah hukum fungsi kepadatan
Hukum distribusi eksponensial Eksponensial atau distribusi eksponensial
Sistem variabel acak
Dalam prakteknya, dalam penerapan teori probabilitas, sering dijumpai permasalahan dimana hasil suatu percobaan dijelaskan bukan oleh satu variabel acak, tetapi oleh beberapa variabel acak sekaligus.
Sistem dua variabel diskrit acak
Biarkan dua menjadi acak jumlah yang terpisah membentuk suatu sistem. Variabel acak
Sistem dua variabel kontinu acak
Biarkan sekarang sistem dibentuk oleh dua acak jumlah yang kontinyu. Hukum distribusi sistem ini disebut mungkin
Hukum distribusi bersyarat
Biarkan kuantitas kontinu acak bergantung
Karakteristik numerik dari sistem dua variabel acak
Momen awal urutan sistem variabel acak
Sistem beberapa variabel acak
Hasil yang diperoleh untuk sistem dengan dua besaran acak dapat digeneralisasikan ke kasus sistem yang terdiri dari nomor berapa pun variabel acak.
Misalkan sistem tersebut dibentuk oleh suatu himpunan
Batasi teorema teori probabilitas
Tujuan utama dari teori disiplin probabilitas adalah mempelajari pola fenomena massa acak.
Praktek menunjukkan bahwa pengamatan terhadap sekumpulan fenomena acak yang homogen mengungkapkan
Ketimpangan Chebyshev
Mari kita pertimbangkan variabel acak dengan ekspektasi matematis
teorema Chebyshev
Jika variabel-variabel acak bersifat independen berpasangan dan mempunyai variansi berhingga dan terikat secara kolektif
teorema Bernoulli
Dengan peningkatan jumlah eksperimen yang tidak terbatas, frekuensi terjadinya suatu peristiwa konvergen dalam probabilitas terhadap probabilitas peristiwa tersebut
Teorema limit pusat
Saat menjumlahkan variabel acak dengan hukum distribusi apa pun, tetapi dengan varian yang terbatas secara bersama-sama, hukum distribusi Masalah utama statistik matematika Hukum teori probabilitas yang dibahas di atas adalah
ekspresi matematika
pola nyata yang benar-benar ada dalam berbagai fenomena massa acak.
Mempelajari
Populasi statistik sederhana. Fungsi distribusi statistik Mari kita perhatikan beberapa variabel acak yang hukum distribusinya tidak diketahui. Diperlukan berdasarkan pengalaman Seri statistik. Histogram Pada jumlah besar
pengamatan (sekitar ratusan)
Dalam teori probabilitas, berbagai karakteristik numerik dari variabel acak dipertimbangkan: ekspektasi matematis, dispersi, momen awal dan pusat dari berbagai orde. Nomor serupa
Pemilihan distribusi teoritis menggunakan metode momen
Setiap distribusi statistik pasti mengandung unsur keacakan yang terkait dengan terbatasnya jumlah observasi. Dengan sejumlah besar pengamatan, unsur-unsur keacakan ini dihaluskan,
Memeriksa masuk akalnya hipotesis tentang bentuk hukum distribusi
Biarkan yang diberikan distribusi statistik didekati dengan beberapa kurva teoritis atau
Kriteria persetujuan
Mari kita pertimbangkan salah satu kriteria kesesuaian yang paling umum digunakan - yang disebut kriteria Pearson.
Tebakan
Estimasi titik untuk parameter distribusi yang tidak diketahui Dalam hal. 2.1. – 2.7 kita memeriksa secara rinci bagaimana menyelesaikan masalah utama pertama dan kedua statistik matematika
. Inilah masalah penentuan hukum distribusi variabel acak berdasarkan data eksperimen
Perkiraan ekspektasi dan varians
Biarkan variabel acak dengan ekspektasi matematis yang tidak diketahui
Interval kepercayaan. Kemungkinan kepercayaan diri
Dalam praktiknya, dengan sejumlah kecil percobaan pada variabel acak, perkiraan penggantian parameter yang tidak diketahui Mari kita gunakan yang di atas metode umum
untuk menyelesaikan satu permasalahan yaitu mencari hukum distribusi jumlah dua variabel acak. Ada sistem dua variabel acak (X,Y) dengan kepadatan distribusi f(x,y). 
Mari kita perhatikan jumlah variabel acak X dan Y: dan temukan hukum distribusi nilai Z. Untuk melakukannya, mari kita buat garis pada bidang xOy, yang persamaannya adalah (Gbr. 6.3.1). Ini adalah garis lurus yang memotong segmen yang sama dengan z pada sumbunya. Lurus 
membagi bidang xOy menjadi dua bagian; ke kanan dan di atasnya
; ke kiri dan ke bawah Daerah D di dalam hal ini
- bagian kiri bawah bidang xOy, diarsir pada Gambar. 6.3.1. Menurut rumus (6.3.2) kita memiliki:
Ini adalah rumus umum distribusi kepadatan jumlah dua variabel acak.
Untuk alasan kesimetrisan soal terhadap X dan Y, kita dapat menulis versi lain dari rumus yang sama:
Diperlukan untuk menghasilkan komposisi hukum-hukum ini, yaitu menemukan hukum distribusi besaran: .
Mari kita terapkan rumus umum susunan hukum distribusi:
Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus yang telah kita temui
dan ini tidak lebih dari hukum normal dengan pusat dispersi
Tanpa membuka tanda kurung dan tanpa melakukan transformasi apapun pada integran (6.3.3), kita langsung sampai pada kesimpulan bahwa eksponennya adalah trinomial kuadrat relatif terhadap spesies x
dimana nilai z sama sekali tidak termasuk dalam koefisien A, pada koefisien B dipangkatkan pertama, dan pada koefisien C dikuadratkan. Dengan mengingat hal ini dan menerapkan rumus (6.3.4), kita sampai pada kesimpulan bahwa g(z) adalah fungsi eksponensial, eksponennya adalah trinomial persegi terhadap z, dan kepadatan distribusi; Tipe ini sesuai dengan hukum normal. Jadi kita; kita sampai pada kesimpulan kualitatif murni: hukum distribusi nilai z harus normal. Untuk menemukan parameter hukum ini - dan 
- kita akan menggunakan teorema penjumlahan ekspektasi matematis dan teorema penjumlahan varians.
Menurut teorema penjumlahan ekspektasi matematis 
. Dengan teorema penjumlahan varians 
atau 
dari situlah rumus (6.3.7) mengikuti.
Beralih dari simpangan baku ke simpangan baku yang sebanding dengannya, kita peroleh: 
.
Demikianlah kita sampai pada aturan berikutnya: dengan komposisi hukum normal, hukum normal diperoleh kembali, dan ekspektasi matematis serta varians (atau kuadrat kemungkinan penyimpangan) dijumlahkan.
Aturan komposisi hukum normal dapat digeneralisasikan pada kasus sejumlah variabel acak independen yang berubah-ubah.
Jika terdapat n variabel acak bebas: tunduk pada hukum normal dengan pusat dispersi dan simpangan baku, maka nilainya juga tunduk pada hukum normal dengan parameter
Jika suatu sistem peubah acak (X, Y) terdistribusi menurut hukum normal, tetapi nilai X, Y bergantung, maka tidak sulit untuk membuktikannya, seperti sebelumnya, berdasarkan rumus umum(6.3.1) bahwa hukum distribusi suatu besaran juga merupakan hukum normal. Pusat hamburan masih dijumlahkan secara aljabar, namun untuk simpangan baku aturannya menjadi lebih rumit: 
, dimana r adalah koefisien korelasi nilai X dan Y.
Ketika menjumlahkan beberapa variabel acak terikat yang seluruhnya tunduk pada hukum normal, maka hukum distribusi penjumlahannya juga menjadi normal dengan parameternya.
dimana adalah koefisien korelasi besaran X i, X j, dan penjumlahannya berlaku untuk semua kombinasi besaran berpasangan yang berbeda.
Kami yakin akan hal itu properti penting hukum normal: dengan susunan hukum normal diperoleh hukum normal kembali. Inilah yang disebut “properti stabilitas”. Suatu hukum distribusi disebut stabil jika susunan dua hukum yang sejenis kembali menghasilkan hukum yang sejenis. Kami telah menunjukkan di atas bahwa hukum normal itu stabil. Sangat sedikit undang-undang distribusi yang memiliki sifat stabilitas. Hukum massa jenis seragam tidak stabil: dengan menggabungkan dua hukum massa jenis seragam pada bagian dari 0 hingga 1, kita memperoleh hukum Simpson.
Stabilitas hukum normal merupakan salah satu syarat penting bagi penerapannya secara luas dalam praktik. Namun, selain normal, beberapa hukum distribusi lainnya juga mempunyai sifat stabilitas. Ciri hukum normal adalah dengan komposisi bilangan yang cukup besar, secara praktis hukum yang sewenang-wenang distribusi, hukum totalnya ternyata mendekati normal seperti yang diinginkan, apapun hukum distribusi suku-sukunya. Hal ini dapat diilustrasikan, misalnya, dengan menyusun tiga hukum kepadatan seragam di area dari 0 hingga 1. Hukum distribusi yang dihasilkan g(z) ditunjukkan pada Gambar. 6.3.1. Terlihat dari gambar, grafik fungsi g(z) sangat mirip dengan grafik hukum normal.
Pertimbangkan kasus ketika variabel acak ketiga Z adalah jumlah dari dua variabel acak independen X Dan Y, itu
Kepadatan besaran-besaran ini 
masing-masing. Kepadatan distribusi Z
Integral ini disebut lilitan atau komposisi kepadatan dan dilambangkan sebagai berikut:
.
Dengan demikian, jika variabel acak independen dijumlahkan, maka kepadatan distribusinya diciutkan.
Aturan ini berlaku untuk jumlah suku independen berapa pun. Artinya, jika
.
Contoh. Mari kita tentukan massa jenis distribusi dari jumlah dua besaran yang terdistribusi merata X 1 dan X 2 dengan massa jenis:
Setelah mensubstitusikan kepadatan ini ke dalam (13.2.1) dan mengintegrasikannya berdasarkan asumsi 
kita mengerti itu
Kepadatan ini disebut trapesium (lihat Gambar 13.2.1). Jika 
, kemudian trapesium tersebut berubah menjadi segitiga sama kaki dan massa jenis yang sesuai disebut massa jenis Sipson.
Gambar 13.2.1. Distribusi trapesium - konvolusi dua distribusi seragam.
13.3 Distribusi jumlah variabel acak yang terdistribusi normal
Jika 
,
X Dan Y independen dan berdistribusi normal dengan kepadatan
lalu jumlahnya 
Z juga akan berdistribusi normal dengan kepadatan
,
Fakta ini dibuktikan dengan integrasi langsung integral kompilasi (13.2.1) setelah substitusi 
Dan 
.
Pernyataan yang lebih umum juga benar: jika
, (13.3.1)
Di mana 
Dan B- konstanta, dan X Saya
– variabel acak independen yang terdistribusi normal dengan nilai rata-rata 
dan varians 
, Itu Y juga akan berdistribusi normal dengan nilai mean
(13.3.2)
dan varians
. (13.3.3)
Oleh karena itu, jika variabel acak independen yang berdistribusi normal dijumlahkan, maka jumlah tersebut juga akan berdistribusi normal dengan ekspektasi matematis, sama dengan jumlahnya ekspektasi matematis suku dan varians sama dengan jumlah varian suku. Artinya, jika
,
. (13.3.4)
14. Batasi teorema
14.1.Konsep hukum bilangan besar
Diketahui dari pengalaman bahwa dalam fenomena massa, hasilnya sedikit bergantung pada manifestasi individu. Misalnya, tekanan yang diberikan oleh gas pada dinding wadah adalah akibat tumbukan molekul gas pada dinding. Terlepas dari kenyataan bahwa setiap pukulan benar-benar acak dalam kekuatan dan arah, tekanan yang dihasilkan ternyata bersifat deterministik. Hal yang sama dapat dikatakan tentang suhu tubuh, yang menentukan energi kinetik rata-rata gerak atom-atom tubuh. Kuat arus merupakan manifestasi dari pergerakan muatan elementer (elektron). Ciri-ciri khusus masing-masing fenomena acak banyaknya fenomena seperti itu hampir tidak berpengaruh pada hasil rata-rata. Penyimpangan acak dari rata-rata, yang tidak dapat dihindari dalam setiap fenomena individu, saling dibatalkan, diratakan, diratakan dalam massa. Fakta inilah – stabilitas rata-rata – yang mendasarinya hukum jumlah yang besar: dengan sejumlah besar fenomena acak, hasil rata-ratanya praktis tidak lagi acak dan dapat diprediksi dengan tingkat kepastian yang tinggi.
Dalam teori probabilitas, hukum bilangan besar dipahami sebagai serangkaian teorema matematika, yang masing-masing, dalam kondisi tertentu, menetapkan fakta bahwa karakteristik rata-rata dari sejumlah besar eksperimen mendekati nilai konstan atau distribusi batas.
