Įrodykime tokią pagrindinę teoremą.

Teorema. Nepertraukiamas segmente [ a, b] funkcija f(x) yra integruotas į šį segmentą.

Įrodymas. Tebūnie duota bet kas ε > 0. Dėl tolygaus funkcijos tęstinumo f(x) segmente [ a, b] teigiamam skaičiui ε /(b - a) galite tai nurodyti δ > 0, kuri skaidant T segmentas [ a, b] į dalinius segmentus [ x i -1 , x i], ilgis Δ x i kurių yra mažiau δ , svyravimas ω i funkcijas f(x) kiekviename tokiame daliniame segmente bus mažesnis ε /(b - a). Todėl tokioms pertvaroms T

Todėl ištisiniam segmentui [ a, b] funkcijas f(x) yra įvykdytos pakankamos integralumo sąlygos.

Niutono-Leibnizo formulė- suteikia ryšį tarp paėmimo operacijų apibrėžtasis integralas ir apskaičiuojant antidarinį. Niutono-Leibnizo formulė - pagrindinė formulė integralinis skaičiavimas.

Ši formulė tinka bet kuriai funkcijai f(x), ištisinis segmente [a, b], F- antidarinis skirtas f(x). Taigi, norėdami apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, turite rasti tam tikrą antidarinį F funkcijas f(x), apskaičiuokite jo reikšmes taškuose a ir b ir raskite skirtumą F(b) – F(a).

Metodinės ypatybėsįvedant integralo apibrėžimą.

Tema nagrinėjama 11 klasėje ir jos pagrindinis tikslas – išmokyti mokinius skaičiuoti plotą lenkta trapecija ir kiti sudėtingesni skaičiai bei apskaičiuojamos apimties geometrinis kūnas naudojant integralą. Šios temos reikšmė yra ta, kad integracija arba antidarinio radimas yra atvirkštinė problema išvestinės radimas. Prieš mokydamiesi šios temos, mokiniai su funkcijomis galėjo atlikti šias funkcijas: sudėtį, atimtį, daugybą ir dalybą. Išstudijavę šią temą, mokiniai turėtų gebėti atlikti naują veiklą – diferencijavimą.

Šios temos studijos baigiasi mokyklos kursas matematinė analizė

Ši tema apima šiuos klausimus: antiderivatas, pagrindinė antidarinio savybė, trys antidarinių radimo taisyklės, kreivinės trapecijos plotas, integralas, Niutono-Leibnizo formulė, integralo taikymas.

Integralo sąvoką galima įvesti dviem būdais: 1-asis būdas integralą laikyti antidarinio prieaugiu; Pavyzdžiui, vadovėlyje A.N. Kolmogorov., o 2-asis metodas - integralo svarstymas integralų sumų riba. Pavyzdžiui, vadovėlis Alimov Sh.A.

Sunkiausias ir moksleiviams neprieinamas yra antrasis požiūris, nes mokykloje ribų teorija nesimokoma. Mokykla taiko pirmąjį metodą. S kr.tr. =F(b)-F(a) – šis metodas įgyvendintas šiuolaikiniai vadovėliai.

Lyginamoji analizė temos turinys mokykliniai vadovėliai

A. N. Kolmogorovo vadovėlyje „Algebra ir analizės pradžia“, įvedant integralą, nagrinėjama kreivinės trapecijos ploto apskaičiavimo problema. Autorius vadovėlyje pateikia du būdus, kaip apskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą: naudojant kreivinės trapecijos ploto teoremą ir naudojant integraliąsias sumas. Antrasis metodas susijęs su integralo apibrėžimu. Naudojant integralias sumas, taip pat išvedamos formulės kūnų tūriams, darbui apskaičiuoti kintamoji jėga, taip pat rasti strypo masę ir masės centrą.

Mordkovičiaus A.G. vadovėlyje „Algebra ir analizės pradžia“, įvedant sąvoką „Apibrėžtas integralas“, problemos, vedančios į ši koncepcija, būtent kreivinės trapecijos ploto apskaičiavimo problema, strypo masės apskaičiavimo problema ir taško judėjimo problema. Visos trys problemos, išspręstos, redukuojamos į tą patį matematinį modelį.

S. M. Nikolskio vadovėlyje „Algebra ir analizės pradžia“ kreivinės trapecijos ploto apskaičiavimo problemos svarstymas veda prie integralinių sumų sampratos ir jų ribos, po kurios įvedamas apibrėžtojo integralo apibrėžimas. . Teorinis pagrindas apibrėžtojo integralo taikymas svarstomas tokiais fizinių problemų, kaip užduotys jėgos darbui, darbas elektros krūvis, apskaičiuoti kintamo tankio strypo masę, skysčio slėgį sienoje ir svorio centrą.

Sh A. Alimov vadovėlyje „Algebra ir analizės pradžia“, prieš įvedant integralo sąvoką, nagrinėjama kreivinės trapecijos ploto radimo problema, kur ploto apskaičiavimas sumažinamas iki integralo suradimo. funkcijos f(x) antidarinė F(x). Skirtumas F(b) - F(a) vadinamas atkarpoje esančios funkcijos f(x) integralu. Toliau autorius svarsto galimybę apskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą naudojant integralų sumas, teigia, kad šis apytikslis integralo skaičiavimo metodas reikalauja sudėtingų skaičiavimų ir yra naudojamas tais atvejais, kai neįmanoma rasti funkcijos antidarinys. Kaip integralo taikymo pavyzdžiai pateikiami vandens ištekėjimo iš rezervuaro ir jėgos darbo radimo problemos. Užduotys skirtos savarankiškas sprendimas yra to paties tipo ir jų yra labai mažai.

d(τ)→0

1 pastaba. Jei funkcija f(x) yra integruojama intervale su galiniais taškais a, b, tada galioja nelygybė

2 pastaba. Jei funkcija f(x) yra nuolatinė įjungta , f(x) ≥ 0 įjungta

Ir x0 : f(x0) > 0, tada f(x) dx > 0.

1.6 Ištisinės tolydžios funkcijos integruojamumas

Panagrinėkime integruojamųjų funkcijų klasę, platesnę už klasę nuolatinės funkcijos. Tam reikia šios lemos, kuri nurodo dar vieną pakankama būklė funkcijos integruojamumas.

Lema 1.3. Tegul funkcija f(x) yra integruojama į intervalą. Funkcijos reikšmės keitimas in baigtinis skaičius taškai neturi įtakos jo integralumui ir integralo vertei.

Tegu apibrėžtumui A > 0. Pataisykime ε > 0 ir pasirinkime

savavališka pertvara τ = (xk )n k=0 N, kurios skersmuo d(τ)<2A . Точка α может принадлежать только одному отрезку разбиения, если α не является точкой из разбиения τ, или двум отрезкам, если α является точкой из разбиения τ, не совпадающей с a или b. В любом случае

I(fe) = fe (x) dx = 0.

2) tegul f R,

0,x\(α),

ir g(x) = A − f(α), x = α.

Tada fe (x) = f(x) + g(x), x ir pagal 1.12 teoremą funkcija fe yra integruojama į , ir

Jei funkcijos vertės pokytis įvyksta baigtiniame atkarpos taškų skaičiuje, tai kiekvienam tokiam taškui reikia sukurti funkciją, panašią į funkciją g, kuri bus integruojama į , sudaryti sumą, panašią į (1.21) , ir taikyti 1.12 teoremą.

Apibrėžimas 1.6. F funkcija:

nenutrūkstamas atkarpoje , jei įtraukus baigtinį taškų skaičių, yra pirmosios rūšies nenuoseklumas.

→ Sakoma, kad R yra ištisinis ir yra jo taškai

Ryžiai. 1.1: Ištisinės tolydžios funkcijos pavyzdys

Dabar galime įrodyti rezultatą, kuris praplečia Riemano integruojamųjų funkcijų klasę.

1.19 teorema. Jei funkcija f: → R yra fragmentiškai ištisinė intervale , tada ji yra integruojama į jį.

Panagrinėkime atvejį, kai funkcija f(x) atkarpoje turi vieną pirmos rūšies c (a, b) nenutrūkstamumo tašką, tai yra, yra baigtinių

ribinės vertės f(c + 0) ir f(c − 0). Pažiūrėkime į funkcijas

Kadangi funkcijos f1 (x) ir f2 (x) yra ištisinės intervaluose ir atitinkamai yra integruojamos į šiuos intervalus. Tada pagal 1.3 lemą funkcija f(x), kuri viename taške skiriasi nuo funkcijos f1 (x) reikšme, yra integruojama į intervalą . Panašiai f(x) yra integruojamas į intervalą . Tada pagal 1.17 teoremą f(x) yra integruojamas .

komentuoti. Jei funkcija f(x) yra fragmentiškai tolydi atkarpoje , tai ji yra integruojama į ją ir, norint apskaičiuoti tokios funkcijos apibrėžtąjį integralą, atkarpa padalinama į baigtinį skaičių atkarpų taip, kad f(x) būtų tęstinis ir ribojančią funkciją intervaluose (ak, bk).

1.7 Pirmoji integralios vidutinės vertės teorema

1.20 teorema. Tegul funkcijos f ir g tenkina sąlygas:

Tegu, pavyzdžiui, g(x) ≥ 0, x, tada iš 2 sąlygos išplaukia, kad mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x), x. Kadangi funkcijos f ir g

yra integruojami į intervalą, tada funkcija f g taip pat yra integruojama šiame intervale ir remiantis 1.18 teorema

atveju lygybė (1.22) tenkinama bet kuriam µ.

µ apibrėžimas reiškia lygybę (1.22) . Panašiai teorema įrodoma ir tuo atveju, kai g(x) ≤ 0 ant .

Išvada 1. Jei funkcija f yra integruojama intervale m ≤ f(x) ≤ M, x, tada

µ : f(x) dx = µ(b − a).

Išvada 2. Jei funkcija f(x) yra ištisinė intervale, o funkcija g(x) yra integruojama ir nekeičia ženklo joje, tada

Iš funkcijos f(x) tęstinumo intervale išplaukia, kad ji yra integruojama į jį. Pagal antrąją Weierstrasso teoremą

Pagal Bolzano – Koši teoremą apie tarpinę funkcijos reikšmę, kuri tęsiasi intervale, yra taškas c, priklausantis atkarpai, kurios galiniai taškai yra taškuose p ir q, taigi ir c, kad f(c) = µ. Taigi,

Problemos, vedančios į apibrėžtojo integralo sąvoką (kreivės trapecijos ploto problema, darbo, veikiant kintamą jėgą, skaičiavimo problema). Apibrėžtinio integralo sąvoka. Darboux sumos ir jų savybės (apžvalga). Būtina ir pakankama integralumo sąlyga. Nepertraukiamos funkcijos integruojamumas. Pagrindinės apibrėžtojo integralo savybės

Problema dėl lenktos trapecijos srities. Pasvarstykime plokščia figūra, apribotas linijomis kur f(x) yra nuolatinė teigiama funkcija, nurodyta (žr. 3 pav.). Ši figūra vadinama lenkta trapecija. Užduokime klausimą apie plotą Fši trapecija.

Padalinti [ a, b] taškais ir tegul λ = max ( x k +1 - x k). Tiesioginis x = x k sulaužykite mūsų trapeciją į n siauros juostelės. Nuo funkcijos f(x) yra tęstinis, tada jis mažai keičiasi, kai x k ≤ x ≤ x k+1 ir be didelės paklaidos galima apskaičiuoti intervale [ x k , x k+1 ] pastovus ir lygus f(ξ k), kur ξ k yra savavališkas taškas intervale [ x k , x k+1]. Nesunku pastebėti, kad padaryta prielaida yra lygiavertė aukščiau paminėtoms juostoms paimti kaip stačiakampius, o visą mūsų trapeciją kaip laiptuotą figūrą, parodytą Fig. 4. Šios pakopinės figūros plotas akivaizdžiai lygus Natūralu manyti, kad ši sritis yra maža λ yra apytikslė mus dominančios srities vertė F. Todėl pagal apibrėžimą vadinsime plotas mūsų kreivinės trapecijos riba .

Jei funkcija turi bent vieną antidarinį, tai ji turi be galo daug antidarinių. Praktikoje dažnai reikia ieškoti antidarinio verčių skirtumo taškuose b Ir a. Šis skirtumas nepriklauso nuo savavališkos konstantos pasirinkimo su, nes .. Tegul funkcija f yra skiriamas intervalais ir turi antidarinį F. Skirtumas vadinamas apibrėžtasis integralas funkcijas f išilgai segmento ir pažymėkite Skaičiai b Ir a paskambino viršutinės ir apatinės integracijos ribos. Segmentas integracijos sritis.

Kintamos jėgos darbas. Apsvarstykite judėjimą materialus taškas išilgai OX ašies, veikiant kintamajai jėgai f, priklausomai nuo taško x padėties ašyje, t.y. jėga, kuri yra x funkcija. Tada darbas A, reikalingas materialiam taškui perkelti iš padėties x = a į padėtį x = b, apskaičiuojamas pagal formulę:

OP savybės.

1) Jei funkcija f turi antidarinį intervale ir yra bet koks skaičius, tada .

2) Jei funkcijos turi antidarinį intervale, tada.

3) Priedo savybė. Jei funkcija f segmente turi antidarinį ir tada .

4) Jei funkcija f turi antidarinį segmente , tada .

5)6)

7) Jei funkcija f segmente turi antidarinį ir yra lygus . Jeigu f tada yra keista.

8) Jei funkcija f turi periodą, o segmente yra antidarinys f, tada bet kam a lygybė yra tiesa .

9) Jei .

11) Tegul nelygybės galioja intervale, o šiame intervale - funkcija f turi antidarinį. Tada .

Darboux sumos. Suskaičiuokime sumas. Tai vadinama apatine ir viršutine Darboux sumomis.

SavybėsDarboux sumos: 1) Jei prie esamų atkarpos padalijimo į intervalus taškų pridedami nauji taškai, tada apatinė Darboux suma gali tik didėti, o viršutinė suma mažėti. Tie. jei τ′ yra skaidinio τ patikslinimas, tada .

2) Kiekviena apatinė Darboux suma neviršija kiekvienos viršutinės sumos, net ir tų, kurios atitinka skirtingą intervalo skaidinį.

3) - funkcijos svyravimas pagal − funkcijos apatinis Darboux integralas f, yra viršutinis Darboux integralas. Apatinių Darbo sumų aibė () aukščiau apribota bent viena iš viršutinių Darbo sumų, tada ji turi ir. Viršutinių Darboux sumų rinkinys () yra apribotas žemiau, todėl egzistuoja -, ir. Tai..

ThBūtina integralumo sąlyga. Jei funkcija yra integruojama į intervalą, tada ji yra apribota . ThBūtina ir pakankama integralumo sąlyga. Kad funkcija, apribota tam tikru intervalu, būtų integruota į ją, būtina ir pakanka, kad Ši sąlyga reiškia, kad bet kuriai ε>0 yra δ(ε)>0, kad bet kuriai skaidinys τ, kurio praba yra mažesnė nei δ galioja tokia nelygybė:−<ε.

ThNepertraukiamos funkcijos integruojamumas. Jeigu f(x) yra nuolatinis įjungtas , tada jis yra integruojamas į jį. Th. Funkcija yra apibrėžta, monotoniška ir integruota į ją. Th. Jei funkcija yra apribota ir tolydi intervale, išskyrus galbūt baigtinį taškų skaičių, tada ji yra integruojama į jį.